Welche Figur wird als Polyederwinkel bezeichnet? Vielfältiger Blickwinkel. Symmetrische Polyederwinkel

Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die durch eine gemeinsame Gerade begrenzt werden. Halbebenen werden Flächen genannt, und die sie begrenzende Gerade heißt Kante eines Diederwinkels.

Abbildung 142 zeigt einen Diederwinkel mit Kante a und Flächen a und (3.

Flugzeug, senkrecht zur Kante Der Diederwinkel schneidet seine Flächen entlang zweier Halblinien. Der durch diese Halblinien gebildete Winkel wird linearer Winkel des Diederwinkels genannt. Das Maß eines Diederwinkels wird als Maß seines Gegenstücks angesehen linearer Winkel. Wenn wir durch Punkt A der Kante a eines Diederwinkels eine Ebene y senkrecht zu dieser Kante zeichnen, dann schneidet sie die Ebenen a und (3 entlang der Halblinien (Abb. 142); der lineare Winkel eines gegebenen Diederwinkels. Die Das Gradmaß dieses linearen Winkels ist Gradmaß Diederwinkel. Das Maß des Diederwinkels hängt nicht von der Wahl des linearen Winkels ab.

Ein Dreieckswinkel ist eine Figur, die aus drei besteht flache Winkel(Abb. 143). Diese Winkel werden Kanten genannt Dreieckswinkel und ihre Seiten sind Rippen. Der gemeinsame Scheitelpunkt ebener Winkel wird Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels genannt. Die von den Flächen und ihren Verlängerungen gebildeten Diederwinkel werden aufgerufen Diederwinkel Dreieckswinkel.

Der Begriff eines polyedrischen Winkels wird ähnlich als eine aus flachen Winkeln zusammengesetzte Figur definiert (Abb. 144). Für einen Polyederwinkel werden die Konzepte von Flächen, Kanten und Diederwinkeln auf die gleiche Weise definiert wie für einen Dreiflächenwinkel.

Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche besteht aus endliche Zahl flache Polygone (Abb. 145).

Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich auf einer Seite der Ebene jedes Polygons auf seiner Oberfläche befindet (Abb. 145, a, b). ein gemeinsamer Teil Eine solche Ebene und die Oberfläche eines konvexen Polyeders wird als Fläche bezeichnet. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind konvexe Polyeder. Die Seiten der Flächen werden als Kanten des Polyeders bezeichnet, und die Eckpunkte werden als Eckpunkte des Polyeders bezeichnet.

20. Mehrstufige Untersuchung von Polyederwinkeln, Eigenschaften der ebenen Winkel eines Triederwinkels und eines Polyederwinkels.

Ein Grundniveau von:

Atanasyan

Berücksichtigt nur den Diederwinkel.

Pogorelow

Zuerst betrachtet er den Diederwinkel und dann sofort die Drei- und Vielflächenwinkel.

Betrachten wir drei Strahlen a, b, c, die vom selben Punkt ausgehen und in derselben Ebene liegen. Ein Dreieckswinkel (abc) ist eine Figur, die aus drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) besteht (Abb. 400). Diese Winkel werden als Flächen eines Dreieckswinkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt ebener Winkel wird Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels genannt. Die von den Flächen eines Dreiflächenwinkels gebildeten Diederwinkel werden Diederwinkel eines Dreiflächenwinkels genannt.

Das Konzept eines Polyederwinkels wird auf ähnliche Weise eingeführt (Abb. 401).

Abb. 400 und Abb. 401

P Profilebene(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):

Wir verlassen die Definition und Untersuchung beliebiger Polyederwinkel bis § 31 und betrachten nun den einfachsten von ihnen – Triederwinkel. Wenn in der Stereometrie Diederwinkel als Analoga zu ebenen Winkeln betrachtet werden können, dann können Dreiflächenwinkel als Analoga zu ebenen Dreiecken betrachtet werden, und in den folgenden Abschnitten werden wir sehen, wie sie natürlich mit sphärischen Dreiecken zusammenhängen.

Sie können einen solchen Dreieckswinkel konstruieren (und daher konstruktiv definieren). Nehmen Sie drei beliebige Strahlen a, b, c, mit allgemeiner Anfang O und nicht in derselben Ebene liegend (Abb. 150). Diese Strahlen sind die Seiten von drei konvexen Ebenenwinkeln: Winkel α mit den Seiten b, c, Winkel β mit den Seiten a, c und Winkel γ mit den Seiten a, b. Die Vereinigung dieser drei Winkel α, β, γ wird Dreiflächenwinkel Oabc (oder kurz Dreiflächenwinkel O) genannt. Die Strahlen a, b, c heißen die Kanten des Dreieckswinkels Oabc und die ebenen Winkel α, β, γ sind seine Flächen. Punkt O wird als Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels bezeichnet.

3 Bemerkung: Es wäre möglich, einen Dreieckswinkel mit einer nicht konvexen Fläche zu definieren (Abb. 151), aber wir werden solche Dreieckswinkel nicht berücksichtigen.

Für jede Kante eines Dreieckswinkels wird ein entsprechender Diederwinkel bestimmt, dessen Kante die entsprechende Kante des Dreieckswinkels enthält und dessen Flächen die an diese Kante angrenzenden Flächen des Dreieckswinkels enthalten.

Die Werte der Diederwinkel des Dreiflächenwinkels Oabc an den Kanten a, b, c werden jeweils mit a^, b^, c^ bezeichnet (Großbuchstaben direkt über den Buchstaben).

Drei Flächen α, β, γ des Dreiflächenwinkels Oabc und seiner drei Diederwinkel at Rippen a, b, с, sowie die Größen α, β, γ und à^, b^, с^ nennen wir Elemente eines Dreieckswinkels. (Denken Sie daran, dass die Elemente eines ebenen Dreiecks seine Seiten und Winkel sind.)

Unsere Aufgabe besteht darin, einige Elemente eines Dreieckswinkels durch seine anderen Elemente auszudrücken, das heißt, eine „Trigonometrie“ von Dreieckswinkeln zu konstruieren.

1) Beginnen wir mit der Ableitung eines Analogons zum Kosinussatz. Betrachten Sie zunächst einen dreiflächigen Winkel Oabc, der mindestens zwei Flächen hat, zum Beispiel α und β, scharfe Kanten. Nehmen wir den Punkt C auf seiner Kante c und zeichnen wir von ihm in den Flächen α und β die Senkrechten CB und CA zur Kante c, bis sie die Kanten a und b an den Punkten A und B schneiden (Abb. 152). Drücken wir den Abstand AB von den Dreiecken OAB und CAB mit dem Kosinussatz aus.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) und AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

Wenn wir die erste von der zweiten Gleichheit subtrahieren, erhalten wir:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Weil Dreiecke OSV und OCA sind rechtwinklig, dann AC 2 -AC 2 =OS 2 und OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

Daher folgt aus (1) und (2), dass OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

diese.

Aber
,
,
,
. Deshalb

(3) – ein Analogon des Kosinussatzes für Dreieckswinkel – Kosinusformel.

Beide Flächen α und β sind stumpfe Winkel.

Einer der Winkel α und β, zum Beispiel α, ist spitz und der andere, β, ist stumpf.

Mindestens einer der Winkel α oder β ist gerade.

Zeichen der Gleichheit der Dreieckswinkelähnlich den Gleichheitszeichen von Dreiecken. Es gibt jedoch einen Unterschied: Beispielsweise sind zwei Dreieckswinkel gleich, wenn ihre Diederwinkel entsprechend gleich sind. Denken Sie daran, dass zwei ebene Dreiecke, deren entsprechende Winkel gleich sind, ähnlich sind. Und für Dreieckswinkel führt eine ähnliche Bedingung nicht zu Ähnlichkeit, sondern zu Gleichheit.

Dreiflächige Winkel haben eine bemerkenswerte Wirkung Eigentum was man Dualität nennt. Wenn in irgendeinem Satz über den Dreieckswinkel Oabc, ersetzen wir Werte a, b, von zu π-α, π-β, π-γund umgekehrt α, β, γ durch π-a^, π-b^, π-c^ ersetzen, dann erhalten wir wieder eine wahre Aussage über Dreieckswinkel, dual zum ursprünglichen Satz. Wenn zwar eine solche Ersetzung im Sinussatz vorgenommen wird, dann kommen wir wieder zum Sinussatz (er ist zu sich selbst dual). Wenn wir dies jedoch im Kosinussatz (3) tun, erhalten wir eine neue Formel

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Warum eine solche Dualität auftritt, wird klar, wenn wir für einen Dreieckswinkel einen dazu dualen Dreieckswinkel konstruieren, dessen Kanten senkrecht zu den Flächen des ursprünglichen Winkels stehen (siehe Abschnitt 33.3 und Abb. 356).

Einige der einfachsten Oberflächen sind polyedrische Winkel. Sie bestehen aus gewöhnlichen Winkeln (wir nennen solche Winkel heute oft flache Winkel), so wie eine geschlossene gestrichelte Linie aus Segmenten besteht. Es wird nämlich folgende Definition gegeben:

Ein Polyederwinkel heißt eine durch ebene Winkel gebildete Figur, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Keine zwei Winkel haben gemeinsame Punkte außer ihrem gemeinsamen Scheitelpunkt oder ihrer gemeinsamen Seite.

2) Für jeden dieser Winkel ist jede seiner Seiten mit einem und nur einem anderen solchen Winkel gemeinsam.

3) Von jeder Ecke aus können Sie entlang der Ecken, die gemeinsame Seiten haben, zu jeder Ecke gehen.

4) Keine zwei Winkel mit einer gemeinsamen Seite liegen in derselben Ebene (Abb. 324).

Unter dieser Bedingung werden die ebenen Winkel, die einen Polyederwinkel bilden, als seine Flächen bezeichnet, und seine Seiten werden als seine Kanten bezeichnet.

Unter diese Definition Auch ein Diederwinkel ist geeignet. Es besteht aus zwei aufgefalteten flachen Winkeln. Sein Scheitelpunkt kann als beliebiger Punkt auf seiner Kante betrachtet werden, und dieser Punkt teilt die Kante in zwei Kanten, die sich am Scheitelpunkt treffen. Aufgrund dieser Unsicherheit in der Position des Scheitelpunkts wird der Diederwinkel jedoch aus der Anzahl der Polyederwinkel ausgeschlossen.

P

Der Begriff des Polyederwinkels ist insbesondere in der Polyederlehre – in der Polyedertheorie – wichtig. Die Struktur eines Polyeders wird dadurch charakterisiert, aus welchen Flächen es besteht und wie diese an den Ecken zusammenlaufen, d. h. welche Polyederwinkel es gibt.

Betrachten Sie die Polyederwinkel verschiedener Polyeder.

Beachten Sie, dass die Flächen polyedrischer Winkel auch nicht konvexe Winkel sein können.

TEXTTRANSKRIPT DER LEKTION:

In der Planimetrie ist ein Winkel eines der Untersuchungsobjekte.

Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus einem Punkt – dem Scheitelpunkt des Winkels – und zwei von diesem Punkt ausgehenden Strahlen besteht.

Zwei Winkel, von denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden eine Fortsetzung voneinander sind, werden in der Planimetrie als benachbart bezeichnet.

Ein Kompass kann als Modell eines ebenen Winkels betrachtet werden.

Erinnern wir uns an das Konzept eines Diederwinkels.

Dies ist eine Figur, die aus einer Geraden a und zwei Halbebenen c besteht gemeinsame Grenze Und wenn ein Winkel nicht zur gleichen Ebene in der Geometrie gehört, wird er als Diederwinkel bezeichnet. Halbebenen sind die Flächen eines Diederwinkels. Die Gerade a ist eine Kante eines Diederwinkels.

Das Dach des Hauses zeigt deutlich den Diederwinkel.

Aber das Dach des Hauses in Abbildung zwei hat die Form einer Figur, die aus sechs flachen Winkeln mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt besteht, sodass die Winkel gleich sind in einer bestimmten Reihenfolge und jedes Paar benachbarter Winkel, einschließlich des ersten und letzten, hat eine gemeinsame Seite. Wie heißt diese Dachform?

In der Geometrie eine Figur, die aus Winkeln besteht

Und die Winkel, aus denen dieser Winkel entsteht, nennt man ebene Winkel. Die Seiten ebener Winkel werden Kanten eines Polyederwinkels genannt. Punkt O wird als Scheitelpunkt des Winkels bezeichnet.

Beispiele für Polyederwinkel finden sich im Tetraeder und im Parallelepiped.

Die Flächen des Tetraeders DBA, ABC, DBC bilden den Polyederwinkel BADC. Häufiger wird er als Dreiflächenwinkel bezeichnet.

In einem Parallelepiped bilden die Flächen AA1D1D, ABCD, AA1B1B den Dreieckswinkel AA1DB.

Nun, das Dach des Hauses hat die Form eines sechseckigen Winkels. Es besteht aus sechs flachen Winkeln.

Für einen Polyederwinkel gelten eine Reihe von Eigenschaften. Lassen Sie uns sie formulieren und beweisen. Hier steht, dass die Aussage

Erstens gibt es für jeden konvexen Polyederwinkel eine Ebene, die alle seine Kanten schneidet.

Betrachten Sie zum Beweis den Polyederwinkel OA1A2 A3…An.

Aufgrund der Bedingung ist es konvex. Ein Winkel heißt konvex, wenn er auf einer Seite der Ebene jedes seiner ebenen Winkel liegt.

Da dieser Winkel bedingt konvex ist, liegen die Punkte O, A1, A2, A3, An auf einer Seite der Ebene OA1A2

Lasst uns ausführen Mittellinie KM des Dreiecks OA1A2 und wählen Sie aus den Kanten OA3, OA4, OAn die Kante aus, die mit der OKM-Ebene den kleinsten Diederwinkel bildet. Dies sei die Kante OAi.(gesamt)

Betrachten wir die Halbebene α mit dem Rand CM und teilen wir den Diederwinkel OKMAi in zwei Diederwinkel auf. Alle Eckpunkte von A bis An liegen auf einer Seite der Ebene α und der Punkt O auf der anderen Seite. Folglich schneidet die Ebene α alle Kanten des Polyederwinkels. Die Aussage ist bewiesen.

Konvexe Polyederwinkel haben eine weitere wichtige Eigenschaft.

Die Summe der Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360°.

Betrachten Sie einen konvexen Polyederwinkel mit einem Scheitelpunkt im Punkt O. Aufgrund der bewährten Aussage gibt es eine Ebene, die alle ihre Kanten schneidet.

Zeichnen wir eine solche Ebene α, lassen Sie sie die Kanten des Winkels in den Punkten A1, A2, A3 usw. schneiden.

Ebene α von Außenbereich ein flacher Winkel wird durch ein Dreieck abgeschnitten. Die Summe der Winkel beträgt 180°. Wir erhalten, dass die Summe aller Ebenenwinkel von A1OA2 bis AnOA1 gleich dem Ausdruck ist, wir transformieren diesen Ausdruck, wir ordnen die Terme neu, wir erhalten

IN dieser Ausdruck Die in Klammern angegebenen Summen sind die Summen der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels und sind bekanntlich größer als der dritte Ebenenwinkel.

Diese Ungleichung kann für alle Dreieckswinkel geschrieben werden, die einen gegebenen Polyederwinkel bilden.

Deshalb bekommen wir nächste Fortsetzung Gleichwertigkeit

Die Antwort beweist, dass die Summe der Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels weniger als 360 Grad beträgt.

Definitionen. Nehmen wir mehrere Winkel (Abb. 37): ASB, BSC, CSD, die nacheinander benachbart in derselben Ebene um den gemeinsamen Scheitelpunkt S liegen.

Drehen wir die Ebene um den Winkel ASB gemeinsame Seite SB, sodass diese Ebene mit der Ebene BSC einen bestimmten Diederwinkel bildet. Dann drehen wir es um die gerade Linie SC, ohne den resultierenden Diederwinkel zu ändern, sodass die BSC-Ebene einen bestimmten Diederwinkel mit der CSD-Ebene bildet. Lassen Sie uns diese sequentielle Drehung um jede gemeinsame Seite fortsetzen. Fällt die letzte Seite SF mit der ersten Seite SA zusammen, so entsteht eine Figur (Abb. 38), die aufgerufen wird Polyederwinkel. Es werden die Winkel ASB, BSC,... genannt flache Winkel oder Kanten, ihre Seiten werden SA, SB, ... genannt Rippen, A gemeinsamer Scheitelpunkt S- Spitze Polyederwinkel.

Jede Kante ist auch eine Kante mit einem bestimmten Diederwinkel; Daher gibt es in einem Polyederwinkel so viele Diederwinkel und so viele flache Winkel wie alle Kanten darin sind. Kleinste Zahl es gibt drei Flächen in einem polyedrischen Winkel; dieser Winkel heißt dreieckig. Es können tetraedrische, fünfeckige usw. Winkel vorhanden sein.

Ein polyedrischer Winkel wird entweder durch einen einzelnen Buchstaben S am Scheitelpunkt oder durch eine Reihe von Buchstaben SABCDE bezeichnet, von denen der erste den Scheitelpunkt und die anderen die Kanten in der Reihenfolge ihrer Position bezeichnen.

Ein polyedrischer Winkel heißt konvex, wenn er vollständig auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen liegt, die sich auf unbestimmte Zeit erstreckt. Dies ist beispielsweise der in Zeichnung 38 dargestellte Winkel. Im Gegensatz dazu kann der Winkel in Zeichnung 39 nicht als konvex bezeichnet werden, da er sich auf beiden Seiten der ASB-Kante oder der BCC-Kante befindet.

Wenn wir alle Flächen eines Polyederwinkels mit einer Ebene schneiden, dann entsteht im Schnitt ein Polygon ( abcde ). In einem konvexen Polyederwinkel ist dieses Polygon auch konvex.

Wir werden nur konvexe Polyederwinkel betrachten.

Satz. In einem Dreieckswinkel jeder flache Winkel weniger als der Betrag zwei weitere Ebenenwinkel.

Der größte der Ebenenwinkel im Dreiflächenwinkel SABC (Abb. 40) sei der Winkel ASC.

Tragen wir auf diesem Winkel den Winkel ASD ein, der dem Winkel ASB entspricht, und zeichnen wir eine gerade Linie AC, die SD an einem Punkt D schneidet. Zeichnen wir SB = SD auf. Indem wir B mit A und C verbinden, erhalten wir \(\Delta\)ABC, in dem

AD+DC< АВ + ВС.

Die Dreiecke ASD und ASB sind kongruent, weil zwischen ihnen jeweils der gleiche Winkel liegt gleiche Seiten: also AD = AB. Wenn wir also in der abgeleiteten Ungleichung die gleichen Terme AD und AB verwerfen, erhalten wir DC< ВС.

Nun stellen wir fest, dass in den Dreiecken SCD und SCB zwei Seiten des einen gleich sind wie zwei Seiten des anderen, die dritten Seiten jedoch nicht gleich sind; in diesem Fall liegt gegen die größere dieser Seiten größerer Winkel; Bedeutet,

∠CSD< ∠ CSВ.

Durch Addition des Winkels ASD zur linken Seite dieser Ungleichung und des dazugehörigen Winkels ASB zur rechten Seite erhalten wir die zu beweisende Ungleichung:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Wir haben bewiesen, dass selbst der größte ebene Winkel kleiner ist als die Summe der beiden anderen Winkel. Das bedeutet, dass der Satz bewiesen ist.

Folge.

Subtrahieren Sie von beiden Seiten der letzten Ungleichung den Winkel ASB oder den Winkel CSB; wir bekommen:< ∠ CSB;

∠ASC - ∠ASB< ∠ ASB.

∠ASC - ∠CSB Betrachtet man diese Ungleichungen von rechts nach links und berücksichtigt den Winkel ASC als den größten von drei Ecken größer als die Differenz der beiden anderen Winkel, kommen wir zu dem Schluss, dass.

Satz. In einem Dreieckswinkel ist jeder ebene Winkel größer als die Differenz der beiden anderen Winkel .

In einem konvexen Polyederwinkel beträgt die Summe aller ebenen Winkel weniger als 4d (360°). Überqueren wir die Kanten (Abb. 41) konvexer Winkel SABCDE mit irgendeinem Flugzeug; daraus ergibt sich ein konvexer Querschnitt N

-gon ABCDE.

Wenn wir den zuvor bewiesenen Satz auf jeden der dreieckigen Winkel anwenden, deren Scheitelpunkte sich an den Punkten A, B, C, D und E befinden, pacholym:< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

∠ABC Addieren wir alle diese Ungleichungen Term für Term. Dann erhalten wir auf der linken Seite die Summe aller Winkel des Polygons ABCDE, die gleich 2 ist - 4dn D , und rechts - die Summe der Winkel der Dreiecke ABS, SBC usw., mit Ausnahme der Winkel, die am Scheitelpunkt S liegen. Die Summe dieser letzten Winkel wird mit dem Buchstaben bezeichnet X

2Addieren wir alle diese Ungleichungen Term für Term. Dann erhalten wir auf der linken Seite die Summe aller Winkel des Polygons ABCDE, die gleich 2 ist - 4dn < 2, wir erhalten nach der Addition: .

dn - x Addieren wir alle diese Ungleichungen Term für Term. Dann erhalten wir auf der linken Seite die Summe aller Winkel des Polygons ABCDE, die gleich 2 ist - 4dn Da in Unterschieden 2 , wir erhalten nach der Addition: und 2 dn Die Minuenden sind gleich. Damit der erste Unterschied kleiner als der zweite ist, muss der Subtrahend 4 sein , und rechts - die Summe der Winkel der Dreiecke ABS, SBC usw., mit Ausnahme der Winkel, die am Scheitelpunkt S liegen. Die Summe dieser letzten Winkel wird mit dem Buchstaben bezeichnet war mehr als der Selbstbehalt dn > , und rechts - die Summe der Winkel der Dreiecke ABS, SBC usw., mit Ausnahme der Winkel, die am Scheitelpunkt S liegen. Die Summe dieser letzten Winkel wird mit dem Buchstaben bezeichnet ; das bedeutet 4 , und rechts - die Summe der Winkel der Dreiecke ABS, SBC usw., mit Ausnahme der Winkel, die am Scheitelpunkt S liegen. Die Summe dieser letzten Winkel wird mit dem Buchstaben bezeichnet < 4dn .

, d.h.

Die einfachsten Fälle der Gleichheit der Dreieckswinkel Theoreme.

1) Dreiflächige Winkel sind gleich, wenn sie Folgendes haben: entlang eines gleichen Diederwinkels, der zwischen zwei entsprechend gleichen und identisch beabstandeten ebenen Winkeln eingeschlossen ist

2) , oder.

entlang eines gleichen ebenen Winkels, der zwischen zwei entsprechend gleichen und identisch beabstandeten Diederwinkeln eingeschlossen ist 1) Seien S und S 1 zwei Dreieckswinkel (Abb. 42), für die ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (und diese gleiche Winkel

identisch angeordnet) und der Diederwinkel AS ist gleich dem Diederwinkel A 1 S 1 .

Setzen wir den Winkel S 1 in den Winkel S ein, so dass ihre Punkte S 1 und S, die Geraden S 1 A 1 und SA und die Ebenen A 1 S 1 B 1 und ASB zusammenfallen. Dann verläuft die Kante S 1 B 1 entlang SB (aufgrund der Gleichheit der Winkel A 1 S 1 B 1 und ASB), die Ebene A 1 S 1 C 1 verläuft entlang ASC (aufgrund der Gleichheit der Diederwinkel). ) und die Kante S 1 C 1 verläuft entlang der Kante SC (aufgrund der Gleichheit der Winkel A 1 S 1 C 1 und ASC). Somit fallen die Dreieckswinkel mit allen ihren Kanten zusammen, d.h. sie werden gleich sein.

2) Das zweite Zeichen wird wie das erste durch Einbettung bewiesen.

Wie Sie wissen, sind vertikale Winkel gleich, wenn es sich um Winkel handelt, die durch gerade Linien oder Ebenen gebildet werden. Mal sehen, ob diese Aussage in Bezug auf Polyederwinkel wahr ist.

Setzen wir (Abb. 43) alle Kanten des Winkels SABCDE über den Scheitelpunkt S hinaus fort, dann entsteht ein weiterer polyedrischer Winkel SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, der aufgerufen werden kann Vertikale relativ zum ersten Winkel. Es ist leicht zu erkennen, dass beide Winkel gleiche Flach- bzw. Diederwinkel haben, aber beide liegen in umgekehrte Reihenfolge. Wenn wir uns tatsächlich einen Beobachter vorstellen, der von außerhalb eines Polyederwinkels auf dessen Scheitelpunkt schaut, dann werden ihm die Kanten SA, SB, SC, SD, SE so vorkommen, als ob sie gegen den Uhrzeigersinn liegen, während er bei Betrachtung des Winkels SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 sieht er die Kanten SA 1, SB 1, ..., die im Uhrzeigersinn liegen.

Polyederwinkel mit jeweils gleichen Ebenen- und Diederwinkeln, aber in entgegengesetzter Reihenfolge angeordnet, können bei der Verschachtelung überhaupt nicht kombiniert werden; das bedeutet, dass sie nicht gleich sind. Solche Winkel heißen symmetrisch(relativ zum Scheitelpunkt S). Auf die Symmetrie von Figuren im Raum wird weiter unten näher eingegangen.

Betrachten wir drei Strahlen a, b, c, die vom selben Punkt ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen. Ein Dreieckswinkel (abc) ist eine Figur, die aus drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) besteht (Abb. 2). Diese Winkel werden als Flächen eines Dreieckswinkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt flacher Winkel wird als Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels bezeichnet. Die von den Flächen eines Dreieckswinkels gebildeten Diederwinkel werden als Diederwinkel eines Dreieckswinkels bezeichnet.

Der Begriff eines Polyederwinkels wird ähnlich definiert (Abb. 3).

Polyeder

In der Stereometrie werden Figuren im Raum, sogenannte Körper, untersucht. Ein visueller (geometrischer) Körper muss als Teil eines eingenommenen Raums vorgestellt werden physischer Körper und durch die Oberfläche begrenzt.

Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht (Abb. 4). Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich auf einer Seite der Ebene jedes ebenen Polygons auf seiner Oberfläche befindet. Der gemeinsame Teil einer solchen Ebene und der Oberfläche eines konvexen Polyeders wird Fläche genannt. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flach konvexe Polygone. Die Seiten der Flächen werden als Kanten des Polyeders bezeichnet, und die Eckpunkte werden als Eckpunkte des Polyeders bezeichnet.

Lassen Sie uns dies am Beispiel eines bekannten Würfels erklären (Abb. 5). Ein Würfel ist ein konvexes Polyeder. Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten: ABCD, BEFC, .... Das sind seine Flächen. Die Kanten des Würfels sind die Seiten dieser Quadrate: AB, BC, BE,.... Die Eckpunkte eines Würfels sind die Eckpunkte der Quadrate: A, B, C, D, E, .... Der Würfel hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Eckpunkte.

Für die einfachsten Polyeder – Prismen und Pyramiden, die das Hauptobjekt unserer Studie sein werden – werden wir Definitionen geben, die im Wesentlichen nicht den Begriff des Körpers verwenden. Sie werden definiert als geometrische Figuren Angabe aller zu ihnen gehörenden Punkte im Raum. Konzept geometrischer Körper und seine Oberfläche in Allgemeiner Fall wird nachgereicht.