Гнеденко курс теории вероятностей. Курс теории вероятностей. Гнеденко Б.В
Юбилейное 10-е издание, посвященное 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Гнеденко
| Предисловие к десятому изданию (А.Н.Ширяев) | |||
| Предисловие к шестому изданию | |||
| Из предисловия ко второму изданию | |||
| Из предисловия к первому изданию | |||
| Введение | |||
| 1 | Случайные события и их вероятности | ||
| § 1. | Интуитивные представления о случайных событиях | ||
| § 2. | Поле событий. Классическое определение вероятности | ||
| § 3. | Примеры | ||
| § 4. | Геометрические вероятности | ||
| § 5. | О статистической оценке неизвестной вероятности | ||
| § 6. | Аксиоматическое построение теории вероятностей | ||
| § 7. | Условная вероятность и простейшие основные формулы | ||
| § 8. | Примеры | ||
| 2 | Последовательность независимых испытаний | ||
| § 9. | Вводные замечания | ||
| § 10. | Локальная предельная теорема | ||
| § 11. | Интегральная предельная теорема | ||
| § 12. | Применения интегральной теоремы Муавра--Лапласа | ||
| § 13. | Теорема Пуассона | ||
| § 14. | Иллюстрация схемы независимых испытаний | ||
| 3 | Цепи Маркова | ||
| § 15. | Определение цепи Маркова | ||
| § 16. | Матрица перехода | ||
| § 17. | Теорема о предельных вероятностях | ||
| 4 | Случайные величины и функции распределения | ||
| § 18. | Основные свойства функций распределения | ||
| § 19. | Непрерывные и дискретные распределения | ||
| § 20. | Многомерные функции распределения | ||
| § 21. | Функции от случайных величин | ||
| § 22. | Интеграл Стилтьеса | ||
| 5 | Числовые характеристики случайных величин | ||
| § 23. | Математическое ожидание | ||
| § 24. | Дисперсия | ||
| § 25. | Теоремы о математическом ожидании и дисперсии | ||
| § 26. | Моменты | ||
| 6 | Закон больших чисел | ||
| § 27. | Массовые явления и закон больших чисел | ||
| § 28. | Закон больших чисел в форме Чебышева | ||
| § 29. | Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел | ||
| § 30. | Усиленный закон больших чисел | ||
| § 31. | Теорема В.И.Гливенко | ||
| 7 | Характеристические функции | ||
| § 32. | Определение и простейшие свойства характеристических функций | ||
| § 33. | Формула обращения и теорема единственности | ||
| § 34. | Теоремы Хелли | ||
| § 35. | Предельные теоремы для характеристических функций | ||
| § 36. | Положительно определенные функции | ||
| § 37. | Характеристические функции многомерных случайных величин | ||
| § 38. | Преобразование Лапласа--Стилтьеса | ||
| 8 | Классическая предельная теорема | ||
| § 39. | Постановка задачи | ||
| § 40. | Теорема Линдеберга | ||
| § 41. | Локальная предельная теорема | ||
| 9 | Теория безгранично делимых законов распределения | ||
| § 42. | Безгранично делимые законы и их основные свойства | ||
| § 43. | Каноническое представление безгранично делимых законов | ||
| § 44. | Предельная теорема для безгранично делимых законов | ||
| § 45. | Постановка задачи о предельных теоремах для сумм | ||
| § 46. | Предельные теоремы для сумм | ||
| § 47. | Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона | ||
| § 48. | Суммирование независимых случайных величин в случайном числе | ||
| 10 | Теория стохастических процессов | ||
| § 49. | Вводные замечания | ||
| § 50. | Процесс Пуассона | ||
| § 51. | Процессы гибели и размножения | ||
| § 52. | Условные функции распределения и формула Байеса | ||
| § 53. | Обобщенное уравнение Маркова | ||
| § 54. | Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова | ||
| § 55. | Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова--Феллера | ||
| § 56. | Однородные случайные процессы с независимыми приращениями | ||
| § 57. | Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции | ||
| § 58. | Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов | ||
| § 59. | Эргодическая теорема Биркгофа--Хинчина | ||
| 11 | Элементы статистики | ||
| § 60. | Основные задачи математической статистики | ||
| § 61. | Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения | ||
| § 62. | Теорема Колмогорова | ||
| § 63. | Критерий согласия Колмогорова | ||
| § 64. | О проверке неизменности распределения вероятностей | ||
| § 65. | Классический метод определения параметров распределения | ||
| § 66. | Исчерпывающие статистики | ||
| § 67. | Доверительные границы и доверительные вероятности | ||
| § 68. | Проверка статистических гипотез | ||
| § 69. | Метод последовательного анализа | ||
| Дополнение 1. | Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова | ||
| Дополнение 2. | Лемма Бореля--Кантелли и ее применение | ||
| Дополнение 3. | О преобразованиях Лапласа | ||
| Дополнение 4. | Очерк по истории теории вероятностей | ||
| 1 | Предыстория понятия вероятности и случайного события | ||
| § 1. | Первые данные | ||
| § 2. | Исследования Дж.Кардано и Н.Тарталья | ||
| § 3. | Исследования Галилео Галилея | ||
| § 4. | Вклад Б.Паскаля и П.Ферма в развитие теории вероятностей | ||
| § 5. | Работа Х.Гюйгенса | ||
| § 6. | О первых исследованиях по демографии | ||
| 2 | Период формирования основ теории вероятностей | ||
| § 7. | Возникновение классического определения вероятности | ||
| § 8. | О формировании понятия геометрической вероятности | ||
| § 9. | Основные теоремы теории вероятностей | ||
| § 10. | Задача о разорении игрока | ||
| § 11. | Возникновение предельных теорем теории вероятностей | ||
| § 12. | Статистический контроль качества продукции | ||
| § 13. | Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности | ||
| 3 | К истории формирования понятия случайной величины | ||
| § 14. | Развитие теории ошибок наблюдений | ||
| § 15. | Формирование понятия случайной величины | ||
| § 16. | Закон больших чисел | ||
| § 17. | Центральная предельная теорема | ||
| § 18. | Общие предельные распределения для сумм | ||
| § 19. | Закон повторного логарифма | ||
| § 20. | Формирование понятий математического ожидания и дисперсии | ||
| 4 | К истории теории случайных процессов | ||
| § 21. | Общие представления | ||
| § 22. | Дальнейшее развитие | ||
| Таблицы значений функций | |||
| Литература | |||
| Литература к 3-му изданию | |||
| Список изданий книги Б.В.Гнеденко "Курс теории вероятностей" | |||
| Алфавитный указатель | |||
Настоящее издание приурочено к столетию со дня рождения Бориса Владимировича Гнеденко (1 января 1912 г.) -- выдающегося ученого в области теории вероятностей и её приложений. Мировую известность ему принесли исследования по суммированию случайных величин, подытоженных в совместной с Андреем Николаевичем Колмогоровым монографии "Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин". Под влиянием Б.В.Гнеденко сформировались такие науки как теория массового обслуживания, основы которой были заложены Александром Яковлевичем Хинчиным, и теория надёжности. В этих прикладных областях теории вероятностей им так же получены фундаментальные результаты.
Его учебник "Курс теории вероятностей", первое издание которого появилось в 1950 году, был важным этапом в развитии теории вероятностей. Он многократно переиздавался и переведён на многие языки. Вряд ли можно назвать в российской, да и в мировой научно-учебной литературе в целом учебник или учебное пособие, выдержавшее такое испытание временем.
За последние годы учебник переиздавался несколько раз. Это подтверждает то, что классический учебник Бориса Владимировича продолжает жить и остаётся востребованным.
Общий замысел учебника, состоящего из двух частей -- элементарной (главы 1--6) и специальной (главы 7--11), практически не менялся во всех изданиях. Менялся (а иногда и не помещался) лишь некоторый материал, относящийся к математической статистике, массовому обслуживанию и истории теории вероятностей.
В честь столетия со дня рождения мы решили представить читателю книгу, в которую возвращены несколько параграфов главы "Элементы статистики" из первого и третьего изданий (§ 61, 62, 63, 69 из первого издания и § 64 из третьего), исключенных из последующих изданий самим автором.
Многочисленные рецензии на данный "Курс теории вероятностей" особо отмечают тщательность изложения, большое педагогическое мастерство Бориса Владимировича, удачный отбор излагаемого материала.
Нет сомнения, что настоящее издание этого классического учебника по теории вероятностей будет интересно и полезно как широкому кругу специалистов и преподавателей, так и всем тем, кто начал или хочет познакомиться с основами теории вероятностей, с её понятиями, концепциями, методами и самыми разнообразными приложениями.
Член-корреспондент РАН,
профессор А.Н.Ширяев
Более трети века прошло со времени выхода в свет первого издания настоящей книги. С тех пор в нашей стране и за ее пределами вышли многочисленные учебники по теории вероятностей, заслуживающие самой высокой оценки. Отличительная черта подавляющего числа этих книг -- стремление дать возможно более строгое в теоретическом плане изложение теории и показать силу математической абстракции. Настоящая книга ставит перед собой совсем иную цель: восходя от интуитивных представлений и рассматривая большое число примеров, подойти хотя бы к некоторым исследованиям, активно развивающимся в наши дни.
Это издание значительно отличается от предшествующего: введен ряд параграфов, содержащих изложение некоторых новых результатов, вполне доступных читателям настоящей книги: вновь помещена небольшая глава, содержащая элементы математической статистики: приведено добавление, излагающее довольно подробно период возникновения и развития теории вероятностей. Этот очерк базируется на исследованиях последних лет автора и его учеников. Следует сказать, что многие вопросы истории теории вероятностей еще ожидают своих исследователей. В частности, в таком состоянии находится теория случайных процессов. Однако многое еще требует выяснения и в классической теории вероятностей.
Всем хорошо известно, что абстрактное изложения предмета дает возможность быстрее подвести читателя к современному состоянию науки, а также выиграть страницы, которые необходимы для изложения материала. Я считаю, что при первоначальном знакомстве с математическими дисциплинами, а особенно с теорией вероятностей, необходимо рассмотрение большого числа примеров, которые помогли бы развить своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, способность увязывать абстрактные идеи и методы с практическими ситуациями. Это приобретение необходимо каждому математику, а особенно подавляющему большинству студентов-математиков, которым предстоит работать в научно-исследовательских институтах прикладного плана. К тому же в настоящее время с теорией вероятностей вынуждены знакомиться многие специалисты, поскольку в их повседневной работе теоретико-вероятностные концепции крайне необходимы. Им знакомиться с необходимым разделом науки по абстрактным книгам и трудно, и не нужно, поскольку такие книги не создадут так необходимого мостика между потребностями практики и математической теорией. Впрочем, для этой категории читателей, быть может, нужны совсем особые книги, написанные в специальном методическом и психологическом ключе.
Когда книга уже написана, видишь, как много в ней недостатков, как много мест следовало бы в ней переделать. Однако приходится смириться и отложить переделки до возможного переиздания. В связи с этим я прошу читателя направлять мне критические замечания и пожелания, к которым я отнесусь со всем необходимым вниманием.
Я счастлив поблагодарить Ю.В.Прохорова, Б.А.Севастьянова и Д.М.Чибисова за большое число замечаний, которые они мне сделали в результате знакомства с рукописью. К сожалению, я не имел возможности в полной мере использовать все их пожелания, постараюсь это сделать впоследствии.
Б.В.Гнеденко
Настоящее издание значительно отличается от первого. Я постарался возможно полнее учесть в нем замечания и пожелания, которые содержались в печатных рецензиях на первое издание книги, а также были сообщены мне устно и письменно. Пожалуй, наиболее существенным изменением является добавление задач для упражнений в первых девяти главах.
Значительные добавления сделаны в главе 10: они касаются главным образом расширения сведений по теории стационарных случайных процессов. Большим изменениям подверглась последняя глава, посвященная математической статистике. В этой главе имеются некоторые новые параграфы, но в то же время исключен частично материал, содержавшийся в первом издании. Пользуюсь случаем сердечно поблагодарить товарищей, высказавших откровенное мнение о недостатках книги и способствовавших своей критикой их исправлению. Особенно я благодарен Ю.В.Линнику за его постоянный интерес к настоящей книге, большое число замечаний к первому изданию и за дискуссию по рукописи второго издания.
Б.В.Гнеденко
Настоящий курс разбивается на две части -- элементарную (главы 1--6) и специальную (главы 7--11). Последние пять глав могут служить базой для спецкурсов -- теории суммирования случайных величин, теории стохастических процессов, элементов математической статистики.
Теория вероятностей рассматривается в книге исключительно как математическая дисциплина, поэтому получение конкретных естественно-научных или технических результатов в ней не является самоцелью. Все примеры в тексте книги имеют целью только разъяснение общих положений теории и указание на связь этих положений с задачами естествознания. Конечно, одновременно эти примеры дают указания на возможные области приложения общетеоретических результатов, а также развивают умение применять эти результаты в конкретных задачах. Хорошо, если изучающий теорию вероятностей имеет перед глазами какие-нибудь явления материального мира для того, чтобы общая математическая схема наполнялась определенным смыслом. Такое направление изучения дает возможность читателю выработать своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, которая позволяет предвидеть в общих чертах выводы раньше, чем применен аналитический аппарат. Заметим далее, что без систематического решения задач изучать теорию вероятностей нельзя, в особенности на первых порах.
Первые четыре параграфа главы 1 являются незначительной переработкой неопубликованных рукописей А.Н.Колмогорова.
Я счастлив поблагодарить здесь моих дорогих учителей А.Н.Колмогорова и А.Я.Хинчина, много помогавших мне своими советами и беседами, касавшимися узловых вопросов теории вероятностей.
Б.В.Гнеденко
Цель настоящей книги состоит в изложении основ теории вероятностей -- математической науки, изучающей закономерности случайных явлений.
Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса (1629--1695), Паскаля (1623--1662), Ферма (1601--1665) и Якоба Бернулли (1654--1705). В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными игроками и не укладывающимися в рамки математики того времени, выкристаллизовывались постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игроков, предвидели и фундаментальную натурфилософскую роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно арифметическим и комбинаторным методам. Последующее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее результатов и методов исследования в естествознание, и в первую очередь в физику, показали, что классические понятия и классические методы не потеряли своего значения и в настоящее время.
Серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр (1667--1754), Лаплас (1749--1827), Гаусс (1777--1855), Пуассон (1781--1840). С формально-аналитической стороны к этому же направлению примыкает работа творца неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевского (1792--1856), посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная с целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной.
С половины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов XX века развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых -- П.Л.Чебышева (1821--1894), А.А.Маркова (1856--1922), А.М.Ляпунова (1857--1918). Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью В.Я.Буняковского (1804--1889), широко культивировавшего в России исследования по применению теории вероятностей к статистике, в особенности к страховому делу и демографии. Им был написан первый в России курс теории вероятностей, оказавший большое влияние на развитие интереса к этой области науки. Основное непреходящее значение работ Чебышева, Маркова и Ляпунова в области теории вероятностей состоит в том, что ими было введено в качестве объекта систематического изучения и широко использовано понятие случайной величины. С результатами Чебышева относительно закона больших чисел, с "цепями Маркова" и с предельной теоремой Ляпунова мы познакомимся в соответствующих разделах настоящей книги.
Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических приложений. В этой напряженной научной работе советская школа теории вероятностей продолжает занимать выдающееся положение. Среди представителей первого поколения советских ученых прежде всего должны быть названы имена С.Н.Бернштейна (1880--1968), А.Н.Колмогорова (1903--1987) и А.Я.Хинчина (1894--1959). В процессе изложения мы будем вынуждены самим существом дела вводить читателя в курс преобразовавших лицо теории вероятностей идей и результатов. Так, уже в первой главе будем говорить о фундаментальных работах С.Н.Бернштейна, Р.Мизеса (1883--1953) и А.Н.Колмогорова по основаниям теории вероятностей. В двадцатых годах XX столетия А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров, Е.Е.Слуцкий (1880--1948) и П.Леви (1886--1971) установили тесную связь между теорией вероятностей и метрической теорией функций. Эта связь оказалась весьма плодотворной. На этом пути удалось найти окончательное решение классических задач, поставленных еще П.Л.Чебышевым, а также значительно расширить содержание теории вероятностей. Полностью к советскому периоду относится создание А.Н.Колмогоровым и А.Я.Хинчиным в тридцатых годах основ теории стохастических (вероятностных, случайных) процессов, которая теперь стала основным направлением исследований в теории вероятностей. Указанная теория служит прекрасным образцом того органического синтеза математического и естественнонаучного мышления, когда математик, овладев физическим существом узловой проблемы естествознания, находит для нее адекватный математический язык. Нам важно заметить, что решение классических задач теории вероятностей оказалось тесно связанным с теорией стохастических процессов. Элементы этой важной главы теории вероятностей будут изложены нами в главе десятой.
За последние десятилетия неизмеримо выросла роль, которую играет теория вероятностей в современном естествознании. После того как молекулярные представления о строении вещества получили всеобщее признание, стало неизбежным широкое использование теории вероятностей и в физике, и в химии. Заметим, что с точки зрения молекулярной физики каждое вещество состоит из огромного числа малых частиц, находящихся в непрерывном движении и в процессе этого движения воздействующих друг на друга. При этом о природе этих частиц, о существующем между ними взаимодействии, характере их движения и пр. известно мало. В основных чертах эти сведения исчерпываются тем, что частиц, из которых состоит вещество, очень много и что в однородном теле они близки по своим свойствам. Естественно, что при таких условиях обычные для физических теорий методы математических исследований становились бессильными. Так, например, аппарат дифференциальных уравнений не мог привести в указанной обстановке к серьезным результатам. Действительно, ни строение, ни законы взаимодействия между частицами вещества в достаточной мере не изучены, и при таких условиях применение аппарата дифференциальных уравнений должно носить элементы грубого произвола. Но даже если бы этой трудности не существовало, уже одно количество этих частиц представляет собой такую трудность в изучении их движения, которую преодолеть с помощью обычных уравнений механики нет возможности.
К тому же и методологически такой подход неудовлетворителен. Действительно, задача, которая здесь возникает, состоит не в изучении индивидуальных движений частиц, а в изучении тех закономерностей, которые возникают в совокупностях большого числа движущихся и взаимодействующих частиц. Закономерности же, возникающие вследствие участвующих в их возникновении ингредиентов, имеют свое собственное своеобразие и не сводятся к простому суммированию индивидуальных движений. Более того, эти закономерности в известных пределах оказываются не зависящими от индивидуальных особенностей участвующих в их порождении частиц. Конечно, для изучения этих новых закономерностей должны быть найдены и соответствующие новые математические методы исследования. Какие же требования должны быть в первую очередь предъявлены к этим методам? Понятно, что в первую очередь они должны учитывать то, что изучаемое явление носит массовый характер; таким образом, для этих методов наличие большого числа взаимодействующих частиц должно представлять не дополнительную трудность, а облегчать изучение возникающих закономерностей. Далее, недостаточность знаний о природе и строении частиц, а также о характере их взаимодействия не должна ограничивать эффективности их применения. Этим требованиям лучше всего удовлетворяют методы теории вероятностей.
Чтобы сказанное не было понято ошибочно, мы еще раз подчеркнем следующее обстоятельство. Говоря, что аппарат теории вероятностей лучше приспособлен для изучения молекулярных явлений, мы ни в коей мере не хотим сказать, что философские предпосылки использования теории вероятностей в естествознании лежат в "недостаточности знаний". Основной принцип состоит в том, что при изучении "массовых" явлений возникают своеобразные новые закономерности . При изучении явлений обусловленных действием большого числа молекул, учет свойств каждой молекулы не нужен. Действительно, при изучении явлений природы необходимо отвлекаться от учета несущественных подробностей. Рассмотрение же всех деталей, всех существующих связей, в том числе и несущественных для данного явления, приводит лишь к тому, что само явление затемняется и овладение им отодвигается ввиду такой искусственной усложненной обстановки.
Насколько удачно произведена схематизация явлений, насколько удачно выбран математический аппарат для его изучения, мы можем судить по согласию теории с опытом, с практикой. Развитие естествознания, в частности физики, показывает, что аппарат теории вероятностей оказался весьма хорошо приспособленным к изучению многочисленных явлений природы.
Указанная связь теории вероятностей с потребностями современной физики лучше всего поясняет те причины, в силу которых в последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся областей математики. Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественнонаучного использования метода теории вероятностей. Всестороннее изучение явлений природы толкает теорию вероятностей на разыскание новых закономерностей, порождаемых случаем. Теория вероятностей не отмежевывается от запросов других наук, а идет в ногу с общим развитием естествознания. Понятно, что сказанное не означает, что теория вероятностей является лишь вспомогательным средством для решения тех или иных практических задач. Наоборот, следует подчеркнуть, что теория вероятностей превратилась в стройную математическую дисциплину с собственными проблемами и методами доказательств. В то же время выяснилось, что наиболее существенные проблемы теории вероятностей служат делу решения различных задач естествознания.
Мы определили в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Отложив выяснение смысла понятия "случайное явление (событие)" до первой главы, мы сейчас ограничимся несколькими замечаниями. Если в обыденных представлениях, в житейской практике считается, что случайные события представляют собой нечто крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей, закономерному развитию событий, то в теории вероятностей мы откажемся от этих представлений. Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей; в частности, все они происходят в массовых явлениях. Под массовыми явлениями мы понимаем такие, которые имеют место в совокупностях большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются именно этим массовым характером явлений и лишь в незначительной мере зависят от природы составляющих объектов.
Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и в других областях естествознания, военном деле, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике и т.д. В последнее время в связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей используются не только для браковки уже изготовленной продукции, но, что важнее, для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве). Большое значение в этом круге идей имеет разработка статистических методов управления качеством продукции в процессе производства. Для всего инженерного дела серьезную роль приобрела теория надежности, широко использующая методы теории вероятностей. Здесь уместно заметить, что в свою очередь теория надежности выдвинула перед теорией вероятностей ряд новых теоретических вопросов. Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, была основной причиной ее бурного развития. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здесь кстати вспомнить замечательные слова основателя нашей отечественной школы теории вероятностей П.Л.Чебышева: "Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных... Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике".
Борис Владимирович Гнеденко (1912--1995) -- один из крупнейших советских математиков, жизнь которого с 1934 года и до последних дней была связана с механико-математическим факультетом Московского университета (работая с 1945 по 1960 гг. на Украине и в Германской Демократической Республике, он поддерживал тесные научные связи с факультетом).Борис Владимирович родился 1 января 1912 г. в Симбирске. В силу сложившихся обстоятельств его семья переехала вначале в Казань (1915), затем в Углич (1923), и, наконец, в Саратов (1925). В 1927 г. пятнадцатилетним юношей он поступил на физико-математический факультет Саратовского университета, который закончил в 1930 г. В 1934 г. Б.В.Гнеденко стал аспирантом мехмата МГУ.
Б.В.Гнеденко был учеником и соратником А.Я.Хинчина и А.Н.Колмогорова -- ярчайших деятелей Московской математической школы. Он является одним из создателей теории суммирования независимых случайных величин, сформировавшейся в 20--30Нх годах, которая стала называться классической уже в 50Не годы XX века. Начав свою научную деятельность с теории суммирования, где ему принадлежит ряд основополагающих достижений, с течением времени он стал обращаться и к прикладным областям теории вероятностей.
Б.В.Гнеденко -- основатель вероятностных школ на Украине и в Германской Демократической Республике.
Кафедра теории вероятностей, одна из ведущих на механико-математическом факультете МГУ, основанная А.Н.Колмогоровым (1935), была передана Андреем Николаевичем Б.В.Гнеденко (1966). За тридцать лет под руководством Бориса Владимировича кафедра укрепила свои позиции на факультете.
Сотни тысяч студентов учились и учатся по его книге "Курс теории вероятностей", хорошо известной во всем мире. Она многократно издавалась -- в девяти странах, на десяти языках -- и является базовым учебником во многих ведущих университетах мира.
Очерк истории теории вероятностей, помещенный в учебнике, является замечательным примером еще одной грани таланта Бориса Владимировича. Это -- историко-математические исследования. Среди его многочисленных работ этого направления выделяется удивительно удачная книга "Очерки по истории математики в России" (1Не издание -- 1946 г., 4-е издание -- М.: URSS, 2009 г.).
Борис Владимирович много сил и времени уделял пропаганде математики. В начале 60Нх годов Б.В.Гнеденко организовал выпуск серии брошюр, посвященных применению математики в различных областях практической деятельности.
Б.В.Гнеденко был избран почетным доктором Берлинского университета им.Гумбольдта (1976), почетным доктором Афинского университета (1993), являлся членом Королевского Статистического общества (Великобритания), членом редколлегий ряда отечественных и зарубежных журналов.
Профессор В.М.Золотарев
Гнеденко
Борис Владимирович
Выдающийся ученый в области теории вероятностей и ее приложений. Мировую известность ему принесли исследования по теории суммирования независимых случайных величин, отраженные, в частности, в монографии «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» (1949, в соавт. с А. Н. Колмогоровым). Одним из первых среди отечественных ученых в середине 1930-х гг. начал развивать теорию массового обслуживания, притом в ее прикладном аспекте. Создал на Украине всемирно известную школу теории вероятностей и математической статистики, московскую школу теории массового обслуживания, оказал большое влияние на формирование теоретико-вероятностных школ во многих странах. Его «Курс теории вероятностей» признан одним из лучших учебников для студентов. С 1966 г. до конца своих дней бессменно руководил кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Академик АН Украины (1948). Лауреат Государственной премии СССР (1979). Член Royal Statistical Society (Великобритания), почетный доктор Берлинского университета им. Гумбольдта и Афинского университета.
Соглашение
Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":
Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;
Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);
Запрещается использовать чужие данные;
Запрещается использовать чужие e-mail адреса;
Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:
1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.
1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).
1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.
4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.
4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.
4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".
4.4. Угрозы в адрес участников форума.
4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.
4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.
4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.
4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.
5.1. Мат и ненормативная лексика.
5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).
5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.
5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.
5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.
5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).
5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.
5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.
5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.
5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.
6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.
6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.
6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.
6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.
6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.
6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.
7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума
7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.
7.4. Удаление учетной записи.
7.5. Блокировка IP.
8. Примечания
8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.
8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.
8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.
8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.
9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.
Курс теории вероятностей. Гнеденко Б.В.
8-е изд., испр. и доп.-М.: Едиториал УРСС, 2005.- 448 с.
Дается систематическое изложение основ теории вероятностей, проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера. В настоящее издание возвращен очерк по истории теории вероятностей.
Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.
Формат: djvu / zip
Размер: 4,2 9 Мб
/ Download
файл
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому
изданию 11
Предисловие к шестому изданию 11
Из предисловия ко второму изданию 13
Из предисловия к первому изданию 13
Введение 15
Глава 1. Случайные события и их вероятности 20
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях 20
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 24
§ 3. Примеры 32
§ 4. Геометрические вероятности 40
§ 5. 0 статистической оценке неизвестной вероятности 46
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы. . 55
§ 8. Примеры 62
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 71
§ 9. Вводные замечания 71
§ 10. Локальная предельная теорема 75
§ 11. Интегральная предельная теорема 82
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.... 89
§ 13. Теорема Пуассона 93
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 98
Глава 3. Цепи Маркова 104
§ 15. Определение цепи Маркова 104
§ 16. Матрица перехода 105
§ 17. Теорема о предельных вероятностях 106
Глава 4. Случайные величины и функции распределения 111
§ 18. Основные свойства функций распределения 111
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 117
§ 20. Многомерные функции распределения 121
§ 21. Функции от случайных величин 129
§ 22. Интеграл Стилтьеса 140
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин 149
§ 23. Математическое ожидание 149
§ 24. Дисперсия 154
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 160
§ 26. Моменты 165
Глава 6. Закон больших чисел 174
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел 174
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 177
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 181
§ 30. Усиленный закон больших чисел 184
§ 31. Теорема В. И.Вшвенко 190
Глава 7. Характеристические функции 198
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций 198
§ 33. Формула обращения и теорема единственности 203
§ 34. Теоремы Хелли 208
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций... 212
§ 36. Положительно определенные функции 216
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных величин 222
§ 38. Преобразование Лапласа-Стилтьеса 226
Глава 8. Классическая предельная теорема 234
§ 39. Постановка задачи 234
§ 40. Теорема Линдеберга 237
§ 41. Локальная предельная теорема 242
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 249
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства.... 249
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 252
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов. 257
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 260
§ 46. Предельные теоремы для сумм 261
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона. . 264
§ 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 267
Глава 10. Теория стохастических процессов 273
§ 49. Вводные замечания 273
§ 50. Процесс Пуассона 277
§ 51. Процессы гибели и размножения 282
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса 293
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова 297
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 298
§ 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова-Феллера 306
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 313
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о
корреляционной функции 318
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных
процессов 323
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина 326
Глава 11. Элементы статистики 331
§ 60. Основные задачи математической статистики 331
§ 61. Классический метод определения параметров распределения 334
§ 62. Исчерпывающие статистики 344
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности.... 345
§ 64. Проверка статистических гипотез 352
Дополнение 1. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова
360
Дополнение 2. Лемма Бореля-Кантелли и ее применение 363
Дополнение 3. Очерк по истории теории вероятностей 366
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события. . 366
§ 1. Первые данные 366
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н.Тарталья 368
§ 3. Исследования Галилео Галилея 371
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 374
§ 5. Работа X. Гюйгенса 379
§ 6. О первых исследованиях по демографии 383
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 386
§ 7. Возникновение классического определения вероятности. . 386
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности. . . 390
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей 394
§ 10. Задача о разорении игрока 399
§11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей. . 400
§ 12. Статистический контроль качества продукции 403
§ 13. Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности 406
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 408
§ 14. Развитие теории ошибок наблюдений 408
§ 15. Формирование понятия случайной величины 411
§ 16. Закон больших чисел 414
§ 17. Центральная предельная теорема 416
§ 18. Общие предельные распределения для сумм 422
§ 19. Закон повторного логарифма 425
§ 20. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии 427
Глава 4. К истории теории случайных процессов 430
§ 21. Общие представления 430
§ 22. Дальнейшее развитие 434
Таблица значений функции <р(х) =.... 436
Таблица значений функции Ф(х) =...... 437
Таблица значений функции f
(а) =
......
438
Таблица значений функции.............440
Список литературы 441
Список изданий книги Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» .... 442
О Борисе Владимировиче Гнеденко 443
Алфавитный указатель 444
Аннотация
Дается систематическое изложение основ теории вероятностей, проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера.
Настоящее издание значительно отличается по содержанию от 5-го (1969 г.): введены дополнительные параграфы математического и прикладного характера, добавлен большой очерк истории теории вероятностей, содержащей результаты исследований самого последнего времени.
Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.
Другие книги по теории вероятностей на сайте:
Борель Э. Вероятность и достоверность
Вентцель Е.С. Теория вероятностей
Вентцель Е.С. Введение в исследование операций
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Айвазян C.A. и др. Прикладная статистика в 3-х томах
Босс В. Лекции по Математике. Вероятность, информация, статистика
Чернова Н.И. Теория вероятности
Цветкова Г.М. Теория Вероятностей
The file will be sent to selected email address. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
The file will be sent to your Kindle account. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
Please note you"ve to add our email [email protected]
to approved e-mail addresses. Read more .
You can write a book review and share your experiences. Other readers will always be interested in your opinion of the books you"ve read. Whether you"ve loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them.
B.B. FHEEHKO KYPC TEOPHH BEPO5tTHOCTEH H3./IAHHE IIIECTOE, .OIIOJ1HEHHOE MOCKBA "HAYKA" FJ1ABHAYl PEAKHYl � H3HKO-M ATE MATHqECKO "4 .rlHTEPATYPbl 1988
BBK 22.171 1"56 YJ1K 519.21 (075.8) F H e a e H K O B.B. Kypc Teop4n 3epoaxaoerefi: Yqe6m4i< -- H3. 6-e, uepepa6. vi 2,on. - M.: Hayi
