Detaillierte Funktionsrecherche und Plotten online. Wie kann man eine Funktion untersuchen und grafisch darstellen? Ein Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

Ankerpunkte Bei der Untersuchung von Funktionen und der Konstruktion ihrer Diagramme werden charakteristische Punkte verwendet - Unstetigkeitspunkte, Extremum, Wendepunkt, Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen. Mit Hilfe Differentialrechnung installiert werden kann Eigenschaften Funktionsänderungen: Zunahme und Abnahme, Maxima und Minima, die Richtung der Konvexität und Konkavität des Graphen, das Vorhandensein von Asymptoten.

Eine Skizze des Funktionsgraphen kann (und sollte) skizziert werden, nachdem die Asymptoten und Extrempunkte gefunden wurden, und Pivot-Tabelle Es ist bequem, die Funktionsstudien während des Studiums auszufüllen.

Normalerweise wird das folgende Schema der Funktionsforschung verwendet.

1.Ermitteln Sie den Definitionsbereich, die Kontinuitätsintervalle und die Haltepunkte einer Funktion.

2.Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade (axial bzw zentrale Symmetrie Grafik.

3.Finden Sie Asymptoten (vertikal, horizontal oder schräg).

4.Finden und untersuchen Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion, ihre Extrempunkte.

5.Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität der Kurve, ihre Wendepunkte.

6.Finden Sie die Schnittpunkte der Kurve mit den Koordinatenachsen, falls vorhanden.

7.Erstellen Sie eine zusammenfassende Tabelle der Studie.

8.Erstellen Sie ein Diagramm unter Berücksichtigung der Untersuchung der Funktion, die gemäß den obigen Punkten durchgeführt wurde.

Beispiel. Explore-Funktion

und plotte es.

7. Lassen Sie uns eine zusammenfassende Tabelle der Untersuchung der Funktion erstellen, in der wir alle charakteristischen Punkte und die Intervalle zwischen ihnen eingeben werden. Angesichts der Parität der Funktion erhalten wir die folgende Tabelle:

				Diagrammfunktionen
[-1, 0[			Zunehmend	Konvex
				(0; 1) – maximaler Punkt
]0, 1[			Sinkt	Konvex
				Wendepunkt, bildet mit der Achse Ochse stumpfer Winkel

Für eine vollständige Untersuchung der Funktion und das Zeichnen ihres Diagramms wird das folgende Schema empfohlen:
A) Finde den Definitionsbereich, Haltepunkte; Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion in der Nähe von Unstetigkeitspunkten (finden Sie die Grenzen der Funktion links und rechts an diesen Punkten). Geben Sie die vertikalen Asymptoten an.
B) Bestimmen Sie die Gerade oder Ungerade der Funktion und ziehen Sie einen Schluss auf das Vorhandensein von Symmetrie. Wenn , dann ist die Funktion gerade, symmetrisch in Bezug auf die OY-Achse; für , die Funktion ist ungerade, symmetrisch in Bezug auf den Ursprung; und wenn ist eine Funktion Gesamtansicht.
C) Finde die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen OY und OX (falls möglich), bestimme die Intervalle des Vorzeichens der Funktion. Die Grenzen der Vorzeichenkonstanzintervalle einer Funktion werden durch die Punkte bestimmt, an denen die Funktion gleich Null ist (die Nullstellen der Funktion) oder nicht existiert, und durch die Grenzen des Definitionsbereichs dieser Funktion. In den Intervallen, in denen sich der Graph der Funktion über der OX-Achse befindet und wo - unter dieser Achse.
D) finde die erste Ableitung der Funktion, bestimme ihre Nullstellen und Konstanzintervalle. In den Intervallen, wo die Funktion ansteigt und wo sie abfällt. Machen Sie eine Schlussfolgerung über das Vorhandensein von Extrema (Punkte, an denen die Funktion und die Ableitung existieren und bei deren Durchgang sie das Vorzeichen ändern. Wenn es das Vorzeichen von Plus zu Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum und wenn von Minus zu Plus, dann Minimum). Finden Sie Funktionswerte an Extrempunkten.
E) Finden Sie die zweite Ableitung, ihre Nullstellen und Konstanzintervalle. In den Intervallen wo< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) Finden Sie schiefe (horizontale) Asymptoten, deren Gleichungen die Form haben ; wo
.
Bei Der Graph der Funktion hat zwei schräge Asymptoten, und jeder Wert von x bei und kann zwei Werten von b entsprechen.
g) finden zusätzliche Punkte um das Diagramm zu verfeinern (falls erforderlich) und ein Diagramm zu erstellen.

Beispiel 1 Untersuchen Sie die Funktion und zeichnen Sie ihren Graphen. Lösung: A) Definitionsbereich ; die Funktion ist stetig im Definitionsbereich; – Sollbruchstelle, weil ; . Dann ist die vertikale Asymptote.
B)
diese. y(x) ist eine allgemeine Funktion.
C) Wir finden die Schnittpunkte des Graphen mit der OY-Achse: Wir setzen x=0; dann y(0)=–1, d.h. der Graph der Funktion schneidet die Achse im Punkt (0;-1). Nullstellen der Funktion (Schnittpunkte des Graphen mit der OX-Achse): wir nehmen y=0 an; dann
.
Diskriminant quadratische Gleichung kleiner als Null bedeutet, dass es keine Nullen gibt. Dann ist die Grenze der Konstanzintervalle der Punkt x=1, wo die Funktion nicht existiert.
Das Vorzeichen der Funktion in jedem der Intervalle wird nach der Teilwertmethode bestimmt:

Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass sich der Graph der Funktion im Intervall unter der OX-Achse und im Intervall über der OX-Achse befindet.
D) Wir finden das Vorhandensein kritischer Punkte heraus.
.
Kritische Punkte (wo oder nicht existiert) werden aus den Gleichheiten und gefunden.

Wir erhalten: x1=1, x2=0, x3=2. Lassen Sie uns eine Hilfstabelle erstellen

Tabelle 1

(Die erste Zeile enthält die kritischen Punkte und die Intervalle, in die diese Punkte durch die OX-Achse unterteilt sind; die zweite Zeile gibt die Werte der Ableitung an kritischen Punkten und die Vorzeichen der Intervalle an. Die Vorzeichen werden durch die Methode bestimmt von Teilwerten Die dritte Zeile gibt die Werte der Funktion y(x) an den kritischen Punkten an und zeigt das Verhalten der Funktion - in den entsprechenden Intervallen ansteigend oder fallend numerische Achse. Zusätzlich wird das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums angezeigt.
E) Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität der Funktion.
; wir bauen eine Tabelle wie in Abschnitt D); Nur in der zweiten Zeile schreiben wir die Zeichen auf und in der dritten geben wir die Art der Ausbuchtung an. Da ; dann kritischer Punkt ein x = 1.
Tabelle 2

Der Punkt x=1 ist der Wendepunkt.
E) Finden Sie schräge und horizontale Asymptoten

Dann ist y=x eine schiefe Asymptote.
G) Gemäß den erhaltenen Daten erstellen wir einen Graphen der Funktion

Beispiel2 Verbringen volles Studium Funktion und erstelle ihren Graphen. Lösung.

1). Funktionsumfang.
Offensichtlich ist diese Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert, mit Ausnahme der Punkte „“ und „“, weil an diesen Punkten ist der Nenner gleich Null und daher existiert die Funktion nicht, und die Linien und sind vertikale Asymptoten.

2). Verhalten der Funktion, wenn das Argument gegen Unendlich strebt, Existenz von Unstetigkeitspunkten und Prüfung auf schiefe Asymptoten.
Prüfen wir zunächst, wie sich die Funktion verhält, wenn sie sich links und rechts der Unendlichkeit nähert.

Bei strebt die Funktion also gegen 1, d.h. ist die horizontale Asymptote.
In der Nähe von Unstetigkeitsstellen ist das Verhalten der Funktion wie folgt definiert:


Diese. bei Annäherung an die Unstetigkeitsstellen links nimmt die Funktion unendlich ab, während sie rechts unendlich ansteigt.
Wir bestimmen das Vorhandensein einer schiefen Asymptote, indem wir die Gleichheit berücksichtigen:

Es gibt keine schiefen Asymptoten.

3). Schnittpunkte mit Koordinatenachsen.
Hier gilt es, zwei Situationen zu berücksichtigen: den Schnittpunkt mit der Ox-Achse und mit der Oy-Achse zu finden. Ein Schnittzeichen mit der x-Achse ist Null Wert Funktionen, d.h. du musst die gleichung lösen:

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat der Graph dieser Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Ein Schnittzeichen mit der Oy-Achse ist der Wert x \u003d 0. In diesem Fall
,
diese. - der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Oy-Achse.

4).Bestimmung von Extrempunkten und Anstiegs- und Abfallintervallen.
Um dieses Problem zu untersuchen, definieren wir die erste Ableitung:
.
Wir setzen den Wert der ersten Ableitung gleich Null.
.
Der Bruch ist Null, wenn Null sein Zähler, d.h. .
Lassen Sie uns die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion bestimmen.

Somit hat die Funktion einen Extrempunkt und existiert nicht an zwei Punkten.
Somit steigt die Funktion in den Intervallen und und nimmt in den Intervallen und ab.

5). Wendepunkte und konvexe und konkave Bereiche.
Diese Eigenschaft des Verhaltens der Funktion wird mit der zweiten Ableitung bestimmt. Lassen Sie uns zuerst das Vorhandensein von Wendepunkten bestimmen. Die zweite Ableitung der Funktion ist

Für und ist die Funktion konkav;

denn und die Funktion ist konvex.

6). Zeichnen eines Funktionsgraphen.
Unter Verwendung der in Punkten gefundenen Werte konstruieren wir einen schematischen Graphen der Funktion:

Beispiel3 Explore-Funktion und plotte es.

Lösung
Die gegebene Funktion ist eine nicht periodische Funktion allgemeiner Form. Sein Graph geht durch den Ursprung, da .
Definitionsbereich gegebene Funktion sind alle Werte der Variablen , außer und , bei denen der Nenner des Bruchs verschwindet.
Daher sind die Punkte und Breakpoints der Funktion.
Als ,

Als ,
, dann ist der Punkt ein Unstetigkeitspunkt zweiter Art.
Die Geraden und sind die vertikalen Asymptoten des Funktionsgraphen.
Schräge Asymptotengleichungen , wobei , .
Bei ,
.
Somit hat für und der Graph der Funktion eine Asymptote .
Lassen Sie uns die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion und die Extrempunkte finden.
.
Die erste Ableitung der Funktion bei und , daher steigt bei und die Funktion.
Für also ist die Funktion fallend.
existiert nicht für , .
, also bei Der Graph der Funktion ist konkav.
Bei , also bei Der Graph der Funktion ist konvex.

Beim Durchlaufen der Punkte wechselt , , das Vorzeichen. Wenn , ist die Funktion nicht definiert, daher hat der Graph der Funktion einen Wendepunkt .
Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen.

Führen Sie eine vollständige Studie durch und zeichnen Sie einen Funktionsgraphen

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funktionsumfang. Da die Funktion ein Bruch ist, musst du die Nullstellen des Nenners finden.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Wir schließen den einzigen Punkt x=1x=1 aus dem Funktionsdefinitionsbereich aus und erhalten:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunktes. Einseitige Grenzen finden:

Da die Grenzen gleich unendlich sind, ist der Punkt x=1x=1 eine Unstetigkeit zweiter Art, die Gerade x=1x=1 eine senkrechte Asymptote.

3) Lassen Sie uns die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Finden wir die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse OyOy, für die wir x=0x=0 gleichsetzen:

Somit hat der Schnittpunkt mit der Achse OyOy die Koordinaten (0;8)(0;8).

Finden wir die Schnittpunkte mit der Abszissenachse OxOx, für die wir y=0y=0 setzen:

Die Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Schnittpunkte mit der OxOx-Achse.

Beachten Sie, dass x2+8>0x2+8>0 für alle xx. Daher nimmt für x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) die Funktion y>0y>0(an positive Werte, der Graph liegt über der x-Achse), für x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) die Funktion y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, denn:

5) Wir untersuchen die Funktion auf Periodizität. Die Funktion ist nicht periodisch, da es sich um eine gebrochen rationale Funktion handelt.

6) Wir untersuchen die Funktion für Extrema und Monotonie. Dazu finden wir die erste Ableitung der Funktion:

Lassen Sie uns die erste Ableitung gleich Null setzen und die stationären Punkte finden (an denen y′=0y′=0):

Wir haben drei kritische Punkte: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Wir teilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion durch gegebene Punkte in Intervalle und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall:

Für x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ist die Ableitung y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Für x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) die Ableitung y′>0y′>0, wächst die Funktion auf diesen Intervallen.

In diesem Fall ist x = –2x = –2 ein lokaler Minimalpunkt (die Funktion nimmt ab und steigt dann an), x = 4x = 4 ist ein lokaler Maximalpunkt (die Funktion steigt an und fällt dann ab).

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an diesen Punkten finden:

Der Minimalpunkt ist also (−2;4)(−2;4), der Maximalpunkt ist (4;−8)(4;−8).

7) Wir untersuchen die Funktion auf Knicke und Konvexität. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion:

Gleichsetzen Sie die zweite Ableitung mit Null:

Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln, also gibt es keine Wendepunkte. Wenn x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 erfüllt ist, d. h., die Funktion ist konkav, wenn x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Wir untersuchen das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also bei .

Da die Grenzen unendlich sind, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Versuchen wir, schiefe Asymptoten der Form y=kx+by=kx+b zu bestimmen. Wir berechnen die Werte von k,bk,b nach den bekannten Formeln:

Wir haben festgestellt, dass die Funktion eine schiefe Asymptote y=−x−1y=−x−1 hat.

9) Zusätzliche Punkte. Lassen Sie uns den Wert der Funktion an einigen anderen Punkten berechnen, um einen Graphen genauer zu erstellen.

y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.

10) Aus den gewonnenen Daten bauen wir einen Graphen auf, ergänzen ihn mit Asymptoten x=1x=1 (blau), y=−x−1y=−x−1 (grün) und markieren die charakteristischen Punkte (den Schnittpunkt mit dem y -Achse ist violett, Extrema sind orange, Zusatzpunkte sind schwarz) :

Aufgabe 4: Geometrische, ökonomische Probleme (keine Ahnung was, hier eine ungefähre Auswahl von Problemen mit Lösung und Formeln)

Beispiel 3.23. a

Lösung. x und j j
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24.

Lösung.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösung. Da f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 \u003d 2 und x 2 \u003d 3. Extreme Punkte können nur an diesen Punkten sein.Wenn also beim Durchgang durch den Punkt x 1 \u003d 2 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum.Beim Durchgang durch den Punkt x 2 \u003d 3, die Ableitung ändert das Vorzeichen von Minus zu Plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 \u003d 3 ein Minimum Berechnen der Werte der Funktion in Punkten
x 1 = 2 und x 2 = 3 finden wir die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 3.23. Es ist notwendig, in der Nähe der Steinmauer einen rechteckigen Bereich zu bauen, der auf drei Seiten mit Maschendraht eingezäunt ist und auf der vierten Seite an die Mauer angrenzt. Dafür gibt es a laufende Meter des Gitters. Bei welchem ​​Seitenverhältnis hat die Site die größte Fläche?

Lösung. Bezeichnen Sie die Seiten der Website durch x und j. Die Fläche des Standorts ist S = xy. Lassen j ist die Länge der an die Wand angrenzenden Seite. Dann muss per Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei
0 ≤ x ≤ a/2 (die Länge und Breite der Fläche dürfen nicht negativ sein). S "= a - 4x, a - 4x = 0 für x = a/4, woraus
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p ≈ 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), um möglichst wenig Material für seine Herstellung zu verwenden?

Lösung. Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Daher ist S(R) = 2p(R 2 + 16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S "(R) \u003d 0 für R 3 \u003d 8, daher
R = 2, H = 16/4 = 4.

Ähnliche Informationen.

Für eine vollständige Untersuchung der Funktion und das Zeichnen ihres Diagramms wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) finden Sie den Umfang der Funktion;

2) Finden Sie die Unstetigkeitspunkte der Funktion und vertikale Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen, finden Sie die horizontalen und schiefen Asymptoten;

4) Untersuchung der Funktion auf Gleichmäßigkeit (Oddity) und auf Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte;

7) Finden Sie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, wenn möglich, und einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verfeinern.

Die Untersuchung der Funktion wird gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen durchgeführt.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion bricht an bestimmten Stellen ab
,
;

Wir untersuchen die Funktion für das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein von schrägen und horizontalen Asymptoten.

Gerade
─ schiefe Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist sogar da
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf die y-Achse an.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie und die Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte teilen die gesamte reelle Achse in vier Intervalle. Lassen Sie uns die Zeichen definieren auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ab. Beim Passieren eines Punktes
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum
.

6. Finden wir Konvexitätsintervalle, Wendepunkte.

Lassen Sie uns die Punkte finden, wo 0 ist oder nicht existiert.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
und
Teilen Sie die reelle Achse in drei Intervalle. Lassen Sie uns das Zeichen definieren in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve auf den Intervallen
und
konvex nach unten, auf dem Intervall (-1;1) konvex nach oben; es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an den Punkten
und
unentschlossen.

7. Finde die Schnittpunkte mit den Achsen.

mit Achse
der Graph der Funktion schneidet sich am Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Graph der Funktion

Anwendung des Begriffs des Derivats in der Volkswirtschaftslehre. Funktionselastizität

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Funktionselastizität verwendet.

Definition. Funktionselastizität
heißt die Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion auf das relative Inkrement der Variablen bei
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion zeigt ungefähr, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
beim Ändern der unabhängigen Variablen um 1%.

Die Elastizität einer Funktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Elastizität der Nachfrage (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral falls
─ unelastisch in Bezug auf Preis (oder Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität einer Funktion
und finden Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: nach Formel (VII) die Elastizität der Funktion:

Sei dann x=3
Das bedeutet, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, steigt der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des preises hat die Form
, wo ─ konstanter Koeffizient. Ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit der Formel (VII)

Vorausgesetzt
Geldeinheiten, bekommen wir
. Das heißt, zum Preis
Geldeinheit eine Preiserhöhung von 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d.h. Die Nachfrage ist elastisch.

Heute laden wir Sie ein, mit uns einen Funktionsgraphen zu erkunden und zu zeichnen. Nach einem sorgfältigen Studium dieses Artikels müssen Sie nicht lange schwitzen, um diese Art von Aufgabe zu erledigen. Es ist nicht einfach, eine Funktion zu untersuchen und einen Graphen zu erstellen, die Arbeit ist umfangreich und erfordert maximale Aufmerksamkeit und Genauigkeit der Berechnungen. Um die Wahrnehmung des Materials zu erleichtern, werden wir nach und nach dieselbe Funktion untersuchen, alle unsere Aktionen und Berechnungen erklären. Willkommen in der erstaunlichen und faszinierenden Welt der Mathematik! Gehen!

Domain

Um eine Funktion zu untersuchen und darzustellen, müssen Sie einige Definitionen kennen. Eine Funktion ist eines der grundlegenden (grundlegenden) Konzepte in der Mathematik. Es spiegelt die Abhängigkeit zwischen mehreren Variablen (zwei, drei oder mehr) mit Änderungen wider. Die Funktion zeigt auch die Abhängigkeit von Mengen.

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Variablen, die einen bestimmten Änderungsbereich haben. Also ist y eine Funktion von x, vorausgesetzt, dass jeder Wert der zweiten Variablen einem Wert der zweiten entspricht. In diesem Fall ist die Variable y abhängig und wird als Funktion bezeichnet. Es ist üblich zu sagen, dass die Variablen x und y in Um diese Abhängigkeit besser zu verdeutlichen, wird ein Graph der Funktion erstellt. Was ist ein Funktionsgraph? Dies ist eine Menge von Punkten auf der Koordinatenebene, wobei jeder Wert von x einem Wert von y entspricht. Diagramme können unterschiedlich sein - eine gerade Linie, Hyperbel, Parabel, Sinuskurve und so weiter.

Ein Funktionsgraph kann nicht ohne Exploration gezeichnet werden. Heute lernen wir, wie man recherchiert und einen Funktionsgraphen zeichnet. Es ist sehr wichtig, sich während des Studiums Notizen zu machen. So wird es viel einfacher sein, mit der Aufgabe fertig zu werden. Der bequemste Studienplan:

1. Domain.
2. Kontinuität.
3. Gerade oder ungerade.
4. Periodizität.
5. Asymptoten.
6. Nullen.
7. Konstanz.
8. Aufsteigend und absteigend.
9. Extreme.
10. Konvexität und Konkavität.

Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Lassen Sie uns den Definitionsbereich finden, dh in welchen Intervallen unsere Funktion existiert: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). In unserem Fall existiert die Funktion für beliebige Werte von x, das heißt, der Definitionsbereich ist R. Dies kann als xОR geschrieben werden.

Kontinuität

Jetzt untersuchen wir die Diskontinuitätsfunktion. In der Mathematik tauchte der Begriff "Kontinuität" als Ergebnis des Studiums der Bewegungsgesetze auf. Was ist unendlich? Raum, Zeit, einige Abhängigkeiten (ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Variablen S und t in Bewegungsproblemen), die Temperatur des erhitzten Objekts (Wasser, Bratpfanne, Thermometer usw.), eine durchgehende Linie (d. h. eins das gezeichnet werden kann, ohne es vom Blattstift zu nehmen).

Ein Graph gilt als stetig, wenn er nicht irgendwann bricht. Eines der offensichtlichsten Beispiele für einen solchen Graphen ist eine Sinuswelle, die Sie auf dem Bild in diesem Abschnitt sehen können. Die Funktion ist an einem Punkt x0 stetig, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind:

• eine Funktion ist an einem bestimmten Punkt definiert;
• die rechte und linke Grenze an einem Punkt sind gleich;
• der Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0.

Wenn mindestens eine Bedingung nicht erfüllt ist, spricht man von einer Unterbrechung der Funktion. Und die Punkte, an denen die Funktion bricht, werden Breakpoints genannt. Ein Beispiel für eine Funktion, die bei grafischer Darstellung „bricht“, ist: y=(x+4)/(x-3). Außerdem existiert y nicht an der Stelle x = 3 (da nicht durch Null geteilt werden kann).

In der Funktion, die wir untersuchen (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), stellte sich alles als einfach heraus, da der Graph kontinuierlich sein wird.

Gerade ungerade

Untersuchen Sie nun die Funktion auf Parität. Beginnen wir mit ein wenig Theorie. Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die die Bedingung f (-x) = f (x) für jeden Wert der Variablen x (aus dem Wertebereich) erfüllt. Beispiele sind:

• Modul x (der Graph sieht aus wie eine Dohle, die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Viertels des Graphen);
• x zum Quadrat (Parabel);
• Kosinus x (Kosinuswelle).

Beachten Sie, dass alle diese Diagramme symmetrisch sind, wenn sie in Bezug auf die y-Achse betrachtet werden.

Was heißt dann eine ungerade Funktion? Dies sind die Funktionen, die die Bedingung erfüllen: f (-x) \u003d - f (x) für jeden Wert der Variablen x. Beispiele:

• Hyperbel;
• kubische Parabel;
• sinusförmig;
• Tangente und so weiter.

Bitte beachten Sie, dass diese Funktionen symmetrisch zum Punkt (0:0), also dem Ursprung sind. Basierend auf dem, was in diesem Abschnitt des Artikels gesagt wurde, müssen eine gerade und eine ungerade Funktion die Eigenschaft haben: x gehört zum Definitionssatz und -x auch.

Untersuchen wir die Funktion auf Parität. Wir können sehen, dass sie auf keine der Beschreibungen passt. Daher ist unsere Funktion weder gerade noch ungerade.

Asymptoten

Beginnen wir mit einer Definition. Eine Asymptote ist eine Kurve, die möglichst nahe am Graphen liegt, das heißt, der Abstand von einem Punkt geht gegen Null. Es gibt drei Arten von Asymptoten:

• vertikal, dh parallel zur y-Achse;
• horizontal, d. h. parallel zur x-Achse;
• schräg.

Wie beim ersten Typ sollten diese Zeilen an einigen Stellen gesucht werden:

• Lücke;
• Enden der Domäne.

In unserem Fall ist die Funktion stetig und der Definitionsbereich ist R. Daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Der Graph einer Funktion hat eine horizontale Asymptote, die folgende Bedingung erfüllt: wenn x gegen unendlich oder minus unendlich strebt und der Grenzwert gleich einer bestimmten Zahl ist (z. B. a). In diesem Fall ist y=a die horizontale Asymptote. In der Funktion, die wir untersuchen, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Eine schiefe Asymptote liegt nur vor, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Dann kann es durch die Formel gefunden werden: y=kx+b. Auch in unserem Fall gibt es keine schiefen Asymptoten.

Funktion Nullen

Der nächste Schritt besteht darin, den Graphen der Funktion auf Nullstellen zu untersuchen. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass die Aufgabe, die mit dem Finden der Nullstellen einer Funktion verbunden ist, nicht nur beim Studium und Zeichnen eines Funktionsgraphen auftritt, sondern auch als unabhängige Aufgabe und als Möglichkeit, Ungleichungen zu lösen. Möglicherweise müssen Sie die Nullstellen einer Funktion in einem Diagramm finden oder die mathematische Notation verwenden.

Wenn Sie diese Werte finden, können Sie die Funktion genauer zeichnen. Einfach ausgedrückt ist die Nullstelle der Funktion der Wert der Variablen x, bei der y \u003d 0 ist. Sucht man die Nullstellen einer Funktion auf einem Graphen, dann sollte man auf die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse achten.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nachdem wir die notwendigen Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir die folgende Antwort:

Konstanz unterzeichnen

Der nächste Schritt bei der Untersuchung und Konstruktion einer Funktion (Graphik) besteht darin, Intervalle mit Vorzeichenkonstanz zu finden. Das bedeutet, dass wir bestimmen müssen, in welchen Intervallen die Funktion einen positiven Wert annimmt und in welchen Intervallen sie einen negativen Wert annimmt. Dabei helfen uns die Nullstellen der im vorigen Abschnitt gefundenen Funktionen. Wir müssen also eine gerade Linie (getrennt vom Graphen) bauen und die Nullstellen der Funktion entlang dieser in der richtigen Reihenfolge von der kleinsten zur größten verteilen. Nun müssen Sie bestimmen, welches der resultierenden Intervalle ein „+“-Zeichen und welches ein „-“-Zeichen hat.

In unserem Fall nimmt die Funktion einen positiven Wert für die Intervalle an:

• von 1 bis 4;
• von 9 bis unendlich.

Negative Bedeutung:

• von minus unendlich bis 1;
• von 4 bis 9.

Dies ist ziemlich einfach zu bestimmen. Setzen Sie eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die Funktion ein und sehen Sie, welches Zeichen die Antwort ist (minus oder plus).

Funktion Aufsteigend und Absteigend

Um eine Funktion zu untersuchen und zu erstellen, müssen wir herausfinden, wo der Graph ansteigt (bei Oy nach oben geht) und wo er abfällt (entlang der y-Achse nach unten kriecht).

Die Funktion wächst nur, wenn der größere Wert der Variablen x dem größeren Wert von y entspricht. Das heißt, x2 ist größer als x1 und f(x2) ist größer als f(x1). Und wir beobachten ein völlig entgegengesetztes Phänomen bei einer abnehmenden Funktion (je mehr x, desto weniger y). Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme zu bestimmen, müssen Sie Folgendes finden:

• Geltungsbereich (wir haben ihn bereits);
• Ableitung (in unserem Fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• löse die Gleichung 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nach Berechnungen erhalten wir das Ergebnis:

Wir erhalten: Die Funktion nimmt in den Intervallen von minus unendlich bis 7/3 und von 7 bis unendlich zu und nimmt im Intervall von 7/3 bis 7 ab.

Extreme

Die untersuchte Funktion y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ist stetig und existiert für beliebige Werte der Variablen x. Der Extrempunkt zeigt das Maximum und Minimum dieser Funktion. In unserem Fall gibt es keine, was die Konstruktionsaufgabe erheblich vereinfacht. Ansonsten werden sie auch mit der Ableitungsfunktion gefunden. Vergessen Sie nach dem Finden nicht, sie auf der Karte zu markieren.

Konvexität und Konkavität

Wir untersuchen weiterhin die Funktion y(x). Jetzt müssen wir es auf Konvexität und Konkavität überprüfen. Die Definitionen dieser Konzepte sind ziemlich schwer zu verstehen, es ist besser, alles anhand von Beispielen zu analysieren. Zum Test: Eine Funktion ist konvex, wenn sie eine nichtfallende Funktion ist. Stimmen Sie zu, das ist unverständlich!

Wir müssen die Ableitung der Funktion zweiter Ordnung finden. Wir erhalten: y=1/3(6x-28). Jetzt setzen wir die rechte Seite mit Null gleich und lösen die Gleichung. Antwort: x=14/3. Wir haben den Wendepunkt gefunden, also die Stelle, an der der Graph von konvex zu konkav oder umgekehrt wechselt. Auf dem Intervall von minus unendlich bis 14/3 ist die Funktion konvex und von 14/3 bis plus unendlich ist sie konkav. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass der Wendepunkt auf dem Diagramm glatt und weich sein sollte, es sollte keine scharfen Ecken geben.

Definition zusätzlicher Punkte

Unsere Aufgabe ist es, den Funktionsgraphen zu untersuchen und darzustellen. Wir haben die Studie abgeschlossen, es wird jetzt nicht schwierig sein, die Funktion zu zeichnen. Für eine genauere und detailliertere Wiedergabe einer Kurve oder einer Geraden auf der Koordinatenebene finden Sie mehrere Hilfspunkte. Es ist ziemlich einfach, sie zu berechnen. Zum Beispiel nehmen wir x=3, lösen die resultierende Gleichung und finden y=4. Oder x=5 und y=-5 und so weiter. Sie können so viele zusätzliche Punkte nehmen, wie Sie zum Bauen benötigen. Mindestens 3-5 von ihnen werden gefunden.

Plotten

Wir mussten die Funktion (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y untersuchen. Alle notwendigen Markierungen im Laufe der Berechnungen wurden in der Koordinatenebene vorgenommen. Es bleibt nur noch, einen Graphen zu erstellen, also alle Punkte miteinander zu verbinden. Das Verbinden der Punkte ist reibungslos und genau, dies ist eine Frage des Könnens - ein wenig Übung und Ihr Zeitplan wird perfekt sein.