خانه » طراحی آپارتمان » تغییر در طرح ریزی حرکت سیستم چیست؟ مقادیر ویژه و توابع ویژه طرح ریزی تکانه زاویه ای. قانون بقای حرکت

تغییر در طرح ریزی حرکت سیستم چیست؟ مقادیر ویژه و توابع ویژه طرح ریزی تکانه زاویه ای. قانون بقای حرکت

تکانه سیستم اجسام نامیده می شود جمع برداریتکانه های تمام بدن های موجود در سیستم. اگر یک سیستم از N جسم تشکیل شده باشد، تکانه این سیستم برابر است با:

p~ = p~1 + p~2 + : : : + p~N:

سپس همه چیز دقیقاً به همان روش بالا انجام می شود (فقط از نظر فنی کمی پیچیده تر به نظر می رسد). اگر برای هر جسم تساوی هایی مشابه (71) و (72) بنویسیم و سپس همه این تساوی ها را جمع کنیم، در سمت چپ دوباره مشتق حرکت سیستم را بدست می آوریم و در سمت راست فقط حاصل جمع باقی می ماند. نیروهای خارجی (نیروهای داخلی، با جمع کردن جفت، به دلیل قانون سوم نیوتن، صفر به دست می آید). بنابراین، برابری (73) همچنان معتبر خواهد بود مورد کلی.

15.4 قانون بقای حرکت

سیستم اجسام بسته نامیده می شود اگر اعمال باشد بدن های خارجیروی بدنه های یک سیستم داده شده یا ناچیز هستند یا یکدیگر را جبران می کنند. بنابراین، در مورد سیستم بسته اجسام، فقط تعامل این اجسام با یکدیگر ضروری است، اما نه با هیچ جسم دیگری.

حاصل نیروهای خارجی اعمال شده به یک سیستم بسته برابر با صفر است: ~ ext

در این صورت، از (73) به دست می آید:

dt = 0:

اما اگر مشتق یک بردار ناپدید شود (نرخ تغییر بردار صفر است)، آنگاه خود بردار در طول زمان تغییر نمی کند:

قانون بقای حرکت حرکت یک سیستم بسته از اجسام در طول زمان برای هر گونه فعل و انفعالات اجسام در این سیستم ثابت می ماند.

ساده ترین مسائل مربوط به قانون بقای تکانه مطابق طرح استاندارد حل می شود که اکنون نشان خواهیم داد.

وظیفه. جسمی با جرم m1 = 800 گرم با سرعت v1 = 3 متر بر ثانیه در امتداد یک سطح افقی صاف حرکت می کند. جسمی به جرم m2 = 200 g با سرعت v2 = 13 m/s به سمت آن حرکت می کند. یک ضربه کاملا غیر ارتجاعی رخ می دهد (جسم ها به هم می چسبند). سرعت اجسام را پس از ضربه پیدا کنید.

راه حل. وضعیت در شکل نشان داده شده است. 45. بیایید محور X را در جهت حرکت جسم اول هدایت کنیم.







	متر مربع ~ گرم
m1 ~g
	برنج. 45. به وظیفه

از آنجا که سطح صاف است، هیچ اصطکاک وجود ندارد. از آنجایی که سطح افقی است و حرکت در امتداد آن رخ می دهد، نیروی گرانش و واکنش تکیه گاه یکدیگر را متعادل می کنند:

ضربه سیستم قبل از ضربه مجموع تکانه های اجسام است:

p~ قبل از ضربه = m 1 ~ v 1 + m 2 ~ v 2:

پس از ضربه غیر ارتجاعی، یک جسم به جرم m1 + m2 بدست می آوریم که با سرعت مورد نظر ~v حرکت می کند:

p~ پس از ضربه = (m 1+ m 2)~v:

از قانون بقای حرکت (74) داریم:

m1 ~v1 + m2 ~v2 = (m1 + m2 )~v:

از اینجا به سرعت بدنی که پس از ضربه شکل گرفته است می یابیم:

~v = m1 ~v1 + m2 ~v2: m 1 + m 2

بیایید به پیش بینی ها در محور X برویم:

v x = m 1v 1x+ m 2v 2x: m 1 + m 2

با شرط داریم: v1x = 3 m/s، v2x = 13 m/s، بنابراین

علامت منفی نشان می دهد که اجسام چسبیده به هم در جهت مخالف محور X حرکت می کنند: v = 0; 2 m/s.

15.5 قانون بقای پیش بینی تکانه

اغلب در مشکلات یافت می شود وضعیت بعدی. سیستم اجسام بسته نیست (مجموع بردار نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر نیست)، اما یک محور X وجود دارد به طوری که مجموع برآمدگی نیروهای خارجی روی محور X در هر زمان صفر است. سپس می‌توان گفت که در امتداد این محور، سیستم اجسام ما بسته عمل می‌کند و حرکت حرکتی سیستم بر روی محور X حفظ می‌شود.

بیایید این را دقیق تر نشان دهیم. بیایید برابری (73) را روی محور X طرح کنیم:

dt = F ext; ایکس:

اگر برآیند نیروهای خارجی صفر شود، Fext; x = 0، سپس

dp dt x = 0:

بنابراین، px طرح ریزی ثابت است:

px = const:

قانون بقای پیش بینی تکانه. اگر بر روی محور X مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، آنگاه برآمدگی px تکانه سیستم در طول زمان تغییر نمی کند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم وظیفه خاصقانون بقای طرح تکانه چگونه کار می کند؟

وظیفه. پسری به وزن M که روی اسکیت ایستاده است یخ صاف، سنگی به جرم m با سرعت v را با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می کند. سرعت u را که پسر پس از پرتاب به عقب می‌چرخد را پیدا کنید.

راه حل. وضعیت به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده است. 46. پسر به صورت بنددار مستقیم به تصویر کشیده شده است.

برنج. 46. به وظیفه

حرکت سیستم "پسر + سنگ" حفظ نشده است. این را می توان از این واقعیت دریافت که پس از پرتاب، یک جزء عمودی از حرکت سیستم ظاهر می شود (یعنی جزء عمودی تکانه سنگ) که قبل از پرتاب وجود نداشت.

بنابراین سیستمی که پسر و سنگ تشکیل می دهند بسته نیست. چرا؟ چیزی که است

که مجموع بردار نیروهای خارجی ~ در حین پرتاب برابر با صفر نیست. اندازه

بیشتر از مجموع Mg + mg است و به دلیل این مازاد، جزء عمودی تکانه سیستم ظاهر می شود.

با این حال، نیروهای خارجی فقط به صورت عمودی عمل می کنند (اصطکاک وجود ندارد). بنابراین، پیش بینی ضربه بر روی محور افقی X حفظ می شود، قبل از پرتاب، این طرح برابر با صفر بود. با هدایت محور X در جهت پرتاب (بنابراین پسر در جهت نیمه محور منفی رفت)، دریافت می کنیم:

Mu + mv0 cos = 0;

u = mv 0 cos :M

تکانه(میزان حرکت) بدن را فیزیکی می گویند کمیت برداری، که است ویژگی های کمی حرکت رو به جلوتلفن تکانه تعیین شده است آر. تکانه بدن برابر با محصولتوده بدن به سرعت آن، یعنی. با فرمول محاسبه می شود:

جهت بردار ضربه منطبق با جهت بردار سرعت بدن (مماس مستقیم بر مسیر) است. واحد ضربه kg∙m/s است.

حرکت کل سیستم اجسامبرابر است بردارمجموع تکانه های تمام اجسام در سیستم:

تغییر در تکانه یک بدنبا فرمول (توجه داشته باشید که تفاوت بین تکانه های نهایی و اولیه بردار است) پیدا می شود:

جایی که: پ n - تکانه بدن به داخل لحظه شروعزمان، پ k - به آخرین. نکته اصلی این است که دو مفهوم آخر را اشتباه نگیرید.

ضربه کاملا الاستیک- یک مدل انتزاعی از ضربه، که تلفات انرژی ناشی از اصطکاک، تغییر شکل و غیره را در نظر نمی گیرد. هیچ تعامل دیگری به جز تماس مستقیم در نظر گرفته نمی شود. با یک ضربه کاملا الاستیک بر روی یک سطح ثابت، سرعت جسم پس از ضربه با سرعت جسم قبل از ضربه برابر است، یعنی بزرگی ضربه تغییر نمی کند. فقط جهت آن می تواند تغییر کند. در این مورد، زاویه بروز برابر با زاویهبازتاب ها

تاثیر کاملا غیر ارتجاعی- ضربه ای که در نتیجه آن اجسام به هم متصل می شوند و به حرکت بعدی خود ادامه می دهند یک بدن. به عنوان مثال، هنگامی که یک توپ پلاستیکی روی هر سطحی می افتد، هنگام برخورد دو اتومبیل، حرکت خود را کاملاً متوقف می کند، کوپلر خودکار فعال می شود و آنها نیز با هم به حرکت خود ادامه می دهند.

قانون بقای حرکت

هنگامی که اجسام با هم تعامل دارند، تکانه یک جسم می تواند تا حدی یا به طور کامل به بدن دیگر منتقل شود. اگر نیروهای خارجی اجسام دیگر بر سیستم اجسام وارد عمل نشوند، چنین سیستمی نامیده می شود بسته.

در یک سیستم بسته، مجموع برداری تکانه های تمام اجسام موجود در سیستم برای هر گونه فعل و انفعالات اجسام این سیستم با یکدیگر ثابت می ماند. این قانون اساسی طبیعت نامیده می شود قانون بقای حرکت (LCM). پیامدهای آن قوانین نیوتن است. قانون دوم نیوتن فرم نبضرا می توان به صورت زیر نوشت:

همانطور که از این فرمول به دست می آید، اگر هیچ نیروی خارجی بر سیستم اجسام وارد نشود، یا عمل نیروهای خارجی جبران شود (نیروی حاصل صفر است)، تغییر در تکانه صفر است، به این معنی که تکانه کل سیستم حفظ شده است:

به همین ترتیب، می‌توان برای برابری نیروی پیش‌بینی شده بر محور انتخاب‌شده به صفر استدلال کرد. اگر نیروهای خارجی فقط در امتداد یکی از محورها عمل نکنند، آنگاه تکانه بر روی آن پخش می شود این محور، مثلا:

برای بقیه مطالب مشابهی قابل انجام است محورهای مختصات. به هر طریقی، باید درک کنید که تکانه ها خود می توانند تغییر کنند، اما این مجموع آنهاست که ثابت می ماند. قانون بقای تکانه در بسیاری از موارد امکان یافتن سرعت اجسام متقابل را حتی زمانی که مقادیر نیروهای فعالناشناخته.

صرفه جویی در طرح ریزی حرکت

موقعیت ها زمانی امکان پذیر است که قانون بقای تکانه فقط تا حدی برآورده شود، یعنی فقط زمانی که بر روی یک محور قرار می گیرد. اگر بر جسمی نیرو وارد شود، تکانه آن حفظ نمی شود. اما همیشه می توانید محوری را انتخاب کنید که نیروی برآمده بر این محور برابر با صفر باشد. سپس طرح تکانه بر روی این محور حفظ خواهد شد. به عنوان یک قاعده، این محور در امتداد سطحی که بدن در امتداد آن حرکت می کند انتخاب می شود.

مورد چند بعدی FSI. روش برداری

در مواردی که اجسام در امتداد یک خط مستقیم حرکت نمی کنند، در حالت کلی، برای اعمال قانون بقای تکانه، لازم است آن را در امتداد تمام محورهای مختصات درگیر در مسئله توصیف کنیم. اما راه حل کار مشابهدر صورت استفاده می تواند بسیار ساده شود روش برداری. در صورتی استفاده می شود که یکی از بدن ها قبل یا بعد از ضربه در حالت استراحت باشد. سپس قانون بقای تکانه به یکی از روش های زیر نوشته می شود:

از قوانین جمع بردارها چنین بر می آید که سه بردار در این فرمول ها باید یک مثلث تشکیل دهند. برای مثلث ها، قضیه کسینوس صدق می کند.

بازگشت
رو به جلو

چگونه برای CT در فیزیک و ریاضیات با موفقیت آماده شویم؟

برای آمادگی موفقیت آمیز برای CT در فیزیک و ریاضیات، از جمله موارد دیگر، رعایت سه شرط مهم ضروری است:

همه مباحث را مطالعه کنید و تمام تست ها و تکالیف ارائه شده در مطالب آموزشی این سایت را تکمیل کنید. برای انجام این کار، به هیچ چیز نیاز ندارید، یعنی: هر روز سه تا چهار ساعت را به آماده شدن برای سی تی در فیزیک و ریاضیات، مطالعه تئوری و حل مسائل اختصاص دهید. واقعیت این است که سی تی امتحانی است که در آن فقط دانستن فیزیک یا ریاضی کافی نیست، بلکه باید بتوانید آن را سریع و بدون شکست حل کنید. تعداد زیادی ازوظایف برای موضوعات مختلفو با پیچیدگی های متفاوت دومی را تنها با حل هزاران مشکل می توان آموخت.
تمام فرمول ها و قوانین در فیزیک و فرمول ها و روش ها در ریاضیات را بیاموزید. در واقع، انجام این کار نیز بسیار ساده است، فرمول های لازمدر فیزیک فقط حدود 200 قطعه وجود دارد و در ریاضیات حتی کمی کمتر. هر یک از این موارد شامل حدود یک دوجین است روش های استانداردحل مشکل سطح پایهمشکلاتی که می توان آنها را نیز یاد گرفت و بنابراین کاملاً خودکار و بدون مشکل حل شد لحظه مناسب اکثرسی تی. پس از این، فقط باید به سخت ترین کارها فکر کنید.
در هر سه مرحله تست تمرینی فیزیک و ریاضی شرکت کنید. هر RT را می توان دو بار برای تصمیم گیری در مورد هر دو گزینه بازدید کرد. مجدداً در سی تی علاوه بر توانایی حل سریع و کارآمد مسائل و دانش فرمول ها و روش ها، برنامه ریزی صحیح زمان، توزیع نیروها و مهمتر از همه پرکردن صحیح فرم پاسخنامه نیز ضروری است. گیج کردن تعداد پاسخ ها و مشکلات، یا نام خانوادگی خود. همچنین، در طول RT، مهم است که به سبک سوال پرسیدن در مسائل عادت کنید، که ممکن است برای یک فرد ناآماده در DT بسیار غیر معمول به نظر برسد.

اجرای موفقیت آمیز، سخت کوش و مسئولانه این سه نکته به شما این امکان را می دهد که در CT نتیجه عالی، حداکثر توانایی خود را نشان دهید.

اشتباهی پیدا کردی؟

اگر فکر می کنید خطایی در آن پیدا کرده اید مواد آموزشی، سپس لطفاً از طریق ایمیل در مورد آن بنویسید. همچنین می توانید یک اشکال را به آن گزارش دهید شبکه اجتماعی(). در نامه موضوع (فیزیک یا ریاضی)، نام یا شماره مبحث یا تست، شماره مسئله و یا جایی در متن (صفحه) که به نظر شما خطایی وجود دارد را مشخص کنید. همچنین توضیح دهید که خطای مشکوک چیست. نامه شما بی توجه نمی ماند، یا خطا تصحیح می شود، یا به شما توضیح داده می شود که چرا اشتباه نیست.

مشکل 1

جسمی با جرم در امتداد محور Ox حرکت می کندمتر= 1 کیلوگرم در سرعتV 0 = 2 متر بر ثانیه. در جهت حرکت عمل می کندزورF = 4 N برای مدتیt = 2 ثانیه سرعت بدن را پس از پایان این نیرو مشخص کنید.

برای حل این مشکل، اول از همه، مهم است که به یاد داشته باشید که تکانه بدن چیست.

برنج. 1. انتخاب سیستم مرجع

به یاد آوردن آن تکانه نیرو- این تغییر در حرکت بدن است، ما می نویسیم عبارت بعدی: .

حال بیایید معادله را با سیستم مرجع انتخاب شده هماهنگ کنیم. نیروی F هنگامی که بر روی محور X قرار می گیرد c خواهد بود علامت مثبت، که به این معنی است: .

سپس، پس از تبدیل این معادله، جدا کردن سرعتی که باید تعیین شود، عبارت زیر را می نویسیم: .

پاسخ: 10 متر بر ثانیه.

مشکل 2

گاری با یک نفر روی آن با سرعت 2 متر بر ثانیه در امتداد یک خط مستقیم حرکت می کند. مردی از گاری در جهت افقی می پرد، جهت مخالفحرکت چرخ دستی با سرعت 1 متر بر ثانیه. سرعت گاری را بعد از پریدن فرد از روی آن مشخص کنید. جرم یک نفر 1.5 برابر بیشتر از جرم گاری است.

برنج. 2. پیش بینی حرکت اجسام در محور X

در حالت اول دقت کنید که گاری و شخص هر دو با هم سفر می کنند، یعنی سرعت آنها یکسان است، می توانیم برای این سیستم مرجع مرتبط با محور Ox عبارت زیر را بنویسیم: .

سپس وقتی فرد از گاری می پرد، این دو بدن را می توان به صورت زیر نوشت: .

علامت منفی نشان می دهد که سرعت فرد به سمت هدایت می شود طرف مقابل، و سرعت چرخ دستی با علامت مثبت در همان جهتی است که سرعت اولیه، یعنی. در امتداد محور Ox

پس از نوشتن این عبارات برای حالت اولیه و حالت پس از اندرکنش، از قانون بقای تکانه استفاده خواهیم کرد.

توسط قانون بقای حرکتضربه در حالت اول برابر با ضربه در حالت دوم خواهد بود: P 0x = P x. .

پس از نوشتن این رابطه، آن را بازنویسی کرده و پرانتز عبارات را باز می کنیم: (m 1 +m 2).V 1 =-متر مربعV2+متر 1.V¢ 1.

سرعت V¢ 1 باید تعیین شود. بیایید جرم یک نفر را از طریق جرم گاری بیان کنیم، اما به طوری که جرم در همان واحدها بیان شود: (m 1 +1.5m 1).V 1 = -1.5متر 1.V2+متر 1.V¢ 1.

می توانیم جرم m 1 را از براکت خارج کرده و آن را کاهش دهیم: 2,5 متر 1.V 1 = -1.5متر 1.V2+متر 1.V¢ 1. هنگامی که مقادیر را جایگزین سرعت ها می کنیم، پاسخ می گیریم: .

م این مشکل به خوبی نشان می دهد نیروی محرکه جت. فردی که در جهت مخالف از گاری پرید سرعت خود گاری را افزایش داد. آیا این درست نیست، این با روشی که گازها از یک موشک با سرعت معینی خارج می شوند و سرعت بیشتری را به پوسته می دهند، به خوبی مطابقت دارد. خود موشک

مشکل 3

جرم توپ m 1 = 1 کیلوگرم. با سرعت در امتداد یک سطح کاملاً صاف می لغزد v 1 = 4 ام‌اسو کاملاً الاستیک با توپی هم اندازه برخورد می کند m 2 = 3 کیلوگرم. سرعت توپ ها را پس از ضربه تعیین کنید؟
راه حل:
طبق قانون بقای تکانه در یک ضربه کاملا غیر کشسان.

اوه:

پاسخ 1 ام‌اس

مشکل 4

توپ به وزن 70 جی. با زاویه 60 0 نسبت به حالت عادی روی زمین می افتد و بدون کاهش سرعت در همان زاویه به زمین می افتد. اگر سرعت توپ 30 باشد، ضربه کل نیروی وارد بر توپ را در هنگام ضربه تعیین کنید ام‌اس.
راه حل:
اجازه دهید تغییرات سرعت توپ در هنگام ضربه را در شکل نشان دهیم:
بیایید قانون دوم نیوتن را بنویسیم
با ساخت ما تعیین می کنیم که . بزرگی ضربه کل نیروی وارد بر توپ در هنگام ضربه برابر است
پاسخ:

مشکل 5

پسری با وزن 40 کیلوگرم، روی اسکیت ایستاده، سنگی به جرم 1 پرتاب می کند کیلوگرمبا سرعت 8 ام‌اس. در زاویه 60 0 نسبت به افقی. سرعتی که پسر در نتیجه پرتاب شروع به حرکت در امتداد یخ می کند را تعیین کنید؟

راه حل:
هیچ نیروی افقی بر روی سیستم پسر-سنگ عمل نمی کند. که در سیستم اینرسیگزارش متصل به زمین، پیش بینی کل ضربه سیستم بر روی محور افقی باید بدون تغییر باقی بماند:
سرعت پسر بعد از پرتاب
پاسخ: 0.1 ام‌اس

مشکل 6 0.04 متر بر ثانیه

مسئله 7

پرتابه در نقطه بالای مسیر خود به دو تکه با توده منفجر شدمتر 1 = 3 کیلوگرم و متر 2 =5 کیلوگرم سرعت پرتابه بلافاصله قبل از انفجار برابر بودv 0 =600 m/s، سرعت قطعه بزرگتر بلافاصله پس از پارگی برابر بودv 2 =800 متر بر ثانیه و جهت آن با جهت حرکت پرتابه قبل از انفجار منطبق بود. سرعت قطعه کوچک را بلافاصله پس از پارگی تعیین کنید.

راه حل:
اجازه دهید جهت مثبت سرعت پرتابه را انتخاب کنیمv 0 و قانون بقای تکانه را بنویسید.

این بدان معنی است که قطعه کوچکتر در همان جهت پرواز می کرد.
پاسخ:

تکانه زاویه ای ذرات Lنسبت به مبدا در باره V مکانیک کلاسیکتوسط محصول برداری تعیین می شود [g,r,آن ها

این تعریف در مکانیک کوانتومیمعنی ندارد، زیرا هیچ حالتی وجود ندارد که هر دو بردار در آن باشند جیو آرمعانی خاصی داشت

تکانه زاویه ای را در نظر بگیرید ذره کوانتومی. در مکانیک کوانتومی، محصول برداری [g,r]مربوط به اپراتور است [ر، ر]. افشای آن محصول برداریعملگرهای پیش بینی تکانه زاویه ای بر روی محورهای مختصات را پیدا کنید X، U، Z، برای مثال در محور Z:

از طریق این پیش بینی ها، عملگر بردار تکانه زاویه ای به صورت بیان می شود

در ادامه از عملگر پرتاب حرکت زاویه ای بر روی محور Z استفاده خواهیم کرد، اما نه در دکارتی، بلکه در سیستم کرویمختصات (G, 0، چهارشنبه):

عملگر تکانه زاویه ای فقط به جهت محورهای مختصات بستگی دارد. بنابراین به آن نیز گفته می شود عملگر حرکت زاویه ایمقادیر ویژهعملگرهای پیش بینی تکانه زاویه ای نیز به انتخاب مبدا بستگی ندارند.

می توانید بررسی کنید و مطمئن شوید که عملگرهای طرح ریزی تکانه زاویه ای هستند L x، L yو Lzبا یکدیگر رفت و آمد نکنید: L x L y y>^ L y L x y).بنابراین، هیچ حالتی وجود ندارد که در آن هر سه یا حتی هر دو از سه فرافکنی وجود داشته باشد L x، L v، L،مقادیر خاصی به غیر از صفر داشت. توجه داشته باشید که برخلاف تکانه زاویه ای، یک ضربه دارای سه جزء قابل اندازه گیری همزمان است: r x، r y، r،.

بنابراین، هیچ حالتی از ذره کوانتومی وجود ندارد که در آن بردار تکانه زاویه ای مقدار معینی داشته باشد، یعنی. به طور کامل هم از نظر قدر و هم جهت تعیین می شود. تنها استثنا موردی است که L- 0 و هر سه پیش بینی همزمان برابر با صفر هستند: L x = L v = L، = 0.

مدول تکانه زاویه ای. برای تعیین مربع تکانه زاویه ای یک ذره در حالت φ، باید معادله ای به شکل (27.5) حل شود:

عملگر تکانه زاویه ای مربع کجاست L = Lx + L y + Lz.فعلا امکانش هست

توجه داشته باشید که برای مقادیر ویژه اپراتور Lنمایشگاه

جایی که / - مداری (ازیموتال) عدد کوانتومی. از این رو مدول تکانه زاویه ای یک ریزذره متحرک است

مشاهده می شود که این کمیت گسسته (کوانتیزه) است.

اپراتورها L x، L yو Lz(27.10) رفت و آمد با L. از این رو،

می توان به طور همزمان اندازه حرکت زاویه ای را تعیین کرد L(یا مربع آن L 2) و یکی از پیش بینی های آن ( Lx , L yیا L،). معمولاً طرح بر روی محور Z در نظر گرفته می شود، زیرا در این مورد عملگر Lzبا فرمول ساده تر (27.10) داده می شود.

طرح ریزی تکانه زاویه ای L z. برای تعیین مقادیر ویژه و توابع بومیعملگر تکانه زاویه ای ذره، طبق عبارت (27.5) باید حل شود. معادله L-ph= 1.f، یعنی.

جایی که تابع موجتابعی از مختصات کروی است: φ = φ(/*، 0، φ). جایگزینی φ = Ce af (C = C(/%0)) پس از کاهش به ضریب مشترک Se a f به معادلات

به این معنی که جواب معادله (27.12) به صورت زیر است:

به دلیل عدم ابهام مورد نیاز φ، هنگام چرخش حول محور Z با زاویه ای ازیموتال ср برابر با 2φ، تابع موج نباید تغییر کند: φ(φ + 2φ) = φ(φ). از آنجایی که تابع در یکتناوبی با دوره 2n است، پس طبق (27.13) این برابری فقط تحت شرط می تواند برآورده شود.

شماره کجاست تیتماس گرفت عدد کوانتومی مغناطیسیبنابراین ثابت پلانک پیرا می توان به عنوان واحد طبیعی تکانه زاویه ای در نظر گرفت. توجه داشته باشید که معادله (27.13) طیف مقادیر مجاز طرح تکانه زاویه ای را بر روی ocbZ انتخابی مشخص می کند.

برنج. 27.1.جهت گیری احتمالی بردار تکانه زاویه ای، برای مثال یک الکترون، در حالتی با عدد کوانتومی 1 = 2

تساوی (27.13) به این معنی است که از آنجایی که جهت محور Z به طور دلخواه انتخاب می شود، طرح تکانه زاویه ای بر روی هر جهت کوانتیزه می شود (شکل 27.1). البته، تصویر شماتیک نباید به معنای واقعی کلمه گرفته شود، زیرا "بردار" Lاساساً هیچ جهت مشخصی در فضا ندارد. در مقدار معینی از ماژول تکانه زاویه ای و مقدار مشخصی از طرح ریزی L،طرح ها Lxو L yندارد ارزش های خاص(به جز حالتی که هر سه جزء تکانه زاویه ای به طور همزمان صفر باشند). ارزش های Lو Lvمتفاوت از (27.11a) و (27.13) تحت هیچ شرایطی قابل مشاهده نیست.

طرح ریزی هر بردار نمی تواند بزرگتر از مدول این بردار باشد، یعنی. | L z بنابراین، مطابق با فرمول های (27.11a) و (27.13)، شرط برقرار است.

از این رو، حداکثر مقدار تیبرابر است / و ما می توانیم آن را بنویسیم

داده شده / شماره تیمی پذیرد (21 + 1) مقادیر:

تشکیل طیف طرح ریزی Lz = MBبه هر محور Z انتخاب شده (شکل 27.1).

بنابراین، عدد کوانتومی / هم مدول تکانه زاویه ای و هم همه چیز را مشخص می کند مقادیر ممکنبه عنوان مثال، اگر عدد کوانتومی مداری / = 2 (شکل 27.1) باشد

نتایج به دست آمده، تعریف مقادیر ممکن Lو Lvکوانتیزاسیون فضایی نامیده می شود. برای وضوح، کمی سازی فضایی معمولاً به صورت گرافیکی نشان داده می شود (شکل 27.1): در امتداد محور زامکان به تعویق انداختن ارزش های MB،در نظر گرفتن آنها به عنوان برجستگی بر روی محور Z بردار Lطول th L //(/ + 1).

قانون بقای حرکتنتیجه قوانین نیوتن است و برای تعیین سرعت لحظه ای اجسام پس از برهم کنش آنها استفاده می شود.

تکانه بدن ( نقطه مادی) بردار نامیده می شود کمیت فیزیکی برابر با محصولجرم بدن در سرعت آن p -> = mϑ ->، که m جرم بدن است، ϑ -> سرعت آنی است. ضربه یک سیستم اجسام مجموع برداری تکانه های اجسام p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + … + p n -> است.

طبق قانون اول نیوتن، اگر اجسام برهم کنش نداشته باشند، تکانه هر جسم و تکانه چند جسم موجود در سیستم حفظ می شود. طبق قانون سوم نیوتن، هنگام برهمکنش درون یک سیستم، جفت نیروها بین اجسامی ایجاد می‌شوند که از نظر قدر برابر و جهت مخالف هستند.

کمیت فیزیکی برداری که معیاری از عمل یک نیرو در یک دوره زمانی معین است، ضربه نیرو نامیده می شود و به آن F -> Δt نشان داده می شود.از قانون دوم نیوتن در مورد عمل یک نیرو و تعریف شتاب F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = m ϑ -> - م ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

این معادله قانون بقای تکانه به شکل پالس است.تکانه نیرو (نتیجه) برابر است با تغییر تکانه بدن (نقطه مادی). در یک سیستم بسته، فعل و انفعالات به صورت جفت اتفاق می افتد و تکانه یک جسم با مقدار F 21 -> Δt، تکانه دوم با F 12 -> Δt تغییر می کند، که در آن F 12 -> نیرویی است که از جسم اول وارد می شود. بدن بر روی دوم و F 21 -> – نیرویی که از بدن دوم بر بدن اول وارد می شود.

بیایید یک سیستم بسته از اجسام را نام ببریم که فقط با یکدیگر تعامل دارند.

تکانه جسم اول به مقدار F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt تغییر می کند، تکانه جسم دوم به مقدار F 12 -> Δt, p 2 تغییر می کند. -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. اما حرکت سیستم اجسام ثابت می ماند

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 ->، از F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0، از F 12 -> = -F 21 -> .

با هر تعامل دو جسم در داخل یک سیستم بسته، تکانه کل سیستم تغییر نمی کند. اجازه دهید قانون بقای حرکت را فرموله کنیم.

بردار مجموع لحظه ای اجسام در حال تعامل، اجزا سیستم بسته، بدون تغییر باقی می ماند.

هنگام استفاده از قانون بقای تکانه در مسئله، دو نقشه شماتیک ایجاد می کنیم که وضعیت سیستم اجسام را قبل و بعد از اندرکنش نشان می دهد. برای راه حل ها معادلات برداریانتخاب کنید سیستم های یکسانمختصات

مسئله 1. ضربه غیر ارتجاعی.

خودرویی با وزن 30 تن با سرعت 4 متر بر ثانیه حرکت می کند و پس از فعال شدن کوپلر اتوماتیک با سکوی ثابت به وزن 10 تن برخورد می کند.

راه حل.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

OX: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2) ϑ

از اینجا: ϑ = M 1 ϑ 1 /(M 1 + M 2);

ϑ = (30 103 4) / (30 103 + 10 103) = 0.75 متر بر ثانیه

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

پاسخ. 0.75 متر بر ثانیه

اگر برهمکنش اجسام فوراً اتفاق بیفتد و سرعت اجسام بلافاصله پس از برهمکنش مشخص شود، می‌توان قانون بقای تکانه را برای سیستم‌های باز نیز اعمال کرد.

وظیفه 2. تقسیم به قطعات.

نارنجکی که با سرعت 20 متر بر ثانیه پرواز می کند به دو قطعه با جرم های 1.2 کیلوگرم و 1.8 کیلوگرم می شکند. قطعه بزرگتر با سرعت 50 متر بر ثانیه در همان جهت به حرکت خود ادامه می دهد. سرعت قطعه کوچکتر را بیابید.

راه حل.

این سیستم به روی بدن بسته نیست و قسمت‌های آن تحت تأثیر گرانش قرار می‌گیرند، اما از آنجایی که پارگی آنی اتفاق می‌افتد، می‌توان از تغییر تکانه هر قسمت توسط گرانش چشم پوشی کرد. اجازه دهید قانون بقای تکانه را به صورت برداری اعمال کنیم.

م ϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

اوه: م ϑ = M 1 ϑ 1+M2 ϑ 2

از اینجا: ϑ 2x = (M ϑ - M 1 ϑ 1)/M2

ϑ 2x = (3 20 - 1.8 50)/1.2 = -25 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

پاسخ.

قانون بقای تکانه را می توان در برآمدگی ها بر روی یک محور اعمال کرد اگر برآمدگی نیروهای خارجی حاصل بر روی این محور برابر با O. p x = 0 باشد. p 01x + p 02x = p 1x + p 2x.

وظیفه 3. عکس در یک زاویه.

از یک تفنگ نصب شده بر روی یک سکوی با جرم M، یک پرتابه با جرم m با زاویه a نسبت به سطح افقی و با سرعت V نسبت به زمین، سرعت سکو را پس از شلیک مشخص می کند.

راه حل.

سیستم در حین شلیک بسته نیست، یک نیروی واکنش پشتیبانی اضافی بر روی بدنه عمل می کند، که در امتداد پرتابه یک ضربه ایجاد می کند. محور عمودی OY، پیش بینی آن بر روی محور افقی OX برابر با 0 است، هیچ نیروی دیگری در امتداد محور OX عمل نمی کند، به این معنی که می توانیم قانون بقای تکانه در برآمدگی ها را بر روی محور OX اعمال کنیم.