Y модуль x название функции. Свойства функции y =. Модуль аргумента и модуль функции
Князь Московский Иван I Данилович Калита прославился в истории как дипломатичный правитель, расширивший территорию княжества. Он наладил отношения с ордынским ханом. В 2001 году Ивана Калиту возвели в лик местночтимых святых Москвы.
Детство Ивана Калиты, родившегося в Москве, не примечательно для историков. Это был обычный юнец, росший в семье князя Данилы Александровича и супруги правителя. В детстве мальчик постоянно слышал рассказы о татарах, которые то и дело совершали набеги на Русь. Многие старцы испытывали страх. Неприятные ощущения передались маленькому Ивану, тем более еще в раннем детстве мальчик стал свидетелем захвата Москвы.
С младенчества бояре, отец рассказывали будущему правителю о происходящем в государстве. В 3 года ребенка посадили на коня и стали обучать верховой езде. Сразу же после данного обряда посага мальчика передали воспитателям-мужчинам. Учителя уделяли больше внимания основам правления, так как князь хотел видеть во главе Ивана, а не старшего сына Юрия.
Иван Калита слыл осторожным и рассудительным юнцом в отличие от брата, отличавшегося неуживчивым, резким темпераментом. В 1303 году умирает Даниил. На престол возводят 21-летнего Юрия, а 15-летний Иван стал помощником князя. Пока старший брат находился в отъезде, Ивану пришлось отстаивать Переславль. Жесткий характер, отличная подготовка помогли выстоять, несмотря на малочисленность армии.
Дипломатические переговоры с ханами приводят к страшным последствиям. Во время поездки в Золотую Орду новоиспеченного правителя убивают. Престол переходит, как и планировал Даниил Московский, младшему сыну – Ивану Калите.
Правление
Иван Калита – необычный правитель. С первых дней князь не стал завоевывать новые территории, а начал продвигать православие. По поручению правителя из Владимира в Москву перенесли резиденцию митрополита. Таким образом, город превратился в духовную столицу Руси. Авторитетность Москвы возросла.
Проблемы с делением земель начались в 1327 году, когда в Твери восстал народ, а позже убили ордынского посла. Иван Калита отправился к хану, который выдал правителю ярлык на великое княжение. Вместе с суздальцами князь отвоевал Тверь, тогда как Александр Михайлович Тверской сбежал от возможного наказания в Новгород (позже был найден в Пскове).
Через год хан Узбек принял решение разделить княжества между Иваном и Александром Васильевичем Суздальским. К Калите отошли Новгород и Кострома, а второму князю – Нижний Новгород и Городец. В 1331 году Александр Васильевич умирает, престол занимает Константин. В это время территории, подчиненные князю Суздальскому, возвращаются в состав великого княжества.
В период с 1328 по 1330 годы Иван Калита заключает два выгодных брака – дочери выходят замуж за Василия Ярославского и Константина Ростовского. Союзы выгодны для правителя, так как уделы перешли в распоряжение князя. Напряжение между Москвой и Новгородом достигло пика в 1331 году.
Конфликт начался с отказа митрополита Феогноста поставить архиепископом новгородским Арсения. Пост отдали Василию Калике. В это время Калита выказывает требования по выплате увеличенной дани. Отказ приводит в негодование правителя – князь выдвигается с войском в новгородскую землю. До военных действий не дошло, так как Иван планировал решить вопрос миром.
Карта земель Ивана Калиты Поведение Калиты, а именно брак сына Симеона с Айгустой, дочерью Гедимина, вызывало опасение у новгородцев. Властители решили действовать: последовало приглашение Наримунта, которому отдали крепость Орешек, вотчину Ладогу, Корельск, половину Копорья. Взамен гостя править пришел Александр Наримунтович, тогда как отец остался в Литве. Поддержки от такого союза новгородцы не дождались. Наримунт не прибыл воевать против шведов и отозвал сына из земель.
Только в 1336 году, после того как в дело вмешался митрополит Феогност, между Новгородом и Калитой наступает мир. Князь Иван получает желаемую дань и звание новгородского правителя. Гедимин пытался отомстить новгородской земле за заключенный с Москвой мир, но война так и не началась.
В 1337 году Александра Тверского вместе с сыном казнят. Хан принял такое решение после доноса Ивана Калиты. Вскоре князь возвращается в Москву. По распоряжению правителя с церкви святого Спаса убирают колокол и перевозят в столицу. Калита подчиняет брата Александра Михайловича.
В биографии Калиты присутствует множество завоевательных походов против неугодных князей. В 1339 году московское войско направили в Смоленск из-за нежелания платить дань Орде. Конфликт между Новгородом и Москвой вновь возрождается. Решить спор Ивану до конца жизни не удалось.
Политику Ивана Калиты называют неоднозначной. Князь на территории Московского государства возводит несколько храмов: Собор спаса на Бору, Успенский собор, Архангельский собор, церковь Иоанна Лествичника. В годы правления (с 1328 по 1340) отстраивает Калита новый Московский Кремль из дуба. Правителя отличает тяга к вере. Незадолго до смерти Иван пишет Сийское Евангелие. Сейчас писание находится в библиотеке Российской академии наук.
Современники Калиты характеризовали правителя как гибкого и настойчивого князя. Хан Орды уважал и доверял москвичу. Это помогло избавить Москву от набегов ордынцев. Благосостояние подданных росло, недовольство исчезало. Иван Данилович избавил на 40 лет княжество от разграблений и войн. Калита безжалостно расправлялся с противниками, пресекал народные волнения из-за дани.
Иван I достиг небывалого влияния на некоторые земли, в том числе Новгород, Тверь и Псков. За годы правления князь накопил богатства, доставшиеся по наследству детям и внукам, в числе которых был . Из признаний наследника следовало, что Калита приобретал земли в чужих княжествах.
Личная жизнь
Иван Калита сочетался брачными узами дважды. В 1319 году супругой правителя стала Елена. Исторические данные о происхождении девушки не сохранились. У них родилось четыре сына - Симеон, Даниил, Иван и Андрей. Неизвестная болезнь подкосила здоровье княжеской супруги.
В 1332 году Елена умерла, а через год Иван вновь женился. Избранницей была Ульяна. В браке появились четыре дочери – Мария, Евдокия, Феодосия, Феотиния. Калита с личной выгодой выдал девушек замуж. Зятьям князь ставил единственное условие – распоряжаться уделами правитель будет сам.
Смерть
За несколько месяцев до смерти Иван Калита принял постриг. Предотвращая распри между сыновьями, правитель распределил имущество при жизни. Симеон Гордый стал владельцем двух третей наследства. Отец оставил его в роли покровителя младших детей. Калита на смертном одре заботился о государстве. Такое деление позволило избежать дробления Московского княжества. Смерть князя пришла в марте 1340 года. Похороны прошли в Архангельском соборе, построенном по приказу Ивана I.
История не знает другого такого правителя, столь же ратующего за Москву. Город преобразился во время княжения Ивана Калиты. Зверских убийств оппонентов князь не совершал за годы правления, в отличие от брата. С Ивана I пошла традиция давать прозвища правителям. Калита означает кошелек или кожаную сумку для хранения монет.
Легенда
Существует легенда, в соответствии с которой князь слыл щедрым человеком.
«В лето 6837 (т. е. в 1329 г. - прим.) князь великий Иван Данилович ходил на миру в Великий Новгород и стоял в Торжке. И пришли к нему святого Спаса притворяне с чашею, 12 мужей на пир. И воскликнули 12 мужей, притворяне святого Спаса: «Бог дай многа лета великому князю Ивану Даниловичу всея Руси. Напой, накорми нищих своих». И князь великий спросил бояр и старых людей новоторжцев: «Что это за люди пришли ко мне?»
И сказали ему мужи новоторжцы: «Это, господин, притворяне святого Спаса, а ту чашу дали им 40 калик, пришедших из Иерусалима». И князь великий посмотрел у них чашу, поставил ее на свое темя и сказал: «Что, братья, возьмете у меня вкладом в эту чашу?» Притворяне отвечали: «Чем нас пожалуешь, то и возьмем». И князь великий дал им гривну новую вклада: «А ходите ко мне во всякую неделю и берите у меня две чаши пива, третью – меду. Также ходите к наместникам моим и к посадникам и по свадьбам, а берите себе три чаши пива».
Память
В те времена правителей изображали на картинах, поэтому можно только предполагать, как бы выглядел на фото Иван Калита. Акцента на внешности современники князя не делали, а описывали характер и поведение. К примеру, Калита – расчетливый мужчина, отличался умом. Правителя называли милостивым. Калита часто подавал беднякам во время поездок по Руси. Просьбы народа старался выполнять. Одному и тому же человеку Иван I подавал несколько раз.
В современном мире о московском правителе не забывают. К примеру, специалисты разработали уникальный автомобиль на заводе «Москвич». Транспортное средство названо «Москвич «Иван Калита». В 2006 году в Московской области впервые вручили орден Ивана Калиты, медаль ордена Ивана Калиты.
краткое содержание других презентаций«Свойства квадратного корня» - Ответы. Подведение итогов. Решение упражнений. План урока. Устная работа. Свойства квадратных корней. Литература. Самостоятельно. Вычислите. Вариант.
«Арифметический квадратный корень и его свойства» - Ученик. Теорема. Преобразование. Решай снова. Ошибкам тебя точно не догнать. Пример. Крошка Ро. Свойства арифметических квадратных корней. Применение. Свойства. Я огорчён твоими знаниями. Пройди тест. Твой путь был нелёгок. Тест.
«Функция и свойства квадратного корня» - Функция. Самостоятельная работа. Подготовка к решению тестовых заданий. Найдите значение выражения. Привитие интереса к предмету. Рациональное число. Вариант. Значение выражения. Новые математические модели функции. Информация для учителя. Сократите дробь. Новые обозначения. Вычислите. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом. Разложите на множители. Найдите значение.
«Задачи на неравенства» - Соедините отрезками числовые промежутки. Промежутки, являющиеся решением. Реши неравенства. Заполнить пропуски в таблице. Проверка домашнего задания. Самостоятельная работа. Неравенства. Пропуски в таблице. Решите неравенство. Верные ответы. Алгебра. Систематизация и совершенствование знаний. Что лишнее. Подчеркнуть верные ответы. Найди ошибку. Контрольный тест. Выписать промежутки. Решений нет.
«Примеры неравенств» - Три случая. Задача. Правила действий с неравенствами. Виды неравенств. Неотрицательное число. Дайте определение неравенства. Решите двойное неравенство. Сложение. Определения понятий. Неравенства, входящие в систему. Свойства числовых неравенств. Запись. Неравенство содержит только числа. Неравенства. Дидактический материал. Ax+b>0. Решение системы линейных неравенств.
«Сокращённое умножение» - Игра ""Смотри не ошибись."". Урок математики. Задания на карточках. Проверочная работа. Таблица. Формулы сокращенного умножения. Игра Счастливый случай. Задания на отработку понимания математической речи на слух. Выбери правильный ответ. Проверка.
Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.
1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Функция $f(x)=|x|$
$|x|$ - модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.
Математически это можно записать следующим образом:
Пример 1
Функция $f(x)=[x]$
Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».
Пример: $=2.$
Пример 2
Исследуем и построим её график.
- $D\left(f\right)=R$.
- Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
- $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
- $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
- $f"\left(x\right)=0$
- Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.
Рисунок 2.
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.
Пример 3
Исследуем и построим график функции
Функция $f(x)=sign(x)$
Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.
Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.
1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
