3. Wurzel aus 25. N. Wurzelrechner. Der technische Taschenrechner ermöglicht die Verwendung einer Vielzahl mathematischer Funktionen

Auf unserer Website veröffentlicht. Das Ziehen der Wurzel einer Zahl wird oft in verschiedenen Berechnungen verwendet, und unser Taschenrechner ist ein großartiges Werkzeug für solche mathematischen Berechnungen.

Mit einem Online-Rechner mit Wurzeln können Sie schnell und einfach alle Berechnungen durchführen, die das Ziehen von Wurzeln enthalten. Die Wurzel des dritten Grades zählt so einfach wie Quadratwurzel einer Zahl, Wurzel einer negativen Zahl, Wurzel von komplexe Zahl, die Wurzel von Pi usw.

Die Berechnung der Wurzel einer Zahl ist manuell möglich. Wenn es möglich ist, zu berechnen ganze Wurzel Zahlen, dann finden Sie einfach den Wert radikaler Ausdruck nach der Wurzeltabelle. In anderen Fällen läuft die ungefähre Berechnung der Wurzeln darauf hinaus, den Wurzelausdruck in das Produkt einfacherer Faktoren zu zerlegen, die Potenzen sind und aus dem Wurzelzeichen entfernt werden können, wodurch der Ausdruck unter der Wurzel so weit wie möglich vereinfacht wird.

Eine solche Root-Lösung sollten Sie aber nicht verwenden. Und deshalb. Erstens müssen Sie viel Zeit für solche Berechnungen aufwenden. Die Zahlen an der Wurzel oder besser gesagt die Ausdrücke können ziemlich komplex sein, und der Grad ist nicht unbedingt quadratisch oder kubisch. Zweitens ist die Genauigkeit solcher Berechnungen nicht immer zufriedenstellend. Und drittens gibt es einen Online-Wurzelrechner, der jede Wurzelextraktion in Sekundenschnelle für Sie durchführt.

Eine Wurzel aus einer Zahl zu ziehen bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit n potenziert wird, gleich dem Wert des Wurzelausdrucks ist, wobei n der Grad der Wurzel und die Zahl selbst die Basis von ist die Wurzel. Die Wurzel 2. Grades heißt einfach oder quadratisch, die Wurzel 3. Grades heißt kubisch, wobei in beiden Fällen die Gradangabe weggelassen wird.

Lösung der Wurzeln in Online-Rechner kommt aufs Schreiben an mathematischer Ausdruck in der Eingabezeile. Das Extrahieren der Wurzel im Taschenrechner wird als sqrt bezeichnet und wird mit drei Tasten durchgeführt - Extrahieren der Quadratwurzel von sqrt(x), Extrahieren der Kubikwurzel von sqrt3(x) und Extrahieren der Wurzel von n Grad sqrt(x,y) . Ausführlichere Informationen über das Bedienfeld finden Sie auf der Seite.

Ziehen der Quadratwurzel

Durch Drücken dieser Schaltfläche wird ein Quadratwurzeleintrag in die Eingabezeile eingefügt: sqrt(x), Sie müssen nur den Wurzelausdruck eingeben und die Klammer schließen.

Ein Beispiel für das Lösen von Quadratwurzeln in einem Taschenrechner:

Wenn die Wurzel eine negative Zahl ist und der Grad der Wurzel gerade ist, wird das Ergebnis als komplexe Zahl mit dargestellt imaginäre Einheit ich.

Die Quadratwurzel einer negativen Zahl:

Dritte Wurzel

Verwenden Sie diesen Schlüssel, wenn Sie extrahieren müssen Kubikwurzel. Es fügt den Eintrag sqrt3(x) in die Eingabezeile ein.

Wurzel 3. Grades:

Wurzel von Grad n

Natürlich können Sie mit dem Online-Wurzelrechner nicht nur die Quadrat- und Kubikwurzeln einer Zahl ziehen, sondern auch die Wurzel aus dem Grad n. Durch Drücken dieser Schaltfläche wird ein Datensatz der Form sqrt(x x,y) angezeigt.

Wurzel 4. Grades:

Die genaue n-te Wurzel einer Zahl kann nur gezogen werden, wenn die Zahl selbst ist genauer Wert Grad n. Andernfalls wird sich die Berechnung als ungefähr herausstellen, obwohl sie dem Ideal sehr nahe kommt, da die Genauigkeit der Berechnungen des Online-Rechners 14 Dezimalstellen erreicht.

5. Wurzel mit ungefährem Ergebnis:

Die Wurzel des Bruchs

Der Taschenrechner kann die Wurzel aus berechnen verschiedene Nummern und Ausdrücke. Die Wurzel eines Bruchs zu finden läuft darauf hinaus, die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt zu ziehen.

Die Quadratwurzel eines Bruchs:

Wurzel von Wurzel

In Fällen, in denen die Wurzel des Ausdrucks unter der Wurzel liegt, können sie aufgrund der Eigenschaft der Wurzeln durch eine Wurzel ersetzt werden, deren Grad gleich dem Produkt der Grade beider ist. Einfach ausgedrückt, um eine Wurzel aus einer Wurzel zu ziehen, reicht es aus, die Exponenten der Wurzeln zu multiplizieren. In dem in der Abbildung gezeigten Beispiel kann der Ausdruck Wurzel dritten Grades der Wurzel zweiten Grades durch eine einzelne Wurzel sechsten Grades ersetzt werden. Geben Sie den Ausdruck nach Belieben an. In jedem Fall berechnet der Rechner alles richtig.

Beispiel zum Extrahieren von Wurzel aus Wurzel:

Grad an der Wurzel

Die Wurzel des Gradrechners ermöglicht es Ihnen, in einem Schritt zu rechnen, ohne zuerst die Exponenten von Wurzel und Grad zu reduzieren.

Die Quadratwurzel der Potenz:

Alle Funktionen unserer kostenloser Rechner in einem Abschnitt gesammelt.

Wurzeln in einem Online-Rechner lösen wurde zuletzt geändert: 3. März 2016 von Administrator

Beim Lösen einiger technische Aufgaben Manchmal muss man die Wurzel berechnen dritte Grad. Manchmal wird diese Zahl auch Kubikwurzel genannt. Wurzel dritte Grad aus angegebene Nummer Nennen Sie eine solche Zahl, deren Kubikzahl (dritte Potenz) gleich der gegebenen ist. Das heißt, wenn y die Wurzel ist dritte Grad Zahlen x, dann muss die folgende Bedingung erfüllt sein: y?=x (x ist gleich y Würfel).

Du wirst brauchen

• Taschenrechner oder Computer

Anweisung

• Um die Wurzel zu berechnen dritte Grad benutze den Taschenrechner. Es ist wünschenswert, dass dies nicht der Fall ist normaler Taschenrechner, und der Rechner für verwendet technische Berechnungen. Aber auch auf einem solchen Rechner finden Sie keine spezielle Schaltfläche zum Ziehen der Wurzel dritte Grad. Verwenden Sie also eine Funktion, um eine Zahl zu potenzieren. Herausziehen der Wurzel dritte Grad entspricht einer Potenz von 1/3 (ein Drittel).
• Um eine Zahl mit 1/3 zu potenzieren, geben Sie die Zahl selbst auf der Tastatur des Taschenrechners ein. Drücken Sie dann die Taste „Exponentiation“. Eine solche Schaltfläche kann je nach Rechnertyp wie xy aussehen (y - in der Form hochgestellt). Da die meisten Taschenrechner nicht mit gewöhnlichen (nicht dezimalen) Brüchen arbeiten können, geben Sie sie anstelle der Zahl 1/3 ein ungefährer Wert: 0,33. Um zu bekommen größere Genauigkeit Berechnungen müssen Sie die Anzahl der "Triples" erhöhen, z. B. 0,33333333333333 wählen. Drücken Sie dann die Taste "=".
• Um die Wurzel zu berechnen dritte Grad auf Ihrem Computer verwenden Standardrechner Windows. Das Verfahren ist völlig ähnlich dem im vorherigen Absatz der Anleitung beschriebenen. Der einzige Unterschied besteht in der Bezeichnung der Potenzierungstaste. Auf einem „Computer“-Rechner sieht es so aus: x ^ y.
• Wenn root dritte Grad Wenn Sie systematisch rechnen müssen, dann verwenden Sie MS Excel. Um die Wurzel zu berechnen dritte Grad Geben Sie in Excel das Zeichen „=“ in eine beliebige Zelle ein und wählen Sie dann das Symbol „fx“ aus, um eine Funktion einzufügen. Wählen Sie im erscheinenden Fenster in der Liste „Wählen Sie eine Funktion“ die Zeile „GRAD“ aus. Klicken Sie auf die Schaltfläche OK. Geben Sie im neu erschienenen Fenster in der Zeile "Zahl" den Wert der Zahl ein, aus der Sie die Wurzel ziehen möchten. Geben Sie in der Zeile „Grad“ die Zahl „1/3“ ein und klicken Sie auf „OK“. Der gewünschte Wert der Kubikwurzel aus der ursprünglichen Zahl erscheint in der Zelle der Tabelle.

Anweisung

Um eine Zahl mit 1/3 zu potenzieren, geben Sie die Zahl ein, drücken Sie dann die Ein/Aus-Taste und geben Sie den ungefähren Wert von 1/3 - 0,333 ein. Diese Genauigkeit ist für die meisten Berechnungen ausreichend. Es ist jedoch sehr einfach, die Genauigkeit der Berechnungen zu verbessern - fügen Sie einfach so viele Triolen hinzu, wie auf die Anzeige des Taschenrechners passen (z. B. 0,3333333333333333). Drücken Sie dann die Taste „=“.

Um die dritte Wurzel mit einem Computer zu berechnen, führen Sie das Windows-Rechnerprogramm aus. Das Verfahren zur Berechnung der Wurzel dritten Grades ist dem oben beschriebenen völlig ähnlich. Der einzige Unterschied besteht im Design der Potenzierungstaste. Auf der virtuellen Tastatur des Taschenrechners wird es als "x^y" bezeichnet.

Die Wurzel des dritten Grades kann auch in MS Excel berechnet werden. Geben Sie dazu "=" in eine beliebige Zelle ein und wählen Sie das Symbol "Einfügen" (fx). Wählen Sie im erscheinenden Fenster die Funktion „GRAD“ und klicken Sie auf die Schaltfläche „OK“. Geben Sie im angezeigten Fenster den Wert der Zahl ein, für die Sie die Wurzel dritten Grades berechnen möchten. Geben Sie bei „Grad“ die Zahl „1/3“ ein. Wählen Sie die Nummer 1/3 genau in dieser Form - als gewöhnliche. Klicken Sie danach auf die Schaltfläche "OK". In der Zelle der Tabelle, in der sie erstellt wurde, die Kubikwurzel von angegebene Nummer.

Wenn die Wurzel des dritten Grades ständig berechnet werden muss, dann verbessern Sie die oben beschriebene Methode leicht. Geben Sie als Zahl, aus der Sie die Wurzel ziehen möchten, nicht die Zahl selbst, sondern die Zelle der Tabelle an. Danach geben Sie einfach jedes Mal in diese Zelle ein ursprüngliche Nummer– seine Kubikwurzel erscheint in der Zelle mit der Formel.

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beachten Sie

Fazit. In dieser Arbeit haben wir berücksichtigt verschiedene Methoden Berechnung von Kubikwurzelwerten. Es stellte sich heraus, dass die Werte der Kubikwurzel mit der Iterationsmethode gefunden werden können. Es ist auch möglich, die Kubikwurzel anzunähern, eine Zahl mit 1/3 zu potenzieren und nach den Werten der Wurzel zu suchen des dritten Grades mit Microsoft Office Excel, Formeln in Zellen setzen.

Nützlicher Rat

Wurzeln zweiten und dritten Grades werden besonders häufig verwendet und haben daher besondere Namen. Quadratwurzel: In diesem Fall wird der Exponent normalerweise weggelassen, und der Begriff "Wurzel" ohne Angabe des Grads impliziert meistens die Quadratwurzel. Praktisches Wurzelrechnen Algorithmus zum Finden der Wurzel n-ten Grades. Quadrat- und Kubikwurzeln werden üblicherweise in allen Taschenrechnern bereitgestellt.

Quellen:

• dritte Wurzel
• Wie man in Excel die Quadratwurzel zum N-Grad zieht

Die Operation zum Finden der Wurzel dritte Grad wird normalerweise als Extraktion der "Würfel" -Wurzel bezeichnet, besteht jedoch darin, eine solche zu finden reelle Zahl, was in Kubikform einen Wert ergibt, der gleich der Wurzelzahl ist. Extraktionsvorgang arithmetische Wurzel irgendein Grad n entspricht der Potenzoperation 1/n. In der Praxis gibt es mehrere Möglichkeiten, die Kubikwurzel zu berechnen.

Es ist Zeit zu zerlegen Wurzelextraktionsmethoden. Sie beruhen auf den Eigenschaften der Wurzeln, insbesondere auf der Gleichheit, die für alle gilt nicht negative Zahl b.

Im Folgenden werden wir der Reihe nach die wichtigsten Methoden zum Extrahieren von Wurzeln betrachten.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall - dem Ziehen von Wurzeln aus natürlichen Zahlen mit einer Quadrattabelle, einer Kubiktabelle usw.

Wenn die Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. nicht zur Hand ist, ist es logisch, die Methode des Wurzelziehens zu verwenden, bei der die Wurzelzahl in einfache Faktoren zerlegt wird.

Unabhängig davon lohnt es sich, darüber nachzudenken, was für Wurzeln mit ungeraden Exponenten möglich ist.

Betrachten Sie schließlich eine Methode, mit der Sie die Ziffern des Werts der Wurzel nacheinander finden können.

Lass uns anfangen.

Verwenden einer Tabelle mit Quadraten, einer Tabelle mit Würfeln usw.

In den meisten einfache Fälle Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. ermöglichen das Extrahieren von Wurzeln. Was sind das für Tische?

Die Tabelle der Quadrate ganzer Zahlen von 0 bis einschließlich 99 (siehe unten) besteht aus zwei Zonen. Die erste Zone der Tabelle befindet sich auf einem grauen Hintergrund; durch Auswahl einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte können Sie eine Zahl von 0 bis 99 erstellen. Wählen wir zum Beispiel eine Reihe mit 8 Zehnern und eine Spalte mit 3 Einer, damit haben wir die Zahl 83 festgelegt. Die zweite Zone belegt den Rest des Tisches. Jede ihrer Zellen befindet sich am Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte und enthält das Quadrat der entsprechenden Zahl von 0 bis 99 . Am Schnittpunkt unserer gewählten Reihe mit 8 Zehnern und Spalte 3 mit Einsen befindet sich eine Zelle mit der Zahl 6889, die das Quadrat der Zahl 83 ist.

Würfeltabellen, Tabellen der vierten Potenzen von Zahlen von 0 bis 99 usw. ähneln der Quadrattabelle, nur dass sie in der zweiten Zone Würfel, vierte Potenzen usw. enthalten. entsprechende Nummern.

Tabellen mit Quadraten, Würfeln, vierten Potenzen usw. ermöglichen Ihnen das Extrahieren von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, vierten Wurzeln usw. jeweils aus den Nummern in diesen Tabellen. Lassen Sie uns das Prinzip ihrer Anwendung bei der Wurzelgewinnung erklären.

Nehmen wir an, wir müssen die n-te Wurzel aus der Zahl a ziehen, während die Zahl a in der Tabelle des n-ten Grades enthalten ist. Gemäß dieser Tabelle finden wir die Zahl b so, dass a=b n . Dann , daher ist die Zahl b die gewünschte Wurzel des n-ten Grades.

Lassen Sie uns als Beispiel zeigen, wie die Kubikwurzel von 19683 mithilfe der Kubiktabelle gezogen wird. Wir finden die Zahl 19 683 in der Würfeltabelle, daraus finden wir, dass diese Zahl ein Würfel der Zahl 27 ist, also .

Es ist klar, dass Tabellen des n-ten Grades beim Ziehen von Wurzeln sehr praktisch sind. Sie sind jedoch oft nicht zur Hand und ihre Zusammenstellung erfordert eine gewisse Zeit. Außerdem ist es oft notwendig, Wurzeln aus Zahlen zu ziehen, die nicht in den entsprechenden Tabellen enthalten sind. In diesen Fällen muss man auf andere Methoden zur Extraktion der Wurzeln zurückgreifen.

Zerlegung der Wurzelzahl in Primfaktoren

Eine ziemlich bequeme Möglichkeit, die Wurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen (wenn natürlich die Wurzel gezogen wird), besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Seine die Essenz ist wie folgt: nachdem es ganz einfach als Abschluss mit darzustellen ist der richtige Indikator, wodurch Sie den Wert der Wurzel erhalten können. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären.

Lassen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus einer natürlichen Zahl a ziehen, und ihr Wert ist gleich b. In diesem Fall ist die Gleichheit a = b n wahr. Zahl b wie jede natürliche Zahl kann als Produkt aller seiner Primfaktoren p 1 , p 2 , ..., p m in der Form p 1 p 2 ... p m dargestellt werden, und die Wurzelzahl a wird in diesem Fall dargestellt als (p 1 p 2 ... p m) n. Da die Zerlegung der Zahl in Primfaktoren eindeutig ist, sieht die Zerlegung der Wurzelzahl a in Primfaktoren so aus (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , was es ermöglicht, den Wert der Wurzel zu berechnen als .

Beachten Sie, dass, wenn die Faktorisierung der Wurzelzahl a nicht in der Form (p 1 ·p 2 ·…·p m ) n dargestellt werden kann, die Wurzel n-ten Grades aus einer solchen Zahl a nicht vollständig gezogen wird.

Lassen Sie uns beim Lösen von Beispielen darauf eingehen.

Beispiel.

Nimm die Quadratwurzel von 144 .

Lösung.

Wenn wir uns der Tabelle der Quadrate im vorherigen Absatz zuwenden, ist deutlich zu sehen, dass 144 = 12 2 ist, woraus klar ist, dass die Quadratwurzel von 144 12 ist.

Aber im Licht diesen Absatz Uns interessiert, wie die Wurzel gezogen wird, indem die Wurzelzahl 144 in Primfaktoren zerlegt wird. Werfen wir einen Blick auf diese Lösung.

Lassen Sie uns zerlegen 144 zu Primfaktoren:

Das heißt, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Basierend auf der resultierenden Zerlegung können die folgenden Transformationen durchgeführt werden: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Folglich, .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades und der Eigenschaften der Wurzeln könnte die Lösung etwas anders formuliert werden: .

Antworten:

Um das Material zu festigen, betrachten Sie die Lösungen von zwei weiteren Beispielen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wurzelwert.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung der Wurzelzahl 243 ist 243=3 5 . Auf diese Weise, .

Antworten:

Beispiel.

Ist der Wert der Wurzel eine ganze Zahl?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren und sehen, ob sie als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden kann.

Wir haben 285 768 = 2 3 3 6 7 2 . Die resultierende Zerlegung wird nicht als Würfel einer ganzen Zahl dargestellt, da der Grad Hauptfaktor 7 ist kein Vielfaches von drei. Daher wird die Kubikwurzel von 285.768 nicht vollständig gezogen.

Antworten:

Nein.

Wurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Es ist Zeit herauszufinden, wie die Wurzel extrahiert wird Bruchzahl. Lassen Sie die Bruchwurzelzahl als p/q schreiben. Gemäß der Eigenschaft der Wurzel des Quotienten gilt die folgende Gleichheit. Aus dieser Gleichheit folgt Bruchwurzel Regel: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel des Zählers durch die Wurzel des Nenners.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Ziehen einer Wurzel aus einem Bruch an.

Beispiel.

Was ist die Quadratwurzel von gemeinsamer Bruchteil 25/169 .

Lösung.

Gemäß der Quadrattabelle finden wir, dass die Quadratwurzel des Zählers des ursprünglichen Bruchs 5 ist und die Quadratwurzel des Nenners 13 ist. Dann . Damit ist die Extraktion der Wurzel aus einer gewöhnlichen Fraktion 25/169 abgeschlossen.

Antworten:

Die Wurzel eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl wird gezogen, nachdem die Wurzelzahlen durch gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Beispiel.

Ziehen Sie die Kubikwurzel der Dezimalzahl 474,552.

Lösung.

Stellen Sie sich das Original vor Dezimal in Form eines gewöhnlichen Bruchs: 474,552=474552/1000. Dann . Es bleibt, die Kubikwurzeln zu extrahieren, die sich im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs befinden. Als 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 und 1 000=10 3 , dann und . Es bleibt nur noch, die Berechnungen abzuschließen .

Antworten:

.

Ziehen der Wurzel einer negativen Zahl

Unabhängig davon lohnt es sich, über das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen nachzudenken. Beim Studium von Wurzeln haben wir gesagt, dass, wenn der Exponent der Wurzel eine ungerade Zahl ist, eine negative Zahl unter dem Vorzeichen der Wurzel stehen kann. Wir gaben solchen Notationen die folgende Bedeutung: Für eine negative Zahl −a und einen ungeraden Exponenten der Wurzel 2 n−1 haben wir . Diese Gleichheit gibt Root-Regel ungerade Grad aus negativen Zahlen: Um die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie die Wurzel aus der entgegengesetzten positiven Zahl ziehen und ein Minuszeichen vor das Ergebnis setzen.

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel.

Finden Sie den Wurzelwert.

Lösung.

Verwandeln wir uns ursprünglicher Ausdruck so dass es sich unter dem Zeichen der Wurzel herausstellt positive Zahl: . Jetzt gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch ersetzen: . Wir wenden die Regel des Wurzelziehens aus einem gewöhnlichen Bruch an: . Es bleibt, die Wurzeln im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs zu berechnen: .

Lassen Sie uns bringen kurze Anmerkung Lösungen: .

Antworten:

.

Bitweises Finden des Wurzelwerts

BEI Allgemeiner Fall unter der Wurzel steht eine Zahl, die mit den obigen Methoden nicht als n-te Potenz einer Zahl dargestellt werden kann. Aber gleichzeitig muss der Wert einer gegebenen Wurzel zumindest bis zu einem bestimmten Vorzeichen bekannt sein. In diesem Fall können Sie zum Extrahieren der Wurzel einen Algorithmus verwenden, der es Ihnen ermöglicht, sequentiell zu erhalten genügend Werte der Ziffern der gewünschten Zahl.

Auf dem ersten Schritt dieser Algorithmus Sie müssen herausfinden, was das signifikanteste Bit des Wertes der Wurzel ist. Dazu werden die Zahlen 0, 10, 100, ... nacheinander mit n potenziert, bis man eine Zahl erhält, die größer ist als die Wurzelzahl. Dann zeigt die Zahl, die wir im vorherigen Schritt mit n potenziert haben, die entsprechende höhere Ordnung an.

Betrachten Sie diesen Schritt des Algorithmus beispielsweise beim Ziehen der Quadratwurzel aus fünf. Wir nehmen die Zahlen 0, 10, 100, ... und quadrieren sie, bis wir eine Zahl größer als 5 erhalten. Wir haben 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , was bedeutet, dass die höchstwertige Stelle die Einerstelle ist. Der Wert dieses Bits sowie niedrigere werden in den nächsten Schritten des Wurzelziehalgorithmus gefunden.

Alle folgenden Schritte des Algorithmus zielen darauf ab, den Wert der Wurzel sukzessive zu verfeinern, da die Werte der nächsten Ziffern des gewünschten Wurzelwerts gefunden werden, beginnend mit dem höchsten und zum niedrigsten . Zum Beispiel ist der Wert der Wurzel im ersten Schritt 2 , im zweiten - 2.2 , im dritten - 2.23 und so weiter 2.236067977 ... . Lassen Sie uns beschreiben, wie die Werte der Bits gefunden werden.

Das Auffinden der Ziffern erfolgt durch Aufzählen mögliche Werte 0, 1, 2, ..., 9 . Dabei werden die n-ten Potenzen der entsprechenden Zahlen parallel berechnet und mit der Wurzelzahl verglichen. Wenn der Wert des Grads irgendwann die Wurzelzahl überschreitet, wird der Wert der Ziffer, die dem vorherigen Wert entspricht, als gefunden betrachtet, und es wird zum nächsten Schritt des Wurzelziehalgorithmus übergegangen, wenn dies nicht der Fall ist. dann ist der Wert dieser Ziffer 9 .

Lassen Sie uns all diese Punkte anhand des gleichen Beispiels des Ziehens der Quadratwurzel aus fünf erklären.

Finden Sie zuerst den Wert der Einerstelle. Wir werden über die Werte 0, 1, 2, …, 9 iterieren und jeweils 0 2 , 1 2 , …, 9 2 berechnen, bis wir einen Wert erhalten, der größer als die Wurzelzahl 5 ist. Alle diese Berechnungen werden bequem in Form einer Tabelle dargestellt:

Der Wert der Einerstelle ist also 2 (weil 2 2<5 , а 2 3 >5). Lassen Sie uns weitergehen, um den Wert der zehnten Stelle zu finden. In diesem Fall quadrieren wir die Zahlen 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 und vergleichen die erhaltenen Werte mit der Wurzelzahl 5:

Seit 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , dann ist der Wert der zehnten Stelle 2 . Sie können fortfahren, den Wert der Hundertstelstelle zu ermitteln:

Also gefunden nächsten Wert Wurzel aus fünf, es ist gleich 2,23. Und so können Sie weitere Werte finden: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Zur Verfestigung des Materials werden wir mit dem betrachteten Algorithmus das Ziehen der Wurzel auf Hundertstel genau analysieren.

Zuerst definieren wir die Senior-Ziffer. Dazu würfeln wir die Zahlen 0, 10, 100 usw. bis wir eine Zahl größer als 2.151.186 erhalten. Wir haben 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , also ist die signifikanteste Ziffer die Zehnerziffer.

Lassen Sie uns seinen Wert definieren.

Seit 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , dann ist der Wert der Zehnerstelle 1 . Kommen wir zu den Einheiten.

Der Wert der Einerstelle ist also 2 . Kommen wir zu zehn.

Da gerade 12,9 3 kleiner ist als die Wurzelzahl 2 151,186 , ist der Wert der zehnten Stelle 9 . Es bleibt, den letzten Schritt des Algorithmus auszuführen, er gibt uns den Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit.

In diesem Stadium wird der Wert der Wurzel bis zu Hundertstel gefunden: .

Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich sagen, dass es viele andere Möglichkeiten gibt, Wurzeln zu extrahieren. Aber für die meisten Aufgaben sind die, die wir oben untersucht haben, ausreichend.

Referenzliste.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Wie viele wütende Worte wurden gegen ihn geäußert? Manchmal scheint es, dass sich die Kubikwurzel unglaublich vom Quadrat unterscheidet. Tatsächlich ist der Unterschied gar nicht so groß. Vor allem, wenn Sie verstehen, dass es sich nur um Sonderfälle einer gemeinsamen Wurzel n-ten Grades handelt.

Bei der Extraktion kann es jedoch zu Problemen kommen. Meistens sind sie jedoch mit der Umständlichkeit von Berechnungen verbunden.

Was müssen Sie über die Wurzel eines beliebigen Abschlusses wissen?

Zunächst die Definition dieses Begriffs. Die Wurzel des n-ten Grades eines "a" ist eine Zahl, die, wenn sie mit n potenziert wird, das ursprüngliche "a" ergibt.

Außerdem gibt es gerade und ungerade Grade an den Wurzeln. Wenn n gerade ist, kann der Wurzelausdruck nur Null oder eine positive Zahl sein. Sonst gibt es keine wirkliche Antwort.

Wenn der Grad ungerade ist, dann gibt es für jeden Wert von "a" eine Lösung. Es kann gut sein, dass es negativ ist.

Zweitens kann die Funktion der Wurzel immer als Grad geschrieben werden, dessen Indikator ein Bruch ist. Das ist manchmal sehr praktisch.

Zum Beispiel ist "a" hoch 1 / n nur die n-te Wurzel von "a". In diesem Fall ist die Basis des Abschlusses immer größer als Null.

Ähnlich wird „a“ hoch n / m als m-te Wurzel von „a n“ dargestellt.

Drittens gelten für sie alle Handlungen mit Befugnissen.

• Sie können multipliziert werden. Dann addieren sich die Exponenten.
• Wurzeln können geteilt werden. Die Grade müssen abgezogen werden.
• Und zur Macht erheben. Dann sollten sie multipliziert werden. Das heißt, der Grad, zu dem sie erhoben wurden.

Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Quadrat- und Kubikwurzeln?

Sie sind ähnlich wie Geschwister, nur ihr Grad ist unterschiedlich. Und das Prinzip ihrer Berechnung ist das gleiche, der einzige Unterschied besteht darin, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wurzelausdruck zu erhalten.

Etwas höher wurde ein signifikanter Unterschied genannt. Aber wiederholen schadet nicht. Das Quadrat wird nur aus einer nicht negativen Zahl extrahiert. Während die Berechnung der Kubikwurzel eines negativen Werts nicht schwierig ist.

Ziehen der Kubikwurzel auf einem Taschenrechner

Jeder hat dies mindestens einmal für die Quadratwurzel getan. Aber was ist, wenn der Grad "3" ist?

Auf einem herkömmlichen Taschenrechner gibt es nur einen Knopf für einen quadratischen, aber keinen kubischen. Hier hilft eine einfache Aufzählung von Zahlen, die dreimal mit sich selbst multipliziert werden. Haben Sie einen Stammausdruck? Das ist also die Antwort. Hat nicht funktioniert? Wieder abholen.

Und was ist mit der technischen Form eines Taschenrechners in einem Computer? Hurra, hier ist eine Kubikwurzel. Sie können einfach diese Taste drücken, und das Programm wird Ihnen eine Antwort geben. Aber das ist nicht alles. Hier können Sie die Wurzel nicht nur von 2 und 3 Grad berechnen, sondern auch von jeder beliebigen. Denn es gibt einen Knopf, der ein „y“ im Grad der Wurzel hat. Das heißt, nachdem Sie diese Taste gedrückt haben, müssen Sie eine andere Zahl eingeben, die dem Grad der Wurzel entspricht, und erst dann „=“.

Manuelle Kubikwurzelextraktion

Diese Methode ist erforderlich, wenn ein Taschenrechner nicht zur Hand ist oder nicht verwendet werden kann. Dann müssen Sie sich anstrengen, um die Kubikwurzel der Zahl zu berechnen.

Sehen Sie zuerst, ob der vollständige Würfel aus einem ganzzahligen Wert erhalten wird. Vielleicht steht unter der Wurzel 2, 3, 5 oder 10 hoch 3?

1. Teilen Sie den Wurzelausdruck im Kopf in Gruppen von drei Ziffern vom Dezimalkomma auf. Meistens wird ein Bruchteil benötigt. Wenn nicht, fügen Sie Nullen hinzu.
2. Bestimmen Sie die Zahl, deren Kubikzahl kleiner als der ganzzahlige Teil des Wurzelausdrucks ist. Schreiben Sie es in eine Zwischenantwort über dem Wurzelzeichen. Und unter dieser Gruppe platziere seinen Würfel.
3. Subtraktion durchführen.
4. Ordnen Sie dem Rest die erste Zifferngruppe nach dem Komma zu.
5. Schreiben Sie im Entwurf den Ausdruck auf: a 2 * 300 * x + a * 30 * x 2 + x 3. Hier ist "a" eine Zwischenantwort, "x" ist eine Zahl, die kleiner ist als der resultierende Rest mit zugeordneten Zahlen.
6. Die Zahl „x“ muss nach dem Komma der Zwischenantwort geschrieben werden. Und schreiben Sie den Wert dieses gesamten Ausdrucks unter den Rest, der verglichen wird.
7. Wenn die Genauigkeit ausreichend ist, stoppen Sie die Berechnungen. Andernfalls müssen Sie zu Punkt 3 zurückkehren.

Ein anschauliches Beispiel für die Berechnung der Kubikwurzel

Es wird benötigt, weil die Beschreibung kompliziert erscheinen mag. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Kubikwurzel von 15 auf das nächste Hundertstel gezogen wird.

Die einzige Schwierigkeit, die diese Methode hat, ist, dass sich die Zahlen mit jedem Schritt um ein Vielfaches erhöhen und es immer schwieriger wird, in einer Spalte zu zählen.

1. 15> 2 3 bedeutet unter ganzer Teil 8 wird geschrieben und über der Wurzel 2.
2. Nach der Subtraktion von acht von 15 ist der Rest 7. Dem müssen drei Nullen zugeordnet werden.
3. a \u003d 2. Also: 2 2 * 300 * x + 2 * 30 * x 2 + x 3< 7000, или 1200 х + 60 х 2 + х 3 < 7000.
4. Die Auswahlmethode stellt sich heraus, dass x \u003d 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 \u003d 5824.
5. Die Subtraktion ergibt 1176, und die Zahl 4 erschien über der Wurzel.
6. Weisen Sie dem Rest drei Nullen zu.
7. a \u003d 24. Dann 172800 x + 720 x 2 + x 3< 1176000.
8. x = 6. Auswertung des Ausdrucks ergibt 1062936. Rest: 113064, über der Wurzel 6.
9. Weisen Sie wieder Nullen zu.
10. a \u003d 246. Die Ungleichung ergibt sich wie folgt: 18154800x + 7380x 2 + x 3< 113064000.
11. x \u003d 6. Berechnungen ergeben die Zahl: 109194696, Rest: 3869304. Über der Wurzel 6.

Die Antwort ist eine Zahl: 2,466 Da die Antwort auf Hundertstel angegeben werden muss, muss sie gerundet werden: 2,47.

Eine ungewöhnliche Art, die Kubikwurzel zu extrahieren

Es kann verwendet werden, wenn die Antwort eine ganze Zahl ist. Dann wird die Kubikwurzel gezogen, indem der Wurzelausdruck in ungerade Terme erweitert wird. Darüber hinaus sollte es sich bei solchen Begriffen um die geringstmögliche Anzahl handeln.

Zum Beispiel wird 8 durch die Summe von 3 und 5 dargestellt. Und 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Die Antwort ist eine Zahl, die gleich der Anzahl der Begriffe ist. Die Kubikwurzel von 8 ist also gleich zwei und von 64 gleich vier.

Wenn sich unter der Wurzel 1000 befindet, lautet die Erweiterung in Terme 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Es gibt insgesamt 10 Terme. Das ist die Antwort.