تمام روش های حل معادلات مثلثاتی حل ساده ترین معادلات مثلثاتی وظایف برای راه حل مستقل

هنگام حل بسیاری از مشکلات ریاضی به خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین وظایفی شامل، به عنوان مثال، خطی و معادلات درجه دوم، خطی و نابرابری های مربع, معادلات کسریو معادلاتی که به درجه دوم کاهش می یابد. اصل راه حل موفقهر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که مشکل حل شده متعلق به چه نوع است، به یاد داشته باشید توالی لازماقداماتی که منجر به نتیجه مطلوب، یعنی پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین می شود، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته داشتن مهارت برای اجرا ضروری است تحولات یکسانو محاسبات

وضعیت متفاوتی با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

توسط ظاهرمعادلات گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی باید سعی کنیم:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های راه حل اساسی معادلات مثلثاتی.

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3یک متغیر مجهول پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را به فرم جبریدر مورد یکی از توابع مثلثاتی.

گام 2تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4یک تعویض معکوس انجام دهید.

مرحله 5ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2 شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.جایگزین کردن معادله داده شدهخطی، با استفاده از فرمول های کاهش برای این:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos2x + cos2x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 ( معادله همگندرجه ی اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

مرحله 3معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای برسانید که با روش های I، II، III، IV قابل حل است.

گام 2معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn، n Є Z; از دومی معادلات cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n Є Z؛ x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها نیاز به تلاش قابل توجهی دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند، فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی بسیاری از دانش و مهارت هایی است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی می گیرند مکان مهمدر فرآیند آموزش ریاضیات و رشد شخصیت به طور کلی.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی استفاده کرد شخص خاصییا ارتباط با او

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است ما جمع آوری کنیم اطلاعات مختلفاز جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبرای بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست از سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین در صورتی که تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر افکار عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم. مناسبت های مهم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

حل ساده ترین معادلات مثلثاتی

حل معادلات مثلثاتی با هر سطح از پیچیدگی در نهایت به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی ختم می شود. و در این بهترین دستیاردوباره معلوم می شود که یک دایره مثلثاتی است.

تعاریف کسینوس و سینوس را به یاد بیاورید.

کسینوس یک زاویه، آبسیسا (یعنی مختصات در امتداد محور) یک نقطه روی آن است. دایره واحد، مربوط به چرخش در زاویه داده شده است.

سینوس یک زاویه مختصات (یعنی مختصات در امتداد محور) یک نقطه از دایره واحد مربوط به چرخش با یک زاویه معین است.

جهت مثبت حرکت دایره مثلثاتیحرکت خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود. چرخش 0 درجه (یا 0 رادیان) مربوط به نقطه ای با مختصات (1; 0) است.

ما از این تعاریف برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی استفاده می کنیم.

1. معادله را حل کنید

این معادله با تمام مقادیر زاویه چرخش که با نقاط دایره مطابقت دارد که ترتیب آنها برابر است برآورده می شود.

بیایید نقطه ای را با ارتجاع روی محور y مشخص کنیم:

یک خط افقی موازی با محور x بکشید تا زمانی که با دایره قطع شود. با قرار گرفتن روی یک دایره و داشتن یک ترتیب، دو نقطه به دست خواهیم آورد. این نقاط با زاویه چرخش و رادیان مطابقت دارند:

اگر نقطه مربوط به زاویه چرخش رادیان را ترک کرده باشیم، به اطراف برویم چرخه کامل، سپس به نقطه ای می رسیم که با زاویه چرخش رادیان مطابقت دارد و دارای اردین مشابه است. یعنی این زاویه چرخش معادله ما را نیز برآورده می کند. ما می توانیم هر تعداد که دوست داریم چرخش "بیکار" انجام دهیم و به همان نقطه برگردیم و همه این مقادیر زاویه معادله ما را برآورده می کند. تعداد دورهای "بیکار" با حرف (یا) نشان داده می شود. از آنجایی که می‌توانیم این انقلاب‌ها را در دو جهت مثبت و منفی انجام دهیم، (یا ) می‌توانیم هر مقدار صحیحی را به خود بگیرد.

یعنی اولین سری از راه حل های معادله اصلی به شکل زیر است:

, , - مجموعه اعداد صحیح (1)

به طور مشابه، سری دوم راه حل ها به شکل زیر است:

، جایی که ، . (2)

همانطور که حدس زدید، این سری از راه حل ها بر اساس نقطه دایره مربوط به زاویه چرخش با .

این دو سری راه حل را می توان در یک ورودی ترکیب کرد:

اگر این ورودی (یعنی زوج) را در نظر بگیریم، اولین سری از راه حل ها را دریافت خواهیم کرد.

اگر این ورودی (یعنی فرد) را در نظر بگیریم، سری دوم راه حل ها را به دست خواهیم آورد.

2. حالا بیایید معادله را حل کنیم

از آنجایی که ابسیسا نقطه واحد دایره با چرخش زاویه به دست می آید، نقطه ای را با ابسیسا روی محور مشخص می کنیم:

یک خط عمودی به موازات محور بکشید تا زمانی که با دایره قطع شود. ما دو نقطه دراز کشیدن روی یک دایره و داشتن یک آبسیسا به دست خواهیم آورد. این نقاط با زوایای چرخش و رادیان مطابقت دارند. به یاد بیاورید که وقتی در جهت عقربه های ساعت حرکت می کنیم، دریافت می کنیم زاویه منفیچرخش:

ما دو سری راه حل را می نویسیم:

,

,

(ما در می افتیم نقطه مورد نظر، رفتن از دایره کامل اصلی، یعنی .

بیایید این دو سریال را در یک پست ترکیب کنیم:

3. معادله را حل کنید

خط مماس از نقطه ای با مختصات (1,0) دایره واحد موازی با محور OY می گذرد.

یک نقطه روی آن را با ترتیبی برابر با 1 مشخص کنید (به دنبال مماس آن هستیم که زاویه آن 1 است):

این نقطه را با یک خط مستقیم به مبدا وصل کنید و نقاط تلاقی خط را با دایره واحد مشخص کنید. نقاط تقاطع خط و دایره مطابق با زوایای چرخش روی و:

از آنجایی که نقاط مربوط به زوایای چرخشی که معادله ما را برآورده می کنند، از هم فاصله دارند، می توانیم جواب را به صورت زیر بنویسیم:

4. معادله را حل کنید

خط کوتانژانت ها از نقطه ای می گذرد که مختصات دایره واحد موازی با محور است.

نقطه ای را با آبسیسا -1 روی خط کوتانژانت ها مشخص می کنیم:

این نقطه را به مبدا خط مستقیم وصل کنید و آن را تا زمانی که با دایره قطع شود ادامه دهید. این خط دایره را در نقاط مربوط به زوایای چرخش و رادیان قطع می کند:

از آنجایی که این نقاط با فاصله ای برابر از یکدیگر جدا می شوند، پس تصمیم مشترکمی توانیم این معادله را به صورت زیر بنویسیم:

در مثال های داده شده، برای نشان دادن حل ساده ترین معادلات مثلثاتی، از مقادیر جدولی توابع مثلثاتی استفاده شده است.

با این حال، اگر یک مقدار غیر جدولی در سمت راست معادله وجود داشته باشد، آنگاه مقدار را در جواب کلی معادله جایگزین می کنیم:

راه حل های ویژه:

نقاط روی دایره ای که مختصات آن 0 است علامت بزنید:

یک نقطه از دایره را مشخص کنید که ترتیب آن برابر با 1 است:

یک نقطه از دایره را مشخص کنید که ترتیب آن برابر با 1- است:

از آنجایی که مرسوم است که مقادیر نزدیک به صفر را نشان دهیم، راه حل را به صورت زیر می نویسیم:

نقاط دایره ای را که ابسیسا 0 است علامت بزنید:

5.
بیایید یک نقطه از دایره را که ابسیسا برابر با 1 است مشخص کنیم:

یک نقطه از دایره را علامت بزنید که ابسیسا برابر با 1- است:

و چند مثال پیچیده تر:

1.

سینوسی برابر با یکاگر استدلال باشد

استدلال سینوس ما این است، پس به دست می آوریم:

دو طرف معادله را بر 3 تقسیم کنید:

پاسخ:

2.

کسینوس صفراگر آرگومان کسینوس باشد

استدلال کسینوس ما این است، پس به دست می آوریم:

بیان می کنیم، برای این ابتدا با علامت مخالف به سمت راست حرکت می کنیم:

سمت راست را ساده کنید:

هر دو قسمت را بر -2 تقسیم کنید:

توجه داشته باشید که علامت قبل از عبارت تغییر نمی کند، زیرا k می تواند هر مقدار صحیح را بگیرد.

پاسخ:

و در خاتمه آموزش تصویری «انتخاب ریشه در معادله مثلثاتی با استفاده از دایره مثلثاتی"

این گفتگو در مورد حل ساده ترین معادلات مثلثاتی به پایان می رسد. دفعه بعد در مورد نحوه حل صحبت خواهیم کرد.

نیاز به دانش فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس، بیان مماس از طریق سینوس و کسینوس، و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا آنها را نمی شناسند، خواندن مقاله "" را توصیه می کنیم.
بنابراین، ما فرمول های مثلثاتی را می دانیم، وقت آن است که آنها را عملی کنیم. حل معادلات مثلثاتیدر رویکرد درست- یک فعالیت بسیار هیجان انگیز، مانند، برای مثال، حل مکعب روبیک.

بر اساس خود نام، مشخص است که معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن تحت علامت تابع مثلثاتی قرار دارد.
به اصطلاح معادلات مثلثاتی ساده وجود دارد. شکل ظاهری آنها به این صورت است: sinх = a، cos x = a، tg x = a. در نظر گرفتن، چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کرد، برای وضوح، از دایره مثلثاتی آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: معادله را به ساده ترین شکل می آوریم و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل می کنیم.
7 روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

1. جایگزینی متغیر و روش جایگزینی

حل معادله 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش می گیریم:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

بیایید cos(x + /6) را با y برای سادگی جایگزین کنیم و معادله درجه دوم معمولی را بدست آوریم:

2 سال 2 - 3 سال + 1 + 0

ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 1/2

حالا بیایید به عقب برگردیم

مقادیر یافت شده y را جایگزین می کنیم و دو پاسخ می گیریم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورسازی

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

بیایید همه چیز را به سمت چپ حرکت دهیم تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x - 1 = 0

ما از هویت های بالا برای ساده کردن معادله استفاده می کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

بیایید فاکتورسازی را انجام دهیم:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است اگر تمام عبارات آن نسبت به سینوس و کسینوس در یک درجه از یک زاویه باشند. برای حل یک معادله همگن به صورت زیر عمل کنید:

الف) تمام اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید.

ب) همه چیز را بیرون بیاورید عوامل مشترکبرای براکت ها؛

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر کنید.

د) در پرانتز یک معادله همگن به دست می آید درجه کمتر، به نوبه خود به یک سینوس یا کسینوس به درجه بالاتر تقسیم می شود.

ه) معادله حاصل را برای tg حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

استفاده کنیم فرمول گناه 2 x + cos 2 x = 1 و از شر دو باز سمت راست خلاص شوید:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x را با y جایگزین می کنیم و یک معادله درجه دوم بدست می آوریم:

y 2 + 4y +3 = 0 که ریشه آن y 1 = 1، y 2 = 3 است

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. حل معادلات، از طریق انتقال به نیم زاویه

معادله 3sin x - 5cos x = 7 را حل کنید

بیایید به x/2 برویم:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

انتقال همه چیز به چپ:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

تقسیم بر cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

5. معرفی یک زاویه کمکی

برای در نظر گرفتن، اجازه دهید معادله ای به شکل در نظر بگیریم: a sin x + b cos x \u003d c،

که در آن a، b، c برخی از ضرایب دلخواه و x یک مجهول است.

دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید:



حال ضرایب معادله با توجه به فرمول های مثلثاتیدر اختیار داشتن خواص گناهو cos، یعنی: مدول آنها بیش از 1 نیست و مجموع مربع ها = 1. آنها را به ترتیب به عنوان cos و sin نشان دهید، جایی که - این به اصطلاح است. زاویه کمکی. سپس معادله به شکل زیر در می آید:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

یا sin(x + ) = C

راه حل این معادله مثلثاتی ساده است

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k، که در آن



لازم به ذکر است که نام های cos و sin قابل تعویض هستند.

معادله sin 3x - cos 3x = 1 را حل کنید

در این معادله ضرایب عبارتند از:

a \u003d، b \u003d -1، بنابراین هر دو قسمت را بر \u003d 2 تقسیم می کنیم

معادلات مثلثاتی ساده ترین موضوع نیستند. به طور دردناکی آنها متنوع هستند.) به عنوان مثال، اینها:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و غیره...

اما این (و سایر هیولاهای مثلثاتی) دو و مشترک دارند ویژگی های اجباری. اول - باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: تمام عبارات با x هستند. در همین توابعو فقط آنجا! اگر x در جایی ظاهر شود خارج از،مثلا، sin2x + 3x = 3،این معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی مستلزم رویکرد فردی. در اینجا ما آنها را در نظر نخواهیم گرفت.

معادلات شیطانی را هم در این درس حل نمی کنیم.) در اینجا به آن می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله، به دلیل این تصمیم هرمعادلات مثلثاتی شامل دو مرحله است. در مرحله اول، معادله شیطانی بیشتر تحولات مختلفبه ساده می رسد. در مورد دوم - این ساده ترین معادله حل می شود. راه دیگری نیست.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکل دارید، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی ابتدایی چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا آ مخفف هر عددی است. هر

به هر حال، در داخل تابع ممکن است یک x خالص نباشد، بلکه نوعی عبارت وجود داشته باشد، مانند:

cos(3x+π /3) = 1/2

و غیره. این زندگی را پیچیده می کند، اما روش حل معادله مثلثاتی را تحت تأثیر قرار نمی دهد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. در اینجا این مسیر را بررسی خواهیم کرد. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمول - در درس بعدی بررسی خواهد شد.

راه اول واضح، قابل اعتماد و به سختی فراموش می شود.) برای حل معادلات مثلثاتی، نابرابری ها و انواع مثال های غیر استاندارد مشکل ساز خوب است. منطق ها قوی تر از حافظه!)

معادلات را با استفاده از دایره مثلثاتی حل می کنیم.

ما منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی را شامل می‌شویم. نمیتونی!؟ با این حال... در مثلثات برای شما سخت خواهد بود...) اما مهم نیست. نگاهی به دروس "دایره مثلثاتی ...... چیست؟" و «شمارش زوایا روی دایره مثلثاتی». آنجا همه چیز ساده است. برخلاف کتاب های درسی...)

آه، میدونی!؟ و حتی به "کار عملی با دایره مثلثاتی" مسلط شد!؟ تبریک بپذیرید این موضوع برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) چیزی که به خصوص خوشایند است این است که دایره مثلثاتی اهمیتی نمی دهد که کدام معادله را حل کنید. سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت - همه چیز برای او یکسان است. اصل راه حل یکسان است.

بنابراین هر معادله مثلثاتی ابتدایی را می گیریم. حداقل این:

cosx = 0.5

من باید X را پیدا کنم. اگر صحبت کنیم زبان انسان، نیاز داشتن زاویه (x) را پیدا کنید که کسینوس آن 0.5 است.

قبلاً چگونه از دایره استفاده می کردیم؟ گوشه ای روی آن کشیدیم. بر حسب درجه یا رادیان. و بلافاصله مشاهده گردید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. روی دایره و بلافاصله یک کسینوس مساوی 0.5 بکشید خواهیم دید گوشه. فقط نوشتن پاسخ باقی می ماند.) بله، بله!

دایره ای رسم می کنیم و کسینوس را برابر با 0.5 علامت گذاری می کنیم. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. ماوس خود را روی تصویر نگه دارید (یا تصویر را در رایانه لوحی لمس کنید)، و دیدنهمین گوشه ایکس.

کسینوس کدام زاویه 0.5 است؟

x \u003d π / 3

cos 60 درجه= cos( π /3) = 0,5

بعضی ها شکاکانه غرغر خواهند کرد، بله... می گویند آیا ارزش این را داشت که دایره را حصار بکشی، وقتی همه چیز روشن است... البته می توانی غرغر کنی...) اما واقعیت این است که این یک اشتباه است. پاسخ. یا بهتر است بگوییم ناکافی است. خبره های دایره می دانند که هنوز یک دسته کامل از زاویه ها وجود دارد که کسینوس برابر با 0.5 را نیز می دهد.

اگر سمت متحرک OA را بچرخانید برای یک چرخش کامل، نقطه A قرار خواهد گرفت نقطه ی شروع. با کسینوس یکسان برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان، و کسینوس نیست. زاویه جدید 60 درجه + 360 درجه = 420 درجه نیز راه حلی برای معادله ما خواهد بود، زیرا

تعداد بی نهایتی از این چرخش های کامل وجود دارد... و همه این زوایای جدید راه حل هایی برای معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نحوی یادداشت شوند. همه.در غیر این صورت، تصمیم در نظر گرفته نمی شود، بله ...)

ریاضیات می تواند این کار را به سادگی و زیبایی انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه، یادداشت کنید مجموعه بی نهایتراه حل ها در اینجا به نظر می رسد معادله ما:

x = π /3 + 2π n، n ∈ Z

رمزگشایی خواهم کرد. هنوز بنویس معنی دارزیباتر از کشیدن احمقانه چند حروف مرموز است، درست است؟)

π /3 همان زاویه ای است که ما ارهروی دایره و مشخصمطابق جدول کسینوس

2π یک دور کامل بر حسب رادیان است.

n - این تعداد کامل است، یعنی. کلانقلاب. واضح است که n می تواند 0، 1±، 2±، 3±... و غیره باشد. آنچه نشان داده شده است یادداشت کوتاه:

n ∈ Z

n متعلق ( ∈ ) به مجموعه اعداد صحیح ( ز ). اتفاقا به جای نامه n می توان از حروف استفاده کرد k، m، t و غیره.

این نماد به این معنی است که شما می توانید هر عدد صحیح را بگیرید n . حداقل -3، حداقل 0، حداقل +55. چه چیزی می خواهید. اگر آن عدد را به پاسخ خود متصل کنید، زاویه خاصی دریافت می کنید که مطمئنا راه حل معادله سخت ما خواهد بود.)

یا به عبارت دیگر x \u003d π / 3 تنها ریشه است یک عدد بی نهایت. برای به دست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی است هر تعداد دور کامل را به π / 3 اضافه کنید ( n ) به رادیان. آن ها 2πn رادیان

همه چيز؟ خیر من به طور خاص لذت را گسترش می دهم. برای اینکه بهتر به خاطر بسپاریم.) ما فقط بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. این قسمت اول راه حل را به صورت زیر می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه یک ریشه، یک سری ریشه کامل است که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایای دیگری نیز وجود دارند که کسینوس برابر با 0.5 می دهند!

برگردیم به تصویر خود که با توجه به آن پاسخ را یادداشت کردیم. او آنجاست:

موس را روی تصویر ببرید و دیدنگوشه ای دیگر که همچنین کسینوس 0.5 می دهد.به نظر شما برابر با چه چیزی است؟ مثلث ها هم همینطور... بله! او برابر با زاویه ایکس ، فقط در جهت منفی ترسیم شده است. این گوشه است -ایکس. اما ما قبلا x را محاسبه کرده ایم. π /3 یا 60 درجه بنابراین، می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 \u003d - π / 3

و البته تمام زوایایی که از طریق چرخش کامل به دست می آیند را اضافه می کنیم:

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

اکنون تمام است.) در یک دایره مثلثاتی، ما اره(البته کی میفهمه)) همهزوایایی که کسینوس برابر با 0.5 می دهند. و این زوایا را به اختصار یادداشت کرد فرم ریاضی. جواب دو سری بی نهایت ریشه است:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

این جواب درست است.

امید، اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتیبا کمک یک دایره قابل درک است. کسینوس (سینوس، مماس، کوتانژانت) را روی دایره علامت گذاری می کنیم معادله داده شدهگوشه های مربوط به آن را بکشید و پاسخ را یادداشت کنید.البته، شما باید بفهمید که ما چه نوع گوشه هایی هستیم ارهروی دایره گاهی اوقات آنقدر واضح نیست. خوب، همانطور که گفتم، منطق در اینجا لازم است.)

به عنوان مثال، بیایید یک معادله مثلثاتی دیگر را تحلیل کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن از ریشه و کسر برای من راحت تر است.

ما طبق اصل کلی کار می کنیم. یک دایره می کشیم، علامت گذاری می کنیم (البته روی محور سینوس!) 0.5. همه زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره رسم می کنیم. ما این تصویر را دریافت می کنیم:

بیایید ابتدا به زاویه بپردازیم. ایکس در سه ماهه اول جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. موضوع ساده است:

x \u003d π / 6

ما انقلاب های کامل را به یاد می آوریم و با وجدان پاک، سری اول پاسخ ها را می نویسیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمی از کار انجام شده است. حالا باید تعریف کنیم گوشه دوم...این مشکل تر از کسینوس است، بله... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x؟ بله آسان! مثلث های تصویر یکسان هستند و گوشه قرمز رنگ ایکس برابر با زاویه ایکس . فقط از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. به همین دلیل قرمز است.) و برای پاسخ، به زاویه ای نیاز داریم که به درستی از نیم محور مثبت OX اندازه گیری شود، یعنی. از زاویه 0 درجه

مکان نما را روی تصویر ببرید و همه چیز را ببینید. گوشه اول را برداشتم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد علاقه ما (به رنگ سبز کشیده شده) برابر خواهد بود با:

π - x

x ما آن را می دانیم π /6 . بنابراین زاویه دوم به صورت زیر خواهد بود:

π - π /6 = 5π /6

مجدداً اضافه شدن چرخش های کامل را به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ ها را می نویسیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

همین. یک پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات با مماس و کتانژانت را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. مگر اینکه بدانید چگونه مماس و کتانژانت را روی یک دایره مثلثاتی رسم کنید.

در مثال های بالا از مقدار جدولی سینوس و کسینوس استفاده کردم: 0.5. آن ها یکی از آن معانی که دانش آموز می داند باید.حالا بیایید توانایی های خود را گسترش دهیم تمام ارزش های دیگرتصمیم بگیر پس تصمیم بگیر!)

بنابراین، فرض کنید باید معادله مثلثاتی زیر را حل کنیم:

این مقدار کسینوس در جداول خلاصهنه ما با خونسردی این واقعیت وحشتناک را نادیده می گیریم. دایره ای رسم می کنیم و روی محور کسینوس 2/3 علامت می زنیم و زوایای مربوطه را می کشیم. ما این عکس را دریافت می کنیم.

ما برای شروع، با زاویه در کوارتر اول درک می کنیم. برای اینکه بدانند x برابر است بلافاصله جواب را یادداشت می کردند! نمی دانیم... شکست!؟ آرام! ریاضیات خودش را در دردسر نمی گذارد! او کسینوس های قوسی را برای این مورد اختراع کرد. نمیدانم؟ بیهوده. پیدا کنید. خیلی ساده تر از آن چیزی است که فکر می کنید. با توجه به این لینک، یک طلسم حیله گر در مورد "توابع مثلثاتی معکوس" وجود ندارد ... در این تاپیک اضافی است.

اگر می دانید، فقط به خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن 2/3 است." و بلافاصله، صرفاً با تعریف آرکوزین، می توانیم بنویسیم:

ما در مورد چرخش های اضافی به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری از ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

سری دوم ریشه ها نیز تقریبا به صورت خودکار، برای زاویه دوم نوشته می شود. همه چیز یکسان است، فقط x (arccos 2/3) با منهای خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و همه چیز! این جواب درست است. حتی ساده تر از مقادیر جدولی. لازم نیست چیزی را به خاطر بسپارید.) به هر حال، بیشترین توجه متوجه خواهد شد که این تصویر با راه حل از طریق کسینوس قوس اساساً با تصویر معادله cosx = 0.5 تفاوتی ندارد.

دقیقا! اصل کلیبه همین دلیل رایج است! من به طور خاص دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد ایکس توسط کسینوس آن این یک کسینوس جدولی است یا نه - دایره نمی داند. این چه نوع زاویه است، π / 3، یا اینکه چه نوع کسینوس قوس به ما بستگی دارد که تصمیم بگیریم.

با یک سینوس همان آهنگ. مثلا:

دوباره یک دایره می کشیم، سینوس را برابر با 1/3 علامت گذاری می کنیم، گوشه ها را می کشیم. این عکس معلوم می شود:

و دوباره تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم در کوارتر اول از کرنر شروع می کنیم. اگر سینوس آن 1/3 باشد x برابر با چه مقدار است؟ مشکلی نیست!

بنابراین اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

بیایید نگاهی به زاویه دوم بیندازیم. در مثال با مقدار جدول 0.5 برابر بود با:

π - x

بنابراین اینجا دقیقاً همینطور خواهد بود! فقط x متفاوت است، arcsin 1/3. پس چی!؟ می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را بنویسید:

x 2 = π - آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملا صحیح است. اگرچه چندان آشنا به نظر نمی رسد. اما قابل درک است، امیدوارم.)

به این ترتیب معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شوند. این مسیر روشن و قابل درک است. این اوست که با انتخاب ریشه ها در معادلات مثلثاتی صرفه جویی می کند فاصله داده شده، که در نابرابری های مثلثاتی- آنها به طور کلی تقریبا همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر کاری که کمی پیچیده تر از کارهای استاندارد است.

عملی کردن دانش؟

حل معادلات مثلثاتی:

در ابتدا ساده تر است، مستقیماً در این درس.

الان سخت تره

نکته: در اینجا باید به دایره فکر کنید. شخصا.)

و اکنون ظاهراً بی تکلف ... آنها نیز موارد خاص نامیده می شوند.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا باید در یک دایره بفهمید که کجا دو سری پاسخ وجود دارد، و کجا یک ... و چگونه به جای دو سری پاسخ، یکی را یادداشت کنید. بله، به طوری که حتی یک ریشه از تعداد نامتناهی گم نمی شود!)

خوب، کاملا ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید که آرکسین، آرکوزین چیست؟ مماس قوس، مماس قوس چیست؟ اکثر تعاریف ساده. اما به یاد داشته باشید که نه مقادیر جدولنیازی نیست!)

پاسخ ها البته به هم ریخته است:

x 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. دوباره درس را بخوانید. فقط متفکرانه(همچین چیزی وجود دارد کلمه منسوخ...) و لینک ها را دنبال کنید. لینک های اصلی در مورد دایره هستند. بدون آن در مثلثات - چگونه از جاده با چشم بسته عبور کنیم. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.