Ist es möglich, einen Bruch 5 15 zu reduzieren? Beispiele für die Reduzierung von Brüchen. Die Bedeutung der Reduzierung eines algebraischen Bruchs
Es basiert auf ihrer Grundeigenschaft: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch dasselbe Polynom ungleich Null dividiert werden, erhält man einen gleichen Bruch.
Sie können Multiplikatoren nur reduzieren!
Mitglieder von Polynomen können nicht abgekürzt werden!
Um einen algebraischen Bruch zu reduzieren, müssen zunächst die Polynome im Zähler und Nenner faktorisiert werden.
Schauen wir uns Beispiele für die Reduzierung von Brüchen an.
Zähler und Nenner des Bruchs enthalten Monome. Sie repräsentieren arbeiten(Zahlen, Variablen und ihre Potenzen), Multiplikatoren wir können reduzieren.
Wir reduzieren die Zahlen auf ihr Maximum gemeinsamer Teiler, also höchstens größere Zahl, durch die jede dieser Zahlen dividiert wird. Für 24 und 36 sind es 12. Nach der Reduzierung bleiben von 24 2 und von 36 3 übrig.
Wir reduzieren die Grade um den Grad mit dem niedrigsten Index. Einen Bruch zu kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben Teiler zu dividieren und die Exponenten zu subtrahieren.
a² und a⁷ werden auf a² reduziert. In diesem Fall bleibt eins im Zähler von a² (wir schreiben 1 nur dann, wenn nach der Reduktion keine anderen Faktoren mehr übrig sind. Von 24 bleibt 2 übrig, also schreiben wir nicht 1, die von a² übrig bleibt). Aus a⁷ bleibt nach der Reduktion a⁵ übrig.
b und b werden um b reduziert; die resultierenden Einheiten werden nicht geschrieben.
c³º und c⁵ werden zu c⁵ abgekürzt. Was von c³º übrig bleibt, ist c²⁵, von c⁵ ist eins (wir schreiben es nicht). Auf diese Weise,
Zähler und Nenner davon algebraischer Bruch- Polynome. Sie können Terme von Polynomen nicht aufheben! (Sie können beispielsweise 8x² und 2x nicht reduzieren!). Um diesen Bruch zu reduzieren, benötigen Sie . Der Zähler hat gemeinsamer Multiplikator 4x. Nehmen wir es mal aus der Klammer:
Sowohl Zähler als auch Nenner haben den gleichen Faktor (2x-3). Wir reduzieren den Bruch um diesen Faktor. Im Zähler haben wir 4x, im Nenner - 1. Gemäß einer Eigenschaft algebraischer Brüche ist der Bruch gleich 4x.
Sie können nur Multiplikatoren reduzieren (reduzieren). gegebener Bruch auf 25x² ist das unmöglich!). Daher müssen die Polynome im Zähler und Nenner des Bruchs faktorisiert werden.
Im Zähler - Perfektes Viereck Summen, der Nenner ist die Differenz der Quadrate. Nach der Zerlegung mit abgekürzten Multiplikationsformeln erhalten wir:
Wir reduzieren den Bruch um (5x+1) (streichen Sie dazu die beiden im Zähler als Exponenten durch und lassen Sie (5x+1)² (5x+1)):
Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 2, nehmen wir ihn aus der Klammer. Der Nenner ist die Formel für die Differenz der Würfel:
Durch die Erweiterung erhielten Zähler und Nenner den gleichen Faktor (9+3a+a²). Wir reduzieren den Bruch dadurch:
Das Polynom im Zähler besteht aus 4 Termen. den ersten Term mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten und entferne den gemeinsamen Faktor x² aus den ersten Klammern. Wir zerlegen den Nenner mithilfe der Würfelsummenformel:
Nehmen wir im Zähler den gemeinsamen Faktor (x+2) aus Klammern:
Reduziere den Bruch um (x+2):
Wir wissen also bereits, dass Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert und dividiert werden können, der Bruch ändert sich nicht. Betrachten wir drei Ansätze:
Gehen Sie auf einen zu.
Zum Reduzieren dividieren Sie Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler. Schauen wir uns Beispiele an:
Kürzen wir:
In den angegebenen Beispielen sehen wir sofort, welche Teiler wir zur Reduktion verwenden müssen. Der Prozess ist einfach: Wir gehen 2,3,4,5 usw. durch. In den meisten Beispielen für Schulkurse ist dies völlig ausreichend. Aber wenn es ein Bruchteil ist:
Hier kann die Auswahl der Teiler lange dauern;). Natürlich liegen solche Beispiele außerhalb des schulischen Lehrplans, aber man muss damit umgehen können. Im Folgenden schauen wir uns an, wie das geht. Kommen wir zunächst zurück zum Downsizing-Prozess.
Um einen Bruch zu kürzen, haben wir, wie oben erläutert, durch den oder die gemeinsamen Teiler dividiert, die wir ermittelt haben. Alles ist richtig! Man muss nur Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen hinzufügen:
- Wenn die Zahl gerade ist, ist sie durch 2 teilbar.
- Wenn eine Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 4 teilbar.
– Wenn die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht, durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 3 teilbar. Beispiel: 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Zwölf ist durch 3 teilbar, also ist 123031 durch 3 teilbar.
- Wenn die Zahl mit 5 oder 0 endet, ist die Zahl durch 5 teilbar.
— Wenn die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht, durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 9 teilbar. Beispiel: 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Achtzehn ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass 623032 durch 9 teilbar ist.
Zweiter Ansatz.
Um es kurz auszudrücken: Die ganze Aktion läuft darauf hinaus, Zähler und Nenner zu faktorisieren und dann gleiche Faktoren im Zähler und Nenner zu reduzieren ( dieser Ansatz– Dies ist eine Konsequenz des ersten Ansatzes):
Visuell, um nicht verwirrt zu werden und Fehler zu machen gleiche Faktoren Sie streichen es einfach durch. Frage: Wie faktorisiert man eine Zahl? Es ist notwendig, alle Teiler durch Suchen zu ermitteln. Dies ist ein separates Thema, es ist nicht kompliziert, die Informationen in einem Lehrbuch oder im Internet nachzuschlagen. Beim Faktorisieren von Zahlen, die in Schulfraktionen vorkommen, werden Sie keine großen Probleme haben.
Formal lässt sich das Reduktionsprinzip wie folgt schreiben:
Annäherung an drei.
Hier ist das Interessanteste für Fortgeschrittene und solche, die es werden wollen. Reduzieren wir den Bruch 143/273. Versuch es selber! Na, wie ist das schnell passiert? Schau jetzt!
Wir drehen es um (wir tauschen die Stellen von Zähler und Nenner). Teilen Sie den resultierenden Bruch durch eine Ecke und wandeln Sie ihn in um gemischte Zahl, das heißt, wir wählen den gesamten Teil aus:
Es ist schon einfacher. Wir sehen, dass Zähler und Nenner um 13 reduziert werden können:
Vergessen Sie jetzt nicht, den Bruch noch einmal umzudrehen. Schreiben wir die gesamte Kette auf:
Geprüft – es nimmt weniger Zeit in Anspruch als das Durchsuchen und Überprüfen von Teilern. Kehren wir zu unseren beiden Beispielen zurück:
Erste. Teilen Sie mit einer Ecke (nicht auf einem Taschenrechner), wir erhalten:
Dieser Bruch ist natürlich einfacher, aber die Reduzierung ist wiederum ein Problem. Jetzt analysieren wir den Bruch 1273/1463 separat und drehen ihn um:
Hier ist es einfacher. Wir können einen Teiler wie 19 in Betracht ziehen. Der Rest passt nicht, das ist klar: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurra! Schreiben wir auf:
Nächstes Beispiel. Verkürzen wir es auf 88179/2717.
Dividieren wir, wir erhalten:
Separat analysieren wir den Bruch 1235/2717 und drehen ihn um:
Wir können einen Teiler wie 13 in Betracht ziehen (bis zu 13 ist nicht geeignet):
Zähler 247:13=19 Nenner 1235:13=95
*Während des Prozesses sahen wir einen weiteren Teiler gleich 19. Es stellte sich heraus, dass:
Nun notieren wir die ursprüngliche Nummer:
Und es spielt keine Rolle, was im Bruch größer ist – der Zähler oder der Nenner, wenn es der Nenner ist, dann drehen wir ihn um und verhalten uns wie beschrieben. Auf diese Weise können wir jeden Bruch reduzieren; der dritte Ansatz kann als universell bezeichnet werden.
Natürlich sind die beiden oben diskutierten Beispiele keine einfachen Beispiele. Probieren wir diese Technologie an den „einfachen“ Brüchen aus, die wir bereits betrachtet haben:
Zwei Viertel.
Zweiundsiebzig Sechziger. Der Zähler ist größer als der Nenner; es besteht keine Notwendigkeit, ihn umzukehren:
Natürlich wurde der dritte Ansatz auf solche angewendet einfache Beispiele einfach als Alternative. Die Methode ist, wie bereits erwähnt, universell, aber nicht für alle Brüche geeignet und korrekt, insbesondere nicht für einfache.
Die Vielfalt der Brüche ist groß. Es ist wichtig, dass Sie die Prinzipien verstehen. Es gibt einfach keine strenge Regel für die Arbeit mit Brüchen. Wir haben nachgeschaut, herausgefunden, wie es bequemer wäre, vorzugehen, und sind weitergegangen. Mit etwas Übung werden Sie Geschicklichkeit entwickeln und Sie werden sie wie Samen knacken.
Abschluss:
Wenn Sie einen oder mehrere gemeinsame Teiler für Zähler und Nenner sehen, verwenden Sie diese zum Reduzieren.
Wenn Sie wissen, wie man eine Zahl schnell faktorisiert, dann faktorisieren Sie Zähler und Nenner und reduzieren dann.
Wenn Sie den gemeinsamen Teiler nicht bestimmen können, verwenden Sie den dritten Ansatz.
*Um Brüche zu reduzieren, ist es wichtig, die Prinzipien der Reduktion zu beherrschen, die Grundeigenschaft eines Bruchs zu verstehen, Lösungsansätze zu kennen und bei Berechnungen äußerst vorsichtig zu sein.
Und merke dir! Es ist üblich, einen Bruch bis zum Anschlag zu reduzieren, also so lange zu reduzieren, wie es einen gemeinsamen Teiler gibt.
Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.
IN letztes Mal Wir haben einen Plan zusammengestellt, mit dem Sie lernen können, Brüche schnell zu kürzen. Lassen Sie uns nun überlegen konkrete Beispiele Reduktion von Brüchen.
Beispiele.
Prüfen wir, ob die größere Zahl durch die kleinere Zahl teilbar ist (Zähler durch Nenner oder Nenner durch Zähler)? Ja, in allen drei Beispielen wird die größere Zahl durch die kleinere Zahl dividiert. Daher reduzieren wir jeden Bruch um die kleinere der Zahlen (durch den Zähler oder durch den Nenner). Wir haben:
Prüfen wir, ob die größere Zahl durch die kleinere Zahl teilbar ist? Nein, es wird nicht geteilt.
Dann prüfen wir den nächsten Punkt: Endet die Eingabe von Zähler und Nenner mit einer, zwei oder mehr Nullen? Im ersten Beispiel enden Zähler und Nenner auf Null, im zweiten Beispiel auf zwei Nullen und im dritten auf drei Nullen. Das bedeutet, dass wir den ersten Bruch um 10, den zweiten um 100 und den dritten um 1000 reduzieren:
Wir haben irreduzible Brüche.
Eine größere Zahl kann nicht durch eine kleinere Zahl geteilt werden und Zahlen enden nicht mit Nullen.
Schauen wir uns nun an, ob sich Zähler und Nenner in der gleichen Spalte der Multiplikationstabelle befinden? 36 und 81 sind beide durch 9 teilbar, 28 und 63 sind durch 7 teilbar und 32 und 40 sind durch 8 teilbar (sie sind auch durch 4 teilbar, aber wenn wir die Wahl haben, reduzieren wir immer um einen größeren Wert). So kommen wir zu den Antworten:
Alle erhaltenen Zahlen sind irreduzible Brüche.
Eine größere Zahl kann nicht durch eine kleinere Zahl geteilt werden. Aber die Aufzeichnung sowohl des Zählers als auch des Nenners endet mit Null. Also reduzieren wir den Bruch um 10:
Dieser Anteil kann noch reduziert werden. Wir überprüfen die Multiplikationstabelle: Sowohl 48 als auch 72 sind durch 8 teilbar. Wir reduzieren den Bruch um 8:
Wir können den resultierenden Bruch auch um 3 reduzieren:
Dieser Bruch ist irreduzibel.
Die größere Zahl ist nicht durch die kleinere Zahl teilbar. Zähler und Nenner enden auf Null. Das bedeutet, dass wir den Bruch um 10 reduzieren.
Wir überprüfen die erhaltenen Zahlen im Zähler und Nenner auf und. Da die Summe der Ziffern von 27 und 531 durch 3 und 9 teilbar ist, kann dieser Bruch entweder um 3 oder um 9 reduziert werden. Wir wählen den größeren Bruch und reduzieren um 9. Das resultierende Ergebnis ist ein irreduzibler Bruch.
Dieser Artikel setzt das Thema der Umwandlung algebraischer Brüche fort: Betrachten Sie eine Aktion wie die Reduzierung algebraischer Brüche. Lassen Sie uns den Begriff selbst definieren, eine Reduktionsregel formulieren und praktische Beispiele analysieren.
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Die Bedeutung der Reduzierung eines algebraischen Bruchs
In Materialien zu gewöhnlichen Brüchen haben wir uns mit der Reduktion befasst. Wir haben die Reduzierung eines Bruchs als Division seines Zählers und Nenners durch einen gemeinsamen Faktor definiert.
Das Reduzieren eines algebraischen Bruchs ist ein ähnlicher Vorgang.
Definition 1
Einen algebraischen Bruch reduzieren ist die Division von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor. Dabei kann im Gegensatz zur Reduktion eines gewöhnlichen Bruchs (der gemeinsame Nenner kann nur eine Zahl sein) der gemeinsame Faktor von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl sein.
Beispielsweise kann der algebraische Bruch 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 durch die Zahl 3 reduziert werden, was zu: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y führt 2 . Wir können denselben Bruch um die Variable x reduzieren und erhalten dann den Ausdruck 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Auch gegebener Bruch kann durch ein Monom reduziert werden 3x oder eines der Polynome x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oder 3 x 2 + 6 x y.
Das ultimative Ziel Reduktion eines algebraischen Bruchs ist ein Bruch einer einfacheren Form, in Best-Case-Szenario– irreduzibler Bruch.
Unterliegen alle algebraischen Brüche der Reduktion?
Auch hier wissen wir aus Materialien zu gewöhnlichen Brüchen, dass es reduzierbare und irreduzible Brüche gibt. Irreduzible Brüche sind Brüche, deren gemeinsamer Teiler im Zähler und Nenner außer 1 ist.
Das Gleiche gilt für algebraische Brüche: Sie können im Zähler und im Nenner gemeinsame Faktoren haben, vielleicht aber auch nicht. Das Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ermöglicht es Ihnen, den ursprünglichen Bruch durch Reduktion zu vereinfachen. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist es unmöglich, einen bestimmten Bruch mit der Reduktionsmethode zu optimieren.
IN allgemeine Fälle Von gegebener Typ Für einen Bruch ist es ziemlich schwierig zu verstehen, ob er reduziert werden kann. Natürlich ist in manchen Fällen das Vorhandensein eines gemeinsamen Faktors zwischen Zähler und Nenner offensichtlich. Beispielsweise ist im algebraischen Bruch 3 x 2 3 y ganz klar, dass der gemeinsame Faktor die Zahl 3 ist.
Im Bruch - x · y 5 · x · y · z 3 verstehen wir auch sofort, dass er um x, oder y, oder x · y reduziert werden kann. Und doch gibt es viel häufiger Beispiele für algebraische Brüche, bei denen der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht so leicht zu erkennen ist und noch häufiger einfach fehlt.
Beispielsweise können wir den Bruch x 3 - 1 x 2 - 1 um x - 1 reduzieren, während der angegebene gemeinsame Faktor im Eintrag nicht vorhanden ist. Der Bruch x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kann jedoch nicht reduziert werden, da Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor haben.
Daher ist die Frage der Bestimmung der Reduzierbarkeit eines algebraischen Bruchs nicht so einfach, und es ist oft einfacher, mit einem Bruch einer bestimmten Form zu arbeiten, als herauszufinden, ob er reduzierbar ist. Dabei finden solche Transformationen statt, die es im Einzelfall ermöglichen, den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner zu bestimmen oder einen Rückschluss auf die Irreduzibilität eines Bruchs zu ziehen. Wir werden dieses Problem im nächsten Absatz des Artikels ausführlich untersuchen.
Regel zum Reduzieren algebraischer Brüche
Regel zum Reduzieren algebraischer Brüche besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Aktionen:
- Finden gemeinsamer Faktoren von Zähler und Nenner;
- Wenn welche gefunden werden, wird die Reduzierung des Bruchs direkt durchgeführt.
Die bequemste Methode, gemeinsame Nenner zu finden, besteht darin, die im Zähler und Nenner eines bestimmten algebraischen Bruchs vorhandenen Polynome zu faktorisieren. Dadurch können Sie sofort deutlich erkennen, ob gemeinsame Faktoren vorhanden sind oder nicht.
Der eigentliche Vorgang des Reduzierens eines algebraischen Bruchs basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, ausgedrückt durch die undefinierte Gleichheit, wobei a, b, c einige Polynome sind und b und c ungleich Null sind. Der erste Schritt besteht darin, den Bruch auf die Form a · c b · c zu reduzieren, wobei uns sofort der gemeinsame Faktor c auffällt. Im zweiten Schritt erfolgt eine Reduktion, d.h. Übergang zu einem Bruchteil der Form a b .
Typische Beispiele
Lassen Sie uns trotz einiger Offensichtlichkeit etwas klären besonderer Fall wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gleich sind. Ähnliche Brüche sind auf der gesamten ODZ der Variablen dieses Bruchs identisch gleich 1:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Weil das gemeinsame Brüche sind ein Sonderfall algebraischer Brüche. Erinnern wir uns daran, wie ihre Reduktion durchgeführt wird. Die im Zähler und Nenner geschriebenen natürlichen Zahlen werden in zerlegt Primfaktoren, dann werden die gemeinsamen Faktoren aufgehoben (falls vorhanden).
Beispiel: 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Das Produkt einfacher identischer Faktoren kann als Potenzen geschrieben werden und beim Reduzieren eines Bruchs die Eigenschaft nutzen, Potenzen durch zu dividieren aus den gleichen Gründen. Dann wäre die obige Lösung:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(Zähler und Nenner geteilt durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3). Oder der Übersichtlichkeit halber geben wir der Lösung basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation und Division die folgende Form:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analog erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, bei denen Zähler und Nenner Monome mit ganzzahligen Koeffizienten haben.
Beispiel 1
Der algebraische Bruch ist gegeben - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Es muss reduziert werden.
Lösung
Es ist möglich, Zähler und Nenner eines bestimmten Bruchs als Produkt einfacher Faktoren und Variablen zu schreiben und dann die Reduktion durchzuführen:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Allerdings mehr auf rationale Weise Die Lösung wird in Form eines Ausdrucks mit Graden geschrieben:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Antwort:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs Brüche enthalten numerische Quoten, zwei Möglichkeiten sind möglich Weitere Maßnahmen: oder diese separat aufteilen Bruchquoten, oder entfernen Sie zunächst die Bruchkoeffizienten, indem Sie Zähler und Nenner mit einem bestimmten Wert multiplizieren natürliche Zahl. Die letzte Transformation wird aufgrund der Grundeigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt (Sie können darüber im Artikel „Einen algebraischen Bruch auf einen neuen Nenner reduzieren“ nachlesen).
Beispiel 2
Der gegebene Bruch ist 2 5 x 0, 3 x 3. Es muss reduziert werden.
Lösung
Es ist möglich, den Bruch auf folgende Weise zu reduzieren:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Versuchen wir, das Problem anders zu lösen, indem wir zunächst die Bruchkoeffizienten loswerden – multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner dieser Koeffizienten, d.h. auf LCM (5, 10) = 10. Dann erhalten wir:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Antwort: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Wenn wir algebraische Brüche reduzieren Gesamtansicht, bei der Zähler und Nenner entweder Monome oder Polynome sein können, kann es ein Problem geben, wenn der gemeinsame Faktor nicht immer sofort sichtbar ist. Oder mehr noch: Es existiert einfach nicht. Um dann den gemeinsamen Faktor zu bestimmen oder die Tatsache seines Fehlens aufzuzeichnen, werden Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs faktorisiert.
Beispiel 3
Gegeben ist der rationale Bruch 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Es muss reduziert werden.
Lösung
Lassen Sie uns die Polynome im Zähler und Nenner faktorisieren. Lassen Sie es uns aus Klammern setzen:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Wir sehen, dass der Ausdruck in Klammern mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln umgewandelt werden kann:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Es ist deutlich zu erkennen, dass es möglich ist, einen Bruch durch einen gemeinsamen Faktor zu reduzieren b 2 (a + 7). Machen wir eine Reduzierung:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Schreiben wir eine kurze Lösung ohne Erklärung als Gleichungskette:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Antwort: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Es kommt vor, dass gemeinsame Faktoren durch numerische Koeffizienten verdeckt werden. Dann ist es optimal, Brüche zu reduzieren numerische Faktoren Für höhere Potenzen verschieben Sie Zähler und Nenner aus den Klammern.
Beispiel 4
Gegeben sei der algebraische Bruch 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Es ist notwendig, es nach Möglichkeit zu reduzieren.
Lösung
Auf den ersten Blick existieren Zähler und Nenner nicht gemeinsamer Nenner. Versuchen wir jedoch, den angegebenen Bruch umzuwandeln. Nehmen wir den Faktor x im Zähler heraus:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Jetzt können Sie aufgrund von x 2 y eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Ausdruck in Klammern und dem Ausdruck im Nenner erkennen . Nehmen wir die numerischen Koeffizienten der höheren Potenzen dieser Polynome heraus:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 Jahre 5 x 2 Jahre - 7 10
Nun wird der gemeinsame Faktor sichtbar, wir führen die Reduktion durch:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Antwort: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Lassen Sie uns die Fähigkeit der Kontraktion betonen rationale Brüche hängt von der Fähigkeit ab, Polynome zu faktorisieren.
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Das Reduzieren von Brüchen ist notwendig, um den Bruch auf mehr zu reduzieren einfache Ansicht, zum Beispiel in der Antwort, die man als Ergebnis der Lösung eines Ausdrucks erhält.
Brüche reduzieren, Definition und Formel.
Was sind reduzierende Brüche? Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?
Definition:
Brüche reduzieren- Dies ist die Division von Zähler und Nenner eines Bruchs in dasselbe positive Zahl Nicht gleich Null und ein. Durch die Reduktion erhält man einen Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, gleich dem vorherigen Bruch gem.
Formel zum Reduzieren von Brüchen Haupteigentum Rationale Zahlen.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Reduziere den Bruch \(\frac(9)(15)\)
Lösung:
Wir können einen Bruch in Primfaktoren zerlegen und gemeinsame Faktoren aufheben.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(rot) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Antwort: Nach der Reduktion erhalten wir den Bruch \(\frac(3)(5)\). Gemäß der Grundeigenschaft rationaler Zahlen sind der ursprüngliche und der resultierende Bruch gleich.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Wie reduziert man Brüche? Einen Bruch auf seine irreduzible Form reduzieren.
Um als Ergebnis einen irreduziblen Bruch zu erhalten, benötigen wir Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD) für Zähler und Nenner des Bruchs.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, den GCD zu ermitteln. Im Beispiel verwenden wir die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.
Ermitteln Sie den irreduziblen Bruch \(\frac(48)(136)\).
Lösung:
Finden wir GCD(48, 136). Schreiben wir die Zahlen 48 und 136 in Primfaktoren.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Die Regel zum Reduzieren eines Bruchs auf eine irreduzible Form.
- Sie müssen den größten gemeinsamen Teiler für Zähler und Nenner finden.
- Sie müssen Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler dividieren, um als Ergebnis der Division einen irreduziblen Bruch zu erhalten.
Beispiel:
Reduziere den Bruch \(\frac(152)(168)\).
Lösung:
Finden wir GCD(152, 168). Schreiben wir die Zahlen 152 und 168 in Primfaktoren.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Antwort: \(\frac(19)(21)\) ist ein irreduzibler Bruch.
Unechte Brüche reduzieren.
Wie man schneidet unechter Bruch?
Die Regeln zum Kürzen von Brüchen sind für echte und unechte Brüche dieselben.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Reduzieren Sie den unechten Bruch \(\frac(44)(32)\).
Lösung:
Schreiben wir Zähler und Nenner in einfache Faktoren. Und dann reduzieren wir die gemeinsamen Faktoren.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Gemischte Brüche reduzieren.
Für gemischte Brüche gelten dieselben Regeln wie für gewöhnliche Brüche. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir es können Fassen Sie nicht den ganzen Teil an, aber Bruchteil reduzieren oder gemischte Fraktion in einen unechten Bruch umwandeln, reduzieren und wieder in einen echten Bruch umwandeln.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Streichen Sie den gemischten Bruch \(2\frac(30)(45)\).
Lösung:
Lösen wir es auf zwei Arten:
Erster Weg:
Schreiben wir den Bruchteil in einfache Faktoren, gehen aber nicht auf den ganzen Teil ein.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(rot) (5 \times 3))(3 \times \color(rot) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Zweiter Weg:
Wandeln wir ihn zunächst in einen unechten Bruch um, schreiben ihn dann in Primfaktoren um und reduzieren ihn. Lassen Sie uns den resultierenden unechten Bruch in einen echten Bruch umwandeln.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(rot) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(rot) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Fragen zum Thema:
Können Brüche beim Addieren oder Subtrahieren reduziert werden?
Antwort: Nein, Sie müssen Brüche zunächst gemäß den Regeln addieren oder subtrahieren und erst dann reduzieren. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Werten Sie den Ausdruck \(\frac(50+20-10)(20)\) aus.
Lösung:
Sie machen oft den Fehler, abzukürzen gleiche Zahlen In unserem Fall haben Zähler und Nenner die Zahl 20, können aber erst reduziert werden, wenn Sie die Addition und Subtraktion abgeschlossen haben.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Um welche Zahlen kann man einen Bruch kürzen?
Antwort: Sie können einen Bruch um den größten gemeinsamen Faktor oder den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(100)(150)\).
Schreiben wir die Zahlen 100 und 150 in Primfaktoren.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Der größte gemeinsame Teiler ist die Zahl gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Wir haben den irreduziblen Bruch \(\frac(2)(3)\) erhalten.
Es ist jedoch nicht notwendig, immer durch GCD zu dividieren; ein irreduzibler Bruch ist nicht immer erforderlich; Sie können den Bruch durch einen einfachen Teiler aus Zähler und Nenner reduzieren. Beispielsweise haben die Zahlen 100 und 150 einen gemeinsamen Teiler von 2. Reduzieren wir den Bruch \(\frac(100)(150)\) um 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Wir haben den reduzierbaren Bruch \(\frac(50)(75)\) erhalten.
Welche Brüche können gekürzt werden?
Antwort: Sie können Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(4)(8)\). Die Zahlen 4 und 8 haben eine Zahl, durch die sie beide teilbar sind – die Zahl 2. Daher kann ein solcher Bruch durch die Zahl 2 reduziert werden.
Beispiel:
Vergleichen Sie die beiden Brüche \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(8)(12)\).
Diese beiden Brüche sind gleich. Schauen wir uns den Bruch \(\frac(8)(12)\) genauer an:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Von hier aus erhalten wir \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Zwei Brüche sind genau dann gleich, wenn einer von ihnen durch Reduktion des anderen Bruchs um den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner entsteht.
Beispiel:
Wenn möglich, reduzieren Sie die folgenden Brüche: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Lösung:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreduzibler Bruch
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ mal 5)=\frac(2)(5)\)
