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Die ganze Gleichung und ihre Wurzeln Lektion. Zusammenfassung und Präsentation der Lektion "Die ganze Gleichung und ihre Wurzeln". Konsolidierung. Ganze Gleichungen lösen

Schule: Zweig der MOU SOSH mit. Swjatoslaw im Dorf Wozdwischenka

Thema: Mathematik.

Curriculum - 5 Stunden pro Woche (davon 3 Stunden - Algebra, 2 Stunden - Geometrie)

Thema: Ganze Gleichung und ihre Wurzeln. Lösung ganzer Gleichungen.

Art des Unterrichts: Verbesserung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Unterrichtsziele:

didaktisch : Systematisierung und Verallgemeinerung, Erweiterung und Vertiefung der studentischen Kenntnisse im Lösen ganzer Gleichungen mit einer Variablen oberhalb des zweiten Grades; Vorbereitung der Schüler auf die Anwendung des Wissens in einer nicht standardmäßigen Situation, auf die Prüfung.

Entwicklung : Entfaltung der Persönlichkeit des Schülers durch selbstständiges kreative Arbeit, Entwicklung studentischer Initiative; Bereitstellung eines stabilen Motivationsumfelds, Interesse am untersuchten Thema; die Fähigkeit entwickeln, Methoden zum Lösen einer Gleichung zu verallgemeinern und richtig auszuwählen;

lehrreich: Entwicklung des Interesses am Studium der Mathematik, Vorbereitung der Schüler auf die Anwendung von Wissen in einer nicht standardmäßigen Situation; kultivieren Sie den Willen und die Ausdauer, um die endgültigen Ergebnisse zu erzielen

Unterrichtsphasen	Zeit	Die Form	Lehrertätigkeit	Studentische Aktivitäten	Notiz
1.1.Org. Moment (*Einführungs-Motivationsteil, um die Aktivitäten der Schüler zu verbessern)*		(Anhang 1)	Definiert studentische Bereitschaft. Fokussiert die Aufmerksamkeit der Schüler. Zitiert das Motto der Lektion und das Epigraph zur Lektion.	Zuhören, Fragen beantworten, Schlussfolgerungen ziehen,
1.2. Überprüfung der Hausaufgaben Aktualisierung des Grundwissens		Mündliche Befragung (Anlage 2-4)	Schüleraktivitäten koordinieren	Sie geben eine Definition der Gleichung, die Wurzeln der Gleichung, das Konzept zum Lösen der Gleichung Gleichungen verbal lösen, ganze Zahlen daraus extrahieren.	Bildung kognitiver Kompetenz
1.3. Zielsetzung und Motivation		Planung	Motiviert Schüler Kommuniziert Unterrichtsziele	Nennen und schreiben Thema des Unterrichts, setzen sich das Ziel des Unterrichts.	Bildung kommunikativer Kompetenz
2.1 Systematisierung von Wissen. *Ziele* : eine kurze rationale Aufzeichnung zu lehren, die Fähigkeit zu entwickeln, Schlussfolgerungen und Verallgemeinerungen zu ziehen		(Anhang 5)	Gibt Beispiele für ganzzahlige Gleichungen verschiedener Typen.	Hören Sie zu, beantworten Sie Fragen, ziehen Sie Schlussfolgerungen, erklären Sie, wie man ganze Gleichungen löst. Komponieren und aufnehmen Referenzzusammenfassung zum Unterricht in einem Notizbuch.	Bildung kognitiver, kommunikativer und sozialer Kompetenz
2.2. Sportunterricht Minute		Kommentieren	Kommentare zu einer Reihe von Übungen für die Augen	Die Schüler wiederholen die Übungen.
2.3. Konsolidierung. Ganze Gleichungen lösen Zweck: zu lehren, mit Wissen zu operieren, die Flexibilität bei der Nutzung von Wissen zu entwickeln		Praktische Tätigkeiten (Anlage 6)	Organisiert und überwacht die Aktivitäten der Studierenden. Verweist auf verschiedene Wege Lösungen	Sie lösen ganze Gleichungen in Heften, zeigen die Lösung an der Tafel und überprüfen sie. Schlussfolgerungen	Verankerung Bildung von Informationen und kognitiven Kompetenzen
3.1. Zusammenfassung der Lektion		Betrachtung (Anhang 7)	Motiviert die Schüler, die Lektion zusammenzufassen Gibt Noten.	Fassen Sie das gelernte Material zusammen. Sie ziehen ein Fazit. Hausaufgaben aufschreiben. Bewerten Sie Ihre Arbeit	Gleichungen lösen

(Anhang 1)

1. Organisatorischer Moment- Legen Sie die Ziele und Zielsetzungen des Unterrichts fest.

Leute! Sie müssen Abschlussprüfung in der Mathematik in Form von GIA und USE. Um das GIA und das Einheitliche Staatsexamen erfolgreich zu bestehen, müssen Sie sich nicht nur in Mathematik auskennen Mindestniveau sondern auch, um Ihr Wissen in nicht standardmäßigen Situationen anzuwenden. In den Teilen B und C der USE finden sich oft Gleichungen höheren Grades. Unsere Aufgabe: Systematisierung und Verallgemeinerung, Erweiterung und Vertiefung des Wissens zur Lösung ganzer Gleichungen mit einer Variablen höher als zweiten Grades; Vorbereitung auf die Anwendung von Wissen in einer atypischen Situation, auf das GIA und das Einheitliche Staatsexamen.

Mottounserer Lektion: "Je mehr ich weiß, desto mehr kann ich."

Epigaph:

Wer merkt es nicht

Er studiert nichts.

Wer studiert nicht

Er jammert immer und langweilt sich.

(Dichter R. Sef).

Die Gleichung ist die einfachste und gebräuchlichste mathematisches Problem. Sie haben einige Erfahrung beim Lösen verschiedener Gleichungen gesammelt, und wir müssen unser Wissen ordnen und die Methoden zum Lösen von nicht standardmäßigen Gleichungen verstehen.

Bei Die Gleichungen selbst sind für das Studium von Interesse. Die frühesten Manuskripte weisen darauf hin Das alte Babylon und Antikes Ägypten Methoden zur Lösung linearer Gleichungen waren bekannt. Quadratische Gleichungen konnten vor etwa 2000 Jahren v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.

Standardtricks und Methoden zum Lösen elementarer algebraischer Gleichungen sind Bestandteil Lösungen aller Arten von Gleichungen..

Im einfachsten Fall zerfällt das Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten in zwei Schritte: Transformieren der Gleichung in die Standardgleichung und Lösen Standardgleichung. Es ist unmöglich, den Prozess des Lösens von Gleichungen vollständig zu algorithmisieren, aber es ist nützlich, sich an die gebräuchlichsten Techniken zu erinnern, die allen Arten von Gleichungen gemeinsam sind. Viele Gleichungen bei Anwendung Nicht-Standard-Tricks viel kürzer und einfacher zu lösen.

Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf sie richten.

(Anhang 2)

Wissensaktualisierung.

Zu Hause bekamen Sie die Aufgabe, das Thema der Gleichung und ihre Lösung zu wiederholen.

Ø Was ist eine Gleichung? ( Eine Gleichung, die eine Variable enthält, wird als Gleichung mit einer Variablen bezeichnet.)

Ø Was ist die Wurzel der Gleichung?(Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung zur korrekten Zahl wird

Gleichberechtigung.)

Ø Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?(Finde alle seine Wurzeln oder beweise, dass es keine Wurzeln gibt.)

Ich schlage vor, Sie lösen einige Gleichungen mündlich:

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0,01 = 0,03

e) x2 = – 25 k) 19 – c2 = 10

Was haben diese Gleichungen gemeinsam?(einzelne Variable, ganze Gleichungen etc.)

Ø Was nennt man eine ganze Gleichung mit einer Variablen? ( Gleichungen, bei denen die linke und die rechte Seite ganze Zahlen sind

Ausdrücke

Ø Welchen Grad hat eine ganze Gleichung?(Der Grad einer äquivalenten Gleichung der Form P(x) = 0, wo P(x)- Polynom

Standard Ansicht)

Ø Wie viele Wurzeln kann eine ganze Gleichung mit einer Variablen haben 2., 3., 4., P Grad(nicht mehr als 2, 3, 4, P)

Kenne ich Methoden zum Lösen ganzzahliger Gleichungen?

Kann ich diese Methoden anwenden?

Kann ich Gleichungen alleine lösen?

Hast du dich während des Unterrichts wohlgefühlt?

6. Auf "3" - Tabelle Nr. 1 + 1 Gleichung aus den restlichen Tabellen.

Auf "4" - Tabellennummer 1 + 1 Gleichung aus zwei beliebigen Tabellen

Auf "5" - Tabelle Nr. 1 + 1 Gleichung von jedem verbleibenden

Tische

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Zusammenfassend:

Ausfüllen der Selbsteinschätzungstabelle

Benotung

Zu Hause: Lösen Sie die restlichen ungelösten Gleichungen aus allen Tabellen.

Wir reden weiter Lösung von Gleichungen. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf rationale Gleichungen und Prinzipien zum Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, welche Art von Gleichungen rational genannt werden, eine Definition von ganzzahligen rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen geben und Beispiele geben. Als nächstes erhalten wir Algorithmen zum Lösen rationaler Gleichungen und betrachten natürlich die Lösungen charakteristische Beispiele mit allen notwendigen Erklärungen.

Seitennavigation.

Basierend auf den erklingenden Definitionen geben wir einige Beispiele für rationale Gleichungen. Beispielsweise sind x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , alle rationale Gleichungen.

Aus den gezeigten Beispielen ist ersichtlich, dass rationale Gleichungen sowie Gleichungen anderer Art entweder mit einer Variablen oder mit zwei, drei usw. Variablen. In den folgenden Abschnitten werden wir über das Lösen rationaler Gleichungen in einer Variablen sprechen. Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen und sie eine große Anzahl verdienen besondere Aufmerksamkeit.

Neben der Division rationaler Gleichungen durch die Anzahl der unbekannten Variablen werden sie auch in ganzzahlige und gebrochene Gleichungen unterteilt. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Definition.

Die rationale Gleichung wird aufgerufen ganz, wenn sowohl der linke als auch der rechte Teil ganzzahlige rationale Ausdrücke sind.

Definition.

Wenn mindestens einer der Teile einer rationalen Gleichung ist gebrochener Ausdruck, dann heißt diese Gleichung teilweise rational(oder gebrochen rational).

Es ist klar, dass ganzzahlige Gleichungen keine Division durch eine Variable enthalten, im Gegenteil, gebrochene rationale Gleichungen enthalten notwendigerweise eine Division durch eine Variable (oder eine Variable im Nenner). Also 3 x+2=0 und (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 sind ganze rationale Gleichungen, ihre beiden Teile sind ganzzahlige Ausdrücke. A und x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sind Beispiele für gebrochen rationale Gleichungen.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Absatzes darauf achten, dass lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen, die zu diesem Zeitpunkt bekannt sind, ganze rationale Gleichungen sind.

Ganze Gleichungen lösen

Einer der Hauptansätze zum Lösen ganzer Gleichungen ist ihre Reduktion auf Äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann immer durch Ausführen der folgenden äquivalenten Transformationen der Gleichung erfolgen:

Zunächst wird der Ausdruck von der rechten Seite der ursprünglichen Ganzzahlgleichung mit auf die linke Seite übertragen entgegengesetztem Vorzeichen Null auf der rechten Seite erhalten;
danach auf der linken Seite der Gleichung die resultierende Standardform.

Das Ergebnis ist eine algebraische Gleichung, die der ursprünglichen Gesamtgleichung entspricht. Also am meisten einfache Fälle Das Lösen ganzer Gleichungen wird auf das Lösen linearer oder quadratischer Gleichungen reduziert, und in Allgemeiner Fall- zu einer Entscheidung algebraische Gleichung Grad n. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Lösung des Beispiels analysieren.

Beispiel.

Finde die Wurzeln der ganzen Gleichung 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Lösung.

Reduzieren wir die Lösung dieser ganzen Gleichung auf die Lösung einer äquivalenten algebraischen Gleichung. Dazu übertragen wir zunächst den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke, als Ergebnis kommen wir zur Gleichung 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Und zweitens wandeln wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck in ein Polynom der Standardform um, indem wir das Notwendige tun: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Somit reduziert sich die Lösung der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung auf die Lösung quadratische Gleichung x2 −5 x−6=0 .

Berechnen Sie ihre Diskriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, sie ist positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat, die wir durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden:

Um ganz sicher zu sein, lass es uns tun Überprüfung der gefundenen Wurzeln der Gleichung. Zuerst überprüfen wir die Wurzel 6 und ersetzen sie anstelle der Variablen x in der ursprünglichen Ganzzahlgleichung: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, was dasselbe ist, 63=63 . Dies ist eine gültige numerische Gleichung, also ist x=6 tatsächlich die Wurzel der Gleichung. Jetzt prüfen wir die Wurzel −1 , wir haben 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, womit 0=0 . Für x=−1 wurde die ursprüngliche Gleichung auch zu einer echten numerischen Gleichheit, daher ist x=−1 auch die Wurzel der Gleichung.

Antworten:

6 , −1 .

An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass der Begriff „Potenz einer ganzen Gleichung“ mit der Darstellung einer ganzen Gleichung in Form einer algebraischen Gleichung verbunden ist. Wir geben die entsprechende Definition:

Definition.

Der Grad der gesamten Gleichung nennen wir den Grad einer algebraischen Gleichung, der ihr äquivalent ist.

Nach dieser Definition hat die gesamte Gleichung aus dem vorherigen Beispiel den zweiten Grad.

Darauf könnte man mit der Lösung ganzer rationaler Gleichungen abschließen, wenn nicht für eine, aber .... Die Lösung von algebraischen Gleichungen höheren Grades als dem zweiten ist bekanntlich mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, und für Gleichungen höheren Grades als dem vierten gibt es solche Gleichungen überhaupt nicht. allgemeine Formeln Wurzeln. Daher, um ganze Gleichungen der dritten, vierten und mehr zu lösen hohe Abschlüsse oft auf andere Lösungsansätze zurückgreifen müssen.

In solchen Fällen basiert manchmal der Ansatz auf der Lösung ganzer rationaler Gleichungen Faktorisierungsmethode. Dabei wird folgender Algorithmus befolgt:

zuerst versuchen sie, Null auf der rechten Seite der Gleichung zu haben, dazu übertragen sie den Ausdruck von der rechten Seite der gesamten Gleichung auf die linke;
dann wird der resultierende Ausdruck auf der linken Seite als Produkt mehrerer Faktoren dargestellt, wodurch Sie zu einem Satz mehrerer einfacherer Gleichungen gelangen können.

Der obige Algorithmus zur Lösung der gesamten Gleichung durch Faktorisierung bedarf einer ausführlichen Erläuterung anhand eines Beispiels.

Beispiel.

Löse die ganze Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Lösung.

Zuerst übertragen wir wie üblich den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite der Gleichung, ohne zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern, erhalten wir (x 2 – 1) (x 2 – 10 x+13) – 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Es ist hier ganz offensichtlich, dass es nicht ratsam ist, die linke Seite der resultierenden Gleichung in ein Polynom der Standardform umzuwandeln, da dies eine algebraische Gleichung vierten Grades der Form ergibt x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, deren Lösung schwierig ist.

Andererseits ist es offensichtlich, dass x 2 −10·x+13 auf der linken Seite der resultierenden Gleichung zu finden ist und somit als Produkt dargestellt wird. Wir haben (x 2 – 10 x + 13) (x 2 – 2 x – 1) = 0. Die resultierende Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen Gesamtgleichung und kann wiederum durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 – 10·x + 13 = 0 und x 2 – 2·x – 1 = 0 ersetzt werden. Ihre Wurzeln finden bekannte Formeln Wurzeln durch die Diskriminante ist nicht schwierig, die Wurzeln sind gleich. Sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:

Es ist auch nützlich, um ganze rationale Gleichungen zu lösen. Methode zur Einführung einer neuen Variablen. In einigen Fällen ermöglicht es einen, zu Gleichungen überzugehen, deren Grad niedriger ist als der Grad der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung.

Beispiel.

Finden echte Wurzeln rationale gleichung (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Lösung.

Diese ganze rationale Gleichung auf eine algebraische Gleichung zu reduzieren, ist, gelinde gesagt, keine sehr gute Idee, da wir in diesem Fall auf die Notwendigkeit stoßen werden, eine Gleichung vierten Grades zu lösen, die keine hat rationale Wurzeln. Daher müssen Sie nach einer anderen Lösung suchen.

Hier sieht man leicht, dass man eine neue Variable y einführen und den Ausdruck x 2 +3 x damit ersetzen kann. Eine solche Ersetzung führt uns auf die gesamte Gleichung (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , die nach Übertragung des Ausdrucks −2 (y−4) auf die linke Seite und anschließender Transformation des dort gebildeten Ausdrucks entsteht , reduziert sich auf die Gleichung y 2 +4 y+3=0 . Die Nullstellen dieser Gleichung y=−1 und y=−3 sind leicht zu finden, sie können zum Beispiel basierend auf dem inversen Theorem von Vietas Theorem gefunden werden.

Kommen wir nun zum zweiten Teil der Methode zur Einführung einer neuen Variablen, also zur Durchführung einer umgekehrten Substitution. Nach Durchführung der umgekehrten Substitution erhalten wir zwei Gleichungen x 2 +3 x=−1 und x 2 +3 x=−3 , die umgeschrieben werden können als x 2 +3 x+1=0 und x 2 +3 x+3 =0 . Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir die Wurzeln der ersten Gleichung. Und die zweite quadratische Gleichung hat nicht echte Wurzeln, da ihre Diskriminante negativ ist (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Antworten:

Im Allgemeinen sollten wir, wenn wir es mit ganzzahligen Gleichungen hoher Ordnung zu tun haben, immer bereit sein, nach einer nicht standardmäßigen Methode zu suchen oder künstlicher Empfang für ihre Lösung.

Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen

Zunächst ist es hilfreich zu verstehen, wie man gebrochen rationale Gleichungen der Form löst, wobei p(x) und q(x) rationale ganzzahlige Ausdrücke sind. Und dann zeigen wir, wie man die Lösung der verbleibenden gebrochen rationalen Gleichungen auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form reduziert.

Einer der Ansätze zur Lösung der Gleichung basiert auf die folgende Aussage: Fraktion u/v , wobei v eine Zahl ungleich Null ist (andernfalls werden wir auf , das nicht definiert ist, stoßen), genau dann Null ist, wenn sein Zähler Null, also genau dann, wenn u=0 . Aufgrund dieser Aussage reduziert sich die Lösung der Gleichung auf die Erfüllung zweier Bedingungen p(x)=0 und q(x)≠0 .

Diese Schlussfolgerung stimmt mit der folgenden überein Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Gleichung. Einen Bruch lösen rationale gleichung nett, man muss

löse die ganze rationale Gleichung p(x)=0 ;
und prüfen, ob die Bedingung q(x)≠0 für jede gefundene Nullstelle erfüllt ist, while

wenn wahr, dann ist diese Wurzel die Wurzel der ursprünglichen Gleichung;
Wenn nicht, dann ist diese Wurzel fremd, das heißt, sie ist nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Analysieren wir ein Beispiel für die Verwendung des stimmhaften Algorithmus beim Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Lösung.

Dies ist eine gebrochen rationale Gleichung der Form , wobei p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Gemäß dem Algorithmus zum Lösen derartiger gebrochen rationaler Gleichungen müssen wir zunächst die Gleichung 3·x−2=0 lösen. Dies ist eine lineare Gleichung, deren Wurzel x=2/3 ist.

Es bleibt, diese Nullstelle zu prüfen, dh zu prüfen, ob sie die Bedingung 5·x 2 −2≠0 erfüllt. Wir setzen die Zahl 2/3 anstelle von x in den Ausdruck 5 x 2 −2 ein, wir erhalten . Die Bedingung ist erfüllt, also ist x=2/3 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:

2/3 .

Die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung kann von einer etwas anderen Position aus angegangen werden. Diese Gleichung ist äquivalent zur gesamten Gleichung p(x)=0 auf der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Das heißt, Sie können dem folgen Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Gleichung :

löse die Gleichung p(x)=0 ;
finde ODZ-Variable x ;
Nehmen Sie die Wurzeln, die zum Gebiet gehören zulässige Werte, - sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Lassen Sie uns zum Beispiel eine gebrochene rationale Gleichung mit diesem Algorithmus lösen.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Zuerst lösen wir die quadratische Gleichung x 2 −2·x−11=0 . Seine Wurzeln können mit der Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten berechnet werden, wir haben D 1 = (–1) 2 –1 (–11)=12, und .

Zweitens finden wir die ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung. Sie besteht aus allen Zahlen, für die x 2 +3 x≠0 , was dasselbe x (x+3)≠0 ist, womit x≠0 , x≠−3 .

Es bleibt zu prüfen, ob die im ersten Schritt gefundenen Wurzeln in der ODZ enthalten sind. Natürlich ja. Daher hat die ursprüngliche gebrochen rationale Gleichung zwei Wurzeln.

Antworten:

Beachten Sie, dass dieser Ansatz rentabler ist als der erste, wenn die ODZ leicht zu finden ist, und dass er besonders vorteilhaft ist, wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational sind, z. B. , oder rational, aber mit einem ziemlich großen Zähler und/oder Nenner, zum Beispiel 127/1101 und -31/59 . Dies liegt daran, dass in solchen Fällen die Überprüfung der Bedingung q(x)≠0 erheblichen Rechenaufwand erfordert und es einfacher ist, fremde Wurzeln aus der ODZ auszuschließen.

In anderen Fällen ist es beim Lösen der Gleichung, insbesondere wenn die Wurzeln der Gleichung p(x) = 0 ganze Zahlen sind, vorteilhafter, den ersten der obigen Algorithmen zu verwenden. Das heißt, es ist ratsam, sofort die Wurzeln der gesamten Gleichung p(x)=0 zu finden und dann zu prüfen, ob die Bedingung q(x)≠0 für sie erfüllt ist, und nicht die ODZ zu finden und dann die Gleichung zu lösen p(x)=0 auf dieser ODZ . Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.

Betrachten Sie die Lösung von zwei Beispielen, um die festgelegten Nuancen zu veranschaulichen.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Lösung.

Zuerst finden wir die Wurzeln der ganzen Gleichung (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zusammengesetzt aus dem Zähler des Bruchs. Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Produkt und die rechte Seite ist Null, daher ist diese Gleichung gemäß der Methode zum Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung äquivalent zu dem Satz von vier Gleichungen 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Drei dieser Gleichungen sind linear und eine quadratisch, wir können sie lösen. Aus der ersten Gleichung finden wir x=1/2, aus der zweiten - x=6, aus der dritten - x=7, x=−2, aus der vierten - x=−1.

Mit den gefundenen Wurzeln ist es ziemlich einfach, sie zu überprüfen, um zu sehen, ob der Nenner des Bruchs, der sich auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung befindet, nicht verschwindet, und es ist nicht so einfach, die ODZ zu bestimmen, da diese gelöst werden muss eine algebraische Gleichung fünften Grades. Daher werden wir uns weigern, die ODZ zu finden, um die Wurzeln zu überprüfen. Dazu ersetzen wir sie wiederum anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, erhalten nach Substitution, und vergleiche sie mit Null: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (–2)+112=–720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Somit sind 1/2, 6 und –2 die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung, und 7 und –1 sind fremde Wurzeln.

Antworten:

1/2 , 6 , −2 .

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln einer gebrochenen rationalen Gleichung.

Lösung.

Zuerst finden wir die Wurzeln der Gleichung (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Diese Gleichung ist äquivalent zu einem Satz von zwei Gleichungen: dem Quadrat 5·x 2 −7·x−1=0 und dem linearen x−2=0 . Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir zwei Wurzeln und aus der zweiten Gleichung haben wir x=2.

Zu prüfen, ob der Nenner bei den gefundenen Werten von x nicht verschwindet, ist eher unangenehm. Und den Bereich akzeptabler Werte der Variablen x in der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen, ist ziemlich einfach. Daher werden wir über die ODZ agieren.

In unserem Fall von ODZ die Variable x der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung besteht aus allen Zahlen, außer denen, für die die Bedingung x 2 +5·x−14=0 erfüllt ist. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind x=−7 und x=2, woraus wir auf die ODZ schließen: Sie besteht aus allen x, so dass .

Es bleibt zu prüfen, ob die gefundenen Nullstellen und x=2 in den Bereich zulässiger Werte gehören. Die Wurzeln - gehören dazu, also sind sie die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2 gehört nicht dazu, also ist es eine fremde Wurzel.

Antworten:

Es wird auch nützlich sein, separat auf Fälle einzugehen, in denen eine rationale Bruchgleichung der Form eine Zahl im Zähler enthält, dh wenn p (x) durch eine Zahl dargestellt wird. Dabei

wenn diese Zahl von Null verschieden ist, dann hat die Gleichung keine Wurzeln, da der Bruch genau dann Null ist, wenn sein Zähler Null ist;
Wenn diese Zahl Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.

Beispiel.

Lösung.

Da im Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null steht, kann für kein x der Wert dieses Bruchs gleich Null sein. Folglich, gegebene Gleichung hat keine Wurzeln.

Antworten:

Keine Wurzeln.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Der Zähler des Bruchs auf der linken Seite dieser rationalen Bruchgleichung ist null, also ist der Wert dieses Bruchs null für jedes x, für das es Sinn macht. Mit anderen Worten, die Lösung dieser Gleichung ist ein beliebiger Wert von x aus dem DPV dieser Variablen.

Es bleibt, diesen Bereich akzeptabler Werte zu bestimmen. Es enthält alle solche Werte x, für die x 4 +5 x 3 ≠0. Die Lösungen der Gleichung x 4 +5 x 3 \u003d 0 sind 0 und –5, da diese Gleichung der Gleichung x 3 (x + 5) \u003d 0 entspricht und ihrerseits der Kombination entspricht von zwei Gleichungen x 3 \u003d 0 und x +5=0 , von wo aus diese Wurzeln sichtbar sind. Daher ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte jedes x , mit Ausnahme von x=0 und x=−5 .

Somit hat eine gebrochen rationale Gleichung unendlich viele Lösungen, die beliebige Zahlen außer null und minus fünf sind.

Antworten:

Schließlich ist es an der Zeit, über das Lösen beliebiger gebrochener rationaler Gleichungen zu sprechen. Sie können als r(x)=s(x) geschrieben werden, wobei r(x) und s(x) rationale Ausdrücke sind und mindestens einer von ihnen gebrochen ist. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir, dass ihre Lösung auf das Lösen von Gleichungen der uns bereits bekannten Form reduziert ist.

Es ist bekannt, dass die Übertragung eines Terms von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen zu einer äquivalenten Gleichung führt, also ist die Gleichung r(x)=s(x) äquivalent zur Gleichung r(x)−s (x)=0 .

Wir wissen auch, dass any diesem Ausdruck identisch sein kann. Auf diese Weise, rationaler Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung r(x)−s(x)=0 können wir immer in einen identisch gleichen rationalen Bruch der Form überführen.

Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung r(x)=s(x) zur Gleichung über, und ihre Lösung, wie wir oben herausgefunden haben, reduziert sich auf die Lösung der Gleichung p(x)=0 .

Aber hier muss berücksichtigt werden, dass beim Ersetzen von r(x)−s(x)=0 durch und dann durch p(x)=0 der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x erweitert werden kann .

Daher sind die ursprüngliche Gleichung r(x)=s(x) und die Gleichung p(x)=0 , zu der wir gekommen sind, möglicherweise nicht äquivalent, und durch Lösen der Gleichung p(x)=0 können wir Wurzeln erhalten das sind fremde Wurzeln der ursprünglichen Gleichung r(x)=s(x) . Es ist möglich, fremde Wurzeln zu identifizieren und nicht in die Antwort aufzunehmen, entweder durch Überprüfen oder durch Überprüfen ihrer Zugehörigkeit zur ODZ der ursprünglichen Gleichung.

Wir fassen diese Informationen in zusammen Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung r(x)=s(x). Um die gebrochene rationale Gleichung r(x)=s(x) zu lösen, muss man

Erhalten Sie Null auf der rechten Seite, indem Sie den Ausdruck von der rechten Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen verschieben.
Führen Sie Aktionen mit Brüchen und Polynomen auf der linken Seite der Gleichung aus und wandeln Sie sie dadurch in einen rationalen Bruch der Form um.
Lösen Sie die Gleichung p(x)=0 .
Identifizieren und schließen Sie Fremdwurzeln aus, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen oder ihre Zugehörigkeit zur ODZ der ursprünglichen Gleichung überprüfen.

Zur besseren Übersicht zeigen wir die gesamte Lösungskette für gebrochene rationale Gleichungen:
.

Lassen Sie uns die Lösungen einiger Beispiele mit einer detaillierten Erklärung der Lösung durchgehen, um den gegebenen Informationsblock zu verdeutlichen.

Beispiel.

Lösen Sie eine gebrochene rationale Gleichung.

Lösung.

Wir werden gemäß dem soeben erhaltenen Lösungsalgorithmus handeln. Und zuerst übertragen wir die Terme von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite, als Ergebnis gehen wir zur Gleichung über.

Im zweiten Schritt müssen wir den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der resultierenden Gleichung in die Form eines Bruchs umwandeln. Dazu führen wir die Reduktion von rationalen Brüchen auf durch gemeinsamer Nenner und vereinfachen Sie den resultierenden Ausdruck: . Damit kommen wir zur Gleichung.

Auf der nächster Schritt wir müssen die Gleichung −2 x−1=0 lösen. Finde x=−1/2 .

Es bleibt zu prüfen, ob die gefundene Zahl −1/2 eine Fremdwurzel der ursprünglichen Gleichung ist. Dazu können Sie die ODZ-Variable x der ursprünglichen Gleichung überprüfen oder finden. Lassen Sie uns beide Ansätze demonstrieren.

Beginnen wir mit einem Scheck. Wir setzen die Zahl −1/2 anstelle der Variablen x in die ursprüngliche Gleichung ein, wir erhalten , was dasselbe ist, −1=−1. Die Substitution ergibt die korrekte numerische Gleichheit, daher ist x=−1/2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Nun zeigen wir, wie der letzte Schritt des Algorithmus durch die ODZ durchgeführt wird. Der Bereich der zulässigen Werte der ursprünglichen Gleichung ist die Menge aller Zahlen außer −1 und 0 (wenn x=−1 und x=0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die im vorherigen Schritt gefundene Wurzel x=−1/2 gehört zur ODZ, daher ist x=−1/2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:

−1/2 .

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Lösung.

Wir müssen eine gebrochen rationale Gleichung lösen, gehen wir alle Schritte des Algorithmus durch.

Zuerst übertragen wir den Term von der rechten Seite auf die linke, wir erhalten .

Zweitens transformieren wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck: . Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x=0 .

Seine Wurzel ist offensichtlich - es ist Null.

Im vierten Schritt bleibt herauszufinden, ob die gefundene Wurzel nicht außerhalb der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung liegt. Wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, wird der Ausdruck erhalten. Offensichtlich macht es keinen Sinn, da es eine Division durch Null enthält. Daraus schließen wir, dass 0 eine fremde Wurzel ist. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.

7 , was zu der Gleichung führt . Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem der rechten Seite sein muss, also . Nun subtrahieren wir von beiden Teilen des Tripels: . Analog von wo und weiter.

Die Überprüfung zeigt, dass beide gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung sind.

Antworten:

Referenzliste.

Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14.00 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkowitsch. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Thema der Lektion: "Die ganze Gleichung und ihre Wurzeln."

Ziele:

lehrreich:

Überlegen Sie, wie Sie die gesamte Gleichung durch Faktorisierung lösen können.

Entwicklung:

lehrreich:

Klasse: 9

Lehrbuch: Algebra. Klasse 9: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / [Yu.N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suworow]; ed. S.A. Teljakowski - 16. Aufl. - M.: Aufklärung, 2010

Ausrüstung: Computer mit Beamer, Präsentation "Gesamte Gleichungen"

Während des Unterrichts:

Zeit organisieren.

Sehen Sie sich das Video „Alles liegt in Ihren Händen“ an.

Es gibt Momente im Leben, in denen die Hände fallen und es scheint, als würde nichts klappen. Dann erinnere dich an die Worte des Weisen „Alles liegt in deiner Hand“ und lass diese Worte das Motto unserer Lektion sein.

Mündliche Arbeit.

2x + 6 \u003d 10, 14x \u003d 7, x 2 - 16 \u003d 0, x - 3 \u003d 5 + 2x, x 2 \u003d 0,

Die Botschaft des Unterrichtsthemas, Ziele.

Heute lernen wir eine neue Art von Gleichungen kennen - das sind ganzzahlige Gleichungen. Lassen Sie uns lernen, wie man sie löst.

Notieren Sie die Nummer in Ihrem Heft Klassenarbeiten und das Thema der Lektion: "Die ganze Gleichung, ihre Wurzeln."

2. Aktualisierung des Grundwissens.

Löse die Gleichung:

Antworten: a) x = 0; b) x \u003d 5/3; c) x = -, ; d) x = 1/6; - 1/6; e) es gibt keine Wurzeln; f) x = 0; 5; - 5; g) 0; eines; -2; h)0; eines; - eines; i) 0,2; - 0,2; j) -3; 3.

3. Bildung neuer Konzepte.

Interview mit Studierenden:

Was ist eine Gleichung? (Gleichheit mit unbekannter Zahl)

Welche Arten von Gleichungen kennst du? (linear, quadratisch)

3. Wie viele Wurzeln kann eine lineare Gleichung haben?) (eine, viele und keine Wurzeln)

4. Wie viele Wurzeln kann eine quadratische Gleichung haben?

Wovon hängt die Anzahl der Wurzeln ab? (von Diskriminant)

In welchem Fall hat eine quadratische Gleichung 2 Wurzeln? (D0)

Wann hat eine quadratische Gleichung 1 Wurzel? (D=0)

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Wurzeln? (D0)

Ganze Gleichung ist eine Gleichung linke und rechte Seite, die ein ganzzahliger Ausdruck ist. (vorlesen).

Aus den betrachteten linearen und quadratischen Gleichungen sehen wir, dass die Anzahl der Wurzeln nicht größer ist als ihr Grad.

Glaubst du, es ist möglich, die Anzahl seiner Wurzeln zu bestimmen, ohne die Gleichung zu lösen? (mögliche Antworten von Kindern)

Machen wir uns mit der Regel zur Bestimmung des Grades einer ganzen Gleichung vertraut?

Wenn eine Gleichung mit einer Variablen als P(x)=0 geschrieben wird, wobei P(x) ein Polynom der Standardform ist, dann wird der Grad dieses Polynoms als Grad der Gleichung bezeichnet. Der Grad einer beliebigen ganzzahligen Gleichung ist der Grad einer äquivalenten Gleichung der Form P(x) = 0, wobei P(x) ein Polynom der Standardform ist.

Die gleichungn oh Grad hat nicht mehrn Wurzeln.

Die ganze Gleichung kann auf verschiedene Arten gelöst werden:

Möglichkeiten, ganze Gleichungen zu lösen

Faktorisierung grafische Einführung eines neuen

Variable

(Schreiben Sie das Diagramm in ein Notizbuch)

Heute betrachten wir eine davon: Faktorisierung am Beispiel der folgenden Gleichung: x 3 - 8x 2 - x + 8 = 0. (Der Lehrer erklärt an der Tafel, die Schüler schreiben die Lösung der Gleichung in ein Notizbuch)

Wie heißt ein Faktorisierungsverfahren, mit dem die linke Seite einer Gleichung faktorisiert werden kann? (Gruppierungsmethode). Zerlegen wir die linke Seite der Gleichung in Faktoren und gruppieren wir dazu die Terme auf der linken Seite der Gleichung.

Wann ist das Produkt der Faktoren gleich Null? (wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist). Wir setzen jeden Faktor der Gleichung gleich Null.

Lassen Sie uns die erhaltenen Gleichungen lösen

Wie viele Wurzeln haben wir? (Notizbucheintrag)

x 2 (x - 8) - (x - 8) \u003d 0

(x - 8) (x 2 - 1) = 0

(x - 8) (x - 1) (x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Antwort: 8; eines; -eines.

4. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten. Praktischer Teil.

Arbeit nach Lehrbuch Nr. 265 (Eintrag ins Heft)

Welchen Grad hat die Gleichung und wie viele Wurzeln hat jede der Gleichungen:

Antworten: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(Lösung an der Tafel mit Erklärung)

Löse die Gleichung:

5. Das Ergebnis der Lektion:

Verankerung theoretischer Stoff:

Welche Gleichung mit einer Variablen heißt ganze Zahl? Gib ein Beispiel.

Wie findet man den Grad einer ganzen Gleichung? Wie viele Wurzeln hat eine Gleichung mit einer Variablen ersten, zweiten Grades, n-ten Grades?

6. Reflexion

Bewerten Sie Ihre Arbeit. Hebe deine Hand, wer...

1) hat das Thema perfekt verstanden

2) das Thema gut verstanden

während ich Probleme habe

7.Hausaufgaben:

S.12 (S. 75-77 Beispiel 1) Nr. 267 (a, b).

"Studenten-Checkliste"

Schülerkontrollbogen

Phasen der Arbeit

Klasse

Gesamt

Verbale Zählung

Löse die Gleichung

Lösen quadratischer Gleichungen

Lösung kubischer Gleichungen

Schülerkontrollbogen

Klasse______ Nachname Vorname _____

Phasen der Arbeit

Klasse

Gesamt

Verbale Zählung

Löse die Gleichung

Was ist der Grad der bekannten Gleichungen

Lösen quadratischer Gleichungen

Lösung kubischer Gleichungen

Schülerkontrollbogen

Klasse______ Nachname Vorname _____

Phasen der Arbeit

Klasse

Gesamt

Verbale Zählung

Löse die Gleichung

Was ist der Grad der bekannten Gleichungen

Lösen quadratischer Gleichungen

Lösung kubischer Gleichungen

Dokumentinhalt anzeigen
"Handzettel"

1. Lösen Sie die Gleichungen:

a) x 2 = 0 e) x 3 - 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 - 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 – 5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 \u003d 1/36 i) x 2 -0,01 \u003d 0,03
e) x 2 \u003d - 25 k) 19 - c 2 \u003d 10

3. Lösen Sie die Gleichungen:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Lösen Sie die Gleichungen:

I Option II Option III Option

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"Prüfung"

Hallo! Nun wird Ihnen ein Mathetest mit 4 Fragen angeboten. Klicken Sie auf die Schaltflächen auf dem Bildschirm unter den Fragen, die Ihrer Meinung nach die richtige Antwort haben. Klicken Sie auf die Schaltfläche Weiter, um mit dem Testen zu beginnen. Viel Erfolg!

1. Lösen Sie die Gleichung:

3x + 6 = 0

Richtig

Keine Antwort

Wurzeln

Richtig

Keine Antwort

Wurzeln

4. Lösen Sie die Gleichung: 0 x = - 4

Wurzeln

Viel

Wurzeln

Präsentationsinhalte anzeigen
"eines"

Löse die Gleichung:

MÜNDLICHE ARBEIT

Ziele:

lehrreich:

Informationen über Gleichungen verallgemeinern und vertiefen; Einführung in das Konzept einer ganzen Gleichung und ihres Grades, ihrer Wurzeln; Überlegen Sie, wie Sie die gesamte Gleichung durch Faktorisierung lösen können.
Informationen über Gleichungen verallgemeinern und vertiefen;
Einführung in das Konzept einer ganzen Gleichung und ihres Grades, ihrer Wurzeln;
Überlegen Sie, wie Sie die gesamte Gleichung durch Faktorisierung lösen können.

Entwicklung:

Entwicklung mathematischer und allgemeiner Perspektiven, logisches Denken, die Fähigkeit zu analysieren, eine Schlussfolgerung zu ziehen;
Entwicklung mathematischer und allgemeiner Ansichten, logischen Denkens, der Fähigkeit zu analysieren, Schlussfolgerungen zu ziehen;

lehrreich:

Unabhängigkeit, Klarheit und Genauigkeit im Handeln zu kultivieren.
Unabhängigkeit, Klarheit und Genauigkeit im Handeln zu kultivieren.

Psychologische Einstellung

Wir verallgemeinern und vertiefen weiterhin Informationen über Gleichungen;
sich mit dem Konzept der gesamten Gleichung vertraut machen,

mit dem Begriff des Grades einer Gleichung;

wir bilden die Fähigkeiten zum Lösen von Gleichungen aus;
den Grad der Assimilation des Materials kontrollieren;
Im Unterricht können wir Fehler machen, zweifeln, konsultieren.
Jeder Schüler entscheidet selbst.

Welche Gleichungen heißen ganze Zahlen?
Was ist der Grad einer Gleichung?
Wie viele Wurzeln hat nte Gleichung Grad?
Methoden zum Lösen von Gleichungen ersten, zweiten und dritten Grades.

Unterrichtsplan

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0 c) x 2 –5 = 0 h) x 4 - x 2 = 0 d) x 2 = 1/36 u) x 2 –0,01 = 0,03 ex 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Lösen Sie die Gleichungen:

Zum Beispiel:

X²=x³-2(x-1)

Gleichungen

Wenn eine Gleichung mit einer Variablen

im Formular geschrieben

P(x) = 0, wobei P(x) ein Polynom der Standardform ist,

dann heißt der Grad dieses Polynoms

Grad dieser Gleichung

2x³+2x-1=0 (5. Potenz)

14x²-3=0 (4. Grad)

Zum Beispiel:

Wie hoch ist der Bekanntheitsgrad uns Gleichungen?

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 – 5 = 0 h) x 4 - x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 u) x 2 – 0,01 = 0,03
ex 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Lösen Sie die Gleichungen:

2 ∙x + 5 =15
0 x = 7

Wie viele Wurzeln darf eine Gradgleichung I haben?

Nicht mehr als eine!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 keine Wurzeln x=6. Wie viele Wurzeln kann eine Gleichung vom Grad I (Quadrat) haben? Nicht mehr als zwei!" width="640"

Lösen Sie die Gleichungen:

x 2 -5x+6=0 2 -4y+7=0x 2 -12x+36=0
D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 keine Wurzeln x=6.

Wie viele Wurzeln kann eine Gleichung vom Grad I haben? (Quadrat) ?

Nicht mehr als zwei!

Lösen Sie die Gleichungen:

I Option II Option III Option

x 3 -1=0x 3 -4x=0x 3 -12x 2 +36x=0

x 3 =1x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 Wurzel 3 Wurzeln 2 Wurzeln

Wie viele Wurzeln kann eine Gleichung vom Grad I I I haben?

Nicht mehr als drei!

Wie viele Wurzeln kann die Gleichung deiner Meinung nach haben?

IV, V, VI, VII, n th Grad?

Nicht mehr als vier, fünf, sechs, sieben Wurzeln!

Generell nicht mehr n Wurzeln!

ax²+bx+c=0

Quadratische Gleichung

ax+b=0

Lineare Gleichung

Keine Wurzeln

eine Wurzel

Wir erweitern die linke Seite der Gleichung

für Multiplikatoren:

x²(x-8)-(x-8)=0

Antwort:=1,=-1.

Gleichung des dritten Grades der Form: ax³+bx²+cx+d=0

Durch Factoring

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und geben

wie Begriffe

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Antwort: x=-2

Machen wir uns mit rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen vertraut, geben ihre Definition, geben Beispiele und analysieren auch die häufigsten Arten von Problemen.

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Rationale Gleichung: Definition und Beispiele

Die Bekanntschaft mit rationalen Ausdrücken beginnt in der 8. Klasse der Schule. Zu dieser Zeit beginnen die Schüler im Algebraunterricht zunehmend, Aufgaben mit Gleichungen zu lösen, die rationale Ausdrücke in ihren Notizen enthalten. Lassen Sie uns unsere Erinnerung an das, was es ist, auffrischen.

Bestimmung 1

rationale gleichung ist eine Gleichung, in der beide Seiten rationale Ausdrücke enthalten.

In diversen Handbüchern findet man eine andere Formulierung.

Bestimmung 2

rationale gleichung- Dies ist eine Gleichung, deren Datensatz auf der linken Seite einen rationalen Ausdruck enthält und der rechte Null enthält.

Die Definitionen, die wir für rationale Gleichungen gegeben haben, sind äquivalent, da sie dasselbe bedeuten. Die Richtigkeit unserer Worte wird durch die Tatsache bestätigt, dass für alle rationalen Ausdrücke P und Q Gleichungen P=Q und P-Q = 0 werden äquivalente Ausdrücke sein.

Wenden wir uns nun den Beispielen zu.

Beispiel 1

Rationale Gleichungen:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationale Gleichungen können, genau wie Gleichungen anderer Art, eine beliebige Anzahl von Variablen von 1 bis zu mehreren enthalten. Zunächst werden wir überlegen einfache Beispiele, in der die Gleichungen nur eine Variable enthalten. Und dann fangen wir an, die Aufgabe allmählich zu verkomplizieren.

Rationale Gleichungen werden in zwei Teile geteilt große Gruppen: ganz und gebrochen. Mal sehen, welche Gleichungen für jede der Gruppen gelten.

Bestimmung 3

Eine rationale Gleichung ist eine ganze Zahl, wenn der Datensatz ihres linken und rechten Teils ganze rationale Ausdrücke enthält.

Bestimmung 4

Eine rationale Gleichung ist gebrochen, wenn einer oder beide ihrer Teile einen Bruch enthalten.

Bruchrationale Gleichungen enthalten zwangsläufig eine Division durch eine Variable, oder die Variable steht im Nenner. Beim Schreiben ganzzahliger Gleichungen gibt es keine solche Unterteilung.

Beispiel 2

3 x + 2 = 0 und (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sind ganze rationale Gleichungen. Hier werden beide Teile der Gleichung durch ganzzahlige Ausdrücke dargestellt.

1 x - 1 = x 3 und x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sind gebrochen rationale Gleichungen.

Ganze rationale Gleichungen umfassen lineare und quadratische Gleichungen.

Ganze Gleichungen lösen

Die Lösung solcher Gleichungen reduziert sich normalerweise auf ihre Transformation in äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann erreicht werden, indem äquivalente Transformationen der Gleichungen gemäß dem folgenden Algorithmus durchgeführt werden:

zuerst erhalten wir Null auf der rechten Seite der Gleichung, dazu ist es notwendig, den Ausdruck, der sich auf der rechten Seite der Gleichung befindet, auf die linke Seite zu übertragen und das Vorzeichen zu ändern;
dann wandeln wir den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in ein Standardpolynom um.

Wir müssen eine algebraische Gleichung erhalten. Diese Gleichung wird in Bezug auf die ursprüngliche Gleichung äquivalent sein. Einfache Fälle ermöglichen es uns, das Problem zu lösen, indem wir die gesamte Gleichung auf eine lineare oder quadratische reduzieren. Im allgemeinen Fall lösen wir eine algebraische Gradgleichung n.

Beispiel 3

Es ist notwendig, die Wurzeln der gesamten Gleichung zu finden 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Lösung

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck umformen, um eine äquivalente algebraische Gleichung zu erhalten. Dazu übertragen wir den auf der rechten Seite der Gleichung enthaltenen Ausdruck auf die linke Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil. Als Ergebnis erhalten wir: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Jetzt werden wir den Ausdruck auf der linken Seite in ein Polynom der Standardform umwandeln und ausführen notwendige Maßnahmen mit diesem Polynom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Wir haben es geschafft, die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form zu reduzieren x 2 − 5 x − 6 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Dies bedeutet, dass es zwei echte Wurzeln geben wird. Finden wir sie mit der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 oder x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 oder x 2 = - 1

Überprüfen wir die Richtigkeit der Wurzeln der Gleichung, die wir im Zuge der Lösung gefunden haben. Für diese Zahl, die wir erhalten haben, setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 und 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Im ersten Fall 63 = 63 , in dieser Sekunde 0 = 0 . Wurzeln x=6 und x = − 1 sind tatsächlich die Wurzeln der in der Beispielbedingung angegebenen Gleichung.

Antworten: 6 , − 1 .

Schauen wir uns an, was „Macht der gesamten Gleichung“ bedeutet. Wir begegnen diesem Begriff oft dann, wenn wir eine ganze Gleichung in Form einer algebraischen darstellen müssen. Lassen Sie uns das Konzept definieren.

Bestimmung 5

Grad einer ganzzahligen Gleichung ist der Grad einer algebraischen Gleichung, die der ursprünglichen ganzen Gleichung entspricht.

Wenn Sie sich die Gleichungen aus dem obigen Beispiel ansehen, können Sie feststellen: Der Grad dieser ganzen Gleichung ist der zweite.

Beschränkte sich unser Kurs auf das Lösen von Gleichungen zweiten Grades, so könnte die Betrachtung des Themas hier abgeschlossen werden. Aber alles ist nicht so einfach. Das Lösen von Gleichungen dritten Grades ist mit Schwierigkeiten verbunden. Und für Gleichungen über dem vierten Grad gibt es überhaupt keine allgemeinen Formeln für die Wurzeln. In dieser Hinsicht erfordert die Lösung ganzer Gleichungen dritten, vierten und anderen Grades, dass wir eine Reihe anderer Techniken und Methoden anwenden.

Der am häufigsten verwendete Ansatz zum Lösen ganzer rationaler Gleichungen basiert auf der Faktorisierungsmethode. Der Aktionsalgorithmus lautet in diesem Fall wie folgt:

wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite, sodass Null auf der rechten Seite des Datensatzes bleibt;
Wir stellen den Ausdruck auf der linken Seite als Produkt von Faktoren dar und gehen dann zu einer Reihe einfacherer Gleichungen über.

Beispiel 4

Finde die Lösung der Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Lösung

Wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite des Datensatzes auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Die Umwandlung der linken Seite in ein Polynom der Standardform ist unpraktisch, da wir dadurch eine algebraische Gleichung vierten Grades erhalten: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Die Leichtigkeit der Transformation rechtfertigt nicht alle Schwierigkeiten bei der Lösung einer solchen Gleichung.

Es ist viel einfacher, den anderen Weg zu gehen: Wir nehmen die Klammern heraus gemeinsamer Faktor x 2 − 10 x + 13 . So kommen wir zu einer Gleichung der Form (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Jetzt ersetzen wir die resultierende Gleichung durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 − 10 x + 13 = 0 und x 2 − 2 x − 1 = 0 und finden ihre Wurzeln durch die Diskriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Antworten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

In ähnlicher Weise können wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen verwenden. Diese Methode ermöglicht es uns, zu äquivalenten Gleichungen mit Potenzen zu gelangen, die niedriger sind als die in der ursprünglichen Gesamtgleichung.

Beispiel 5

Hat die Gleichung Wurzeln? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Lösung

Wenn wir nun versuchen, eine ganze rationale Gleichung auf eine algebraische zu reduzieren, erhalten wir eine Gleichung vom Grad 4, die keine rationalen Wurzeln hat. Daher ist es für uns einfacher, den anderen Weg zu gehen: eine neue Variable y einzuführen, die den Ausdruck in der Gleichung ersetzt x 2 + 3 x.

Jetzt arbeiten wir mit der ganzen Gleichung (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). umplanen rechte Seite Gleichung nach links mit entgegengesetztem Vorzeichen und führen Sie die notwendigen Transformationen durch. Wir bekommen: y 2 + 4 y + 3 = 0. Lassen Sie uns die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden: y = − 1 und y = − 3.

Jetzt machen wir die umgekehrte Substitution. Wir erhalten zwei Gleichungen x 2 + 3 x = − 1 und x 2 + 3 x = - 3 . Schreiben wir sie um als x 2 + 3 x + 1 = 0 und x 2 + 3 x + 3 = 0. Wir verwenden die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung, um die Wurzeln der ersten erhaltenen Gleichung zu finden: - 3 ± 5 2 . Die Diskriminante der zweiten Gleichung ist negativ. Das bedeutet, dass die zweite Gleichung keine echten Wurzeln hat.

Antworten:- 3 ± 5 2

Ganzzahlige Gleichungen hohen Grades tauchen recht häufig in Problemen auf. Vor ihnen braucht man keine Angst zu haben. Muss bereit sein, sich zu bewerben nicht standardisierte Methode ihre Lösungen, einschließlich einer Reihe künstlicher Transformationen.

Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen

Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Unterthemas mit einem Algorithmus zum Lösen von gebrochen rationalen Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 , wobei p(x) und q(x) sind ganzzahlige rationale Ausdrücke. Die Lösung anderer gebrochen rationaler Gleichungen kann immer auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form zurückgeführt werden.

Die am häufigsten verwendete Methode zum Lösen von Gleichungen p (x) q (x) = 0 basiert auf der folgenden Aussage: Zahlenbruch du v, wo v ist eine von Null verschiedene Zahl, die nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler des Bruchs gleich Null ist. Der Logik der obigen Aussage folgend können wir behaupten, dass die Lösung der Gleichung p (x) q (x) = 0 auf die Erfüllung zweier Bedingungen reduziert werden kann: p(x)=0 und q(x) ≠ 0. Darauf aufbauend wird ein Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 aufgebaut:

wir finden die Lösung der ganzen rationalen Gleichung p(x)=0;
wir prüfen, ob die Bedingung für die bei der Lösung gefundenen Nullstellen erfüllt ist q(x) ≠ 0.

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann die gefundene Wurzel, wenn nicht, dann ist die Wurzel keine Lösung des Problems.

Beispiel 6

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Lösung

Wir haben es mit einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 zu tun, in der p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Beginnen wir mit der Lösung der linearen Gleichung 3 x - 2 = 0. Die Wurzel dieser Gleichung wird sein x = 2 3.

Lassen Sie uns die gefundene Wurzel überprüfen, ob sie die Bedingung erfüllt 5 x 2 - 2 ≠ 0. Dafür ersetzen wir numerischer Wert in einen Ausdruck. Wir erhalten: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Die Bedingung ist erfüllt. Das bedeutet es x = 2 3 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten: 2 3 .

Es gibt eine weitere Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen p (x) q (x) = 0 zu lösen. Denken Sie daran, dass diese Gleichung der gesamten Gleichung entspricht p(x)=0über den Bereich der zulässigen Werte der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Dies erlaubt uns, den folgenden Algorithmus zum Lösen der Gleichungen p(x) q(x) = 0 zu verwenden:

löse die Gleichung p(x)=0;
Finden Sie den Bereich akzeptabler Werte für die Variable x ;
Wir nehmen die Wurzeln, die im Bereich zulässiger Werte der Variablen x liegen, als gewünschte Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Beispiel 7

Löse die Gleichung x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Lösung

Lösen wir zuerst die quadratische Gleichung x 2 − 2 x − 11 = 0. Um seine Wurzeln zu berechnen, verwenden wir die Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten. Wir bekommen D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, und x = 1 ± 2 3 .

Jetzt können wir die ODV von x für die ursprüngliche Gleichung finden. Das sind alles Zahlen für die x 2 + 3 x ≠ 0. Es ist dasselbe wie x (x + 3) ≠ 0, womit x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Lassen Sie uns nun prüfen, ob die in der ersten Stufe der Lösung erhaltenen Wurzeln x = 1 ± 2 3 innerhalb des Bereichs akzeptabler Werte der Variablen x liegen. Wir sehen, was reinkommt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche rationale Bruchgleichung zwei Wurzeln x = 1 ± 2 3 hat.

Antworten: x = 1 ± 2 3

Der zweite beschriebene Lösungsweg einfacher als die erste in Fällen, in denen es einfach ist, den Bereich der zulässigen Werte der Variablen x und die Wurzeln der Gleichung zu finden p(x)=0 irrational. Zum Beispiel 7 ± 4 26 9 . Wurzeln können rational sein, aber mit einem großen Zähler oder Nenner. Zum Beispiel, 127 1101 und − 31 59 . Dies spart Zeit für die Überprüfung des Zustands. q(x) ≠ 0: Laut ODZ ist es viel einfacher, Wurzeln auszuschließen, die nicht passen.

Wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 ganze Zahlen sind, ist es zweckmäßiger, den ersten der beschriebenen Algorithmen zum Lösen von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 zu verwenden. Schnelleres Finden der Wurzeln einer ganzen Gleichung p(x)=0, und prüfen Sie dann, ob die Bedingung für sie erfüllt ist q(x) ≠ 0, und finden Sie nicht die ODZ, und lösen Sie dann die Gleichung p(x)=0 auf diesem ODZ. Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.

Beispiel 8

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Lösung

Wir beginnen mit der Betrachtung der gesamten Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 und seine Wurzeln zu finden. Dazu wenden wir die Methode der Lösung von Gleichungen durch Faktorisierung an. Es stellt sich heraus, dass die ursprüngliche Gleichung einem Satz von vier Gleichungen entspricht: 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, von denen drei linear sind und einer ist quadratisch. Wir finden die Wurzeln: aus der ersten Gleichung x = 1 2, ab dem zweiten x=6, ab dem dritten - x \u003d 7, x \u003d - 2, ab dem vierten - x = − 1.

Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen. Definiere OHS in dieser Fall es ist schwierig für uns, da wir dazu eine algebraische Gleichung fünften Grades lösen müssen. Es ist einfacher, die Bedingung zu überprüfen, nach der der Nenner des Bruchs, der auf der linken Seite der Gleichung steht, nicht verschwinden sollte.

Ersetzen Sie wiederum die Wurzeln anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 und berechne seinen Wert:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Die durchgeführte Überprüfung ermöglicht es uns festzustellen, dass die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung 1 2 , 6 und sind − 2 .

Antworten: 1 2 , 6 , - 2

Beispiel 9

Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Lösung

Beginnen wir mit der Gleichung (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Finden wir seine Wurzeln. Es ist einfacher für uns, diese Gleichung als Kombination aus Quadrat und darzustellen lineare Gleichungen 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 und x − 2 = 0.

Wir verwenden die Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung, um die Wurzeln zu finden. Wir erhalten zwei Wurzeln x = 7 ± 69 10 aus der ersten Gleichung und aus der zweiten x=2.

Den Wert der Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um die Bedingungen zu überprüfen, wird für uns ziemlich schwierig sein. Es ist einfacher, den LPV der Variablen x zu bestimmen. In diesem Fall ist der DPV der Variablen x alles Zahlen, außer denen, für die die Bedingung erfüllt ist x 2 + 5 x − 14 = 0. Wir erhalten: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Lassen Sie uns nun überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln in den Bereich akzeptabler Werte für die x-Variable gehören.

Die Wurzeln x = 7 ± 69 10 - gehören daher, sie sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2- gehört nicht dazu, daher ist es eine fremde Wurzel.

Antworten: x = 7 ± 69 10 .

Untersuchen wir gesondert die Fälle, in denen der Zähler einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 eine Zahl enthält. Wenn in solchen Fällen der Zähler eine andere Zahl als Null enthält, hat die Gleichung keine Wurzeln. Wenn diese Zahl gleich Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.

Beispiel 10

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Lösung

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da der Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null enthält. Dies bedeutet, dass für alle Werte von x der Wert des Bruchs, der in der Bedingung des Problems angegeben ist, nicht gleich Null ist.

Antworten: Keine Wurzeln.

Beispiel 11

Löse die Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Lösung

Da der Zähler des Bruchs Null ist, ist die Lösung der Gleichung ein beliebiger Wert von x aus der ODZ-Variablen x.

Lassen Sie uns nun die ODZ definieren. Es werden alle x-Werte für die enthalten sein x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Gleichungslösungen x 4 + 5 x 3 = 0 sind 0 und − 5 , da diese Gleichung äquivalent zur Gleichung ist x 3 (x + 5) = 0, und es ist wiederum äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen x 3 = 0 und x + 5 = 0 wo diese Wurzeln sichtbar sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass der gewünschte Bereich akzeptabler Werte alle x sind, außer x=0 und x = -5.

Es stellt sich heraus, dass die gebrochen rationale Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0 hat unendlicher Satz Lösungen, die alle anderen Zahlen als Null und - 5 sind.

Antworten: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Lassen Sie uns nun über gebrochene rationale Gleichungen beliebiger Form und Methoden zu ihrer Lösung sprechen. Sie können geschrieben werden als r(x) = s(x), wo r(x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, und mindestens einer von ihnen ist gebrochen. Die Lösung solcher Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 reduziert.

Wir wissen bereits, was wir bekommen können äquivalente Gleichung beim Übertragen eines Ausdrucks von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen. Das bedeutet, dass die Gleichung r(x) = s(x) entspricht der Gleichung r(x) − s(x) = 0. Wir haben auch schon besprochen, wie man einen rationalen Ausdruck in einen rationalen Bruch umwandelt. Dank dessen können wir die Gleichung leicht umwandeln r(x) − s(x) = 0 in seinen identischen rationalen Bruch der Form p (x) q (x) .

Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung weg r(x) = s(x) zu einer Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 , deren Lösung wir bereits gelernt haben.

Zu beachten ist, dass bei Übergängen aus r(x) − s(x) = 0 zu p (x) q (x) = 0 und dann zu p(x)=0 Wir dürfen die Erweiterung des Bereichs gültiger Werte der Variablen x nicht berücksichtigen.

Es ist ziemlich realistisch, dass die ursprüngliche Gleichung r(x) = s(x) und Gleichung p(x)=0 infolge der Transformationen werden sie nicht mehr gleichwertig sein. Dann die Lösung der Gleichung p(x)=0 kann uns Wurzeln geben, die fremd sein werden r(x) = s(x). Diesbezüglich ist in jedem Fall eine Überprüfung durch eine der oben beschriebenen Methoden durchzuführen.

Um Ihnen das Studium des Themas zu erleichtern, haben wir alle Informationen in einem Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form verallgemeinert r(x) = s(x):

wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite mit umgekehrtem Vorzeichen und erhalten rechts Null;
verwandeln ursprünglicher Ausdruck in einen rationalen Bruch p (x) q (x) , sequenzielles Ausführen von Operationen mit Brüchen und Polynomen;
löse die Gleichung p(x)=0;
wir enthüllen fremde Nullstellen, indem wir ihre Zugehörigkeit zur ODZ überprüfen oder sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Optisch sieht die Aktionskette wie folgt aus:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → Ausfall r o n d e r o o n s

Beispiel 12

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung x x + 1 = 1 x + 1 .

Lösung

Kommen wir zur Gleichung x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Lassen Sie uns den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in die Form p (x) q (x) umwandeln.

Dafür müssen wir mitbringen rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den Ausdruck vereinfachen:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Um die Wurzeln der Gleichung zu finden - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, müssen wir die Gleichung lösen − 2 x − 1 = 0. Wir bekommen eine Wurzel x = - 1 2.

Es bleibt uns überlassen, die Überprüfung mit einer der Methoden durchzuführen. Betrachten wir sie beide.

Setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir erhalten - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Wir sind auf der rechten Seite zahlenmäßige Gleichheit − 1 = − 1 . Das bedeutet es x = − 1 2 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Jetzt werden wir die ODZ durchchecken. Lassen Sie uns den Bereich der akzeptablen Werte für die Variable x bestimmen. Dies ist der gesamte Satz von Zahlen, mit Ausnahme von − 1 und 0 (wenn x = − 1 und x = 0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die Wurzel, die wir haben x = − 1 2 gehört zur ODZ. Dies bedeutet, dass es die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.

Antworten: − 1 2 .

Beispiel 13

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Lösung

Wir haben es mit einer gebrochen rationalen Gleichung zu tun. Daher werden wir gemäß dem Algorithmus handeln.

Verschieben wir den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Führen wir die notwendigen Transformationen durch: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Wir kommen zur Gleichung x=0. Die Wurzel dieser Gleichung ist Null.

Prüfen wir, ob diese Wurzel für die ursprüngliche Gleichung fremd ist. Ersetzen Sie den Wert in der ursprünglichen Gleichung: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Wie Sie sehen können, ergibt die resultierende Gleichung keinen Sinn. Dies bedeutet, dass 0 eine irrelevante Wurzel ist und die ursprüngliche rationale Bruchgleichung keine Wurzeln hat.

Antworten: Keine Wurzeln.

Wenn wir keine anderen äquivalenten Transformationen in den Algorithmus aufgenommen haben, bedeutet dies keineswegs, dass sie nicht verwendet werden können. Der Algorithmus ist universell, aber er soll helfen, nicht einschränken.

Beispiel 14

Löse die Gleichung 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Lösung

Der einfachste Weg ist, die gegebene gebrochene rationale Gleichung gemäß dem Algorithmus zu lösen. Aber es gibt einen anderen Weg. Betrachten wir es.

Subtrahieren Sie vom rechten und linken Teil 7, erhalten wir: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich der Zahl sein muss reziproke Zahl von der rechten Seite, also 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Subtrahiere von beiden Teilen 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analog 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, woraus 1 5 - x 2 \u003d 1 3 und weiter 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Lassen Sie uns überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Antworten: x = ± 2

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Das Motto unseres Unterrichts: „Je mehr ich weiß, desto mehr kann ich.“ Epigaph:
Wer merkt es nicht
Er studiert nichts.
Wer studiert nicht
Er jammert immer und langweilt sich.
(Dichter R. Sef).

Mathematisches Diktat

1. Einfügen fehlt
Worte und Spiel
1. Was heißt
Gleichung?
1. Finden Sie alles ... oder
beweisen, dass ... nein.
2. Was heißt
die Wurzel der Gleichung?
2. …… enthält
Variable.
3. Was bedeutet es, sich zu entscheiden
Die gleichung?
3. ……., in denen
die Gleichung wird gezogen
in die richtige Nummer
Gleichberechtigung.

Gleichungen mündlich lösen:

a) x² = 0
b) 3x - 6 = 0
c) x² - 9 = 0
d) x(x - 1)(x + 2) = 0
e) x² = - 25

Löse die Gleichung:

x⁴-6x²+5=0

Ganze Gleichung und ihre Wurzeln

Unterrichtsziele:

Informationen zusammenfassen und vertiefen
Gleichungen
Einführung ins Ganze
Die gleichung
Vertrautheit mit dem Begriff des Abschlusses
Gleichungen
Bildung von Entscheidungsfähigkeiten
Gleichungen

Gleichungen

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x5
x3 1 x 2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2 (x 1)
x
2x1
x 12
ganz
Gleichungen
Bruchteil
Gleichungen

Ganze Gleichung

Eine ganze Gleichung mit einem
Variable ist die Gleichung,
deren linker und rechter Teil
ganze Ausdrücke.

10. Grad der Gleichung

Wenn eine Gleichung mit eins
Variable wird als P(x)=0 geschrieben,
wobei P(x) das Polynom des Standards ist
Typ, dann der Grad dieses Polynoms
heißt Grad der Gleichung, d.h.
der höchste Grad
Monom.
Beispiele: x⁵-2x³+2x-1=05
Grad
4
x&sup4;-14x²-3=0
Grad

11. Welchen Grad hat die Gleichung?

5
a) 2x²-6x⁵+1=0
2
d) (x+8)(x-7)=0
6
b) x⁶-4x²-3=0
1 5
x 0
7
in)
5x(x²+4)=17
e)
xx
5
2 4
5
1
3
e) 5x-

12. Wiederholen

lineare Gleichung
ax+b=0
ax2 + bx + c = 0
viele
Wurzeln
Keine Wurzeln
eine Wurzel
quadratische Gleichung
D=0
eine Wurzel
D>0
zwei Wurzeln
D<0
Keine Wurzeln

13. Gleichung ersten Grades

14. Gleichung dritten Grades

löse die Gleichung
x3 8x 2 x 8 0
Lösung: Erweitern Sie die linke Seite
Gleichungen 2 für Faktoren
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2 Antwort
1, x3 1

15. Lösen Sie die Gleichung:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Lösung: Erweitern Sie die Klammern und geben Sie
wie Begriffe
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
PRÜFEN SIE SELBST!
x+2=0
x=-2
Antwort: x=-2

16. Lösen Sie die biquadratische Gleichung:

X⁴ - 5 x² - 36 = 0
Machen wir eine Ersetzung: x² = a, a ≥ 0
a² - 5a -36 = 0
D=169
a1= -4 (nicht geeignet, da a≥0)
a2 = 9
X² = 9
x1 = 3 und x2 = -3
Antwort: 3 und -3.

17. Lösen Sie die Gleichung:

x⁴-6x²+5=0
Antwort: 1, -1, V5, - V5

18. Stellen Sie die Entsprechung ein: Gleichungsweise.

Beispieltext
Zweites Level
Drittes Level
Vierte Ebene
Fünfte Ebene

19. Prüfung

1) Bestimme den Grad der Gleichung
(x 2 3) 5 x (x 1) 15
a) 2
b) 3
in 1
2) Welche der Zahlen sind Wurzeln
x(x1)(x2) 0?
Gleichungen
a) -1
b) 0
in 2
3) Lösen Sie die Gleichung 9 x 3 27 x 2 0
a) 0;-3
b) -3;0;3
c) 0;3

20.

1)
Welche gleichung heißt
ganz und wie man es von unterscheidet
Bruchteil?
2)
Was ist der Grad einer Gleichung?
3)
Was sind Gleichungswurzeln?
4)
5)
Wie viele Wurzeln können
Gleichung 1. Grades?
Wie viele Wurzeln können
Gleichung 2. Grades?