Darstellung geometrischer Formen durch komplexe Zahlen. Hauptargument einer komplexen Zahl. Beispiele für die Darstellung komplexer Zahlen auf der Koordinatenebene

Komplexe Zahlen, ihre Darstellung auf einer Ebene. Algebraische Operationen mit komplexen Zahlen. Komplexe Paarung. Modul und Argument einer komplexen Zahl. Algebraische und trigonometrische Formen komplexer Zahlen. Wurzeln aus komplexe Zahlen. Exponentialfunktion komplexes Argument. Eulers Formel. Exponentialform einer komplexen Zahl.

Beim Studium einer der grundlegenden Methoden der Integration: Integration rationale Brüche– Um strenge Beweise durchzuführen, ist es erforderlich, Polynome im komplexen Bereich zu berücksichtigen. Lassen Sie uns daher zunächst einige Eigenschaften komplexer Zahlen und Operationen auf ihnen untersuchen.

Definition 7.1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a,b): z = (a,b) (der Begriff „geordnet“ bedeutet, dass beim Schreiben einer komplexen Zahl die Reihenfolge der Zahlen a und b wichtig ist: (a ,b)≠(b,a )). In diesem Fall wird die erste Zahl a aufgerufen echter Teil komplexe Zahl z und wird mit a = Re z bezeichnet, und die zweite Zahl heißt b imaginärer Teil z: b = Ich bin z.

Definition 7.2. Zwei komplexe Zahlen z 1 = (a 1 , b 1) und z 2 = (a 2 , b 2) sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind, also a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Operationen mit komplexen Zahlen.

1. Menge komplexe Zahlen z 1 =(a 1 , b 1) Und z 2 =(a 2 , b 2 z =(a,b) so dass a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Eigenschaften der Addition: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; B) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) es gibt eine komplexe Zahl 0 = (0,0): z + 0 =z für jede komplexe Zahl z.

2. Die Arbeit komplexe Zahlen z 1 =(a 1 , b 1) Und z 2 =(a 2 , b 2) heißt komplexe Zahl z =(a,b) so dass a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Eigenschaften der Multiplikation: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; B) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Kommentar. Eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen, definiert als komplexe Zahlen der Form ( A, 0). Es ist ersichtlich, dass die Definition von Operationen auf komplexen Zahlen erhalten bleibt bekannte Regeln entsprechende Operationen auf reellen Zahlen. Darüber hinaus behält die reelle Zahl 1 = (1,0) ihre Eigenschaft, wenn sie mit einer beliebigen komplexen Zahl multipliziert wird: 1∙ z = z.

Definition 7.3. Komplexe Zahl (0, B) wird genannt rein imaginär. Insbesondere wird die Zahl (0,1) aufgerufen imaginäre Einheit und ist mit dem Symbol gekennzeichnet ich.

Eigenschaften der imaginären Einheit:

1) i∙i=i² = -1; 2) sauber imaginäre Zahl (0,B) kann als Produkt einer reellen Zahl dargestellt werden ( B, 0) und ich: (B, 0) = b∙i.

Daher kann jede komplexe Zahl z = (a,b) dargestellt werden als: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definition 7.4. Eine Notation der Form z = a + ib wird algebraische Notation einer komplexen Zahl genannt.

Kommentar. Die algebraische Notation komplexer Zahlen ermöglicht es Ihnen, Operationen an ihnen entsprechend durchzuführen normale Regeln Algebra.

Definition 7.5. Eine komplexe Zahl wird als komplex konjugiert von z = a + ib bezeichnet.

3. Subtraktion komplexe Zahlen ist als Operation definiert, Kehrwert der Addition: z =(a,b) heißt Differenz komplexer Zahlen z 1 =(a 1 , b 1) Und z 2 =(a 2 , b 2), Wenn a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Aufteilung komplexe Zahlen ist als Operation definiert, Umkehrung der Multiplikation: Nummer z = a + ib wird als Divisionsquotient bezeichnet z 1 = a 1 + ib 1 Und z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), wenn z 1 = z∙z 2 . Folglich können der Real- und Imaginärteil des Quotienten durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Geometrische Interpretation komplexer Zahlen.

Komplexe Zahl z =(a,b) kann als Punkt auf einer Ebene mit Koordinaten ( a,b) oder ein Vektor mit Ursprung im Ursprung und Ende im Punkt ( a,b).

In diesem Fall wird der Modul des resultierenden Vektors aufgerufen Modul komplexe Zahl und der Winkel durch einen Vektor gebildet mit positiver Richtung der x-Achse, - Streit Zahlen. Bedenkt, dass a = ρ cos φ, b = ρ Sünde φ, Wo ρ = |z| - Modul z, und φ = arg z sein Argument ist, können Sie eine andere Form zum Schreiben einer komplexen Zahl erhalten:

Definition 7.6. Aufnahmetyp

z = ρ(weil φ + ich Sünde φ ) (7.1)

angerufen trigonometrische Form eine komplexe Zahl schreiben.

Der Modul und das Argument einer komplexen Zahl können wiederum durch ausgedrückt werden A Und B: . Folglich ist das Argument einer komplexen Zahl nicht eindeutig bestimmt, sondern bis zu einem Term, der ein Vielfaches von 2π ist.

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Operation zum Addieren komplexer Zahlen der Operation zum Addieren von Vektoren entspricht. Lassen Sie uns überlegen geometrische Interpretation Multiplikation. Dann lasst es

Daher beträgt der Modul des Produkts zweier komplexer Zahlen gleich dem Produkt ihre Module, und das Argument ist die Summe ihrer Argumente. Dementsprechend ist beim Dividieren der Modul des Quotienten gleich dem Verhältnis Module des Dividenden und des Divisors, und das Argument ist die Differenz ihrer Argumente.

Ein Sonderfall der Multiplikationsoperation ist die Potenzierung:

- Moivres Formel.

Anhand der erhaltenen Beziehungen listen wir die Haupteigenschaften komplex konjugierter Zahlen auf:

Komplexe Zahlen und
Koordinate
Flugzeug

Das geometrische Modell der Menge R der reellen Zahlen ist die Zahlenlinie. Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt

An
Zahlenstrahl und ein beliebiger Punkt auf der Geraden
nur eins passt
reelle Zahl!

Durch Hinzufügen einer weiteren Dimension zur Zahlenlinie, die der Menge aller reellen Zahlen entspricht – der Linie, die die Menge der reinen Zahlen enthält

Durch Addition zum Zahlenstrahl entsprechend der Menge
aller reellen Zahlen eine weitere Dimension -
eine gerade Linie, die eine Menge rein imaginärer Zahlen enthält –
wir erhalten eine Koordinatenebene, in der jeweils
die komplexe Zahl a+bi kann zugeordnet werden
Punkt (a; b) Koordinatenebene.
i=0+1i entspricht Punkt (0;1)
2+3i entspricht Punkt (2;3)
-i-4 entspricht Punkt (-4;-1)
5=5+1i entspricht Melancholie (5;0)

Geometrische Bedeutung der Konjugationsoperation

! Der Steckvorgang erfolgt axial
Symmetrie um die Abszissenachse.
!! Miteinander konjugiert
komplexe Zahlen haben den gleichen Abstand von
Herkunft.
!!! Vektoren, die darstellen
konjugierte Zahlen, zur Achse geneigt
Abszisse darunter gleichen Winkel, Aber
gelegen nach verschiedene Seiten aus
diese Achse.

Bild reeller Zahlen

Bild komplexer Zahlen

Algebraisch
Weg
Bilder:
Komplexe Zahl
a+bi ist abgebildet
ebener Punkt
mit Koordinaten
(a;b)

Beispiele für die Darstellung komplexer Zahlen auf der Koordinatenebene

(Wir sind interessiert
komplexe Zahlen
z=x+yi , wofür
x=-4. Das ist die Gleichung
gerade,
parallele Achse
Ordinate)
bei
X= - 4
Gültig
Teil ist -4
0
X

Zeichnen Sie auf der Koordinatenebene die Menge aller komplexen Zahlen ein, für die gilt:

Imaginärer Teil
ist gerade
eindeutig
natürlich
Nummer
(Wir sind interessiert
komplexe Zahlen
z=x+yi, wofür
y=2,4,6,8.
Geometrisches Bild
besteht aus vier
gerade, parallel
x-Achse)
bei
8
6
4
2
0
X

Komplexe Zahlen

Imaginär Und komplexe Zahlen. Abszisse und Ordinate

komplexe Zahl. Komplexe Zahlen konjugieren.

Operationen mit komplexen Zahlen. Geometrisch

Darstellung komplexer Zahlen. Komplexes Flugzeug.

Modul und Argument einer komplexen Zahl. Trigonometrisch

komplexe Zahlenform. Operationen mit komplexen

Zahlen in trigonometrische Form. Moivres Formel.

Grundlegende Informationen zu imaginär Und komplexe Zahlen sind im Abschnitt „Imaginäre und komplexe Zahlen“ angegeben. Der Bedarf an diesen Zahlen eines neuen Typs entstand bei der Lösung quadratischer Gleichungen für den FallD< 0 (здесь D– diskriminierend quadratische Gleichung). Lange Zeit Diese Nummern wurden nicht gefunden körperliche Anwendung, weshalb sie „imaginäre“ Zahlen genannt wurden. Mittlerweile werden sie jedoch in verschiedenen Bereichen der Physik sehr häufig eingesetzt.

und Technik: Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik, Elastizitätstheorie etc.

Komplexe Zahlen werden in der Form geschrieben:a+bi. Hier A Und B – reale Nummern , A ich – imaginäre Einheit, T. e. ich 2 = –1. Nummer A angerufen Abszisse,A b – Ordinatekomplexe Zahla + bi.Zwei komplexe Zahlena+bi Und a–bi werden genannt konjugieren komplexe Zahlen.

Hauptvereinbarungen:

1. Reelle ZahlAkann auch im Formular geschrieben werdenkomplexe Zahl:a+ 0 ich oder A - 0 ich. Beispiel: Datensätze 5 + 0ich und 5 – 0 ichbedeuten die gleiche Zahl 5 .

2. Komplexe Zahl 0 + Biangerufen rein imaginär Nummer. AufzeichnenBibedeutet dasselbe wie 0 + Bi.

3. Zwei komplexe Zahlena+bi Undc + digelten als gleich, wenna = c Und b = d. Sonst komplexe Zahlen sind nicht gleich.

Zusatz. Summe komplexer Zahlena+bi Und c + diheißt komplexe Zahl (a+c ) + (b+d ) ich.Auf diese Weise, beim Hinzufügen Bei komplexen Zahlen werden deren Abszissen und Ordinaten separat addiert.

Diese Definition entspricht den Regeln für Operationen mit gewöhnlichen Polynomen.

Subtraktion. Die Differenz zweier komplexer Zahlena+bi(vermindert) und c + di(Subtrahend) heißt eine komplexe Zahl (a–c ) + (b–d ) ich.

Auf diese Weise, Bei der Subtraktion zweier komplexer Zahlen werden deren Abszissen und Ordinaten getrennt voneinander subtrahiert.

Multiplikation. Produkt komplexer Zahlena+bi Und c + di heißt eine komplexe Zahl:

(ac–bd ) + (ad+bc ) ich.Diese Definition ergibt sich aus zwei Anforderungen:

1) Zahlen a+bi Und c + dimuss wie algebraisch multipliziert werden Binome,

2) Nummer ichhat die Haupteigenschaft:ich 2 = – 1.

BEISPIEL ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Somit, arbeiten

zwei konjugiert komplexe Zahlen ist gleich der reellen

eine positive Zahl.

Aufteilung. Teilen Sie eine komplexe Zahla+bi (teilbar) durch ein anderesc + di(Teiler) - bedeutet, die dritte Zahl zu findene + f i(Chat), was, wenn es mit einem Divisor multipliziert wirdc + di, ergibt die Dividendea + bi.

Wenn der Divisor nicht vorhanden ist gleich Null, Teilung ist immer möglich.

BEISPIEL Finden (8 +ich ) : (2 – 3 ich) .

Lösung. Schreiben wir dieses Verhältnis als Bruch um:

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit 2 + 3ich

UND Nachdem wir alle Transformationen durchgeführt haben, erhalten wir:

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf der Zahlengeraden dargestellt:

Hier ist der Punkt Abedeutet die Zahl –3, PunktB– Nummer 2, und Ö- null. Im Gegensatz dazu werden komplexe Zahlen durch Punkte auf der Koordinatenebene dargestellt. Zu diesem Zweck wählen wir rechteckige (kartesische) Koordinaten mit gleichen Maßstäben auf beiden Achsen. Dann die komplexe Zahla+bi wird durch einen Punkt dargestellt P mit Abszisse a und Ordinate b (siehe Bild). Dieses Koordinatensystem heißt komplexe Ebene .

Modul Die komplexe Zahl ist die Länge des VektorsOP, stellt eine komplexe Zahl auf der Koordinate dar ( umfassend) Flugzeug. Modul einer komplexen Zahla+bi bezeichnet | a+bi| oder Brief R

Komplexe Zahlen

Grundlegendes Konzept

Die ersten Daten zur Zahl stammen aus der Steinzeit – dem Paläomelitikum. Dies sind „eins“, „wenige“ und „viele“. Sie wurden in Form von Kerben, Knoten usw. aufgezeichnet. Die Entwicklung der Arbeitsprozesse und die Entstehung des Eigentums zwangen den Menschen, Zahlen und deren Namen zu erfinden. Der erste, der erscheint ganze Zahlen N, erhalten durch Zählen von Objekten. Dann bestand neben der Notwendigkeit des Zählens auch das Bedürfnis, Längen, Flächen, Volumina, Zeit und andere Größen zu messen, wobei Teile des verwendeten Maßes berücksichtigt werden mussten. So entstanden Brüche. Die formale Konkretisierung der Konzepte der gebrochenen und negativen Zahlen erfolgte im 19. Jahrhundert. Satz von ganzen Zahlen Z– das sind natürliche Zahlen, natürliche Zahlen mit Minuszeichen und Null. Ganze und Bruchzahlen bildete einen Satz Rationale Zahlen Q, aber es erwies sich auch als unzureichend, um sich ständig verändernde Studien zu studieren Variablen. Die Genesis zeigte erneut die Unvollkommenheit der Mathematik: die Unmöglichkeit, eine Gleichung dieser Form zu lösen X 2 = 3, weshalb irrationale Zahlen auftauchten ICH. Vereinigung der Menge rationaler Zahlen Q Und irrationale Zahlen ICH– Menge reeller (oder reeller) Zahlen R. Dadurch wurde die Zahlengeraden gefüllt: Jede reelle Zahl entsprach einem Punkt darauf. Aber auf viele R Es gibt keine Möglichkeit, eine Gleichung der Form zu lösen X 2 = – A 2. Folglich entstand erneut die Notwendigkeit, den Zahlbegriff zu erweitern. So entstanden im Jahr 1545 komplexe Zahlen. Ihr Schöpfer J. Cardano nannte sie „rein negativ“. Der Name „imaginär“ wurde 1637 vom Franzosen R. Descartes eingeführt, 1777 schlug Euler vor, den Anfangsbuchstaben der französischen Zahl zu verwenden ich um die imaginäre Einheit zu bezeichnen. Dieses Symbol wurde dank K. Gauß allgemein verwendet.

Im 17. und 18. Jahrhundert wurde die Diskussion über die arithmetische Natur von Imaginären und ihre geometrische Interpretation fortgesetzt. Der Däne G. Wessel, der Franzose J. Argan und der Deutsche K. Gauss schlugen unabhängig voneinander vor, eine komplexe Zahl als Punkt auf der Koordinatenebene darzustellen. Später stellte sich heraus, dass es noch bequemer ist, eine Zahl nicht durch den Punkt selbst darzustellen, sondern durch einen Vektor, der vom Ursprung zu diesem Punkt verläuft.

Erst gegen Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts nahmen komplexe Zahlen ihren rechtmäßigen Platz ein mathematische Analyse. Ihre erste Verwendung erfolgt in der Theorie Differentialgleichung und in der Theorie der Hydrodynamik.

Definition 1.Komplexe Zahl wird als Ausdruck der Form bezeichnet, wobei X Und j sind reelle Zahlen, und ich– imaginäre Einheit, .

Zwei komplexe Zahlen und gleich dann und nur dann, wenn , .

Wenn , dann wird die Nummer angerufen rein imaginär; Wenn , dann ist die Zahl eine reelle Zahl, das heißt, die Menge R MIT, Wo MIT– eine Menge komplexer Zahlen.

Konjugieren zu einer komplexen Zahl wird als komplexe Zahl bezeichnet.

Geometrisches Bild komplexe Zahlen.

Jede komplexe Zahl kann durch einen Punkt dargestellt werden M(X, j) Flugzeug Oxy. Ein Paar reeller Zahlen bezeichnet auch die Koordinaten des Radiusvektors , d.h. Zwischen der Menge der Vektoren auf der Ebene und der Menge der komplexen Zahlen kann man eine Eins-zu-Eins-Entsprechung herstellen: .

Definition 2.Echter Teil X.

Bezeichnung: X=Re z(aus dem lateinischen Realis).

Definition 3.Imaginärer Teil komplexe Zahl ist eine reelle Zahl j.

Bezeichnung: j= Ich z(aus dem lateinischen Imaginarius).

Re z wird auf der Achse abgelegt ( Oh), Ich bin z wird auf der Achse abgelegt ( Oh), dann ist der der komplexen Zahl entsprechende Vektor der Radiusvektor des Punktes M(X, j), (oder M(Re z, Ich bin z)) (Abb. 1).

Definition 4. Eine Ebene, deren Punkte einer Menge komplexer Zahlen zugeordnet sind, heißt komplexe Ebene. Die Abszissenachse wird aufgerufen echte Achse, da es reelle Zahlen enthält. Die Ordinatenachse wird aufgerufen imaginäre Achse, es enthält rein imaginäre komplexe Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen wird bezeichnet MIT.

Definition 5.Modul komplexe Zahl z = (X, j) heißt die Länge des Vektors: , d.h. .

Definition 6.Streit Die komplexe Zahl ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der Achse ( Oh) und Vektor: .

Gehen) Zahlen.

2. Algebraische Darstellungsform komplexer Zahlen

Komplexe Zahl oder Komplex, ist eine Zahl bestehend aus zwei Zahlen (Teile) – real und imaginär.

Real heißt irgendein positives oder eine negative Zahl, zum Beispiel + 5, - 28 usw. Bezeichnen wir reelle Zahl Buchstabe „L“.

Imaginär die Nummer wird angerufen gleich dem Produkt reelle Zahl auf Quadratwurzel aus einer negativen Einheit, zum Beispiel 8, - 20 usw.

Eine negative Einheit heißt imaginär und wird mit dem Buchstaben „yot“ bezeichnet:

Bezeichnen wir die reelle Zahl in der imaginären Zahl mit dem Buchstaben „M“.

Dann kann die imaginäre Zahl wie folgt geschrieben werden: j M. In diesem Fall kann die komplexe Zahl A wie folgt geschrieben werden:

A = L + jM (2).

Diese Form des Schreibens einer komplexen Zahl (komplex), nämlich algebraische Summe Real- und Imaginärteil nennt man algebraisch.

Beispiel 1. Stellen Sie in algebraischer Form einen Komplex dar, dessen Realteil 6 und dessen Imaginärteil 15 ist.

Lösung. A = 6 +j 15.

Außer algebraische Form, eine komplexe Zahl kann durch drei weitere dargestellt werden:

1. Grafik;

2. trigonometrisch;

3. indikativ.

Eine solche Formenvielfalt ist dramatisch vereinfacht Berechnungen Sinusgrößen und ihre grafisches Bild.

Schauen wir uns nacheinander die grafische, trigonometrische und exponentielle Darstellung an.

neue Formen der Darstellung komplexer Zahlen.

Grafische Form Darstellungen komplexer Zahlen

Für grafische Darstellung komplexe Zahlen werden direkt verwendet

Kohlenstoff-Koordinatensystem. In einem regulären (Schul-)Koordinatensystem werden positive oder negative Werte entlang der Achsen „x“ (Abszisse) und „y“ (Ordinate) aufgetragen. real Zahlen.

Im Koordinatensystem, das bei der symbolischen Methode verwendet wird, entlang der „x“-Achse

Reelle Zahlen werden in Form von Segmenten aufgetragen, und imaginäre Zahlen werden entlang der „y“-Achse aufgetragen

Reis. 1. Koordinatensystem zur grafischen Darstellung komplexer Zahlen

Daher wird die x-Achse Achse der reellen Größen oder kurz Achse genannt real Achse.

Die Ordinatenachse wird Achse der imaginären Größen oder genannt imaginär Achse.

Die Ebene selbst (also die Zeichenebene), auf der komplexe Zahlen oder Größen dargestellt werden, heißt umfassend Wohnung.

In dieser Ebene wird die komplexe Zahl A = L + j M durch den Vektor A dargestellt

(Abb. 2), dessen Projektion auf die reale Achse gleich seinem Realteil Re A = A" = L ist und dessen Projektion auf die imaginäre Achse gleich dem Imaginärteil Im A = A" = M ist.

(Re – aus dem Englischen real – real, real, real, Im – aus dem Englischen imaginary – unreal, imaginär).

Reis. 2. Grafische Darstellung einer komplexen Zahl

In diesem Fall kann die Zahl A wie folgt geschrieben werden

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

Verwenden einer grafischen Darstellung der Zahl A in komplexe Ebene, führen wir neue Definitionen ein und erhalten einige wichtige Beziehungen:

1. die Länge des Vektors A heißt Modul Vektor und wird mit |A| bezeichnet.

Nach dem Satz des Pythagoras

|A| = (4) .

2. Winkel α, gebildet durch Vektor A und reale positive Halbwertszahl

die Achse heißt Streit Vektor A und wird durch seinen Tangens bestimmt:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

Also für eine grafische Darstellung einer komplexen Zahl

A = A" + A" in Form eines Vektors benötigen Sie:

1. Ermitteln Sie den Modul des Vektors |A| gemäß Formel (4);

2. Finden Sie das Argument des Vektors tan α mithilfe der Formel (5);

3. Finden Sie den Winkel α aus der Beziehung α = arc tan α;

4. Zeichnen Sie im Koordinatensystem j (x) ein Hilfsmittel

gerade Linie und zeichne darauf ein Segment in einem bestimmten Maßstab, gleich dem Modul Vektor |A|.

Beispiel 2. Stellen Sie die komplexe Zahl A = 3 + j 4 in grafischer Form dar.