معادلات عقلی موردکوویچ. حل معادلات گویا اعداد صحیح و کسری. ارائه و درس با موضوع: "معادلات گویا. الگوریتم و مثال هایی از حل معادلات گویا"

درس جبر پایه هشتم با موضوع"حل معادلات گویا."

پیسکون النا میخایلوونا

معلم ریاضی

مدرسه متوسطه MKOU شماره 2، نفتکومسک

درس - تعمیم دانش و روش های حل معادلات عقلی.

اهداف درس:

1 بهبود مهارت ها و توانایی های عملی دانش آموزان.

2 . توانایی مشاهده، مقایسه، تعمیم، تجزیه و تحلیل را توسعه دهید

مدل های ریاضی

3. بالا بیاورید فعالیت شناختیفرهنگ ارتباطات، استقلال; خودکنترلی، کنترل متقابل و خود تحلیلی فعالیت ها را آموزش دهید.

تجهیزات برای درس:کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش، برگه های چاپ شدهبرای دانش آموزان به کار در کلاس، ورق با وظیفه اضافیدر خانه

تکنولوژی های مورد استفاده:فناوری های شخص محور، ICT.

در طول کلاس ها:

نکته سازمانی:

با درود. آلبرت انیشتین، خالق نظریه نسبیت، زمانی اظهار داشت: «من باید زمانم را بین سیاست و معادلات تقسیم کنم. با این حال، معادلات، به نظر من، بسیار مهمتر هستند، زیرا سیاست فقط برای وجود دارد در این لحظهو این معادله برای همیشه وجود خواهد داشت."

II تعیین اهداف و ایجاد انگیزه در فعالیت های آموزشی:

هدف از درس ما توسعه مهارت حل معادلات منطقی است.

تاریخ و موضوع درس را در دفترچه یادداشت کنید.

ΙΙΙ. به روز رسانی دانش:

1- معادله چیست؟

2. حل معادله به چه معناست؟

3. به چه معادلاتی گویا می گویند؟

4- راه حل چنین معادله ای چیست؟

من به شما "بسته ای از کلیدها" را برای حل معادلات منطقی پیشنهاد می کنم.

آماده سازی روی برد قابل حمل:

کلید 1. شرط مساوی بودن کسری با صفر: y²-5y+4 =0

U-2

کلید 2. شرط تساوی دو کسر با مخرج یکسان:

5x²-3 = x

X-1 x-1

کلید 3. شرط تساوی دو کسر یا خاصیت اصلی کسری:

x² = 2x

X-2 3

کلید 4. ویژگی تساوی کسری با مخرج های مختلف:

x²+4 = 5x

X+2 x-1

کلید 5. حل معادلات با استفاده از جایگزینی:

X – 9X + 20=0

بسته به موقعیت، از کلیدهای مختلف استفاده کنید.

چرا باید معادلات منطقی را با دقت حل کرد؟

شفاهی: 1) برای چه مقادیری از x عبارت معنا دارد؟

1 1 5 4 5

ایکس؛ X+5 ; X (X - 2)؛ (X – 3)(X+4) ;

2) مخرج مشترک کسرهای هر معادله را پیدا کنید:

الف) x 5 _ 3x 6 = = 0;

2 - 5x 5x - 2

ب) 3у 5 _ у² 6 = = 1 ;

U - 2 u² - 4

ب) 2x 5 + 3 6 = = 0.

X + 2 x

پاسخ ها: الف) 5x – 2 یا 2 – 5x؛ ب) y² - 4; ج) x(x+2).

IV. شکل گیری مهارت ها و توانایی ها:روی تابلو با تفسیر کار کنید (هر مرحله از الگوریتم توسط یک نفر انجام می شود).

حل معادلات:از چه کلیدی استفاده کنم؟

الف) 2x² - 5x + 3 = 0; ب) 8y - 5 = 9y.

X – 1 y y+2

پاسخ ها: الف) x=1.5، ب) y1=10; y2=1.

این معادله از مواد GIA پایه نهم گرفته شده است.

مطرح کردن مشکل:

مقدار را نام ببریدراه حل های معادله

X(x + 3) (x² - 3x + 2) = 0

X – 1

سعی کنید این معادله را حل کنید. پیشنهادات شما.

سوالات پیشنهادی:

از چه کلیدی استفاده خواهید کرد؟

چه زمانی یک کسری برابر با 0 است؟

چه زمانی یک محصول برابر با 0 است؟

چند ریشه خواهید داشت؟

راه حل: کسری برابر 0 است اگر صورت این کسری 0 و مخرج آن باشد.

X– 1 ≠ 0

X(x +3) (x² - 3x + 2) = 0

X1=0 یا X+3=0 یا X² - ​​3X + 2 = 0

X2= -3 X3=2، X4=1

معاینه: ریشه ها را در مخرج قرار دهید x– 1 ≠ 0

X4=1 یک ریشه خارجی است.

حالا می توانید تعداد ریشه های این معادله را نام ببرید؟

پاسخ: معادله داده شدهدارای 3 راه حل

V. کار مستقل:ورق با شرایط توزیع می شود.

گزینه 1 گزینه 2

الف) x²-x-6 = 0 الف) x²-5x-6 = 0

X-3 x +1

پاسخ: x = -2 پاسخ: x = 6

4 2 4 2

ب) X – 5X - 36 = 0 ب) X – 8X + 16 = 0

پاسخ: x1 = 2. x2 = -2. پاسخ: x1 = 2; x=-2.

ج) x²-6x = 3x-4 ج) x²-2x = 4x-3

3x-1 1-3x 2x-1 1-2x

پاسخ: x1 = 4. x2 = -1. پاسخ: x1 = 1; x2=-3.

تست همتا (کار دو نفره).

بچه ها نوت بوک ها را عوض می کنند و راه حل را بررسی می کنند.

پاسخ ها روی تابلو درج می شود. سیستم درجه بندی روی برد قابل حمل.

درجه بندی.

VΙ. خلاصه کردن.

کدام یک از "کلیدهای" پیشنهادی برای شما در درس مفید بود؟

از کدام "کلید" بیشتر استفاده می کنید؟

ای کاش در حین مطالعه، "جاکلیدی" دوباره پر شود

ریاضیدانان و در طول امتحان می توانید "کلیدها" را برای حل هر معادله ای انتخاب کنید!

VΙΙ. مشق شب. این کار در ابتدای درس توزیع می شود (در "3" a, b.

به "4" a, b, c; به "5" a, b, c, d).

گزینه 1 گزینه 2

الف) x² = 2x. الف) 3x-9 = 3x;

3 x 3 x-1 2 x

ب) x-7 _ x+4 = 1; ب) x²-2x + x+6 =3;

X-2 x+2 2x-1 x+1

4 2 4 2

ج) 9 X – 40 X + 16 = 0; ج) 16 X – 25 X + 9 = 0;

د) 3 x²+11x-4 = 3. د) 2 x²+2x-1 = 2.

3x-1 2x-1

کار اضافی:

3 + 2 = 1

X²-2x +1 1-x² x+1

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. کتاب درسی و کتاب مسئله "جبر" - کلاس هشتم، ویرایش توسط A.G. موردکوویچ.

2. ریاضی پایه نهم. تهیه آرشیو دولتی به سردبیری F.F.

3. خواننده در تاریخ ریاضیات. ویرایش شده توسط A.P. Yushkevich.

ارائه و درس با موضوع: "معادلات گویا. الگوریتم و مثال هایی از حل معادلات گویا"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس هشتم
راهنمای کتاب درسی توسط Makarychev Yu.N. کتابچه راهنمای کتاب درسی توسط موردکوویچ A.G.

مقدمه ای بر معادلات غیر منطقی

بچه ها ما یاد گرفتیم که چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. اما ریاضیات فقط به آنها محدود نمی شود. امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه معادلات منطقی را حل کنیم. مفهوم معادلات عقلی از بسیاری جهات شبیه مفهوم است اعداد گویا. فقط علاوه بر اعداد، اکنون مقداری متغیر $x$ را معرفی کرده ایم. و بدین ترتیب عبارتی بدست می آوریم که در آن عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به یک توان صحیح وجود دارد.

اجازه دهید $r(x)$ باشد بیان منطقی. چنین عبارتی می تواند یک چند جمله ای ساده در متغیر $x$ یا نسبتی از چندجمله ای ها باشد (عملیات تقسیم، مانند اعداد گویا، معرفی شده است).
معادله $r(x)=0$ فراخوانی می شود معادله منطقی.
هر معادله ای به شکل $p(x)=q(x)$، که در آن $p(x)$ و $q(x)$ هستند عبارات منطقی، نیز خواهد بود معادله منطقی.

بیایید نمونه هایی از حل معادلات گویا را بررسی کنیم.

مثال 1.
معادله را حل کنید: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

راه حل.
بیایید تمام عبارات را به سمت چپ منتقل کنیم: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
اگر سمت چپ معادله نشان داده شود اعداد معمولی، سپس دو کسر را به کاهش می دهیم مخرج مشترک.
بیایید این کار را انجام دهیم: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
معادله را بدست آوردیم: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

کسری برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که شمارنده کسری باشد برابر با صفر، و مخرج با صفر متفاوت است. سپس به طور جداگانه عدد را با صفر برابر می کنیم و ریشه های صورت را پیدا می کنیم.
$3(x^2+2x-3)=0$ یا $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
حال بیایید مخرج کسر را بررسی کنیم: $(x-3)*x≠0$.
حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است که حداقل یکی از این اعداد برابر با صفر باشد. سپس: $x≠0$ یا $x-3≠0$.
$x≠0$ یا $x≠3$.
ریشه های بدست آمده در صورت و مخرج بر هم منطبق نیستند. بنابراین هر دو ریشه صورت را در پاسخ می نویسیم.
پاسخ: $x=1$ یا $x=-3$.

اگر ناگهان یکی از ریشه های صورت با ریشه مخرج منطبق شود، باید حذف شود. به چنین ریشه هایی می گویند بیگانه!

الگوریتم حل معادلات منطقی:

1. تمام عبارات موجود در معادله را به سمت چپاز علامت مساوی
2. این قسمت از معادله را به کسر جبری: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. عدد حاصل را با صفر برابر کنید، یعنی معادله $p(x)=0$ را حل کنید.
4. مخرج را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. اگر ریشه های مخرج با ریشه های صورت منطبق باشد، باید آنها را از پاسخ حذف کرد.

مثال 2.
معادله را حل کنید: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

راه حل.
بیایید با توجه به نقاط الگوریتم حل کنیم.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$$=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. عدد را با صفر برابر کنید: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3)؛ 1 دلار.
4. مخرج را برابر با صفر کنید:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ و $x=-1$.
یکی از ریشه های $x=1$ منطبق بر ریشه صورتگر است، سپس آن را در پاسخ نمی نویسیم.
پاسخ: $x=-1$.

حل معادلات منطقی با استفاده از روش تغییر متغیرها راحت است. بیایید این را نشان دهیم.

مثال 3.
معادله را حل کنید: $x^4+12x^2-64=0$.

راه حل.
بیایید جایگزین را معرفی کنیم: $t=x^2$.
سپس معادله ما به شکل زیر در می آید:
$t^2+12t-64=0$ - عادی معادله درجه دوم.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 دلار
بیایید جایگزینی معکوس را معرفی کنیم: $x^2=4$ یا $x^2=-16$.
ریشه های معادله اول یک جفت اعداد $x=±2$ هستند. مورد دوم این است که ریشه ندارد.
پاسخ: $x=±2$.

مثال 4.
معادله را حل کنید: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
راه حل.
بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم: $t=x^2+x+1$.
سپس معادله به شکل $t=\frac(15)(t+2)$ خواهد بود.
در ادامه طبق الگوریتم پیش می رویم.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 دلار
4. $t≠-2$ - ریشه ها منطبق نیستند.
بیایید یک جایگزین معکوس را معرفی کنیم.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
بیایید هر معادله را جداگانه حل کنیم:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - خیر ریشه ها
و معادله دوم: $x^2+x-2=0$.
ریشه های این معادله اعداد $x=-2$ و $x=1$ خواهند بود.
پاسخ: $x=-2$ و $x=1$.

مثال 5.
معادله را حل کنید: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

راه حل.
بیایید جایگزین را معرفی کنیم: $t=x+\frac(1)(x)$.
سپس:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ یا $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
معادله را بدست آوردیم: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ریشه های این معادله جفت هستند:
$t=-3$ و $t=2$.
بیایید جایگزینی معکوس را معرفی کنیم:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
ما جداگانه تصمیم می گیریم
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
بیایید معادله دوم را حل کنیم:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ریشه این معادله عدد $x=1$ است.
پاسخ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$، $x=1$.

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

حل معادلات:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

بیایید به صحبت کردن ادامه دهیم حل معادلات. در این مقاله به جزئیات در مورد آن خواهیم پرداخت معادلات منطقیو اصول حل معادلات گویا با یک متغیر. ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع معادلاتی را گویا می نامند، از کل معادلات گویا و کسری تعریف کنیم و مثال هایی بزنیم. در ادامه الگوریتم هایی برای حل معادلات منطقی به دست می آوریم و البته راه حل ها را در نظر می گیریم. نمونه های معمولیبا تمام توضیحات لازم

پیمایش صفحه.

بر اساس تعاریف بیان شده، چندین مثال از معادلات گویا را بیان می کنیم. برای مثال، x=1، 2·x−12·x 2·y·z 3 =0، همه معادلات گویا هستند.

از مثال های نشان داده شده مشخص می شود که معادلات گویا و همچنین معادلات انواع دیگر می توانند با یک متغیر یا با دو، سه و غیره باشند. متغیرها در پاراگراف های بعدی در مورد حل معادلات گویا با یک متغیر صحبت خواهیم کرد. حل معادلات در دو متغیرو آنها تعداد زیادیسزاوار توجه ویژه هستند

معادلات گویا علاوه بر تقسیم بر تعداد متغیرهای مجهول، به عدد صحیح و کسری نیز تقسیم می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله منطقی نامیده می شود کل، اگر هر دو سمت چپ و راست آن عبارت های منطقی اعداد صحیح باشند.

تعریف.

اگر حداقل یکی از اجزای یک معادله گویا باشد بیان کسری، سپس این معادله نامیده می شود کسری منطقی(یا عقلی کسری).

واضح است که معادلات کل شامل تقسیم بر یک متغیر نیستند، برعکس، معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر یک متغیر (یا یک متغیر در مخرج) هستند. پس 3 x+2=0 و (x+y)·(3·x 2-1)+x=-y+0.5- اینها معادلات کل عقلی هستند، هر دو قسمت آنها عبارت های کل هستند. A و x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 نمونه هایی از معادلات گویا کسری هستند.

در پایان به این نکته توجه کنیم که معادلات خطی و معادلات درجه دوم شناخته شده در این نقطه، معادلات کامل عقلی هستند.

حل معادلات کل

یکی از رویکردهای اصلی برای حل کل معادلات، کاهش آنها به معادلات است معادلات جبری. همیشه می توان این کار را با انجام تبدیل های معادل زیر در معادله انجام داد:

• ابتدا عبارت از سمت راست معادله عدد صحیح اصلی به سمت چپ منتقل می شود علامت مخالفبرای گرفتن صفر در سمت راست؛
• پس از این، در سمت چپ معادله به دست آمده است نمای استاندارد.

نتیجه این است معادله جبری، که معادل معادله عدد صحیح اصلی است. بنابراین در بیشتر موارد سادهحل کل معادلات به حل معادلات خطی یا درجه دوم خلاصه می شود و در مورد کلی- حل معادله جبری درجه n. برای وضوح، بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های کل معادله را پیدا کنید 3·(x+1)·(x-3)=x·(2·x-1)-3.

راه حل.

اجازه دهید حل کل این معادله را به حل یک معادله جبری معادل تقلیل دهیم. برای این کار ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و در نتیجه به معادله می رسیم. 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. و ثانیاً عبارت تشکیل شده در سمت چپ را با انجام موارد لازم به چند جمله ای از فرم استاندارد تبدیل می کنیم: 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. بنابراین، حل معادله عدد صحیح اصلی به حل معادله درجه دوم x 2-5·x-6=0 کاهش می یابد.

تفکیک آن را محاسبه می کنیم D=(-5) 2-4·1·(-6)=25+24=49، مثبت است، به این معنی که معادله دارای دو ریشه واقعی است که با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم آن را پیدا می کنیم:

برای اطمینان کامل، بیایید این کار را انجام دهیم بررسی ریشه های یافت شده معادله. ابتدا ریشه 6 را بررسی می کنیم، آن را به جای متغیر x در معادله عدد صحیح اصلی جایگزین می کنیم: 3·(6+1)·(6-3)=6·(2·6-1)-3که همان 63=63 است. درست است برابری عددیبنابراین x=6 در واقع ریشه معادله است. اکنون ریشه −1 را بررسی می کنیم 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3، از کجا، 0=0 . وقتی x=−1، معادله اصلی نیز به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، بنابراین، x=−1 نیز ریشه معادله است.

پاسخ:

6 , −1 .

در اینجا همچنین باید توجه داشت که اصطلاح "درجه کل معادله" با نمایش کل معادله در قالب یک معادله جبری همراه است. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم:

تعریف.

قدرت کل معادلهدرجه یک معادله جبری معادل نامیده می شود.

طبق این تعریف، کل معادله مثال قبلی دارای درجه دوم است.

این می‌توانست پایان حل معادلات منطقی باشد، اگر نه برای یک چیز…. همانطور که مشخص است حل معادلات جبری درجه بالاتر از دوم با مشکلات قابل توجهی همراه است و برای معادلات درجه بالاتر از چهارم هیچ مشکلی وجود ندارد. فرمول های کلیریشه ها بنابراین، برای حل کامل معادلات سوم، چهارم و بیشتر درجات بالااغلب شما باید به روش های دیگر راه حل متوسل شوید.

در چنین مواردی، رویکردی برای حل کل معادلات عقلی بر اساس روش فاکتورسازی. در این مورد، الگوریتم زیر رعایت می شود:

• اول، آنها اطمینان حاصل می کنند که یک صفر در سمت راست معادله برای انجام این کار وجود دارد، آنها عبارت را از سمت راست کل معادله به سمت چپ منتقل می کنند.
• سپس، عبارت حاصل در سمت چپ به‌عنوان محصولی از چندین عامل ارائه می‌شود که به ما امکان می‌دهد به مجموعه‌ای از چندین معادله ساده‌تر برویم.

الگوریتم ارائه شده برای حل یک معادله کامل از طریق فاکتورسازی نیاز به توضیح دقیق با استفاده از یک مثال دارد.

مثال.

کل معادله را حل کنید (x2-1)·(x2-10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

راه حل.

ابتدا طبق معمول عبارت را از سمت راست به سمت چپ معادله منتقل می کنیم و فراموش نکنیم که علامت را تغییر دهیم، دریافت می کنیم (x2-1)·(x2-10·x+13)- 2 x (x2 −10 x+13)=0. در اینجا کاملاً واضح است که تبدیل سمت چپ معادله به دست آمده به یک چند جمله ای از فرم استاندارد توصیه نمی شود ، زیرا این یک معادله جبری درجه چهارم شکل را به دست می دهد. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x-13=0، که حل آن دشوار است.

از سوی دیگر، بدیهی است که در سمت چپ معادله حاصل می توانیم x 2 −10 x+13 را داشته باشیم و در نتیجه آن را به عنوان یک محصول ارائه کنیم. ما داریم (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. معادله حاصل معادل معادله کل اصلی است و به نوبه خود می توان آن را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم x 2 −10·x+13=0 و x 2 −2·x−1=0 جایگزین کرد. یافتن ریشه های آنها با استفاده از فرمول های ریشه شناخته شده از طریق تفکیک کار دشواری نیست، ریشه ها برابر هستند. آنها ریشه های مورد نظر معادله اصلی هستند.

پاسخ:

همچنین برای حل کل معادلات منطقی مفید است روشی برای معرفی یک متغیر جدید. در برخی موارد، به شما امکان می دهد به معادلاتی بروید که درجه آنها کمتر از درجه معادله کل اصلی است.

مثال.

پیدا کردن ریشه های واقعیمعادله منطقی (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

راه حل.

تقلیل کل این معادله منطقی به یک معادله جبری، به بیان خفیف، ایده خوبی نیست، زیرا در این صورت نیاز به حل یک معادله درجه چهارم خواهیم بود که فاقد آن است. ریشه های عقلانی. بنابراین، شما باید به دنبال راه حل دیگری باشید.

در اینجا به راحتی می توان فهمید که می توانید یک متغیر جدید y را معرفی کنید و عبارت x 2 +3·x را با آن جایگزین کنید. این جایگزینی ما را به کل معادله (y+1) 2 +10=−2·(y−4) می رساند که پس از انتقال عبارت −2·(y−4) به سمت چپ و تبدیل بعدی عبارت در آنجا تشکیل می شود، به یک معادله درجه دوم y 2 +4·y+3=0 کاهش می یابد. ریشه های این معادله y=−1 و y=−3 به راحتی یافت می شوند، برای مثال، می توان آنها را بر اساس قضیه معکوس قضیه ویتا انتخاب کرد.

حال به سراغ قسمت دوم روش معرفی متغیر جدید یعنی انجام جایگزینی معکوس می رویم. پس از انجام تعویض معکوس، دو معادله x 2 +3 x=−1 و x 2 +3 x=−3 به دست می‌آوریم که می‌توان آن‌ها را به صورت x 2 +3 x+1=0 و x 2 +3 x+3 بازنویسی کرد. =0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله اول را پیدا می کنیم. و معادله درجه دوم ندارد ریشه های واقعیاز آنجایی که متمایز کننده آن منفی است (D=3 2 −4·3=9−12=−3).

پاسخ:

به طور کلی، زمانی که با کل معادلات درجات بالا سروکار داریم، همیشه باید برای جستجو آماده باشیم روش غیر استانداردیا پذیرش مصنوعیبرای حل آنها

حل معادلات گویا کسری

ابتدا، درک چگونگی حل معادلات گویا کسری به شکل مفید خواهد بود، جایی که p(x) و q(x) عبارات منطقی اعداد صحیح هستند. و سپس نشان خواهیم داد که چگونه حل معادلات دیگر کسری گویا را به حل معادلات از نوع مشخص شده کاهش دهیم.

یکی از رویکردهای حل معادله مبتنی بر بیانیه زیر: کسر عددی u/v، که در آن v عددی غیر صفر است (در غیر این صورت با آن مواجه خواهیم شد که تعریف نشده است)، اگر و فقط اگر عدد آن صفر باشد، برابر با صفر است، یعنی اگر و فقط اگر u=0 باشد. به موجب این عبارت، حل معادله به تحقق دو شرط p(x)=0 و q(x)≠0 کاهش می یابد.

این نتیجه گیری با موارد زیر مطابقت دارد الگوریتم حل یک معادله گویا کسری. برای حل یک معادله گویا کسری از شکل، شما نیاز دارید

• حل کل معادله گویا p(x)=0 ;
• و بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای هر ریشه یافت شده برآورده می شود، while
• اگر درست باشد، این ریشه ریشه معادله اصلی است.
• اگر ارضا نشد، این ریشه خارجی است، یعنی ریشه معادله اصلی نیست.

بیایید به مثالی از استفاده از الگوریتم اعلام شده در حل یک معادله گویا کسری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

این یک معادله گویا کسری است، و به شکل p(x)=3·x-2، q(x)=5·x 2-2=0 است.

با توجه به الگوریتم حل معادلات گویا کسری از این نوع، ابتدا باید معادله 3 x−2=0 را حل کنیم. این یک معادله خطی است که ریشه آن x=2/3 است.

باقی مانده است که این ریشه را بررسی کنید، یعنی بررسی کنید که آیا شرط 5 x 2 −2≠0 را برآورده می کند یا خیر. عدد 2/3 را به جای x در عبارت 5 x 2-2 قرار می دهیم و می گیریم. شرط برقرار است، بنابراین x=2/3 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

2/3 .

شما می توانید به حل یک معادله منطقی کسری از موقعیت کمی متفاوت نزدیک شوید. این معادله معادل معادله عدد صحیح p(x)=0 در متغیر x معادله اصلی است. یعنی می توانید به این موضوع پایبند باشید الگوریتم حل یک معادله گویا کسری :

• حل معادله p(x)=0 ;
• ODZ متغیر x را پیدا کنید.
• ریشه های متعلق به منطقه می گیرند ارزش های قابل قبول، - آنها ریشه های مورد نظر معادله اصلی کسری هستند.

به عنوان مثال، بیایید با استفاده از این الگوریتم یک معادله گویا کسری را حل کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

ابتدا معادله درجه دوم x 2 −2·x−11=0 را حل می کنیم. ریشه های آن را می توان با استفاده از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم محاسبه کرد D 1 =(-1) 2-1·(-11)=12، و .

در مرحله دوم، ما ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا می کنیم. این شامل تمام اعدادی است که برای آنها x 2 +3·x≠0، که همان x·(x+3)≠0 است، از آنجا x≠0، x≠−3 است.

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده در مرحله اول در ODZ گنجانده شده اند یا خیر. بدیهی است که بله. بنابراین، معادله گویا کسری اصلی دو ریشه دارد.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر ODZ به راحتی پیدا شود، این رویکرد سودآورتر از روش اول است، و به ویژه اگر ریشه های معادله p(x) = 0 غیرمنطقی یا منطقی باشند، به عنوان مثال، یا منطقی باشند، اما با یک عدد و عدد نسبتا بزرگ و / یا مخرج، به عنوان مثال، 127/1101 و −31/59. این به دلیل این واقعیت است که در چنین مواردی، بررسی شرط q(x)≠0 به تلاش محاسباتی قابل توجهی نیاز دارد و حذف ریشه های خارجی با استفاده از ODZ آسان تر است.

در موارد دیگر، هنگام حل معادله، به ویژه زمانی که ریشه های معادله p(x) = 0 اعداد صحیح هستند، استفاده از الگوریتم اول از الگوریتم های داده شده سود بیشتری دارد. به این معنی که توصیه می شود به جای یافتن ODZ، بلافاصله ریشه های کل معادله p(x)=0 را پیدا کنید و سپس بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای آنها برآورده می شود یا خیر، و سپس معادله را حل کنید. p(x)=0 در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

اجازه دهید راه حل دو مثال را برای نشان دادن تفاوت های ظریف مشخص شده در نظر بگیریم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های کل معادله را پیدا کنیم (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0، با استفاده از عدد کسر ساخته شده است. سمت چپ این معادله حاصلضرب و سمت راست آن صفر است، بنابراین با توجه به روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری، این معادله معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x−1=0 , x−6= است. 0، x 2 −5 x+ 14=0، x+1=0. سه تا از این معادلات خطی و یکی درجه دوم است. از معادله اول x=1/2، از دومی - x=6، از سومی - x=7، x=−2، از چهارمی - x=−1 را پیدا می کنیم.

با یافتن ریشه ها، بررسی اینکه آیا مخرج کسری در سمت چپ معادله اصلی ناپدید می شود، بسیار آسان است، اما برعکس، تعیین ODZ چندان ساده نیست، زیرا برای این کار باید یک مشکل را حل کنید. معادله جبری درجه پنجم. بنابراین، ما از یافتن ODZ به نفع بررسی ریشه ها صرف نظر می کنیم. برای این کار به جای متغیر x در عبارت، آنها را یکی یکی جایگزین می کنیم x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112، پس از تعویض به دست آمده و آنها را با صفر مقایسه کنید: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3-13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(-2) 5-15·(-2) 4 +57·(-2) 3-13·(-2) 2 + 26·(-2)+112=-720≠0 ;
(-1) 5-15·(-1) 4 +57·(-1) 3-13·(-1) 2 + 26·(-1)+112=0.

بنابراین، 1/2، 6 و -2 ریشه های مورد نظر معادله گویا کسری اصلی هستند و 7 و -1 ریشه های خارجی هستند.

پاسخ:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

ریشه های یک معادله گویا کسری را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله است: مربع 5 x 2 −7 x−1=0 و خطی x−2=0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم دو ریشه پیدا می کنیم و از معادله دوم x=2 داریم.

بررسی اینکه آیا مخرج در مقادیر یافت شده x به صفر می رسد بسیار ناخوشایند است. و تعیین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در معادله اصلی بسیار ساده است. بنابراین، ما از طریق ODZ اقدام خواهیم کرد.

در ما مورد DDمتغیر x معادله گویا کسری اصلی شامل همه اعدادی است به جز اعدادی که شرط x 2 +5·x-14=0 برای آنها برقرار است. ریشه‌های این معادله درجه دوم x=−7 و x=2 هستند که از آن‌ها در مورد ODZ نتیجه‌گیری می‌کنیم: این معادله از همه x تشکیل شده است به طوری که .

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده و x=2 به محدوده مقادیر قابل قبول تعلق دارند یا خیر. ریشه ها تعلق دارند، بنابراین ریشه های معادله اصلی هستند و x=2 تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ:

همچنین مفید خواهد بود که به طور جداگانه در مواردی صحبت کنیم که در یک معادله گویا کسری شکل یک عدد در صورت وجود دارد، یعنی زمانی که p(x) با مقداری نشان داده می شود. که در آن

• اگر این عدد غیر صفر باشد، معادله هیچ ریشه ای ندارد، زیرا یک کسری برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن برابر با صفر باشد.
• اگر این عدد صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ است.

مثال.

راه حل.

از آنجایی که شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است، بنابراین برای هر x مقدار این کسر نمی تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، این معادله ریشه ندارد.

پاسخ:

بدون ریشه

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

عدد کسری در سمت چپ این معادله گویا کسری حاوی صفر است، بنابراین مقدار این کسری برای هر x که منطقی است، صفر است. به عبارت دیگر راه حل این معادله هر مقدار x از ODZ این متغیر است.

تعیین این محدوده از مقادیر قابل قبول باقی مانده است. این شامل تمام مقادیر x است که برای آنها x 4 + 5 x 3 ≠0 است. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0 0 و −5 هستند، زیرا این معادله معادل معادله x 3 (x+5)=0 است و به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x است. 3 = 0 و x +5 = 0، از جایی که این ریشه ها قابل مشاهده هستند. بنابراین، محدوده مورد نظر مقادیر قابل قبول هر x به جز x=0 و x=−5 است.

بنابراین، یک معادله گویا کسری راه حل های بی نهایت زیادی دارد که هر عددی به جز صفر و منهای پنج هستند.

پاسخ:

در نهایت، وقت آن است که در مورد حل معادلات گویا کسری به شکل دلخواه صحبت کنیم. آنها را می توان به صورت r(x)=s(x) نوشت که r(x) و s(x) عبارات گویا هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که راه حل آنها به حل معادلاتی از شکلی که قبلاً برای ما آشنا است، می رسد.

مشخص است که انتقال یک عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منجر به معادله معادلبنابراین، معادله r(x)=s(x) معادل معادله r(x)−s(x)=0 است.

ما همچنین می دانیم که هر یک، به طور یکسان با این عبارت، ممکن است. بنابراین، ما همیشه می‌توانیم عبارت منطقی سمت چپ معادله r(x)−s(x)=0 را به یک کسر منطقی یکسان از شکل تبدیل کنیم.

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی r(x)=s(x) به معادله حرکت می کنیم و حل آن همانطور که در بالا متوجه شدیم به حل معادله p(x)=0 کاهش می یابد.

اما در اینجا لازم است این واقعیت را در نظر بگیریم که هنگام جایگزینی r(x)−s(x)=0 با و سپس با p(x)=0، دامنه مقادیر مجاز متغیر x ممکن است گسترش یابد. .

در نتیجه معادله اصلی r(x)=s(x) و معادله p(x)=0 که به آن رسیدیم ممکن است نابرابر باشند و با حل معادله p(x)=0 می‌توانیم ریشه بدست آوریم. که ریشه های خارجی معادله اصلی r(x)=s(x) خواهد بود. شما می توانید ریشه های اضافی را با انجام بررسی و یا با بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی شناسایی کنید و در پاسخ وارد نکنید.

بیایید این اطلاعات را خلاصه کنیم الگوریتم حل معادله منطقی کسری r(x)=s(x). برای حل معادله گویا کسری r(x)=s(x) نیاز دارید

• با حرکت دادن عبارت از سمت راست با علامت مخالف، صفر را در سمت راست بگیرید.
• عملیات را با کسرها و چند جمله ای ها در سمت چپ معادله انجام دهید و در نتیجه آن را به کسری گویا از فرم تبدیل کنید.
• معادله p(x)=0 را حل کنید.
• ریشه های خارجی را شناسایی و حذف کنید که با جایگزینی آنها در معادله اصلی یا بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی انجام می شود.

برای وضوح بیشتر، کل زنجیره حل معادلات گویا کسری را نشان خواهیم داد:
.

بیایید به راه‌حل‌های چندین مثال با توضیح دقیق فرآیند راه‌حل نگاه کنیم تا بلوک اطلاعات داده شده را روشن کنیم.

مثال.

یک معادله گویا کسری را حل کنید.

راه حل.

ما مطابق با الگوریتم حلی که به دست آمده عمل خواهیم کرد. و ابتدا عبارت ها را از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می کنیم در نتیجه به معادله می رویم.

در مرحله دوم باید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله حاصل را به شکل کسری تبدیل کنیم. برای این کار گچ را اجرا می کنیم کسرهای گویابه یک مخرج مشترک و ساده کردن عبارت حاصل: . پس به معادله می رسیم.

بر مرحله بعدباید معادله −2·x−1=0 را حل کنیم. x=−1/2 را پیدا می کنیم.

باید بررسی کنیم که آیا عدد یافت شده 1/2 یک ریشه خارجی معادله اصلی نیست. برای این کار می توانید VA متغیر x معادله اصلی را بررسی یا پیدا کنید. بیایید هر دو رویکرد را نشان دهیم.

بیایید با بررسی شروع کنیم. عدد -1/2 را به جای متغیر x در معادله اصلی قرار می دهیم و همان چیزی را بدست می آوریم -1=-1. جایگزینی برابری عددی صحیح را به دست می دهد، بنابراین x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

حال نشان خواهیم داد که آخرین نقطه الگوریتم چگونه از طریق ODZ انجام می شود. محدوده مقادیر مجاز معادله اصلی مجموعه همه اعداد به جز -1 و 0 است (در x=−1 و x=0 مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه x=−1/2 یافت شده در مرحله قبل متعلق به ODZ است، بنابراین، x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

−1/2 .

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ما باید یک معادله منطقی کسری را حل کنیم، بیایید تمام مراحل الگوریتم را طی کنیم.

ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم، دریافت می کنیم.

در مرحله دوم، عبارت تشکیل شده در سمت چپ را تبدیل می کنیم: . در نتیجه به معادله x=0 می رسیم.

ریشه آن واضح است - صفر است.

در مرحله چهارم، باید دریابیم که آیا ریشه یافت شده با معادله گویا کسری اصلی بیگانه است یا خیر. هنگامی که به معادله اصلی جایگزین می شود، عبارت به دست می آید. بدیهی است که منطقی نیست زیرا شامل تقسیم بر صفر است. از آنجا نتیجه می گیریم که 0 یک ریشه خارجی است. بنابراین معادله اصلی ریشه ندارد.

7 که منجر به معادله می شود. از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با سمت راست باشد، یعنی . حالا از دو طرف ثلاث کم می کنیم: . به قیاس، از کجا، و بیشتر.

بررسی نشان می دهد که هر دو ریشه یافت شده ریشه های معادله گویا کسری اصلی هستند.

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-021134-5.

ما معادله بالا را در § 7 معرفی کردیم. ابتدا اجازه دهید به یاد بیاوریم که یک عبارت منطقی چیست. این - عبارت جبری، از اعداد و متغیر x با استفاده از عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان با توان طبیعی تشکیل شده است.

اگر r(x) یک عبارت منطقی باشد، معادله r(x) = 0 یک معادله گویا نامیده می شود.

با این حال، در عمل استفاده از تفسیر کمی گسترده تر از اصطلاح "معادله منطقی" راحت تر است: این معادله ای به شکل h(x) = q(x) است، که در آن h(x) و q(x) هستند. عبارات منطقی

تا به حال، ما نمی‌توانستیم هیچ معادله منطقی را حل کنیم، بلکه تنها یک معادله را حل نمی‌کردیم که در نتیجه، تحولات مختلفو استدلال به پایان رسید معادله خطی. اکنون توانایی های ما بسیار بیشتر است: ما قادر خواهیم بود معادله ای منطقی را حل کنیم که نه تنها به خطی کاهش می یابد.
mu، بلکه به معادله درجه دوم.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه معادلات منطقی را قبلا حل می کردیم و سعی می کنیم یک الگوریتم حل را فرموله کنیم.

مثال 1.معادله را حل کنید

راه حل. بیایید معادله را در فرم بازنویسی کنیم

در این مورد، طبق معمول، ما از این واقعیت استفاده می کنیم که برابری های A = B و A - B = 0 رابطه یکسانی را بین A و B بیان می کنند. این به ما اجازه داد که عبارت را به سمت چپ معادله با علامت مخالف

بیایید سمت چپ معادله را تبدیل کنیم. ما داریم

بیایید شرایط برابری را به یاد بیاوریم کسریصفر: اگر و فقط اگر دو رابطه به طور همزمان ارضا شوند:

1) عدد کسری صفر است (a = 0). 2) مخرج کسری با صفر متفاوت است).
با برابر کردن عدد کسر سمت چپ معادله (1) با صفر به دست می‌آید.

باقی مانده است که تحقق شرط دوم ذکر شده در بالا را بررسی کنید. رابطه به معنای معادله (1) است که . مقادیر x 1 = 2 و x 2 = 0.6 روابط نشان داده شده را برآورده می کنند و بنابراین به عنوان ریشه های معادله (1) و در عین حال ریشه های معادله داده شده عمل می کنند.

1) معادله را به شکل تبدیل می کنیم

2) اجازه دهید سمت چپ این معادله را تبدیل کنیم:

(همزمان علائم را در صورتگر تغییر داد و
کسری).
بدین ترتیب، معادله داده شدهشکل می گیرد

3) معادله x 2 - 6x + 8 = 0 را حل کنید. پیدا کنید

4) برای مقادیر یافت شده، تحقق شرط را بررسی کنید . عدد 4 این شرط را برآورده می کند، اما عدد 2 نه. این بدان معنی است که 4 ریشه معادله داده شده است و 2 یک ریشه خارجی است.
پاسخ: 4.

2. حل معادلات منطقی با معرفی یک متغیر جدید

روش معرفی یک متغیر جدید برای شما آشناست. اجازه دهید با مثال هایی نشان دهیم که چگونه از آن در حل معادلات گویا استفاده می شود.

مثال 3.معادله x 4 + x 2 - 20 = 0 را حل کنید.

راه حل. بیایید یک متغیر جدید y = x 2 معرفی کنیم. از آنجایی که x 4 = (x 2) 2 = y 2، پس معادله داده شده را می توان به صورت بازنویسی کرد

y 2 + y - 20 = 0.

این یک معادله درجه دوم است که ریشه های آن را می توان با استفاده از شناخته شده پیدا کرد فرمول ها; y 1 = 4، y 2 = - 5 می گیریم.
اما y = x 2، یعنی مسئله به حل دو معادله کاهش یافته است:
x 2 = 4; x 2 = -5.

از معادله اول متوجه می شویم که معادله دوم ریشه ندارد.
پاسخ: .
معادله ای به شکل ax 4 + bx 2 + c = 0 معادله دو درجه ای نامیده می شود ("bi" دو است، یعنی نوعی معادله "دو درجه دوم"). معادله ای که به تازگی حل شد دقیقاً دوطرفه بود. هر معادله دو درجه ایبه همان روش معادله مثال 3 حل می شود: یک متغیر جدید y = x 2 معرفی کنید، معادله درجه دوم حاصل را با توجه به متغیر y حل کنید و سپس به متغیر x برگردید.

مثال 4.معادله را حل کنید

راه حل. توجه داشته باشید که همان عبارت x 2 + 3x دو بار در اینجا ظاهر می شود. این به این معنی است که معرفی یک متغیر جدید y = x 2 + 3x منطقی است. این به شما این امکان را می دهد که معادله را به صورت ساده تر بازنویسی کنید قشنگه(که در واقع هدف از معرفی جدید است متغیر- و ساده کردن ضبط
واضح تر می شود و ساختار معادله واضح تر می شود):

حالا بیایید از الگوریتم برای حل یک معادله منطقی استفاده کنیم.

1) بیایید همه عبارت های معادله را به یک قسمت منتقل کنیم:

= 0
2) سمت چپ معادله را تبدیل کنید

بنابراین، ما معادله داده شده را به شکل تبدیل کرده ایم

3) از معادله - 7y 2 + 29y -4 = 0 پیدا می کنیم (من و شما قبلاً تعداد زیادی معادلات درجه دوم را حل کرده ایم ، بنابراین احتمالاً ارزش آن را ندارد که همیشه محاسبات دقیق را در کتاب درسی ارائه کنید).

4) بیایید ریشه های یافت شده را با استفاده از شرط 5 (y - 3) (y + 1) بررسی کنیم. هر دو ریشه این شرط را برآورده می کنند.
بنابراین، معادله درجه دوم برای متغیر جدید y حل می شود:
از آنجایی که y = x 2 + 3x، و y، همانطور که مشخص کردیم، دو مقدار می گیرد: 4 و , ما هنوز باید دو معادله را حل کنیم: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . ریشه های معادله اول اعداد 1 و - 4 هستند، ریشه های معادله دوم اعداد هستند.

در مثال های در نظر گرفته شده، روش معرفی یک متغیر جدید، همانطور که ریاضیدانان دوست دارند بگویند، برای موقعیت مناسب بود، یعنی به خوبی با آن مطابقت داشت. چرا؟ بله، زیرا همان عبارت به وضوح چندین بار در معادله ظاهر شد و دلیلی برای تعیین این عبارت وجود داشت. نامه جدید. اما این همیشه اتفاق نمی افتد. این دقیقا همان چیزی است که در مثال بعدی اتفاق خواهد افتاد.

مثال 5.معادله را حل کنید
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
راه حل. ما داریم
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

این بدان معنی است که معادله داده شده را می توان در فرم بازنویسی کرد

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

اکنون یک متغیر جدید "ظاهر" شده است: y = x 2 - 3x.

با کمک آن می توان معادله را به شکل y (y + 2) = 24 و سپس y 2 + 2y - 24 = 0 بازنویسی کرد. ریشه های این معادله اعداد 4 و -6 هستند.

با بازگشت به متغیر اصلی x، دو معادله x 2 - 3x = 4 و x 2 - 3x = - 6 به دست می‌آوریم. معادله دوم ریشه ندارد.

پاسخ: 4، - 1.

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین وظایف و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، سوالات بحث تکلیف منزل سوالات بلاغیاز دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و فرهنگ لغت اضافی اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی

اهداف: انجام تجزیه و تحلیل کار مستقل؛ مفهوم کسری جبری را تکرار کنید. حل معادلات گویا را توضیح دهید. توانایی حل معادلات منطقی را توسعه دهد.
در طول کلاس ها:
1. لحظه سازمانی.
2. تجزیه و تحلیل کار مستقل.
ارائه نمرات برای کار مستقل در مجله. اگر اکثر دانش‌آموزان با این کار کارشان را به خوبی انجام داده‌اند، پس این وظایف داده می‌شود خانگیبه دانش آموزانی که نمره منفی گرفتند. اگر کار مستقلبه طور کلی ضعیف نوشته شده است، سپس تکالیف در کلاس در تخته سیاه مرتب می شوند.
حل معادلات:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
3. به روز رسانی دانش.
مفهوم کسری جبری را مرور کنید. سپس راه حل را روی تخته در نظر بگیرید معادله خطیبا مخرج:

سپس دامنه مقادیر قابل قبول برای کسرها را تکرار کنید و کار را روی تخته مرور کنید:
این معادله در چه مقدار از متغیر انجام می شود یک ریشه خواهد داشت.
4. توضیح مطالب جدید.
از یکی از دانش آموزان کلاس دعوت کنید تا معادله روی تخته را حل کند
.
معلم فقط راه حل را راهنمایی می کند. سپس اگر در جایی خطایی صورت گرفته بود راه حل را تصحیح می کند. سپس الگوریتمی برای حل هر معادله منطقی تدوین می شود (طبق کتاب درسی ص 131).
5. تلفیق مواد جدید.
1) کدام یک از اعداد 2، 5، - 3، 1 نمی توانند ریشه معادله باشند:
الف) ب) V)
2) حل معادلات شماره 852، 854، 856، 859، 861، 863 را در نظر بگیرید.
6. جمع بندی.
7. تکالیف:
مطالب پاراگراف ص را بخوانید. 129 – 135 الگوریتم حل معادلات گویا را یاد بگیرید. معادلات شماره 851، 855، 858 را حل کنید.