So erstellen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen. Beispiele. Verteilungsgesetze diskreter Zufallsvariablen. Zufällige Variablen. Diskrete Zufallsvariable. Mathematische Erwartung
Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Zufallsvariablen“.
Aufgabe 1 . Für die Lotterie werden 100 Lose ausgegeben. Es wurde ein Gewinn von 50 USD ausgelost. und zehn Gewinne im Wert von jeweils 10 USD. Finden Sie das Verteilungsgesetz des Wertes X – der Kosten möglicher Gewinne.
Lösung. Mögliche Werte für X: x 1 = 0; X 2 = 10 und x 3 = 50. Da es 89 „leere“ Tickets gibt, dann p 1 = 0,89, Gewinnwahrscheinlichkeit 10 $. (10 Tickets) – S 2 = 0,10 und um 50 USD zu gewinnen -P 3 = 0,01. Auf diese Weise:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Einfach zu kontrollieren: .
Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Käufer die Produktwerbung vorab gelesen hat, beträgt 0,6 (p = 0,6). Die selektive Kontrolle der Werbequalität erfolgt durch die Befragung von Käufern vor dem ersten, der die Werbung vorab studiert hat. Erstellen Sie eine Verteilungsreihe für die Anzahl der befragten Käufer.
Lösung. Gemäß den Bedingungen des Problems ist p = 0,6. Von: q=1 -p = 0,4. Wenn wir diese Werte ersetzen, erhalten wir: und konstruieren Sie eine Verteilungsreihe:
|
p ich |
0,24 |
Aufgabe 3. Ein Computer besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen: der Systemeinheit, dem Monitor und der Tastatur. Bei einem einzigen starken Spannungsanstieg beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements 0,1. Erstellen Sie auf der Grundlage der Bernoulli-Verteilung ein Verteilungsgesetz für die Anzahl ausgefallener Elemente während eines Stromstoßes im Netzwerk.
Lösung. Lassen Sie uns überlegen Bernoulli-Verteilung(oder Binomial): die Wahrscheinlichkeit, dass N Tests, Ereignis A wird genau angezeigt k einmal: 
, oder:
|
Q N |
P N |
IN Kehren wir zur Aufgabe zurück.
Mögliche Werte für X (Anzahl der Ausfälle):
x 0 =0 – keines der Elemente ist fehlgeschlagen;
x 1 =1 – Ausfall eines Elements;
x 2 =2 – Ausfall zweier Elemente;
x 3 =3 – Ausfall aller Elemente.
Da gemäß der Bedingung p = 0,1 gilt, gilt q = 1 – p = 0,9. Mit der Formel von Bernoulli erhalten wir
, ,
, .
Kontrolle: .
Daher ist das erforderliche Verteilungsgesetz:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Problem 4. 5000 Schuss produziert. Wahrscheinlichkeit, dass eine Patrone defekt ist 
. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der gesamten Charge genau 3 defekte Patronen gibt?
Lösung. Anwendbar Poisson-Verteilung: Diese Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, die sehr groß ist
Anzahl der Tests (Massentests), bei denen die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A jeweils sehr klein ist, Ereignis A wird k-mal auftreten: 
, Wo .
Hier ist n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Wir finden dann die gewünschte Wahrscheinlichkeit: 
.
Problem 5. Beim Schießen bis zum ersten Treffer mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,6 beim Schießen müssen Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass beim dritten Schuss ein Treffer erfolgt.
Lösung. Wenden wir eine geometrische Verteilung an: Lassen Sie sie produzieren unabhängige Tests, wobei das Ereignis A jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit p (und Nichteintrittswahrscheinlichkeit q = 1 – p) hat. Der Test endet, sobald Ereignis A eintritt.
Unter solchen Bedingungen wird die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A beim k-ten Versuch eintritt, durch die Formel bestimmt: . Hier ist p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Daher ist .
Problem 6. Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X sei gegeben:
Finden erwarteter Wert.
Lösung. .
Beachten Sie, dass die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist.
Problem 7. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen X mit dem folgenden Verteilungsgesetz:
Lösung. Hier .
Verteilungsgesetz für den quadrierten Wert von X 2 :
|
X 2 |
|||
Erforderliche Varianz: .
Dispersion charakterisiert das Maß der Abweichung (Streuung) einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert.
Aufgabe 8. Lassen Zufallswert ergibt sich aus der Verteilung:
|
10m |
|||
Finde sie numerische Merkmale.
Lösung: m, m 2 ,
M 2 , M.
Über die Zufallsvariable X können wir Folgendes sagen: Ihr mathematischer Erwartungswert beträgt 6,4 m mit einer Varianz von 13,04 m 2 , oder – seine mathematische Erwartung beträgt 6,4 m mit einer Abweichung von m. Die zweite Formulierung ist offensichtlich klarer.
Aufgabe 9.
Zufälliger Wert X gegeben durch die Verteilungsfunktion: 
.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X als Ergebnis des Tests den im Intervall enthaltenen Wert annimmt 
.
Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert annimmt angegebenen Intervall, ist gleich dem Inkrement der Integralfunktion in diesem Intervall, d.h. . In unserem Fall und daher
.
Aufgabe 10. Diskrete Zufallsvariable X ist durch das Verteilungsgesetz gegeben:
Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x ) und plotte es.
Lösung. Als Verteilungsfunktion,
Für 
, Das
bei ;
bei ;
bei ;
bei ;
Relevantes Diagramm:
Aufgabe 11. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Differentialverteilungsfunktion: 
.
Finden Sie die Trefferwahrscheinlichkeit X pro Intervall
Lösung. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall des Exponentialverteilungsgesetzes ist.
Verwenden wir die Formel: 
.
Aufgabe 12. Finden Sie die numerischen Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen X, die durch das Verteilungsgesetz angegeben wird:
|
–5 |
|||||||||
|
X2:
|
– Laplace-Funktion.Lösung.
Wahrscheinlichkeit, dass keine Embleme gezeichnet wurden: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Wahrscheinlichkeit, drei Wappen zu erhalten: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Beispiel Nr. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schütze mit einem Schuss das Ziel trifft, beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten Schützen 0,85. Die Schützen feuerten einen Schuss auf das Ziel ab. Betrachten Sie das Treffen des Ziels als unabhängiges Ereignis für einzelne Schützen und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A – genau einen Treffer auf das Ziel.
Lösung.
Betrachten Sie Ereignis A – ein Treffer auf das Ziel. Möglichkeiten Der Eintritt dieses Ereignisses ist wie folgt:
- Der erste Schütze traf, der zweite Schütze verfehlte: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Der erste Schütze verfehlte, der zweite Schütze traf das Ziel: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Der erste und der zweite Pfeil treffen unabhängig voneinander das Ziel: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Wie bekannt, zufällige Variable angerufen variable Menge, die je nach Fall den einen oder anderen Wert annehmen kann. Zufallsvariablen bezeichnen in Großbuchstaben Lateinisches Alphabet(X, Y, Z) und ihre Werte werden in den entsprechenden Kleinbuchstaben (x, y, z) angegeben. Zufallsvariablen werden in diskontinuierliche (diskrete) und kontinuierliche Variablen unterteilt.
Diskrete Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche oder unendliche (abzählbare) Menge von Werten mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten ungleich Null annimmt.
Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist eine Funktion, die die Werte einer Zufallsvariablen mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten verbindet. Das Verteilungsgesetz kann auf eine der folgenden Arten angegeben werden.
1 . Das Verteilungsgesetz kann durch die Tabelle angegeben werden:
wobei λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) mit Hilfe Verteilungsfunktionen F(x) , die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner als x annimmt, d.h. F(x) = P(X< x).
Eigenschaften der Funktion F(x)
3 . Das Verteilungsgesetz kann grafisch angegeben werden – Verteilungspolygon (Polygon) (siehe Aufgabe 3).
Beachten Sie, dass es zur Lösung einiger Probleme nicht erforderlich ist, das Verteilungsgesetz zu kennen. In manchen Fällen reicht es aus, eine oder mehrere Zahlen zu kennen, die am meisten widerspiegeln wichtige Funktionen Vertriebsrecht. Dies kann eine Zahl sein, die den „Durchschnitt“ einer Zufallsvariablen bedeutet, oder eine Zahl, die darauf hinweist die durchschnittliche Größe Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert. Zahlen dieser Art nennt man numerische Merkmale einer Zufallsvariablen.
Grundlegende numerische Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen :
- Mathematische Erwartung
(Durchschnittswert) einer diskreten Zufallsvariablen M(X)=Σ x i p i.
Für Binomialverteilung M(X)=np, für Poisson-Verteilung M(X)=λ - Streuung
diskrete Zufallsvariable D(X)=M2 oder D(X) = M(X 2)− 2. Die Differenz X–M(X) nennt man die Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert.
Für die Binomialverteilung gilt D(X)=npq, für die Poisson-Verteilung ist D(X)=λ - Standardabweichung (Standardabweichung) σ(X)=√D(X).
Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen“
Aufgabe 1.
Es wurden 1000 Lottoscheine ausgegeben: 5 davon gewinnen 500 Rubel, 10 gewinnen 100 Rubel, 20 gewinnen 50 Rubel, 50 gewinnen 10 Rubel. Bestimmen Sie das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X – Gewinne pro Ticket.
Lösung. Je nach den Bedingungen des Problems ist dies möglich folgende Werte Zufallsvariable X: 0, 10, 50, 100 und 500.
Die Anzahl der Tickets ohne Gewinn beträgt 1000 – (5+10+20+50) = 915, dann ist P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Ebenso finden wir alle anderen Wahrscheinlichkeiten: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Stellen wir das resultierende Gesetz in Form einer Tabelle dar:
Finden wir den mathematischen Erwartungswert des Wertes X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Aufgabe 3.
Das Gerät besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements in einem Experiment beträgt 0,1. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der fehlgeschlagenen Elemente in einem Experiment und konstruieren Sie ein Verteilungspolygon. Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) und zeichnen Sie sie auf. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen.
Lösung. 1. Die diskrete Zufallsvariable X=(die Anzahl der fehlgeschlagenen Elemente in einem Experiment) hat Folgendes mögliche Werte: x 1 =0 (keines der Geräteelemente ist ausgefallen), x 2 =1 (ein Element ist ausgefallen), x 3 =2 (zwei Elemente sind ausgefallen) und x 4 =3 (drei Elemente sind ausgefallen).
Ausfälle von Elementen sind unabhängig voneinander, die Ausfallwahrscheinlichkeiten jedes Elements sind gleich, daher ist es anwendbar Bernoullis Formel
. Unter Berücksichtigung der Bedingung n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten der Werte:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Überprüfen Sie: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Somit hat das gewünschte Binomialverteilungsgesetz von X die Form:
Wir tragen die möglichen Werte von x i auf der Abszissenachse und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p i auf der Ordinatenachse auf. Konstruieren wir die Punkte M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Indem wir diese Punkte mit geraden Liniensegmenten verbinden, erhalten wir das gewünschte Verteilungspolygon.
3. Finden wir die Verteilungsfunktion F(x) = Р(Х
Für x ≤ 0 gilt F(x) = Р(Х<0) = 0;für 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
für 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
für 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
Für x > 3 gilt F(x) = 1, weil Die Veranstaltung ist zuverlässig.
 |
Graph der Funktion F(x)
4.
Für die Binomialverteilung X:
- mathematische Erwartung M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- Varianz D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- Durchschnitt Standardabweichungσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Zufällige Variable Dabei handelt es sich um eine Größe, die als Ergebnis von Versuchen, die unter gleichen Bedingungen durchgeführt wurden, in Abhängigkeit von unberücksichtigten Zufallsfaktoren unterschiedliche, allgemein gesprochene Werte annimmt. Beispiele für Zufallsvariablen: die Anzahl der gewürfelten Punkte, die Anzahl fehlerhafter Produkte in einer Charge, die Abweichung des Auftreffpunkts eines Projektils vom Ziel, die Betriebszeit eines Geräts usw. Es gibt diskrete und kontinuierliche Variablen zufällige Variablen. Diskret Man nennt eine Zufallsvariable, deren mögliche Werte sich bilden zählbare Menge, endlich oder unendlich (d. h. eine Menge, deren Elemente nummeriert werden können).
Kontinuierlich Man nennt eine Zufallsvariable, deren mögliche Werte kontinuierlich ein endliches oder unendliches Intervall der Zahlengeraden ausfüllen. Die Anzahl der Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist immer unendlich.
Wir bezeichnen Zufallsvariablen mit Großbuchstaben vom Ende des lateinischen Alphabets: X, Y, . ; Zufallsvariablenwerte – Kleinbuchstaben: X, y,. . Auf diese Weise, X Bezeichnet die gesamte Menge möglicher Werte einer Zufallsvariablen und X - Einige seiner spezifischen Bedeutung.
Verteilungsgesetz Eine diskrete Zufallsvariable ist eine in beliebiger Form angegebene Entsprechung zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und ihren Wahrscheinlichkeiten.
Lassen Sie die möglichen Werte der Zufallsvariablen X Sind . Als Ergebnis des Tests nimmt die Zufallsvariable einen dieser Werte an, d. h. Ein Ereignis aus einer vollständigen Gruppe paarweise inkompatibler Ereignisse wird auftreten.
Auch die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse seien bekannt:
Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X Kann in Form einer Tabelle namens geschrieben werden Nahe Verbreitung Diskrete Zufallsvariable:
Zufällige Variablen. Diskrete Zufallsvariable.
Erwarteter Wert
Zweiter Abschnitt über Wahrscheinlichkeitstheorie gewidmet zufällige Variablen , der uns buchstäblich in jedem Artikel zum Thema unsichtbar begleitete. Und es ist an der Zeit, klar zu formulieren, was es ist:
Zufällig angerufen Größe, was als Ergebnis des Tests dauern wird der eine und einzige ein numerischer Wert, der von Zufallsfaktoren abhängt und nicht im Voraus vorhersehbar ist.
Zufällige Variablen sind normalerweise bezeichnen durch * , und ihre Bedeutung wird in entsprechenden Kleinbuchstaben mit tiefgestellten Zeichen geschrieben, zum Beispiel .
* Manchmal werden auch griechische Buchstaben verwendet
Wir sind auf ein Beispiel gestoßen erste Lektion zur Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei wir tatsächlich die folgende Zufallsvariable berücksichtigt haben:
– die Anzahl der Punkte, die nach dem Würfeln erscheinen.
Als Ergebnis dieses Tests wird es herausfallen der einzige die Linie, welche genau, lässt sich nicht vorhersagen (Wir berücksichtigen keine Tricks); in diesem Fall kann die Zufallsvariable einen der folgenden Werte annehmen:
– die Anzahl der Jungen unter 10 Neugeborenen.
Es ist absolut klar, dass diese Zahl nicht im Voraus bekannt ist und die nächsten zehn geborenen Kinder Folgendes umfassen könnten:
Oder Jungs - der eine und einzige aus den aufgeführten Optionen.
Und um in Form zu bleiben, ein wenig Sportunterricht:
– Weitsprungdistanz (in einigen Einheiten).
Selbst ein Meister des Sports kann es nicht vorhersagen :)
Doch Ihre Hypothesen?
Sobald Menge reeller Zahlen unendlich, dann kann die Zufallsvariable annehmen unendlich viele Werte aus einem bestimmten Intervall. Und das ist der grundlegende Unterschied zu früheren Beispielen.
Auf diese Weise, Es empfiehlt sich, Zufallsvariablen in 2 große Gruppen einzuteilen:
1) Diskret (wechselnd) Zufallsvariable – nimmt einzelne, isolierte Werte an. Anzahl dieser Werte Sicherlich oder unendlich, aber zählbar.
...gibt es unklare Begriffe? Wir wiederholen es dringend Algebra-Grundlagen!
2) Kontinuierliche Zufallsvariable – akzeptiert Alle Zahlenwerte aus einem endlichen oder unendlichen Intervall.
Notiz : Die Abkürzungen DSV und NSV sind in der Bildungsliteratur beliebt
Analysieren wir zunächst die diskrete Zufallsvariable, dann – kontinuierlich.
Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen
- Das Korrespondenz zwischen möglichen Werten dieser Größe und ihren Wahrscheinlichkeiten. Am häufigsten wird das Gesetz in einer Tabelle geschrieben:
Der Begriff kommt recht häufig vor Reihe
Verteilung, aber in manchen Situationen klingt es mehrdeutig, und deshalb bleibe ich beim „Gesetz“.
Und jetzt sehr wichtiger Punkt: da die Zufallsvariable Notwendig werde akzeptieren einer der Werte, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe und die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens ist gleich eins:
oder, wenn es komprimiert geschrieben ist:
So hat beispielsweise das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der gewürfelten Punkte die folgende Form:
Möglicherweise haben Sie den Eindruck, dass eine diskrete Zufallsvariable nur „gute“ ganzzahlige Werte annehmen kann. Zerstreuen wir die Illusion – sie können alles sein:
Für einige Spiele gilt das folgende Gewinnverteilungsgesetz:
…von solchen Aufgaben träumst du wahrscheinlich schon lange 🙂 Ich verrate dir ein Geheimnis – ich auch. Besonders nach Abschluss der Arbeiten Feldtheorie.
Lösung: Da eine Zufallsvariable nur einen von drei Werten annehmen kann, bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist:
Den „Partisanen“ bloßstellen:
– somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, konventionelle Einheiten zu gewinnen, 0,4.
Kontrolle: Das ist es, was wir sicherstellen mussten.
Antwort:
Es kommt nicht selten vor, dass Sie ein Vertriebsgesetz selbst erstellen müssen. Dafür verwenden sie klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Multiplikations-/Additionssätze für Ereigniswahrscheinlichkeiten und andere Chips tervera:
Die Schachtel enthält 50 Lottoscheine, von denen 12 gewinnen, und 2 von ihnen gewinnen jeweils 1000 Rubel und der Rest - jeweils 100 Rubel. Erstellen Sie ein Gesetz für die Verteilung einer Zufallsvariablen – der Höhe des Gewinns, wenn ein Los zufällig aus der Box gezogen wird.
Lösung: Wie Sie bemerkt haben, werden die Werte einer Zufallsvariablen normalerweise in platziert in aufsteigender Reihenfolge. Deshalb beginnen wir mit dem kleinsten Gewinn, nämlich Rubel.
Insgesamt gibt es 50 solcher Tickets - 12 = 38, und dementsprechend klassische Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Ticket ein Verlierer ist.
In anderen Fällen ist alles einfach. Die Wahrscheinlichkeit, Rubel zu gewinnen, beträgt:
Und für :
Check: – und das ist ein besonders angenehmer Moment bei solchen Aufgaben!
Antwort: das gewünschte Gesetz der Gewinnverteilung:
Die folgende Aufgabe müssen Sie selbst lösen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, beträgt . Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable – die Anzahl der Treffer nach 2 Schüssen.
...Ich wusste, dass du ihn vermisst hast :) Erinnern wir uns Multiplikations- und Additionssätze. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.
Das Verteilungsgesetz beschreibt eine Zufallsvariable vollständig, aber in der Praxis kann es nützlich (und manchmal nützlicher) sein, nur einen Teil davon zu kennen numerische Merkmale .
Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen
Vereinfacht ausgedrückt ist dies der Fall durchschnittlicher Erwartungswert wenn der Test viele Male wiederholt wird. Lassen Sie die Zufallsvariable Werte mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dann ist der mathematische Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich Summe der Produkte alle seine Werte zu den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:
oder zusammengebrochen:
Berechnen wir zum Beispiel den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen – der Anzahl der gewürfelten Punkte:
Welche probabilistische Bedeutung hat das erhaltene Ergebnis? Wenn Sie oft genug würfeln, dann mittlere Bedeutung Der Punkteverlust liegt nahe bei 3,5 – und je mehr Tests man durchführt, desto näher. Eigentlich habe ich über diesen Effekt bereits in der Lektion ausführlich gesprochen statistische Wahrscheinlichkeit.
Erinnern wir uns nun an unser hypothetisches Spiel:
Es stellt sich die Frage: Ist es überhaupt profitabel, dieses Spiel zu spielen? ...wer hat irgendwelche Eindrücke? Man kann es also nicht „offensichtlich“ sagen! Aber diese Frage lässt sich leicht beantworten, indem man im Wesentlichen die mathematische Erwartung berechnet: gewichteter Durchschnitt nach Gewinnwahrscheinlichkeit:
Somit ist die mathematische Erwartung dieses Spiels verlieren.
Vertrauen Sie nicht Ihren Eindrücken – vertrauen Sie den Zahlen!
Ja, hier kann man 10 oder sogar 20-30 Mal hintereinander gewinnen, aber auf lange Sicht erwartet uns der unvermeidliche Ruin. Und ich würde dir nicht raten, solche Spiele zu spielen :) Na ja, vielleicht nur zum Spass.
Aus all dem oben Gesagten folgt, dass die mathematische Erwartung kein ZUFÄLLIGER Wert mehr ist.
Gestaltungsaufgabe zur eigenständigen Recherche:
Herr X spielt europäisches Roulette nach folgendem System: Er setzt ständig 100 Rubel auf „Rot“. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen – ihres Gewinns. Berechnen Sie die mathematische Gewinnerwartung und runden Sie sie auf die nächste Kopeke. Wie viele im mittleren Verliert der Spieler für jeden Hundert Einsatz, den er setzt?
Referenz : Europäisches Roulette enthält 18 rote, 18 schwarze und 1 grünen Sektor („Null“). Wenn ein „Rot“ erscheint, wird dem Spieler das Doppelte des Einsatzes ausgezahlt, andernfalls geht es an die Einnahmen des Casinos
Es gibt viele andere Roulette-Systeme, für die Sie Ihre eigenen Wahrscheinlichkeitstabellen erstellen können. Dies ist jedoch der Fall, wenn wir keine Verteilungsgesetze oder Verteilungstabellen benötigen, da mit Sicherheit festgestellt wurde, dass die mathematische Erwartung des Spielers genau dieselbe sein wird. Das Einzige, was sich von System zu System ändert, ist Streuung, worüber wir im 2. Teil der Lektion erfahren werden.
Aber zuerst ist es nützlich, die Finger über die Taschenrechnertasten zu strecken:
Eine Zufallsvariable wird durch ihr Wahrspezifiziert:
Finden Sie heraus, ob das bekannt ist. Prüfung durchführen.
Dann lasst uns zum Lernen übergehen Varianz einer diskreten Zufallsvariablen, und wenn möglich, JETZT SOFORT!!- um den Faden des Themas nicht zu verlieren.
Lösungen und Antworten:
Beispiel 3. Lösung: nach Bedingung – die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen. Dann:
– Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags.
Stellen wir das Gesetz der Trefferverteilung für zwei Schüsse auf:
- kein einziger Treffer. Von der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
- ein Treffer. Von Sätze zur Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler und Multiplikation unabhängiger Ereignisse:
- zwei Treffer. Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
Überprüfen Sie: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Antwort :
Notiz : Sie könnten Notationen verwenden – das spielt keine Rolle.
Beispiel 4. Lösung: Der Spieler gewinnt in 18 von 37 Fällen 100 Rubel, und daher ist das Verteilungsgesetz seiner Gewinne wie folgt:
Berechnen wir den mathematischen Erwartungswert:
Somit verliert der Spieler pro hundert Einsätze durchschnittlich 2,7 Rubel.
Beispiel 5. Lösung: per Definition der mathematischen Erwartung:
Lassen Sie uns Teile austauschen und Vereinfachungen vornehmen:
auf diese Weise:
Lass uns das Prüfen:
, was überprüft werden musste.
Antwort :
(Zur Hauptseite gehen)
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Diskrete Zufallsvariablen
Zufällige Variable Als Variable wird eine Variable bezeichnet, die als Ergebnis jedes Tests aus zufälligen Gründen einen bisher unbekannten Wert annimmt. Zufallsvariablen werden durch lateinische Großbuchstaben gekennzeichnet: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Zufallsvariablen können je nach Typ sein diskret Und kontinuierlich.
Diskrete Zufallsvariable- Dies ist eine Zufallsvariable, deren Werte nur abzählbar sein können, also entweder endlich oder abzählbar. Mit Abzählbarkeit meinen wir, dass die Werte einer Zufallsvariablen nummeriert werden können.
Beispiel 1 . Hier sind Beispiele für diskrete Zufallsvariablen:
a) die Anzahl der Treffer auf das Ziel mit $n$ Schüssen, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) die Anzahl der beim Werfen einer Münze fallengelassenen Embleme, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) die Anzahl der an Bord ankommenden Schiffe (eine zählbare Menge von Werten).
d) die Anzahl der an der PBX eintreffenden Anrufe (zählbare Wertemenge).
1. Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen.
Eine diskrete Zufallsvariable $X$ kann Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ annehmen. Die Entsprechung zwischen diesen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten nennt man Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen. In der Regel wird diese Korrespondenz anhand einer Tabelle angegeben, deren erste Zeile die Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ angibt und die zweite Zeile die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,\ p_n$ enthält diese Werte.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Beispiel 2 . Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der beim Würfeln gewürfelten Punkte. Eine solche Zufallsvariable $X$ kann die folgenden Werte annehmen: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Die Wahrscheinlichkeiten aller dieser Werte betragen 1/6$. Dann gilt das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Kommentar. Da im Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen $X$ die Ereignisse $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein, d. h. $\sum
2. Mathematischer Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen.
Erwartung einer Zufallsvariablen legt seine „zentrale“ Bedeutung fest. Für eine diskrete Zufallsvariable wird der mathematische Erwartungswert als Summe der Produkte der Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ und der diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,\ p_n$ berechnet, d. h : $M\left(X\right)=\sum ^n_
Eigenschaften der mathematischen Erwartung$M\left(X\right)$:
- $M\left(X\right)$ liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Zufallsvariablen $X$.
- Der mathematische Erwartungswert einer Konstante ist gleich der Konstante selbst, d.h. $M\left(C\right)=C$.
- Der konstante Faktor lässt sich aus dem Vorzeichen des mathematischen Erwartungswerts entnehmen: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Der mathematische Erwartungswert der Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Der mathematische Erwartungswert des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Beispiel 3 . Lassen Sie uns den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$ ermitteln.
Wir können feststellen, dass $M\left(X\right)$ zwischen dem kleinsten ($1$) und dem größten ($6$) Wert der Zufallsvariablen $X$ liegt.
Beispiel 4 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $3X+5$.
Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.
Beispiel 5 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=4$ ist. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $2X-9$.
Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Streuung einer diskreten Zufallsvariablen.
Mögliche Werte von Zufallsvariablen mit gleichen mathematischen Erwartungen können unterschiedlich um ihre Durchschnittswerte streuen. In zwei Studentengruppen lag die durchschnittliche Punktzahl für die Prüfung in Wahrscheinlichkeitstheorie beispielsweise bei 4, aber in einer Gruppe erwiesen sich alle als gute Studenten, und in der anderen Gruppe gab es nur C-Studenten und ausgezeichnete Studenten. Daher besteht Bedarf an einem numerischen Merkmal einer Zufallsvariablen, das die Streuung der Werte der Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert zeigt. Dieses Merkmal ist die Streuung.
Varianz einer diskreten Zufallsvariablen$X$ ist gleich:
In der englischen Literatur wird die Notation $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$ verwendet. Sehr oft wird die Varianz $D\left(X\right)$ mit der Formel $D\left(X\right)=\sum^n_ berechnet
Dispersionseigenschaften$D\left(X\right)$:
- Die Varianz ist immer größer oder gleich Null, d.h. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Die Varianz der Konstante ist Null, d.h. $D\left(C\right)=0$.
- Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Streuung entnommen werden, sofern diese quadriert wird, also $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Die Varianz der Differenz zwischen unabhängigen Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Beispiel 6 . Berechnen wir die Varianz der Zufallsvariablen $X$ aus dem Beispiel $2$.
Beispiel 7 . Es ist bekannt, dass die Varianz der Zufallsvariablen $X$ gleich $D\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $4X+1$.
Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2=32$.
Beispiel 8 . Es ist bekannt, dass die Varianz der Zufallsvariablen $X$ gleich $D\left(X\right)=3$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $3-2X$.
Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.
4. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen.
Die Methode zur Darstellung einer diskreten Zufallsvariablen in Form einer Verteilungsreihe ist nicht die einzige und vor allem nicht universell, da eine kontinuierliche Zufallsvariable nicht mithilfe einer Verteilungsreihe angegeben werden kann. Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Zufallsvariable darzustellen – die Verteilungsfunktion.
Verteilungsfunktion Die Zufallsvariable $X$ wird als Funktion $F\left(x\right)$ bezeichnet, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert annimmt, der kleiner als ein fester Wert $x$ ist, also $F\ left(x\right )=P\left(X 6$, dann $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\ left(X=3 \right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Graph der Verteilungsfunktion $F\left(x\right)$:
Grundgesetze der Verteilung
1. Binomialverteilungsgesetz.
Das Binomialverteilungsgesetz beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses A m-mal in n unabhängigen Versuchen, vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens des Ereignisses A in jedem Versuch konstant ist.
Beispielsweise erhält die Verkaufsabteilung eines Haushaltsgerätegeschäfts im Durchschnitt bei 10 Anrufen eine Bestellung für den Kauf von Fernsehgeräten. Erstellen Sie ein Wahrfür den Kauf von m Fernsehern. Konstruieren Sie ein Wahrscheinlichkeitsverteilungspolygon.
In Tabelle m - die Anzahl der beim Unternehmen eingegangenen Bestellungen für den Kauf eines Fernsehers. C n m ist die Anzahl der Kombinationen von m Fernsehern mal n, p ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A, d.h. Bei der Bestellung eines Fernsehers ist q die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nicht eintritt, d. h. Wenn Sie keinen Fernseher bestellen, ist P m,n die Wahrscheinlichkeit, m von n Fernsehern zu bestellen. Abbildung 1 zeigt das Wahrscheinlichkeitsverteilungspolygon.
2.Geometrische Verteilung.
Die geometrische Verteilung einer Zufallsvariablen hat die folgende Form:
P m ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A im Versuch Nr. m.
p ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A in einem Versuch eintritt.
q = 1 - p
Beispiel. Ein Reparaturunternehmen für Haushaltsgeräte erhielt eine Charge von 10 Ersatzgeräten für Waschmaschinen. Es kann vorkommen, dass eine Charge einen defekten Block aufweist. Eine Inspektion wird solange durchgeführt, bis ein defektes Gerät festgestellt wird. Es ist notwendig, ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der verifizierten Blöcke zu erstellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Block defekt sein könnte, beträgt 0,1. Konstruieren Sie ein Wahrscheinlichkeitsverteilungspolygon.
Die Tabelle zeigt, dass mit zunehmender Zahl m die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhafter Block erkannt wird, abnimmt. Die letzte Zeile (m=10) kombiniert zwei Wahrscheinlichkeiten: 1 – dass sich herausstellte, dass der zehnte Block fehlerhaft war – 0,038742049, 2 – dass sich herausstellte, dass alle überprüften Blöcke funktionierten – 0,34867844. Da die Wahrscheinlichkeit, dass ein Block fehlerhaft ist, relativ gering ist (p = 0,1), ist die Wahrscheinlichkeit des letzten Ereignisses P m (10 getestete Blöcke) relativ hoch. Abb.2.
3. Hypergeometrische Verteilung.
Die hypergeometrische Verteilung einer Zufallsvariablen hat die folgende Form:
Erstellen Sie beispielsweise ein Gesetz für die Verteilung von 7 erratenen Zahlen aus 49. In diesem Beispiel sind die Gesamtzahlen N = 49, n = 7 Zahlen wurden entfernt, M – die Gesamtzahlen, die eine bestimmte Eigenschaft haben, d.h. der richtig erratenen Zahlen ist m die Anzahl der richtig erratenen Zahlen unter den zurückgezogenen Zahlen.
Die Tabelle zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl m=1 zu erraten, höher ist als bei m=0. Dann beginnt die Wahrscheinlichkeit jedoch rapide zu sinken. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, 4 Zahlen zu erraten, bereits unter 0,005 und 5 ist vernachlässigbar.
4.Poisson-Verteilungsgesetz.
Eine Zufallsvariable X hat eine Poisson-Verteilung, wenn ihr Verteilungsgesetz die Form hat:
Np = konst
n ist die Anzahl der Tests, die gegen unendlich tendieren
p ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, die gegen Null tendiert
m ist die Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A
Beispielsweise erhält ein Unternehmen, das Fernsehgeräte verkauft, an einem durchschnittlichen Tag etwa 100 Anrufe. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fernseher der Marke A zu bestellen, beträgt 0,08; B – 0,06 und C – 0,04. Erstellen Sie ein Gesetz für die Verteilung von Bestellungen für den Kauf von Fernsehgeräten der Marken A, B und C. Konstruieren Sie ein Wahrscheinlichkeitsverteilungspolygon.
Aus der Bedingung ergibt sich: m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)
(Die Tabelle ist nicht vollständig angegeben)
Wenn n groß genug ist, um gegen Unendlich zu streben, und der Wert von p gegen Null geht, sodass das Produkt np gegen eine konstante Zahl strebt, dann ist dieses Gesetz eine Näherung an das Binomialverteilungsgesetz. Die Grafik zeigt, dass die Kurve umso näher an der m-Achse liegt, je größer die Wahrscheinlichkeit p ist, d. h. flacher. (Abb.4)
Es ist zu beachten, dass die Binomial-, geometrische, hypergeometrische und Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen ausdrücken.
5. Einheitliches Vertriebsrecht.
Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte?(x) über ein bestimmtes Intervall ein konstanter Wert ist, dann heißt das Verteilungsgesetz gleichmäßig. Abbildung 5 zeigt Diagramme der Wahrscund der Wahrscheinlichkeitsdichte des Gleichverteilungsgesetzes.
6.Normalverteilungsgesetz (Gaußsches Gesetz).
Unter den Gesetzen der Verteilung kontinuierlicher Zufallsvariablen ist das Normalverteilungsgesetz das gebräuchlichste. Eine Zufallsvariable ist nach dem Normalverteilungsgesetz verteilt, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:
Wo
a ist der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen
? - Standardabweichung
Der Wahrscheinlichkeitsdichtegraph einer Zufallsvariablen mit Normalverteilungsgesetz ist symmetrisch bezüglich der Geraden x=a, d. h. x ist gleich dem mathematischen Erwartungswert. Wenn also x=a, dann hat die Kurve ein Maximum gleich:
Wenn sich der Wert der mathematischen Erwartung ändert, verschiebt sich die Kurve entlang der Ox-Achse. Die Grafik (Abb. 6) zeigt, dass die Kurve bei x=3 ein Maximum hat, weil der mathematische Erwartungswert ist 3. Wenn der mathematische Erwartungswert einen anderen Wert annimmt, zum Beispiel a=6, dann hat die Kurve ein Maximum bei x=6. Apropos Standardabweichung: Wie aus der Grafik ersichtlich ist, ist der Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen umso niedriger, je größer die Standardabweichung ist.
Eine Funktion, die die Verteilung einer Zufallsvariablen im Intervall (-?, x) ausdrückt und über ein Normalverteilungsgesetz verfügt, wird durch die Laplace-Funktion unter Verwendung der folgenden Formel ausgedrückt:
Diese. Die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen X besteht aus zwei Teilen: der Wahrscheinlichkeit, bei der x Werte von minus unendlich bis a annimmt, gleich 0,5, und dem zweiten Teil – von a bis x. (Abb.7)
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Lektion: Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen
Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen nennt man die Entsprechung zwischen möglichen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten. Die Angabe kann tabellarisch, grafisch und analytisch erfolgen.
Was eine Zufallsvariable ist, wird in dieser Lektion besprochen.
Bei der tabellarischen Angabe enthält die erste Zeile der Tabelle mögliche Werte, die zweite deren Wahrscheinlichkeiten
Diese Größe wird Verteilungsreihe genannt diskrete Zufallsvariable.
X=x1, X=x2, X=xn bilden eine vollständige Gruppe, da die Zufallsvariable in einem Versuch nur einen möglichen Wert annimmt. Daher ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins, also p1 + p2 + pn = 1 oder
Wenn die Wertemenge von X unendlich ist, dann 
Beispiel 1. Bei einer Bargeldlotterie werden 100 Lose ausgegeben. Es werden ein Gewinn von 1000 Rubel und 10 Gewinne von 100 Rubel ausgelost. Finden Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X – die Kosten eines möglichen Gewinns für den Besitzer eines Lottoscheins.
Das erforderliche Vertriebsgesetz hat die Form:
Kontrolle; 0,01+0,1+0,89=1.
Bei der grafischen Methode zur Angabe des Verteilungsgesetzes werden Punkte (Xi:Pi) auf der Koordinatenebene konstruiert und dann durch gerade Segmente verbunden. Die resultierende gestrichelte Linie heißt Verteilungspolygon. Beispiel 1: Das Verteilungspolygon ist in Abbildung 1 dargestellt.
Bei der analytischen Angabe des Verteilungsgesetzes wird eine Formel angegeben, die die Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen mit ihren möglichen Werten verbindet.
Beispiele für diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
Es sollen n Versuche durchgeführt werden, bei denen das Ereignis A jeweils mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit eintritt, p also nicht mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit eintritt Q = 1- P. Betrachten Sie die Zufallsvariable X- die Anzahl des Auftretens von Ereignis A in diesen n Versuchen. Mögliche Werte von X sind x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist möglich
Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen heißt Windows XP Word 2003 Excel 2003 Verteilungsgesetze diskreter Zufallsvariablen Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist jede Beziehung, die eine Verbindung zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen herstellt Und […]
Wir können die häufigsten Gesetze der Verteilung diskreter Zufallsvariablen hervorheben:
- Binomialverteilungsgesetz
- Poisson-Verteilungsgesetz
- Geometrisches Verteilungsgesetz
- Hypergeometrisches Verteilungsgesetz
Für gegebene Verteilungen diskreter Zufallsvariablen erfolgt die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten ihrer Werte sowie numerischer Merkmale (mathematischer Erwartungswert, Varianz usw.) anhand bestimmter „Formeln“. Daher ist es sehr wichtig, diese Verteilungstypen und ihre grundlegenden Eigenschaften zu kennen.
1. Binomialverteilungsgesetz.
Eine diskrete Zufallsvariable $X$ unterliegt dem binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilungsgesetz, wenn sie Werte $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)= annimmt C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Tatsächlich ist die Zufallsvariable $X$ die Anzahl des Auftretens des Ereignisses $A$ in $n$ unabhängigen Versuchen. Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
Für eine solche Zufallsvariable ist der mathematische Erwartungswert $M\left(X\right)=np$, die Varianz ist $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Beispiel . Die Familie hat zwei Kinder. Unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen und ein Mädchen zu bekommen, 0,5 $ beträgt, ermitteln Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $\xi$ – der Anzahl der Jungen in der Familie.
Die Zufallsvariable $\xi $ sei die Anzahl der Jungen in der Familie. Werte, die $\xi annehmen kann:\ 0,\ 1,\ 2$. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte können mithilfe der Formel $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) ermittelt werden )$, wobei $n =2$ die Anzahl der unabhängigen Versuche ist, $p=0,5$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Ereignis in einer Reihe von $n$ Versuchen auftritt. Wir bekommen:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$
Dann ist das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $\xi $ die Entsprechung zwischen den Werten $0,\ 1,\ 2$ und ihren Wahrscheinlichkeiten, das heißt:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten im Verteilungsgesetz sollte gleich $1$ sein, also $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=1 $.
Erwartung $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, Varianz $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, Standardabweichung $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\ca. $0,707.
2. Poisson-Verteilungsgesetz.
Wenn eine diskrete Zufallsvariable $X$ nur nichtnegative ganzzahlige Werte $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Kommentar. Die Besonderheit dieser Verteilung besteht darin, dass wir auf der Grundlage experimenteller Daten Schätzungen $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ finden. Wenn die erhaltenen Schätzungen nahe beieinander liegen, dann haben wir Grund für die Behauptung, dass die Zufallsvariable dem Poisson-Verteilungsgesetz unterliegt.
Beispiel . Beispiele für Zufallsvariablen, die dem Poisson-Verteilungsgesetz unterliegen, können sein: die Anzahl der Autos, die morgen von einer Tankstelle bedient werden; Anzahl fehlerhafter Artikel in hergestellten Produkten.
Beispiel . Die Fabrik schickte Produkte im Wert von 500 $ an die Basis. Die Wahrscheinlichkeit einer Beschädigung des Produkts während des Transports beträgt 0,002 $. Finden Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$, die der Anzahl der beschädigten Produkte entspricht; was ist $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Die diskrete Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der beschädigten Produkte. Eine solche Zufallsvariable unterliegt dem Poisson-Verteilungsgesetz mit dem Parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Die Wahrscheinlichkeiten der Werte sind gleich $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Für eine solche Zufallsvariable sind der mathematische Erwartungswert und die Varianz gleich und gleich dem Parameter $\lambda $, d. h. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Geometrisches Verteilungsgesetz.
Wenn eine diskrete Zufallsvariable $X$ nur natürliche Werte $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ rechts)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, dann sagt man, dass eine solche Zufallsvariable $X$ dem geometrischen Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt. Tatsächlich ist die geometrische Verteilung bis zum ersten Erfolg ein Bernoulli-Test.
Beispiel . Beispiele für Zufallsvariablen mit geometrischer Verteilung können sein: die Anzahl der Schüsse vor dem ersten Treffer auf das Ziel; Anzahl der Gerätetests bis zum ersten Ausfall; die Anzahl der Münzwürfe bis zum ersten Kopf usw.
Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen, die einer geometrischen Verteilung unterliegt, sind jeweils gleich $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.
Beispiel . Auf dem Weg der Fische zum Laichplatz gibt es eine 4-Dollar-Sperre. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fische jede Schleuse passieren, beträgt $p=3/5$. Konstruieren Sie eine Reihe von Verteilungen der Zufallsvariablen $X$ – der Anzahl der Schleusen, die der Fisch passiert hat, bevor er zum ersten Mal an der Schleuse festgehalten wird. Finden Sie $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Schleusen, die der Fisch passiert hat, bevor er zum ersten Mal an der Schleuse festgehalten wird. Eine solche Zufallsvariable unterliegt dem geometrischen Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Werte, die eine Zufallsvariable $X annehmen kann: $ 1, 2, 3, 4. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte werden mit der Formel berechnet: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, wobei: $ p=2/5$ – Wahrscheinlichkeit, dass Fische durch die Schleuse zurückgehalten werden, $q=1-p=3/5$ – Wahrscheinlichkeit, dass Fische durch die Schleuse gelangen, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ über (5))=0,4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ über (5))\cdot ((9)\über (25))=((18)\über (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Erwarteter Wert:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Streuung:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$
$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\ungefähr 1,377.$
Standardabweichung:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ca. 1,173.$
4. Hypergeometrisches Verteilungsgesetz.
Wenn es sich um $N$-Objekte handelt, von denen $m$-Objekte eine bestimmte Eigenschaft haben. $n$-Objekte werden zufällig ohne Rückgabe abgerufen, darunter $k$-Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft. Die hypergeometrische Verteilung ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass genau $k$ Objekte in der Stichprobe eine bestimmte Eigenschaft haben. Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Objekte in der Stichprobe, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsvariablen $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Kommentar. Mit der Statistikfunktion HYPERGEOMET des Excel-Funktionsassistenten $f_x$ können Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der eine bestimmte Anzahl von Tests erfolgreich sein wird.
$f_x\to$ statistisch$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. Es erscheint ein Dialogfeld, das Sie ausfüllen müssen. In der Spalte Number_of_successes_in_sample Geben Sie den Wert $k$ an. Beispielgröße gleich $n$. In der Spalte Number_of_successes_in_together Geben Sie den Wert $m$ an. Einwohnerzahl gleich $N$.
Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen $X$, die dem geometrischen Verteilungsgesetz unterliegt, sind jeweils gleich $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Beispiel . Die Kreditabteilung der Bank beschäftigt 5 Spezialisten mit höherer Finanzausbildung und 3 Spezialisten mit höherer juristischer Ausbildung. Die Geschäftsleitung der Bank beschloss, drei Spezialisten zur Verbesserung ihrer Qualifikationen zu entsenden und wählte sie in zufälliger Reihenfolge aus.
a) Erstellen Sie eine Verteilungsreihe für die Anzahl der Spezialisten mit höherer Finanzausbildung, die zur Verbesserung ihrer Fähigkeiten entsandt werden können;
b) Finden Sie die numerischen Eigenschaften dieser Verteilung.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Spezialisten mit höherer Finanzausbildung unter den drei ausgewählten. Werte, die $X annehmen kann: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Diese Zufallsvariable $X$ wird gemäß einer hypergeometrischen Verteilung mit den folgenden Parametern verteilt: $N=8$ – Populationsgröße, $m=5$ – Anzahl der Erfolge in der Population, $n=3$ – Stichprobengröße, $ k=0,\ 1, \2,\3$ – Anzahl der Erfolge in der Stichprobe. Dann können die Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)$ mit der Formel berechnet werden: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ über C_( N)^(n) ) $. Wir haben:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ca. 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\ca. 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\ca. 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ca. 0,179.$
Dann ist die Verteilungsreihe der Zufallsvariablen $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Berechnen wir die numerischen Eigenschaften der Zufallsvariablen $X$ mithilfe der allgemeinen Formeln der hypergeometrischen Verteilung.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\ca. 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ca. 0.7085.$
