1 Konstruieren Sie die Summe zweier gegebener Winkel. Arten von Winkeln. Winkel messen. Ein Dreieck aus drei Seiten konstruieren

Die einfachsten Konstruktionsprobleme
Dreiecke

Dieses Video-Tutorial wurde speziell für erstellt Selbststudium Thema „Die einfachsten Konstruktionsprobleme“. Dabei lernen die Studierenden, einfache Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal zu lösen. Der Lehrer erklärt den Stoff anhand eines Beispiels spezifische Aufgaben, und wird Sie auch an mehrere zuvor untersuchte Axiome erinnern.

Lassen Sie uns bestimmen, welche Aktionen wir mit Zirkel und Lineal ausführen können. Erstens können Sie mit einem Lineal eine beliebige gerade Linie zeichnen, aber auch eine gerade Linie, die durch zwei Punkte verläuft. Durch zwei Punkte können Sie eine gerade Linie zeichnen, und zwar nur einen.

Mit einem Zirkel können Sie einen Kreis konstruieren angegebenen Radius.

Reis. 1. Kreis und Linie

Beispiel 1: Legen Sie auf einem bestimmten Strahl von seinem Anfang an ein Segment ab, das dem angegebenen entspricht. Das Segment AB und der Strahl OS werden gemäß der Bedingung angegeben:

Reis. 2.1. Bedingung für Beispiel 1

Konstruktion:

Reis. 2.2. Lösung für Beispiel 1

Wir führen die Konstruktion wie folgt durch: Wir konstruieren einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O und einem Radius AB. Punkt D ist der Schnittpunkt des Kreises und des Strahls. Das Segment OD ist erforderlich, da es gleich AB ist.

Der Bau ist abgeschlossen.

Beispiel 2: Subtrahieren Sie von einem gegebenen Strahl einen Winkel, der einem gegebenen entspricht. Winkel A und Strahl OM sind angegeben. Bauen.

Konstruktion:

Reis. 3.1. Bedingung für Beispiel 2

1. Konstruieren Sie einen Kreis Okr(A, r = AB). Die Punkte B und C sind die Schnittpunkte mit den Seiten des Winkels A.

Reis. 3.2. Lösung für Beispiel 2

2. Konstruieren Sie auf dem Strahl OM einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O und einem Radius r = AB. Wir erhalten den Punkt D am Schnittpunkt des Strahls OM und des Kreises

3. Konstruieren Sie einen dritten Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt D mit dem Radius r = BC (wobei B und C die Schnittpunkte des Winkels A und des ersten Kreises sind) und erhalten Sie den Punkt E am Schnittpunkt zweier Kreise

Reis. 3.3. Lösung für Beispiel 2

4. Wir erhalten den gewünschten Winkel MOE = Winkel A

5. Winkel-MOE ist das gewünschte, da .

Der Bau ist abgeschlossen.

Beispiel 3: Konstruieren Sie eine Winkelhalbierende angegebenen Winkel. Bei gegebenem Winkel A ist es notwendig, die Winkelhalbierende AE ​​zu konstruieren.

Reis. 4.1. Bedingung für Beispiel 3

Konstruktion:

1. Konstruieren Sie einen Kreis Okr(A, r = AB). Die Punkte B und C sind die Schnittpunkte des Kreises mit den Seiten des Winkels.

2. Konstruieren wir einen Kreis Okr(B, r = CB) und einen Kreis Okr(C, r = CB). Diese Kreise schneiden sich im Punkt E.

3. Strahl AE - Winkelhalbierende - der gewünschte, da . Es folgt dem .

Reis. 4.2. Lösung für Beispiel 3

Der Bau ist abgeschlossen.

Beispiel 4: Von einem Punkt, der auf einer gegebenen Linie liegt, müssen Sie eine Senkrechte zur gegebenen Linie zeichnen.

Konstruktion:

1. MA = MV. Wir haben bestimmte gleiche Segmente auf beiden Seiten eines bestimmten Punktes festgelegt.

2. Konstruieren Sie die Kreise Okr(A, r = AB) und Okr(B, r = AB). Diese Kreise schneiden sich in den Punkten P und Q.

3. PM - die gewünschte gerade Linie. Der Median PM ist gleichzeitig die Höhe im gleichschenkligen Dreieck RAB. .

Reis. 5. Lösung für Beispiel 4

Der Bau ist abgeschlossen.

Beispiel 5: Konstruieren Sie den Mittelpunkt dieses Segments. AB - Segment. Finden Sie einen Punkt O mit AO = OB.

Reis. 6.1. Bedingung für Beispiel 5

Konstruktion:

1. Konstruieren Sie die Kreise Okr(A, r = AB) und Okr(B, r = AB). Diese Kreise schneiden sich in den Punkten P und Q.

2. PQ schneidet AB im Punkt O, Punkt O ist der gewünschte, da PQ also eine Winkelhalbierende im gleichschenkligen Dreieck PAB ist. Daher ist PQ der Median.

Reis. 6.2. Lösung für Beispiel 5

1. Das erste Zeichen der Gleichheit der Dreiecke ().
2. Hilfeportal calc.ru ().

1. Nr. 99. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, Hrsg. Sadovnichego V.A. - M.: Bildung, 2010.

2. Vergrößern beliebiger Winkel um 25 %.

3. Konstruieren Sie den Winkel gleich der Summe(Differenzen) zweier in den Abbildungen gezeigter Winkel.

4. Beweisen Sie, dass zwei Seiten und der gegenüberliegende Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und dem gegenüberliegenden Winkel sind größere Seite zweites Dreieck, dann sind diese Dreiecke deckungsgleich.

Mit Hilfe von Grundkonstruktionen werden einige Probleme gelöst, die recht einfach sind und häufig bei der Lösung anderer, komplexerer Probleme auftreten. Solche Probleme gelten als elementar und Beschreibungen ihrer Lösung, sofern sie bei der Lösung komplexerer Probleme auftreten, werden nicht gegeben. Die Auswahl elementarer Probleme ist bedingt.

Das Konstruktionsproblem gilt als gelöst, wenn die Methode zur Konstruktion der Figur angegeben ist und nachgewiesen wird, dass durch die Durchführung der angegebenen Konstruktionen tatsächlich eine Figur mit den geforderten Eigenschaften entsteht.

Schauen wir uns einige grundlegende Konstruktionsprobleme an.

1. Konstruieren Sie auf einem gegebenen geraden Liniensegment CD, das einem gegebenen Segment AB entspricht

Die Möglichkeit einer solchen Konstruktion ergibt sich aus dem Axiom der Verzögerung eines Segments. Mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals wird wie folgt vorgegangen. Gegeben sei eine gerade Linie A und segmentieren AB. Wir markieren Punkt C auf der Geraden und konstruieren einen Kreis mit einem Radius von gleich dem Segment AB. Der Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden A bezeichnen D. Wir bekommen ein Segment CD, gleich AB.

2. Subtrahieren Sie von einer gegebenen Halblinie in eine gegebene Halbebene einen Winkel, der einem gegebenen Winkel entspricht.

Lassen Sie den angegebenen Winkel A und eine Halblinie mit einem Startpunkt UM. Zeichnen wir einen Kreis mit beliebigem Radius und einem Mittelpunkt am Scheitelpunkt A gegebenen Winkel (Abb. a). Bezeichnen wir die Schnittpunkte des Kreises mit den Seiten des Winkels IN und S. Radius AB Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt am Punkt UM(Abb. b). Bezeichnen wir den Schnittpunkt dieses Kreises mit einer gegebenen Halblinie IN". Beschreiben wir einen Kreis mit Mittelpunkt IN" und Radius Sonne. Der Schnittpunkt der konstruierten Kreise in der angegebenen Halbebene liegt auf der Seite des gewünschten Winkels.

Konstruierter Winkel Im „Betriebssystem“ gleich Winkel DU, da es sich um entsprechende Winkel handelt gleiche Dreiecke ABC Und Im „OS.

3. Finden Sie die Mitte des Segments.

Lassen AB - dieses Segment. Konstruieren wir zwei Kreise mit demselben Radius und Mittelpunkten A Und IN(Reis.). Sie schneiden sich in den Punkten C und C", die in unterschiedlichen Halbebenen relativ zur Geraden liegen AB. Machen wir eine direkte SS". Sie wird die Grenze überschreiten AB am Punkt UM. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Segments AB.

Tatsächlich Dreiecke CAC" Und SVS" auf drei Seiten gleich. Dies impliziert die Gleichheit der Winkel Ein CO Und SALZ. Also das Segment CO - Halbierende gleichschenkligen Dreiecks DIA und daher ist sein Median, d.h. Punkt UM - Mittelpunkt AB.

4. Konstruieren Sie die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels.

Von oben A eines gegebenen Winkels beschreiben wir einen Kreis mit beliebigem Radius vom Mittelpunkt aus (Abb.). Lassen IN und C sind die Schnittpunkte

mit den Seiten des Winkels. Aus Punkten B und C Wir beschreiben Kreise mit demselben Radius. Lassen IN - ihr Schnittpunkt anders als A. Dann die Halblinie JSC und ist die Winkelhalbierende A. Lass es uns beweisen. Betrachten Sie dazu Dreiecke ABD Und DIA Sie sind auf drei Seiten gleich. Dies impliziert die Gleichheit der entsprechenden Winkel TUPFEN Und DU, diese. Strahl ANZEIGE teilt den Winkel DU halbiert und ist daher eine Winkelhalbierende.

5. Zeichnen Sie durch einen bestimmten Punkt eine Linie senkrecht zur angegebenen Linie.

Lassen Sie den gegebenen Punkt UM und gerade A. Es gibt zwei mögliche Fälle:

1 Punkt UM liegt auf einer Geraden A;

2) Punkt UM liegt nicht auf einer geraden Linie A.

Im ersten Fall erfolgt die Konstruktion auf die gleiche Weise wie in Aufgabe 4, da die Senkrechte vom Punkt aus verläuft UM, auf einer Geraden liegend ist die Winkelhalbierende eines umgekehrten Winkels (Abb.).

Im zweiten Fall vom Punkt UM wie man einen Kreis vom Mittelpunkt aus zeichnet, der eine gerade Linie schneidet A(Abb.) und dann aus den Punkten A Und IN Wir zeichnen zwei weitere Kreise mit demselben Radius. Lassen UM" - Der Punkt ihres Schnittpunkts liegt in einer anderen Halbebene als der, in der der Punkt liegt UM. Gerade 00" und steht senkrecht auf der gegebenen Geraden A. Lass es uns beweisen.

Bezeichnen wir mit C den Schnittpunkt der Geraden AB Und 00". Dreiecke AOB Und AO"V auf drei Seiten gleich. Daher der Winkel OAS gleich Winkel O"AS und daher Dreiecke OAS Und O"AS auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen. Daher ihre Winkel ASO Und ASO" sind gleich. Und da die Winkel benachbart sind, sind sie rechte Winkel. Auf diese Weise, Betriebssystem ist senkrecht zur Geraden a.

6. Zeichnen Sie durch einen bestimmten Punkt eine Linie parallel zu diesem. Gegeben sei eine gerade Linie A und Punkt A außerhalb dieser Linie (Abb.). Nehmen wir es auf einer geraden Linie A Irgendwann IN und verbinde es mit einem Punkt A. Durch den Punkt A lasst uns eine direkte machen Mit, bilden mit AB den gleichen Winkel wie AB Formulare mit einer bestimmten Zeile A, aber weiter gegenüberliegende Seite aus AB. Die konstruierte Linie verläuft parallel zur Linie A, was sich aus der Gleichheit der Kreuzwinkel ergibt, die beim Schnitt gerader Linien entstehen a und c Sekante AB.

Übungen

1. Berechnen Sie mit einem Zirkel und einem Lineal die Summe und Differenz zweier Daten: a) Segmente; b) Winkel.

2. Teilen Sie diesen Winkel in 4 gleiche Teile.

3. Gegeben sei ein Dreieck ABC. Konstruieren Sie ein weiteres gleichwertiges Dreieck ABD.

4. Konstruieren Sie einen Kreis mit gegebenem Radius, der durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Jede der Abbildungen 82, a – d zeigt zwei Strahlen. In welcher der Figuren bildet ein Strahlenpaar einen Winkel, dessen Seiten diese Strahlen sind?

Da in den Abbildungen 82, a - b die Anfänge der Strahlen nicht zusammenfallen, können sie nicht als Seiten des Winkels dienen. Die Strahlen in Abbildung 82, d bilden eine gerade Linie. In diesem Fall fallen die Ursprünge der Strahlen zusammen und bilden daher einen Winkel. Dieser Winkel heißt erweitert.

Ein Winkel, dessen Seiten eine gerade Linie bilden, wird abgewickelt gezeichnet.

Winkel können wie Liniensegmente gemessen werden. Denken Sie daran, dass wir zum Messen von Segmenten verwendet haben Einheitssegment(1 mm, 1 cm usw.).

So etwas zur Winkelmessung haben wir allerdings noch nicht. Einheitswinkel.

Sie können es beispielsweise so erstellen. Teilen wir den entfalteten Winkel in 180 gleiche Winkel (Abb. 83). Der von zwei gebildete Winkel benachbarte Strahlen Als Maßeinheit wird gewählt. Sein Wert heißt Grad(vom lateinischen gradus – „Schritt“, „Schritt“) und schreiben Sie 1 °.

Dann Größe oder, wie man auch sagt, Gradmaß Der entwickelte Winkel beträgt 180°.

Zum Messen von Winkeln verwenden Sie spezielles Gerät − Winkelmesser(Abb. 84). Es besteht in der Regel aus einem Halbring, der mit einem Lineal verbunden ist. Seine Skala umfasst 180 Unterteilungen.

Um einen Winkel zu messen, richten Sie seinen Scheitelpunkt mit der Mitte des Winkelmessers aus, sodass eine der Seiten des Winkels entlang des Lineals verläuft (Abb. 85).

Dann zeigt der Strich auf der Skala, durch den die zweite Seite verläuft, den Grad (die Größe) dieses Winkels an.

Somit beträgt in Abbildung 85 das Maß des Winkels AOB 55°. Sie schreiben: ∠AOB = 55°. In Abbildung 86 gilt: ∠MON = 134 °.

Gleiche Winkel haben gleiche Grade. Von zwei ungleichen Winkeln betrachten wir denjenigen, dessen Gradmaß größer ist, als größer. Beispielsweise ist ∠MON von den drei in Abbildung 87 gezeigten Winkeln der größte. Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie die Winkel mit einem Winkelmesser messen.

Der Betrag des Winkels hat die folgende Eigenschaft.

Wenn ein Strahl BD zwischen den Seiten des Winkels ABC gezeichnet wird, dann ist das Gradmaß des Winkels ABC gleich der Summe der Gradmaße der Winkel ABD und DBC(Abb. 88), diese.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

Ein Winkel, dessen Gradmaß kleiner als 90° ist, wird als spitz bezeichnet(Abb. 89, a).

Ein Winkel, dessen Gradmaß 90° beträgt, wird rechter Winkel genannt(Abb. 89, b).

In der Abbildung wird ein rechter Winkel wie folgt bezeichnet: ∟.

Ein Winkel, dessen Gradmaß größer als 90°, aber kleiner als 180° ist, wird als stumpf bezeichnet.(Abb. 89, c).

Beachten Sie, dass die Winkelhalbierende einen umgekehrten Winkel in zwei Winkel teilt, deren Gradmaß jeweils 90° beträgt. Folglich teilt die Winkelhalbierende einen entwickelten Winkel in zwei rechte Winkel (Abb. 90).

Beispiel 1 . Der OA-Strahl ist gegeben. Konstruieren Sie den Winkel BOA gleich 72°.

Richten wir die Mitte des Winkelmessers am Punkt O aus, sodass der Strahl OA entlang des Lineals verläuft. Wählen wir einen Strich auf dem Winkelmesserring aus, der 72° entspricht. In der Nähe dieses Strichs markieren wir Punkt B (Abb. 91). Zeichnen wir einen Balken OB. Winkel BOA ist der gewünschte.

Wenn der Strahl OA gegeben ist und der Winkel BOA konstruiert wird, dann spricht man von Strahl OA Winkel zur Seite gelegt BOA.

Beispiel 2 . Vom Scheitelpunkt des Winkels ABC werden zwei Strahlen BK und BM gezeichnet, sodass ∠ABK = 48 °, ∠CBM = 72 ° (Abb. 92).

Berechnen Sie den Betrag des Winkels ABC, wenn ∠MBK = 16°.

Wir haben : ∠ABM = ∠ABK − ∠MBK, ∠ABM = 48° − 16° = 32°;

∠ABC = ∠ABM + ∠СBM, ∠ABC = 32° + 72° = 104°.

Antwort: 104°.

Ihre Essenz besteht darin, jedes geometrische Objekt auf der Grundlage ausreichender Anfangsbedingungen zu konstruieren und dabei nur einen Zirkel und ein Lineal zur Hand zu haben. Lassen Sie uns überlegen allgemeines Schema um folgende Aufgaben auszuführen:

Aufgabenanalyse.

In diesem Teil geht es darum, eine Verbindung zwischen den zu konstruierenden Elementen und den Anfangsbedingungen des Problems herzustellen. Nachdem wir diesen Punkt abgeschlossen haben, sollten wir einen Plan zur Lösung unseres Problems haben.

Konstruktion.

Hier führen wir den Bau nach dem oben erstellten Plan durch.

Nachweisen.

Hier beweisen wir, dass die von uns konstruierte Figur tatsächlich die Anfangsbedingungen des Problems erfüllt.

Studie.

Hier erfahren wir, unter welchen Daten das Problem eine Lösung hat, unter welchen es mehrere gibt und unter welchen keine.

Als nächstes betrachten wir Probleme bei der Konstruktion von Dreiecken aus verschiedenen drei Elementen. Hier werden wir nicht berücksichtigen elementare Konstruktionen, wie Segment, Winkel usw. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie bereits über diese Fähigkeiten verfügen.

Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen

Beispiel 1

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir zwei Seiten und einen Winkel zwischen diesen Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ sowie der Winkel $α$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ mit einem Winkel $C$ konstruieren, der gleich $α$ ist.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Nehmen wir $AB$ als eine der Seiten des Winkels und lassen davon den Winkel $BAM$ beiseite, gleich Winkel $α$.
2. Auf der Geraden $AM$ zeichnen wir die Strecke $AC$ ein.
3. Verbinden wir die Punkte $B$ und $C$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 1).

Nachweisen.

Studie.

Da die Winkelsumme eines Dreiecks $180^\circ$ beträgt. Das bedeutet, dass das Problem keine Lösungen hat, wenn der Winkel α größer oder gleich $180^\circ$ ist.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da die Gerade $a$ eine beliebige Gerade ist, wird es unendlich viele solcher Dreiecke geben. Da sie aber nach dem ersten Vorzeichen alle gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Ein Dreieck aus drei Seiten konstruieren

Beispiel 2

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir drei Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ und $BC$. Wir müssen das Dreieck $ABC$ konstruieren.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen wir eine gerade Linie $a$ und konstruieren darauf eine Strecke $AB$.
2. Konstruieren wir $2$-Kreise: den ersten mit Mittelpunkt $A$ und Radius $AC$ und den zweiten mit Mittelpunkt $B$ und Radius $BC$.
3. Verbinden wir einen der Schnittpunkte der Kreise (der Punkt $C$ sein wird) mit den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 2).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist klar, dass alles Anfangsbedingungen vollendet.

Studie.

Aus der Dreiecksungleichung wissen wir, dass jede Seite vorhanden sein muss weniger als der Betrag zwei andere. Wenn eine solche Ungleichung für die ursprünglichen drei Segmente nicht erfüllt ist, gibt es folglich keine Lösung für das Problem.

Da die Kreise aus der Konstruktion zwei Schnittpunkte haben, können wir zwei solcher Dreiecke konstruieren. Da sie jedoch nach dem dritten Kriterium gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Konstruieren eines Dreiecks aus einer Seite und zwei benachbarten Winkeln

Beispiel 3

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn uns eine Seite und die angrenzenden Winkel $α$ und $β$ gegeben sind.

Analyse.

Gegeben seien ein Segment $BC$ und die Winkel $α$ und $β$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ konstruieren, wobei $∠B=α$ und $∠C=β$.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen wir eine gerade Linie $a$ und konstruieren darauf eine Strecke $BC$.
2. Konstruieren wir einen Winkel $∠ K=α$ am Scheitelpunkt $B$ zur Seite $BC$.
3. Konstruieren wir einen Winkel $∠ M=β$ am Scheitelpunkt $C$ zur Seite $BC$.
4. Verbinden wir den Schnittpunkt (das wird Punkt $A$ sein) der Strahlen $∠ K$ und $∠ M$ mit den Punkten $C$ und $B$,

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 3).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion geht hervor, dass alle Ausgangsbedingungen erfüllt sind.

Studie.

Da die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich $180^\circ$ ist, hat das Problem keine Lösungen, wenn $α+β≥180^\circ$.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da wir Winkel von beiden Seiten konstruieren können, können wir zwei solcher Dreiecke konstruieren. Da sie jedoch nach dem zweiten Kriterium gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Bei Konstruktionsproblemen betrachten wir die Konstruktion geometrische Figur Dies kann mit einem Lineal und einem Zirkel erfolgen.

Mit einem Lineal können Sie:

beliebige Gerade;

eine beliebige gerade Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft;

eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht.

Mit einem Kompass können Sie beschreiben dieses Zentrums Kreis mit gegebenem Radius.

Mit einem Kompass können Sie von einem bestimmten Punkt aus ein Segment auf einer bestimmten Linie zeichnen.

Betrachten wir die wichtigsten Bauaufgaben.

Aufgabe 1. Konstruieren Sie ein Dreieck mit den gegebenen Seiten a, b, c (Abb. 1).

Lösung. Zeichnen Sie mit einem Lineal eine beliebige Gerade und nehmen Sie darauf einen beliebigen Punkt B. Mit einer Zirkelöffnung gleich a beschreiben wir einen Kreis mit Mittelpunkt B und Radius a. Sei C der Schnittpunkt mit der Geraden. Mit einer Kompassöffnung gleich c beschreiben wir einen Kreis vom Mittelpunkt B aus, und mit einer Kompassöffnung gleich b beschreiben wir einen Kreis vom Mittelpunkt C aus. Sei A der Schnittpunkt dieser Kreise. Dreieck ABC hat Seiten gleich a, b, c.

Kommentar. Damit drei gerade Segmente als Seiten eines Dreiecks dienen können, muss das größte davon kleiner sein als die Summe der beiden anderen (und< b + с).

Aufgabe 2.

Lösung. Dieser Winkel mit Scheitelpunkt A und dem Strahl OM ist in Abbildung 2 dargestellt.

Zeichnen wir einen beliebigen Kreis, dessen Mittelpunkt am Scheitelpunkt A des angegebenen Winkels liegt. Seien B und C die Schnittpunkte des Kreises mit den Seiten des Winkels (Abb. 3, a). Zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius AB und dem Mittelpunkt im Punkt O – Startpunkt dieses Balkens (Abb. 3, b). Bezeichnen wir den Schnittpunkt dieses Kreises mit diesem Strahl als C 1 . Beschreiben wir einen Kreis mit Mittelpunkt C 1 und Radius BC. Punkt B 1 des Schnittpunkts zweier Kreise liegt auf der Seite des gewünschten Winkels. Dies folgt aus der Gleichheit Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (das dritte Gleichheitszeichen der Dreiecke).

Aufgabe 3. Konstruieren Sie die Winkelhalbierende dieses Winkels (Abb. 4).

Lösung. Vom Scheitelpunkt A eines gegebenen Winkels sowie vom Mittelpunkt aus zeichnen wir einen Kreis mit beliebigem Radius. Seien B und C die Schnittpunkte mit den Seiten des Winkels. Von den Punkten B und C aus beschreiben wir Kreise mit demselben Radius. Sei D ihr Schnittpunkt, der sich von A unterscheidet. Der Strahl AD halbiert den Winkel A. Dies folgt aus der Gleichheit Δ ABD = Δ ACD (dem dritten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken).

Aufgabe 4. Zeichnen Sie eine Mittelsenkrechte zu diesem Segment (Abb. 5).

Lösung. Unter Verwendung einer beliebigen, aber identischen Kompassöffnung (größer als 1/2 AB) beschreiben wir zwei Bögen mit Mittelpunkten in den Punkten A und B, die sich an einigen Punkten C und D schneiden. Die gerade Linie CD ist die gewünschte Senkrechte. Tatsächlich ist, wie aus der Konstruktion hervorgeht, jeder der Punkte C und D gleich weit von A und B entfernt; daher müssen diese Punkte liegen Mittelsenkrechte um AB zu segmentieren.

Aufgabe 5. Teilen Sie dieses Segment in zwei Hälften. Die Lösung erfolgt auf die gleiche Weise wie Problem 4 (siehe Abb. 5).

Aufgabe 6. Zeichnen Sie durch einen gegebenen Punkt eine Linie senkrecht zur gegebenen Linie.

Lösung. Es gibt zwei mögliche Fälle:

1) angegebenen Punkt O liegt auf einer gegebenen Geraden a (Abb. 6).

Von Punkt O aus zeichnen wir beliebiger Radius ein Kreis, der die Gerade a an den Punkten A und B schneidet. Zeichnen Sie Kreise von den Punkten A und B mit demselben Radius. Der von O verschiedene Schnittpunkt sei O 1. Wir erhalten OO 1 ⊥ AB. Tatsächlich sind die Punkte O und O 1 von den Enden des Segments AB gleich weit entfernt und liegen daher auf der senkrechten Winkelhalbierenden zu diesem Segment.