Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y sin x p. Funktionen y = sin x, y = cos x, ihre Eigenschaften und Graphen – Knowledge Hypermarket. Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

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Funktionen y = sin x, y = cos x, ihre Eigenschaften und Graphen

In diesem Abschnitt werden wir einige Eigenschaften der Funktionen y = sin x, y = cos x diskutieren und ihre Graphen erstellen.

1. Funktion y = sin X.

Oben, in § 20, haben wir eine Regel formuliert, die es ermöglicht, jeder Zahl t eine Kostenzahl t zuzuordnen, d.h. charakterisierte die Funktion y = sin t. Beachten wir einige seiner Eigenschaften.

Eigenschaften der Funktion u = sin t.

Der Definitionsbereich ist die Menge K der reellen Zahlen.
Dies folgt aus der Tatsache, dass jede Zahl 2 einem Punkt M(1) auf dem Zahlenkreis entspricht, der eine wohldefinierte Ordinate hat; diese Ordinate ist cost t.

u = sin t ist eine ungerade Funktion.

Dies folgt aus der Tatsache, dass, wie in § 19 bewiesen wurde, für jedes t die Gleichheit gilt
Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion u = sin t, wie der Graph jeder ungeraden Funktion, symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung bei ist rechteckiges System Koordinaten tOi.

Die Funktion u = sin t wächst auf dem Intervall
Dies folgt aus der Tatsache, dass, wenn sich ein Punkt entlang des ersten Viertels des Zahlenkreises bewegt, die Ordinate allmählich zunimmt (von 0 auf 1 - siehe Abb. 115), und wenn sich der Punkt entlang des zweiten Viertels des Zahlenkreises bewegt, die Die Ordinate nimmt allmählich ab (von 1 auf 0 - siehe Abb. 116).

Die Funktion u = sint ist sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt. Dies folgt aus der Tatsache, dass, wie wir in § 19 gesehen haben, für jedes t die Ungleichung gilt

(Die Funktion erreicht diesen Wert an jedem Punkt des Formulars (Die Funktion erreicht diesen Wert an jedem Punkt des Formulars
Anhand der erhaltenen Eigenschaften erstellen wir einen Graphen der für uns interessanten Funktion. Aber (Achtung!) statt u - sin t schreiben wir y = sin x (schließlich sind wir eher daran gewöhnt, y = f(x) zu schreiben und nicht u = f(t)). Das bedeutet, dass wir einen Graphen im üblichen xOy-Koordinatensystem (und nicht im tOy) erstellen.

Lassen Sie uns eine Tabelle mit den Werten der Funktion y – sin x erstellen:

Kommentar.

Geben wir eine der Versionen des Ursprungs des Begriffs „Sinus“. Sinus bedeutet im Lateinischen „Biegung“ (Bogensehne).

Der konstruierte Graph rechtfertigt diese Terminologie bis zu einem gewissen Grad.

Die Linie, die als Graph der Funktion y = sin x dient, wird Sinuswelle genannt. Der Teil der Sinuskurve, der in Abb. 118 oder 119 wird als Sinuswelle bezeichnet, und der Teil der Sinuswelle, der in Abb. 117 wird als Halbwelle oder Bogen einer Sinuswelle bezeichnet.

2. Funktion y = cos x.

Die Untersuchung der Funktion y = cos x könnte ungefähr nach dem gleichen Schema durchgeführt werden, das oben für die Funktion y = sin x verwendet wurde. Aber wir werden den Weg wählen, der schneller zum Ziel führt. Zuerst werden wir zwei Formeln beweisen, die an sich wichtig sind (das werden Sie in der Oberstufe sehen), für unsere Zwecke aber vorerst nur Hilfsbedeutung haben.

Für jeden Wert von t gelten die folgenden Gleichungen:

Nachweisen. Die Zahl t entspreche dem Punkt M des Zahlenkreises n und die Zahl * + - Punkt P (Abb. 124; der Einfachheit halber haben wir Punkt M im ersten Viertel genommen). Die Bögen AM und BP sind gleich und die rechtwinkligen Dreiecke OKM und OLBP sind entsprechend gleich. Das bedeutet O K = Ob, MK = Pb. Aus diesen Gleichheiten und aus der Lage der Dreiecke OCM und OBP im Koordinatensystem ziehen wir zwei Schlussfolgerungen:

1) die Ordinate des Punktes P stimmt sowohl in der Größe als auch im Vorzeichen mit der Abszisse des Punktes M überein; es bedeutet das

2) die Abszisse des Punktes P ist im absoluten Wert gleich der Ordinate des Punktes M, unterscheidet sich jedoch im Vorzeichen davon; es bedeutet das

Ungefähr die gleiche Argumentation wird in Fällen durchgeführt, in denen Punkt M nicht zum ersten Viertel gehört.
Verwenden wir die Formel (Dies ist die oben bewiesene Formel, nur verwenden wir anstelle der Variablen t die Variable x). Was gibt uns diese Formel? Es erlaubt uns zu behaupten, dass die Funktionen

identisch sind, was bedeutet, dass ihre Diagramme übereinstimmen.
Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen Gehen wir dazu weiter Hilfssystem Koordinaten mit dem Ursprung am Punkt (die gepunktete Linie ist in Abb. 125 gezeichnet). Ordnen wir die Funktion y = sin x zu neues System Koordinaten - dies wird der Graph der Funktion sein (Abb. 125), d.h. Graph der Funktion y - cos x. Sie wird wie der Graph der Funktion y = sin x als Sinuswelle bezeichnet (was ganz natürlich ist).

Eigenschaften der Funktion y = cos x.

y = cos x ist eine gerade Funktion.

Die Bauphasen sind in Abb. dargestellt. 126:

1) Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = cos x (genauer gesagt eine Halbwelle);
2) Indem wir den konstruierten Graphen von der x-Achse aus um den Faktor 0,5 strecken, erhalten wir eine Halbwelle des erforderlichen Graphen;
3) Aus der resultierenden Halbwelle erstellen wir den gesamten Graphen der Funktion y = 0,5 cos x.

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Lektion und Präsentation zum Thema: „Funktion y=sin(x). Definitionen und Eigenschaften“

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Was wir studieren werden:

• Eigenschaften der Funktion Y=sin(X).
• Funktionsgraph.
• So erstellen Sie ein Diagramm und dessen Maßstab.
• Beispiele.

Eigenschaften von Sinus. Y=sünde(X)

Leute, wir haben uns bereits mit trigonometrischen Funktionen vertraut gemacht numerisches Argument. Erinnerst du dich an sie?

Schauen wir uns die Funktion Y=sin(X) genauer an.

Schreiben wir einige Eigenschaften dieser Funktion auf:
1) Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.
2) Die Funktion ist ungerade. Erinnern wir uns an die Definition einer ungeraden Funktion. Eine Funktion heißt ungerade, wenn die Gleichheit gilt: y(-x)=-y(x). Wie wir uns aus den Geisterformeln erinnern: sin(-x)=-sin(x). Die Definition ist erfüllt, was bedeutet, dass Y=sin(X) eine ungerade Funktion ist.
3) Die Funktion Y=sin(X) nimmt auf dem Segment zu und ab auf dem Segment [π/2; π]. Wenn wir uns entlang des ersten Viertels (gegen den Uhrzeigersinn) bewegen, erhöht sich die Ordinate, und wenn wir uns durch das zweite Viertel bewegen, verringert sie sich.

4) Die Funktion Y=sin(X) ist von unten und von oben begrenzt. Diese Liegenschaft folgt daraus, dass
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Der kleinste Wert der Funktion ist -1 (bei x = - π/2+ πk). Der größte Wert der Funktion ist 1 (bei x = π/2+ πk).

Lassen Sie uns die Eigenschaften 1–5 verwenden, um die Funktion Y=sin(X) darzustellen. Wir werden unseren Graphen sequentiell erstellen und dabei unsere Eigenschaften anwenden. Beginnen wir mit der Erstellung eines Diagramms für das Segment.

Besondere Aufmerksamkeit Es lohnt sich, auf den Maßstab zu achten. Auf der Ordinatenachse ist es bequemer, ein Einheitssegment gleich 2 Zellen zu nehmen, und auf der Abszissenachse ist es bequemer, ein Einheitssegment (zwei Zellen) gleich π/3 zu nehmen (siehe Abbildung).

Zeichnen der Sinusfunktion x, y=sin(x)

Berechnen wir die Werte der Funktion in unserem Segment:

Lassen Sie uns mit unseren Punkten ein Diagramm erstellen und dabei die dritte Eigenschaft berücksichtigen.

Umrechnungstabelle für Geisterformeln

Nutzen wir die zweite Eigenschaft, die besagt, dass unsere Funktion ungerade ist, was bedeutet, dass sie symmetrisch zum Ursprung gespiegelt werden kann:

Wir wissen, dass sin(x+ 2π) = sin(x). Dies bedeutet, dass auf dem Intervall [- π; π] sieht der Graph genauso aus wie auf dem Segment [π; 3π] oder oder [-3π; - π] und so weiter. Alles, was wir tun müssen, ist, den Graphen in der vorherigen Abbildung entlang der gesamten x-Achse sorgfältig neu zu zeichnen.

Der Graph der Funktion Y=sin(X) wird Sinuskurve genannt.

Schreiben wir noch ein paar Eigenschaften entsprechend dem konstruierten Diagramm:
6) Die Funktion Y=sin(X) nimmt auf jedem Segment der Form zu: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k ist eine ganze Zahl und nimmt auf jedem Segment der Form ab: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ganze Zahl.
7) Funktion Y=sin(X) – kontinuierliche Funktion. Schauen wir uns den Graphen der Funktion an und stellen wir sicher, dass unsere Funktion keine Unterbrechungen aufweist, das bedeutet Kontinuität.
8) Wertebereich: Segment [- 1; 1]. Dies ist auch im Diagramm der Funktion deutlich zu erkennen.
9) Funktion Y=sin(X) – periodische Funktion. Schauen wir uns die Grafik noch einmal an und sehen, dass die Funktion in bestimmten Abständen dieselben Werte annimmt.

Beispiele für Probleme mit Sinus

1. Lösen Sie die Gleichung sin(x)= x-π

Lösung: Erstellen wir zwei Graphen der Funktion: y=sin(x) und y=x-π (siehe Abbildung).
Unsere Graphen schneiden sich in einem Punkt A(π;0), das ist die Antwort: x = π

2. Stellen Sie die Funktion y=sin(π/6+x)-1 grafisch dar

Lösung: Den gewünschten Graphen erhält man, indem man den Graphen der Funktion y=sin(x) um π/6 Einheiten nach links und 1 Einheit nach unten verschiebt.

Lösung: Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen und unser Segment [π/2; 5π/4].
Der Funktionsgraph zeigt, dass die größten und kleinsten Werte an den Enden des Segments erreicht werden, an den Punkten π/2 bzw. 5π/4.
Antwort: sin(π/2) = 1 – Höchster Wert, sin(5π/4) = kleinster Wert.

Sinusprobleme zur unabhängigen Lösung

• Lösen Sie die Gleichung: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Stellen Sie die Funktion y=sin(π/3+x)-2 grafisch dar
• Stellen Sie die Funktion y=sin(-2π/3+x)+1 grafisch dar
• Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion y=sin(x) auf dem Segment
• Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion y=sin(x) im Intervall [- π/3; 5π/6]

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Eisen rostet, ohne Verwendung zu finden,
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und der menschliche Geist, der keinen Nutzen für sich selbst findet, verkümmert.
Leonardo da Vinci

Verwendete Technologien: Problembasiertes Lernen, kritisches Denken, kommunikative Kommunikation.

Ziele:

• Entwicklung kognitives Interesse zum Lernen.
• Untersuchung der Eigenschaften der Funktion y = sin x.
• Ausbildung praktischer Fähigkeiten zur Erstellung eines Graphen der Funktion y = sin x basierend auf dem untersuchten theoretischen Material.

Aufgaben:

1. Nutzen Sie das vorhandene Wissenspotenzial über die Eigenschaften der Funktion y = sin x in konkreten Situationen.

2. Wenden Sie die bewusste Herstellung von Verbindungen zwischen analytischen und geometrischen Modellen der Funktion y = sin x an.

Entwickeln Sie Eigeninitiative, eine gewisse Bereitschaft und Interesse, eine Lösung zu finden; die Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, dabei nicht stehen zu bleiben und Ihren Standpunkt zu verteidigen.

Förderung der kognitiven Aktivität, des Verantwortungsbewusstseins, des gegenseitigen Respekts, des gegenseitigen Verständnisses, der gegenseitigen Unterstützung und des Selbstvertrauens bei den Schülern; Kultur der Kommunikation.

Während des Unterrichts

Bühne 1. Aktualisierung des Grundwissens, Motivation zum Erlernen neuer Materialien

„Betreten der Lektion.“

An der Tafel stehen drei Aussagen:

1. Die trigonometrische Gleichung sin t = a hat immer Lösungen.
2. Der Graph einer ungeraden Funktion kann mithilfe einer Symmetrietransformation um die Oy-Achse erstellt werden.
3. Zeitplan Trigonometrische Funktion kann mit einer Haupthalbwelle konstruiert werden.

Die Studierenden diskutieren zu zweit: Sind die Aussagen wahr? (1 Minute). Die Ergebnisse des Erstgesprächs (ja, nein) werden dann in der Tabelle in der Spalte „Vorher“ eingetragen.

Der Lehrer legt die Ziele und Ziele des Unterrichts fest.

2. Wissen aktualisieren (frontal auf einem Modell eines trigonometrischen Kreises).

Die Funktion s = sin t haben wir bereits kennengelernt.

1) Welche Werte kann die Variable t annehmen. Welchen Umfang hat diese Funktion?

2) In welchem ​​Intervall liegen die Werte des Ausdrucks sin t? Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion s = sin t.

3) Lösen Sie die Gleichung sin t = 0.

4) Was passiert mit der Ordinate eines Punktes, wenn er sich im ersten Viertel bewegt? (die Ordinate steigt). Was passiert mit der Ordinate eines Punktes, wenn er sich im zweiten Viertel bewegt? (die Ordinate nimmt allmählich ab). Wie hängt das mit der Monotonie der Funktion zusammen? (Die Funktion s = sin t nimmt auf der Strecke zu und auf der Strecke ab).

5) Schreiben wir die Funktion s = sin t in der uns bekannten Form y = sin x (wir werden sie im üblichen xOy-Koordinatensystem konstruieren) und erstellen wir eine Tabelle der Werte dieser Funktion.

X	0
bei	0			1			0

Stufe 2. Wahrnehmung, Verständnis, primäre Festigung, unfreiwilliges Auswendiglernen

Stufe 4. Primäre Systematisierung von Wissen und Handlungsmethoden, deren Übertragung und Anwendung in neuen Situationen

6. Nr. 10.18 (b,c)

Stufe 5. Endkontrolle, Korrektur, Beurteilung und Selbsteinschätzung

7. Kehren Sie zu den Aussagen (Beginn der Lektion) zurück, diskutieren Sie die Verwendung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktion y = sin x und füllen Sie die Spalte „Nachher“ in der Tabelle aus.

8. D/z: Abschnitt 10, Nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Referenzinformationen zu den trigonometrischen Funktionen Sinus (sin x) und Cosinus (cos x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen, Sekante, Kosekans. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition von Sinus und Cosinus

|BD|- Länge eines Kreisbogens mit Mittelpunkt in einem Punkt A.
α - Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.

Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion abhängig vom Winkel α zwischen Hypotenuse und Bein rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis Länge gegenüberliegende Seite|BC| zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Längen entspricht benachbartes Bein|AB| zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Notationen

;
;
.

;
;
.

Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x

Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).

	y = Sünde x	y = weil x
Umfang und Kontinuität	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Wertebereich	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Zunehmend
Absteigend
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	y = 1

Grundformeln

Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus

Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzformeln

Sinus durch Kosinus ausdrücken

;
;
;
.

Kosinus durch Sinus ausdrücken

;
;
;
.

Ausdruck durch Tangente

; .

Wenn wir haben:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Eulers Formel

{ -∞ < x < +∞ }

Sekante, Kosekans

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen zu Sinus und Cosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arkussinus

Arccosinus, arccos

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

In dieser Lektion werfen wir einen detaillierten Blick auf die Funktion y = sin x, ihre grundlegenden Eigenschaften und ihren Graphen. Zu Beginn der Lektion geben wir die Definition der trigonometrischen Funktion y = sin t on Koordinatenkreis und betrachten Sie den Graphen einer Funktion auf einem Kreis und einer Geraden. Lassen Sie uns die Periodizität dieser Funktion im Diagramm zeigen und die Haupteigenschaften der Funktion betrachten. Am Ende der Lektion werden wir einige einfache Probleme mithilfe des Graphen einer Funktion und ihrer Eigenschaften lösen.

Thema: Trigonometrische Funktionen

Lektion: Funktion y=sinx, ihre grundlegenden Eigenschaften und Graph

Bei der Betrachtung einer Funktion ist es wichtig, jedem Argument einen Wert zuzuweisen einzige Bedeutung Funktionen. Das Gesetz der Korrespondenz und heißt Funktion.

Definieren wir das Korrespondenzgesetz für .

Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf Einheitskreis Ein Punkt hat eine einzelne Ordinate, die Sinus der Zahl genannt wird (Abb. 1).

Jeder Argumentwert ist einem einzelnen Funktionswert zugeordnet.

Offensichtliche Eigenschaften ergeben sich aus der Definition von Sinus.

Das zeigt die Abbildung Weil ist die Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion. Lass uns erinnern geometrische Interpretation Streit. Das Argument ist Zentralwinkel, gemessen im Bogenmaß. Entlang der Achse werden wir zeichnen reale Nummern oder Winkel im Bogenmaß, entlang der Achse die entsprechenden Funktionswerte.

Beispielsweise entspricht ein Winkel auf dem Einheitskreis einem Punkt im Diagramm (Abb. 2).

Wir haben einen Graphen der Funktion in der Fläche erhalten. Aber wenn wir die Periode des Sinus kennen, können wir den Graphen der Funktion über den gesamten Definitionsbereich darstellen (Abb. 3).

Die Hauptperiode der Funktion ist Dies bedeutet, dass der Graph auf einem Segment erhalten und dann im gesamten Definitionsbereich fortgesetzt werden kann.

Betrachten Sie die Eigenschaften der Funktion:

1) Definitionsbereich:

2) Wertebereich:

3) Ungerade Funktion:

4) Kleinster positiver Zeitraum:

5) Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der Abszissenachse:

6) Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der Ordinatenachse:

7) Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt:

8) Intervalle, in denen die Funktion negative Werte annimmt:

9) Zunehmende Intervalle:

10) Abnehmende Intervalle:

11) Mindestpunktzahl:

12) Mindestfunktionen:

13) Maximale Punktzahl:

14) Maximale Funktionen:

Wir haben uns die Eigenschaften der Funktion und ihres Graphen angesehen. Die Eigenschaften werden bei der Lösung von Problemen wiederholt verwendet.

Referenzliste

1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Anleitung für Bildungsinstitutionen (Profilebene) Hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehende Studie Algebra und mathematische Analyse.-M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme der Algebra und Prinzipien der Analysis (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Zusätzliche Webressourcen

3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung ().