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Gegeben sind die Mengen a und b. Operationen an Mengen. Methoden zur Angabe von Mengen

Der Artikel bietet eine detaillierte Erläuterung der Definitionen, der geometrischen Bedeutung der Ableitung mit grafischen Notationen. Die Gleichung einer Tangente wird anhand von Beispielen betrachtet, die Gleichungen einer Tangente an Kurven 2. Ordnung werden gefunden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b heißt Winkel α, der von der positiven Richtung der x-Achse zur Geraden y = k x + b in positiver Richtung gemessen wird.

In der Abbildung ist die x-Richtung durch einen grünen Pfeil und einen grünen Bogen und der Neigungswinkel durch einen roten Bogen gekennzeichnet. Die blaue Linie bezieht sich auf die gerade Linie.

Definition 2

Die Steigung der Geraden y = k x + b heißt numerischer Koeffizient k.

Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens der Geraden, also k = t g α.

Der Neigungswinkel einer Geraden ist nur dann gleich 0, wenn sie parallel zu x verläuft und die Steigung gleich Null ist, weil der Tangens von Null gleich 0 ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung die Form y = b hat.
Wenn der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b spitz ist, dann sind die Bedingungen 0 erfüllt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение Neigung k wird als positive Zahl betrachtet, da der Tangenswert die Bedingung t g α > 0 erfüllt und es zu einem Anstieg im Diagramm kommt.
Wenn α = π 2, dann ist der Ort der Linie senkrecht zu x. Gleichheit wird durch x = c angegeben, wobei der Wert c eine reelle Zahl ist.
Ist der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b stumpf, dann entspricht er den Bedingungen π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negative Bedeutung, und die Grafik nimmt ab.

Definition 3

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch 2 Punkte der Funktion f (x) verläuft. Mit anderen Worten: Eine Sekante ist eine gerade Linie, die durch zwei beliebige Punkte im Diagramm gezogen wird gegebene Funktion.

Die Abbildung zeigt, dass A B eine Sekante ist und f (x) eine schwarze Kurve ist. α ist ein roter Bogen, der den Neigungswinkel der Sekante angibt.

Wenn der Winkelkoeffizient einer Geraden gleich dem Tangens des Neigungswinkels ist, ist es klar, dass der Tangens eines rechtwinkligen Dreiecks A B C durch das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite ermittelt werden kann.

Definition 4

Wir erhalten eine Formel zum Finden einer Sekante der Form:

k = t g α = B C A C = f (x B) – f x A x B – x A, wobei die Abszissen der Punkte A und B die Werte x A, x B und f (x A), f (x) sind B) sind die Wertefunktionen an diesen Punkten.

Offensichtlich wird der Winkelkoeffizient der Sekante anhand der Gleichheit k = f (x B) – f (x A) x B – x A oder k = f (x A) – f (x B) x A – x B bestimmt , und die Gleichung muss geschrieben werden als y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oder
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Die Sekante teilt den Graphen visuell in drei Teile: links von Punkt A, von A nach B, rechts von B. Die folgende Abbildung zeigt, dass es drei Sekanten gibt, die als zusammenfallend gelten, das heißt, sie werden mit a festgelegt ähnliche Gleichung.

Per Definition ist klar, dass eine Gerade und ihre Sekante in in diesem Fall zusammenpassen.

Eine Sekante kann den Graphen einer bestimmten Funktion mehrmals schneiden. Wenn es für eine Sekante eine Gleichung der Form y = 0 gibt, dann ist die Anzahl der Schnittpunkte mit der Sinuskurve unendlich.

Definition 5

Tangente an den Graphen der Funktion f (x) am Punkt x 0 ; f (x 0) ist eine gerade Linie, die durch einen gegebenen Punkt x 0 verläuft; f (x 0), mit dem Vorhandensein eines Segments, das viele x-Werte nahe bei x 0 hat.

Beispiel 1

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an. Dann ist klar, dass die durch die Funktion y = x + 1 definierte Linie als Tangente an y = 2 x am Punkt mit den Koordinaten (1; 2) betrachtet wird. Aus Gründen der Übersichtlichkeit müssen Diagramme mit Werten nahe (1; 2) berücksichtigt werden. Die Funktion y = 2 x ist schwarz dargestellt, die blaue Linie ist die Tangente und der rote Punkt ist der Schnittpunkt.

Offensichtlich verschmilzt y = 2 x mit der Geraden y = x + 1.

Um die Tangente zu bestimmen, sollten wir das Verhalten der Tangente A B berücksichtigen, wenn sich Punkt B Punkt A unendlich nähert. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Zeichnung.

Die durch die blaue Linie angezeigte Sekante A B neigt zur Position der Tangente selbst, und der Neigungswinkel der Sekante α beginnt sich zum Neigungswinkel der Tangente selbst α x zu neigen.

Definition 6

Die Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt A wird als Grenzposition der Sekante A B angesehen, da B nach A tendiert, also B → A.

Betrachten wir nun die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Betrachten wir nun die Sekante A B für die Funktion f (x), wobei A und B mit den Koordinaten x 0, f (x 0) und x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) und ∆ x ist wird als Inkrement des Arguments bezeichnet. Jetzt nimmt die Funktion die Form an ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel einer Zeichnung.

Betrachten wir das Ergebnis rechtwinkliges Dreieck A B C. Wir verwenden zur Lösung die Definition der Tangente, das heißt, wir erhalten die Beziehung ∆ y ∆ x = t g α . Aus der Definition einer Tangente folgt, dass lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Nach der Regel der Ableitung an einem Punkt gilt, dass die Ableitung f (x) am Punkt x 0 als Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bezeichnet wird, wobei ∆ x → 0 , dann bezeichnen wir es als f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Daraus folgt, dass f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, wobei k x als Steigung der Tangente bezeichnet wird.

Das heißt, wir erhalten, dass f ’ (x) am Punkt x 0 existieren kann und wie die Tangente an vorgegebenen Zeitplan Funktion am Tangentenpunkt gleich x 0, f 0 (x 0), wobei der Wert der Steigung der Tangente am Punkt gleich der Ableitung am Punkt x 0 ist. Dann erhalten wir k x = f " (x 0) .

Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt besteht darin, dass sie das Konzept der Existenz einer Tangente an den Graphen am selben Punkt liefert.

Um die Gleichung einer Geraden auf einer Ebene aufzustellen, ist es notwendig, einen Winkelkoeffizienten mit dem Punkt zu haben, durch den sie verläuft. Seine Notation wird als x 0 am Schnittpunkt angenommen.

Die Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt x 0, f 0 (x 0) hat die Form y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Gemeint ist das Endwert Ableitung f "(x 0) Sie können die Position der Tangente bestimmen, also vertikal unter der Bedingung lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ und lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ oder Abwesenheit überhaupt mit Bedingung lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Die Lage der Tangente hängt vom Wert ihres Winkelkoeffizienten k x = f "(x 0) ab. Wenn parallel zur o x-Achse, erhalten wir k k = 0, wenn parallel zu o y - k x = ∞ und die Form der Die Tangentengleichung x = x 0 steigt mit k x > 0 und nimmt mit k x ab< 0 .

Beispiel 2

Stellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 am Punkt mit den Koordinaten (1; 3) auf und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung haben wir, dass die Funktion für alle definiert ist reale Nummern. Wir stellen fest, dass der Punkt mit den durch die Bedingung (1; 3) angegebenen Koordinaten ein Tangentialpunkt ist, dann ist x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Es ist notwendig, die Ableitung am Punkt mit dem Wert - 1 zu finden. Wir verstehen das

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Der Wert von f' (x) am Tangentialpunkt ist die Steigung der Tangente, die gleich der Tangente der Steigung ist.

Dann ist k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Daraus folgt, dass α x = a r c t g 3 3 = π 6

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel in einer grafischen Darstellung.

Für den Graphen der Originalfunktion wird die Farbe Schwarz verwendet. blaue Farbe– Bild einer Tangente, roter Punkt – Tangentenpunkt. Die Abbildung rechts zeigt eine vergrößerte Ansicht.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Existenz einer Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion
y = 3 · x - 1 5 + 1 am Punkt mit den Koordinaten (1 ; 1) . Schreiben Sie eine Gleichung und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung gilt, dass der Definitionsbereich einer gegebenen Funktion die Menge aller reellen Zahlen ist.

Fahren wir mit der Suche nach der Ableitung fort

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Wenn x 0 = 1, dann ist f' (x) undefiniert, aber die Grenzen werden als lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 geschrieben · 1 + 0 = + ∞ und lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , was bedeutet Existenz vertikale Tangente am Punkt (1; 1).

Antwort: Die Gleichung hat die Form x = 1, wobei der Neigungswinkel gleich π 2 ist.

Der Übersichtlichkeit halber stellen wir es grafisch dar.

Beispiel 4

Finden Sie die Punkte im Diagramm der Funktion y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, wobei

Es gibt keine Tangente;
Die Tangente ist parallel zu x;
Die Tangente verläuft parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4.

Lösung

Dabei ist auf den Geltungsbereich der Definition zu achten. Als Bedingung gilt, dass die Funktion auf der Menge aller reellen Zahlen definiert ist. Wir erweitern das Modul und lösen das System mit Intervallen x ∈ - ∞ ; 2 und [ - 2 ; + ∞) . Wir verstehen das

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Es ist notwendig, die Funktion zu differenzieren. Wir haben das

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Wenn x = − 2, dann existiert die Ableitung nicht, weil die einseitigen Grenzen an diesem Punkt nicht gleich sind:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Wir berechnen den Wert der Funktion am Punkt x = - 2, wo wir ihn erhalten

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, also die Tangente am Punkt ( - 2; - 2) wird nicht existieren.
Die Tangente ist parallel zu x, wenn die Steigung Null ist. Dann k x = t g α x = f "(x 0). Das heißt, es ist notwendig, die Werte eines solchen x zu finden, wenn die Ableitung der Funktion es auf Null dreht. Das heißt, die Werte von f ' (x) sind die Tangentialpunkte, bei denen die Tangente parallel zu x verläuft.

Wenn x ∈ - ∞ ; - 2, dann - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, und für x ∈ (- 2; + ∞) erhalten wir 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Berechnen Sie die entsprechenden Funktionswerte

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Daher - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 gelten als erforderliche Punkte des Funktionsgraphen.

Lassen Sie uns überlegen grafisches Bild Lösungen.

Die schwarze Linie ist der Graph der Funktion, die roten Punkte sind die Tangentialpunkte.

Wenn die Linien parallel sind, sind die Winkelkoeffizienten gleich. Dann ist es notwendig, im Funktionsgraphen nach Punkten zu suchen, an denen die Steigung dem Wert 8 5 entspricht. Dazu müssen Sie eine Gleichung der Form y "(x) = 8 5 lösen. Wenn x ∈ - ∞; - 2 ist, erhalten wir - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, und wenn x ∈ ( - 2 ; + ∞), dann 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, da die Diskriminante kleiner als Null ist. Schreiben wir das auf

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Eine andere Gleichung hat zwei echte Wurzeln, Dann

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Fahren wir mit der Ermittlung der Werte der Funktion fort. Wir verstehen das

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkte mit Werten - 1; 4 15, 5; 8 3 sind die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4 verlaufen.

Antwort: schwarze Linie – Graph der Funktion, rote Linie – Graph von y = 8 5 x + 4, blaue Linie – Tangenten an Punkten - 1; 4 15, 5; 8 3.

Für gegebene Funktionen kann es unendlich viele Tangenten geben.

Beispiel 5

Schreiben Sie die Gleichungen aller verfügbaren Tangenten der Funktion y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, die senkrecht zur Geraden y = - 2 x + 1 2 stehen.

Lösung

Um die Tangentengleichung zu erstellen, müssen der Koeffizient und die Koordinaten des Tangentenpunkts basierend auf der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien ermittelt werden. Die Definition lautet wie folgt: Das Produkt der Winkelkoeffizienten, die senkrecht zu Geraden stehen, ist gleich - 1, also geschrieben als k x · k ⊥ = - 1. Aus der Bedingung folgt, dass der Winkelkoeffizient senkrecht zur Geraden steht und gleich k ⊥ = - 2 ist, dann gilt k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Jetzt müssen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte ermitteln. Sie müssen x und dann seinen Wert für eine bestimmte Funktion finden. Beachten Sie, dass aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung am Punkt
x 0 erhalten wir, dass k x = y "(x 0). Aus dieser Gleichheit ermitteln wir die Werte von x für die Kontaktpunkte.

Wir verstehen das

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Das trigonometrische Gleichung wird zur Berechnung der Ordinaten der Tangentenpunkte verwendet.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk oder x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ist eine Menge von ganzen Zahlen.

Es wurden x Berührungspunkte gefunden. Jetzt müssen Sie mit der Suche nach den Werten von y fortfahren:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 oder y 0 = - 4 5 + 1 3

Daraus erhalten wir, dass 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sind die Tangentenpunkte.

Antwort: Die notwendigen Gleichungen werden geschrieben als

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Betrachten Sie für eine visuelle Darstellung eine Funktion und eine Tangente an einer Koordinatenlinie.

Die Abbildung zeigt den Standort Funktionen kommen im Intervall [ - 10 ; 10 ], wobei die schwarze Linie der Graph der Funktion ist, die blauen Linien sind Tangenten, die senkrecht zur gegebenen Linie der Form y = - 2 x + 1 2 liegen. Rote Punkte sind Berührungspunkte.

Die kanonischen Gleichungen von Kurven 2. Ordnung sind keine einwertigen Funktionen. Tangentengleichungen für sie werden nach bekannten Schemata erstellt.

Tangente an einen Kreis

So definieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt x c e n t e r ; y-Mittelpunkt und Radius R, wenden Sie die Formel x - x-Mittelpunkt 2 + y - y-Mittelpunkt 2 = R 2 an.

Diese Gleichheit kann als Vereinigung zweier Funktionen geschrieben werden:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Die erste Funktion befindet sich oben und die zweite unten, wie in der Abbildung dargestellt.

Um die Gleichung eines Kreises am Punkt x 0 aufzustellen; y 0 , das sich im oberen oder unteren Halbkreis befindet, sollten Sie die Gleichung des Graphen einer Funktion der Form y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r oder y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + finden Y-Mittelpunkt am angegebenen Punkt.

Wenn an Punkten x c e n t e r ; y c e n t e r + R und x c e n t e r ; y c e n t e r - R Tangenten können durch die Gleichungen y = y c e n t e r + R und y = y c e n t e r - R und an den Punkten x c e n t e r + R angegeben werden; y c e n t e r und
x c e n t e r - R ; y c e n t e r parallel zu o y sein wird, dann erhalten wir Gleichungen der Form x = x c e n t e r + R und x = x c e n t e r - R .

Tangente an eine Ellipse

Wenn die Ellipse einen Mittelpunkt bei x c e n t e r hat; y c e n t e r mit den Halbachsen a und b, dann kann es mit der Gleichung x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 angegeben werden.

Eine Ellipse und ein Kreis können durch die Kombination zweier Funktionen, nämlich der oberen und unteren Halbellipse, bezeichnet werden. Dann verstehen wir das

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Liegen die Tangenten an den Eckpunkten der Ellipse, dann sind sie parallel um x oder um y. Betrachten Sie im Folgenden zur Verdeutlichung die Abbildung.

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 an Punkten mit Werten von x gleich x = 2.

Lösung

Es müssen die Tangentenpunkte gefunden werden, die dem Wert x = 2 entsprechen. Wir setzen es in die bestehende Gleichung der Ellipse ein und finden das

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Dann 2 ; 5 3 2 + 5 und 2; - 5 3 2 + 5 sind die Tangentenpunkte, die zur oberen und unteren Halbellipse gehören.

Fahren wir mit dem Finden und Lösen der Gleichung der Ellipse in Bezug auf y fort. Wir verstehen das

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Offensichtlich wird die obere Halbellipse durch eine Funktion der Form y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 und die untere Halbellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 angegeben.

Wenden wir einen Standardalgorithmus an, um eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt zu erstellen. Schreiben wir, dass die Gleichung für die erste Tangente an Punkt 2; 5 3 2 + 5 wird aussehen

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Wir finden die Gleichung der zweiten Tangente mit einem Wert am Punkt
2 ; - 5 3 2 + 5 nimmt die Form an

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisch werden Tangenten wie folgt bezeichnet:

Tangente an die Übertreibung

Wenn eine Hyperbel ein Zentrum bei x c e n t e r hat; y c e n t e r und Eckpunkte x c e n t e r + α ; y c e n t e r und x c e n t e r - α ; y c e n t e r , die Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 liegt vor, wenn mit Eckpunkten x c e n t e r ; y c e n t e r + b und x c e n t e r ; y c e n t e r - b , wird dann unter Verwendung der Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 angegeben.

Eine Hyperbel kann als zwei kombinierte Funktionen der Form dargestellt werden

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r oder y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Im ersten Fall sind die Tangenten parallel zu y, im zweiten Fall parallel zu x.

Daraus folgt, dass man, um die Gleichung der Tangente an eine Hyperbel zu finden, herausfinden muss, zu welcher Funktion der Tangentenpunkt gehört. Um dies zu ermitteln, ist es notwendig, in die Gleichungen einzusetzen und auf Identität zu prüfen.

Beispiel 7

Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an die Hyperbel x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 an Punkt 7; - 3 3 - 3 .

Lösung

Es ist notwendig, den Lösungsdatensatz zum Finden einer Hyperbel mithilfe von 2 Funktionen zu transformieren. Wir verstehen das

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 und y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es muss festgestellt werden, zu welcher Funktion es gehört Sollwert mit Koordinaten 7; - 3 3 - 3 .

Offensichtlich ist es zur Überprüfung der ersten Funktion notwendig y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, dann gehört der Punkt nicht zum Graphen, da die Gleichheit nicht gilt.

Für die zweite Funktion gilt y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, was bedeutet, dass der Punkt zum gegebenen Graphen gehört. Von hier aus sollten Sie den Hang finden.

Wir verstehen das

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Antwort: Die Tangentengleichung kann dargestellt werden als:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Es wird deutlich so dargestellt:

Tangente an eine Parabel

Um eine Gleichung für die Tangente an die Parabel y = a x 2 + b x + c am Punkt x 0, y (x 0) zu erstellen, müssen Sie einen Standardalgorithmus verwenden, dann nimmt die Gleichung die Form y = y "(x) an 0) x - x 0 + y ( x 0).Eine solche Tangente am Scheitelpunkt ist parallel zu x.

Sie sollten die Parabel x = a y 2 + b y + c als Vereinigung zweier Funktionen definieren. Daher müssen wir die Gleichung nach y lösen. Wir verstehen das

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafisch dargestellt als:

Um herauszufinden, ob ein Punkt x 0, y (x 0) zu einer Funktion gehört, gehen Sie vorsichtig nach dem Standardalgorithmus vor. Eine solche Tangente verläuft parallel zu o y relativ zur Parabel.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen x - 2 y 2 - 5 y + 3, wenn wir einen Tangentenwinkel von 150° haben.

Lösung

Wir beginnen die Lösung, indem wir die Parabel als zwei Funktionen darstellen. Wir verstehen das

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Der Wert der Steigung ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt x 0 dieser Funktion und gleich dem Tangens des Neigungswinkels.

Wir bekommen:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Von hier aus bestimmen wir den x-Wert für die Kontaktpunkte.

Die erste Funktion wird geschrieben als

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Es ist klar, dass echte Wurzeln Nein, denn wir haben einen negativen Wert erhalten. Wir schließen daraus, dass es für eine solche Funktion keine Tangente mit einem Winkel von 150° gibt.

Die zweite Funktion wird geschrieben als

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Wir wissen, dass es 23 4 Berührungspunkte gibt; - 5 + 3 4 .

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lassen Sie es uns grafisch so darstellen:

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In diesem Artikel werden wir alle Arten von Problemen analysieren, die es zu finden gilt

Lass uns erinnern geometrische Bedeutung Derivat: Wenn an einem Punkt eine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen wird, dann ist der Steigungskoeffizient der Tangente ( gleich Tangente Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse) ist gleich der Ableitung der Funktion am Punkt.

Nehmen wir es tangential beliebiger Punkt mit Koordinaten:

Und betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck:

In diesem Dreieck

Von hier

Dies ist die Gleichung der Tangente, die am Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

Um die Tangentengleichung zu schreiben, müssen wir nur die Funktionsgleichung und den Punkt kennen, an dem die Tangente gezogen wird. Dann können wir finden und .

Es gibt drei Haupttypen von Tangentengleichungsproblemen.

1. Einen Ansprechpartner angeben

2. Gegeben ist der Tangentensteigungskoeffizient, also der Wert der Ableitung der Funktion am Punkt.

3. Gegeben sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Tangente gezogen wird, der aber nicht der Tangentialpunkt ist.

Schauen wir uns jede Art von Aufgabe an.

1 . Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen am Punkt .

b) Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln

Setzen wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung ein:

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Antwort: .

2. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Funktionen den Graphen tangieren parallel zur x-Achse.

Wenn die Tangente parallel zur x-Achse ist, ergibt sich daraus der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse gleich Null, daher ist der Tangens des Tangentenwinkels Null. Dies bedeutet, dass der Wert der Ableitung der Funktion ist an den Berührungspunkten ist Null.

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion .

b) Setzen wir die Ableitung mit Null gleich und ermitteln die Werte, bei denen die Tangente parallel zur Achse verläuft:

Wenn wir jeden Faktor mit Null gleichsetzen, erhalten wir:

Antwort: 0;3;5

3. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an den Graphen einer Funktion , parallel gerade .

Eine Tangente ist parallel zu einer Geraden. Die Steigung dieser Linie beträgt -1. Da die Tangente parallel zu dieser Linie verläuft, beträgt die Steigung der Tangente ebenfalls -1. Also Wir kennen die Steigung der Tangente, und dadurch, Ableitungswert am Tangentialpunkt.

Dies ist die zweite Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden.

Wir erhalten also die Funktion und den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt.

a) Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich -1 ist.

Finden wir zunächst die Ableitungsgleichung.

Setzen wir die Ableitung mit der Zahl -1 gleich.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung)

b) Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung).

Setzen wir diese Werte in die Tangentengleichung ein:

Antwort:

4 . Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve , durch einen Punkt gehen

Überprüfen wir zunächst, ob der Punkt ein Tangentenpunkt ist. Wenn ein Punkt ein Tangentenpunkt ist, dann gehört er zum Graphen der Funktion und seine Koordinaten müssen die Gleichung der Funktion erfüllen. Setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} eine negative Zahl, die Gleichheit ist nicht wahr und der Punkt gehört nicht zum Graphen der Funktion und ist kein Ansprechpartner.

Dies ist die letzte Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden. Erste Sache Wir müssen die Abszisse des Tangentenpunkts finden.

Finden wir den Wert.

Seien Sie der Ansprechpartner. Der Punkt gehört zur Tangente an den Funktionsgraphen. Wenn wir die Koordinaten dieses Punktes in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichung: