Formeln für das Volumen eines Zylinders oder eines Kugelkegels. Literatur für Studierende. Geometrische Eigenschaften eines abgeschrägten Zylinders

Wenden Sie Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders, Kegels und einer Kugel an. Alle davon sind in unserer Tabelle. Auswendig lernen. Hier beginnt das Wissen über Stereometrie.

1. Das Volumen des Kegels ist 16.Durch die Mitte der Höhe wird parallel zur Basis des Kegels ein Abschnitt gezeichnet, der die Basis darstellt kleinerer Kegel mit dem gleichen Oberteil. Finden Sie das Volumen des kleineren Kegels.

Offensichtlich ist das Volumen des kleineren Kegels achtmal kleiner als das Volumen des größeren und entspricht zwei.

Nützlich zur Lösung einiger Probleme Grundwissen Stereometrie. Zum Beispiel - was ist regelmäßige Pyramide oder gerades Prisma. Es ist nützlich, sich daran zu erinnern, dass es auch Zylinder, Kegel und Kugel gibt gemeinsamen Namen- Körper der Revolution. Als Kugel bezeichnet man die Oberfläche einer Kugel. Und zum Beispiel setzt der Satz „Die Erzeugende des Kegels ist in einem Winkel von 30 Grad zur Ebene der Grundfläche geneigt“ voraus, dass Sie wissen, wie groß der Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene ist. Möglicherweise finden Sie auch den Satz des Pythagoras nützlich und einfache Formeln Figurenbereiche.

Manchmal ist es gut, die Ansicht von oben zu zeichnen. Oder, wie in diesem Problem, von unten.

2. Wie oft wird das Volumen eines Kegels um das Richtige herum beschrieben? viereckige Pyramide, ist größer als das Volumen des Kegels, der in diese Pyramide eingeschrieben ist?

Es ist ganz einfach: Zeichnen Sie die Ansicht von unten. Wir sehen, dass der Radius des größeren Kreises um ein Vielfaches größer ist als der Radius des kleineren. Die Höhe beider Kegel ist gleich. Daher ist das Volumen des größeren Kegels doppelt so groß.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten.

1.Messung rechteckiges Parallelepiped 15, 50 und 36 m. Finden Sie eine gleich große Kante eines Würfels.

2. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beträgt die Höhe 3 cm, seitliche Rippe 5 cm. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

3. Der axiale Abschnitt des Zylinders ist ein Rechteck mit den Seiten 8 dm und 12 dm. Finden Sie das Volumen des Zylinders.

4. Die Erzeugende des Kegels ist in einem Winkel von 30° zur Ebene der Grundfläche geneigt, der Radius der Grundfläche beträgt 3 dm. Finden Sie das Volumen des Kegels.

5. Der Radius der Kugel beträgt 4 m. Ermitteln Sie das Volumen Kugelsegment Höhe gleich 3 m.

Referenzliste

Geometrie, 10-11: Lehrbuch. Für Bildungsinstitutionen/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S. B. Kadomtsev und andere – Moskau: Bildung, 2009

2. Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S. Unabhängig und Testpapiere in Geometrie für die 10. Klasse. - 4. Auflage, überarbeitet. und zusätzlich - M.: Ilexa, 2007, - 175 S.

3. Geometrie. Klassen 10-11: Tests zur aktuellen und allgemeinen Kontrolle / Autor. G.I. Kovaleva, N.I. Mazurova. - Wolgograd: Lehrer, 2009, 187 S.

4. Virtuelle Schule Cyril und Methodius. Mathe Nachhilfelehrer. Moskau. 2007

5. Pädagogisch elektronische Ausgabe. Mathematik 5-11 Klassen. Werkstatt. Herausgegeben von Dubrovsky V.N., 2004.

PRAKTISCHE ARBEIT Nr. 16

„Verwendung von Koordinaten und Vektoren beim Lösen mathematische Probleme»

Der Zweck der Lektion:

1) Fassen Sie zusammen Theoretisches Wissen zum Thema: „Verwendung von Koordinaten und Vektoren zur Lösung mathematischer Probleme.“

2) Betrachten Sie Algorithmen zur Lösung von Problemen zum Thema „Verwendung von Koordinaten und Vektoren bei der Lösung mathematischer Probleme“, lösen Sie Probleme.

3) Bilden Sie das Bedürfnis nach Selbsterkenntnis, Selbstkontrolle und dem Erreichen von Zielen.

Theoretisches Material

Verwandte Informationen:

1. F. Das neue Preishoch geht mit einem Anstieg des Volumens einher, ähnlich wie bei Punkt A. Behalten Sie weiterhin die Bullenposition bei

\[(\Groß(\text(Zylinder)))\]

Betrachten Sie einen Kreis \(C\) mit Mittelpunkt \(O\) und Radius \(R\) auf der Ebene \(\alpha\). Durch jeden Punkt des Kreises \(C\) ziehen wir eine Gerade senkrecht zur Ebene \(\alpha\). Die durch diese Geraden gebildete Fläche heißt zylindrische Oberfläche .
Die Geraden selbst werden aufgerufen Bildung dieser Oberfläche.

Zeichnen wir nun eine Ebene \(\beta\parallel \alpha\) durch einen Punkt eines Generators. Die Menge der Punkte, entlang derer die Generatoren die Ebene \(\beta\) schneiden, bildet einen Kreis \(C"\) , gleich einem Kreis\(C\) .
Ein Teil des Raums, der von zwei Kreisen \(K\) und \(K"\) mit den Grenzen \(C\) bzw. \(C"\) begrenzt wird, sowie ein Teil einer zwischen den Ebenen eingeschlossenen Zylinderfläche \(\alpha\) und \(\beta\) , genannt Zylinder.

Die Kreise \(K\) und \(K"\) werden Grundflächen des Zylinders genannt; zwischen den Ebenen eingeschlossene Erzeugendensegmente sind die Erzeugenden des Zylinders; der von ihnen gebildete Teil der Zylinderfläche ist die Mantelfläche des Zylinder. Ein Segment, das die Mittelpunkte der Basen des Zylinders verbindet gleich dem Generator Zylinder und gleich der Höhe Zylinder (\(l=h\) ).

Satz

Die Mantelfläche des Zylinders ist gleich \

wobei \(R\) der Radius der Basis des Zylinders ist, \(h\) die Höhe (generativ).

Satz

Quadrat Vollflächig Zylinder ist gleich der Summe der Fläche der Mantelfläche und der Flächen beider Grundflächen \

Satz

Das Volumen des Zylinders wird nach der Formel berechnet \

\[(\Groß(\text(Kegel)))\]

Betrachten Sie die Ebene \(\alpha\) und darauf einen Kreis \(C\) mit Mittelpunkt \(O\) und Radius \(R\). Wir zeichnen eine Gerade durch den Punkt \(O\), senkrecht zur Ebene\(\alpha\) . Markieren wir einen Punkt \(P\) auf dieser Linie. Die Fläche, die von allen Geraden gebildet wird, die durch den Punkt \(P\) und jeden Punkt des Kreises \(C\) verlaufen, heißt konische Oberfläche, und diese Geraden sind Generatoren konische Oberfläche. Der Teil des Raums, der von einem Kreis mit der Grenze \(C\) und den zwischen dem Punkt \(P\) und einem Punkt auf dem Kreis eingeschlossenen Generatorsegmenten begrenzt wird, heißt Kegel. Die Segmente \(PA\) , wobei \(A\in \text(env. ) C\) , werden aufgerufen einen Kegel bilden; Punkt \(P\) – Scheitelpunkt des Kegels; Kreis mit Rand \(C\) – Basis des Kegels; Segment \(PO\) – Höhe des Kegels.

Kommentar

Beachten Sie, dass die Höhe und die Erzeugende eines Kegels nicht gleich sind, wie es bei einem Zylinder der Fall war.

Satz

Die Mantelfläche des Kegels ist gleich \

Dabei ist \(R\) der Radius der Kegelbasis, \(l\) der Generator.

Satz

Die Gesamtoberfläche des Kegels ist gleich der Summe aus Mantelfläche und Grundfläche \

Satz

Das Volumen des Kegels wird nach der Formel berechnet \

Kommentar

Beachten Sie, dass der Zylinder gewissermaßen ein Prisma ist, nur dass sich an der Basis kein Polygon (wie bei einem Prisma) befindet, sondern ein Kreis.
Die Formel für das Volumen eines Zylinders ist dieselbe wie die Formel für das Volumen eines Prismas: das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Ebenso ist ein Kegel gewissermaßen eine Pyramide. Daher ist die Formel für das Volumen eines Kegels dieselbe wie die einer Pyramide: ein Drittel der Grundfläche mal die Höhe.

\[(\Large(\text(Kugel und Kugel)))\]

Betrachten wir eine Menge von Punkten im Raum, die von einem Punkt \(O\) in einem Abstand \(R\) gleich weit entfernt sind. Diese Menge heißt Kugel mit Mittelpunkt im Punkt \(O\) mit Radius \(R\).
Ein Segment, das zwei Punkte einer Kugel verbindet und durch deren Mittelpunkt verläuft, wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet.

Man nennt die Kugel mitsamt ihrem Inneren Ball.

Satz

Die Fläche der Kugel wird nach der Formel berechnet \

Satz

Das Volumen der Kugel wird nach der Formel berechnet \

Definition

Ein Kugelsegment ist ein Teil einer Kugel, der durch eine bestimmte Ebene davon abgeschnitten ist.
Lassen Sie die Ebene die Kugel in einem Kreis \(K\) schneiden, dessen Mittelpunkt im Punkt \(Q\) liegt. Verbinden wir die Punkte \(O\) (das Zentrum der Kugel) und \(Q\) und verlängern wir dieses Segment, bis es die Kugel schneidet – wir erhalten den Radius \(OP\) . Dann heißt das Segment \(QP\) die Höhe des Segments.

Satz

Sei \(R\) der Radius der Kugel, \(h\) die Höhe des Segments, dann ist das Volumen des Kugelsegments gleich \

Definition

Die Kugelschicht ist der Teil der Kugel, der zwischen zwei eingeschlossen ist parallele Ebenen, schneidet diesen Ball. Die Kreise, entlang derer die Ebenen die Kugel schneiden, werden als Basen der Kugelschicht bezeichnet, das Segment, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, wird als Höhe der Kugelschicht bezeichnet.
Die beiden verbleibenden Teile der Kugel sind in diesem Fall Kugelsegmente.

Ballvolumen gleich der Differenz Volumen der Kugel und Volumina von Kugelsegmenten mit den Höhen \(AP\) und \(BT\) .

Der Zylinder ist geometrischer Körper, begrenzt durch zwei parallele Ebenen und eine zylindrische Oberfläche. In dem Artikel werden wir darüber sprechen, wie man die Fläche eines Zylinders ermittelt, und anhand der Formel werden wir beispielhaft mehrere Probleme lösen.

Ein Zylinder hat drei Oberflächen: die Oberseite, die Basis und Seitenfläche.

Die Ober- und Unterseite eines Zylinders sind Kreise und leicht zu erkennen.

Es ist bekannt, dass die Fläche eines Kreises gleich πr 2 ist. Daher lautet die Formel für die Fläche zweier Kreise (Oberseite und Basis des Zylinders) πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Die dritte Seitenfläche des Zylinders ist die gekrümmte Wand des Zylinders. Um uns diese Oberfläche besser vorstellen zu können, versuchen wir, sie so umzuwandeln, dass sie eine erkennbare Form erhält. Stellen Sie sich vor, der Zylinder sei gewöhnlich Zinn, das keine obere Abdeckung oder Unterseite hat. Machen wir einen vertikalen Schnitt an der Seitenwand von der Oberseite bis zum Boden der Dose (Schritt 1 in der Abbildung) und versuchen wir, die resultierende Figur so weit wie möglich zu öffnen (zu begradigen) (Schritt 2).

Nachdem das resultierende Glas vollständig geöffnet ist, sehen wir eine bekannte Figur (Schritt 3), das ist ein Rechteck. Die Fläche eines Rechtecks ​​lässt sich leicht berechnen. Aber kehren wir vorher noch einmal kurz zum Originalzylinder zurück. Der Scheitelpunkt des ursprünglichen Zylinders ist ein Kreis, und wir wissen, dass der Umfang nach der Formel berechnet wird: L = 2πr. Es ist in der Abbildung rot markiert.

Wann Seitenwand Wenn der Zylinder vollständig geöffnet ist, sehen wir, dass der Umfang der Länge des resultierenden Rechtecks ​​entspricht. Die Seiten dieses Rechtecks ​​​​sind der Umfang (L = 2πr) und die Höhe des Zylinders (h). Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner Seiten – S = Länge x Breite = L x h = 2πr x h = 2πrh. Als Ergebnis erhielten wir eine Formel zur Berechnung der Fläche der Mantelfläche des Zylinders.

Formel für die Mantelfläche eines Zylinders
S-Seite = 2πrh

Gesamtoberfläche eines Zylinders

Wenn wir schließlich die Fläche aller drei Flächen addieren, erhalten wir die Formel für die Gesamtoberfläche eines Zylinders. Die Oberfläche eines Zylinders ist gleich der Fläche der Oberseite des Zylinders + der Fläche der Basis des Zylinders + der Fläche der Seitenfläche des Zylinders oder S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Manchmal wird dieser Ausdruck identisch mit der Formel 2πr (r + h) geschrieben.

Formel für die Gesamtoberfläche eines Zylinders
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – Radius des Zylinders, h – Höhe des Zylinders

Beispiele zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders

Um die obigen Formeln zu verstehen, versuchen wir anhand von Beispielen, die Oberfläche eines Zylinders zu berechnen.

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 2, die Höhe beträgt 3. Bestimmen Sie die Fläche der Mantelfläche des Zylinders.

Die Gesamtoberfläche wird nach der Formel berechnet: S-Seite. = 2πrh

S-Seite = 2 * 3,14 * 2 * 3

S-Seite = 6,28 * 6

S-Seite = 37,68

Die Mantelfläche des Zylinders beträgt 37,68.

2. Wie finde ich die Oberfläche eines Zylinders, wenn die Höhe 4 und der Radius 6 beträgt?

Die Gesamtoberfläche wird nach der Formel berechnet: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

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Die in der Schule untersuchten Rotationskörper sind Zylinder, Kegel und Kugel.

Wenn Sie bei einer Aufgabe im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik das Volumen eines Kegels oder die Fläche einer Kugel berechnen müssen, können Sie sich glücklich schätzen.

Wenden Sie Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders, Kegels und einer Kugel an. Alle davon sind in unserer Tabelle. Auswendig lernen. Hier beginnt das Wissen über Stereometrie.

Manchmal ist es gut, die Ansicht von oben zu zeichnen. Oder, wie in diesem Problem, von unten.

2. Wie oft ist das Volumen eines Kegels, der von einer regelmäßigen viereckigen Pyramide umschrieben wird, größer als das Volumen eines Kegels, der in diese Pyramide eingeschrieben ist?

Es ist ganz einfach: Zeichnen Sie die Ansicht von unten. Wir sehen, dass der Radius des größeren Kreises um ein Vielfaches größer ist als der Radius des kleineren. Die Höhe beider Kegel ist gleich. Daher ist das Volumen des größeren Kegels doppelt so groß.

Noch eins wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass in den Problemen von Teil B Optionen für das einheitliche Staatsexamen In der Mathematik wird die Antwort als ganze Zahl oder endliche Zahl geschrieben Dezimal. Daher sollte Ihre Antwort in Teil B kein oder enthalten. Es besteht auch keine Notwendigkeit, den ungefähren Wert der Zahl zu ersetzen! Es muss unbedingt schrumpfen! Zu diesem Zweck wird bei einigen Problemen die Aufgabe beispielsweise wie folgt formuliert: „Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Zylinders geteilt durch.“

Wo sonst werden die Formeln für Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern verwendet? Natürlich in Aufgabe C2 (16). Wir werden Ihnen auch davon erzählen.