Ob die Funktionen zueinander invers sind. Wechselseitig inverse Funktionen, grundlegende Definitionen, Eigenschaften, Graphen. Beweis des Satzes über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion auf dem Intervall

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Wir sind bereits auf das Problem gestoßen, wenn für eine gegebene Funktion f und Wert einstellen sein Argument, das benötigt wird, um den Wert der Funktion an diesem Punkt zu berechnen. Aber manchmal muss man sich stellen umgekehrtes Problem: finden durch bekannte Funktion f und sein Wert y der Wert des Arguments, das die Funktion übernimmt gegebenen Wert j.

Eine Funktion, die jeden ihrer Werte an einem einzigen Punkt in ihrem Definitionsbereich annimmt, wird als invertierbare Funktion bezeichnet. Beispielsweise wäre eine lineare Funktion reversible Funktion. ABER quadratische Funktion oder die Sinusfunktion sind keine invertierbaren Funktionen. Da die Funktion denselben Wert mit unterschiedlichen Argumenten annehmen kann.

Umkehrfunktion

Nehmen wir an, dass f eine beliebige umkehrbare Funktion ist. Jede Zahl aus ihrem Bereich y0 entspricht nur einer Zahl aus dem Bereich x0, sodass f(x0) = y0.

Wenn wir nun jeden Wert von x0 dem Wert y0 zuordnen, dann erhalten wir schon neue Funktion. Beispielsweise ist für eine lineare Funktion f(x) = k * x + b die Funktion g(x) = (x - b)/k invers.

Wenn einige funktionieren g an jedem Punkt X Bereich der invertierbaren Funktion f den Wert y annimmt, so dass f(y) = x, dann sagen wir, dass die Funktion g- Es gibt eine Umkehrfunktion zu f.

Wenn wir einen Graphen einer reversiblen Funktion f haben, können wir verwenden, um den Graphen der Umkehrfunktion zu zeichnen folgende Erklärung: der Graph der Funktion f und der dazu inversen Funktion g sind symmetrisch zur Geraden, durch die Gleichung gegeben y=x.

Wenn die Funktion g die Umkehrfunktion der Funktion f ist, dann ist die Funktion g eine invertierbare Funktion. Und die Funktion f wird invers zur Funktion g sein. Üblicherweise sagt man, dass zwei Funktionen f und g zueinander invers sind.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen f und g wechselseitig umgekehrter Freund zum Freund.

Lassen Sie uns den folgenden Satz ableiten: Wenn eine Funktion f auf einem bestimmten Intervall A zunimmt (oder abnimmt), dann ist sie invertierbar. Auch die im Bereich der Funktion f definierte Funktion g invers zu a ist eine steigende (bzw. fallende) Funktion. Dieser Satz genannt Umkehrfunktionssatz.

Definition einer Umkehrfunktion und ihrer Eigenschaften: Lemma über die gegenseitige Monotonie von direkten und Umkehrfunktionen; Symmetrie von Graphen direkter und inverser Funktionen; Sätze über die Existenz und Kontinuität der Umkehrfunktion für eine Funktion, die streng monoton auf einem Segment, Intervall und Halbintervall ist. Beispiele für Umkehrfunktionen. Ein Beispiel für eine Problemlösung. Beweise von Eigenschaften und Theoremen.

Definition und Eigenschaften

Definition der Umkehrfunktion
Lassen Sie die Funktion eine Domäne X und eine Menge von Werten Y haben. Und lassen Sie es die Eigenschaft haben:
für alle .
Dann kann jedem Element aus der Menge Y nur ein Element der Menge X zugeordnet werden, für die . Diese Entsprechung definiert eine aufgerufene Funktion Umkehrfunktion zu . Die Umkehrfunktion wird wie folgt bezeichnet:
.

Aus der Definition folgt, dass
;
für alle ;
für alle .

Eigenschaft über die Symmetrie von Graphen direkter und inverser Funktionen
Graphen der direkten und inversen Funktionen sind in Bezug auf die direkte Linie symmetrisch.

Satz über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion auf einer Strecke
Lassen Sie die Funktion kontinuierlich und im Intervall streng steigend (fallend) sein. Dann wird auf dem Intervall die umgekehrte Funktion definiert und kontinuierlich, die streng ansteigend (abnehmend) ist.

Für eine steigende Funktion . Für absteigende - .

Satz über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion auf einem Intervall
Lassen Sie die Funktion stetig und in einem offenen endlichen oder unendlichen Intervall streng steigend (fallend) sein. Dann wird die Umkehrfunktion definiert und kontinuierlich auf dem Intervall, das streng steigend (fallend) ist.

Für eine steigende Funktion .
Zum Absteigen: .

Auf ähnliche Weise kann man einen Satz über die Existenz und Stetigkeit einer Umkehrfunktion auf einem Halbintervall formulieren.

Wenn die Funktion kontinuierlich ist und streng auf dem Halbintervall oder zunimmt (abnimmt), dann wird auf dem Halbintervall oder die inverse Funktion definiert, die streng zunimmt (abnimmt). Hier .

Wenn es streng steigend ist, entsprechen die Intervalle und den Intervallen und . Wenn streng abnehmend, dann entsprechen die Intervalle und den Intervallen und .
Dieser Satz wird genauso bewiesen wie der Satz über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion auf einem Intervall.

Beispiele für Umkehrfunktionen

Arkussinus

Zeichnet y= Sünde x und Umkehrfunktion y = arcsin x.

Betrachten Sie die trigonometrische Funktion Sinus: . Sie ist für alle Werte des Arguments definiert und stetig, aber nicht monoton. Wenn jedoch der Definitionsbereich eingeengt wird, können monotone Abschnitte unterschieden werden. Auf dem Segment ist die Funktion also definiert, stetig, streng steigend und nimmt Werte ab -1 Vor +1 . Daher hat es eine Umkehrfunktion, die Arkussinus genannt wird. Der Arkussinus hat einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten.

Logarithmus

Zeichnet y= 2x und Umkehrfunktion y = log 2x.

Exponentialfunktion ist für alle Werte des Arguments definiert, stetig und streng steigend. Die Menge seiner Werte ist ein offenes Intervall. Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis zwei. Es hat einen Geltungsbereich und eine Reihe von Werten.

Quadratwurzel

Zeichnet y=x 2 und Umkehrfunktion.

Power-Funktion ist definiert und stetig für alle . Die Menge seiner Werte ist ein halbes Intervall. Aber es ist nicht für alle Werte des Arguments monoton. Im Halbintervall ist sie jedoch stetig und streng monoton ansteigend. Wenn wir also als Definitionsbereich die Menge nehmen, dann gibt es eine Umkehrfunktion, die aufgerufen wird Quadratwurzel. Die Umkehrfunktion hat einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten.

Beispiel. Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Wurzel vom Grad n

Beweisen Sie, dass die Gleichung , in der n natürlich ist, reell ist nicht negative Zahl, Es hat einzige Entscheidung am Set reale Nummern, . Diese Lösung heißt n-te Wurzel von a. Das heißt, Sie müssen zeigen, dass jede nicht negative Zahl eine eindeutige Wurzel vom Grad n hat.

Betrachten Sie eine Funktion der Variablen x :
(P1) .

Beweisen wir, dass sie stetig ist.
Wir zeigen dies mit der Definition der Kontinuität
.
Wir wenden die Binomialformel von Newton an:
(P2)
.
Wenden wir die arithmetischen Eigenschaften der Grenzen der Funktion an. Da ist dann nur der erste Term ungleich Null:
.
Kontinuität ist bewiesen.

Beweisen wir, dass die Funktion (P1) strikt wie folgt wächst.
Nimm beliebige Zahlen durch Ungleichheiten gebunden:
, , .
Das müssen wir zeigen. Lassen Sie uns Variablen einführen. Dann . Da ist aus (A2) ersichtlich, dass . Oder
.
Strenge Steigerung ist bewiesen.

Finden Sie den Satz von Funktionswerten für .
Am Punkt , .
Lassen Sie uns die Grenze finden.
Wenden Sie dazu die Bernoulli-Ungleichung an. Wenn wir haben:
.
Seit , dann und .
Wenden wir die Ungleichungseigenschaft unendlich großer Funktionen an, so finden wir das .
Auf diese Weise, , .

Gemäß dem Umkehrfunktionssatz ist eine Umkehrfunktion definiert und auf einem Intervall stetig. Das heißt, für jede gibt es eine eindeutige, die die Gleichung erfüllt. Da gilt, bedeutet dies, dass die Gleichung für jedes eine eindeutige Lösung hat, die als Wurzel des Grades n aus der Zahl x bezeichnet wird:
.

Beweise von Eigenschaften und Theoremen

Beweis des Lemmas über die gegenseitige Monotonie von direkten und inversen Funktionen

Lassen Sie die Funktion eine Domäne X und eine Menge von Werten Y haben. Beweisen wir, dass es eine Umkehrfunktion hat. Basierend auf müssen wir das beweisen
für alle .

Nehmen wir das Gegenteil an. Lass es Zahlen sein, also. Gleichzeitig lassen. Andernfalls ändern wir die Notation so, dass sie lautet. Dann muss wegen der strikten Monotonie von f eine der Ungleichungen gelten:
wenn f strikt wachsend ist;
wenn f streng fallend ist.
Also . Es gab einen Widerspruch. Es hat also eine Umkehrfunktion.

Die Funktion sei streng monoton steigend. Beweisen wir, dass auch die Umkehrfunktion streng steigend ist. Wir führen die Notation ein:
. Das heißt, wir müssen beweisen, dass wenn , dann .

Nehmen wir das Gegenteil an. Lassen Sie , aber .

Wenn, dann . Dieser Fall ist raus.

Lassen . Dann, aufgrund der strengen Steigerung der Funktion , , oder . Es gab einen Widerspruch. Daher ist nur der Fall möglich.

Das Lemma ist für eine streng wachsende Funktion bewiesen. Dieses Lemma lässt sich auf ähnliche Weise für eine streng fallende Funktion beweisen.

Beweis einer Eigenschaft über die Symmetrie von Graphen direkter und inverser Funktionen

Sei ein beliebiger Punkt des direkten Funktionsgraphen:
(2.1) .
Lassen Sie uns zeigen, dass der Punkt symmetrischer Punkt Zum Graphen der Umkehrfunktion gehört ein Relativ zur Geraden:
.
Aus der Definition der Umkehrfunktion folgt, dass
(2.2) .
Wir müssen also (2.2) zeigen.

Graph der Umkehrfunktion y = f -1(x) ist symmetrisch zum Graphen der direkten Funktion y = f (x) relativ zur Geraden y = x .

Von den Punkten A und S lassen wir Senkrechte auf die Koordinatenachsen fallen. Dann
, .

Durch Punkt A ziehen wir eine Linie senkrecht zur Linie. Lassen Sie die Linien sich im Punkt C schneiden. Wir konstruieren einen Punkt S auf der Geraden, so dass . Dann ist der Punkt S bezüglich der Geraden symmetrisch zum Punkt A.

Betrachten Sie Dreiecke und . Sie haben zwei gleich lange Seiten: und, und gleiche Winkel zwischen ihnen: . Daher sind sie deckungsgleich. Dann
.

Betrachten wir ein Dreieck. Weil dann
.
Gleiches gilt für das Dreieck:
.
Dann
.

Jetzt finden wir:
;
.

Gleichung (2.2):
(2.2)
erfüllt ist, weil , und (2.1) erfüllt ist:
(2.1) .

Da wir den Punkt A willkürlich gewählt haben, gilt für alle Punkte des Graphen:
alle Punkte des Graphen der Funktion, symmetrisch an der Geraden gespiegelt, gehören zum Graphen der Umkehrfunktion.
Dann können wir die Plätze tauschen. Als Ergebnis erhalten wir
alle Punkte des Funktionsgraphen, symmetrisch an der Geraden gespiegelt, gehören zum Funktionsgraphen.
Daraus folgt, dass die Graphen der Funktionen und bezüglich der Geraden symmetrisch sind.

Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.

Beweis des Satzes über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion auf einem Intervall

Let bezeichnet den Definitionsbereich der Funktion - das Segment .

1. Zeigen wir, dass die Menge der Funktionswerte das Intervall ist:
,
wo .

Da die Funktion auf der Strecke stetig ist, erreicht sie nach dem Satz von Weierstraß dort ihr Minimum und Maximum. Dann nimmt die Funktion nach dem Satz von Bolzano-Cauchy alle Werte aus dem Segment. Das heißt, für alle existiert , für die . Da es ein Minimum und ein Maximum gibt, nimmt die Funktion auf dem Segment nur Werte aus der Menge an.

2. Da die Funktion streng monoton ist, gibt es gemäß dem oben Gesagten eine umgekehrte Funktion , die ebenfalls streng monoton ist (steigt, wenn sie zunimmt; und nimmt ab, wenn sie abnimmt). Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist die Menge, und die Wertemenge ist die Menge.

3. Nun beweisen wir, dass die Umkehrfunktion stetig ist.

3.1. Es gebe einen beliebigen inneren Punkt des Segments : . Beweisen wir, dass die Umkehrfunktion an dieser Stelle stetig ist.

Lassen Sie es dem Punkt entsprechen. Da die Umkehrfunktion streng monoton ist, dh der innere Punkt des Segments:
.
Gemäß der Definition der Stetigkeit müssen wir beweisen, dass es für jede Funktion eine solche gibt
(3.1) für alle .

Beachten Sie, dass wir beliebig klein nehmen können. In der Tat, wenn wir eine Funktion gefunden haben, bei der Ungleichungen (3.1) für ausreichend kleine Werte von gelten, dann gelten sie automatisch für alle große Werte, wenn gesetzt auf .

Nehmen wir es so klein, dass die Punkte und zum Segment gehören:
.
Lassen Sie uns die Notation einführen und ordnen:



.

Wir transformieren die erste Ungleichung (3.1):
(3.1) für alle .
;
;
;
(3.2) .
Da sie streng monoton ist, folgt daraus
(3.3.1) , wenn zunimmt;
(3.3.2) wenn es abnimmt.
Da auch die Umkehrfunktion streng monoton ist, implizieren Ungleichungen (3.3) Ungleichungen (3.2).

Für beliebige ε > 0 existiert δ, also |f –1 (y) – f –1 (y 0) |< ε für alle |y - y 0 | < δ .

Ungleichungen (3.3) definieren ein offenes Intervall, dessen Enden vom Punkt durch Abstände und getrennt sind. Es sei der kleinste dieser Abstände:
.
Aufgrund der strikten Monotonie von , , . Deshalb . Dann liegt das Intervall in dem durch Ungleichungen (3.3) definierten Intervall. Und für alle zugehörigen Werte werden Ungleichungen (3.2) erfüllt.

Wir haben also festgestellt, dass für ausreichend kleine , also existiert
bei .
Jetzt ändern wir die Notation.
Für klein genug gibt es so etwas
bei .
Das bedeutet, dass die Umkehrfunktion während stetig ist interne Punkte.

3.2. Betrachten Sie nun die Enden des Definitionsbereichs. Hier bleiben alle Argumente gleich. Es müssen nur einseitige Nachbarschaften dieser Punkte betrachtet werden. Anstelle eines Punktes steht ein oder und anstelle eines Punktes - oder .

Also für eine steigende Funktion , .
bei .
Die Umkehrfunktion ist stetig bei , denn für alle hinreichend kleinen gibt es , so dass
bei .

Für eine abnehmende Funktion, .
Die Umkehrfunktion ist stetig bei , denn für alle hinreichend kleinen gibt es , so dass
bei .
Die Umkehrfunktion ist stetig bei , denn für alle hinreichend kleinen gibt es , so dass
bei .

Der Satz ist bewiesen.

Beweis des Satzes über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion auf dem Intervall

Let bezeichnet den Definitionsbereich der Funktion - ein offenes Intervall. Sei die Menge seiner Werte. Gemäß dem oben Gesagten gibt es eine Umkehrfunktion, die einen Definitionsbereich, eine Reihe von Werten hat und streng monoton ist (wächst, wenn sie zunimmt, und nimmt ab, wenn sie abnimmt). Es bleibt uns überlassen, dies zu beweisen
1) die Menge ist ein offenes Intervall , und das
2) Die Umkehrfunktion ist darauf stetig.
Hier .

1. Zeigen wir, dass die Menge der Funktionswerte ein offenes Intervall ist:
.

Wie jede nicht leere Menge, deren Elemente eine Vergleichsoperation haben, hat die Menge der Funktionswerte untere und obere Grenzen:
.
Dabei können und endliche Zahlen oder Symbole und sein.

1.1. Zeigen wir, dass die Punkte und nicht zur Wertemenge der Funktion gehören. Das heißt, die Wertemenge kann kein Segment sein.

Wenn oder ist zeigen auf unendlich: oder , dann ist ein solcher Punkt kein Element der Menge. Daher kann es nicht zu einer Menge von Werten gehören.

Lass (oder ) sein endliche Zahl. Nehmen wir das Gegenteil an. Der Punkt (oder ) gehöre zur Wertemenge der Funktion . Das heißt, es gibt solche für die (oder ). Punkte nehmen und die Ungleichungen erfüllen:
.
Da die Funktion also streng monoton ist
, wenn f zunimmt;
wenn f kleiner wird.
Das heißt, wir haben einen Punkt gefunden, an dem der Wert der Funktion kleiner ist (größer als ). Dies widerspricht jedoch der Definition der unteren (oberen) Fläche, wonach
für alle .
Daher die Punkte und kann nicht zu einer Menge von Werten gehören Funktionen .

1.2. Lassen Sie uns nun zeigen, dass die Wertemenge ein Intervall ist , eher als eine Vereinigung von Intervallen und Punkten. Das heißt, für jeden Punkt existiert , wofür .

Nach den Definitionen der unteren und obere Gesichter, in jeder Umgebung von Punkten und enthält mindestens ein Element der Menge . Lassen - willkürliche Nummer, Zugehörigkeit zum Intervall : . Dann für die Nachbarschaft existiert , wofür
.
Für die Nachbarschaft existiert , wofür
.

Weil die und , dann . Dann
(4.1.1) wenn steigt;
(4.1.2) wenn sinkt.
Ungleichungen (4.1) lassen sich leicht durch Widerspruch beweisen. Aber man kann je nachdem welche am Set verwenden Es gibt eine Umkehrfunktion , was streng ansteigend ist, wenn und nimmt streng ab, wenn . Dann erhalten wir sofort Ungleichungen (4.1).

Wir haben also ein Segment , wo wenn steigt;
wenn sinkt.
An den Enden des Segments übernimmt die Funktion die Werte und . Weil die , dann gibt es nach dem Bolzano-Cauchy-Theorem einen Punkt , wofür .

Weil die , das haben wir damit für alle gezeigt existiert , wofür . Dies bedeutet, dass die Menge der Funktionswerte ist ein offenes Intervall .

2. Zeigen wir nun, dass die Umkehrfunktion in stetig ist beliebiger Punkt Intervall : . Wenden Sie sich dazu an das Segment . Weil die , dann die Umkehrfunktion kontinuierlich auf dem Segment , einschließlich an der Stelle .

Der Satz ist bewiesen.

Verweise:
O.I. Dämonen. Vorlesungen über mathematische Analysis. Teil 1. Moskau, 2004.
CM. Nikolsky. Brunnen mathematische Analyse. Band 1. Moskau, 1983.

Unterrichtsziele:

Lehrreich:

• Wissen aufbauen neues Thema gemäß Programmmaterial;
• die Eigenschaft der Invertierbarkeit einer Funktion zu studieren und zu lehren, wie man eine Funktion findet, die invers zu einer gegebenen ist;

Entwicklung:

• Entwicklung von Selbstbeherrschungsfähigkeiten, Fachsprache;
• das Konzept einer Umkehrfunktion beherrschen und die Methoden zum Auffinden einer Umkehrfunktion erlernen;

Pädagogisch: kommunikative Kompetenz zu bilden.

Ausrüstung: Computer, Projektor, Bildschirm, SMART Board Interactive Whiteboard, Handout ( selbstständige Arbeit) für Gruppenarbeiten.

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment.

Ziel – Schüler auf die Arbeit im Unterricht vorbereiten:

Definition von abwesend,

Einstellung der Schüler zur Arbeit, Aufmerksamkeitsorganisation;

Nachricht über das Thema und den Zweck der Lektion.

2. Aktualisieren Grundwissen Studenten. vordere Umfrage.

Ziel - um die Korrektheit und das Bewusstsein des studierten theoretischen Materials herzustellen, die Wiederholung des behandelten Materials.<Приложение 1 >

Für Studenten an Interaktives Whiteboard Der Graph der Funktion wird angezeigt. Der Lehrer formuliert die Aufgabe - den Graphen der Funktion zu betrachten und die untersuchten Eigenschaften der Funktion aufzulisten. Die Studierenden listen die Eigenschaften einer Funktion gemäß dem Forschungsdesign auf. Der Lehrer schreibt rechts neben dem Graphen der Funktion die benannten Eigenschaften mit einem Stift auf das interaktive Whiteboard.

Funktionseigenschaften:

Am Ende der Studie berichtet der Lehrer, dass er heute im Unterricht eine weitere Eigenschaft der Funktion kennenlernen wird - die Reversibilität. Für ein sinnvolles Studium des neuen Materials lädt der Lehrer die Kinder ein, sich mit den Hauptfragen vertraut zu machen, die die Schüler am Ende des Unterrichts beantworten müssen. Fragen werden auf eine gewöhnliche Tafel geschrieben und jeder Schüler hat ein Handout (wird vor dem Unterricht verteilt)

1. Was ist eine reversible Funktion?
2. Ist jede Funktion umkehrbar?
3. Was ist die inverse gegebene Funktion?
4. Wie hängen Definitionsbereich und Wertemenge einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen?
5. Wenn die Funktion analytisch gegeben ist, wie definiert man die Umkehrfunktion mit einer Formel?
6. Wenn eine Funktion grafisch gegeben ist, wie zeichnet man ihre Umkehrfunktion?

3. Erläuterung des neuen Materials.

Ziel - sich Wissen zu einem neuen Thema in Übereinstimmung mit dem Programmmaterial anzueignen; die Eigenschaft der Invertierbarkeit einer Funktion zu studieren und zu lehren, wie man eine Funktion findet, die invers zu einer gegebenen ist; Themen entwickeln.

Der Lehrer führt eine Präsentation des Materials in Übereinstimmung mit dem Material des Absatzes durch. Auf der interaktiven Tafel vergleicht der Lehrer die Graphen zweier Funktionen, deren Definitionsbereich und Wertesätze gleich sind, aber eine der Funktionen monoton ist und die andere nicht, wodurch die Schüler unter das Konzept einer invertierbaren Funktion gebracht werden .

Der Lehrer formuliert dann die Definition einer umkehrbaren Funktion und beweist den Satz über die umkehrbare Funktion unter Verwendung des monotonen Funktionsgraphen auf dem interaktiven Whiteboard.

Definition 1: Die Funktion y=f(x), x X wird aufgerufen reversibel, wenn es einen seiner Werte nur an einem Punkt der Menge X annimmt.

Satz: Wenn die Funktion y=f(x) auf der Menge X monoton ist, dann ist sie invertierbar.

Nachweisen:

1. Lassen Sie die Funktion y=f(x) steigt um X Loslassen x1 ≠ x2- zwei Punkte des Satzes X.
2. Lassen Sie zur Bestimmtheit x 1< x 2.
   Wovon dann x 1< x 2 folgt dem f(x 1) < f(x 2).
3. Somit entsprechen unterschiedliche Werte des Arguments unterschiedlichen Werten der Funktion, d.h. die Funktion ist reversibel.

(Während des Beweises des Theorems macht der Lehrer alle notwendigen Erklärungen auf der Zeichnung mit einem Marker)

Bevor die Definition einer Umkehrfunktion formuliert wird, bittet der Lehrer die Schüler zu bestimmen, welche der vorgeschlagenen Funktionen umkehrbar ist? Das interaktive Whiteboard zeigt Diagramme von Funktionen und mehrere analytisch definierte Funktionen sind geschrieben:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Der Lehrer führt die Definition einer Umkehrfunktion ein.

Definition 2: Sei eine invertierbare Funktion y=f(x) am Set definiert X und E(f)=Y. Lassen Sie uns beide abgleichen j aus Y dann einzige Bedeutung X, bei welchem f(x)=y. Dann erhalten wir eine Funktion, die auf definiert ist Y, a X ist der Funktionsumfang

Diese Funktion ist bezeichnet x=f -1 (y) und heißt Umkehrfunktion y=f(x).

Die Studierenden werden aufgefordert, eine Schlussfolgerung über die Beziehung zwischen dem Definitionsbereich und der Wertemenge von Umkehrfunktionen zu ziehen.

Um die Frage zu erörtern, wie man die Umkehrfunktion einer gegebenen Größe findet, bezog der Lehrer zwei Schüler ein. Am Vortag erhielten die Kinder vom Lehrer die Aufgabe, die analytischen und grafischen Methoden zum Auffinden der inversen gegebenen Funktion selbstständig zu analysieren. Der Lehrer fungierte als Berater bei der Vorbereitung der Schüler auf den Unterricht.

Nachricht vom ersten Schüler.

Beachte: Die Monotonie einer Funktion ist reicht aus Bedingung für die Existenz einer Umkehrfunktion. Aber es ist nicht notwendige Bedingung.

Der Student gab Beispiele für verschiedene Situationen, wenn die Funktion nicht monoton, aber umkehrbar ist, wenn die Funktion nicht monoton und nicht umkehrbar ist, wenn sie monoton und umkehrbar ist

Dann führt der Student die Studenten in die Methode ein, die analytisch gegebene Umkehrfunktion zu finden.

Algorithmus finden

1. Stellen Sie sicher, dass die Funktion monoton ist.
2. Drücke x durch y aus.
3. Variablen umbenennen. Anstelle von x \u003d f -1 (y) schreiben sie y \u003d f -1 (x)

Löse dann zwei Beispiele, um die Funktion der Umkehrung des Gegebenen zu finden.

Beispiel 1: Zeigen Sie, dass es eine Umkehrfunktion für die Funktion y=5x-3 gibt und finden Sie ihren analytischen Ausdruck.

Lösung. Lineare Funktion y=5x-3 ist auf R definiert, nimmt auf R zu, und sein Wertebereich ist R. Daher existiert die Umkehrfunktion auf R. Um ihren analytischen Ausdruck zu finden, lösen wir die Gleichung y=5x-3 nach x; wir erhalten Dies ist die gewünschte Umkehrfunktion. Sie ist definiert und erhöht sich durch R.

Beispiel 2: Zeigen Sie, dass es eine Umkehrfunktion für die Funktion y=x 2 , x≤0 gibt, und finden Sie ihren analytischen Ausdruck.

Die Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig, monoton, also invertierbar. Nachdem die Definitionsbereiche und der Wertesatz der Funktion analysiert wurden, wird eine entsprechende Schlussfolgerung über den analytischen Ausdruck für die Umkehrfunktion gezogen.

Der zweite Student hält eine Präsentation über Grafik wie man die Umkehrfunktion findet. Im Zuge seiner Erläuterung nutzt der Schüler die Möglichkeiten des interaktiven Whiteboards.

Um den Graphen der Funktion y=f –1 (x) invers zu der Funktion y=f(x) zu erhalten, ist es notwendig, den Graphen der Funktion y=f(x) symmetrisch in Bezug auf die gerade Linie zu transformieren y=x.

Während der Erklärung auf dem interaktiven Whiteboard wird die folgende Aufgabe ausgeführt:

Konstruieren Sie einen Graphen einer Funktion und einen Graphen ihrer Umkehrfunktion im selben Koordinatensystem. Schreiben Sie einen analytischen Ausdruck für die Umkehrfunktion auf.

4. Primäre Fixierung des neuen Materials.

Ziel - um die Korrektheit und das Bewusstsein für das Verständnis des untersuchten Materials herzustellen, Lücken im primären Verständnis des Materials zu identifizieren und sie zu korrigieren.

Die Schüler werden in Paare eingeteilt. Sie erhalten Blätter mit Aufgaben, an denen sie paarweise arbeiten. Die Zeit zur Fertigstellung der Arbeit ist begrenzt (5-7 Minuten). Ein Schülerpaar arbeitet am Computer, der Beamer ist für diese Zeit ausgeschaltet und die restlichen Kinder können nicht sehen, wie die Schüler am Computer arbeiten.

Am Ende der Zeit (es wird davon ausgegangen, dass die Mehrheit der Schüler die Arbeit abgeschlossen hat) zeigt das interaktive Whiteboard (der Beamer schaltet sich wieder ein) die Arbeit der Schüler, wobei während des Tests verdeutlicht wird, dass die Aufgabe erledigt wurde Paare. Bei Bedarf führt der Lehrer korrigierende, erklärende Arbeiten durch.

Selbständiges Arbeiten zu zweit<Anlage 2 >

5. Das Ergebnis der Lektion. Zu den Fragen, die vor dem Vortrag gestellt wurden. Bekanntgabe der Noten für den Unterricht.

Hausaufgaben §10. Nr. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra und die Anfänge der Analysis. Klasse 10 In 2 Teilen für Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, L. O. Denishcheva, T. A. Koreshkova und andere; ed. A. G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Entsprechende Ausdrücke, die ineinander übergehen. Um zu verstehen, was das bedeutet, lohnt es sich, darüber nachzudenken konkretes Beispiel. Nehmen wir an, wir haben y = cos(x). Wenn wir den Kosinus aus dem Argument nehmen, können wir den Wert von y finden. Offensichtlich müssen Sie dafür x haben. Aber was ist, wenn der Spieler zunächst gegeben wird? Hier geht es zum Kern der Sache. Zur Lösung des Problems ist die Verwendung einer Umkehrfunktion erforderlich. In unserem Fall ist dies der Arkuskosinus.

Nach allen Transformationen erhalten wir: x = arccos(y).

Das heißt, um eine Funktion zu finden, die zu einer gegebenen invers ist, reicht es aus, einfach ein Argument daraus auszudrücken. Dies funktioniert jedoch nur, wenn das Ergebnis einen einzigen Wert hat (dazu später mehr).

BEI Gesamtansicht wir können diese Tatsache wie folgt schreiben: f(x) = y, g(y) = x.

Definition

Sei f eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge X und deren Definitionsbereich die Menge Y ist. Wenn es g gibt, erfüllen deren Definitionsbereiche gegensätzliche Aufgaben, dann ist f invertierbar.

Außerdem ist g in diesem Fall eindeutig, was bedeutet, dass es genau eine Funktion gibt, die diese Eigenschaft erfüllt (nicht mehr und nicht weniger). Dann wird es als Umkehrfunktion bezeichnet und schriftlich wie folgt bezeichnet: g (x) \u003d f -1 (x).

Mit anderen Worten, sie können als binäre Beziehung betrachtet werden. Reversibilität findet nur statt, wenn ein Element der Menge einem Wert von einem anderen entspricht.

Es gibt nicht immer eine Umkehrfunktion. Dazu muss jedes Element y є Y höchstens einem x є X entsprechen. Dann heißt f Eins-zu-eins oder Injektion. Wenn f -1 zu Y gehört, dann muss jedes Element dieser Menge einem x ∈ X entsprechen. Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen Surjektionen. Es gilt per Definition, wenn Y ein Bild f ist, aber das ist nicht immer der Fall. Um invers zu sein, muss eine Funktion sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion sein. Solche Ausdrücke nennt man Bijektionen.

Beispiel: Quadrat- und Wurzelfunktionen

Die Funktion ist definiert auf )