1.2.4. Faktorisierung eines Polynoms anhand seiner Wurzeln
Satz. Das Polynom P x soll die Wurzel x 1 haben. Dann kann dieses Polynom wie folgt faktorisiert werden: P x x x 1 S x , wobei S x ein Polynom ist, dessen Grad um eins kleiner ist
Werte abwechselnd in den Ausdruck für P x. Wir erhalten das, wenn x 2 Sie-
Der Ausdruck wird zu 0, d. h. P 2 0, was bedeutet, dass x 2 die Wurzel eines Multi- ist.
Mitglied. Teilen Sie das Polynom P x durch x 2 .
X 3 3x 2 10x 24
* 32 * 2
24 10 x
x2 x12
12x 2412x 24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x2 x3 x4
1.3. Ein vollständiges Quadrat auswählen
Die Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats basiert auf der Verwendung der Formeln: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Das Isolieren eines vollständigen Quadrats ist eine Identitätstransformation, bei der ein gegebenes Trinom als b 2 die Summe oder Differenz des Quadrats des Binomials und eines numerischen oder alphabetischen Ausdrucks dargestellt wird.
Quadratisches Trinom relativ zu variable Größe es gibt einen Ausdruck der Form
ax 2 bx c , wobei a ,b und c – gegebene Zahlen, und eine 0 .
Lassen Sie uns das quadratische Trinom ax 2 bx c wie folgt transformieren.
x2:
Koeffizient
Dann stellen wir den Ausdruck b x als 2b x ( Doppelprodukt
x ):a x
Zum Ausdruck in Klammern addieren und subtrahieren wir die Zahl
Polynome in mehreren Variablen können wie Polynome in einer Variablen addiert, multipliziert und auf eine natürliche Potenz erhöht werden.
Wichtig identische Transformation Ein Polynom in mehreren Variablen ist die Faktorisierung. Hier werden Faktorisierungsmethoden wie das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, das Gruppieren, die Verwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten, das Isolieren eines vollständigen Quadrats und das Einführen von Hilfsvariablen verwendet.
1. Faktorisieren Sie das Polynom P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2 Jahre 32 x 2x 364 Jahre 32 x 2x 4 Jahre x 24 Jahre 16 Jahre 2.
2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Wenden wir die Gruppierungsmethode an
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4 x3 y5 x z.
3. Faktor P x ,y x 4 4y 4 . Wählen wir ein vollständiges Quadrat aus:
x 4 Jahre 4x 44 x 2 Jahre 24 Jahre 24 x 2 Jahre 2x 22 Jahre 2 2 4 x 2 Jahre 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Eigenschaften eines Grades mit einem beliebigen rationalen Exponenten
Abschluss mit irgendjemandem rationaler Indikator hat die folgenden Eigenschaften:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2,
3. ein r 1r 2 ein r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
ein r 1
ar 1
br 1
wobei a 0;b 0;r 1;r 2 beliebige rationale Zahlen sind.
1. Multiplizieren Sie 8
x 3 12x 7.
24 x 23.
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24
2. Faktorisieren
ein 2x 3
1.6.
Übungen zum Selbermachen
1.
Führen Sie Aktionen mit abgekürzten Multiplikationsformeln aus. 1) ein 52 ;
2) 3 ein 72 ;
3) ein nb n2 .
4) 1 x 3 ;
3 Jahre 3 ;
7) 8 a 2 8a 2 ;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) ein 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Berechnen Sie mit abgekürzten Multiplikationsidentitäten:
1)
53
2
432
;
2)
22,4
2
22,32
;
4)
30 2
2
;
5)
51
2
;
6)
99
2
;
7)
17
2
2 17 23 232
;
8)
85
2
2 85 15 152
.
3. Beweisen Sie die Identitäten:
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 vc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48;
14) 15 Axt 3 45 Axt 2 45 Axt 15 a ;
15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 Jahre 2 2 3 x 28 Jahre 2 2 ;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Berechnen Sie auf einfachste Weise:
1)
59
3
413
;
2)
67
3
523
67 52.
119
6.
Finden Sie den Quotienten und den Rest eines Polynoms P x durch PolynomQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .
7.
Beweisen Sie, dass das Polynom x 2 2x 2 hat keine echten Wurzeln.
8.
Finden Sie die Wurzeln des Polynoms:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Faktor:
1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Lösen Sie Gleichungen, indem Sie ein vollständiges Quadrat isolieren:
Das Mathe-Programmunterscheidet das quadratische Binomial vom quadratischen Trinom, d.h. macht eine Transformation wie: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) und faktorisiert ein quadratisches Trinom: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Diese. Die Probleme laufen darauf hinaus, die Zahlen \(p, q\) und \(n, m\) zu finden.
Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess an.
Dieses Programm kann für Oberstufenschüler nützlich sein Weiterführende Schulen in Vorbereitung für Tests und Prüfungen beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, damit Eltern die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra kontrollieren können. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie es einfach so schnell wie möglich erledigen? Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihre Zeit verbringen eigene Ausbildung und/oder ihre Ausbildung jüngere Brüder oder Schwestern, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Probleme steigt.
Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Trinoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe fungieren. Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) usw.
Zahlen können als ganze oder gebrochene Zahlen eingegeben werden. Darüber hinaus, Bruchzahlen kann nicht nur als Dezimalzahl, sondern auch als gewöhnlicher Bruch eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen. In Dezimalzahlen Fraktion kann entweder durch einen Punkt oder ein Komma vom Ganzen getrennt werden. Sie können beispielsweise eintreten Dezimalzahlen so: 2,5x - 3,5x^2
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche. Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Beim Betreten numerischer Bruch Der Zähler wird vom Nenner durch ein Divisionszeichen getrennt: /
Ganzer Teil durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2 Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)
Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht. Zum Beispiel: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
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Eine kleine Theorie.
Isolieren des Quadrats eines Binomials von einem quadratischen Trinom
Wenn das quadratische Trinom ax 2 +bx+c als a(x+p) 2 +q dargestellt wird, wobei p und q sind reale Nummern, dann sagen sie das ab Quadratisches Trinom, das Quadrat des Binomials wird hervorgehoben.
Aus dem Trinom 2x 2 +12x+14 extrahieren wir das Quadrat des Binomials.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Stellen Sie sich dazu 6x als Produkt von 2*3*x vor und addieren und subtrahieren Sie dann 3 2. Wir bekommen: $$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Das. Wir Extrahieren Sie das quadratische Binomial aus dem quadratischen Trinom und zeigte Folgendes: $$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Faktorisieren eines quadratischen Trinoms
Wenn das quadratische Trinom ax 2 +bx+c in der Form a(x+n)(x+m) dargestellt wird, wobei n und m reelle Zahlen sind, dann gilt die Operation als ausgeführt Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.
Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie diese Transformation durchgeführt wird.
Lassen Sie uns das quadratische Trinom 2x 2 +4x-6 faktorisieren.
Nehmen wir den Koeffizienten a aus Klammern, d.h. 2: \(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern umwandeln. Stellen Sie sich dazu 2x als die Differenz 3x-1x und -3 als -1*3 vor. Wir bekommen: $$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$ $$ = 2(x-1)(x+3) $$
Das. Wir faktorisierte das quadratische Trinom und zeigte Folgendes: $$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Beachten Sie, dass die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms nur möglich ist, wenn: quadratische Gleichung, das diesem Trinom entspricht, hat Wurzeln. Diese. In unserem Fall ist es möglich, das Trinom 2x 2 +4x-6 zu faktorisieren, wenn die quadratische Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 Wurzeln hat. Bei der Faktorisierung haben wir festgestellt, dass die Gleichung 2x 2 + 4x-6 = 0 zwei Wurzeln 1 und -3 hat, weil Mit diesen Werten verwandelt sich die Gleichung 2(x-1)(x+3)=0 in eine echte Gleichheit.
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Definition
Ausdrücke der Form 2 x 2 + 3 x + 5 heißen quadratische Trinome. IN Allgemeiner Fall Ein quadratisches Trinom ist ein Ausdruck der Form a x 2 + b x + c, wobei a, b, c a, b, c - beliebige Zahlen und a ≠ 0.
Betrachten Sie das quadratische Trinom x 2 - 4 x + 5. Schreiben wir es in dieser Form: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Addieren wir zu diesem Ausdruck 2 2 und subtrahieren wir 2 2, erhalten wir: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Beachten Sie, dass x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, also x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Die Transformation, die wir vorgenommen haben, heißt „Isolierung eines perfekten Quadrats aus einem quadratischen Trinom“.
Bestimmen Sie das perfekte Quadrat aus dem quadratischen Trinom 9 x 2 + 3 x + 1.
Beachten Sie, dass 9 x 2 = (3 x) 2 , „3x=2*1/2*3x“. Dann ist „9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1“. Addieren und subtrahieren Sie „(1/2)^2“ zum resultierenden Ausdruck und erhalten Sie
Wir zeigen, wie die Methode der Isolierung eines perfekten Quadrats aus einem quadratischen Trinom zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms verwendet wird.
Faktorisieren Sie das quadratische Trinom 4 x 2 - 12 x + 5.
Wir wählen das perfekte Quadrat aus dem quadratischen Trinom aus: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Wenden wir nun die Formel a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) an, erhalten wir: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).
Faktorisieren Sie das quadratische Trinom - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Jetzt bemerken wir, dass 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x 2.
Fügen wir den Term 2 2 zum Ausdruck 9 x 2 - 12 x hinzu, wir erhalten:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Wir wenden die Formel für die Quadratdifferenz an, wir erhalten:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Faktorisieren Sie das quadratische Trinom 3 x 2 - 14 x - 5 .
Wir können den Ausdruck 3 x 2 nicht als Quadrat eines Ausdrucks darstellen, weil wir das in der Schule noch nicht gelernt haben. Sie werden dies später durchgehen und in Aufgabe Nr. 4 werden wir es studieren Quadratwurzeln. Lassen Sie uns zeigen, wie Sie ein gegebenes quadratisches Trinom faktorisieren können:
Wir zeigen Ihnen, wie Sie mit der Methode des perfekten Quadrats den größten oder kleinsten Wert eines quadratischen Trinoms ermitteln. Betrachten Sie das quadratische Trinom x 2 - x + 3. Wählen Sie ein vollständiges Quadrat aus:
„(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4“. Beachten Sie, dass bei „x=1/2“ der Wert des quadratischen Trinoms „11/4“ ist und bei „x!=1/2“ der Wert von „11/4“ addiert wird positive Zahl, also erhalten wir eine Zahl größer als „11/4“. Auf diese Weise, kleinster Wert Das quadratische Trinom ist „11/4“ und wird erhalten, wenn „x=1/2“.
Finden Sie den größten Wert des quadratischen Trinoms – 16 2 + 8 x + 6.
Wir wählen ein perfektes Quadrat aus einem quadratischen Trinom aus: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Wenn „x=1/4“ ist, beträgt der Wert des quadratischen Trinoms 7, und wenn „x!=1/4“ eine positive Zahl von der Zahl 7 subtrahiert wird, d. h. wir erhalten eine Zahl kleiner als 7. Die Nummer 7 ist also Höchster Wert quadratisches Trinom und wird erhalten, wenn „x=1/4“.
Faktorisieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs „(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)“ und reduzieren Sie den Bruch.
Beachten Sie, dass der Nenner des Bruchs x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 ist. Lassen Sie uns den Zähler des Bruchs faktorisieren, indem wir ein vollständiges Quadrat aus einem quadratischen Trinom isolieren. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Dieser Bruchteil führte zur Form `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` nach Reduktion um (x - 3) erhalten wir `(x+5)/(x-3)`.
Faktorisieren Sie das Polynom x 4 - 13 x 2 + 36.
Wenden wir die Methode der Isolierung eines vollständigen Quadrats auf dieses Polynom an. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
An diese Lektion Wir werden uns an alle zuvor untersuchten Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms erinnern und Beispiele für ihre Anwendung betrachten. Darüber hinaus werden wir sie untersuchen neue Methode- Methode zur Identifizierung eines vollständigen Quadrats und zum Erlernen der Anwendung bei der Lösung verschiedener Probleme.
Thema:Faktorisierung von Polynomen
Lektion:Faktorisierung von Polynomen. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats. Kombination von Methoden
Erinnern wir uns an die grundlegenden Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms, die zuvor untersucht wurden:
Die Methode, einen gemeinsamen Faktor aus Klammern zu setzen, d. h. einen Faktor, der in allen Termen des Polynoms vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Denken Sie daran, dass ein Monom das Produkt von Potenzen und Zahlen ist. In unserem Beispiel haben beide Begriffe einige gemeinsame, identische Elemente.
Wir möchten Sie daran erinnern, dass Sie die Richtigkeit des herausgenommenen Faktors überprüfen können, indem Sie den herausgenommenen Faktor mit einer Klammer multiplizieren.
Gruppierungsmethode. Es ist nicht immer möglich, einen gemeinsamen Faktor in einem Polynom zu extrahieren. In diesem Fall müssen Sie die Mitglieder so in Gruppen einteilen, dass Sie in jeder Gruppe einen gemeinsamen Faktor herausnehmen und versuchen können, ihn so aufzuschlüsseln, dass nach dem Herausnehmen der Faktoren in den Gruppen ein gemeinsamer Faktor in der Gruppe erscheint gesamten Ausdruck, und Sie können mit der Zerlegung fortfahren. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gruppieren wir den ersten Term mit dem vierten, den zweiten mit dem fünften und den dritten mit dem sechsten:
Lassen Sie uns die gemeinsamen Faktoren in den Gruppen herausarbeiten:
Der Ausdruck hat nun einen gemeinsamen Faktor. Nehmen wir es heraus:
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Schauen wir uns ein Beispiel an:
;
Schreiben wir den Ausdruck im Detail:
Offensichtlich haben wir die Formel für die quadrierte Differenz vor uns, da es sich um die Summe der Quadrate zweier Ausdrücke handelt, von denen ihr Doppelprodukt subtrahiert wird. Verwenden wir die Formel:
Heute lernen wir eine andere Methode kennen – die Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats. Es basiert auf den Formeln des Quadrats der Summe und des Quadrats der Differenz. Erinnern wir sie daran:
Formel für das Quadrat der Summe (Differenz);
Die Besonderheit dieser Formeln besteht darin, dass sie die Quadrate zweier Ausdrücke und deren Doppelprodukt enthalten. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Schreiben wir den Ausdruck auf:
Der erste Ausdruck lautet also und der zweite.
Um eine Formel für das Quadrat einer Summe oder Differenz zu erstellen, reicht das Doppelte des Produkts von Ausdrücken nicht aus. Es muss addiert und subtrahiert werden:
Vervollständigen wir das Quadrat der Summe:
Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck umwandeln:
Wenden wir die Formel für die Quadratdifferenz an. Denken Sie daran, dass die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke das Produkt und die Summe ihrer Differenz ist:
Also, diese Methode besteht zunächst darin, dass es notwendig ist, die Ausdrücke a und b zu identifizieren, die im Quadrat liegen, d. h. zu bestimmen, in welchen Ausdrücken sich die Quadrate befinden in diesem Beispiel. Danach müssen Sie prüfen, ob ein Doppelprodukt vorhanden ist. Wenn es nicht vorhanden ist, addieren und subtrahieren Sie es. Dies ändert nichts an der Bedeutung des Beispiels, aber das Polynom kann mithilfe der Formeln für das Quadrat von faktorisiert werden die Summe oder Differenz und Differenz der Quadrate, wenn möglich.
Fahren wir mit der Lösung von Beispielen fort.
Beispiel 1 – Faktorisieren:
Suchen wir nach quadrierten Ausdrücken:
Schreiben wir auf, wie ihr Doppelprodukt aussehen sollte:
Addieren und subtrahieren wir das doppelte Produkt:
Vervollständigen wir das Quadrat der Summe und geben ähnliche an:
Schreiben wir es mit der Quadratdifferenzformel:
Beispiel 2 – Lösen Sie die Gleichung:
;
Auf der linken Seite der Gleichung steht ein Trinom. Sie müssen es in Faktoren zerlegen. Wir verwenden die quadrierte Differenzformel:
Wir haben das Quadrat des ersten Ausdrucks und das Doppelprodukt, das Quadrat des zweiten Ausdrucks fehlt, addieren und subtrahieren wir es:
Falten wir ein vollständiges Quadrat und geben ähnliche Begriffe an:
Wenden wir die Formel für die Quadratdifferenz an:
Wir haben also die Gleichung
Wir wissen, dass das Produkt nur dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren vorliegt gleich Null. Lassen Sie uns auf dieser Grundlage die folgenden Gleichungen erstellen:
Lösen wir die erste Gleichung:
Lösen wir die zweite Gleichung:
Antwort: oder
;
Wir gehen ähnlich wie im vorherigen Beispiel vor – wählen Sie das Quadrat der Differenz.
Wie ich bereits bemerkt habe, in Integralrechnung Es gibt keine praktische Formel zum Integrieren eines Bruchs. Und deshalb gibt es einen traurigen Trend: Je komplexer der Bruch, desto schwieriger ist es, sein Integral zu finden. Dabei muss man auf verschiedene Tricks zurückgreifen, von denen ich euch nun erzählen werde. Vorbereitete Leser können sofort davon profitieren Inhaltsverzeichnis:
Methode zur Subsumierung des Differentialzeichens für einfache Brüche
Methode zur Konvertierung künstlicher Zähler
Beispiel 1
Übrigens kann das betrachtete Integral auch durch die Änderung der Variablenmethode gelöst werden, was bedeutet, aber das Schreiben der Lösung wird viel länger dauern.
Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Es ist zu beachten, dass die Variablenersetzungsmethode hier nicht mehr funktioniert.
Achtung, wichtig! Die Beispiele Nr. 1, 2 sind typisch und kommen häufig vor. Insbesondere entstehen solche Integrale häufig bei der Lösung anderer Integrale, insbesondere bei der Integration irrationaler Funktionen (Wurzeln).
Die betrachtete Technik funktioniert auch in diesem Fall wenn der höchste Grad des Zählers größer ist als der höchste Grad des Nenners.
Beispiel 3
Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.
Wir beginnen mit der Auswahl des Zählers.
Der Algorithmus zur Auswahl des Zählers sieht etwa so aus:
1) Im Zähler muss ich organisieren, aber dort. Was zu tun ist? Ich setze es in Klammern und multipliziere mit: .
2) Jetzt versuche ich diese Klammern zu öffnen, was passiert? . Hmm... das ist besser, aber im Zähler steht zunächst keine Zwei. Was zu tun ist? Sie müssen multiplizieren mit:
3) Ich öffne die Klammern erneut: . Und hier ist der erste Erfolg! Es ist genau richtig geworden! Das Problem ist jedoch, dass ein zusätzlicher Begriff aufgetaucht ist. Was zu tun ist? Um zu verhindern, dass sich der Ausdruck ändert, muss ich meiner Konstruktion Folgendes hinzufügen: . Das Leben ist einfacher geworden. Ist eine erneute Organisation im Zähler möglich?
4) Es ist möglich. Lass es uns versuchen: . Öffnen Sie die Klammern des zweiten Termes: . Entschuldigung, aber im vorherigen Schritt hatte ich tatsächlich , nicht . Was zu tun ist? Sie müssen den zweiten Term multiplizieren mit:
5) Zur Kontrolle öffne ich noch einmal die Klammern im zweiten Term: . Jetzt ist es normal: abgeleitet von der endgültigen Konstruktion von Punkt 3! Aber auch hier gibt es ein kleines „aber“, es ist ein zusätzlicher Begriff aufgetaucht, was bedeutet, dass ich meinen Ausdruck ergänzen muss:
Wenn alles richtig gemacht ist, sollten wir beim Öffnen aller Klammern den ursprünglichen Zähler des Integranden erhalten. Wir überprüfen: Haube.
Auf diese Weise:
Bereit. Im letzten Semester habe ich die Methode verwendet, eine Funktion unter einem Differential zu subsumieren.
Wenn wir die Ableitung der Antwort finden und den Ausdruck auf reduzieren gemeinsamer Nenner, dann erhalten wir genau die ursprüngliche Integrandenfunktion. Die betrachtete Methode der Zerlegung in eine Summe ist nichts anderes als umgekehrte Aktion einen Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Algorithmus zur Auswahl des Zählers in ähnliche Beispiele Es ist besser, es in Entwurfsform zu machen. Mit einigen Fähigkeiten wird es mental funktionieren. Ich erinnere mich an einen rekordverdächtigen Fall, als ich eine Auswahl für die 11. Potenz durchführte und die Erweiterung des Zählers fast zwei Verd-Zeilen einnahm.
Beispiel 4
Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.
Methode zur Subsumierung des Differentialzeichens für einfache Brüche
Lassen Sie uns mit der Überlegung fortfahren nächster Typ Brüche. , , , (Koeffizienten und sind ungleich Null).
Tatsächlich wurden in der Lektion bereits einige Fälle mit Arkussinus und Arkustangens erwähnt Methode zur Variablenänderung im unbestimmten Integral. Solche Beispiele werden gelöst, indem die Funktion unter dem Differentialzeichen subsumiert und mithilfe einer Tabelle weiter integriert wird. Hier ist ein anderes typische Beispiele mit langem und hoher Logarithmus:
Beispiel 5
Beispiel 6
Hier empfiehlt es sich, eine Integraltabelle in die Hand zu nehmen und nachzusehen, welche Formeln und Wie Transformation findet statt. Beachten Sie, wie und warum Die Quadrate in diesen Beispielen sind hervorgehoben. Insbesondere in Beispiel 6 müssen wir zunächst den Nenner in der Form darstellen , dann bringen Sie es unter das Differentialzeichen. Und all dies muss getan werden, um den Standard nutzen zu können tabellarische Formel.
Warum schauen, versuchen Sie, die Beispiele Nr. 7, 8 selbst zu lösen, zumal sie recht kurz sind:
Beispiel 7
Beispiel 8
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Wenn Sie es auch schaffen, diese Beispiele zu überprüfen, dann großer Respekt – Ihre Differenzierungsfähigkeiten sind ausgezeichnet.
Vollständige quadratische Auswahlmethode
Integrale der Form (Koeffizienten und sind ungleich Null) werden gelöst vollständige quadratische Extraktionsmethode, das bereits in der Lektion vorkam Geometrische Transformationen von Graphen.
Tatsächlich reduzieren sich solche Integrale auf eines der vier Tabellenintegrale, die wir gerade betrachtet haben. Und das gelingt mit bekannten abgekürzten Multiplikationsformeln:
Die Formeln werden genau in dieser Richtung angewendet, das heißt, die Idee der Methode besteht darin, die Ausdrücke künstlich im Nenner zu organisieren und sie dann entsprechend in beide umzuwandeln.
Beispiel 9
Finden Sie das unbestimmte Integral
Das einfachstes Beispiel, indem mit dem Begriff – Einheitskoeffizient(und nicht irgendeine Zahl oder ein Minus).
Schauen wir uns den Nenner an, hier ist die ganze Sache eindeutig auf den Zufall zurückzuführen. Beginnen wir mit der Umrechnung des Nenners:
Offensichtlich müssen Sie 4 addieren. Und damit sich der Ausdruck nicht ändert, subtrahieren Sie dieselben vier:
Jetzt können Sie die Formel anwenden:
Nachdem die Konvertierung abgeschlossen ist STETS es ist ratsam durchzuführen Rückwärtshub: , alles ist in Ordnung, es gibt keine Fehler.
Das endgültige Design des betreffenden Beispiels sollte etwa so aussehen:
Bereit. Zusammenfassung von „Freebie“ komplexe Funktion unter dem Differentialzeichen: könnte grundsätzlich vernachlässigt werden
Beispiel 10
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion
Beispiel 11
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Was tun, wenn vorne ein Minus steht? In diesem Fall müssen wir das Minus aus den Klammern entfernen und die Begriffe in der benötigten Reihenfolge anordnen: . Konstante(„zwei“ in in diesem Fall) Nicht anfassen!
Jetzt fügen wir eins in Klammern hinzu. Bei der Analyse des Ausdrucks kommen wir zu dem Schluss, dass wir eins außerhalb der Klammern hinzufügen müssen:
Hier erhalten wir die Formel, anwenden:
STETS Wir prüfen den Entwurf: , was überprüft werden musste.
Das saubere Beispiel sieht in etwa so aus:
Die Aufgabe schwieriger machen
Beispiel 12
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Hier handelt es sich nicht mehr um einen Einheitskoeffizienten, sondern um eine „Fünf“.
(1) Wenn es eine Konstante gibt, entfernen wir sie sofort aus der Klammer.
(2) Im Allgemeinen ist es immer besser, diese Konstante außerhalb des Integrals zu verschieben, damit sie nicht im Weg ist.
(3) Natürlich kommt es auf die Formel an. Wir müssen den Begriff verstehen, nämlich die „zwei“ bekommen
(4) Ja, . Das bedeutet, dass wir den gleichen Bruch addieren und subtrahieren.
(5) Wählen Sie nun ein vollständiges Quadrat aus. Im allgemeinen Fall müssen wir auch berechnen, aber hier haben wir die Formel für einen langen Logarithmus , und es hat keinen Sinn, die Aktion auszuführen; warum, wird weiter unten klar werden.
(6) Tatsächlich können wir die Formel anwenden , nur dass wir anstelle von „X“ haben, was die Gültigkeit des Tabellenintegrals nicht negiert. Genau genommen wurde ein Schritt versäumt – vor der Integration hätte die Funktion unter dem Differentialzeichen subsumiert werden müssen: , aber wie ich immer wieder festgestellt habe, wird dies oft vernachlässigt.
(7) In der Antwort unter der Wurzel empfiehlt es sich, alle Klammern nach hinten zu erweitern:
Schwierig? Dies ist nicht der schwierigste Teil der Integralrechnung. Allerdings sind die betrachteten Beispiele nicht so komplex, sondern erfordern gute Rechentechniken.
Beispiel 13
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.
Es gibt Integrale mit Wurzeln im Nenner, die durch eine Substitution auf Integrale der betrachteten Art reduziert werden; Sie können sie im Artikel nachlesen Komplexe Integrale, aber es ist für sehr vorbereitete Schüler konzipiert.
Subsumieren des Zählers unter dem Differentialzeichen
Das letzter Teil Lektion, Integrale dieser Art kommen jedoch recht häufig vor! Wenn Sie müde sind, ist es vielleicht besser, morgen zu lesen? ;)
Die Integrale, die wir betrachten werden, ähneln den Integralen des vorherigen Absatzes, sie haben die Form: oder (Koeffizienten , und sind ungleich Null).
Das heißt, in unserem Zähler haben wir lineare Funktion. Wie löst man solche Integrale?
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. Das Leben ist einfacher geworden. Ist eine erneute Organisation im Zähler möglich?
. Öffnen Sie die Klammern des zweiten Termes: 
. Entschuldigung, aber im vorherigen Schritt hatte ich tatsächlich , nicht . Was zu tun ist? Sie müssen den zweiten Term multiplizieren mit: 
. Jetzt ist es normal: abgeleitet von der endgültigen Konstruktion von Punkt 3! Aber auch hier gibt es ein kleines „aber“, es ist ein zusätzlicher Begriff aufgetaucht, was bedeutet, dass ich meinen Ausdruck ergänzen muss: 
, dann bringen Sie es unter das Differentialzeichen. Und all dies muss getan werden, um den Standard nutzen zu können 
.
(Koeffizienten und sind ungleich Null) werden gelöst vollständige quadratische Extraktionsmethode, das bereits in der Lektion vorkam Geometrische Transformationen von Graphen.
, und es hat keinen Sinn, die Aktion auszuführen; warum, wird weiter unten klar werden.
, nur dass wir anstelle von „X“ haben, was die Gültigkeit des Tabellenintegrals nicht negiert. Genau genommen wurde ein Schritt versäumt – vor der Integration hätte die Funktion unter dem Differentialzeichen subsumiert werden müssen: 
, aber wie ich immer wieder festgestellt habe, wird dies oft vernachlässigt.
(Koeffizienten , und sind ungleich Null).
