Was bedeutet linearer Winkel? Diederwinkel senkrecht zur Ebene. Diederwinkel. Linearer Diederwinkel. Ein Diederwinkel ist eine durch zwei gebildete Figur. Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eines der Grundkonzepte der gesamten Mathematik. Sowohl Schule als auch Hochschulbildung. Es macht Sinn, es herauszufinden, oder? Darüber hinaus ist dies ein sehr einfaches Konzept. Überzeugen Sie sich unten selbst. :) Wie lautet also die Gleichung?

Die Tatsache, dass dieses Wort dieselbe Wurzel hat wie die Wörter „gleich“, „Gleichheit“, löst meiner Meinung nach bei niemandem Einwände aus. Die Gleichung ist zwei mathematische Ausdrücke, verbunden durch das Gleichheitszeichen „=“. Aber... nicht irgendeins. Und diejenigen, in denen (mindestens eines) enthält unbekannte Menge . Oder auf andere Weise variable Menge . Oder einfach kurz „variabel“. Es können eine oder mehrere Variablen vorhanden sein. In der Schulmathematik werden Gleichungen mit eins Variable. Was normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet wirdX . Oder andere letzte Buchstaben Lateinisches Alphabet - j , z , T usw.

Zunächst betrachten wir auch Gleichungen mit einer Variablen. Mit zwei oder mehr Variablen – in einer speziellen Lektion.

Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?

Fortfahren. Die Variable in den in die Gleichung einbezogenen Ausdrücken kann jede beliebige annehmen gültige Werte. Deshalb ist es variabel. :) Für einige Werte der Variablen stellt sich heraus wahre Gleichheit, aber für einige - nein. Löse die Gleichung- Das bedeutet, alle diese Werte der Variablen zu finden, wenn man sie einsetzt Original Die Gleichung stellt sich heraus wahre Gleichheit . Oder, wissenschaftlicher ausgedrückt, Identität. Beispiel: 5=5, 0=0, -10=-10. Usw. :) Oder beweisen Sie, dass solche Variablenwerte nicht existieren.

Ich konzentriere mich speziell auf das Wort „Original“. Warum, wird im Folgenden klar.

Genau diese Werte der Variablen, bei deren Ersetzung die Gleichung in eine Identität übergeht, werden sehr schön genannt – Wurzeln der Gleichung. Wenn bewiesen ist, dass es solche Werte nicht gibt, dann sagt man in diesem Fall, dass die Gleichung hat keine Wurzeln.

Warum werden Gleichungen benötigt?

Warum brauchen wir Gleichungen? Zunächst einmal sind Gleichungen ein sehr leistungsfähiges und vielseitigstes Werkzeug für Probleme lösen . Sehr verschieden. :) In der Schule arbeiten sie in der Regel mit Wortprobleme . Dies sind Aufgaben zur Bewegung, zur Arbeit, zu Prozentsätzen und vielen, vielen anderen. Die Verwendung von Gleichungen ist jedoch nicht auf Schulaufgaben zu Schwimmbädern, Rohren, Zügen und Stühlen beschränkt. :) :)

Ohne die Fähigkeit, Gleichungen aufzustellen und zu lösen, können Sie kein ernstes Problem lösen. wissenschaftliches Problem- physikalisch, technisch oder wirtschaftlich. Berechnen Sie beispielsweise, wo eine Rakete einschlagen wird. Oder beantworten Sie die Frage, ob ein wichtiges Bauwerk (zum Beispiel ein Aufzug oder eine Brücke) der Belastung standhält oder nicht. Oder sagen Sie das Wetter, den Anstieg (oder Rückgang) der Preise oder des Einkommens voraus ...

Im Allgemeinen lautet die Gleichung: Schlüsselperson bei der Lösung einer Vielzahl von Computerproblemen.

Was sind die Gleichungen?

In der Mathematik gibt es unzählige Gleichungen. Am meisten verschiedene Typen. Allerdings lassen sich alle Gleichungen nur in 4 Klassen einteilen:

1) Linear,

2) Quadrat,

3) Bruch (oder gebrochen-rational),

4) Andere.

Verschiedene Arten von Gleichungen erfordern und anderer Ansatz zu ihrer Lösung: Lineare Gleichungen werden auf eine Weise gelöst, quadratische Gleichungen auf eine andere, gebrochene Gleichungen auf eine dritte, trigonometrische, logarithmische, exponentielle und andere werden ebenfalls mit ihren eigenen Methoden gelöst.

Es gibt natürlich noch weitere Gleichungen. Dies sind irrationale, trigonometrische, exponentielle, logarithmische und viele andere Gleichungen. Und selbst Differentialgleichung(für Studenten), wobei das Unbekannte keine Zahl ist, sondern Funktion. Oder sogar eine ganze Funktionsfamilie. :) In den entsprechenden Lektionen werden wir alle diese Arten von Gleichungen im Detail analysieren. Und hier haben wir grundlegende Techniken, die zur Lösung anwendbar sind absolut beliebig(ja, welche!) Gleichungen. Diese Techniken werden aufgerufen äquivalente Transformationen von Gleichungen . Es gibt nur zwei davon. Und an ihnen führt kein Weg vorbei. Also lernen wir uns kennen!

Wie löst man Gleichungen? Identische (äquivalente) Transformationen von Gleichungen.

Lösung beliebig Gleichung besteht in einer schrittweisen Transformation der darin enthaltenen Ausdrücke. Aber nicht irgendwelche Transformationen, sondern solche Der Kern der gesamten Gleichung hat sich nicht geändert. Trotz der Tatsache, dass sich die Gleichung nach jeder Transformation ändert und letztendlich völlig anders als die ursprüngliche wird. Solche Transformationen werden in der Mathematik aufgerufen Äquivalent oder identisch . Bei all der Vielfalt Identitätstransformationen Gleichungen hervorgehoben zwei grundlegende. Wir werden über sie sprechen. Ja, ja, nur zwei! Und jeder von ihnen verdient besondere Aufmerksamkeit. Die Anwendung dieser beiden identischen Transformationen in der einen oder anderen Reihenfolge garantiert den Erfolg bei der Lösung von 99 % aller Gleichungen.

Also, lernen wir uns kennen!

Erste Identitätstransformation:

Sie können jede (aber identische!) Zahl oder jeden Ausdruck (einschließlich solcher mit einer Variablen) zu beiden Seiten der Gleichung addieren (oder subtrahieren).

Der Kern der Gleichung bleibt derselbe. Sie wenden diese Transformation überall an und denken naiv, dass Sie einige Terme von einem Teil der Gleichung auf einen anderen übertragen und dabei das Vorzeichen ändern. :) :)

Zum Beispiel diese coole Gleichung:

Hier gibt es nichts zu bedenken: Verschieben Sie die Minus-Drei nach rechts und ändern Sie das Minus in ein Plus:

Aber was passiert wirklich? Aber in Wirklichkeit du Addiere drei zu beiden Seiten der Gleichung! So:

Das Wesen der gesamten Gleichung ändert sich nicht, wenn auf beiden Seiten drei addiert werden. Links bleibt ein reines X (was wir eigentlich erreichen wollen) und rechts – was auch immer passiert.

Das Übertragen von Begriffen von einem Teil auf einen anderen ist Kurzfassung erste Identitätstransformation. Der einzige Fehler, den Sie hier machen können, ist, beim Übertragen zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern. Zum Beispiel diese Gleichung:

Es ist keine komplizierte Angelegenheit. Wir arbeiten direkt nach dem Zauberspruch: mit X nach links, ohne X nach rechts. Welcher Term mit X steht rechts? Was? 2x? Falsch! Rechts haben wir -2x (minus zwei x)! Daher wird dieser Begriff auf die linke Seite verschoben mit einem Plus :

Die halbe Miete ist geschafft, die X's sind auf der linken Seite eingesammelt. Es bleibt nur noch, die Einheit nach rechts zu verschieben. Auch hier stellt sich die Frage: Mit welchem ​​Zeichen? Auf der linken Seite vor der Einheit steht nichts, was bedeutet, dass ihr ein vorangestellt werden soll Plus. Daher wird die 1 nach rechts verschoben mit einem Minus:

Das ist fast alles. Links stellen wir ähnliche vor, rechts zählen wir sie. Und wir bekommen:

Lassen Sie uns nun unsere Machenschaften mit der Übertragung von Bedingungen analysieren. Was haben wir gemacht, als wir -2x nach links verschoben haben? Ja! Wir beiden Teilen hinzugefügt unserer bösen Gleichung ist der Ausdruck 2x. Ich habe Ihnen gesagt, dass wir das Recht haben, jede Zahl und sogar einen Ausdruck mit einem X zu addieren (subtrahieren)! Solange es das Gleiche ist. :) Und wann hast du die 1 nach rechts verschoben? Absolut richtig! Wir von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert eins. Das ist alles.) Das ist der springende Punkt der ersten äquivalenten Transformation.

Oder dieses Beispiel für Gymnasiasten:

Die Gleichung ist logarithmisch. Na und? Egal? Wie auch immer, der erste Schritt besteht darin, eine grundlegende Identitätstransformation durchzuführen – wir verschieben den Term mit der Variablen (also -log 3 x) nach links und numerischer Ausdruck log 3 4 nach rechts bewegen. Natürlich mit Vorzeichenwechsel:

Das ist alles. Jeder, der sich mit Logarithmen auskennt, vervollständigt die Gleichung im Kopf und erhält:

Was? Willst du Sinus? Bitte, hier sind die Sinus:

Wir führen die erste identische Transformation noch einmal durch – wir übertragen Sünde x nach links (mit einem Minus) und -1/4 nach rechts (mit einem Plus):

Wir haben das einfachste trigonometrische Gleichung mit Sinus, was für den Fachmann ebenfalls nicht schwer zu lösen ist.

Sehen Sie, wie universell die erste äquivalente Transformation ist! Es ist überall und überall zu finden und es führt kein Weg daran vorbei. Daher müssen Sie in der Lage sein, dies automatisch zu tun. Die Hauptsache ist, beim Umsteigen nicht zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern! Wir lernen weiterhin identische Transformationen von Gleichungen kennen.)

Zweite Identitätstransformation:

Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl oder demselben Ausdruck ungleich Null multipliziert (dividiert) werden.

Wir verwenden diese identische Transformation auch immer dann, wenn uns einige Koeffizienten in der Gleichung stören und wir sie loswerden möchten. Sicher für die Gleichung selbst. :) Zum Beispiel diese böse Gleichung:

Das ist hier jedem klar x = 3. Wie hast du das erraten? Hast du es abgeholt? Oder haben Sie mit dem Finger in den Himmel gezeigt und geraten?

Um nicht auszuwählen und zu raten (wir sind schließlich Mathematiker, keine Wahrsager :)), müssen Sie verstehen, dass Sie einfach sind teilte beide Seiten der Gleichung für eine Vier. Was uns stört.

So:

Dieser Divisionsstab bedeutet, dass sie durch vier geteilt werden. beide Teile unsere Gleichung. Die gesamte linke Seite und die gesamte rechte Seite:

Auf der linken Seite sind die Vieren sicher reduziert und das x bleibt in herrlicher Isolation. Und rechts, wenn man 12 durch 4 dividiert, ist das Ergebnis natürlich drei. :) :)

Oder diese Gleichung:

Wohin mit einem Siebtel? Nach rechts bewegen? Nein, das geht nicht! Ein Siebtel ist mit der x-Multiplikation verbunden. Der Koeffizient, verstehen Sie? :) Sie können den Koeffizienten nicht trennen und getrennt vom X verschieben. Nur der gesamte Ausdruck (1/7)x. Aber es besteht keine Notwendigkeit. :) Erinnern wir uns noch einmal an die Multiplikation/Division. Was hält uns davon ab? Der Bruch ist 1/7, nicht wahr? Also lasst es uns loswerden. Wie? Und durch welche Aktion verlieren wir den Bruchteil? Unser Bruch verschwindet, wenn Multiplikation durch eine Zahl, die ihrem Nenner entspricht! Lassen Sie uns also beide Seiten unserer Gleichung mit 7 multiplizieren:

Auf der linken Seite werden die Siebener reduziert und es bleibt nur ein einzelnes X übrig, und auf der rechten Seite erhalten Sie, wenn Sie sich an die Multiplikationstabelle erinnern, 21:

Nun ein Beispiel für Oberstufenschüler:

Um zu x zu gelangen und damit unsere böse trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst einen reinen Kosinus auf der linken Seite ohne Koeffizienten erhalten. Aber die Zwei kommt dazwischen. :) Also teilen wir die gesamte linke Seite durch 2:

Dann muss aber auch die rechte Seite durch zwei geteilt werden: Dies ist in der MATHEMATIK bereits erforderlich. Teilen:

Habe es rechts verstanden Tabellenwert Kosinus. Und jetzt ist die Gleichung für die süße Seele gelöst.)

Ist bei der Multiplikation/Division alles klar? Großartig! Aber… Aufmerksamkeit! In dieser Transformation liegt trotz aller Einfachheit die Quelle eines sehr ärgerliche Fehler! Es heißt Verlust der Wurzeln Und Erwerb ausländischer Wurzeln .

Ich habe oben bereits gesagt, dass beide Seiten der Gleichung mit einer beliebigen Zahl multipliziert (dividiert) werden können Ausdruck mit x. Aber mit einer wichtigen Einschränkung: Der Ausdruck, mit dem wir multiplizieren (dividieren), muss sein verschieden von Null . Es ist dieser Punkt, den viele zunächst einfach ignorieren, der zu solch bedauerlichen Fehlern führt. Eigentlich ist die Bedeutung dieser Einschränkung klar: Mit Null zu multiplizieren ist dumm und Divisionen sind generell nicht erlaubt. Lasst uns herausfinden, was was ist? Beginnen wir mit der Division und Wurzelverlust .

Nehmen wir an, wir haben diese Gleichung:

Hier brennt es einem richtig in der Hand, beide Seiten der Gleichung zu nehmen und durch zu dividieren gemeinsame Klammer(x-1):

Nehmen wir an, die Aufgabe des Unified State Exam besagt, dass die Summe der Wurzeln dieser Gleichung ermittelt werden soll. Was werden wir als Antwort schreiben? Drei? Wenn Sie entscheiden, dass es eine Drei ist, dann Sie wurden überfallen. Wird als „Wurzelverlust“ bezeichnet. :) Was ist los?

Öffnen wir die Klammern in der Originalgleichung und sammeln alles auf der linken Seite:

Wir haben die klassische quadratische Gleichung erhalten. Wir lösen durch die Diskriminante (oder durch den Satz von Vieta) und erhalten zwei Wurzeln:

Daher ist die Summe der Wurzeln 1+3 = 4. Vier, nicht drei! Wo ist unsere Wurzel „verschwunden“?

x = 1

Mit der ersten Lösung? Und unser Eins verschwand gerade, als wir beide Teile durch Klammern (x-1) dividierten. Warum ist das geschehen? Und das alles, weil bei x = 1 genau diese Klammer (x-1) auf Null zurückgesetzt wird. Und wir haben das Recht, nur durch zu dividieren Ausdruck ungleich Null! Wie könnte der Verlust dieser Wurzel vermieden werden? Und der Verlust von Wurzeln im Allgemeinen? Dazu fügen wir zunächst vor der Division durch einen Ausdruck mit einem x immer die Bedingung hinzu, dass dieser Ausdruck von Null verschieden ist. Und wir finden Nullen dieses Ausdrucks. So (am Beispiel unserer Gleichung):

Und zweitens, damit einige Wurzeln während des Teilungsprozesses nicht verschwinden, müssen wir separat prüfen, ob Kandidaten für Wurzeln vorhanden sind Alle Nullen unseres Ausdrucks (die Eins, durch die wir dividieren). Wie? Legen Sie sie einfach ein ursprüngliche Gleichung und zählen. In unserem Fall prüfen wir eines:

Alles ist fair. Also, eins ist die Wurzel!

Generell gilt: Versuchen Sie in Zukunft immer, dies zu vermeiden Abteilungen zum Ausdruck mit einem X. Wurzeln zu verlieren ist eine sehr gefährliche und ärgerliche Sache! Verwenden Sie alle anderen Methoden – das Öffnen von Klammern und insbesondere Faktorisierung. Factoring ist der einfachste und sicherste Weg, den Verlust von Wurzeln zu vermeiden. Dazu sammeln wir alles auf der linken Seite ein und nehmen es dann heraus gemeinsamer Multiplikator(den wir eigentlich „reduzieren“ wollen) aus Klammern, faktorisiere ihn in Faktoren und setze dann jeden resultierenden Faktor mit Null gleich. Beispielsweise ließe sich unsere Gleichung nicht nur durch Reduktion auf eine quadratische Gleichung, sondern auch durch Faktorisierung ganz harmlos lösen. Überzeugen Sie sich selbst:

Verschieben Sie den gesamten Ausdruck (x-1) nach links. Mit Minuszeichen:

Wir nehmen (x-1) aus Klammern als gemeinsamen Faktor und faktorisieren ihn:

Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Multiplikatoren gleich Null . Jetzt setzen wir (in unseren Gedanken!) jede Klammer mit Null gleich und erhalten unsere beiden rechtlichen Wurzeln:

Und keine einzige Wurzel ging verloren!

Schauen wir uns nun die umgekehrte Situation an: Erwerb ausländischer Wurzeln. Diese Situation tritt auf, wenn Multiplikation beiden Seiten der Gleichung zum Ausdruck mit x. Sehr oft tritt es beim Lösen auf gebrochene rationale Gleichungen. Zum Beispiel diese einfache Gleichung:

Es ist eine vertraute Sache – wir multiplizieren beide Seiten mit dem Nenner, um den Bruch loszuwerden und eine Linealgleichung zu erhalten:

Wir setzen jeden Faktor mit Null gleich und erhalten zwei Wurzeln:

Alles scheint in Ordnung zu sein. Aber lassen Sie uns versuchen, eine grundlegende Überprüfung durchzuführen. Und wenn bei x = 0 Alles wird gut zusammenwachsen, wir erhalten die Identität 2=2, dann wann x = 1 Dies führt zu einer Division durch Null. Was Sie absolut nicht tun können. Eins ist nicht als Wurzel unserer Gleichung geeignet. In solchen Fällen sagt man das x = 1- sogenannt Fremdwurzel . Eins ist die Wurzel unserer neuen Gleichung ohne Bruch x(x-1) = 0, Aber ist nicht Wurzel Original Bruchgleichung. Wie erscheint diese fremde Wurzel? Es erscheint, wenn beide Seiten mit dem Nenner multipliziert werden x-1. was bei x = 1 geht einfach auf Null! Und wir haben das Recht, nur mit einem anderen Ausdruck als Null zu multiplizieren!

Wie sein? Gar nicht multiplizieren? Dann können wir überhaupt nichts lösen. Sollte ich jedes Mal nachsehen? Dürfen. Aber es ist oft arbeitsintensiv, wenn die anfängliche Gleichung zu kompliziert ist. In solchen Fällen sparen drei magische Buchstaben- ODZ. UM Bereich D weggelassen Z Errungenschaften. Und um das Auftreten fremder Wurzeln auszuschließen, muss man bei der Multiplikation mit einem Ausdruck mit X immer zusätzlich die ODZ notieren. In unserem Fall:

Mit dieser Einschränkung können Sie nun beide Seiten bedenkenlos mit dem Nenner multiplizieren. Alle schädliche Auswirkungen Wir werden laut ODZ von einer solchen Multiplikation ausschließen (d. h. Fremdwurzeln). Und wir werden unseren gnadenlos wegwerfen.

Das Auftreten fremder Wurzeln ist also nicht so gefährlich wie der Verlust: ODZ ist eine mächtige Sache. Und hart. Sie wird immer alles Unnötige aussortieren. :) ODZ und ich werden Freunde und lernen uns in einer separaten Lektion näher kennen.

Das sind alle identischen Transformationen.) Nur zwei. Ein unerfahrener Schüler kann jedoch auf einige Schwierigkeiten stoßen Reihenfolge ihre Anwendungen: In manchen Beispielen beginnen sie mit der Multiplikation (oder Division), in anderen mit der Übertragung. Zum Beispiel so etwas Lineargleichung:

Wo soll man anfangen? Sie können mit der Übertragung beginnen:

Oder Sie teilen beide Teile zunächst durch fünf und übertragen sie dann. Dann werden die Zahlen einfacher und das Zählen ist einfacher:

Wie wir sehen, sind beide Wege möglich. Für einige Studierende stellt sich daher die Frage: „Was ist richtig?“ Antwort: „In jeder Hinsicht richtig!“ Was auch immer für Sie bequemer ist. :) Solange Ihr Handeln nicht den Regeln der Mathematik widerspricht. Und die Reihenfolge eben dieser Aktionen hängt allein von den persönlichen Vorlieben und Gewohnheiten des Entscheiders ab. Mit zunehmender Erfahrung werden solche Fragen jedoch von selbst verschwinden, und am Ende wird es nicht die Mathematik sein, die Sie beherrschen wird, sondern Sie werden die Mathematik beherrschen. :) :)

Abschließend möchte ich noch gesondert auf das sogenannte eingehen bedingt identische Transformationen, Gültig für einige Bedingungen. Zum Beispiel die Potenz beider Seiten einer Gleichung. Oder die Wurzel aus beiden Teilen extrahieren. Wenn der Exponent ungerade ist, gibt es keine Einschränkungen – konstruieren und extrahieren Sie ohne Angst. Aber wenn es gerade ist, dann ist eine solche Transformation nur dann identisch, wenn beide Seiten der Gleichung sind nicht negativ. Auf diese Fallstricke werden wir im Thema irrationale Gleichungen ausführlich eingehen.

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe linearer Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Definieren wir zunächst: Was ist eine lineare Gleichung und welche wird als die einfachste bezeichnet?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachste reduziert:

1. Erweitern Sie ggf. Klammern.
2. Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere.
3. Führen ähnliche Begriffe links und rechts vom Gleichheitszeichen;
4. Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn zum Beispiel so etwas wie $0\cdot x=8$ herauskommt, d.h. links ist Null und rechts ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns mehrere Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass, egal welches $x$ wir ersetzen, immer noch herauskommt: „Null ist gleich Null“, d. h. Korrekte numerische Gleichheit.

Sehen wir uns nun anhand von Beispielen aus der Praxis an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute haben wir es mit linearen Gleichungen zu tun, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält und nur bis zum ersten Grad reicht.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zunächst müssen Sie ggf. die Klammern öffnen (wie in unserem letztes Beispiel);
2. Dann ähnlich kombinieren
3. Isolieren Sie abschließend die Variable, d. h. Bewegen Sie alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – auf eine Seite und alles, was ohne sie übrig bleibt, auf die andere Seite.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Werte angeben, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten von „x“ dividieren, und wir erhalten das endgültige Ergebnis.

In der Theorie sieht das schön und einfach aus, aber in der Praxis können sogar erfahrene Oberstufenschüler bei relativ einfachen linearen Gleichungen beleidigende Fehler machen. Typischerweise werden entweder beim Öffnen von Klammern oder bei der Berechnung der „Pluspunkte“ und „Minuspunkte“ Fehler gemacht.

Darüber hinaus kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat oder dass die Lösung der gesamte Zahlenstrahl ist, d. h. irgendeine Nummer. Wir werden uns diese Feinheiten in der heutigen Lektion ansehen. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit dem Ganzen einfache Aufgaben.

Schema zur Lösung einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie ggf. die Klammern.
2. Wir isolieren die Variablen, d.h. Wir verschieben alles, was „X“ enthält, auf eine Seite und alles ohne „X“ auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir dividieren alles durch den Koeffizienten „x“.

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer; es enthält gewisse Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen realer Beispiele einfacher linearer Gleichungen

Aufgabe Nr. 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Da sie in diesem Beispiel nicht vorhanden sind, überspringen wir sie diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden über nur über einzelne Begriffe. Schreiben wir es auf:

Wir präsentieren links und rechts ähnliche Begriffe, dies wurde hier jedoch bereits getan. Daher gehen wir zum vierten Schritt über: Division durch den Koeffizienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

Wir können die Klammern in diesem Problem sehen, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr das gleiche Design, aber wir handeln nach dem Algorithmus, d.h. Trennen der Variablen:

Hier sind einige ähnliche:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Es gibt mehrere Klammern, aber sie werden nicht mit irgendetwas multipliziert, ihnen wird einfach ein vorangestellt verschiedene Zeichen. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lassen Sie uns rechnen:

Wir führen den letzten Schritt aus – dividieren Sie alles durch den Koeffizienten „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir allzu einfache Aufgaben außer Acht lassen, möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung – manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann es sein, dass es null darunter gibt – daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie die anderen; Sie sollten sie in keiner Weise diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Eine weitere Funktion betrifft das Öffnen von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn davor ein „Minus“ steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Vorzeichen in Gegenteil. Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten das, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Das verstehen einfache Tatsache wird es Ihnen ermöglichen, dumme und beleidigende Fehler in der High School zu vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Komplexe lineare Gleichungen lösen

Kommen wir zu mehr komplexe Gleichungen. Jetzt werden die Entwürfe bei der Ausführung komplexer verschiedene Transformationen Es entsteht eine quadratische Funktion. Wir sollten jedoch keine Angst davor haben, denn wenn wir nach dem Plan des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden sich während des Transformationsprozesses alle Monome, die eine quadratische Funktion enthalten, mit Sicherheit aufheben.

Beispiel Nr. 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir dabei ganz vorsichtig vor:

Werfen wir nun einen Blick auf den Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige ähnliche:

Es ist offensichtlich das gegebene Gleichung Es gibt keine Lösungen, daher schreiben wir Folgendes in die Antwort:

\[\varnothing\]

oder es gibt keine Wurzeln.

Beispiel Nr. 2

Wir führen die gleichen Aktionen aus. Erster Schritt:

Verschieben wir alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts:

Hier sind einige ähnliche:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, deshalb schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder es gibt keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke waren wir erneut davon überzeugt, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen möglicherweise nicht alles so einfach ist: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele Wurzeln geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, beide haben einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern umgeht und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit „X“ multiplizieren. Bitte beachten: multipliziert jeder einzelne Begriff. Darin befinden sich zwei Terme – bzw. zwei Terme und multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, können Sie die Klammer unter dem Gesichtspunkt öffnen, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter einfach das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementarer Transformationen, bei denen es nicht möglich ist, sie klar und kompetent durchzuführen einfache Schritte führt dazu, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten bis zur Automatisierung verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, sondern schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade erst lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe Nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Lassen Sie uns etwas Privatsphäre schaffen:

Hier sind einige ähnliche:

Lassen Sie uns den letzten Schritt abschließen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere endgültige Antwort. Und trotz der Tatsache, dass wir im Lösungsprozess Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, löschten sie sich gegenseitig aus, was die Gleichung linear und nicht quadratisch machte.

Aufgabe Nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Führen wir den ersten Schritt sorgfältig aus: Multiplizieren Sie jedes Element aus der ersten Klammer mit jedem Element aus der zweiten. Nach den Transformationen soll es insgesamt vier neue Begriffe geben:

Lassen Sie uns nun die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durchführen:

Verschieben wir die Begriffe mit „X“ nach links und die ohne „X“ nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wieder einmal haben wir die endgültige Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Der wichtigste Hinweis zu diesen beiden Gleichungen ist, dass wir Klammern, die mehr als einen Term enthalten, mit multiplizieren, sobald wir damit beginnen nächste Regel: Wir nehmen den ersten Term vom ersten und multiplizieren ihn mit jedem Element vom zweiten; dann nehmen wir das zweite Element vom ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element vom zweiten. Infolgedessen werden wir vier Amtszeiten haben.

Über die algebraische Summe

Mit diesem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was algebraische Summe. In der klassischen Mathematik meinen wir mit 1-7$ einfaches Design: subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit Folgendes: Zur Zahl „eins“ addieren wir eine weitere Zahl, nämlich „minus sieben“. Darin unterscheidet sich eine algebraische Summe von einer gewöhnlichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie die oben beschriebenen sehen, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir gerade betrachtet haben. Um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit Brüchen lösen

Für Lösungen ähnliche Aufgaben Wir müssen unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zunächst möchte ich Sie an unseren Algorithmus erinnern:

1. Öffne die Klammern.
2. Separate Variablen.
3. Bringen Sie ähnliche mit.
4. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Leider erweist sich dieser wunderbare Algorithmus trotz seiner Wirksamkeit als nicht ganz geeignet, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir weiter unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen sowohl links als auch rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion durchgeführt werden kann, nämlich das Entfernen von Brüchen. Der Algorithmus sieht also wie folgt aus:

1. Beseitigen Sie Brüche.
2. Öffne die Klammern.
3. Separate Variablen.
4. Bringen Sie ähnliche mit.
5. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Was bedeutet es, „Brüche loszuwerden“? Und warum kann dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt erfolgen? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche im Nenner numerisch, d.h. Überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel Nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bitte beachten Sie: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d. h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede mit „vier“ multiplizieren müssen. Schreiben wir auf:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lassen Sie uns nun erweitern:

Wir schließen die Variable ab:

Wir führen die Reduktion ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir bekamen endgültige Entscheidung, kommen wir zur zweiten Gleichung.

Beispiel Nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir alle gleichen Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Das Problem ist behoben.

Das ist eigentlich alles, was ich Ihnen heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse sind:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Möglichkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie es sehen quadratische Funktionen Höchstwahrscheinlich werden sie im Zuge weiterer Transformationen abnehmen.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, die gesamte Zahlenlinie ist eine Wurzel und überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen dabei hilft, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es erwarten Sie noch viele weitere interessante Dinge!

Lineare Gleichungen. Lösung, Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen sind nicht die meisten komplexes Thema Schulmathematik. Aber es gibt einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Lass es uns herausfinden?)

Typischerweise wird eine lineare Gleichung als Gleichung der Form definiert:

Axt + B = 0 Wo A und B– beliebige Zahlen.

2x + 7 = 0. Hier a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Hier a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Hier a=12, b=1/2

Nichts Kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Ihnen die Worte nicht auffallen: „wobei a und b beliebige Zahlen sind“... Und wenn Sie es bemerken und unachtsam darüber nachdenken?) Immerhin, wenn a=0, b=0(Alle Zahlen sind möglich?), dann erhalten wir einen lustigen Ausdruck:

Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a=0, A b=5, Es stellt sich heraus, dass dies etwas völlig Außergewöhnliches ist:

Das ist nervig und untergräbt das Selbstvertrauen in Mathematik, ja...) Vor allem bei Prüfungen. Aber aus diesen seltsamen Ausdrücken müssen Sie auch X finden! Was überhaupt nicht existiert. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, dies zu tun. In dieser Lektion.

Wie erkennt man eine lineare Gleichung an ihrem Aussehen? Es kommt darauf an, was Aussehen.) Der Trick besteht darin, dass nicht nur Gleichungen der Form lineare Gleichungen genannt werden Axt + B = 0 , aber auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form reduziert werden können. Und wer weiß, ob es runterkommt oder nicht?)

In einigen Fällen ist eine lineare Gleichung deutlich zu erkennen. Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung, in der es nur Unbekannte ersten Grades und Zahlen gibt. Und in der Gleichung gibt es nein Brüche dividiert durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Nummer, oder ein numerischer Bruch – gerne! Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine x im Quadrat, im Würfel usw. und keine x im Nenner, d. h. Nein Division durch x. Und hier ist die Gleichung

kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind die Xs alle im ersten Grad, aber es gibt sie Division durch Ausdruck mit x. Nach Vereinfachungen und Transformationen können Sie eine lineare Gleichung, eine quadratische Gleichung oder alles andere erhalten, was Sie möchten.

Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, die lineare Gleichung in einem komplizierten Beispiel zu erkennen, bis man sie fast gelöst hat. Das ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird in der Regel nicht nach der Form der Gleichung gefragt, oder? Die Aufgaben erfordern Gleichungen entscheiden. Es gefällt.)

Lineare Gleichungen lösen. Beispiele.

Die gesamte Lösung linearer Gleichungen besteht aus identischen Transformationen der Gleichungen. Diese Transformationen (zwei davon!) sind übrigens die Grundlage der Lösungen alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten: die Lösung beliebig Die Gleichung beginnt mit genau diesen Transformationen. Bei linearen Gleichungen basiert sie (die Lösung) auf diesen Transformationen und endet mit einer vollständigen Antwort. Es macht Sinn, dem Link zu folgen, oder?) Darüber hinaus gibt es dort auch Beispiele für die Lösung linearer Gleichungen.

Schauen wir uns zunächst das einfachste Beispiel an. Ohne Fallstricke. Angenommen, wir müssen diese Gleichung lösen.

x - 3 = 2 - 4x

Dies ist eine lineare Gleichung. Die X stehen alle in der ersten Potenz, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, um welche Art von Gleichung es sich handelt. Wir müssen es lösen. Das Schema hier ist einfach. Sammeln Sie alles mit X auf der linken Seite der Gleichung, alles ohne X (Zahlen) auf der rechten Seite.

Dazu ist eine Überweisung erforderlich - 4x nach links, natürlich mit Vorzeichenwechsel und - 3 - Nach rechts. Das ist übrigens so die erste identische Transformation von Gleichungen.Überrascht? Das bedeutet, dass Sie dem Link nicht gefolgt sind, sondern umsonst...) Wir erhalten:

x + 4x = 2 + 3

Hier sind ähnliche, die wir betrachten:

Was brauchen wir für vollkommenes Glück? Ja, damit links ein reines X steht! Fünf ist im Weg. Mit der Hilfe die Fünf loswerden die zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir dividieren nämlich beide Seiten der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:

Ein elementares Beispiel natürlich. Dies dient zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich mich hier an identische Transformationen erinnerte? Okay. Lasst uns den Stier bei den Hörnern packen.) Lasst uns etwas Konkreteres beschließen.

Hier ist zum Beispiel die Gleichung:

Mit was fangen wir an? Mit X – nach links, ohne X – nach rechts? Könnte so sein. In kleinen Schritten lange Straße. Oder Sie können es sofort tun, auf universelle und kraftvolle Weise. Wenn Sie natürlich identische Gleichungstransformationen in Ihrem Arsenal haben.

Ich frage Sie Schlüsselfrage: Was gefällt Ihnen an dieser Gleichung am wenigsten?

95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lasst uns sie loswerden. Deshalb beginnen wir sofort mit zweite Identitätstransformation. Womit muss man den Bruch links multiplizieren, damit der Nenner vollständig reduziert wird? Stimmt, bei 3. Und rechts? Mit 4. Aber die Mathematik erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer. Wie können wir rauskommen? Lasst uns beide Seiten mit 12 multiplizieren! Diese. An gemeinsamer Nenner. Dann werden sowohl die Drei als auch die Vier reduziert. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen vollständig. So sieht der erste Schritt aus:

Klammern erweitern:

Beachten Sie! Zähler (x+2) Ich habe es in Klammern gesetzt! Denn bei der Multiplikation von Brüchen wird der gesamte Zähler multipliziert! Jetzt können Sie Brüche kürzen:

Erweitern Sie die restlichen Klammern:

Kein Beispiel, aber reine Freude!) Erinnern wir uns nun an den Zauberspruch von Junior-Klassen: mit X - nach links, ohne X - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:

Hier sind einige ähnliche:

Und dividiere beide Teile durch 25, d.h. Wenden Sie die zweite Transformation erneut an:

Das ist alles. Antwort: X=0,16

Beachten Sie: Um die ursprüngliche verwirrende Gleichung auf den Punkt zu bringen angenehme Aussicht, wir haben zwei (nur zwei!) verwendet Identitätstransformationen– Übersetzung von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikation/Division einer Gleichung mit derselben Zahl. Das universelle Methode! Wir werden auf diese Weise mit arbeiten beliebig Gleichungen! Absolut jeder. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen ständig mühsam.)

Wie Sie sehen, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit identischen Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen, nicht im Lösungsprinzip.

Aber... Es gibt solche Überraschungen bei der Lösung der elementarsten linearen Gleichungen, dass sie einen in eine starke Benommenheit versetzen können...) Glücklicherweise kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.

Sonderfälle bei der Lösung linearer Gleichungen.

Erste Überraschung.

Nehmen wir an, Sie haben es verstanden die elementarste Gleichung, etwas wie:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Etwas gelangweilt verschieben wir es mit einem X nach links, ohne X - nach rechts... Mit einem Vorzeichenwechsel ist alles perfekt... Wir bekommen:

2x-5x+3x=5-2-3

Wir zählen und... ups!!! Wir bekommen:

Diese Gleichheit ist an sich nicht zu beanstanden. Null ist wirklich Null. Aber X fehlt! Und wir müssen in der Antwort aufschreiben: was ist x gleich? Sonst zählt die Lösung nicht, oder...) Deadlock?

Ruhig! In solchen Zweifelsfällen können die allgemeinsten Regeln retten. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle Werte von x, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit ergeben.

Aber wir haben echte Gleichberechtigung bereits passiert! 0=0, wie viel genauer?! Es bleibt abzuwarten, bei welchen x-Werten dies geschieht. Durch welche Werte von X kann ersetzt werden? Original Gleichung, wenn diese x's Werden sie trotzdem auf Null reduziert? Aufleuchten?)

Ja!!! Xs können ersetzt werden beliebig! Welche möchtest du? Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden immer noch schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen.) Ersetzen Sie alle Werte von X durch Original Gleichung und berechnen. Es wird immer klappen reine Wahrheit: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 und so weiter.

Hier ist Ihre Antwort: x – eine beliebige Zahl.

Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, das Wesentliche ändert sich nicht. Dies ist eine völlig korrekte und vollständige Antwort.

Zweite Überraschung.

Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern wir darin nur eine Zahl. Das werden wir entscheiden:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Interessantes:

So. Wir haben eine lineare Gleichung gelöst und eine seltsame Gleichheit erhalten. Apropos mathematische Sprache, wir bekamen falsche Gleichheit. Und sprechen in einfacher Sprache, das ist nicht wahr. Rave. Dennoch ist dieser Unsinn ein sehr guter Grund dafür die richtige Entscheidung Gleichungen.)

Auch hier denken wir basierend auf Allgemeine Regeln. Was x uns ergibt, wenn wir es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen WAHR Gleichwertigkeit? Ja, keine! Es gibt keine solchen Xs. Egal was man eingibt, alles wird reduziert, nur Unsinn bleibt übrig.)

Hier ist Ihre Antwort: es gibt keine Lösungen.

Dies ist auch eine völlig vollständige Antwort. In der Mathematik findet man solche Antworten oft.

So. Nun hoffe ich, dass Sie das Verschwinden von X beim Lösen einer Gleichung (nicht nur einer linearen Gleichung) überhaupt nicht verwirrt. Das ist schon eine bekannte Angelegenheit.)

Nachdem wir uns nun mit allen Fallstricken linearer Gleichungen befasst haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Im Mathematikkurs der 7. Klasse begegnen wir zum ersten Mal Gleichungen mit zwei Variablen, aber sie werden nur im Kontext von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten untersucht. Deshalb fällt es außer Sichtweite ganze Zeile Probleme, bei denen bestimmte Bedingungen für die Koeffizienten der Gleichung eingeführt werden, die sie begrenzen. Darüber hinaus werden auch Methoden zur Lösung von Problemen wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ ignoriert, obwohl in Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen und weiter Aufnahmeprüfungen Probleme dieser Art treten immer häufiger auf.

Welche Gleichung wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet?

So sind beispielsweise die Gleichungen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 oder xy = 12 Gleichungen in zwei Variablen.

Betrachten Sie die Gleichung 2x – y = 1. Sie wird wahr, wenn x = 2 und y = 3, sodass dieses Variablenwertpaar eine Lösung der betreffenden Gleichung ist.

Somit ist die Lösung jeder Gleichung mit zwei Variablen eine Menge geordneter Paare (x; y), Werte der Variablen, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandeln.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann:

A) habe eine Lösung. Zum Beispiel hat die Gleichung x 2 + 5y 2 = 0 einzige Entscheidung (0; 0);

B) mehrere Lösungen haben. Zum Beispiel hat (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 Lösungen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) habe keine Lösungen. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + y 2 + 1 = 0 keine Lösungen;

G) haben unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel: x + y = 3. Die Lösungen dieser Gleichung sind Zahlen, deren Summe gleich 3 ist. Die Lösungsmenge dieser Gleichung kann in der Form (k; 3 – k) geschrieben werden, wobei k eine beliebige Zahl ist reelle Zahl.

Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen sind Methoden, die auf der Faktorisierung von Ausdrücken, der Isolierung eines vollständigen Quadrats und der Verwendung von Eigenschaften basieren quadratische Gleichung, Einschränkungen von Ausdrücken, Bewertungsmethoden. Die Gleichung wird normalerweise in eine Form umgewandelt, aus der ein System zum Finden der Unbekannten abgeleitet werden kann.

Faktorisierung

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung: xy – 2 = 2x – y.

Lösung.

Wir gruppieren die Begriffe zum Zweck der Faktorisierung:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Aus jeder Klammer entnehmen wir einen gemeinsamen Faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Wir haben:

y = 2, x – jede reelle Zahl oder x = -1, y – jede reelle Zahl.

Auf diese Weise, Die Antwort sind alle Paare der Form (x; 2), x € R und (-1; y), y € R.

Gleich Null ist es nicht negative Zahlen

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lösung.

Gruppierung:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nun kann jede Klammer mit der quadrierten Differenzformel gefaltet werden.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Die Summe zweier nichtnegativer Ausdrücke ist nur dann Null, wenn 3x – 2 = 0 und 2y – 3 = 0.

Das bedeutet x = 2/3 und y = 3/2.

Antwort: (2/3; 3/2).

Schätzmethode

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Lösung.

In jeder Klammer wählen wir ein vollständiges Quadrat aus:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Lassen Sie uns schätzen die Bedeutung der Ausdrücke in Klammern.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 und (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 2. Gleichheit ist möglich, wenn:

(x + 1) 2 + 1 = 1 und (y – 2) 2 + 2 = 2, was x = -1, y = 2 bedeutet.

Antwort: (-1; 2).

Machen wir uns mit einer anderen Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades vertraut. Diese Methode besteht darin, die Gleichung als zu behandeln Quadrat in Bezug auf eine Variable.

Beispiel 4.

Lösen Sie die Gleichung: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lösung.

Lösen wir die Gleichung als quadratische Gleichung für x. Finden wir die Diskriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn D = 0, also wenn y = 4. Wir setzen den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, dass x = 3.

Antwort: (3; 4).

Sie geben oft in Gleichungen mit zwei Unbekannten an Einschränkungen für Variablen.

Beispiel 5.

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lösung.

Schreiben wir die Gleichung um als x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Richtiger Teil Die resultierende Gleichung ergibt, wenn sie durch 5 geteilt wird, einen Rest von 2. Daher ist x 2 nicht durch 5 teilbar. Aber das Quadrat einer Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, ergibt einen Rest von 1 oder 4. Somit ist Gleichheit unmöglich und es gibt keine Lösungen.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 6.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lösung.

Lassen Sie uns hervorheben perfekte Quadrate in jeder Klammer:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Die linke Seite der Gleichung ist immer größer oder gleich 3. Gleichheit ist möglich, vorausgesetzt |x| – 2 = 0 und y + 3 = 0. Somit ist x = ± 2, y = -3.

Antwort: (2; -3) und (-2; -3).

Beispiel 7.

Für jedes Paar negativer Ganzzahlen (x;y), die die Gleichung erfüllen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, berechne die Summe (x + y). Bitte geben Sie in Ihrer Antwort den kleinsten Betrag an.

Lösung.

Wählen wir vollständige Quadrate aus:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x und y ganze Zahlen sind, sind auch ihre Quadrate ganze Zahlen. Wir erhalten die Summe der Quadrate zweier ganzen Zahlen gleich 37, wenn wir 1 + 36 addieren. Daher:

(x – y) 2 = 36 und (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 und (y + 2) 2 = 36.

Wenn wir diese Systeme lösen und berücksichtigen, dass x und y negativ sind, finden wir Lösungen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Antwort: -17.

Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie Schwierigkeiten haben, Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen. Mit ein wenig Übung können Sie mit jeder Gleichung umgehen.

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Lassen Sie uns zwei Arten von Lösungen für Gleichungssysteme analysieren:

1. Lösen des Systems mit der Substitutionsmethode.
2. Lösen des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Systemgleichungen.

Um das Gleichungssystem zu lösen durch Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Express. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir setzen den resultierenden Wert anstelle der ausgedrückten Variablen in eine andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Additions- (Subtraktions-)Methode müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir identische Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, was zu einer Gleichung mit einer Variablen führt.
3. Lösen Sie die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

Lösen eines Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, was bedeutet, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nachdem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir 3+10y in der ersten Gleichung anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (öffnen Sie die Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, weil der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, in dem ersten Punkt, an dem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns das Problem mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wir wählen eine Variable, sagen wir, wir wählen x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir setzen das gefundene y in eine der Gleichungen ein, sagen wir in die erste Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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