So erhalten Sie Polyederwinkel. Polyederwinkel Ein Polyederwinkel ist das räumliche Analogon eines Polygons. Textmitschrift der Lektion

POLYHEDALE WINKEL

Ein Polyederwinkel ist das räumliche Analogon eines Polygons. Denken Sie daran, dass ein Polygon auf einer Ebene eine Figur ist, die aus einer einfachen geschlossenen gestrichelten Linie und dem dadurch begrenzten inneren Bereich besteht. Wir betrachten einen Strahl im Raum als Analogon eines Punktes auf einer Ebene und einen Ebenenwinkel im Raum als Analogon eines Segments auf einer Ebene. Dann ist das Analogon einer einfachen geschlossenen gestrichelten Linie in der Ebene eine Fläche, die durch eine endliche Menge von Ebenenwinkeln gebildet wirdA 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, Ein -1 SA n, Eine SA 1 mit einem gemeinsamen ScheitelpunktS (Abb. 1), bei dem benachbarte Ecken keine gemeinsamen Punkte haben, mit Ausnahme der Punkte eines gemeinsamen Strahls, und nicht benachbarte Ecken nicht Gemeinsame Punkte, mit Ausnahme des gemeinsamen Scheitelpunkts. Die Figur, die von der angegebenen Fläche und einem der beiden von ihr begrenzten Raumteile gebildet wird, wird aufgerufen Polyederwinkel. Gemeinsames Oberteil Sangerufen Spitze Polyederwinkel. StrahlenS.A. 1 , …, SA nwerden genannt Rippen Polyederwinkel und die ebenen Winkel selbstA 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, Ein -1 SA n, Eine SA 1 – Kanten Polyederwinkel. Ein Polyederwinkel wird durch die Buchstaben angezeigtS.A. 1 … Ein, gibt den Scheitelpunkt und die Punkte an seinen Kanten an. Abhängig von der Anzahl der Flächen werden Polyederwinkel als Trieder, Tetraeder, Pentaeder (Abb. 2) usw. bezeichnet.

Ein Polyederwinkel heißt konvex, wenn es sich um eine konvexe Figur handelt, d.h. enthält zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte auch den sie verbindenden Punkt Liniensegment. In Abbildung 2 sind die Dreiecks- und Tetraederwinkel konvex, der Fünfeckswinkel jedoch nicht.
Betrachten wir einige Eigenschaften von Dreiecken und ähnliche Eigenschaften von Dreieckswinkeln.
Eigentum 1(Dreiecksungleichung). Jede Seite des Dreiecks weniger als der Betrag seine anderen beiden Seiten.
Eine ähnliche Eigenschaft für Dreieckswinkel ist die folgende Eigenschaft.
Eigentum 1". Jeder Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Ebenenwinkel.
Nachweisen. Betrachten Sie einen dreiflächigen Winkel SABC . Der größte seiner Ebenenwinkel sei der Winkel A.S.C.. Dann gelten die Ungleichungen

ASB ASC< ASC + BSC ;BSC ASC< ASC + ASB .

Es bleibt also noch die Ungleichheit zu beweisen ASC< A.S.B.+ B.S.C..
Stellen wir es auf den Rand A.S.C. Ecke A.S.D., gleich A.S.B. , und Punkt B lasst uns so wählen SB = SD(Abb. 3). Dann die Dreiecke A.S.B. Und A.S.D. gleich (auf zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen) und daher AB = AD. Verwenden wir die Dreiecksungleichung A.C.< AB + BC . Von beiden Seiten subtrahieren AD = AB, erhalten wir die Ungleichung Gleichstrom< BC. In Dreiecken DSC Und B.S.C. eine Seite ist gemeinsam ( SC.), SD = SB Und Gleichstrom< BC. In diesem Fall dagegen größere Seite liegt ein größerer Winkel und daher DSC< BSC . Addiert man zu beiden Seiten dieser Ungleichung den Winkel A.S.D. , gleich A.S.B., erhalten wir die erforderliche Ungleichung ASC< A.S.B.+ B.S.C..

Folgerung 1.Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels beträgt weniger als 360° .
Nachweisen. Lassen SABC– ein gegebener Dreieckswinkel. Betrachten Sie einen Dreieckswinkel mit Scheitelpunkt A, gebildet durch Kanten ABS, ACS und Winkel BAC. Aufgrund der bewiesenen Eigenschaft gilt die Ungleichung BAC< BAS+ CAS. Ähnliches gilt für Dreieckswinkel mit Eckpunkten B Und MIT Es gibt Ungleichheiten: ABC< Abs+ CBS, ACB< ACS+ BCS. Addiere diese Ungleichungen und berücksichtige, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks entsteht ABC gleich 180° , wir erhalten 180 ° < BAS+CAS+ ABS+CBS+BCS+ ACS= 180 ° - ASB+ 180° - B.S.C.+ 180° - A.S.C.. Somit, ASB+BSC+ASC< 360 ° .
Folgerung 2.Die Summe der Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360.
Der Beweis ähnelt dem vorherigen.
Folgerung 3.Summe Diederwinkel Dreieckswinkel größer als 180° .
Nachweisen. Lassen SABC- Dreieckswinkel. Wählen wir einen Punkt P hinein und lassen Sie Senkrechte davon fallen PA 1 , P.B. 1 , PC 1 am Rand (Abb. 4).

Flache Ecken B 1 PC 1 , A 1 PC 1 , A 1 P.B. 1 Ergänzen Sie die entsprechenden Diederwinkel durch Kanten SA, SB, SC bis 180° . Daher beträgt die Summe dieser Diederwinkel 540° - ( B 1 PC 1 +A 1 PC 1 + A 1 P.B. 1 ). In Anbetracht dessen ist die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiecks mit einem Scheitelpunkt P Winkel kleiner als 360° , finden wir, dass die Summe der Diederwinkel des ursprünglichen Dreieckswinkels größer als 180 ist° .
Eigentum 2.Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Eigentum 2". Die Winkelhalbierenden der Diederwinkel eines Dreieckswinkels schneiden sich entlang einer Geraden.
Der Beweis ähnelt dem Flugzeugfall. Nämlich, lass SABC- Dreieckswinkel. Halbierende Ebene eines Diederwinkels S.A. ist die GMT des Winkels, der von seinen Flächen gleich weit entfernt ist A.S.C. Und A.S.B.. Ebenso die Winkelhalbierende eines Diederwinkels S.B. ist die GMT des Winkels, der von seinen Flächen gleich weit entfernt ist B.S.A. Und B.S.C. . Die Linie ihres Schnittpunkts ALSO wird von allen Flächen des Dreiflächenwinkels den gleichen Abstand haben und daher wird die Winkelhalbierende des Diederwinkels durch sie verlaufen SC. .
Eigentum 3.Mittelsenkrechte Die Seiten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Grundstück 3".Ebenen, die durch die Winkelhalbierenden der Flächen eines Dreieckswinkels verlaufen und senkrecht zu diesen Flächen stehen, schneiden sich entlang einer Geraden.
Der Nachweis ähnelt dem Nachweis der bisherigen Eigenschaft.
Eigentum 4.Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Grundstück 4".Die Ebenen, die durch die Kanten eines Dreieckswinkels und die Winkelhalbierenden gegenüberliegender Flächen verlaufen, schneiden sich entlang einer Geraden.
Nachweisen. Betrachten Sie einen dreiflächigen Winkel SABC,SA=SB=SC(Abb. 5). Dann die Winkelhalbierenden S.A. 1 , S.B. 1 , SC. 1 Ecken BSC, ASC, ASB sind die Mediane der entsprechenden Dreiecke. Deshalb A.A. 1 , BB 1 , CC 1 – Mittelwerte eines Dreiecks ABC. Lassen Ö– der Punkt ihrer Kreuzung. Gerade ALSO ist in allen drei betrachteten Ebenen enthalten und ist daher deren Schnittlinie.

Eigentum 5.Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Eigentum 5". Ebenen, die durch die Kanten eines Dreieckswinkels verlaufen und senkrecht zu gegenüberliegenden Flächen stehen, schneiden sich entlang einer geraden Linie.
Nachweisen. Betrachten Sie einen Dreieckswinkel mit Scheitelpunkt S und Rippen a, b, c. Bezeichnen wir A 1 , B 1 , C 1 – Schnittlinien von Flächen mit Ebenen, die durch die entsprechenden Kanten verlaufen und senkrecht zu diesen Flächen stehen (Abb. 6). Lassen Sie uns den Punkt klären C an der Kante C und Senkrechte davon fallen lassen C.A. 1 Und C.B. 1 auf geraden Linien A 1 und B 1 . Bezeichnen wir A Und B Linienkreuzungen C.A. 1 und C.B. 1 mit geraden Linien A Und B. Dann S.A. 1 ist eine Projektion A.A. 1 an den Rand B.S.C.. Als B.C. aufrecht S.A. 1 , dann ist es senkrecht und A.A. 1 . Ebenfalls, A.C. aufrecht BB 1 . Auf diese Weise, A.A. 1 und BB 1 sind die Höhen des Dreiecks ABC. Lassen Ö– der Punkt ihrer Kreuzung. Flugzeuge, die durch Linien fliegen A Und A 1 , B Und B 1 senkrecht zur Ebene ABC und daher die Linie ihres Schnittpunkts ALSO aufrecht ABC. Bedeutet, ALSO aufrecht AB. Andererseits, CO aufrecht AB. Daher geht die Ebene durch die Kante C Und ALSO wird senkrecht zur gegenüberliegenden Kante sein.
Eigenschaft 6 (Sinussatz). Im Dreieck ABC mit den Parteien a, b, c dementsprechend finden die Gleichheiten statt A : Sünde A = b: Sünde B=c: Sünde C.
Grundstück 6". Seien a, b, g - flache Winkel eines Dreieckswinkels, a, b, c– ihnen gegenüberliegende Diederwinkel. Dann Sünde a: Sünde A= Sünde b: Sünde B= sin g : Sünde C.
Nachweisen. Lassen SABC- Dreieckswinkel. Lassen wir den Punkt hinter uns C aufrecht CC 1 zum Flugzeug A.S.B. und senkrecht C.A. 1 an der Kante S.A.(Abb. 7). Dann der Winkel C.A. 1 C 1 wird der lineare Winkel des Diederwinkels sein A. Deshalb CC 1 = C.A. 1 Sünde A = SC. Sünde b Sünde A. Ebenso wird das gezeigt CC 1 = CB 1 Sünde b = SC Sünde wie in B. Folglich ist die Gleichheit Sünde b Sünde a = Sünde a Sünde B und daher die Gleichheitssünde wie in A= Sünde b : Sünde B. Auf ähnliche Weise wird bewiesen, dass die Gleichheit Sünde ist b: Sünde B= sin g : Sünde C.

Eigentum 7.Wenn drin konvexes Viereck Wenn Sie einen Kreis einschreiben können, sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.
Grundstück 7". Wenn eine Kugel in einen konvexen Tetraederwinkel eingeschrieben werden kann, dann sind die Summen der entgegengesetzten Ebenenwinkel gleich.

Literatur
1. Hadamard J. Elementare Geometrie. Teil II. Stereometrie. – M.: Uchpedgiz, 1938.
2. Perepelkin D.I. Also Elementargeometrie. Teil II. Geometrie im Raum. – M.-L.: Gostekhizdat, 1949.
3. Enzyklopädie der Elementarmathematik. Buch IV. Geometrie. - M.; 1963.
4. Smirnova I.M. In der Welt der Polyeder. – M.: Bildung, 1995.

Polyederwinkel

Teil des Raumes, der durch einen polyedrischen Hohlraum begrenzt wird konische Oberfläche, dessen Richtung ein flaches Polygon ohne Selbstüberschneidungen ist. Die Flächen dieser Oberfläche werden als Flächen des Mosaiks bezeichnet, und die Oberseite wird als Oberseite des Mosaiks bezeichnet. M. u. heißt richtig, wenn alle gleich sind lineare Winkel und alle seine Diederwinkel. Meroy M. u. ist die Fläche, die durch das sphärische Polygon begrenzt wird, das durch den Schnitt der Flächen des Polygons entsteht, eine Kugel mit einem Radius gleich eins, und mit dem Mittelpunkt am Scheitelpunkt von M. y. Siehe auch Raumwinkel.

Groß Sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was ein „polyedrischer Winkel“ ist:

Siehe Raumwinkel... Groß Enzyklopädisches Wörterbuch

Siehe Raumwinkel. * * * POLYHEDALWINKEL POLYHEDALWINKEL, siehe Raumwinkel (siehe SOLIDWINKEL) ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Teil des Raums, der durch einen Hohlraum eines polyedrischen Kegels begrenzt wird. Oberfläche, die auf einen Schwarm flacher Polygone ohne Selbstüberschneidungen gerichtet ist. Die Flächen dieser Fläche heißen. die Kanten des M. u., die Spitze der Spitze des M. u. Ein Polyederwinkel heißt richtig... Mathematische Enzyklopädie

Siehe Raumwinkel... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Polyederwinkel- Mathematik. Ein Teil des Raumes, der von mehreren Ebenen begrenzt wird, die durch einen Punkt (Scheitelpunkt eines Winkels) verlaufen ... Wörterbuch vieler Ausdrücke

VIELFÄLTIG, vielfältig, vielfältig (Buch). 1. Mehrere Gesichter oder Seiten haben. Vielfältiger Stein. Polyederwinkel (ein Teil des Raumes, der durch mehrere Ebenen begrenzt wird, die sich in einem Punkt schneiden; mat.). 2. Übertragen... ... Wörterbuch Uschakowa

- (Matte.). Wenn wir vom Punkt O auf einer gegebenen Ebene die Geraden OA und 0B zeichnen, erhalten wir den Winkel AOB (Abb. 1). Mist. 1. Punkt 0 aufgerufen der Scheitelpunkt des Winkels und die Geraden OA und 0B als Seiten des Winkels. Nehmen wir an, dass zwei Winkel ΒΟΑ und Β 1 Ο 1 Α 1 gegeben sind, so dass... ...

- (Matte.). Wenn wir vom Punkt O auf einer gegebenen Ebene die Geraden OA und 0B zeichnen, erhalten wir den Winkel AOB (Abb. 1). Mist. 1. Punkt 0 aufgerufen der Scheitelpunkt des Winkels und die Geraden OA und 0B als Seiten des Winkels. Angenommen, es seien zwei Winkel ΒΟΑ und Β1Ο1Α1 gegeben. Überlagern wir sie so, dass die Eckpunkte O... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Ephron

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Winkel (Bedeutungen). Winkel ∠ Dimension ° SI-Einheiten Bogenmaß ... Wikipedia

Wohnung, geometrische Figur, gebildet durch zwei Strahlen (Seiten der Oberfläche), die von einem Punkt (dem Scheitelpunkt der Oberfläche) ausgehen. Jedes U., das einen Scheitelpunkt im Mittelpunkt O eines Kreises (zentrales U.) hat, definiert auf dem Kreis einen Bogen AB, der begrenzt wird durch... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Polyederwinkel Ein Polyederwinkel ist ein räumliches Analogon eines Polygons auf einer Ebene. Denken Sie daran, dass ein Polygon auf einer Ebene eine Figur ist, die aus einer einfachen geschlossenen gestrichelten Linie dieser Ebene und dem durch sie begrenzten Innenbereich besteht.

Definition des Polyederwinkels Eine Fläche, die durch eine endliche Menge ebener Winkel A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An gebildet wird. SA 1 mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt S, in dem benachbarte Winkel keine gemeinsamen Punkte haben, außer den Punkten eines gemeinsamen Strahls, und nicht benachbarte Ecken keine gemeinsamen Punkte haben, außer einem gemeinsamen Scheitelpunkt, wird als polyedrische Oberfläche bezeichnet. Die Figur, die durch die bestimmte Oberfläche und einen der beiden durch sie begrenzten Raumteile gebildet wird, wird als Polyederwinkel bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt S wird Scheitelpunkt eines Polyederwinkels genannt. Die Strahlen SA 1, ..., SAn werden als Kanten des Polyederwinkels bezeichnet, und die ebenen Winkel selbst A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An. SA 1 – Flächen eines polyedrischen Winkels. Ein polyedrischer Winkel wird mit den Buchstaben SA 1...An bezeichnet und gibt den Scheitelpunkt und die Punkte an seinen Kanten an.

Arten von Polyederwinkeln Abhängig von der Anzahl der Flächen sind Polyederwinkel dreiflächig, tetraedrisch, fünfeckig usw.

Aufgabe 1 Geben Sie Beispiele für Polyeder an, deren Flächen, die sich an den Eckpunkten schneiden, nur Folgendes bilden: a) Dreieckswinkel; b) Tetraederwinkel; c) fünfeckige Winkel. Antwort: a) Tetraeder, Würfel, Dodekaeder; b) Oktaeder; c) Ikosaeder.

Aufgabe 2 Geben Sie Beispiele für Polyeder an, deren Flächen, die sich an den Eckpunkten schneiden, nur Folgendes bilden: a) dreiflächige und tetraedrische Winkel; b) dreieckige und fünfeckige Winkel; c) tetraedrische und fünfeckige Winkel. Antwort: a) viereckige Pyramide, dreieckige Bipyramide; b) fünfeckige Pyramide; c) fünfeckige Bipyramide.

Dreiecksungleichung Für ein Dreieck gilt der folgende Satz. Satz (Dreiecksungleichung). Jede Seite eines Dreiecks ist kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten. Beweisen wir, dass für einen Dreieckswinkel das folgende räumliche Analogon dieses Satzes gilt. Satz. Jeder Flächenwinkel eines Dreiflächenwinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Flächenwinkel.

Beweis Betrachten Sie den Dreieckswinkel SABC. Der größte seiner Ebenenwinkel sei der Winkel ASC. Dann sind die Ungleichungen ASB ASC erfüllt

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Für ein Dreieck gilt der folgende Satz. Satz. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Beweisen wir, dass für einen Dreieckswinkel das folgende räumliche Analogon dieses Satzes gilt. Satz. Die Winkelhalbierenden der Diederwinkel eines Dreieckswinkels schneiden sich entlang einer Geraden.

Beweis Betrachten Sie den Dreieckswinkel SABC. Die Winkelhalbierende SAD des Diederwinkels SA ist Ort Punkte dieses Winkels, die von den Flächen SAB und SAC gleich weit entfernt sind. In ähnlicher Weise ist die Winkelhalbierende SBE eines Diederwinkels SB der Ort der Punkte dieses Winkels mit gleichem Abstand zu seinen Flächen SAB und SBC. Die Schnittlinie SO besteht aus Punkten, die von allen Flächen des Dreieckswinkels gleich weit entfernt sind. Folglich verläuft die Winkelhalbierende des Diederwinkels SC durch ihn.

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Für ein Dreieck gilt der folgende Satz. Satz. Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Umkreises. Beweisen wir, dass für einen Dreieckswinkel das folgende räumliche Analogon dieses Satzes gilt. Satz. Ebenen, die durch die Winkelhalbierenden der Flächen eines Dreieckswinkels verlaufen und senkrecht zu diesen Flächen stehen, schneiden sich entlang einer Geraden.

Beweis Betrachten Sie den Dreieckswinkel SABC. Die Ebene, die durch die Winkelhalbierende SD des Winkels BSC verläuft und senkrecht zu ihrer Ebene verläuft, besteht aus Punkten mit gleichem Abstand von den Kanten SB und SC des Dreieckswinkels SABC. Ebenso besteht die Ebene, die durch die Winkelhalbierende SE des Winkels ASC verläuft und senkrecht zu ihrer Ebene verläuft, aus Punkten mit gleichem Abstand von den Kanten SA und SC des Dreieckswinkels SABC. Die Schnittlinie SO besteht aus Punkten, die von allen Kanten des Dreieckswinkels gleich weit entfernt sind. Folglich wird es von einer Ebene umschlossen, die durch die Winkelhalbierende ASB und senkrecht zu seiner Ebene verläuft.

Schnittpunkt der Mediane Für ein Dreieck gilt der folgende Satz. Satz. Die Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Beweisen wir, dass für einen Dreieckswinkel das folgende räumliche Analogon dieses Satzes gilt. Satz. Die Ebenen, die durch die Kanten eines Dreieckswinkels und die Winkelhalbierenden gegenüberliegender Flächen verlaufen, schneiden sich entlang einer Geraden.

Beweis Betrachten Sie den Dreieckswinkel SABC. Wir werden es auf seine Rippen legen gleiche Segmente SA = SB = CS. Die Winkelhalbierenden SD, SE, SF der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels sind die Mittelwerte der Dreiecke SBC bzw. SAB. Daher sind AD, BE, CF Mediane Dreieck ABC. Sei O der Schnittpunkt der Mediane. Dann ist die Gerade SO die Schnittlinie der betrachteten Ebenen.

Schnittpunkt der Höhen Für ein Dreieck gilt der folgende Satz. Satz. Die Höhen eines Dreiecks bzw. ihrer Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt. Beweisen wir, dass für einen Dreieckswinkel das folgende räumliche Analogon dieses Satzes gilt. Satz. Ebenen, die durch die Kanten eines Dreieckswinkels verlaufen und senkrecht zu den Ebenen gegenüberliegender Flächen verlaufen, schneiden sich entlang einer Geraden.

Beweis Betrachten Sie den Dreieckswinkel Sabc. Seien d, e, f die Schnittlinien der Flächenebenen eines dreiflächigen Winkels mit den Ebenen, die durch die Kanten a, b, c dieses Winkels verlaufen und senkrecht zu den entsprechenden Flächenebenen verlaufen. Wählen wir einen Punkt C auf der Kante c. Lassen Sie uns die Senkrechten CD und CE davon auf die Geraden d bzw. e fallen lassen. Bezeichnen wir mit A und B die Schnittpunkte der Linien CD und CE mit den Linien SB bzw. SA. Linie d ist orthogonale Projektion direktes AD zur BSC-Ebene. Da BC senkrecht zur Geraden d steht, steht sie auch senkrecht zur Geraden AD. Ebenso steht die Linie AC senkrecht zur Linie BE. Sei O der Schnittpunkt der Geraden AD und BE. Die Linie BC ist senkrecht zur Ebene SAD und daher senkrecht zur Linie SO. Ebenso ist die Linie AC senkrecht zur Ebene SBE und daher senkrecht zur Linie SO. Somit ist die Linie SO senkrecht zu den Linien BC und AC, also senkrecht zur Ebene ABC, was bedeutet, dass sie senkrecht zur Linie AB ist. Andererseits steht die Linie CO senkrecht zur Linie AB. Somit steht die Linie AB senkrecht zur Ebene SOC. Das Flugzeug SAB durchquert die Linie AB, senkrecht zur Ebene Der SOC steht daher selbst senkrecht zu dieser Ebene. Das bedeutet, dass sich alle drei betrachteten Ebenen entlang der Geraden SO schneiden.

Satz über die Summe der ebenen Winkel. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels beträgt weniger als 360°. Nachweisen. Sei SABC der gegebene Dreieckswinkel. Betrachten Sie einen dreiflächigen Winkel mit Scheitelpunkt A, der durch die Flächen ABS, ACS und den Winkel BAC gebildet wird. Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt die Ungleichung BAC

Konvexe Polyederwinkel Ein Polyederwinkel heißt konvex, wenn er eine konvexe Figur ist, d. h. zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte das sie verbindende Segment vollständig enthält. Die Abbildung zeigt Beispiele für konvexe und nicht konvexe Polyederwinkel. Eigentum. Die Summe aller Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360°. Der Beweis ähnelt dem Beweis der entsprechenden Eigenschaft für einen Dreieckswinkel.
Aufgabe 5 Zwei Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels sind 70° und 80°. Was sind die Grenzen des dritten Ebenenwinkels? Antwort: 10 o

Aufgabe 6 Die Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels betragen 45°, 45° und 60°. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen von Ebenenwinkeln von 45°. Antwort: 90 o.

Aufgabe 7 In einem Dreieckswinkel sind zwei ebene Winkel gleich 45°; der Diederwinkel zwischen ihnen ist richtig. Finden Sie den Winkel der dritten Ebene. Antwort: 60 o.

Aufgabe 8 Die Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels betragen 60°, 60° und 90°. An seinen Kanten werden vom Scheitelpunkt aus gleiche Segmente OA, OB, OC gelegt. Ermitteln Sie den Diederwinkel zwischen der 90°-Winkelebene und der ABC-Ebene. Antwort: 90 o.

Aufgabe 9 Jeder Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist gleich 60°. An einer seiner Kanten wird von oben ein 3 cm langes Segment abgelegt und von seinem Ende her eine Senkrechte abgesenkt die gegenüberliegende Seite. Finden Sie die Länge dieser Senkrechten. Antwort: siehe

Eine Figur, die aus drei Strahlen besteht, die von einem Punkt O ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen, und drei zwischen diesen Strahlen eingeschlossenen Ebenenteilen wird als Dreiflächenwinkel bezeichnet (Abb. 352).

Punkt O heißt Scheitelpunkt des Winkels, die Strahlen a, b, c sind seine Kanten, Teile der Ebenen. Die Flächen sind ebene Winkel, auch ebene Winkel eines gegebenen Dreieckswinkels genannt. Die Winkel zwischen den flachen Flächen werden Diederwinkel eines gegebenen Dreiflächenwinkels genannt.

Satz 1. In einem Dreieckswinkel ist jeder Ebenenwinkel kleiner als die Summe der beiden anderen.

Nachweisen. Es genügt, den Satz für den größten der Ebenenwinkel zu beweisen. Der größte ebene Winkel des Dreiflächenwinkels in Abb. 353. Konstruieren wir einen Winkel in der Ebene, der dem Winkel entspricht, den seine Seite b innerhalb des Winkels durchläuft (der größte der Ebenenwinkel!).

Zeichnen wir beliebige gleiche Segmente auf den Geraden c und b. Zeichnen wir eine beliebige Ebene durch die Punkte, die die Strahlen a und b jeweils an den Punkten N und M schneiden.

Dreiecke sind gleich wie Haben gleiche Winkel zwischen gleichberechtigten Parteien geschlossen. Zeigen wir, dass der Winkel mit dem Scheitelpunkt O in ist mehr Winkel mit dem gleichen Scheitelpunkt in . Tatsächlich sind diese Winkel zwischen Paaren enthalten gleiche Seiten, die dritte Seite ist im Dreieck größer

Dies zeigt, dass die Summe zweier Ebenenwinkel größer ist als der dritte flacher Winkel Q.E.D.

Satz 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels beträgt weniger als vier rechte Winkel.

Nachweisen. Nehmen wir drei Punkte A, B und C an den Kanten des Dreieckswinkels und zeichnen wir eine Schnittebene durch sie, wie in Abb. 354. Die Summe der Winkel des Dreiecks ABC ist gleich. Daher ist die Summe der sechs Winkel OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA größer als nach dem vorherigen Satz. Aber die Summe der Winkel dreier Dreiecke OAB, OBC, OCA in den Flächen eines Dreieckswinkels ist gleich . Somit bleibt der Anteil flacher Winkel eines Dreieckswinkels kleiner als bei vier Geraden: . Dieser Betrag kann beliebig klein sein („Dreiecksspitze“) oder beliebig nahe daran liegen, wenn die Höhe reduziert wird SABC-Pyramiden in Abb. 355, wobei seine Basis erhalten bleibt, tendiert die Summe der Ebenenwinkel am Scheitelpunkt S dazu

Auch die Summe der Diederwinkel eines Dreieckswinkels hat Grenzen. Es ist klar, dass jeder der Diederwinkel und daher ihre Summe kleiner als ist. Für die gleiche Pyramide in Abb. 355 Diese Summe nähert sich mit abnehmender Höhe der Pyramide ihrer Grenze. Es kann auch gezeigt werden, dass diese Summe immer, obwohl sie beliebig wenig abweichen kann.

Somit gelten für ebene und Diederwinkel eines Dreiflächenwinkels die folgenden Ungleichungen:

Es besteht eine erhebliche Ähnlichkeit zwischen der Geometrie eines Dreiecks auf einer Ebene und der Geometrie eines Dreieckswinkels. In diesem Fall kann eine Analogie zwischen den Winkeln eines Dreiecks und den Flächenwinkeln eines Dreiflächenwinkels einerseits und zwischen den Seiten eines Dreiecks und den flachen Winkeln eines Dreiflächenwinkels andererseits gezogen werden. Beispielsweise bleibt mit der angegebenen Begriffsersetzung der Satz über die Gleichheit der Dreiecke gültig. Stellen wir die entsprechenden Formulierungen parallel vor:

Allerdings sind zwei Dreieckswinkel, deren entsprechende Diederwinkel gleich sind, kongruent. Unterdessen sind zwei Dreiecke, deren Winkel jeweils gleich sind, ähnlich, aber nicht unbedingt gleich. Sowohl für Dreieckswinkel als auch für Dreiecke stellt sich die Aufgabe, einen Dreieckswinkel zu lösen, also einige seiner Elemente aus anderen gegebenen zu finden. Lassen Sie uns ein Beispiel für eine solche Aufgabe geben.

Aufgabe. Angegeben sind die Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels. Finden Sie seine Diederwinkel.

Lösung. Legen wir ein Segment auf die Kante a und zeichnen wir einen Normalenschnitt ABC des Diederwinkels a. Aus rechtwinkliges Dreieck Wir finden OAV. Wir haben auch

Für BC finden wir durch den Kosinussatz, der auf das Dreieck BAC angewendet wird (der Kürze halber bezeichnen wir ebene Winkel einfach als ab, ac, bc, Diederwinkel – a, b, c)

Nun wenden wir den Kosinussatz auf das Dreieck BOC an:

Von hier aus finden wir

und ähnlich

Mit diesen Formeln können Sie Diederwinkel ermitteln und dabei die Ebenenwinkel kennen. Beachten wir, ohne Beweise, die bemerkenswerte Beziehung

wird Sinussatz genannt.

Eine Erklärung der tiefen Analogie zwischen der Geometrie eines Dreieckswinkels und der Geometrie eines Dreiecks ist nicht schwer zu erhalten, wenn wir die folgende Konstruktion ausführen. Platzieren wir den Mittelpunkt einer Kugel mit Einheitsradius am Scheitelpunkt des Dreieckswinkels O (Abb. 357).

Dann schneiden die Kanten die Oberfläche der Kugel in drei Punkten A, B, C, und die Kanten des Winkels schneiden Bögen der Großkreise AC, AB, BC auf der Kugel aus. Auf der Kugel bildet sich eine Figur ABC, ein sogenanntes sphärisches Dreieck. Die Bögen („Seiten“ eines Dreiecks) werden durch die Ebenenwinkel des Dreieckswinkels gemessen, die Winkel an den Eckpunkten sind die Ebenenwinkel der Diederwinkel. Daher ist die Lösung dreiflächiger Winkel nichts anderes als die Lösung sphärischer Dreiecke, die Gegenstand der sphärischen Trigonometrie ist. Die Beziehungen (243.1) und (243.2) gehören zu den Grundbeziehungen der sphärischen Trigonometrie. Die sphärische Trigonometrie hat wichtig für Astronomie. Somit ist die Theorie der Dreieckswinkel die Theorie der sphärischen Dreiecke und ähnelt daher in vielerlei Hinsicht der Theorie eines Dreiecks auf einer Ebene. Der Unterschied zwischen diesen Theorien besteht darin, dass: 1) in einem sphärischen Dreieck sowohl Winkel als auch Seiten im Winkelmaß gemessen werden, daher erscheinen beispielsweise im Sinussatz nicht die Seiten, sondern die Sinusseiten der Seiten AB , AC, BC;

2.4. Polyederwinkel

Gemäß thematische Planung, An diesen Absatz Es ist eine Stunde Lernzeit vorgesehen (eine Unterrichtsstunde).

1. Hausaufgaben überprüfen (5 Min.)

2. Wir führen aus Phase der Arbeit mit Informationen (20 –25Mindest.)

Technologisch konzentriert sich die Bühne auf die primäre Bildung des kognitiven Universalen Bildungsaktivitäten(Fähigkeit, Fragen zum Text zu formulieren, selbstständig Antworten auf der Grundlage des Textes zu formulieren).

Dieser Absatz findet weitere Entwicklung Konzept des dreiflächigen Winkels. Es entsteht ein polyedrischer Winkel, und in diesem Zusammenhang wird es möglich, den Begriff eines Polygons zu klären.

Im Zusammenhang mit Polyederwinkeln wird noch einmal das Problem der Konvexität von Figuren diskutiert. Am Beispiel von Polyederwinkeln verdeutlichen wir die Vorstellungen der Studierenden über konvexe und nichtkonvexe Figuren (Polygone, Polyederwinkel, beliebige Figuren).

Für polyedrische Winkel ist es sinnvoll zu formulieren Eigenschaften ihrer Ebenenwinkel, ähnlich den entsprechenden Eigenschaften ebener Winkel eines Dreieckswinkels (ohne Beweis):

1. Jeder Ebenenwinkel eines Polyederwinkels ist kleiner als die Summe der anderen Ebenenwinkel.

2. Die Summe aller Ebenenwinkel eines Polyederwinkels beträgt weniger als 360°.

3. Wir führen aus Stufe der Fähigkeitsentwicklung (15 –20 Mindest.)

Die Bühne ist auf die Produktion ausgerichtet

kognitive UUD – Bildung von Fähigkeiten:

– über den Einsatz mathematischer Kenntnisse zur Lösung verschiedener mathematische Probleme und Auswertung der erzielten Ergebnisse;

– zur Verwendung demonstrativer mathematischer Sprache;

– über die Arbeit mit Informationen, einschließlich verschiedener mathematischer Texte;

Regulatorische UUD – Bildung von Fähigkeiten zum Setzen persönliche Ziele Aktivitäten, planen Sie Ihre Arbeit, handeln Sie nach Plan, bewerten Sie die erzielten Ergebnisse;

kommunikatives UUD – gemeinsam mit anderen Kindern in der Gruppe Fähigkeiten entwickeln, um eine Lösung für ein Problem zu finden und die erzielten Ergebnisse zu bewerten.

Wir besprechen, dass dies die Phase der Klärung aller Unklarheiten sowie der Schulung ist. Wir setzen uns Arbeitsziele in diesem Stadium, beim Erreichen persönlicher Zielsetzungen von Kindern: erklären für sich alles, was nicht gut verstanden wird, üben, die Probleme zu lösen, die Schwierigkeiten verursachen.

Hier können Sie die Aufgaben 34, 35 auf den Seiten 29–30 bearbeiten.

Wir bieten auch einige zusätzliche Aufgaben an.

1) Ein Polyederwinkel hat N Gesichter. Wie viele Rippen hat es?

Antwort: N Rippen

2) Ist es möglich, ein Modell eines Tetraederwinkels mit flachen Winkeln zu erstellen: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Wenn das Modell erfolgreich ist, welcher Winkel ist es: konvex oder nicht konvex?

Antwort: 1) es ist möglich; 2) es kann entweder konvex oder nicht konvex sein; 3) möglich, nur konvex.

3) Beweisen Sie anhand der Ihnen bekannten Eigenschaft der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels, dass jeder Ebenenwinkel eines Tetraederwinkels kleiner ist als die Summe seiner anderen drei Ebenenwinkel.

Anleitung: Zeichnen Sie eine Ebene durch zwei gegenüberliegende Kanten und untersuchen Sie das Ergebnis Dreieckswinkel. Der Beweis gilt nur für konvexe Winkel.

4) In einem Tetraederwinkel sind alle Ebenenwinkel gleich. Beweisen Sie, dass sie scharf sind.

Lösung: 1. Sei α – Gradmaß flacher Winkel.

2. Dann 4α< 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).

3. Daher ist α< 90°, т. е. α – острый угол.

5) In einem konvexen Polyederwinkel ist jeder der Ebenenwinkel gleich a) 30°; b) 45°; c) 80°; d) 150°. Wie viele Flächen kann ein solcher Polyederwinkel haben?

Antwort: a) 3 ≤ N< 12; б) 3 ≤ N < 8; в) 3 ≤ N < 4,5; г) 3 ≤ N < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что N– eine ganze Zahl.

6) In einem konvexen Polyederwinkel sind alle Ebenenwinkel einander gleich. Ein Polyederwinkel hat a) 6; b) 8; c) 10 Gesichter. Was sind die Ebenenwinkel eines gegebenen Polyederwinkels?

Wir argumentieren auf die gleiche Weise wie bei der Lösung von Problem 5: N α < 360°, где N– Anzahl der Flächen eines Polyederwinkels, α – Gradmaß eines ebenen Winkels; 0 ≤ α< 360°/ N.

Antwort: a) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.

Nach Ablauf der Bearbeitungszeit der Aufgaben werden die Ergebnisse der Arbeit von der Lehrkraft an der Tafel präsentiert und von den Studierenden diskutiert. Die Arbeit wird zusammengefasst, es findet eine Selbsteinschätzung statt, verbunden mit der Feststellung, was klar ist und funktioniert und was nicht klar ist und nicht funktioniert.

4. Lassen Sie uns formulieren Hausaufgaben Von verschiedene Level Komplexität - abhängig von den Arbeitsergebnissen in der vorherigen Phase.