Operationen mit rationalen Brüchen. Rationale Brüche. Reduktion rationaler Brüche

Irgendein gebrochener Ausdruck(Punkt 48) kann geschrieben werden als , wobei P und Q rationale Ausdrücke sind und Q notwendigerweise Variablen enthält. Einen solchen Bruch nennt man rationalen Bruch.

Beispiele für rationale Brüche:

Die Haupteigenschaft eines Bruchs wird durch eine unter den hier gegebenen Bedingungen gültige Identität ausgedrückt - ein ganzer rationaler Ausdruck. Das bedeutet, dass Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit derselben Zahl ungleich Null, Monom oder Polynom, multipliziert oder dividiert werden können.

Beispielsweise kann die Eigenschaft eines Bruchs verwendet werden, um die Vorzeichen der Glieder eines Bruchs zu ändern. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit -1 multipliziert werden, erhalten wir also: Der Wert des Bruchs ändert sich nicht, wenn die Vorzeichen von Zähler und Nenner gleichzeitig geändert werden. Wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen:

Zum Beispiel,

60. Reduktion rationaler Brüche.

Einen Bruch kürzen bedeutet, Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. Die Möglichkeit einer solchen Reduzierung ergibt sich aus der Haupteigenschaft der Fraktion.

Um einen rationalen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner faktorisieren. Wenn sich herausstellt, dass Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, kann der Bruch gekürzt werden. Wenn es keine gemeinsamen Teiler gibt, ist die Umrechnung des Bruchs durch Kürzung nicht möglich.

Beispiel. Bruchteil reduzieren

Lösung. Wir haben

Die Kürzung des Bruchs erfolgt unter der Bedingung .

61. Rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der gemeinsame Nenner mehrerer rationaler Brüche ist der gesamte rationale Ausdruck, der durch den Nenner jedes Bruchs geteilt wird (siehe Punkt 54).

Zum Beispiel dient ein Polynom als gemeinsamer Nenner von Brüchen, da es durch und durch und durch und durch ein Polynom und ein Polynom und ein Polynom usw. teilbar ist. Normalerweise wird ein solcher gemeinsamer Nenner genommen, durch den jeder andere gemeinsame Nenner teilbar ist Echosen. Eine solche einfachster Nenner manchmal auch als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

Im obigen Beispiel ist der gemeinsame Nenner Wir haben

Bringt man diese Brüche zu gemeinsamer Nenner erreicht durch Multiplikation des Zählers und Nenners des ersten Bruchs mit 2. und des Zählers und Nenners des zweiten Bruchs mit Polynomen werden zusätzliche Faktoren für den ersten bzw. zweiten Bruch genannt. Der zusätzliche Faktor für einen gegebenen Bruch ist gleich dem Quotienten aus der Division des gemeinsamen Nenners durch den Nenner des gegebenen Bruchs.

Um mehrere rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, benötigen Sie:

1) den Nenner jedes Bruchs in Faktoren zerlegen;

2) einen gemeinsamen Nenner bilden, indem alle Faktoren, die in Absatz 1) der Erweiterungen erhalten wurden, als Faktoren darin enthalten sind; wenn ein bestimmter Faktor in mehreren Erweiterungen existiert, dann wird er mit einem Exponenten genommen, der gleich dem größten der verfügbaren ist;

3) Auffinden zusätzlicher Faktoren für jeden der Brüche (dazu wird der gemeinsame Nenner durch den Nenner des Bruchs dividiert);

4) Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren, den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Beispiel. Reduzieren Sie auf einen gemeinsamen Nenner eines Bruchs

Lösung. Faktorisieren wir die Nenner:

Folgende Faktoren müssen in den gemeinsamen Nenner aufgenommen werden: und das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12, 18, 24, also . Der gemeinsame Nenner ist also

Zusätzliche Multiplikatoren: für den ersten Bruch für den zweiten für den dritten Also erhalten wir:

62. Addition und Subtraktion rationaler Brüche.

Die Summe von zwei (und im Allgemeinen jeder endliche Zahl) rationale Brüche mit gleiche Nenner identisch gleich einem Bruch mit gleichem Nenner und Zähler, gleich der Summe Zähler addierter Brüche:

Ähnlich verhält es sich bei der Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiel 1: Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lösung.

Mit rationalen Brüchen addieren oder subtrahieren verschiedene Nenner Zunächst müssen Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann Operationen mit den resultierenden Brüchen mit denselben Nennern durchführen.

Beispiel 2: Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lösung. Wir haben

63. Multiplikation und Division rationaler Brüche.

Das Produkt zweier (und im Allgemeinen jeder endlichen Zahl) rationaler Brüche ist identisch gleich dem Bruch, dessen Zähler ist gleich dem Produkt Zähler und Nenner - das Produkt der Nenner der multiplizierten Brüche:

Der Quotient der Division zweier rationaler Brüche ist identisch gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem Produkt des Zählers des ersten Bruchs durch den Nenner des zweiten Bruchs ist, und dessen Nenner das Produkt des Nenners des ersten Bruchs durch ist Zähler des zweiten Bruchs:

Die formulierten Regeln für Multiplikation und Division gelten auch für den Fall der Multiplikation oder Division mit einem Polynom: Es genügt, dieses Polynom als Bruch mit dem Nenner 1 zu schreiben.

Angesichts der Möglichkeit, den durch Multiplikation oder Division rationaler Brüche erhaltenen rationalen Bruch zu kürzen, wird normalerweise versucht, die Zähler und Nenner der ursprünglichen Brüche zu faktorisieren, bevor diese Operationen durchgeführt werden.

Beispiel 1. Multiplizieren

Lösung. Wir haben

Unter Verwendung der Regel der Multiplikation von Brüchen erhalten wir:

Beispiel 2: Division durchführen

Lösung. Wir haben

Mit der Divisionsregel erhalten wir:

64. Erhöhen eines rationalen Bruchs auf eine ganzzahlige Potenz.

Um einen rationalen Bruch zu erhöhen natürlichen Grad, müssen Sie Zähler und Nenner des Bruchs separat potenzieren; der erste Ausdruck ist der Zähler und der zweite Ausdruck der Nenner des Ergebnisses:

Beispiel 1. Wandle eine Potenz von 3 in einen Bruch um.

Lösung Lösung.

Beim Erhöhen eines Bruchs zu einem Ganzen negativer Grad die Identität verwendet wird, die für alle Werte der Variablen gilt, für die .

Beispiel 2. Ausdruck in Bruch umwandeln

65. Transformation rationaler Ausdrücke.

Die Umwandlung eines rationalen Ausdrucks läuft auf das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von rationalen Brüchen sowie das Potenzieren eines Bruchs mit einer natürlichen Potenz hinaus. Jeder rationale Ausdruck kann in einen Bruch umgewandelt werden, dessen Zähler und Nenner ganzzahlige rationale Ausdrücke sind; dies ist in der Regel das Ziel identischer Transformationen rationale Ausdrücke.

Beispiel. Ausdruck vereinfachen

66. Die einfachsten Transformationen arithmetischer Wurzeln (Wurzeln).

Bei der Umrechnung arithmetischer Coria werden deren Eigenschaften verwendet (siehe Punkt 35).

Betrachten Sie einige Beispiele zur Verwendung von Eigenschaften arithmetische Wurzeln für die einfachsten Umwandlungen von Radikalen. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass alle Variablen nur nicht negative Werte annehmen.

Beispiel 1. Extrahieren Sie die Wurzel des Produkts

Lösung. Wenn wir die Eigenschaft 1° anwenden, erhalten wir:

Beispiel 2. Nehmen Sie den Faktor unter dem Wurzelzeichen heraus

Lösung.

Eine solche Transformation wird als Ausklammern unter dem Wurzelzeichen bezeichnet. Der Zweck der Transformation besteht darin, den Wurzelausdruck zu vereinfachen.

Beispiel 3: Vereinfachen.

Lösung. Gemäß Eigenschaft 3° versuchen wir normalerweise, den Wurzelausdruck zu vereinfachen, wofür sie die Multiplikatoren jenseits des Coriumzeichens herausnehmen. Wir haben

Beispiel 4: Vereinfachen

Lösung. Wir wandeln den Ausdruck um, indem wir unter dem Vorzeichen der Wurzel einen Faktor einführen: Nach Eigenschaft 4° haben wir

Beispiel 5: Vereinfachen

Lösung. Durch die Eigenschaft 5° haben wir den richtigen Exponenten von Wurzel und Exponent radikaler Ausdruck in dasselbe teilen natürliche Zahl. Wenn wir im betrachteten Beispiel die angegebenen Indikatoren durch 3 teilen, erhalten wir .

Beispiel 6. Ausdrücke vereinfachen:

Lösung a) Durch die Eigenschaft 1° erhalten wir, dass es zum Multiplizieren von Wurzeln gleichen Grades ausreicht, die Wurzelausdrücke zu multiplizieren und die Wurzel desselben Grades aus dem erhaltenen Ergebnis zu ziehen. Meint,

b) Zunächst müssen wir die Radikale auf einen Index reduzieren. Nach Eigenschaft 5° können wir den Exponenten der Wurzel mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren. Als nächstes haben wir nun das Ergebnis, das wir erhalten, indem wir die Indikatoren der Wurzel und den Grad des Wurzelausdrucks durch 3 dividieren, wir erhalten .

Definition.Die Summe der ganzzahligen nicht negativen Potenzen des unbekannten X, genommen mit einigen numerischen Koeffizienten, wird als Polynom bezeichnet.

Hier: sind reelle Zahlen.

n- Grad eines Polynoms.

Operationen auf Polynomen.

eines). Beim Addieren (Subtrahieren) zweier Polynome werden die Koeffizienten bei addiert (subtrahiert). gleichen Grad unbekannt x.

2). Zwei Polynome sind gleich, wenn sie denselben Grad und gleiche Koeffizienten bei denselben Potenzen von X haben.

3). Der Grad eines Polynoms, der durch Multiplizieren zweier Polynome erhalten wird, ist gleich der Summe der Grade der multiplizierten Polynome.

vier). Lineare Operationen an Polynomen haben die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität und Distributivität.

5) Die Division eines Polynoms durch ein Polynom kann nach der Regel "Division durch eine Ecke" durchgeführt werden.

Definition. Die Zahl x \u003d a wird als Wurzel des Polynoms bezeichnet, wenn sie durch ihre Substitution in das Polynom auf Null gesetzt wird, d.h.

Satz von Bezout. Rest der Division eines Polynoms
in ein Binomial (x-a) gleich dem Wert Polynom bei x=a, d.h.

Nachweisen.

Lass wo

Unter der Annahme x = a in der Gleichung erhalten wir

eines). Bei der Division eines Polynoms durch ein Binom (x-a) ist der Rest immer eine Zahl.

2). Wenn a die Wurzel eines Polynoms ist, dann ist das Polynom ohne Rest durch das Binom (x-a) teilbar.

3) Dividiert man ein Polynom vom Grad n durch ein Binom (x-a) im Quotienten, erhält man ein Polynom vom Grad (n-1).

Fundamentalsatz der Algebra.Beliebiges Gradpolynomn (n>1) hat mindestens eine Wurzel(ohne Beweis angegeben).

Folge.Beliebiges Gradpolynom n hat genau n Wurzeln und über dem Körper der komplexen Zahlen zerfällt in ein Produkt n lineare Faktoren, d.h. Unter den Wurzeln eines Polynoms es können sich wiederholende Zahlen (mehrere Wurzeln) vorkommen. Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten können komplexe Wurzeln nur als konjugierte Paare auftreten. Beweisen wir die letzte Behauptung.

Lassen
- komplexe Wurzel Polynom, dann Basiert auf Allgemeingut komplexe Zahlen können somit behauptet werden
ist auch eine Wurzel.

Jedes Paar konjugiert komplexer Wurzeln eines Polynoms entspricht einem quadratischen Trinom mit reellen Koeffizienten.

hier p, q- reelle Zahlen (mit einem Beispiel zeigen).

Fazit.Jedes Polynom kann als Produkt linearer Faktoren und quadratischer Trinome mit reellen Koeffizienten dargestellt werden.

Rationale Brüche.

Ein rationaler Bruch ist das Verhältnis zweier Polynome.

Wenn ein
, dann heißt der rationale Bruch echt. BEI Andernfalls Bruchteil ist falsch. Jeder unechte Bruch kann als Summe eines Polynoms (Quotient) und eines echten rationalen Bruchs dargestellt werden, indem das Polynom im Zähler durch das Polynom im Nenner dividiert wird.

ist ein unechter rationaler Bruch.

Dieser unechte rationale Bruch kann nun in folgender Form dargestellt werden.

In Anbetracht dessen werden wir in Zukunft nur noch echte rationale Brüche betrachten.

Es gibt sogenannte einfache rationale Brüche – das sind Brüche, die in keiner Weise vereinfacht werden können. Diese einfachen Brüche sehen so aus:

Ein echter rationaler Bruch einer komplexeren Form kann immer als Summe einfacher rationaler Brüche dargestellt werden. Die Menge der Brüche wird durch die Menge der Wurzeln des Polynoms im Nenner eines regulären irreduziblen rationalen Bruchs bestimmt. Die Regel zum Zerlegen eines Bruchs in den einfachsten lautet wie folgt.

Lassen Sie einen rationalen Bruch in der folgenden Form darstellen.

Hier gibt es im Zähler der einfachsten Brüche unbekannte Koeffizienten, die immer nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden können. Das Wesen des Verfahrens besteht darin, die Koeffizienten mit denselben Potenzen X des Polynoms im Zähler des ursprünglichen Bruchs und des Polynoms im Zähler des Bruchs, der nach dem Reduzieren der einfachsten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erhalten wird, gleichzusetzen.

Wir setzen die Koeffizienten bei denselben Potenzen von X gleich.

Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten Koeffizienten, erhalten wir.

Dieser Bruch kann also durch einen Satz der folgenden einfachen Brüche dargestellt werden.

Durch Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner sind wir von der Richtigkeit der Problemlösung überzeugt.

Sie sieht aus wie

wobei P(x) und Q(x) einige Polynome sind.

Unterscheiden Sie zwischen echten und unechten rationalen Brüchen in Analogie zu gewöhnlichen Brüche. Ein rationaler Bruch heißt echt, wenn die Ordnung des Nenners ist mehr Ordnung Zähler und falsch, wenn umgekehrt.

Jeder unechte rationale Bruch kann in die Summe eines Polynoms und eines echten rationalen Bruchs umgewandelt werden

Jeder rationale Bruch von Polynomen mit reellen Koeffizienten kann als Summe rationaler Brüche dargestellt werden, deren Nenner die Ausdrücke sind (x − a) k (a ist die reelle Wurzel von Q(x)) oder (x 2 + px + q) k (wo x 2 + px + q hat nicht echte Wurzeln), und der Grad von k ist nicht größer als die Vielfachheit der entsprechenden Nullstellen im Polynom Q(x). Auf dieser Aussage basiert ein Satz über die Integrierbarkeit eines rationalen Bruchs. Ihrer Meinung nach kann jeder rationale Bruch integriert werden elementare Funktionen, was die Klasse der rationalen Brüche in der Analysis ziemlich wichtig macht.

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was "rationaler Bruch" ist:

Eine rationale Funktion ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Es hat die Form wo, Polynome in einer beliebigen Anzahl von Variablen. Ein Sonderfall sind rationale Funktionen einer Variablen: wo ... ... Wikipedia

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Bruch. 8 / 13 Zähler Zähler Nenner Nenner Zwei Einträge eines Bruchs Ein Bruch ist in der Mathematik eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen besteht ... ... Wikipedia

Wiktionary hat einen Eintrag für "Fraktion" Englische Sprache, der Name des Symbols Solidus (englisch) oder Schrägstrich), beispielsweise in Hausnummern. Die Hausnummer „5/17“ lautet also „fünf … … Wikipedia

1) R. f. Funktion w=R(z), wobei R(z) ein rationaler Ausdruck in z ist, d. h. ein Ausdruck, der aus einer unabhängigen Variablen z und einer endlichen Menge von Zahlen (reell oder komplex) mittels einer endlichen Anzahl von Arithmetik erhalten wird . Aktionen. R. f. ... ... Mathematische Enzyklopädie

Viertel Rationale Zahl(lat. Verhältnis Verhältnis, Teilung, Bruch) die dargestellte Zahl gemeinsamer Bruchteil, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. In diesem Fall wird die Zahl m als Zähler und die Zahl n als Nenner des Bruchs bezeichnet. Taku ... Wikipedia

Viertel Eine rationale Zahl (lat. Verhältnis, Teilung, Bruch) ist eine Zahl, die durch einen gewöhnlichen Bruch dargestellt wird, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. In diesem Fall wird die Zahl m als Zähler und die Zahl n als Nenner des Bruchs bezeichnet. Taku ... Wikipedia

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Bruch. Der einfachste Bruch ach heißt grad rationale Funktion die Art, wo es braucht natürliche Werte, und die Punkte, die die Pole der Funktion sind, sind nicht unbedingt geometrisch verschieden. ... ... Wikipedia

Eine Zahl, ausgedrückt als rationaler Bruch. Die formale Theorie der r. H. wird mit Hilfe von Paaren ganzer Zahlen konstruiert. R a t i o n a ein geordnetes Paar von (a, b) ganzen Zahlen a und b, y mit b#0. Zwei rationale Brüche und naz. e c v i v a l e n ... Mathematische Enzyklopädie

Viertel Eine rationale Zahl (lat. Verhältnis, Teilung, Bruch) ist eine Zahl, die durch einen gewöhnlichen Bruch dargestellt wird, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. In diesem Fall wird die Zahl m als Zähler und die Zahl n als Nenner des Bruchs bezeichnet. Taku ... Wikipedia

Aus dem Algebrakurs Lehrplan Kommen wir zu den Einzelheiten. In diesem Artikel werden wir im Detail studieren besondere Art rationale Ausdrücke - rationale Brüche, und analysieren Sie auch, welche Merkmale identisch sind Transformationen rationaler Brüche stattfinden.

Wir bemerken gleich, dass rationale Brüche in dem Sinne, in dem wir sie unten definieren, in einigen Lehrbüchern der Algebra als algebraische Brüche bezeichnet werden. Das heißt, in diesem Artikel werden wir dasselbe unter rationalen und algebraischen Brüchen verstehen.

Wie üblich beginnen wir mit einer Definition und Beispielen. Lassen Sie uns als Nächstes darüber sprechen, einen rationalen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen und die Vorzeichen der Mitglieder des Bruchs zu ändern. Danach werden wir analysieren, wie die Reduktion von Brüchen durchgeführt wird. Lassen Sie uns abschließend auf die Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe mehrerer Brüche eingehen. Wir werden alle Informationen mit Beispielen mitliefern detaillierte Beschreibungen Lösungen.

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Definition und Beispiele für rationale Brüche

Rationale Brüche werden im Algebraunterricht der 8. Klasse behandelt. Wir werden die Definition eines rationalen Bruchs verwenden, die im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse von Yu. N. Makarychev und anderen angegeben ist.

BEI diese Definition es wird nicht angegeben, ob die Polynome im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sein müssen Standard Ansicht oder nicht. Daher nehmen wir an, dass rationale Brüche sowohl Standard- als auch Nicht-Standard-Polynome enthalten können.

Hier sind ein paar Beispiele für rationale Brüche. Also , x/8 und - rationale Brüche. Und Brüche und passen nicht zur fundierten Definition eines rationalen Bruchs, da im ersten der Zähler kein Polynom ist und im zweiten sowohl der Zähler als auch der Nenner Ausdrücke enthalten, die keine Polynome sind.

Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs umrechnen

Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs sind autark mathematische Ausdrücke, bei rationalen Brüchen sind dies Polynome, im Einzelfall Monome und Zahlen. Daher können mit Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs, wie mit jedem Ausdruck, identische Transformationen durchgeführt werden. Mit anderen Worten, der Ausdruck im Zähler eines rationalen Bruchs kann durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt werden, genau wie der Nenner.

Im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs können identische Transformationen durchgeführt werden. Im Zähler können Sie beispielsweise ähnliche Terme gruppieren und kürzen und im Nenner das Produkt mehrerer Zahlen durch seinen Wert ersetzen. Und da Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sind, lassen sich mit ihnen für Polynome charakteristische Transformationen durchführen, beispielsweise Reduktion auf eine Standardform oder Darstellung als Produkt.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Konvertieren Sie den rationalen Bruch so dass der Zähler ein Polynom der Standardform ist und der Nenner das Produkt von Polynomen ist.

Lösung.

Das Kürzen rationaler Brüche auf einen neuen Nenner wird hauptsächlich beim Addieren und Subtrahieren rationaler Brüche verwendet.

Vorzeichenwechsel vor einem Bruch sowie in dessen Zähler und Nenner

Die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs kann verwendet werden, um die Vorzeichen der Terme des Bruchs zu ändern. Die Multiplikation von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit -1 ist nämlich gleichbedeutend mit einer Änderung ihrer Vorzeichen, und das Ergebnis ist ein Bruch, der identisch gleich dem gegebenen ist. Bei der Arbeit mit rationalen Brüchen muss eine solche Transformation häufig verwendet werden.

Wenn Sie also gleichzeitig die Vorzeichen des Zählers und des Nenners eines Bruchs ändern, erhalten Sie einen Bruch, der dem ursprünglichen entspricht. Diese Aussage entspricht der Gleichheit.

Nehmen wir ein Beispiel. Ein rationaler Bruch kann durch einen identisch gleichen Bruch mit vertauschten Vorzeichen von Zähler und Nenner der Form ersetzt werden.

Mit Brüchen kannst du noch einen machen Identitätstransformation, bei der sich das Vorzeichen entweder im Zähler oder im Nenner ändert. Lassen Sie uns die entsprechende Regel durchgehen. Wenn Sie das Vorzeichen eines Bruchs zusammen mit dem Vorzeichen des Zählers oder Nenners ersetzen, erhalten Sie einen Bruch, der identisch gleich dem Original ist. Die schriftliche Aussage entspricht den Gleichheiten und .

Es ist nicht schwierig, diese Gleichheiten zu beweisen. Der Beweis basiert auf den Eigenschaften der Multiplikation von Zahlen. Lassen Sie uns den ersten von ihnen beweisen: . Mit Hilfe ähnlicher Umformungen wird auch die Gleichheit bewiesen.

Beispielsweise kann ein Bruch durch einen Ausdruck oder ersetzt werden.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts präsentieren wir zwei weitere nützliche Gleichungen und . Das heißt, wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen. Zum Beispiel, und .

Die betrachteten Transformationen, die es ermöglichen, das Vorzeichen der Terme eines Bruchs zu ändern, werden häufig bei der Transformation von gebrochen rationalen Ausdrücken verwendet.

Reduktion rationaler Brüche

Die folgende Transformation rationaler Brüche, genannt Reduktion rationaler Brüche, basiert auf der gleichen Grundeigenschaft eines Bruchs. Diese Transformation entspricht der Gleichheit , wobei a , b und c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind.

Aus der obigen Gleichheit wird deutlich, dass die Kürzung eines rationalen Bruchs das Loslassen impliziert gemeinsamer Multiplikator in seinem Zähler und Nenner.

Beispiel.

Reduziere den rationalen Bruch.

Lösung.

Der gemeinsame Faktor 2 ist sofort sichtbar, reduzieren wir ihn (beim Schreiben ist es zweckmäßig, die gemeinsamen Faktoren zu streichen, um die die Reduzierung erfolgt). Wir haben . Da x 2 \u003d x x und y 7 \u003d y 3 y 4 (siehe ggf.), ist klar, dass x ein gemeinsamer Faktor des Zählers und Nenners des resultierenden Bruchs ist, wie y 3 . Lassen Sie uns um diese Faktoren reduzieren: . Damit ist die Reduktion abgeschlossen.

Oben haben wir die Reduktion eines rationalen Bruchs sequentiell durchgeführt. Und es war möglich, die Reduktion in einem Schritt durchzuführen, wobei der Bruch sofort um 2·x·y 3 reduziert wurde. In diesem Fall sähe die Lösung so aus: .

Antworten:

.

Beim Kürzen rationaler Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem ist es nicht immer vorhanden. Um einen gemeinsamen Teiler zu finden oder sicherzustellen, dass er nicht existiert, musst du Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs faktorisieren. Wenn es keinen gemeinsamen Faktor gibt, muss der ursprüngliche rationale Bruch nicht gekürzt werden, ansonsten wird die Kürzung durchgeführt.

Bei der Reduzierung rationaler Brüche können verschiedene Nuancen auftreten. Die wichtigsten Feinheiten mit Beispielen und Details werden im Artikel Reduktion algebraischer Brüche besprochen.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Reduktion rationaler Brüche stellen wir fest, dass diese Transformation identisch ist und die Hauptschwierigkeit bei ihrer Implementierung in der Faktorisierung von Polynomen im Zähler und Nenner liegt.

Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe von Brüchen

Ganz spezifisch, aber in einigen Fällen sehr nützlich, ist die Transformation eines rationalen Bruchs, die in seiner Darstellung als Summe mehrerer Brüche oder als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs besteht.

Ein rationaler Bruch, in dessen Zähler ein Polynom steht, das die Summe mehrerer Monome ist, kann immer als Summe von Brüchen mit gleichem Nenner geschrieben werden, in deren Zählern die entsprechenden Monome stehen. Zum Beispiel, . Diese Darstellung erklärt sich aus der Additions- und Subtraktionsregel algebraischer Brüche mit gleichem Nenner.

Im Allgemeinen kann jeder rationale Bruch auf viele verschiedene Arten als Summe von Brüchen dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch a / b als Summe zweier Brüche dargestellt werden - ein beliebiger Bruch c / d und ein Bruch, gleicher Unterschied Fraktionen a/b und c/d . Diese Aussage ist wahr, da die Gleichheit . Beispielsweise kann ein rationaler Bruch als Summe von Brüchen dargestellt werden verschiedene Wege: Wir stellen den ursprünglichen Bruch als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs dar. Nachdem wir den Zähler durch den Nenner durch eine Spalte dividiert haben, erhalten wir die Gleichheit . Der Wert des Ausdrucks n 3 +4 für jede ganze Zahl n ist eine ganze Zahl. Und der Wert eines Bruchs ist genau dann eine ganze Zahl, wenn sein Nenner 1, −1, 3 oder −3 ist. Diese Werte entsprechen jeweils den Werten n=3, n=1, n=5 und n=−1.

Antworten:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14.00 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkowitsch. - 13. Aufl., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Um zu lernen, wie man fehlerfrei mit rationalen Brüchen arbeitet, müssen Sie zunächst die Formeln für die abgekürzte Multiplikation lernen. Und das nicht nur zum Lernen – sie müssen erkannt werden, auch wenn Sinus, Logarithmus und Wurzel als Terme fungieren.

Das Hauptwerkzeug ist jedoch die Faktorisierung von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs. Dies kann auf drei verschiedene Arten erreicht werden:

1. Eigentlich nach der abgekürzten Multiplikationsformel: Sie ermöglichen es Ihnen, ein Polynom in einen oder mehrere Faktoren zu zerlegen;
2. Durch Faktorisieren eines quadratischen Trinoms in Faktoren durch die Diskriminante. Die gleiche Methode ermöglicht es zu überprüfen, dass jedes Trinom überhaupt nicht faktorisiert werden kann;
3. Die Gruppierungsmethode ist die beste komplexes Werkzeug, aber das der einzige Weg, was funktioniert, wenn die beiden vorherigen nicht funktioniert haben.

Wie Sie wahrscheinlich aus dem Titel dieses Videos erraten haben, werden wir wieder über rationale Brüche sprechen. Buchstäblich vor ein paar Minuten habe ich eine Unterrichtsstunde mit einem Zehntklässler beendet, und dort haben wir genau diese Ausdrücke analysiert. Deshalb diese Lektion wird speziell für Gymnasiasten konzipiert.

Sicher werden jetzt viele eine Frage haben: „Warum lernen die Schüler in den Klassen 10-11 so einfache Dinge wie rationale Brüche, wenn das in Klasse 8 gemacht wird?“. Aber das ist das Problem, dass die meisten Leute dieses Thema einfach "durchgehen". Sie in der 10. bis 11. Klasse erinnern sich nicht mehr daran, wie Multiplikation, Division, Subtraktion und Addition von rationalen Brüchen aus der 8. Klasse durchgeführt werden, und es ist auf diesem einfachen Wissen, dass weiter, mehr komplexe Strukturen, als Lösung der logarithmischen, trigonometrische Gleichungen und viele andere komplexe Ausdrücke, so dass in der High School ohne rationale Brüche praktisch nichts zu tun ist.

Formeln zur Problemlösung

Kommen wir zur Sache. Zunächst einmal brauchen wir zwei Tatsachen – zwei Sätze von Formeln. Zunächst müssen Sie die Formeln für die abgekürzte Multiplikation kennen:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ ist die Differenz von Quadraten;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ ist das Quadrat der Summe oder Differenz ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ist die Summe von Kubikzahlen;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ist die Differenz von Kubikzahlen.

In ihrer reinen Form finden sie sich in keinem Beispiel und in wirklich ernsthaften Äußerungen. Daher ist unsere Aufgabe, viel komplexere Konstruktionen unter den Buchstaben $a$ und $b$ sehen zu lernen, zum Beispiel Logarithmen, Wurzeln, Sinus usw. Sehen lernen kann man nur mit Hilfe von ständiges Üben. Deshalb ist das Lösen rationaler Brüche absolut notwendig.

Die zweite, ganz offensichtliche Formel ist die Expansion quadratisches Trinom für Multiplikatoren:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sind Wurzeln.

AUS theoretischer Teil wir haben es herausgefunden. Aber wie löst man echte rationale Brüche, die in Klasse 8 berücksichtigt werden? Jetzt werden wir üben.

Aufgabe 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Versuchen wir, die obigen Formeln auf die Lösung rationaler Brüche anzuwenden. Zunächst möchte ich erklären, warum es überhaupt eine Faktorisierung braucht. Tatsache ist, dass ich auf den ersten Blick auf den ersten Teil der Aufgabe den Würfel mit dem Quadrat reduzieren möchte, aber das ist absolut unmöglich, weil es Terme im Zähler und im Nenner sind, aber auf keinen Fall Faktoren .

Was genau ist eine Abkürzung? Reduktion ist die Anwendung der Grundregel für die Arbeit mit solchen Ausdrücken. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ist, dass wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl außer „Null“ multiplizieren können. BEI dieser Fall, wenn wir reduzieren, dann dividieren wir im Gegenteil durch dieselbe Zahl außer "Null". Allerdings müssen wir alle Terme im Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Das kannst du nicht. Und wir haben nur dann das Recht, den Zähler mit dem Nenner zu kürzen, wenn beide faktorisiert werden. Machen wir das.

Jetzt müssen Sie sehen, wie viele Begriffe in einem bestimmten Element enthalten sind, und dementsprechend herausfinden, welche Formel Sie verwenden müssen.

Lassen Sie uns jeden Ausdruck in einen exakten Würfel umwandeln:

Schreiben wir den Zähler um:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Schauen wir uns den Nenner an. Wir entwickeln es nach der Quadratdifferenzformel:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ Rechts)\]

Schauen wir uns nun den zweiten Teil des Ausdrucks an:

Zähler:

Bleibt noch der Nenner zu behandeln:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Lassen Sie uns die gesamte Konstruktion unter Berücksichtigung der obigen Fakten umschreiben:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuancen der Multiplikation rationaler Brüche

Die wichtigste Schlussfolgerung aus diesen Konstruktionen ist die folgende:

• Nicht jedes Polynom kann faktorisiert werden.
• Auch wenn es zerlegt ist, muss man sich genau anschauen, welche spezielle Formel für die abgekürzte Multiplikation verwendet wird.

Dazu müssen wir zunächst abschätzen, wie viele Terme es gibt (wenn es zwei sind, dann können wir sie nur entweder um die Summe der Quadratdifferenzen oder um die Summe oder Differenz der Kubikzahlen erweitern; und wenn es drei davon gibt, dann ist dies eindeutig entweder das Quadrat der Summe oder das Quadrat der Differenz). Es kommt oft vor, dass entweder der Zähler oder der Nenner überhaupt nicht faktorisiert werden muss, er kann linear sein oder seine Diskriminante wird negativ sein.

Aufgabe Nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Im Allgemeinen unterscheidet sich das Schema zur Lösung dieses Problems nicht vom vorherigen - es wird einfach mehr Aktionen geben und sie werden vielfältiger.

Beginnen wir mit dem ersten Bruch: Schauen Sie sich seinen Zähler an und machen Sie mögliche Transformationen:

Schauen wir uns nun den Nenner an:

Mit dem zweiten Bruch: Im Zähler kann man überhaupt nichts machen, weil es ein linearer Ausdruck ist, und man daraus keinen Faktor herausnehmen kann. Schauen wir uns den Nenner an:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

Wir gehen zur dritten Fraktion. Zähler:

Befassen wir uns mit dem Nenner des letzten Bruchs:

Lassen Sie uns den Ausdruck unter Berücksichtigung der obigen Tatsachen umschreiben:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \rechts))(\links(2x-1 \rechts)\links(2x+1 \rechts))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \rechts))\]

Nuancen der Lösung

Wie Sie sehen, beruht nicht alles und nicht immer auf den abgekürzten Multiplikationsformeln – manchmal reicht es schon, eine Konstante oder eine Variable einzuklammern. Es gibt aber auch den umgekehrten Fall, wenn es so viele Terme gibt oder diese so aufgebaut sind, dass die Formel zur verkürzten Multiplikation mit ihnen im Allgemeinen nicht möglich ist. In diesem Fall kommt uns ein universelles Werkzeug zu Hilfe, nämlich die Gruppierungsmethode. Dies werden wir nun in der nächsten Aufgabe anwenden.

Aufgabe Nr. 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Schauen wir uns den ersten Teil an:

\[((a)^(2))+ab=a\links(a+b \rechts)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right ) )\right)=\]

\[=\links(a-b \rechts)\links(5-a-b \rechts)\]

Schreiben wir um ursprünglicher Ausdruck:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Kommen wir nun zur zweiten Klammer:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \Rechts)\]

Da zwei Elemente nicht gruppiert werden konnten, haben wir drei gruppiert. Es bleibt nur noch der Nenner des letzten Bruchs zu behandeln:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Lassen Sie uns nun unsere gesamte Struktur neu schreiben:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

Das Problem ist gelöst, und hier kann nichts mehr vereinfacht werden.

Nuancen der Lösung

Wir haben die Gruppierung herausgefunden und ein weiteres sehr leistungsfähiges Werkzeug erhalten, das die Möglichkeiten der Faktorisierung erweitert. Aber das Problem ist, dass in wahres Leben Niemand wird uns solche raffinierten Beispiele geben, bei denen es mehrere Brüche gibt, bei denen Sie nur Zähler und Nenner faktorisieren und dann, wenn möglich, kürzen müssen. Reale Ausdrücke werden viel komplizierter sein.

Höchstwahrscheinlich gibt es neben Multiplikation und Division Subtraktionen und Additionen, alle Arten von Klammern - im Allgemeinen müssen Sie die Reihenfolge der Aktionen berücksichtigen. Aber das Schlimmste ist, dass beim Subtrahieren und Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden müssen. Dazu muss jeder von ihnen in Faktoren zerlegt werden, und dann werden diese Brüche transformiert: Geben Sie ähnliche und vieles mehr an. Wie mache ich es richtig, schnell und bekomme gleichzeitig die eindeutig richtige Antwort? Darüber sprechen wir nun am Beispiel der folgenden Konstruktion.

Aufgabe Nr. 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \rechts)\]

Lassen Sie uns den ersten Bruch ausschreiben und versuchen, ihn separat zu behandeln:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Kommen wir zum zweiten. Lassen Sie uns die Diskriminante des Nenners berechnen:

Es wird nicht faktorisiert, also schreiben wir Folgendes:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Wir schreiben den Zähler separat:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Daher kann dieses Polynom nicht faktorisiert werden.

Das Maximum, das wir tun und zerlegen konnten, haben wir bereits getan.

Insgesamt schreiben wir unsere ursprüngliche Konstruktion um und erhalten:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Ehrlich gesagt war es nicht so toll. schwierige Aufgabe: da war alles leicht in Faktoren zerlegt, schnell gebracht wie Begriffe, und alles schön geschnitten. Lassen Sie uns nun versuchen, das Problem ernsthafter zu lösen.

Aufgabe Nummer 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Beschäftigen wir uns zunächst mit der ersten Klammer. Den Nenner des zweiten Bruchs klammern wir von Anfang an separat aus:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \rechts)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Jetzt arbeiten wir mit dem zweiten Bruch:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ links(x-2 \rechts))(\links(x-2 \rechts)\links(x+2 \rechts))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Wir kehren zu unserem ursprünglichen Design zurück und schreiben:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Wichtige Punkte

Noch einmal die wichtigsten Fakten des heutigen Video-Tutorials:

1. Sie müssen die Formeln für abgekürzte Multiplikation „auswendig“ kennen – und nicht nur wissen, sondern in der Lage sein, in diesen Ausdrücken zu sehen, denen Sie begegnen werden echte Aufgaben. Eine wunderbare Regel kann uns dabei helfen: Wenn es zwei Terme gibt, dann ist dies entweder die Differenz von Quadraten oder die Differenz oder Summe von Kubikzahlen; wenn drei, kann es nur das Quadrat der Summe oder Differenz sein.
2. Wenn eine Konstruktion nicht mit abgekürzten Multiplikationsformeln zerlegt werden kann, hilft uns entweder die Standardformel zur Zerlegung von Trinomen in Faktoren oder die Gruppierungsmethode.
3. Wenn etwas nicht funktioniert, schauen Sie sich den ursprünglichen Ausdruck genau an - und ob überhaupt Transformationen damit erforderlich sind. Vielleicht reicht es schon, den Multiplikator aus der Klammer zu nehmen, und dieser ist sehr oft nur eine Konstante.
4. BEI komplexe Ausdrücke, wo Sie mehrere Aktionen hintereinander ausführen müssen, vergessen Sie nicht, auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, und erst danach, wenn alle Brüche darauf reduziert sind, stellen Sie sicher, dass Sie dasselbe in den neuen Zähler bringen und dann faktorisieren der neue Zähler wieder - vielleicht wird etwas reduziert .

Das ist alles, was ich Ihnen heute über rationale Brüche sagen wollte. Wenn etwas nicht klar ist, gibt es auf der Website immer noch viele Video-Tutorials sowie viele Aufgaben für unabhängige Entscheidung. Bleiben Sie also bei uns!