Ein komplexer Satz mit einer untergeordneten und nicht gewerkschaftlichen Verbindung. Komplexe Sätze: Nicht-Gewerkschaft und alliierte koordinierende Verbindung. Zusammensetzung in einem komplexen Satz

In dieser Lektion sehen wir uns an, wie man Brüche in umwandelt gemeinsamer Nenner und lösen Probleme zu diesem Thema. Lassen Sie uns das Konzept eines gemeinsamen Nenners und eines zusätzlichen Faktors definieren, denken Sie an teilerfremde Zahlen. Lassen Sie uns das Konzept des kleinsten gemeinsamen Nenners (LCD) definieren und eine Reihe von Problemen lösen, um es zu finden.

Thema: Brüche addieren und subtrahieren mit verschiedene Nenner

Lektion: Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Wiederholung. Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs miteinander multipliziert oder dividiert werden natürliche Zahl, dann bekommst du einen Bruch gleich.

Zum Beispiel können Zähler und Nenner eines Bruchs durch 2 geteilt werden. Wir erhalten einen Bruch. Diese Operation wird Fraktionsreduktion genannt. Du kannst die Rücktransformation auch durchführen, indem du Zähler und Nenner des Bruchs mit 2 multiplizierst. In diesem Fall sagen wir, dass wir den Bruch auf einen neuen Nenner gekürzt haben. Die Zahl 2 wird als zusätzlicher Faktor bezeichnet.

Fazit. Ein Bruch kann auf jeden Nenner gekürzt werden, der ein Vielfaches des Nenners des gegebenen Bruchs ist. Um einen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen, werden Zähler und Nenner mit einem zusätzlichen Faktor multipliziert.

1. Bringe den Bruch auf den Nenner 35.

Die Zahl 35 ist ein Vielfaches von 7, das heißt, 35 ist ohne Rest durch 7 teilbar. Diese Transformation ist also möglich. Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor finden. Dazu dividieren wir 35 durch 7. Wir erhalten 5. Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit 5.

2. Bringe den Bruch auf den Nenner 18.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor finden. Dazu dividieren wir den neuen Nenner durch den ursprünglichen. Wir erhalten 3. Wir multiplizieren Zähler und Nenner dieses Bruchs mit 3.

3. Bringe den Bruch auf den Nenner 60.

Indem wir 60 durch 15 teilen, erhalten wir einen zusätzlichen Multiplikator. Er ist gleich 4. Multiplizieren wir Zähler und Nenner mit 4.

4. Bringe den Bruch auf den Nenner 24

In einfachen Fällen wird im Kopf auf einen neuen Nenner reduziert. Es ist üblich, einen zusätzlichen Faktor nur etwas rechts und oberhalb des ursprünglichen Bruchs hinter der Klammer anzugeben.

Ein Bruch kann auf einen Nenner von 15 gekürzt werden und ein Bruch kann auf einen Nenner von 15 gekürzt werden. Brüche haben einen gemeinsamen Nenner von 15.

Der gemeinsame Nenner von Brüchen kann ein beliebiges gemeinsames Vielfaches ihrer Nenner sein. Der Einfachheit halber werden Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gekürzt. Er ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der gegebenen Brüche.

Beispiel. Reduziere auf den kleinsten gemeinsamen Nenner des Bruchs und .

Finde zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche. Diese Zahl ist 12. Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten und zweiten Bruch finden. Dazu teilen wir 12 durch 4 und durch 6. Drei ist ein zusätzlicher Faktor für den ersten Bruch, zwei für den zweiten. Wir bringen die Brüche auf den Nenner 12.

Wir haben die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, das heißt, wir haben Brüche gefunden, die ihnen gleich sind und denselben Nenner haben.

Regel. Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen,

Finden Sie zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche, das ihr kleinster gemeinsamer Nenner sein wird;

Zweitens teilen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner durch die Nenner dieser Brüche, dh finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.

Drittens multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.

a) Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner kürzen.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12. Der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch ist 4, für den zweiten - 3. Wir bringen die Brüche auf den Nenner 24.

b) Bringen Sie die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist 45. Wenn wir 45 durch 9 durch 15 teilen, erhalten wir 5 bzw. 3. Wir bringen die Brüche auf den Nenner 45.

c) Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner kürzen.

Der gemeinsame Nenner ist 24. Die zusätzlichen Faktoren sind 2 bzw. 3.

Manchmal ist es schwierig, verbal das kleinste gemeinsame Vielfache für die Nenner gegebener Brüche zu finden. Dann der gemeinsame Nenner und zusätzliche Multiplikatoren durch Faktorisieren in Primfaktoren gefunden.

Reduzieren Sie den Bruch und auf einen gemeinsamen Nenner.

Zerlegen wir die Zahlen 60 und 168 in Primfaktoren. Schreiben wir die Erweiterung der Zahl 60 aus und ergänzen die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der zweiten Erweiterung. Multiplizieren Sie 60 mit 14 und erhalten Sie einen gemeinsamen Nenner von 840. Der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch ist 14. Der zusätzliche Faktor für den zweiten Bruch ist 5. Lassen Sie uns die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner von 840 bringen.

Referenzliste

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ua Mathematik 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik Klasse 6. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. - Aufklärung, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Aufgaben für den Kurs Mathematik Klasse 5-6. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Mathematik 5-6. Zuschuss für Schüler der 6. Klasse Fernschule MEPHI. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L. N., Gein A. G., Koryakov I. O. etc. Mathematik: Lehrbuch für Gesprächspartner für die Klassen 5-6 weiterführende Schule. Bibliothek des Mathematiklehrers. - Aufklärung, 1989.

Sie können die in Ziffer 1.2 genannten Bücher herunterladen. diese Lektion.

Hausaufgaben

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ua Mathematik 6. - M.: Mnemozina, 2012. (siehe Link 1.2)

Hausaufgaben: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.

Andere Aufgaben: #270, #290

Die meisten Operationen mit algebraischen Brüchen, wie Addition und Subtraktion, erfordern, dass diese Brüche zuerst auf reduziert werden gleiche Nenner. Solche Nenner werden oft auch als "gemeinsamer Nenner" bezeichnet. In diesem Thema werden wir die Definition der Konzepte "gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche" und "kleinster gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche (LCD)" betrachten, den Algorithmus zum Finden eines gemeinsamen Nenners Punkt für Punkt betrachten und mehrere Probleme zum Thema lösen .

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Gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche

Wenn wir von gewöhnlichen Brüchen sprechen, dann ist der gemeinsame Nenner eine Zahl, die durch jeden der Nenner der ursprünglichen Brüche teilbar ist. Zum gewöhnliche Brüche 1 2 und 5 9 die Zahl 36 kann ein gemeinsamer Nenner sein, da sie ohne Rest durch 2 und 9 teilbar ist.

Der gemeinsame Nenner von algebraischen Brüchen wird auf ähnliche Weise definiert, nur Polynome werden anstelle von Zahlen verwendet, da sie in den Zählern und Nennern eines algebraischen Bruchs stehen.

Bestimmung 1

Gemeinsamer Nenner eines algebraischen Bruchs ist ein Polynom, das durch den Nenner eines der Brüche teilbar ist.

Im Zusammenhang mit den Besonderheiten algebraischer Brüche, auf die weiter unten eingegangen wird, werden wir uns häufig mit gemeinsamen Nennern befassen, die als Produkt und nicht als Standardpolynom dargestellt werden.

Beispiel 1

Ein als Produkt geschriebenes Polynom 3 x 2 (x + 1), entspricht dem Polynom Standard Ansicht 3 x 3 + 3 x 2. Dieses Polynom kann ein gemeinsamer Nenner der algebraischen Brüche 2 x , - 3 x y x 2 und y + 3 x + 1 sein, da es durch teilbar ist x, auf der x2 und weiter x+1. Informationen zur Teilbarkeit von Polynomen finden Sie im entsprechenden Thema unserer Ressource.

Kleinster gemeinsamer Nenner (LCD)

Für gegebene algebraische Brüche kann die Anzahl gemeinsamer Nenner unendlich sein.

Beispiel 2

Nehmen wir zum Beispiel die Brüche 1 2 x und x + 1 x 2 + 3 . Ihr gemeinsamer Nenner ist 2x (x 2 + 3), wie − 2 x (x 2 + 3), wie x (x 2 + 3), wie 6 , 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), wie − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, usw.

Beim Lösen von Problemen können Sie sich die Arbeit erleichtern, indem Sie einen gemeinsamen Nenner verwenden, der unter allen Nennern die einfachste Form hat. Ein solcher Nenner wird oft als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

Bestimmung 2

Kleinster gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche ist der gemeinsame Nenner algebraischer Brüche, der die einfachste Form hat.

Übrigens ist der Begriff „kleinster gemeinsamer Nenner“ nicht allgemein akzeptiert, daher sollte man sich besser auf den Begriff „gemeinsamer Nenner“ beschränken. Und deshalb.

Zuvor haben wir Ihre Aufmerksamkeit auf den Ausdruck „der Nenner der einfache Form". Die Hauptbedeutung dieses Satzes ist wie folgt: Jeder andere gemeinsame Nenner der Daten in der Bedingung des Problems der algebraischen Brüche muss durch den Nenner der einfachsten Form ohne Rest geteilt werden. Gleichzeitig können Sie im Produkt, das ein gemeinsamer Nenner von Brüchen ist, verschiedene verwenden numerische Koeffizienten.

Beispiel 3

Nimm die Brüche 1 2 x und x + 1 x 2 + 3 . Wir haben bereits herausgefunden, dass es für uns am einfachsten ist, mit einem gemeinsamen Nenner der Form 2 · x · (x 2 + 3) zu arbeiten. Auch kann der gemeinsame Nenner für diese beiden Brüche sein x (x 2 + 3), die keinen numerischen Koeffizienten enthält. Die Frage ist, welcher dieser beiden gemeinsamen Nenner der kleinste gemeinsame Nenner der Brüche ist. Es gibt keine eindeutige Antwort, daher ist es richtiger, einfach über den gemeinsamen Nenner zu sprechen und die Option in die Arbeit aufzunehmen, mit der die Arbeit am bequemsten ist. Wir können also solche gemeinsamen Nenner wie verwenden x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) oder − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 die mehr haben komplexe Ansicht, aber es kann schwieriger sein, mit ihnen umzugehen.

Einen gemeinsamen Nenner algebraischer Brüche finden: ein Aktionsalgorithmus

Angenommen, wir haben mehrere algebraische Brüche, für die wir einen gemeinsamen Nenner finden müssen. Um dieses Problem zu lösen, können wir den folgenden Aktionsalgorithmus verwenden. Zuerst müssen wir die Nenner der ursprünglichen Brüche faktorisieren. Dann komponieren wir ein Werk, in das wir sukzessive einbeziehen:

• alle Faktoren aus dem Nenner des ersten Bruchs samt Potenzen;
• alle Faktoren, die im Nenner des zweiten Bruchs vorhanden sind, aber nicht im geschriebenen Produkt enthalten sind oder deren Grad nicht ausreicht;
• alle fehlenden Faktoren aus dem Nenner des dritten Bruchs und so weiter.

Das resultierende Produkt ist der gemeinsame Nenner algebraischer Brüche.

Als Multiplikatoren des Produkts können wir alle Nenner der Brüche nehmen, die in der Bedingung des Problems angegeben sind. Der Multiplikator, den wir als Ergebnis erhalten, wird jedoch in seiner Bedeutung weit von der NOZ entfernt sein und seine Verwendung wird irrational sein.

Beispiel 4

Bestimmen Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche 1 x 2 · y , 5 x + 1 und y - 3 x 5 · y .

Lösung

BEI dieser Fall wir müssen die Nenner der ursprünglichen Brüche nicht faktorisieren. Daher beginnen wir mit der Anwendung des Algorithmus, indem wir ein Produkt zusammenstellen.

Vom Nenner des ersten Bruchs nehmen wir den Faktor x 2 j, aus dem Nenner des zweiten Bruchs, dem Faktor x+1. Wir bekommen das Produkt x 2 y (x + 1).

Der Nenner des dritten Bruchs kann uns einen Multiplikator geben x 5 Jahre In dem Produkt, das wir zuvor zusammengestellt haben, gibt es jedoch bereits Faktoren x2 und j. Deshalb fügen wir weitere hinzu x 5 − 2 = x 3. Wir bekommen das Produkt x 2 y (x + 1) x 3, die auf das Formular gebracht werden können x 5 y (x + 1). Dies wird unsere NOZ der algebraischen Brüche sein.

Antworten: x 5 y (x + 1) .

Betrachten Sie nun Beispiele für Probleme, bei denen die Nenner algebraischer Brüche ganzzahlige numerische Faktoren enthalten. Auch in solchen Fällen handeln wir nach dem Algorithmus, nachdem wir zuvor ganzzahlige Zahlenfaktoren in Primfaktoren zerlegt haben.

Beispiel 5

Finde den gemeinsamen Nenner der Brüche 1 12 x und 1 90 x 2 .

Lösung

Wenn wir die Zahlen in den Nennern von Brüchen in Primfaktoren erweitern, erhalten wir 1 2 2 3 x und 1 2 3 2 5 x 2 . Jetzt können wir uns an die Zusammenstellung eines gemeinsamen Nenners machen. Dazu nehmen wir vom Nenner des ersten Bruchs das Produkt 2 2 3x und addiere die Faktoren 3 , 5 und x aus dem Nenner des zweiten Bruchs. Wir bekommen 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Das ist unser gemeinsamer Nenner.

Antworten: 180x2.

Wenn Sie sich die Ergebnisse der beiden analysierten Beispiele genau ansehen, werden Sie feststellen, dass die gemeinsamen Nenner der Brüche alle Faktoren enthalten, die in den Erweiterungen der Nenner vorhanden sind, und wenn es einen bestimmten Faktor in mehreren Nennern gibt, dann es wird mit dem größten der verfügbaren Exponenten genommen. Und wenn die Nenner ganzzahlige Koeffizienten enthalten, dann enthält der gemeinsame Nenner numerischer Multiplikator gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser numerischen Koeffizienten.

Beispiel 6

Die Nenner der beiden algebraischen Brüche 1 12 x und 1 90 x 2 haben einen Faktor x. Im zweiten Fall wird der x-Faktor quadriert. Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, müssen wir diesen Faktor weitestgehend berücksichtigen, d.h. x2. Es gibt keine anderen Multiplikatoren mit Variablen. Ganzzahlige numerische Koeffizienten der ursprünglichen Brüche 12 und 90 , und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 180 . Es stellt sich heraus, dass der gewünschte gemeinsame Nenner die Form hat 180x2.

Jetzt können wir einen weiteren Algorithmus schreiben, um den gemeinsamen Teiler algebraischer Brüche zu finden. Dafür wir:

• faktorisiere die Nenner aller Brüche;
• bilden das Produkt von allem Buchstabenmultiplikatoren(Wenn es in mehreren Erweiterungen einen Multiplikator gibt, nehmen wir die Option mit der höchste Indikator Grad);
• Addieren Sie das LCM der numerischen Koeffizienten der Erweiterungen zum resultierenden Produkt.

Die obigen Algorithmen sind äquivalent, sodass jeder von ihnen zum Lösen von Problemen verwendet werden kann. Es ist wichtig, auf Details zu achten.

Es gibt Fälle, in denen die gemeinsamen Faktoren in den Nennern von Brüchen hinter den numerischen Koeffizienten unsichtbar sind. Dabei ist es zweckmäßig, zunächst die numerischen Koeffizienten bei den höchsten Potenzen der Variablen in Klammern in jeden der im Nenner vorhandenen Faktoren zu setzen.

Beispiel 7

Was ist der gemeinsame Nenner der Brüche 3 5 - x und 5 - x · y 2 2 · x - 10 .

Lösung

Im ersten Fall muss minus eins aus Klammern genommen werden. Wir erhalten 3 - x - 5 . Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit - 1, um das Minus im Nenner loszuwerden: - 3 x - 5 .

Im zweiten Fall nehmen wir die Zwei aus der Klammer. Damit erhalten wir den Bruch 5 - x · y 2 2 · x - 5 .

Offensichtlich ist der gemeinsame Nenner dieser algebraischen Brüche - 3 x - 5 und 5 - x y 2 2 x - 5 2 (x − 5).

Antworten:2 (x − 5).

Die Daten in der Bruchproblembedingung können Bruchkoeffizienten haben. In diesen Fällen müssen Sie zuerst loswerden Bruchquoten indem man Zähler und Nenner mit einer Zahl multipliziert.

Beispiel 8

Vereinfachen algebraische Brüche 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 und - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, dann bestimme ihren gemeinsamen Nenner.

Lösung

Lassen Sie uns die Bruchkoeffizienten los, indem Sie Zähler und Nenner im ersten Fall mit 14 multiplizieren, im zweiten Fall mit 3. Wir bekommen:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 und - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 = - 6 2 x 2 + 4 = - 6 2 x 2 + 2 .

Nach den Transformationen wird klar, dass der gemeinsame Nenner ist 2 (x 2 + 2).

Antworten: 2 (x 2 + 2).

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Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es hat sich herausgestellt, dass es so viele Informationen gibt, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich nicht nur numerische Brüche), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozente sind in der Tat gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Das einfachste u zuverlässiger Weg, wodurch die Nenner garantiert ausgeglichen werden. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche dem Produkt gleich ursprüngliche Nenner. Schau mal:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil diese Methode- Sie müssen viel zählen, weil die Nenner "durchgehend" multipliziert werden und Sie dadurch sehr viel bekommen können große Zahlen. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, wenden wir die Methode an übliche Faktoren. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen wird nicht unbedingt gleich sein direktes Produkt die Nenner der ursprünglichen Brüche, wie bei der Criss-Cross-Methode angenommen.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Diese Zahl ist viel weniger Produkt 8 12 = 96 .

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) genannt.

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b ) bezeichnet. Zum Beispiel LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist üblich. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Denke nicht, dass diese komplexe Brüche in den realen Beispielen nicht. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal ist alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies eine komplexe Rechenaufgabe, die erforderlich ist gesonderte Betrachtung. Hier werden wir darauf nicht eingehen.

Um Beispiele mit Brüchen zu lösen, musst du in der Lage sein, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Nachfolgend finden Sie eine detaillierte Anleitung.

Wie man den kleinsten gemeinsamen Nenner findet - Konzept

Kleinster gemeinsamer Nenner (LCD) in einfachen Worten ist die kleinste Zahl, die durch die Nenner aller Brüche teilbar ist dieses Beispiel. Mit anderen Worten, es wird das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) genannt. NOZ wird nur verwendet, wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind.

So finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner - Beispiele

Betrachten wir Beispiele für das Auffinden von NOZ.

Berechnen Sie: 3/5 + 2/15.

Lösung (Aktionsfolge):

• Wir schauen uns die Nenner von Brüchen an, achten darauf, dass sie unterschiedlich sind und die Ausdrücke so weit wie möglich gekürzt werden.
• Wir finden kleinste Zahl, die sowohl durch 5 als auch durch 15 teilbar ist. Diese Zahl ist 15. Somit ist 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Wir haben den Nenner herausgefunden. Was wird im Zähler stehen? Ein zusätzlicher Multiplikator hilft uns dabei, dies herauszufinden. Ein zusätzlicher Faktor ist die Zahl, die man erhält, wenn man die NOZ durch den Nenner eines bestimmten Bruchs dividiert. Für 3/5 ist der zusätzliche Faktor 3, da 15/5 = 3. Für den zweiten Bruch ist der zusätzliche Faktor 1, da 15/15 = 1.
• Nachdem wir den zusätzlichen Faktor herausgefunden haben, multiplizieren wir ihn mit den Zählern der Brüche und addieren die resultierenden Werte. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Antwort: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Wenn das Beispiel nicht 2, sondern 3 addiert oder subtrahiert oder mehr Brüche, dann muss die NOZ nach so vielen Brüchen wie angegeben durchsucht werden.

Berechne: 1/2 - 5/12 + 3/6

Lösung (Aktionsfolge):

• Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner. Die Mindestzahl, die durch 2, 12 und 6 teilbar ist, ist 12.
• Wir erhalten: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Wir suchen weitere Multiplikatoren. Für 1/2 - 6; für 5/12 - 1; für 3/6 - 2.
• Wir multiplizieren mit den Zählern und weisen die entsprechenden Vorzeichen zu: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Antwort: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Inhalt:

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern (Zahlen unter dem Bruchstrich) zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie zuerst ihren kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) finden. Diese Zahl ist das kleinste Vielfache, das in der Liste der Vielfachen jedes Nenners vorkommt, d. h. eine Zahl, die durch jeden Nenner teilbar ist. Sie können auch das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von zwei oder mehr Nennern berechnen. Auf jeden Fall wir redenüber ganze Zahlen, die Methoden zum Finden, die sehr ähnlich sind. Durch die Definition des NOD können Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, was Ihnen wiederum erlaubt, sie zu addieren und zu subtrahieren.

Schritte

1 Auflistung von Vielfachen

1. 1 Listen Sie Vielfache jedes Nenners auf. Erstelle eine Liste mit mehreren Vielfachen für jeden Nenner in der Gleichung. Jede Liste muss aus dem Produkt des Nenners mit 1, 2, 3, 4 usw. bestehen.
   • Beispiel: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • Vielfache von 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; usw.
   • Vielfache von 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3*3=9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; usw.
   • Vielfache von 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; usw.
2. 2 Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache. Gehen Sie jede Liste durch und notieren Sie alle Vielfachen, die allen Nennern gemeinsam sind. Nachdem Sie die gemeinsamen Vielfachen identifiziert haben, bestimmen Sie den kleinsten Nenner.
   • Beachten Sie, dass, wenn kein gemeinsamer Nenner gefunden wird, es erforderlich sein kann, weiterhin Vielfache zu schreiben, bis ein gemeinsames Vielfaches erscheint.
   • Es ist besser (und einfacher), diese Methode zu verwenden, wenn die Nenner kleine Zahlen sind.
   • In unserem Beispiel ist das gemeinsame Vielfache aller Nenner 30: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
   • NOZ = 30
3. 3 Um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, ohne ihren Wert zu ändern, multiplizieren Sie jeden Zähler (die Zahl über dem Bruchstrich) mit einer Zahl, die dem Quotienten der Division von NOZ durch den entsprechenden Nenner entspricht.
   • Beispiel: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
   • Neue Gleichung: 15/30 + 10/30 + 6/30
4. 4 Lösen Sie die resultierende Gleichung. Nachdem Sie die NOZ gefunden und die entsprechenden Brüche geändert haben, lösen Sie einfach die resultierende Gleichung. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort zu vereinfachen (wenn möglich).
   • Beispiel: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 Verwendung des größten gemeinsamen Teilers

1. 1 Nenne die Teiler jedes Nenners. Ein Divisor ist eine ganze Zahl, die dividiert angegebene Nummer. Zum Beispiel sind die Teiler der Zahl 6 die Zahlen 6, 3, 2, 1. Der Teiler jeder Zahl ist 1, weil jede Zahl durch eins teilbar ist.
   • Beispiel: 3/8 + 5/12
   • Teiler 8: 1, 2, 4 , 8
   • Teiler 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
2. 2 Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) beider Nenner. Nachdem du die Teiler jedes Nenners aufgelistet hast, notiere alle gemeinsamen Teiler. Der größte gemeinsame Teiler ist der größte gemeinsame Teiler, den du zur Lösung der Aufgabe benötigst.
   • In unserem Beispiel gemeinsame Teiler für die Nenner 8 und 12 sind die Zahlen 1, 2, 4.
   • GCD = 4.
3. 3 Multipliziere die Nenner miteinander. Wenn Sie ggT zur Lösung einer Aufgabe verwenden möchten, multiplizieren Sie zuerst die Nenner miteinander.
   • Beispiel: 8 * 12 = 96
4. 4 Teilen Sie den resultierenden Wert durch den ggT. Wenn Sie das Ergebnis der Multiplikation der Nenner erhalten, dividieren Sie es durch den berechneten ggT. Die resultierende Zahl ist der kleinste gemeinsame Nenner (LCD).
   • Beispiel: 96 / 4 = 24
5. 5
   • Beispiel: 24 / 8 = 3; 24/12 = 2
   • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24
6. 6 Lösen Sie die resultierende Gleichung.
   • Beispiel: 24.9. + 24.10. = 24.19

3 Zerlegung jedes Nenners in Primfaktoren

1. 1 Zerlege jeden Nenner in Primfaktoren. Zerlege jeden Nenner in Primfaktoren, d.h. Primzahlen, die multipliziert den ursprünglichen Nenner ergeben. Denken Sie daran, dass Primfaktoren Zahlen sind, die nur durch 1 oder sich selbst teilbar sind.
   • Beispiel: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • Primzahlmultiplikatoren 4: 2 * 2
   • Primzahlmultiplikatoren 5: 5
   • Primzahlmultiplikatoren 12: 2 * 2 * 3
2. 2 Zählen Sie, wie oft jeder Primfaktor jeden Nenner hat. Das heißt, bestimmen Sie, wie oft jeder Primfaktor in der Liste der Faktoren jedes Nenners vorkommt.
   • Beispiel: Es gibt zwei 2 für den Nenner 4; Null 2 für 5; zwei 2 für 12
   • Es gibt Null 3 für 4 und 5; eines 3 für 12
   • Es gibt Null 5 für 4 und 12; eines 5 für 5
3. 3 Nehmen Sie jeweils nur die höchste Anzahl an Wiederholungen Hauptfaktor. Bestimmen Sie, wie häufig jeder Primfaktor in einem beliebigen Nenner vorkommt.
   • Zum Beispiel: die höchste Anzahl von Malen für einen Multiplikator 2 - 2 mal; zum 3 - 1 mal; zum 5 - 1 mal.
4. 4 Schreibe die im vorherigen Schritt gefundenen Primfaktoren der Reihe nach auf. Schreiben Sie nicht auf, wie oft jeder Primfaktor in allen ursprünglichen Nennern vorkommt – tun Sie es mit größte Zahl Mal (wie im vorherigen Schritt beschrieben).
   • Beispiel: 2, 2, 3, 5
5. 5 Multiplizieren Sie diese Zahlen. Das Produkt dieser Zahlen ist NOZ.
   • Beispiel: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
   • NOZ = 60
6. 6 Teilen Sie die NOZ durch den ursprünglichen Nenner. Um den Multiplikator zu berechnen, der erforderlich ist, um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, dividiere die gefundene NOZ durch den ursprünglichen Nenner. Multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit diesem Faktor. Sie erhalten Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.
   • Beispiel: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60
7. 7 Lösen Sie die resultierende Gleichung. NOZ gefunden; Jetzt können Sie Brüche addieren oder subtrahieren. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort zu vereinfachen (wenn möglich).
   • Beispiel: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 Arbeiten mit gemischten Zahlen

1. 1 Wandle jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. Multiplizieren Sie dazu den ganzzahligen Teil gemischte Zahl zum Nenner und zum Zähler addieren - das wird der Zähler sein unechter Bruch. Wandeln Sie auch die ganze Zahl in einen Bruch um (setzen Sie einfach 1 in den Nenner).
   • Beispiel: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • Umgeschriebene Gleichung: 8/1 + 9/4 + 2/3
2. 2 Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner. Berechnen Sie die NOH mit einer der in beschriebenen Methoden vorangegangene Abschnitte. Für dieses Beispiel verwenden wir die Methode „Vielfache auflisten“, bei der die Vielfachen jedes Nenners ausgeschrieben und daraus der Barwert berechnet wird.
   • Beachten Sie, dass Sie keine Vielfachen für angeben müssen 1 , da jede Zahl multipliziert mit 1 , ist gleich sich selbst; mit anderen Worten, jede Zahl ist ein Vielfaches 1 .
   • Beispiel: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4*3= 12 ; 4 * 4 = 16; usw.
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; usw.
   • NOZ = 12
3. 3 Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung um. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner der ursprünglichen Brüche mit einer Zahl, die dem Quotienten der Division von NOZ durch den entsprechenden Nenner entspricht.
   • Zum Beispiel: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12
4. 4 Löse die Gleichung. NOZ gefunden; Jetzt können Sie Brüche addieren oder subtrahieren. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort zu vereinfachen (wenn möglich).
   • Beispiel: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Was werden Sie brauchen

• Bleistift
• Papier
• Taschenrechner (optional)