So lösen Sie eine homogene Gleichung ersten Grades. Trigonometrische Gleichungen. Der umfassende Leitfaden (2019). Wir verwenden die Formel der trigonometrischen Hauptidentität und schreiben die endgültige Lösung auf
Heute werden wir homogene trigonometrische Gleichungen untersuchen. Schauen wir uns zunächst die Terminologie an: Was ist eine homogene trigonometrische Gleichung? Es weist folgende Eigenschaften auf:
- es muss mehrere Begriffe enthalten;
- alle Begriffe müssen den gleichen Grad haben;
- Alle in einer homogenen trigonometrischen Identität enthaltenen Funktionen müssen notwendigerweise das gleiche Argument haben.
Lösungsalgorithmus
Wählen wir die Begriffe aus
Und wenn mit dem ersten Punkt alles klar ist, lohnt es sich, ausführlicher auf den zweiten Punkt einzugehen. Was heißt gleichen Abschluss Bedingungen? Schauen wir uns das erste Problem an:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Der erste Term in dieser Gleichung ist 3cosx 3\cos x. Bitte beachten Sie, dass es hier nur eine trigonometrische Funktion gibt - cosx\cos x - und hier sind keine anderen trigonometrischen Funktionen vorhanden, daher ist der Grad dieses Termes 1. Das Gleiche gilt für die zweite - 5sinx 5\sin x - hier kommt nur der Sinus vor, d. h. der Grad dieses Termes ist ebenfalls gleich Eins. Wir haben also eine Identität vor uns, die aus zwei Elementen besteht, von denen jedes eine trigonometrische Funktion enthält, und zwar nur eines. Dies ist eine Gleichung ersten Grades.
Kommen wir zum zweiten Ausdruck:
4Sünde2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Das erste Mitglied dieser Konstruktion ist 4Sünde2 X 4((\sin )^(2))x.
Jetzt können wir die folgende Lösung schreiben:
Sünde2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
Mit anderen Worten: Der erste Term enthält zwei trigonometrische Funktionen, d. h. sein Grad ist gleich zwei. Befassen wir uns mit dem zweiten Element – sin2x\sin 2x. Erinnern wir uns an diese Formel – die Formel Doppelwinkel:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
Und wieder haben wir in der resultierenden Formel zwei trigonometrische Funktionen – Sinus und Cosinus. Somit ist auch der Potenzwert dieses Konstruktionsterms gleich zwei.
Kommen wir zum dritten Element – 3. Aus dem Mathematikkurs weiterführende Schule Wir erinnern uns, dass jede Zahl mit 1 multipliziert werden kann, also schreiben wir sie auf:
˜ 3=3⋅1
Eine Einheit, die das Hauptgerät nutzt trigonometrische Identität kann in folgender Form geschrieben werden:
1=Sünde2 x⋅ cos2 X
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
Daher können wir 3 wie folgt umschreiben:
3=3(Sünde2 x⋅ cos2 X)=3Sünde2 x+3 cos2 X
3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Somit ist unser Term 3 in zwei Elemente unterteilt, von denen jedes homogen ist und einen zweiten Grad hat. Der Sinus im ersten Term kommt zweimal vor, der Cosinus im zweiten kommt ebenfalls zweimal vor. Somit kann 3 auch als Term mit einem Potenzexponenten von zwei dargestellt werden.
Das Gleiche gilt für den dritten Ausdruck:
Sünde3 x+ Sünde2 xcosx=2 cos3 X
Werfen wir einen Blick darauf. Der erste Begriff ist Sünde3 X((\sin )^(3))x ist eine trigonometrische Funktion dritten Grades. Zweites Element - Sünde2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.
Sünde2 ((\sin )^(2)) ist eine Verknüpfung mit dem Potenzwert zwei multipliziert mit cosx\cos x ist der erste Term. Insgesamt hat auch der dritte Term einen Potenzwert von drei. Schließlich gibt es rechts noch einen weiteren Link - 2cos3 X 2((\cos )^(3))x ist ein Element dritten Grades. Wir haben also eine homogene trigonometrische Gleichung dritten Grades vor uns.
Wir haben drei Identitäten aufgeschrieben verschiedene Grade. Achten Sie noch einmal auf den zweiten Ausdruck. Im Originaldatensatz hat eines der Mitglieder ein Argument 2x 2x. Wir sind gezwungen, dieses Argument loszuwerden, indem wir es mithilfe der Doppelwinkelsinusformel umwandeln, da alle in unserer Identität enthaltenen Funktionen notwendigerweise das gleiche Argument haben müssen. Und das ist eine Voraussetzung für homogene trigonometrische Gleichungen.
Wir verwenden die Formel der trigonometrischen Hauptidentität und schreiben die endgültige Lösung auf
Wir haben die Bedingungen verstanden, kommen wir zur Lösung. Unabhängig vom Potenzexponenten erfolgt die Lösung derartiger Gleichungen immer in zwei Schritten:
1) beweisen Sie das
cosx≠0
\cos x\ne 0. Dazu genügt es, sich an die Formel der trigonometrischen Hauptidentität zu erinnern (Sünde2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) und setze es in diese Formel ein cosx=0\cos x=0. Wir erhalten den folgenden Ausdruck:
Sünde2 x=1sinx=±1
\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)
Ersetzen der erhaltenen Werte, d.h. statt cosx\cos x ist Null, und stattdessen sinx\sin x – 1 oder -1, in ursprünglicher Ausdruck, wir werden falsch liegen numerische Gleichheit. Das ist die Begründung dafür
cosx≠0
2) Der zweite Schritt folgt logisch aus dem ersten. Weil das
cosx≠0
\cos x\ne 0, wir teilen unsere beiden Seiten der Struktur durch cosN X((\cos )^(n))x, wobei N n – das ist es Potenzexponent homogene trigonometrische Gleichung. Was bringt uns das:
\[\begin(array)(·(35)(l))
sinxcosx=tgxcosxcosx=1
\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(array)\]
Dadurch reduziert sich unsere umständliche Anfangskonstruktion auf die Gleichung N n-Grad bezüglich der Tangente, deren Lösung leicht durch eine Änderung der Variablen geschrieben werden kann. Das ist der ganze Algorithmus. Mal sehen, wie es in der Praxis funktioniert.
Wir lösen echte Probleme
Aufgabe Nr. 1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Wir haben bereits herausgefunden, dass es sich um eine homogene trigonometrische Gleichung mit einem Potenzexponenten gleich eins handelt. Deshalb lasst uns das zunächst einmal herausfinden cosx≠0\cos x\ne 0. Nehmen wir das Gegenteil an, dass
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Setzen wir den resultierenden Wert in unseren Ausdruck ein, erhalten wir:
3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0
\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)
Auf dieser Grundlage können wir das sagen cosx≠0\cos x\ne 0. Teilen Sie unsere Gleichung durch cosx\cos x, weil unser gesamter Ausdruck einen Potenzwert hat, gleich eins. Wir bekommen:
3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)
Es ist nicht Tabellenwert, also wird die Antwort enthalten arctgx arctgx:
x=Bogen (−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Weil das arctg arctg arctg ist eine ungerade Funktion, wir können das „Minus“ aus dem Argument herausnehmen und es vor arctg setzen. Wir erhalten die endgültige Antwort:
x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Aufgabe Nr. 2
4Sünde2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Wie Sie sich erinnern, müssen Sie einige Transformationen durchführen, bevor Sie mit der Lösung beginnen. Wir führen die Transformationen durch:
4Sünde2 x+2sinxcosx−3 (Sünde2 x+ cos2 X)=0 4Sünde2 x+2sinxcosx−3 Sünde2 x−3 cos2 x=0Sünde2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (ausrichten)
Wir erhielten eine Struktur bestehend aus drei Elementen. Im ersten Semester sehen wir Sünde2 ((\sin )^(2)), d. h. sein Potenzwert ist zwei. Im zweiten Term sehen wir sinx\sin x und cosx\cos x - wieder gibt es zwei Funktionen, sie werden multipliziert, sodass der Gesamtgrad wieder zwei ist. Im dritten Link sehen wir cos2 X((\cos )^(2))x – ähnlich dem ersten Wert.
Lasst uns das beweisen cosx=0\cos x=0 ist keine Lösung für diese Konstruktion. Nehmen wir dazu das Gegenteil an:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]
Das haben wir bewiesen cosx=0\cos x=0 kann keine Lösung sein. Fahren wir mit dem zweiten Schritt fort – dividieren Sie unseren gesamten Ausdruck durch cos2 X((\cos )^(2))x. Warum quadriert? Weil der Potenzexponent davon homogene Gleichung gleich zwei:
Sünde2 Xcos2 X+2sinxcosxcos2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)
Kann man entscheiden dieser Ausdruck eine Diskriminante verwenden? Natürlich kannst du. Aber ich schlage vor, mich an den Satz zu erinnern: Umkehrung des Satzes Vieta und das kriegen wir hin gegebenes Polynom Stellen wir es uns als zwei vor einfache Polynome, nämlich:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)
Viele Studenten fragen sich, ob es sich lohnt, für jede Gruppe von Identitätslösungen separate Koeffizienten zu schreiben, oder ob man sich nicht die Mühe macht und überall die gleichen Koeffizienten schreibt. Persönlich denke ich, dass es besser und zuverlässiger zu verwenden ist verschiedene Buchstaben damit Sie im Ernstfall einsteigen Technische Universität Mit zusätzliche Tests in Mathematik konnten die Prüfer die Antwort nicht bemängeln.
Aufgabe Nr. 3
Sünde3 x+ Sünde2 xcosx=2 cos3 X
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
Wir wissen bereits, dass es sich um eine homogene trigonometrische Gleichung dritten Grades handelt, es sind keine speziellen Formeln erforderlich und wir müssen lediglich den Term verschieben 2cos3 X 2((\cos )^(3))x nach links. Lassen Sie uns umschreiben:
Sünde3 x+ Sünde2 xcosx−2 cos3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
Wir sehen, dass jedes Element drei trigonometrische Funktionen enthält, daher hat diese Gleichung einen Potenzwert von drei. Lass es uns lösen. Das müssen wir zunächst beweisen cosx=0\cos x=0 ist keine Wurzel:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]
Setzen wir diese Zahlen in unsere ursprüngliche Konstruktion ein:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0
\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)
Somit, cosx=0\cos x=0 ist keine Lösung. Das haben wir bewiesen cosx≠0\cos x\ne 0. Nachdem wir dies nun bewiesen haben, teilen wir unsere ursprüngliche Gleichung durch cos3 X((\cos )^(3))x. Warum in einem Würfel? Weil wir gerade bewiesen haben, dass unsere ursprüngliche Gleichung eine dritte Potenz hat:
Sünde3 Xcos3 X+Sünde2 xcosxcos3 X−2=0 T G3 x+t G2 x−2=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)
Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:
tgx=t
Schreiben wir die Konstruktion um:
T3 +T2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Vor uns kubische Gleichung. Wie man es löst? Als ich gerade dieses Video-Tutorial zusammenstellte, wollte ich zunächst über die Faktorisierung von Polynomen und andere Techniken sprechen. Aber in in diesem Fall alles ist viel einfacher. Schauen Sie sich unsere gegebene Identität an, wobei der Term mit dem höchsten Grad den Wert 1 hat. Darüber hinaus sind alle Koeffizienten ganze Zahlen. Das bedeutet, dass wir eine Folgerung aus dem Satz von Bezout verwenden können, der besagt, dass alle Wurzeln Teiler der Zahl -2 sind, also des freien Termes.
Es stellt sich die Frage: Durch was ist -2 dividiert? Da 2 eine Primzahl ist, gibt es nicht viele Möglichkeiten. Es kann sein die folgenden Zahlen: 1; 2; -1; -2. Negative Wurzeln verschwinden sofort. Warum? Weil also beide im absoluten Wert größer als 0 sind T3 ((t)^(3)) wird im Modul größer sein als T2 ((t)^(2)). Und da der Würfel eine ungerade Funktion ist, ist die Zahl im Würfel negativ und T2 ((t)^(2)) - positiv, und diese ganze Konstruktion, mit t=−1 t=-1 und t=−2 t=-2, wird nicht größer als 0 sein. Subtrahieren Sie -2 davon und erhalten Sie eine Zahl, die mit Sicherheit kleiner als 0 ist. Es bleiben nur 1 und 2 übrig. Ersetzen wir jede dieser Zahlen:
˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Somit, t=1 t=1 ist die Wurzel.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\bis 8+4-2=0\bis 10\ne 0
t=2 t=2 ist keine Wurzel.
Nach der Folgerung und dem gleichen Satz von Bezout ist jedes Polynom, dessen Wurzel ist X0 ((x)_(0)), stellen Sie es in der Form dar:
Q(x)=(x= X0 )P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
In unserem Fall in der Rolle X x fungiert als Variable T t, und in der Rolle X0 ((x)_(0)) ist eine Wurzel gleich 1. Wir erhalten:
T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
So finden Sie ein Polynom P (T) P\left(t\right)? Offensichtlich müssen Sie Folgendes tun:
P(t)= T3 +T2 −2 t−1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Ersetzen wir:
T3 +T2 +0⋅t−2t−1=T2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Unser ursprüngliches Polynom wird also ohne Rest dividiert. Somit können wir unsere ursprüngliche Gleichheit wie folgt umschreiben:
(t−1)( T2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren vorliegt gleich Null. Den ersten Multiplikator haben wir bereits betrachtet. Schauen wir uns den zweiten an:
T2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Erfahrene Studierende haben das wahrscheinlich schon erkannt dieses Design hat keine Wurzeln, aber berechnen wir trotzdem die Diskriminante.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Die Diskriminante ist kleiner als 0, daher hat der Ausdruck keine Wurzeln. Insgesamt wurde die riesige Konstruktion auf die übliche Gleichheit reduziert:
\[\begin(array)(·(35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]
Abschließend möchte ich noch ein paar Anmerkungen zur letzten Aufgabe hinzufügen:
- Wird die Bedingung immer erfüllt sein? cosx≠0\cos x\ne 0, und lohnt sich diese Prüfung überhaupt? Natürlich nicht immer. In Fällen, in denen cosx=0\cos x=0 ist eine Lösung unserer Gleichheit; wir sollten sie aus Klammern entfernen, und dann bleibt eine vollwertige homogene Gleichung in Klammern.
- Was ist die Division eines Polynoms durch ein Polynom? Tatsächlich studieren die meisten Schulen dies nicht, und wenn Schüler ein solches Design zum ersten Mal sehen, verspüren sie einen leichten Schock. Tatsächlich handelt es sich jedoch um eine einfache und schöne Technik, die das Lösen von Gleichungen erheblich erleichtert höhere Abschlüsse. Natürlich wird es noch ein eigenes Video-Tutorial geben, das ich in Kürze veröffentlichen werde.
Wichtige Punkte
Homogene trigonometrische Gleichungen sind ein beliebtes Thema für alle Arten von Themen Tests. Sie lassen sich ganz einfach lösen – einfach einmal üben. Um zu verdeutlichen, wovon wir sprechen, führen wir eine neue Definition ein.
Eine homogene trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, bei der jeder Nicht-Null-Term aus der gleichen Anzahl trigonometrischer Faktoren besteht. Dies können Sinus, Cosinus oder Kombinationen davon sein – die Lösungsmethode ist immer die gleiche.
Der Grad einer homogenen trigonometrischen Gleichung ist die Anzahl der trigonometrischen Faktoren, die in den von Null verschiedenen Termen enthalten sind. Beispiele:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 - Identität 1. Grades;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. Grad;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. Grad;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 – und diese Gleichung ist nicht homogen, da es rechts eine Einheit gibt – einen von Null verschiedenen Term, in dem es keine trigonometrischen Faktoren gibt;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 - auch inhomogene Gleichung. Element sin2x\sin 2x ist vom zweiten Grad (da darstellbar).
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x ist die erste, und der Term 3 ist im Allgemeinen Null, da er weder Sinus noch Cosinus enthält.
Allgemeines Lösungsschema
Das Lösungsschema ist immer das gleiche:
Tun wir mal so cosx=0\cos x=0. Dann sinx=±1\sin x=\pm 1 – dies folgt aus der Hauptidentität. Lasst uns ersetzen sinx\sin x und cosx\cos x in den ursprünglichen Ausdruck ein, und wenn das Ergebnis Unsinn ist (z. B. der Ausdruck 5=0 5=0), gehe zum zweiten Punkt;
Wir dividieren alles durch die Potenz des Kosinus: cosx, cos2x, cos3x... – hängt vom Potenzwert der Gleichung ab. Wir erhalten die übliche Gleichheit mit Tangenten, die nach Ersetzen von tgx=t sicher gelöst werden kann.
tgx=tDie gefundenen Wurzeln sind die Antwort auf den ursprünglichen Ausdruck.
Mit dieser Videolektion können sich die Schüler mit dem Thema homogene trigonometrische Gleichungen befassen.
Lassen Sie uns Definitionen geben:
1) eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades sieht aus wie a sin x + b cos x = 0;
2) Eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades sieht aus wie a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Betrachten Sie die Gleichung a sin x + b cos x = 0. Wenn a gleich Null ist, sieht die Gleichung wie folgt aus: b cos x = 0; Wenn b gleich Null ist, sieht die Gleichung wie ein sin x = 0 aus. Dies sind die Gleichungen, die wir als die einfachsten bezeichnet haben und die bereits in früheren Themen gelöst wurden.
Betrachten Sie nun die Option, wenn a und b ungleich Null sind. Indem wir die Teile der Gleichung durch den Kosinus x dividieren, führen wir die Transformation durch. Wir erhalten ein tg x + b = 0, dann ist tg x gleich - b/a.
Daraus folgt, dass die Gleichung a sin mx + b cos mx = 0 homogen ist trigonometrische Gleichung Ich mache einen Abschluss. Um eine Gleichung zu lösen, dividieren Sie ihre Teile durch cos mx.
Schauen wir uns Beispiel 1 an. Lösen Sie 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Teilen Sie zunächst die Teile der Gleichung durch den Kosinus (x/2). Wenn wir wissen, dass Sinus dividiert durch Cosinus der Tangens ist, erhalten wir 7 tan (x/2) - 5 = 0. Wenn wir den Ausdruck umwandeln, stellen wir fest, dass der Wert von tan (x/2) gleich 5/7 ist. Lösung gegebene Gleichung hat die Form x = arctan a + πn, in unserem Fall x = 2 arctan (5/7) + 2πn.
Betrachten Sie die Gleichung a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) Wenn a gleich Null ist, sieht die Gleichung wie folgt aus: b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Durch Transformation erhalten wir cos Ausdruck x (b sin x + c cos x) = 0 und fahren Sie mit der Lösung zweier Gleichungen fort. Nachdem wir die Teile der Gleichung durch den Kosinus x dividiert haben, erhalten wir b tg x + c = 0, was tg x = - c/b bedeutet. Wenn man weiß, dass x = arctan a + πn, dann lautet die Lösung in diesem Fall x = arctan (- с/b) + πn.
2) Wenn a ungleich Null ist, erhalten wir durch Division der Teile der Gleichung durch das Quadrat des Kosinus eine Gleichung, die einen Tangens enthält, der quadratisch ist. Diese Gleichung kann durch Einführung einer neuen Variablen gelöst werden.
3) Wenn c gleich Null ist, hat die Gleichung die Form a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem der Sinus x aus der Klammer entfernt wird.
1. Sehen Sie, ob die Gleichung eine Sünde 2 x enthält;
2. Wenn die Gleichung den Term a sin 2 x enthält, kann die Gleichung gelöst werden, indem beide Seiten durch das Kosinusquadrat dividiert werden und dann eine neue Variable eingeführt wird.
3. Wenn die Gleichung kein sin 2 x enthält, kann die Gleichung gelöst werden, indem cosx aus den Klammern entfernt wird.
Betrachten wir Beispiel 2. Nehmen wir den Kosinus aus Klammern und erhalten wir zwei Gleichungen. Die Wurzel der ersten Gleichung ist x = π/2 + πn. Um die zweite Gleichung zu lösen, teilen wir die Teile dieser Gleichung durch den Kosinus x und erhalten durch Transformation x = π/3 + πn. Antwort: x = π/2 + πn und x = π/3 + πn.
Lösen wir Beispiel 3, eine Gleichung der Form 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 und finden wir ihre Wurzeln, die zum Segment von - π bis π gehören. Weil Da diese Gleichung inhomogen ist, muss sie reduziert werden homogenes Erscheinungsbild. Benutzen Sündenformel 2 x + cos 2 x = 1, wir erhalten die Gleichung sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Wenn wir alle Teile der Gleichung durch cos 2 x dividieren, erhalten wir tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Unter Verwendung der eingegebenen neuen Variablen z = tan 2x lösen wir die Gleichung, deren Wurzel z = 1 ist. Dann ist tan 2x = 1, was bedeutet, dass x = π/8 + (πn)/2. Weil Entsprechend den Bedingungen des Problems müssen Sie die Wurzeln finden, die zum Segment von - π bis π gehören. Die Lösung hat die Form - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
TEXTDEKODIERUNG:
Homogene trigonometrische Gleichungen
Heute schauen wir uns an, wie „homogene trigonometrische Gleichungen“ gelöst werden. Es handelt sich hierbei um Gleichungen besonderer Art.
Machen wir uns mit der Definition vertraut.
Gleichung des Formulars und Sünde x+BcosX = 0 (und Sinus x plus Cosinus x gleich Null ist) wird als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet;
Gleichung der Form und Sünde 2 x+BSünde xcosX+scos 2 X= 0 (und Sinusquadrat x plus sei Sinus x, Cosinus x plus se Cosinusquadrat x gleich Null) wird als homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades bezeichnet.
Wenn a=0, dann nimmt die Gleichung die Form an BcosX = 0.
Wenn B = 0 , dann bekommen wir und Sünde x= 0.
Diese Gleichungen sind elementar trigonometrisch und wir haben ihre Lösung in unseren vorherigen Themen besprochen
Lassen Sie uns überlegen der Fall, wenn beide Koeffizienten ungleich Null sind. Teilen wir beide Seiten der Gleichung ASündeX+ BcosX = 0 Mitglied für Mitglied cosX.
Wir können dies tun, da der Kosinus von x ungleich Null ist. Immerhin, wenn cosX = 0 , dann die Gleichung ASündeX+ BcosX = 0 wird das Formular annehmen ASündeX = 0 , A≠ 0 also SündeX = 0 . Was unmöglich ist, da es der grundlegenden trigonometrischen Identität entspricht Sünde 2 x+cos 2 X=1 .
Teilen beider Seiten der Gleichung ASündeX+ BcosX = 0 Mitglied für Mitglied cosX, wir erhalten: + =0
Führen wir die Transformationen durch:
1. Da = tg x, dann =und tg x
2 Vermindere um cosX, Dann
Somit erhalten wir den folgenden Ausdruck und tg x + b =0.
Führen wir die Transformation durch:
1. Verschieben Sie b mit dem umgekehrten Vorzeichen auf die rechte Seite des Ausdrucks
und tg x =- b
2. Lassen Sie uns den Multiplikator loswerden und beide Seiten der Gleichung durch a dividieren
tan x= -.
Fazit: Gleichung der Form wie inMx+Bcosmx = 0 (und Sinus em x plus sei Cosinus em x gleich Null) wird auch als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet. Um es zu lösen, teilen Sie beide Seiten durch cosmx.
BEISPIEL 1. Lösen Sie die Gleichung 7 sin - 5 cos = 0 (sieben Sinus x über zwei minus fünf Cosinus x über zwei ergibt Null)
Lösung. Wenn wir beide Seiten des Gleichungsterms durch cos dividieren, erhalten wir
1. = 7 tan (da das Verhältnis von Sinus zu Cosinus ein Tangens ist, dann ist sieben Sinus x durch zwei geteilt durch Cosinus x durch zwei gleich 7 tan x durch zwei)
2. -5 = -5 (mit Cos-Abkürzung)
Auf diese Weise haben wir die Gleichung erhalten
7tg - 5 = 0, Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren, minus fünf nach rechts verschieben und das Vorzeichen ändern.
Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t=, a =. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat A und diese Lösungen haben die Form
x = arctan a + πn, dann hat die Lösung unserer Gleichung die Form:
Arctg + πn, finde x
x=2 arctan + 2πn.
Antwort: x=2 arctan + 2πn.
Kommen wir zur homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades
Asin 2 x+b sin x cos x +Mitcos 2 x= 0.
Betrachten wir mehrere Fälle.
I. Wenn a=0, dann nimmt die Gleichung die Form an BSündeXcosX+scos 2 X= 0.
Beim Lösen von e Dann verwenden wir die Methode der Faktorisierung der Gleichungen. Wir nehmen es raus cosX jenseits der Klammer und wir erhalten: cosX(BSündeX+scosX)= 0 . Wo cosX= 0 oder
b sin x +Mitcos x= 0. Und wir wissen bereits, wie man diese Gleichungen löst.
Teilen wir beide Seiten des Gleichungsterms durch cosх, erhalten wir
1 (da das Verhältnis von Sinus zu Cosinus ein Tangens ist).
Somit erhalten wir die Gleichung: B tg x+c=0
Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t= x, a =. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat A und diese Lösungen haben die Form
x = arctan a + πn, dann lautet die Lösung unserer Gleichung:
x = arctan + πn, .
II. Wenn a≠0, dann teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term auf cos 2 X.
(Ähnlich argumentieren, wie im Fall einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades, kann der Kosinus x nicht auf Null gehen).
III. Wenn c=0, dann nimmt die Gleichung die Form an ASünde 2 X+ BSündeXcosX= 0. Diese Gleichung kann durch die Faktorisierungsmethode gelöst werden (wir nehmen heraus). SündeXüber die Klammer hinaus).
Dies bedeutet, dass beim Lösen der Gleichung ASünde 2 X+ BSündeXcosX+scos 2 X= 0 Sie können dem Algorithmus folgen:
BEISPIEL 2. Lösen Sie die Gleichung sinxcosx - cos 2 x= 0 (Sinus x mal Kosinus x minus Wurzel aus dem dreifachen Kosinusquadrat x ist gleich Null).
Lösung. Lassen Sie es uns faktorisieren (cosx aus Klammern entfernen). Wir bekommen
cos x(sin x - cos x)= 0, d.h. cos x=0 oder sin x - cos x= 0.
Antwort: x =+ πn, x= + πn.
BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (drei Sinus zum Quadrat zwei x minus das doppelte Produkt aus Sinus zwei x mal Cosinus zwei x plus drei Cosinus zum Quadrat zwei x) und ermitteln Sie die zugehörigen Wurzeln das Intervall (- π;
Lösung. Diese Gleichung ist nicht homogen, also nehmen wir einige Transformationen vor. Wir ersetzen die auf der rechten Seite der Gleichung enthaltene Zahl 2 durch das Produkt 2 1
Da nach der trigonometrischen Hauptidentität sin 2 x + cos 2 x =1, dann
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Das bedeutet, dass die Gleichung 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 die Form annimmt:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Wir haben eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades erhalten. Wenden wir die Methode der Term-für-Term-Division durch cos 2 2x an:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Lassen Sie uns eine neue Variable z= tan2x einführen.
Wir haben z 2 - 2 z + 1 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung. Wenn wir die abgekürzte Multiplikationsformel auf der linken Seite beachten – das Quadrat der Differenz (), erhalten wir (z – 1) 2 = 0, d.h. z = 1. Kehren wir zur umgekehrten Substitution zurück:
Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t= 2x, a =1. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat A und diese Lösungen haben die Form
x = arctan x a + πn, dann lautet die Lösung unserer Gleichung:
2х= arctan1 + πn,
x = + , (x ist gleich der Summe aus pi mal acht und pi en mal zwei).
Wir müssen lediglich Werte von x finden, die im Intervall enthalten sind
(- π; π), d.h. erfüllen die doppelte Ungleichung - π x π. Als
x= +, dann - π + π. Teilen Sie alle Teile dieser Ungleichung durch π und multiplizieren Sie sie mit 8, wir erhalten
Bewegen Sie eins nach rechts und nach links und ändern Sie das Vorzeichen in minus eins
dividiere durch vier und wir erhalten,
Der Einfachheit halber teilen wir die ganzen Teile in Brüche auf
- Diese Ungleichung wird durch die folgende ganze Zahl n erfüllt: -2, -1, 0, 1 Unterrichtsart: Erläuterung von neuem Material. Die Arbeit findet in Gruppen statt. Jede Gruppe hat einen Experten, der die Arbeit der Studierenden überwacht und leitet. Hilft schwachen Schülern, an ihre Fähigkeiten beim Lösen dieser Gleichungen zu glauben. Lektion zum Thema "
Homogene trigonometrische Gleichungen“ (10. Klasse) Ziel: Unterrichtsart : eine Lektion in der Bildung neuen Wissens. Verhaltensform: in Gruppen arbeiten. Ausstattung: Computer, Multimedia-Installation Während des Unterrichts I. Organisatorischer Moment Im Unterricht ein Bewertungssystem zur Wissensbewertung (der Lehrer erklärt das System zur Wissensbewertung, indem er den Bewertungsbogen durch einen unabhängigen Experten ausfüllt, der vom Lehrer aus den Reihen der Schüler ausgewählt wird). Der Unterricht wird von einer Präsentation begleitet. Anhang 1. Wertungsblatt Nr. n\n Familienname Hausaufgaben Kognitive Aktivität Gleichungen lösen Unabhängig Arbeit Grad II. Grundkenntnisse aktualisieren. Wir beschäftigen uns weiterhin mit dem Thema „Trigonometrische Gleichungen“. Heute stellen wir Ihnen in der Lektion eine andere Art trigonometrischer Gleichungen und Methoden zu deren Lösung vor und wiederholen daher das Gelernte. Bei der Lösung aller Arten trigonometrischer Gleichungen beschränken sie sich auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Erinnern wir uns an die Haupttypen einfacher trigonometrischer Gleichungen. Verwenden Sie Pfeile, um die Ausdrücke zuzuordnen. III. Motivation zum Lernen. Wir müssen noch daran arbeiten, das Kreuzworträtsel zu lösen. Nachdem wir es gelöst haben, werden wir den Namen einer neuen Art von Gleichungen herausfinden, deren Lösung wir heute im Unterricht lernen werden. Fragen werden auf die Tafel projiziert. Die Schüler raten, und ein unabhängiger Experte trägt die Ergebnisse der antwortenden Schüler auf dem Bewertungsbogen ein. Nach der Lösung des Kreuzworträtsels lesen die Kinder das Wort „homogen“. Kreuzworträtsel. Wenn Sie die richtigen Wörter eingeben, erhalten Sie den Namen einer der Arten trigonometrischer Gleichungen. 1.Der Wert der Variablen, die die Gleichung wahr macht? (Wurzel) 2.Winkeleinheit? (Radiant) 3.Numerischer Faktor im Produkt? (Koeffizient) 4. Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen untersucht? (Trigonometrie) 5.Welches mathematische Modell wird benötigt, um trigonometrische Funktionen einzuführen? (Kreis) 6.Welche trigonometrische Funktion ist gerade? (Kosinus) 7.Wie nennt man echte Gleichheit? (Identität) 8.Gleichheit mit einer Variablen? (Die gleichung) 9. Gleichungen mit gleichen Wurzeln? (äquivalent) 10. Wie viele Wurzeln hat eine Gleichung? (Lösung) IV. Erläuterung des neuen Materials. Das Thema der Lektion ist „Homogene trigonometrische Gleichungen“. (Präsentation) Beispiele: V. Selbständiges Arbeiten Ziele: Das Wissen der Schüler bei der Lösung aller Arten trigonometrischer Gleichungen umfassend zu testen, die Schüler zur Selbstanalyse und Selbstkontrolle anzuregen. Dann übergeben sie es einem unabhängigen Experten. Option 1: 1) sin x = √3cos x 2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 3) 3sin x – 2sin x cos x = 1 4) sin 2x⁄sin x =0 Option 2: 1) cosx + √3sin x = 0 2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0 3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x 4) cos 2x ⁄ cos x = 0 VI. Zusammenfassung der Lektion VII. Hausaufgaben: Hausaufgabe – 12 Punkte (3 Gleichungen 4 x 3 = 12 wurden als Hausaufgabe vergeben) Schüleraktivität – 1 Antwort – 1 Punkt (maximal 4 Punkte) Gleichungen lösen 1 Punkt Selbstständige Arbeit – 4 Punkte Staatliche haushaltspolitische Berufsbildungseinrichtung im Dorf Teeli in der Republik Tyva Entwicklung einer Unterrichtsstunde in Mathematik Unterrichtsthema: „Homogene trigonometrische Gleichungen“ Lehrer: Oorzhak Ailana Michailowna Unterrichtsthema : „Homogene trigonometrische Gleichungen“(nach dem Lehrbuch von A.G. Mordkovich) Gruppe : Meister des Pflanzenbaus, 1. Jahr Unterrichtsart: Eine Lektion im Erlernen neuer Materialien. Lernziele: 2. Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen, die Fähigkeit, die Ergebnisse durchgeführter Handlungen zu bewerten 3. Den Schülern Genauigkeit, Verantwortungsbewusstsein und die Entwicklung positiver Lernmotive zu vermitteln Unterrichtsausrüstung:
Laptop, Projektor, Leinwand, Karten, Poster zum Thema Trigonometrie: Bedeutung trigonometrischer Funktionen, grundlegende trigonometrische Formeln. Unterrichtsdauer: 45 Minuten. Unterrichtsaufbau: Strukturelement des Unterrichts Vorderseite (Mindest) Methodische Besonderheiten, Kurzanleitung zur Durchführung der Unterrichtsphase Aktivitäten des Lehrers Studentische Aktivitäten Zeit organisieren Kontrolle der Anwesenheit der Studierenden. α
0
Der Lehrer prüft die Unterrichtsbereitschaft Die Kursteilnehmer melden diejenigen, die nicht im Unterricht sind Aktualisierung des Referenzwissens Hausaufgaben überprüfen α 2 Wiederholung grundlegender Konzepte Macht seine Runde 3 Schüler schreiben die Lösung an die Tafel. Der Rest prüft gegenseitig Bildung neuen Wissens Motivierender Moment α 2 Beispiele für trigonometrische Gleichungen auf dem Bildschirm Fragen stellen Antwort Erläuterung eines neuen Themas α 1 Auf dem Bildschirm sind Folien mit der Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen zu sehen Der Lehrer erklärt das Thema Die Schüler hören zu und schreiben auf Konsolidierung Beispiele lösen α 2 Schwache Schüler arbeiten mit dem Lehrer zusammen. Starke Studierende arbeiten selbstständig. Arbeitet an der Tafel mit schwachen Schülern. Beispiele lösen Differenziertes selbstständiges Arbeiten α 2 Verteilen Sie Karten Macht eine Runde. Kontrolle schwacher Schüler Beispiele lösen Zusammenfassend α 1 Zusammenfassung der Lektion. Den Schülern Noten mitteilen Der Lehrer fasst die Noten zusammen und meldet sie Die Schüler hören zu Ausgabe von Hausaufgaben α 1 Erzählen Sie den Schülern ihre Hausaufgaben Der Lehrer gibt kurze Anweisungen zu den Hausaufgaben Schreiben Sie Hausaufgaben auf Während des Unterrichts. 1. Organisatorischer Moment (1 Minute) Überprüfen Sie die Bereitschaft der Schüler für den Unterricht und hören Sie der diensthabenden Gruppe zu. 2. Grundkenntnisse aktualisieren (3 Min.) 2.1. Hausaufgaben überprüfen. Drei Schüler lösen an der Tafel Nr. 18.8 (c, d); Nr. 18.19. Der Rest der Studierenden führt ein Peer-Review durch. Nr. 18.8 (c) 5 cos 2 x + 6 sin x – 6 = 0 5 (1 - sin x) + 6 sin x – 6 = 0 5 - 5 Sünde 2 x + 6 Sünde x – 6 = 0 5 Sünde 2 x + 6 Sünde x – 1 = 0 5 Sünde 2 x – 6 Sünde x + 1 = 0 z=sünde x, 5z 2 – 6 z + 1 = 0 z 1 = 1, sin x = 1, x= +2 π n, n Z z 2 = , sin x = , x= (-1) n arcsin + π n, n Z Antwort: x= +2 π n, x=(-1) n arcsin + π n, n Z Nr. 18,8 (g) 4 sin 3x + cos 2 3x = 4 4 Sünde 3x + (1-Sünde 2 3x) – 4 = 0 Sünde 2 3x + 4 Sünde 3x – 3 = 0 Sünde 2 3x – 4 Sünde 3x + 3 = 0 z=sin 3x, z 2 – 4 z + 3 = 0 z 1 = 3, erfüllt die Bedingung nicht z 2 = 1, sin 3x =1, 3x= +2 π n, n Z X = + π n , n Z Antwort: x = + π n , n Z Nr. 18.19 (c) сos = 2x – = , n Z x 1 = , n Z x 2 = , n Z a) b) 0, , , c) - d) - , 0, 3. Neues Material lernen (13 Min.) 3.1. Motivation der Studierenden. Die Schüler werden gebeten, Gleichungen zu benennen, die sie kennen und lösen können (Folie Nr. 1). 1) 3 cos 2 x – 3 cos x = 0; 2) cos (x – 1) = ; 3) 2 Sünde 2 x + 3 Sünde x = 0; 4) 6 sin 2 x – 5 cos x + 5 = 0; 12 5) sin x cos x + cos²x = 0; 6) tg + 3ctg = 4. 7) 2sin x – 3cos x = 0; 8) sin 2 x + cos 2 x = 0; 9) sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0. Die Schüler können die Lösung der Gleichungen 7-9 nicht benennen. 3.2. Erläuterung eines neuen Themas. Lehrer: Gleichungen, die Sie nicht lösen konnten, kommen in der Praxis recht häufig vor. Sie werden homogene trigonometrische Gleichungen genannt. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Homogene trigonometrische Gleichungen.“ (Folie Nummer 2) Bestimmung homogener Gleichungen auf der Leinwand. (Folie Nummer 3) Betrachten Sie eine Methode zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen (Folie Nr. 4, 5) Ich mache meinen Abschluss II. Grad a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cosx ≠ 0. Wir erhalten: a tgx + b = 0 Tgx = - – einfachste trigonometrische Gleichung a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) Wenn a ≠ 0, dividiere beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos²x ≠0 Wir bekommen: a tg²x + b tgx + c = 0, lösen Sie durch Einführung einer neuen Variablen z= tgx 2) wenn a = 0, dann Wir bekommen: b sinx cosx + c cos²x =0, durch Faktorisierungsmethode lösen Beim Teilen einer homogenen Gleichung a sinx + b cosx = 0 bei cos x ≠ 0 Bei der Division einer homogenen Gleichung a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 durch cos 2 x ≠ 0 Die Wurzeln dieser Gleichung gehen nicht verloren. Analysieren Sie die Lösungen zu den Beispielen Beispiel 1. Gleichung 2sin lösen x – 3cos x = 0; (Folie Nummer 6) Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen wir beide Seiten des Gleichungsterms durch cos x , wir erhalten: 2tg x – 3 = 0 tg x = x = arctan + πn , n Z. Antwort: x = arctan + π n, n Z. Beispiel 2 . Lösen Sie Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 0; (Folie Nummer 7) Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen wir beide Seiten des Gleichungsterms durch cos 2 x , wir erhalten: tg2 x + 1 = 0 tg2 x = - 1 2x = arctan (-1)+ πn, n Z. 2x = - + πn, n Z. x = - + , n Z. Antwort: x = - + , n Z. Beispiel 3 . Lösen Sie die Gleichung sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0. (Folie Nummer 8) Jeder Term in der Gleichung hat den gleichen Grad. Dies ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos 2 x ≠ 0, wir erhalten: tg 2 x-3tg x+2 = 0. Lassen Sie uns eine neue Variable z = tan x einführen, wir erhalten z 2 – 3z + 2 =0 z 1 = 1, z 2 = 2 das bedeutet entweder tg x = 1 oder tg x = 2 tan x = 1 x = arctan 1 + πn, n Z x = + πn, n Z tan x = 2 x = arctan 2 + πn, n Z Antwort: x = + πn, x = arctan 2 + πn, n Z 4. Festigung des gelernten Materials (10 Min.) Der Lehrer analysiert detailliert Beispiele mit schwachen Schülern an der Tafel, starke Schüler lösen diese selbstständig in ihren Heften. Nr. 18.12 (a) 18.24 (a) 18.24 (b) sin 2 x + 2 sin x cos x – 3 cos² x = 0 tg 2 x + 2 tg x – 3 = 0 z = tan x z 2 + 2 z – 3 = 0 z 1 = 3; z 2 = - 1. tan x = 3, x = arctan 3 + πn, n Z tan x = -1, x = arctan (-1) + πn, n Z x = + πn, n Z Antwort: x = arctan 3 + πn, X = + πn, n Z Sünde 2 x = cos 2 x tg2x = 1 2x = arctan 1 + πn, n Z 2x = + πn, n Z x = + , n Z Antwort: x = + , n Z Tg 3 x = 1 tan 3 x = 3 x = + πn, n Z x = + , n Z 5. Differenziertes selbstständiges Arbeiten (15 Min.) Der Lehrer gibt Karten mit Aufgaben auf drei Niveaus aus: Grundkenntnisse (A), Mittelstufe (B), Fortgeschrittene (C). Die Studierenden entscheiden selbst, welches Niveau an Beispielen sie lösen möchten. Stufe A 2 sin x+ 2 cos x = 0 cos x+ 2 sin x = 0 Stufe B 2 sin x+ 2 cos x = 0 6 sin 2 x - 5 sinx cos x + cos 2 x =0 Stufe C 5 sin 2 x + 2 sinx cos x - cos 2 x =1 2 sin x - 5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos 2 x = 0 6. Zusammenfassung. Reflexion über Lernaktivitäten im Klassenzimmer (2 Min.) Beantworten Sie die Fragen: Welche Arten trigonometrischer Gleichungen haben wir gelernt? Wie löst man eine homogene Gleichung ersten Grades? Wie löst man eine homogene Gleichung zweiten Grades? Ich habe erfahren … Ich habe gelernt … Würdigen Sie die gute Arbeit einzelner Schüler im Unterricht und vergeben Sie Noten. 7. Hausaufgaben. (1 Minute) Informieren Sie die Schüler über ihre Hausaufgaben und geben Sie kurze Anweisungen, wie sie diese erledigen sollen. Nr. 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a) Verweise: „Homogene trigonometrische Gleichungen“ 1. Eine Gleichung der Form a sin x + b cos x = 0, wobei a ≠0, b ≠0, wird als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet. 2. Eine Gleichung der Form a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0, wobei a ≠0, b ≠0, c ≠0, wird als homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades bezeichnet. Definition: Ich graduiere a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cosx ≠ 0. Wir erhalten: a tanx + b = 0 tgx = -b /a die einfachste trigonometrische Gleichung Bei der Division einer homogenen Gleichung a sinx + b cosx = 0 durch cos x ≠ 0 gehen die Wurzeln dieser Gleichung nicht verloren. Methode zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) Wenn a ≠ 0, dividiere beide Seiten des Gleichungsterms durch cos ² x ≠0. Wir erhalten: a tan ² x + b tgx + c = 0, lösen durch Einführung eine neue Variable z = tgx 2) wenn a = 0, dann erhalten wir: b sinx cosx + c cos ² x = 0, lösen durch Faktorisierungsmethode / Beim Teilen der homogenen Gleichung a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x = 0 durch cos 2 x ≠ 0 gehen die Wurzeln dieser Gleichung nicht verloren. II. Grad Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos x, erhalten wir: Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2 sin x – 3 cos x = 0 Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen wir beide Seiten des Gleichungsterms durch cos 2 x, erhalten wir: Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 0 Jeder Term in der Gleichung hat den gleichen Grad. Dies ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term mit os 2 x ≠ 0, erhalten wir: Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung sin ² x – 3 sin x cos x+2 cos ² x = 0 Beantworten Sie die Fragen: - Welche Arten trigonometrischer Gleichungen haben wir untersucht? -Wie löst man eine homogene Gleichung ersten Grades? - Wie löst man eine homogene Gleichung zweiten Grades? Zusammenfassend Ich habe gelernt... - Ich habe gelernt... Reflexion Nr. 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a) Hausaufgaben. Vielen Dank für die Lektion! Gut gemacht! Selbstanalyse einer Mathematikstunde durch Lehrer Oorzhak A.M. Gruppe : Meister des Pflanzenbaus, 1. Jahr. Unterrichtsthema : Homogene trigonometrische Gleichungen. Unterrichtsart : Eine Lektion im Erlernen neuen Materials. Lernziele: 1. Die Fähigkeiten der Schüler zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen zu entwickeln und Methoden zur Lösung homogener Gleichungen mit grundlegendem und fortgeschrittenem Komplexitätsgrad zu berücksichtigen. 2. Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen und die Ergebnisse durchgeführter Handlungen zu bewerten. 3. Den Schülern Genauigkeit, Verantwortungsbewusstsein und die Entwicklung positiver Lernmotive zu vermitteln. Der Unterricht wurde nach thematischer Planung durchgeführt. Das Unterrichtsthema spiegelt die theoretischen und praktischen Teile des Unterrichts wider und ist für die Studierenden verständlich. Alle Phasen des Unterrichts waren darauf ausgerichtet, diese Ziele unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Gruppe zu erreichen. Unterrichtsstruktur. 1. Der organisatorische Moment umfasste die Vororganisation der Gruppe, den mobilisierenden Beginn des Unterrichts, die Schaffung psychologischen Trostes und die Vorbereitung der Schüler auf die aktive und bewusste Aufnahme neuer Stoffe. Die Vorbereitung der Gruppe und jedes einzelnen Schülers wurde von mir visuell überprüft. Didaktische Aufgabe der Bühne: Ppositive Einstellung zum Unterricht. 2. Der nächste Schritt ist die Aktualisierung des Grundwissens der Studierenden. Die Hauptaufgabe dieser Phase besteht darin, das für das Erlernen neuen Materials erforderliche Wissen im Gedächtnis der Schüler wiederherzustellen. Die Aktualisierung erfolgte in Form einer Hausaufgabenkontrolle an der Tafel. 3. (Hauptphase des Unterrichts) Bildung neuen Wissens. In dieser Phase wurden folgende didaktische Aufgaben umgesetzt: Sicherstellung der Wahrnehmung, des Verstehens und des primären Auswendiglernens von Wissen und Handlungsweisen, Zusammenhängen und Zusammenhängen im Untersuchungsgegenstand. Dies wurde erleichtert durch: die Schaffung einer Problemsituation, die Gesprächsmethode in Kombination mit dem Einsatz von IKT. Ein Indikator für die Wirksamkeit der Aufnahme neuen Wissens durch die Studierenden ist die Richtigkeit der Antworten, das selbstständige Arbeiten und die aktive Beteiligung der Studierenden an der Arbeit. 4. Die nächste Stufe ist die primäre Konsolidierung des Materials. Der Zweck besteht darin, Feedback zu erstellen, um Informationen über den Grad des Verständnisses des neuen Materials, die Vollständigkeit und die Richtigkeit seiner Aufnahme zu erhalten und um erkannte Fehler rechtzeitig zu korrigieren. Dazu habe ich Folgendes verwendet: Einfache homogene trigonometrische Gleichungen lösen. Dabei wurden Aufgaben aus dem Lehrbuch verwendet, die den geforderten Lernergebnissen entsprechen. Die erste Konsolidierung des Materials erfolgte in einer Atmosphäre des guten Willens und der Zusammenarbeit. Zu diesem Zeitpunkt arbeitete ich mit schwachen Schülern, der Rest entschied selbst, gefolgt von Selbsttests durch die Tafel. 5. Der nächste Moment der Lektion war die primäre Wissenskontrolle. Didaktische Aufgabe der Bühne: Ermittlung der Qualität und des Niveaus der Beherrschung von Wissen und Handlungsmethoden sowie Sicherstellung ihrer Korrektur. Dabei verfolgte sie einen differenzierten Lernansatz und bot den Kindern eine Auswahl an Aufgaben auf drei Niveaustufen: Grundstufe (A), Mittelstufe (B) und Fortgeschritten (C). Ich machte eine Runde und notierte mir die Schüler, die sich für die Grundstufe entschieden hatten. Diese Schüler führten die Arbeit unter der Aufsicht des Lehrers durch. 6. Im nächsten Schritt – zusammenfassend – wurden die Aufgaben der Analyse und Bewertung des Erfolgs der Zielerreichung gelöst. Als ich die Lektion zusammenfasste, dachte ich gleichzeitig über die Lernaktivität nach. Die Studierenden lernten Möglichkeiten zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen. Es wurden Noten vergeben. 7. Die letzte Phase sind Hausaufgaben. Didaktische Aufgabe: Sicherstellen, dass die Studierenden die Inhalte und Methoden der Hausaufgabenbearbeitung verstehen. Hat kurze Anweisungen gegeben, wie man Hausaufgaben macht. Während des Unterrichts konnte ich Lehr-, Entwicklungs- und Bildungsziele verwirklichen. Ich denke, dass dies dadurch erleichtert wurde, dass die Kinder von den ersten Minuten des Unterrichts an Aktivität zeigten. Sie waren bereit, das neue Thema anzunehmen. Die Atmosphäre in der Gruppe war psychologisch günstig. Definition 1. Lass A etwas sein Menge von Zahlenpaaren (X; j). Man sagt, dass die Menge A gegeben ist numerische Funktion z aus zwei Variablen x und y , wenn eine Regel angegeben wird, mit deren Hilfe jedes Zahlenpaar aus Menge A einer bestimmten Zahl zugeordnet wird. Die Angabe einer numerischen Funktion z zweier Variablen x und y erfolgt häufig bezeichnen Also: Wo F (X , j)
– jede Funktion außer einer Funktion F (X , j) = Axt+durch+c , wobei a, b, c gegebene Zahlen sind. Definition 3. Gleichung (2) lösen Rufen Sie ein Nummernpaar an ( X; j) , für die Formel (2) eine echte Gleichheit ist. Beispiel 1. Löse die Gleichung Da das Quadrat jeder Zahl nicht negativ ist, folgt aus Formel (4), dass die Unbekannten x und y das Gleichungssystem erfüllen Die Lösung ist ein Zahlenpaar (6; 3). Antwort: (6; 3) Beispiel 2. Löse die Gleichung Daher lautet die Lösung für Gleichung (6). unendlich viele Zahlenpaare Art (1 + j ; j) , wobei y eine beliebige Zahl ist. Definition 4. Ein Gleichungssystem lösen Rufen Sie ein Nummernpaar an ( X; j) , wenn man sie in jede der Gleichungen dieses Systems einsetzt, erhält man die richtige Gleichheit. Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine linear ist, haben die Form G(X , j)
Beispiel 4. Gleichungssystem lösen Lösung . Lassen Sie uns die Unbekannte y aus der ersten Gleichung des Systems (7) durch die Unbekannte x ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems einsetzen: Lösung der Gleichung X 1 = - 1 , X 2 = 9 . Somit, j 1 = 8 - X 1 = 9 , Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist, haben die Form wobei a, b, c gegebene Zahlen sind und G(X , j)
– Funktion zweier Variablen x und y. Beispiel 6. Gleichungssystem lösen Lösung . Lösen wir die homogene Gleichung 3X 2 + 2xy - j 2 = 0 , 3X 2 + 17xy + 10j 2 = 0 , Behandeln Sie es als quadratische Gleichung in Bezug auf die Unbekannte x: Falls X = - 5j, aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung 5j 2 = - 20 , das keine Wurzeln hat. Falls Aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung deren Wurzeln Zahlen sind j 1 = 3 , j 2 = - 3 .
Wenn wir für jeden dieser Werte y den entsprechenden Wert x finden, erhalten wir zwei Lösungen des Systems: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) . Antwort: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) Beispiel 8. Ein Gleichungssystem lösen (MIPT) Lösung . Lassen Sie uns neue Unbekannte u und v einführen, die durch x und y gemäß den Formeln ausgedrückt werden: Um System (12) in Bezug auf neue Unbekannte umzuschreiben, drücken wir zunächst die Unbekannten x und y durch u und v aus. Aus System (13) folgt das Lösen wir das lineare System (14), indem wir die Variable x aus der zweiten Gleichung dieses Systems eliminieren. Zu diesem Zweck führen wir die folgenden Transformationen auf System (14) durch: Dadurch wird System (14) in ein äquivalentes System umgewandelt daraus finden wir Mit den Formeln (13) und (15) schreiben wir das ursprüngliche System (12) in der Form um Die erste Gleichung des Systems (16) ist linear, daher können wir die Unbekannte u daraus durch die Unbekannte v ausdrücken und diesen Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems einsetzen.Herunterladen:
Vorschau:
Die Studierenden werden gebeten, eine schriftliche Arbeit im Umfang von 10 Minuten anzufertigen.
Die Schüler arbeiten an leeren Blättern, um sie zu kopieren. Nach einiger Zeit werden die Spitzen der selbstständigen Arbeit eingesammelt und die Lösungen verbleiben bei den Studierenden zum Abschreiben.
Die Prüfung der selbstständigen Arbeit (3 min) erfolgt durch gegenseitige Kontrolle.
. Die Schüler überprüfen mit einem Farbstift die schriftliche Arbeit ihres Nachbarn und notieren den Namen der prüfenden Person. Dann übergeben sie die Papiere.
Folie 2
Vorschau:
Nichtlineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
linear
j 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist
.
,Beispiele für die Lösung von Gleichungssystemen anderer Art
