Примеры касательных. Уравнение касательной. Касательная к графику функции

Слово "балет" звучит волшебно. Закрыв глаза, сразу представляешь себе горящие огни, пробирающую музыку, шорох пачек и легкий стук пуантов по паркету. Это зрелище неподражаемо красиво, его можно смело назвать великим достижением человека в стремлении к прекрасному.

Зрители замирают, устремляя взгляды на сцену. Балетные дивы поражают своей легкостью и пластикой, видимо непринужденно выполняя сложные "па".

История этого вида искусства довольно глубока. Предпосылки к возникновению балета появились еще в XVI веке. А уже с XIX века люди увидели настоящие шедевры этого искусства. Но чем был бы балет без знаменитых балерин, прославивших его? Об этих самых известных танцовщицах и будет наш рассказ.

Мари Рамберг (1888-1982). Будущая звезда родилась в Польше, в еврейской семье. Настоящее её имя Сивия Рамбам, но оно было впоследствии изменено по политическим мотивам. Девочка с раннего возраста полюбила танцы, отдавшись своему увлечению с головой. Мари берет уроки у танцовщиц из парижской оперы, а вскоре её талант замечает сам Дягилев. В 1912-1913 годах девочка танцует вместе с Русским балетом, принимая участие в главных постановках. С 1914 года Мари переезжает в Англию, где продолжает учиться танцам. В 1918 году Мари вышла замуж. Сама она писала, что больше ради забавы. Однако брак оказался счастливым и продлился 41 год. Рамберг было всего 22 года, когда она открыла в Лондоне собственную балетную школу, первую в городе. Успех был таким ошеломительным, что Мария организует сперва собственную компанию (1926), а затем и первую постоянную балетную труппу в Великобритании (1930). Выступления её становятся настоящей сенсацией, ведь Рамберг привлекает к работе самых талантливых композиторов, художников, танцоров. Балерина приняла самое активное участие в создании национального балета в Англии. А имя Мари Рамберг навсегда вошло в историю искусства.

Анна Павлова (1881-1931). Анна родилась в Санкт-Петербурге, её отец был железнодорожным подрядчиком, а мать работала простой прачкой. Однако девушка смогла поступить в театральное училище. Окончив его, она в 1899 году поступила в Мариинский театр. Там она получила партии в классических постановках - "Баядерка", "Жизель", "Щелкунчик". У Павловой были прекрасные природные данные, к тому же постоянно оттачивала свое мастерство. В 1906 году она уже является ведущей балериной театра, но настоящая слава пришла к Анне в 1907 году, когда она блистает в миниатюре "Умирающий лебедь". Павлова должна была выступать на благотворительном концерте, но её партнер заболел. Буквально за ночь балетмейстер Михаил Фокин поставил балерине новую миниатюру на музыку Сан-Санса. С 1910 года Павлова начинает гастролировать. Балерина приобретает мировую славу после участия в Русских сезонах в Париже. В 1913 году она последний раз выступает в стенах Мариинского театра. Павлова собирает собственную труппу и переезжает в Лондон. Вместе со своими подопечными Анна гастролирует по миру с классическими балетами Глазунова и Чайковского. Танцовщица стала легендой еще при жизни, умерев на гастролях в Гааге.

Матильда Кшесинская (1872-1971). Несмотря на свое польское имя, родилась балерина под Санкт-Петербургом и всегда считалась русской танцовщицей. Она с раннего детства заявила о своем желании танцевать, никто их родных и не думал ей препятствовать в этом желании. Матильда блестяще окончила Императорское театральное училище, попав в балетную труппу Мариинского театра. Там она прославилась блестящим исполнений партий "Щелкунчика", "Млады", других представлений. Кшесинскую отличала фирменная русская пластика, в которую вклинились нотки итальянской школы. Именно Матильда стала любимицей балетмейстера Фокина, который задействовал её в своих работах "Бабочки", "Эрос", "Эвника". Роль Эсмеральды в одноименном балете в 1899 году зажгла новую звезду на сцене. С 1904 года Кшесинская гастролирует по Европе. её называют первой балериной России, чествуют "генералиссимусом русского балета". Говорят, что Кшесинская являлась фавориткой самого императора Николая II. Историки утверждают, что помимо таланта балерина обладала железным характером, твердой позиции. Именно ей приписывают увольнение в свое время директора Императорских театров, князя Волконского. Революция тяжело сказалась на балерине, в 1920 году она покинула измученную страну. Кшесинская переехала в Венецию, но продолжала заниматься любимым делом. В 64 года она еще выступала в лондонском Ковент-Гардене. А похоронена легендарная балерина в Париже.

Агриппина Ваганова (1879-1951). Отец Агриппины являлся театральным капельдинером в Мариинке. Однако в балетную школу он смог определить только самую младшую из своих трех дочерей. Вскоре Яков Ваганов умер, у семьи была надежда только на будущую танцовщицу. В школе Агриппина проявила себя озорницей, постоянно получая плохие оценки за поведение. Окончив обучение Ваганова начала карьеру балерины. Третьестепенных ролей в театре давали ей много, однако они не удовлетворяли ее. Сольные партии обходили стороной балерину, да и внешность у нее была не особо привлекательная. Критики писали, что просто не видят её в ролях хрупких красавиц. Не помогал и грим. Сама же балерина очень страдала по этому поводу. Но упорным трудом Ваганова добилась ролей второго плана, о ней стали изредка писать в газетах. Затем Агриппина резко повернула свою судьбу. Она вышла замуж, родила. Вернувшись в балет, она будто бы поднялась в глазах начальства. Хотя Ваганова и продолжала исполнять вторые партии, в этих вариациях она достигла мастерства. Балерина сумела заново раскрыть образы, казалось уже затертые поколениями предыдущих танцовщиц. Только в 1911 году Ваганова получила первую сольную партию. В 36 лет балерину отправили на пенсию. Она так и не стала знаменитой, но добилась многого с учетом своих данных. В 1921 году в Ленинграде открыли школу хореографии, куда и была приглашена в качестве одного из учителей Ваганова. Профессия хореографа стала её основной до конца жизни. В 1934 году Ваганова выпускает книгу "Основы классического танца". Вторую половину жизни балерина посвятила хореографическому училищу. Ныне это Академия танца, названная в её честь. Агриппина Ваганова не стала великой балериной, однако её имя навсегда вошло в историю этого искусства.

Ивет Шовире (род.1917). Эта балерина является самой настоящей утонченной парижанкой. С 10 лет она начала серьезно заниматься танцами при "Гранд опера". Талант и работоспособность Ивет были отмечены режиссерами. В 1941 году она уже стала примой Оперы Гарнье. Дебютные выступления принесли ей поистине мировую славу. После этого Шовире стала получать приглашения выступить в различных театрах, в том числе в итальянской "Ла Скале". Прославила балерину её партия Тени в аллегории Анри Соге, она исполняла много партий поставленных Сержем Лифарем. Из классических выступлений выделяется роль в "Жизели", которую считают главной для Шовире. Ивет на сцене демонстрировала истинный драматизм, не теряя при этой всей девичьей нежности. Балерина буквально проживала жизнь каждой своей героини, выражая все эмоции на сцене. При этом Шовире очень внимательно относилась к каждой мелочи, репетируя и репетируя снова. В 1960-х годах балерина возглавила школу, в которой некогда сама и обучалась. А последний выход на сцену Ивет состоялся в 1972 году. Тогда же была учреждена премия её имени. Балерина неоднократно бывала с гастролями в СССР, где полюбилась зрителям. её партнером неоднократно был сам Рудольф Нуриев после своего бегства из нашей страны. Заслуги балерины перед страной были вознаграждены Орденом Почетного легиона.

Галина Уланова (1910-1998). Эта балерина также родилась в Санкт-Петербурге. В 9 лет она стала ученицей хореографического училища, которое и окончила в 1928 году. Сразу после выпускного спектакля Уланова вошла в труппу Театра оперы и балета в Ленинграде. Первые же выступления молодой балерины привлекли к ней внимание ценителей этого искусства. Уже в 19 лет Уланова танцует ведущую партию в "Лебедином озере". До 1944 года балерина танцует в Кировском театре. Здесь её прославили роли в "Жизели", "Щелкунчике", "Бахчисарайском фонтане". Но самой известной стала её партия в "Ромео и Джульетте". С 1944 по 1960 годы Уланова является ведущей балериной Большого театра. Считается, что вершиной её творчества стала сцена сумасшествия в "Жизели". Уланова побывала в 1956 году с гастролями Большого в Лондоне. Говорили, что такого успеха не было со времен Анны Павловой. Сценическая деятельность Улановой официально закончилась в 1962 году. Но всю оставшуюся жизнь Галина работала балетмейстером в Большом театре. За свое творчество она получила множество наград - стала Народной артисткой СССР, получала Ленинскую и Сталинскую премию, стала дважды героем Социалистического труда и лауреатом многочисленных премий. Умерла великая балерина в Москве, похоронена она на Новодевичьем кладбище. её квартира стала музеем, а в родном Питере Улановой воздвигли памятник.

Алисия Алонсо (род. 1920). Эта балерина появилась на свет в Гаване, Куба. Искусству танца она начала учиться в 10 лет. Тогда на острове была всего одна частная школа балета, руководил ею русский специалист Николай Яворский. Затем Алисия продолжила свое обучения в США. Дебют на большой сцене состоялся на Бродвее в 1938 году в музыкальных комедиях. Затем Алонсо работает в нью-йоркской "Балле театр". Там она знакомится с хореографией ведущих постановщиков мира. Алисия со своим партнером Игорем Юшкевичем решила развить балет на Кубе. В 1947 году она танцует там в "Лебедином озере" и "Аполлоне Мусагете". Однако в те времена на Кубе не было ни традиций балета, ни сцены. Да и народ не понимал такое искусство. Поэтому задача создания Национального балета в стране была очень тяжелой. В 1948 году состоялось первое выступление "Балета Алисии Алонсо". Здесь правили энтузиасты, которые сами ставили свои номера. Через два года балерина открыла и собственную балетную школу. После революции 1959 года власти обратили свой взор на балет. Труппа Алисии превратилась в желанный Национальный балет Кубы. Балерина много выступала в театрах и даже площадях, ездила на гастроли, её показывали по телевидению. Один из самых ярких образом Алонсо - партия Кармен в одноименном балете в 1967 году. Балерина настолько ревностно относилась к этой роли, что даже запрещала ставить этот балет с другими исполнительницами. Алонсо объездила весь мир, получив множество наград. А в 1999 году она получила от ЮНЕСКО медаль Пабло Пикассо за выдающийся вклад в искусство танца.

Майя Плисецкая (род. 1925). Сложно оспаривать тот факт, что самой знаменитой русской балериной является именно она. Да и карьера её оказалась рекордно долгой. Любовь к балету Майя впитала еще в детстве, ведь её дядя и тетя также являлись известными танцорами. В 9 лет талантливая девочка поступает в Московское хореографическое училище, а в 1943 году юная выпускница поступает в Большой театр. Там её педагогом стала знаменитая Агриппина Ваганова. Всего за пару лет Плисецкая прошла путь от кордебалета до солистки. Знаковой для нее стала постановка "Золушки" и партия феи Осени в 1945 году. Дальше были классические уже постановки "Раймонда", "Спящая красавица", "Дон Кихот", "Жизель", "Конек-Горбунок". Плисецкая блистала в "Бахчисарайском фонтане", где смогла продемонстрировать свой редкий дар - буквально зависать в прыжке на какие-то мгновения. Балерина поучаствовала сразу в трех постановках "Спартака" Хачатуряна, исполнив там партии Эгина и Фригии. В 1959 году Плисецкая становится Народной артисткой СССР. В 60-е годы считалось, что именно Майя является первой танцовщицей Большого театра. Ролей балерине хватало, но творческая неудовлетворенность накапливалась. Выходом стала "Кармен-сюита", одна из главных вех в биографии танцовщицы. В 1971 году Плисецкая состоялась и как драматическая актриса, сыграв в "Анне Каренине". По этому роману был написан балет, премьера которого состоялась в 1972 году. Здесь Майя пробует себя в новой роли - хореографа, что становится её новой профессией. С 1983 года Плисецкая работает в Римской опере, а с 1987 года в Испании. Там она возглавляет труппы, ставит свои балеты. Последний спектакль Плисецкой состоялся в 1990 году. Великая балерина осыпана множеством наград не только на своей Родине, но и в Испании, Франции, Литве. В 1994 году она организовала международный конкурс, дав ему свое имя. Теперь "Майя" дает возможность пробиться молодым талантам.

Ульяна Лопаткина (род.1973). Известная на весь мир балерина родилась в Керчи. В детстве она много занималось не только танцами, но и гимнастикой. В 10 лет по совету матери Ульяна поступила в Академию русского балета имени Вагановой в Ленинграде. Там её учительницей стала Наталия Дудинская. В 17 лет Лопаткина победила на всероссийском конкурсе имени Вагановой. В 1991 году балерина закончила академию и была принята в Мариинский театр. Ульяна быстро добилась для себя сольных партий. Она танцевала в "Дон Кихоте", "Спящей красавице", "Бахчисарайском фонтане", "Лебедином озере". Талант был настолько очевиден, что в 1995 году Лопаткина стала примой своего театра. Каждая её новая роль вызывает восторги и у зрителей, и у критиков. При этом саму балерину интересуют не только классические роли, но и современный репертуар. Так, одной из любимых ролей Ульяны является партия Бану в "Легенде о любви" постановки Юрия Григоровича. Лучше всего балерине удаются роли загадочных героинь. Отличительной же её особенностью являются отточенные движения, присущая только ей драматичность и высокий прыжок. Зрители верят танцовщице, ведь она на сцене абсолютно искренна. Лопаткина является лауреатом многочисленных отечественных и международных премий. Она - народная артистка России.

Анастасия Волочкова (род. 1976). Балерина вспоминает, что свою будущую профессию она определила уже в 5 лет, о чем и заявила матери. Волочкова также окончила Академию имени Вагановой. её педагогом также стала Наталия Дудинская. Уже на последнем курсе обучения Волочкова дебютировала в Мариинском и Большом театрах. С 1994 по 1998 год в репертуаре балерины ведущие партии в "Жизели", "Жар-птице", "Спящей красавице", "Щелкунчике", "Дон Кихоте", "Баядерке" и других представлениях. С труппой Мариинки Волочкова объехала полсвета. При этом балерина не боится выступать и сольно, строя карьеру параллельно театру. В 1998 году балерина получает приглашение в "Большой театр". Там она блестяще исполняет партию Царевны-лебеди в новой постановке Владимира Васильева "Лебединое озеро". В главном театре страны Анастасия получает главные партии в "Баядерке", "Дон Кихоте", "Раймонде", "Жизели". Специально для нее хореограф Дин создает новую партию феи Карабос в "Спящей красавице". При этом Волочкова не боится исполнять и современный репертуар. Стоит отметить её роль Царь-Девицы в "Коньке-Горбунке". С 1998 года Волочкова активно гастролирует по миру. Она получает приз "Золотой лев", как самая талантливая балерина Европы. С 2000 года Волочкова покидает Большой театр. Она начинает выступать в Лондоне, где покорила англичан. Вернулась Волочкова в Большой ненадолго. Несмотря на успех и популярность, администрация театра отказалась продлевать контракт на положенный обычно год. С 2005 года Волочкова выступает в собственных танцевальных проектах. её имя постоянно на слуху, она героиня светских хроник. Талантливая балерина недавно и запела, а её популярность еще больше выросла после публикации Волочковой своих обнаженных фото.

Лучшие представительницы русского балета - Анна Павлова и Галина Уланова.

Балет называют неотъемлемой частью искусства нашей страны. Русский балет считается самым авторитетным в мире, эталоном. В этом обзоре собраны истории успеха пяти великих российских балерин, на которых равняются до сих пор.

Анна Павлова

Анна Павлова - выдающаяся русская балерина.

Выдающаяся балерина Анна Павлова родилась в семье, далекой от искусства. Желание танцевать появилось у нее в 8-летнем возрасте после того, как девочка увидела балетную постановку «Спящая красавица». В 10 лет Анну Павлову приняли в Императорское театральное училище, а после его окончания – в труппу Мариинского театра.

Что любопытно, начинающую балерину не поставили в кордебалет, а сразу же стали давать ей ответственные роли в постановках. Анна Павлова танцевала под руководством нескольких балетмейстеров, но самый удачный и плодотворный тандем, оказавший основополагающее влияние на ее манеру исполнения, получился с Михаилом Фокиным.


Анна Павлова в роли умирающего лебедя.

Анна Павлова поддерживала смелые идеи балетмейстера и с готовностью соглашалась на эксперименты. Миниатюра «Умирающий лебедь», которая впоследствии стала визитной карточкой русского балета, была практически экспромтом. В этой постановке Фокин дал балерине больше свободы, позволил самостоятельно прочувствовать настроение «Лебедя», импровизировать. В одной из первый рецензий критик восхищался увиденным: «Если можно балерине на сцене подражать движениям благороднейшей из птиц, то это достигнуто: перед вами лебедь».

Галина Уланова

Галина Уланова - выдающаяся балерина, которой ставили памятники еще при жизни.

Судьба Галины Улановой была предопределена с самого начала. Мать девочки работала балетным педагогом, поэтому Галине, даже если бы очень и хотелось, то не удалось миновать балетный станок. Годы изнурительных тренировок привели к тому, что Галина Уланова стала самой титулованной артисткой Советского Союза.

После окончания хореографического техникума в 1928 году Уланову приняли в балетную труппу Ленинградского театра оперы и балета. С самых первых постановок молодая балерина привлекла внимание зрителей и критиков. Уже через год Улановой доверили исполнять ведущую партию Одетты-Одиллии в «Лебедином озере». Одной из триумфальных ролей балерины считается Жизель. Исполняя сцену сумасшествия героини, Галина Уланова делала это настолько проникновенно и самозабвенно, что в зале не могли сдержать слез даже мужчины.


Галина Уланова исполняет партию Жизель.

Галина Уланова достигла небывалых высот в мастерстве исполнения. Ей подражали, педагоги ведущих балетных школ мира требовали от учеников делать па «как Уланова». Прославленная балерина – единственная в мире, кому поставили памятники при жизни.

Галина Уланова танцевала на сцене вплоть до 50 лет. Она всегда была строга и требовательна к себе. Даже в преклонном возрасте балерина каждое утро начинала с занятий и весила 49 кг.

Ольга Лепешинская


Ольга Лепешинская - артистка балета и балетный педагог.

За страстный темперамент, искрометную технику и точность движений Ольгу Лепешинскую прозвали «Попрыгуньей-стрекозой». Балерина родилась в семье инженеров. С раннего детства девочка буквально бредила танцами, поэтому родителям ничего не оставалось, как отдать ее в балетную школу при Большом театре.

Ольга Лепешинская легко справлялась как с классикой балета («Лебединое озеро», «Спящая красавица»), так и с современными постановками («Красный мак», «Пламя Парижа».) В годы Великой Отечественной войны Лепешинская бесстрашно выступала на фронте, поднимая боевой дух солдат.


Ольга Лепешинская - балерина со страстным темпераментом

Несмотря на то, что балерина являлась любимицей Сталина и имела множество наград, она была очень требовательна к себе. Будучи уже в преклонном возрасте, Ольга Лепешинская говорила, что ее хореографию нельзя было назвать выдающейся, но «природная техника и огненный темперамент» делали ее неподражаемой.

Майя Плисецкая

Майя Плисецкая - российская и советская артистка балета

Майя Плисецкая – еще одна выдающаяся балерина, имя которой золотыми буквами вписано в историю русского балета. Когда будущей артистке было 12 лет, ее удочерила тетя Суламифь Мессерер. Отца Плисецкой расстреляли, а мать с маленьким братом выслали в Казахстан в лагерь для жен изменников Родины.

Тетя Плисецкой была балериной Большого театра, поэтому Майя тоже стала посещать занятия по хореографии. Девочка достигла больших успехов на этом поприще и после окончания училища была принята в труппу Большого театра.


Майя Плисецкая - выдающаяся балерина.

Врожденный артистизм, выразительная пластика, феноменальные прыжки Плисецкой сделали ее примой-балериной. Майя Плисецкая исполнила ведущие партии во всей классических постановках. Особенно ей удавались трагические образы. Также балерина не боялась экспериментов в современной хореографии.

После того, как в 1990 году балерину уволили из Большого театра, она не отчаялась и продолжила давать сольные выступления. Энергия, бьющая через край, и невероятная любовь к своей профессии позволили Плисецкой дебютировать в постановке «Аве Майя» в день своего 70-летия.

Людмила Семеняка

Людмила Семеняка - российская и советская балерина.

Прекрасная балерина Людмила Семеняка выступила на сцене Мариинского театра, когда ей исполнилось всего 12 лет. Талантливое дарование не могло остаться незамеченным, поэтому спустя некоторое время Людмила Семеняка была приглашена в Большой театр. Значительное влияние на творчество балерины оказала Галина Уланова, ставшая ее наставницей.

Семеняка настолько естественно и непринужденно справлялась с любой партией, что со стороны казалось, будто она не прикладывает никаких усилий, а просто наслаждается танцем. В 1976 году Людмила Ивановна была удостоена премии имени Анны Павловой от Парижской академии танца.


Людмила Семеняка, Андрис Лиепа и Галина Уланова на репетиции.

В конце 1990-х годов Людмила Семеняка сообщила о завершении карьеры балерины, но продолжила свою деятельность в качестве педагога. С 2002 года Людмила Ивановна – педагог-репетитор в Большом театре.

Уравнение касательной к графику функции

П. Романов, Т. Романова,
г. Магнитогорск,
Челябинская обл.

Уравнение касательной к графику функции

Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. , на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.

На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.

Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:

а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).

В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:

1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f "(x) и f "(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f "(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f "(a)(x – a).

Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.

Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной .

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

• касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
• касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

• касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
• касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.

1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

1. – абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1.

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f "(c) = c.
4.

Так как касательные общие, то

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.

Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.

3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c?

Решение.

Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 .

Составим и решим систему уравнений

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x 0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2?

Ответ: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой

Ответ:

6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

Ответ: M(2; 3).

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

Ответ: y = 2x – 4.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ:

9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x 1 = 1, x 2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

Ответ: q = 45°.

11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?

Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответ:

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.

Ответ:

15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (– 6).

16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

Ответ: A(– 3; 11).

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

Ответ: K(1; – 9).

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15?

Ответ: – 1; 31.

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

Ответ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x 0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Ответ: b = – 3.

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ:

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox?

Ответ: k = д 2.

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ:

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Ответ: прямая y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых учителей. Тема «Приложения производной». – М., «Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. – М., МГУ, 1968.

Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k (x - x 0 ) .

Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.