Polyederwinkel Satz von Polyederwinkeln. Facettenreiche Ecken. Konvexe Polyeder. Triederwinkel messen

Attitüde gegenüberliegendes Bein zur Hypotenuse heißt Sinus spitzer Winkel rechtwinkliges Dreieck.

\sin\alpha=\frac(a)(c)

Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Verhältnis des nächsten Schenkels zur Hypotenuse wird genannt Kosinus eines spitzen Winkels rechtwinkliges Dreieck.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangente eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein wird genannt spitzer Winkel Tangente rechtwinkliges Dreieck.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden Bein wird genannt Kotangens eines spitzen Winkels rechtwinkliges Dreieck.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus eines beliebigen Winkels

Punkt Ordinate auf Einheit Kreise, der dem Winkel \alpha entspricht, heißt Sinus beliebigen Winkel Drehung \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus eines beliebigen Winkels

Abszissenpunkt auf Einheitskreis, der dem Winkel \alpha entspricht, heißt Kosinus eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

\cos \alpha=x

Tangente eines beliebigen Winkels

Das Verhältnis des Sinus eines beliebigen Drehwinkels \alpha zu seinem Kosinus wird als bezeichnet Tangens eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens eines beliebigen Winkels

Das Verhältnis des Kosinus eines beliebigen Drehwinkels \alpha zu seinem Sinus wird genannt Kotangens eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

ctg \alpha=x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Ein Beispiel für das Finden eines beliebigen Winkels

Wenn \alpha ein Winkel AOM ist, wobei M ein Punkt auf dem Einheitskreis ist, dann

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Zum Beispiel, wenn \angle AOM = -\frac(\pi)(4), dann: die Ordinate des Punktes M ist -\frac(\sqrt(2))(2), die Abszisse ist \frac(\sqrt(2))(2) und deshalb

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left(-\frac(\pi)(4)\right)=-1.

Tabelle der Werte von Sinus von Cosinus von Tangenten von Kotangens

Die Werte der wichtigsten häufig vorkommenden Winkel sind in der Tabelle angegeben:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\links(\pi\rechts)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\links(2\pi\rechts)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Anweisung

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beachten Sie

Bei der Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Kenntnis seiner Merkmale eine Rolle spielen:
1) Wenn das Bein eines rechten Winkels einem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, dann es halb Hypotenuse;
2) Die Hypotenuse ist immer länger als jedes der Beine;
3) Wird um ein rechtwinkliges Dreieck ein Kreis umschrieben, so muss sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse liegen.

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, reicht es aus, die Länge eines der Schenkel und den Wert eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisung

Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Sei es zur Eindeutigkeit das Bein |AB| und Winkel α. Dann können wir die Formel für verwenden trigonometrischer Kosinus ist der Kosinus des Verhältnisses des benachbarten Schenkels zu . Diese. in unserer Schreibweise cos α = |AB| / |AC|. Daraus ergibt sich die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| / cosα.
Wenn wir das Bein |BC| kennen und Winkel α, dann verwenden wir die Formel zur Berechnung des Sinus des Winkels - der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis gegenüberliegendes Bein zur Hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Wir erhalten, dass die Länge der Hypotenuse als |AC| gefunden wird = |BC| / cosα.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel. Sei die Beinlänge |AB| = 15. Und der Winkel α = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Überlegen Sie, wie Sie Ihr Ergebnis mit dem Satz des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Schenkels |BC| berechnen. Mit der Formel für den Tangens des Winkels tg α = |BC| / |AC| erhalten wir |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Die Überprüfung ist abgeschlossen.

Nützlicher Rat

Überprüfen Sie nach der Berechnung der Hypotenuse, ob der resultierende Wert den Satz des Pythagoras erfüllt.

Quellen:

• Tisch Primzahlen von 1 bis 10000

Beine Nennen Sie die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die seine Spitze bilden, deren Wert 90 ° beträgt. Die dritte Seite in einem solchen Dreieck heißt Hypotenuse. Alle diese Seiten und Winkel des Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden, die es Ihnen ermöglichen, die Beinlänge zu berechnen, wenn mehrere andere Parameter bekannt sind.

Anweisung

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras für das Bein (A), wenn Sie die Länge der anderen beiden Seiten (B und C) des rechtwinkligen Dreiecks kennen. Dieser Satz besagt, dass die Summe der Beinlängen im Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Daraus folgt, dass die Länge jedes der Beine gleich ist Quadratwurzel aus den Längen der Hypotenuse und des zweiten Schenkels: A=√(C²-B²).

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Funktion "Sinus" für einen spitzen Winkel, wenn Sie den Wert des Winkels (α) gegenüber dem berechneten Bein und die Länge der Hypotenuse (C) kennen. Diese besagt, dass der Sinus dieser bekanntlich das Verhältnis der Länge des gewünschten Schenkels zur Länge der Hypotenuse ist. Dies bedeutet, dass die Länge des gewünschten Beins gleich dem Produkt der Länge der Hypotenuse mit dem Sinus ist bekannten Winkel: A=C∗sin(α). Für das Selbe bekannte Mengen Sie können den Kosekan verwenden und berechnen Gewünschte Länge, wobei die Länge der Hypotenuse durch den Kosekans des bekannten Winkels A=C/Cosec(α) dividiert wird.

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Kosinusfunktion, wenn neben der Länge der Hypotenuse (C) auch der Wert des spitzen Winkels (β) neben dem gesuchten bekannt ist. Der Kosinus dieses Winkels ist das Verhältnis der Längen des gewünschten Schenkels und der Hypotenuse, und daraus können wir schließen, dass die Länge des Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des bekannten Winkels ist: A=C∗cos(β). Sie können die Definition der Sekantenfunktion verwenden und berechnen gewünschter Wert, wobei die Länge der Hypotenuse durch die Sekante des bekannten Winkels A=C/sec(β) dividiert wird.

Rausbringen gewünschte Formel aus einer ähnlichen Definition für die Ableitung der trigonometrischen Funktion Tangens, wenn neben dem Wert des dem gewünschten Schenkel (A) gegenüberliegenden spitzen Winkels (α) auch die Länge des zweiten Schenkels (B) bekannt ist. Der Tangens des Winkels gegenüber dem gewünschten Schenkel ist das Verhältnis der Länge dieses Schenkels zur Länge des zweiten Schenkels. Daher ist der gewünschte Wert gleich dem Produkt der Länge berühmtes Bein an die Tangente eines bekannten Winkels: A=B∗tg(α). Aus denselben bekannten Größen kann eine andere Formel unter Verwendung der Definition der Kotangensfunktion abgeleitet werden. In diesem Fall muss zur Berechnung der Beinlänge das Verhältnis der Länge des bekannten Beins zum Kotangens des bekannten Winkels ermittelt werden: A=B/ctg(α).

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Das Wort „katet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. BEI genaue übersetzung es bedeutet lotrecht, dh senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik werden Beine als Seiten bezeichnet, die einen rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Bein“ wird auch in Architektur und Technik verwendet Schweißarbeiten.

Sekante angegebenen Winkel erhält man, indem man die Hypotenuse durch dividiert benachbartes Bein, d.h. secCAB=c/b. Es stellt sich der Wert heraus inverser Kosinus, das heißt, es kann durch die Formel secCAB = 1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekan ist gleich dem Quotienten aus der Division der Hypotenuse durch das gegenüberliegende Bein und dies ist der Wert, umgekehrter Sinus. Er kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden

Beide Schenkel sind miteinander verbunden und kotangent. BEI dieser Fall Die Tangente ist das Verhältnis von Seite a zu Seite b, dh das gegenüberliegende Bein zum benachbarten. Dieses Verhältnis kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Beziehungsweise, umgekehrte Haltung es wird einen Kotangens geben: ctgCAB=b/a.

Das Verhältnis zwischen den Größen der Hypotenuse und beiden Beinen wurde vom antiken griechischen Pythagoras bestimmt. Das Theorem, sein Name, wird immer noch verwendet. Es sagt, dass das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe Quadrate der Beine, also c2=a2+b2. Dementsprechend ist jedes Bein gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.

Auch die Beinlänge lässt sich durch die Ihnen bekannten Beziehungen ausdrücken. Nach den Sinus- und Kosinussätzen ist das Bein ist gleich dem Produkt Hypotenuse zu einer dieser Funktionen. Sie können es ausdrücken und oder Kotangens. Das Bein a kann beispielsweise durch die Formel a \u003d b * tan CAB gefunden werden. Genauso wird je nach gegebener Tangente bzw. der zweite Schenkel bestimmt.

In der Architektur wird auch der Begriff „Bein“ verwendet. Es wird auf ein ionisches Kapitell aufgetragen und senkrecht durch die Mitte seines Rückens geführt. Das heißt in diesem Fall durch diesen Term die Senkrechte zu der gegebenen Linie.

In der Schweißtechnik gibt es einen „Schenkel einer Kehlnaht“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier wir redenüber den Spalt zwischen einem der zu schweißenden Teile bis zur Grenze der Naht, die sich auf der Oberfläche des anderen Teils befindet.

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Quellen:

• Was ist das Bein und die Hypotenuse im Jahr 2019?

Durchschnittsniveau

Rechtwinkliges Dreieck. Vollständige illustrierte Anleitung (2019)

RECHTWINKLIGES DREIECK. ERSTE EBENE.

Bei Problemen ist ein rechter Winkel überhaupt nicht erforderlich - der untere linke, also müssen Sie lernen, wie man ihn erkennt rechtwinkliges Dreieck und in dieser form

und in solchen

und in solchen

Was ist gut an einem rechtwinkligen Dreieck? Nun ... zunächst einmal gibt es etwas Besonderes schöne namen für seine Seiten.

Achtung Zeichnung!

Denken Sie daran und verwechseln Sie nicht: Beine - zwei und die Hypotenuse - nur eine(die einzige, einzigartige und längste)!

Nun, wir haben die Namen besprochen, jetzt das Wichtigste: der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras.

Dieser Satz ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck. Pythagoras hat es perfekt bewiesen seit jeher, und seitdem hat sie denen, die sie kennen, viele Vorteile gebracht. Und das Beste an ihr ist, dass sie einfach ist.

So, Satz des Pythagoras:

Erinnerst du dich an den Witz: „Pythagoräische Hosen sind auf allen Seiten gleich!“?

Lassen Sie uns diese zeichnen Pythagoreische Hosen und sieh sie dir an.

Sieht es wirklich aus wie Shorts? Nun, auf welchen Seiten und wo sind sie gleich? Warum und woher kam der Witz? Und dieser Witz hängt genau mit dem Satz des Pythagoras zusammen, genauer gesagt mit der Art und Weise, wie Pythagoras selbst seinen Satz formuliert hat. Und er formulierte es so:

"Summe Fläche von Quadraten, auf den Beinen gebaut, ist gleich quadratische Fläche auf der Hypotenuse aufgebaut.

Klingt das nicht etwas anders, oder? Als Pythagoras die Aussage seines Satzes zeichnete, ergab sich genau ein solches Bild.

In diesem Bild ist die Summe der Flächen der kleinen Quadrate gleich der Fläche des großen Quadrats. Und damit sich die Kinder besser daran erinnern, dass die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, hat jemand Witziges diesen Witz über die pythagoreische Hose erfunden.

Warum formulieren wir jetzt den Satz des Pythagoras

Hat Pythagoras gelitten und über Quadrate gesprochen?

Sehen Sie, in der Antike gab es keine ... Algebra! Es gab keine Anzeichen und so weiter. Es gab keine Inschriften. Können Sie sich vorstellen, wie schrecklich es für die armen alten Studenten war, alles mit Worten auswendig zu lernen??! Und wir können froh sein, dass wir das haben einfache Formulierung Sätze des Pythagoras. Wiederholen wir es noch einmal, um uns besser daran zu erinnern:

Jetzt sollte es einfach sein:

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Nun, der wichtigste Satz über ein rechtwinkliges Dreieck wurde besprochen. Wenn Sie daran interessiert sind, wie es bewiesen wird, lesen Sie die nächsten Ebenen der Theorie, und jetzt gehen wir weiter ... zu dunkler Wald... Trigonometrie! Zu den schrecklichen Wörtern Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck.

Eigentlich ist alles gar nicht so beängstigend. Natürlich sollte im Artikel die "echte" Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens betrachtet werden. Aber das willst du wirklich nicht, oder? Wir können uns freuen: Um Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck zu lösen, können Sie einfach die folgenden einfachen Dinge eingeben:

Warum dreht sich alles um die Ecke? Wo ist die Ecke? Um dies zu verstehen, müssen Sie wissen, wie die Aussagen 1 - 4 in Worten geschrieben werden. Schau, verstehe und erinnere dich!

1.
Das hört sich eigentlich so an:

Was ist mit dem Winkel? Gibt es ein Bein, das der Ecke gegenüberliegt, dh das gegenüberliegende Bein (für die Ecke)? Natürlich gibt es! Das ist ein Kathet!

Aber was ist mit dem Winkel? Schau genau. Welches Bein grenzt an die Ecke? Natürlich die Katze. Für den Winkel ist das Bein also benachbart und

Und jetzt, Achtung! Schau, was wir haben:

Sehen Sie, wie großartig es ist:

Kommen wir nun zu Tangens und Kotangens.

Wie soll man das jetzt in Worte fassen? Was ist das Bein in Bezug auf die Ecke? Gegenüber natürlich - es "liegt" gegenüber der Ecke. Und der Kathet? Angrenzend an die Ecke. Was haben wir also bekommen?

Sehen Sie, wie Zähler und Nenner vertauscht sind?

Und jetzt nochmal die Ecken und den Austausch gemacht:

Zusammenfassung

Schreiben wir kurz auf, was wir gelernt haben.

Satz des Pythagoras:

Der Hauptsatz des rechtwinkligen Dreiecks ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Übrigens, erinnerst du dich gut, was die Beine und die Hypotenuse sind? Wenn nicht, dann schauen Sie sich das Bild an - frischen Sie Ihr Wissen auf

Es ist möglich, dass Sie den Satz des Pythagoras schon oft verwendet haben, aber haben Sie sich jemals gefragt, warum ein solcher Satz wahr ist? Wie würden Sie es beweisen? Machen wir es wie die alten Griechen. Lassen Sie uns ein Quadrat mit einer Seite zeichnen.

Sie sehen, wie geschickt wir seine Seiten in Längensegmente unterteilt haben und!

Verbinden wir nun die markierten Punkte

Hier haben wir jedoch etwas anderes bemerkt, aber Sie sehen sich das Bild selbst an und denken darüber nach, warum.

Welchen Flächeninhalt hat das größere Quadrat? Richtig, . Was ist mit dem kleineren Bereich? Na sicher, . Die Gesamtfläche der vier Ecken bleibt erhalten. Stellen Sie sich vor, wir hätten zwei davon genommen und mit Hypotenusen aneinander gelehnt. Was ist passiert? Zwei Rechtecke. Der Bereich der "Stecklinge" ist also gleich.

Lassen Sie uns jetzt alles zusammenfügen.

Lassen Sie uns transformieren:

Also besuchten wir Pythagoras – wir bewiesen seinen Satz auf uralte Weise.

Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten die folgenden Beziehungen:

Der Sinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Die Tangente eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel.

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden Schenkel.

Und das alles noch einmal in Form eines Tellers:

Es ist sehr bequem!

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

I. Auf zwei Beinen

II. Nach Bein und Hypotenuse

III. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel

IV. Entlang des Beines und des spitzen Winkels

a)

b)

Aufmerksamkeit! Hier ist es sehr wichtig, dass die Beine "korrespondieren". Wenn es zum Beispiel so geht:

DANN SIND DIE DREIECKE NICHT GLEICH, obwohl sie einen identischen spitzen Winkel haben.

Müssen In beiden Dreiecken war das Bein benachbart oder in beiden - gegenüber.

Haben Sie bemerkt, wie sich die Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken von den üblichen Gleichheitszeichen von Dreiecken unterscheiden? Schauen Sie sich das Thema an und achten Sie darauf, dass Sie für die Gleichheit „gewöhnlicher“ Dreiecke die Gleichheit ihrer drei Elemente benötigen: zwei Seiten und einen Winkel dazwischen, zwei Winkel und eine Seite dazwischen oder drei Seiten. Aber für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke reichen nur zwei entsprechende Elemente aus. Es ist großartig, oder?

Ungefähr die gleiche Situation mit Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken.

Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken

I. Akute Ecke

II. Auf zwei Beinen

III. Nach Bein und Hypotenuse

Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Wieso ist es so?

Betrachten Sie ein ganzes Rechteck anstelle eines rechtwinkligen Dreiecks.

Zeichnen wir eine Diagonale und betrachten einen Punkt - den Schnittpunkt der Diagonalen. Was weißt du über die Diagonalen eines Rechtecks?

Und was folgt daraus?

Das ist also passiert

1. - Median:

Merken Sie sich diese Tatsache! Hilft sehr!

Noch überraschender ist, dass auch die Umkehrung gilt.

Was nützt die Tatsache, dass der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse ist? Schauen wir uns das Bild an

Schau genau. Wir haben: , das heißt, die Entfernungen vom Punkt zu allen drei Spitzen Dreiecke sind gleich. Aber in einem Dreieck gibt es nur einen Punkt, von dem aus etwa alle drei Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt sind, und das ist der beschriebene Mittelpunkt des Kreises. Also was ist passiert?

Beginnen wir also mit diesem "nebenbei...".

Schauen wir auf i.

Aber ähnliche Dreiecke alle Winkel sind gleich!

Dasselbe gilt für und

Jetzt zeichnen wir es zusammen:

Welchen Nutzen kann aus dieser "dreifachen" Ähnlichkeit gezogen werden.

Nun, zum Beispiel - zwei Formeln für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks.

Wir schreiben die Beziehungen der entsprechenden Parteien:

Um die Höhe zu finden, lösen wir die Proportion und erhalten erste Formel "Höhe im rechtwinkligen Dreieck":

Wenden wir also die Ähnlichkeit an: .

Was wird jetzt passieren?

Wieder lösen wir die Proportion und erhalten die zweite Formel:

Diese beiden Formeln müssen Sie sich sehr gut merken und diejenige, die bequemer anzuwenden ist. Schreiben wir sie noch einmal auf.

Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel:.

Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

• auf zwei Beinen:
• entlang des Beins und der Hypotenuse: oder
• entlang des Beins und des angrenzenden spitzen Winkels: oder
• entlang des Beines und dem gegenüberliegenden spitzen Winkel: oder
• durch Hypotenuse und spitzen Winkel: oder.

Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken:

• eine scharfe Ecke: oder
• aus der Proportionalität der beiden Beine:
• aus der Proportionalität von Bein und Hypotenuse: oder.

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck

• Der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:
• Der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:
• Die Tangente eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:
• Der Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:.

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks: oder.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse: .

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

• durch die Katheter:

Was der Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels ist, wird dir helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \ (AC \) ); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \ (AB \) und \ (BC \) (diejenigen, die benachbart sind rechter Winkel), außerdem, wenn wir die Beine in Bezug auf den Winkel \ (BC \) betrachten, dann ist das Bein \ (AB \) das benachbarte Bein und das Bein \ (BC \) das gegenüberliegende. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Sinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]

Diese Definitionen sind notwendig denken Sie daran! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.

Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:

Betrachten wir zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \) . Per Definition aus einem Dreieck \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist gleich. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .

Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Radiant verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \ (1 \) . Ein solcher Kreis heißt Single. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.

Wie du sehen kannst, Kreis gegeben im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Kreisradius gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, Startposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius \(AB \) ).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse \(x \) und der Koordinate entlang der Achse \(y \) . Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG \) . Es ist rechteckig, weil \(CG \) senkrecht zur \(x \)-Achse steht.

Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Alles ist richtig \(\cos\\alpha=\dfrac(AG)(AC)\). Außerdem wissen wir, dass \(AC \) der Radius des Einheitskreises ist, also \(AC=1 \) . Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Und was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Nun, natürlich, \(\sin\alpha=\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \ (AC \) in diese Formel ein und erhalten Sie:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten des Punktes \(C \) sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Aber was, wenn Sie erkennen, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich ist die Koordinate \(x \) ! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, die \(y\)-Koordinate! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos\alpha;\sin\alpha)\).

Was sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) ? Das ist richtig, lass uns die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens verwenden und das bekommen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:

Was hat sich geändert in dieses Beispiel? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ein Winkel (als Nebenwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die einschlägigen Definitionen trigonometrische Funktionen:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \ (y \) ; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate \ (x \) ; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel , und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass die gesamte Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt bei \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei vollständige Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist) entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.

Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Dasselbe Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m \) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Versuchen Sie nun, nachdem Sie die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und den Einheitskreis verwenden, zu beantworten, was die Werte gleich sind:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:

Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Wenn wir uns an die gleiche Logik halten, stellen wir außerdem fest, dass die Ecken innen sind \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), beziehungsweise. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rechtspfeil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin\360()^\circ=0\)

\(\cos\360()^\circ=1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Somit können wir folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Muss sich merken oder ausgeben können!! \) !}

Und hier sind die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) In der folgenden Tabelle müssen Sie Folgendes beachten:

Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele für ein ziemlich einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn Sie diese \(4\)-Werte kennen, können Sie ganz einfach die gesamte Tabelle wiederherstellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, dh:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, ist es möglich, die Werte für wiederherzustellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \) “ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \) “ entspricht \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Schema mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich nur \(4 \) Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Rotationswinkel kennt? Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns herausbringen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden. Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:

Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist \(1,5 \) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P \) zu finden, die durch Drehen des Punktes \(O \) um \(\delta \) Grad erhalten werden.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \ (x \) des Punktes \ (P \) der Länge des Segments \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Die Länge des Segments \ (UK \) entspricht der Koordinate \ (x \) des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich \ (3 \) . Die Länge des Segments \(KQ \) kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\) . Auf diese Weise,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Also rein Gesamtansicht Punktkoordinaten werden durch die Formeln bestimmt:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), wo

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,

\(r\) - Kreisradius,

\(\delta \) - Rotationswinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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