فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم. معادلات درجه دوم. نمونه هایی از راه حل ها ریشه های یک معادله درجه دوم
معادله درجه دوم - آسان برای حل! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:
چه مفهومی داره؟ این به این معنی است که حدود 70000 نفر در ماه جستجو می کنند این اطلاعات، این تابستان چه ربطی به آن دارد و چه اتفاقی خواهد افتاد سال تحصیلی- دو برابر بیشتر درخواست وجود خواهد داشت. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.
علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من نیز تصمیم گرفتم در این زمینه مشارکت کنم و مطالب را منتشر کنم. اولاً، من می خواهم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیا شروع کنیم!محتوای مقاله:
معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:
جایی که ضرایب a،بو با اعداد دلخواه، جایی که a≠0.
که در دوره مدرسهمواد داده شده است فرم زیر- معادلات به سه دسته تقسیم می شوند:
1. دو ریشه دارند.
2. *فقط یک ریشه داشته باشید.
3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند
ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!
تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:
فرمول های ریشه به شرح زیر است:
*باید این فرمول ها را از روی قلب بدانید.
بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:
مثال:
1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.
2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.
3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
بیایید به معادله نگاه کنیم:
در این رابطه وقتی ممیز برابر صفر است درس مدرسه می گوید یک ریشه به دست می آید، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...
این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، معلوم می شود دو ریشه های مساویو برای دقیق بودن ریاضی، پاسخ باید دارای دو ریشه باشد:
x 1 = 3 x 2 = 3
اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.
حالا مثال بعدی:
همانطور که می دانیم، ریشه عدد منفیاستخراج نمی شود، بنابراین راه حل ها در در این موردخیر
این کل فرآیند تصمیم گیری است.
تابع درجه دوم.
این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این بسیار مهم است (در آینده، در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).
این تابعی از فرم است:
که در آن x و y متغیر هستند
الف، ب، ج - اعداد داده شده، جایی که a ≠ 0
نمودار یک سهمی است:
یعنی معلوم می شود که حل یک معادله درجه دوم در "y" برابر با صفرنقاط تقاطع سهمی را با محور x پیدا می کنیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن
بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:
مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12
*این امکان وجود داشت که بلافاصله رفت و سمت راستمعادله را بر 2 تقسیم کنید، یعنی آن را ساده کنید. محاسبات راحت تر خواهد بود.
مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
ما دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11
نوشتن x=11 در جواب جایز است.
پاسخ: x = 11
مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.
پاسخ: راه حلی نیست
ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!
در اینجا ما در مورد حل معادله در حالتی که معلوم شد صحبت خواهیم کرد تمایز منفی. آیا شما چیزی در مورد اعداد مختلط? من در اینجا به طور مفصل در مورد چرایی و کجا به وجود آمدند و چه هستند صحبت نمی کنم نقش خاصو نیاز به ریاضیات، این موضوع برای یک مقاله بزرگ جداگانه است.
مفهوم عدد مختلط
کمی تئوری
عدد مختلط z عددی از فرم است
z = a + bi
جایی که a و b هستند اعداد واقعی، i به اصطلاح واحد خیالی است.
a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.
واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:
حالا معادله را در نظر بگیرید:
دو ریشه مزدوج می گیریم.
معادله درجه دوم ناقص.
بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل کرد.
مورد 1. ضریب b = 0.
معادله تبدیل می شود:
بیایید تبدیل کنیم:
مثال:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
مورد 2. ضریب c = 0.
معادله تبدیل می شود:
بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:
*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.
مثال:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.
در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.
خواص مفید و الگوهای ضرایب.
خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.
آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است
آ + ب+ c = 0،که
- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است
آ+ ج =ب, که
این خواص به تصمیم گیری کمک می کند یک نوع خاصمعادلات
مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0
مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی
مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0
برابری برقرار است آ+ ج =ب, به معنای
نظم ضرایب.
1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" به صورت عددی باشد. برابر با ضریب«الف»، پس ریشه های آن برابر است
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.
x 1 = -6 x 2 = -1/6.
2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب «b» برابر با (a 2 +1) و ضریب «c» از نظر عددی برابر با ضریب «a» باشد، ریشه های آن برابر است.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a است, سپس ریشه های آن برابر است
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
قضیه ویتا
قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.
علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است زیرا پس از حل معادله درجه دوم به روش معمول(از طریق تشخیص دهنده) ریشه های حاصل را می توان بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.
روش حمل و نقل
با این روش، ضریب "a" در جمله آزاد ضرب می شود، گویی به آن "پرتاب" می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.
اگر آ± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:
2ایکس 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => ایکس 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1
ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شوند (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شدند)، دریافت می کنیم
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
منطق چیست؟ ببین چه خبره
ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:
اگر به ریشه های معادلات نگاه کنید، فقط به دست می آورید مخرج های مختلف، و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:
دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.
بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.
*اگر سه رول کنیم حاصل را تقسیم بر 3 و غیره می کنیم.
پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5
مربع ur-ie و آزمون یکپارچه ایالتی.
من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزات را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در تکالیف آزمون یکپارچه ایالت به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) خلاصه می شود.
چیزی که قابل توجه است!
1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:
15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.
باید او را به او بیاوری نمای استاندارد(برای اینکه هنگام تصمیم گیری گیج نشوید).
2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.
که در جامعه مدرنتوانایی انجام عملیات با معادلات حاوی یک متغیر مربع می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده در عمل در علم و دانش مورد استفاده قرار گیرد. تحولات فنی. گواه این امر را می توان در طراحی شناورهای دریایی و رودخانه ای، هواپیماها و موشک ها یافت. با استفاده از این محاسبات، مسیر حرکت از ترین بدن های مختلف، شامل اشیاء فضایی. نمونه هایی با حل معادلات درجه دوم نه تنها در پیش بینی اقتصادی، در طراحی و ساخت ساختمان ها، بلکه در معمول ترین شرایط روزمره نیز استفاده می شوند. ممکن است به آنها نیاز باشد سفرهای پیاده روی، در رویدادهای ورزشی، در فروشگاه ها هنگام خرید، و در موقعیت های بسیار رایج دیگر.
بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم
درجه معادله تعیین می شود حداکثر مقداردرجه متغیری که این عبارت شامل می شود. اگر برابر با 2 باشد، چنین معادله ای درجه دوم نامیده می شود.
اگر به زبان فرمول ها بیان شود، پس عبارات مشخص شده، مهم نیست که چگونه به نظر می رسند، زمانی که سمت چپ عبارت از سه عبارت تشکیل شده باشد، همیشه می توان آنها را به شکل کاهش داد. از جمله: ax 2 (یعنی یک متغیر مجذور ضریبش)، bx (یک مجهول بدون مربع با ضریبش) و c (یک جزء آزاد، یعنی شماره معمولی). همه اینها در سمت راست برابر است با 0. در صورتی که چند جمله ای مشابهیکی از عبارت های تشکیل دهنده آن وجود ندارد، به استثنای محور 2، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود. نمونه هایی با حل چنین مسائلی، ابتدا باید مقادیر متغیرهایی را که در آنها به راحتی یافت می شود در نظر گرفت.
اگر عبارت به نظر می رسد که دو عبارت در سمت راست دارد، به طور دقیق تر ax 2 و bx، ساده ترین راه برای پیدا کردن x قرار دادن متغیر خارج از پرانتز است. حالا معادله ما به این صورت خواهد بود: x(ax+b). در مرحله بعد، مشخص می شود که یا x = 0، یا مشکل به یافتن یک متغیر از آن مربوط می شود عبارت بعدی: ax+b=0. این توسط یکی از خواص ضرب دیکته می شود. این قانون بیان می کند که حاصل ضرب دو عامل تنها در صورتی به صفر می رسد که یکی از آنها صفر باشد.
مثال
x=0 یا 8x - 3 = 0
در نتیجه دو ریشه معادله بدست می آوریم: 0 و 0.375.
معادلات از این نوع می توانند حرکت اجسامی را که تحت تأثیر گرانش قرار دارند، توصیف کنند، که از نقطه خاصی که به عنوان مبدأ مختصات در نظر گرفته می شود، شروع به حرکت کردند. اینجا نماد ریاضیمی پذیرد فرم زیر: y = v 0 t + gt 2/2. جایگزین کردن مقادیر مورد نیازبا معادل سازی سمت راست با 0 و یافتن مجهولات احتمالی، می توانید زمان سپری شده از لحظه بالا آمدن بدن تا لحظه سقوط و همچنین بسیاری از کمیت های دیگر را دریابید. اما در این مورد بعدا صحبت خواهیم کرد.
فاکتورگیری یک بیان
قاعده ای که در بالا توضیح داده شد، حل این مشکلات را در موارد بیشتری ممکن می سازد موارد دشوار. بیایید به نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم از این نوع نگاه کنیم.
X 2 - 33x + 200 = 0
این سه جمله ای درجه دومکامل است. ابتدا بیایید عبارت را تبدیل کنیم و آن را فاکتور کنیم. دو تا از آنها وجود دارد: (x-8) و (x-25) = 0. در نتیجه ما دو ریشه 8 و 25 داریم.
مثال‌هایی با حل معادلات درجه دوم در درجه 9 به این روش اجازه می‌دهد تا متغیری را در عبارات نه تنها مرتبه دوم، بلکه حتی از مرتبه سوم و چهارم پیدا کند.
به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. هنگام فاکتورگیری سمت راست به فاکتورهایی با یک متغیر، سه مورد از آنها وجود دارد، یعنی (x+1)، (x-3) و (x+ 3).
در نتیجه آشکار می شود که معادله داده شدهدارای سه ریشه: -3; -1؛ 3.
ریشه دوم
مورد دیگر معادله ناقص مرتبه دوم عبارتی است که در زبان حروف به گونه ای نمایش داده می شود که سمت راست از اجزای ax 2 و c ساخته شده است. در اینجا، برای به دست آوردن مقدار متغیر، عبارت آزاد به آن منتقل می شود سمت راستو پس از آن از دو طرف برابری استخراج می کنیم ریشه دوم. لازم به ذکر است که در این حالت معمولاً دو ریشه معادله وجود دارد. تنها استثناها می‌توانند برابری‌هایی باشند که اصلاً شامل یک عبارت نیستند، جایی که متغیر برابر با صفر است، و همچنین انواع عبارات وقتی سمت راست منفی است. در مورد دوم، هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات درجه دوم از این نوع باید در نظر گرفته شود.
در این صورت ریشه های معادله اعداد -4 و 4 خواهند بود.
محاسبه مساحت زمین
نیاز به این نوع محاسبات در ظاهر شد زمان های قدیم، زیرا پیشرفت ریاضیات عمدتاً به این دلیل است زمان های دوربه دلیل نیاز به تعیین با بیشترین دقت مساحت و محیط قطعات زمین بود.
همچنین باید نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم را بر اساس مسائلی از این دست در نظر بگیریم.
بنابراین، فرض کنید یک زمین مستطیل شکل وجود دارد که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. اگر می دانید مساحت آن 612 متر مربع است، باید طول، عرض و محیط سایت را پیدا کنید.
برای شروع، اجازه دهید ابتدا معادله لازم را ایجاد کنیم. عرض مساحت را با x نشان می دهیم، سپس طول آن (x+16) خواهد بود. از مطالبی که نوشته شد مساحت با عبارت x(x+16) تعیین می شود که با توجه به شرایط مسئله ما 612 می شود. یعنی x(x+16) = 612.
حل معادلات درجه دوم کامل، و این عبارت دقیقاً همان است، به همین شکل قابل انجام نیست. چرا؟ اگرچه سمت چپ هنوز دارای دو عامل است، اما حاصل ضرب آنها به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین در اینجا از روش های مختلفی استفاده می شود.
ممیز
اول از همه، بیایید تحولات لازم را انجام دهیم، سپس ظاهر بیان داده شدهبه این صورت خواهد بود: x 2 + 16x - 612 = 0. این به این معنی است که ما یک عبارت را به شکلی مطابق با استاندارد مشخص شده قبلی دریافت کرده ایم، که در آن a=1، b=16، c=-612.
این می تواند نمونه ای از حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز باشد. اینجا محاسبات لازمطبق این طرح تولید می شوند: D = b 2 - 4ac. این کمیت کمکی نه تنها یافتن مقادیر مورد نیاز را در یک معادله مرتبه دوم ممکن می سازد، بلکه کمیت را نیز تعیین می کند. گزینه های ممکن. اگر D>0 باشد، دو مورد از آنها وجود دارد. برای D=0 یک ریشه وجود دارد. در مورد D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
درباره ریشه ها و فرمول آنها
در مورد ما، تمایز برابر است با: 256 - 4(-612) = 2704. این نشان می دهد که مشکل ما یک پاسخ دارد. اگر k را می دانید حل معادلات درجه دوم را باید با استفاده از فرمول زیر ادامه دهید. این به شما امکان می دهد ریشه ها را محاسبه کنید.
این بدان معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 = 18، x 2 =-34. گزینه دوم در این معضل نمی تواند راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، یعنی x (یعنی عرض قطعه) 18 متر است از اینجا طول را محاسبه می کنیم: 18 +16=34 و محیط 2(34+18)=104(m2).
مثال ها و وظایف
ما مطالعه خود را در مورد معادلات درجه دوم ادامه می دهیم. نمونه ها و راه حل های دقیق چند مورد از آنها در زیر آورده شده است.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
بیایید همه چیز را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک تبدیل ایجاد کنیم، یعنی، نوع معادله ای را که معمولاً استاندارد نامیده می شود، دریافت می کنیم و آن را برابر با صفر می کنیم.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
با اضافه کردن موارد مشابه، تفکیک کننده را تعیین می کنیم: D = 49 - 48 = 1. این به این معنی است که معادله ما دو ریشه خواهد داشت. بیایید آنها را طبق فرمول بالا محاسبه کنیم، به این معنی که اولی برابر با 4/3 و دومی برابر با 1 خواهد بود.
2) حالا بیایید اسرار دیگری را حل کنیم.
بیایید دریابیم که آیا ریشه ای در اینجا وجود دارد x 2 - 4x + 5 = 1؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، چند جمله ای را به شکل معمول مربوطه کاهش می دهیم و تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در مثال بالا نیازی به حل معادله درجه دوم نیست، زیرا اصل مسئله اصلاً این نیست. در این مورد، D = 16 - 20 = -4، یعنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.
قضیه ویتا
حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های بالا و تفکیک کننده راحت است، زمانی که ریشه دوم از مقدار دومی گرفته شود. اما همیشه این اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن مقادیر متغیرها در این مورد وجود دارد. مثال: حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. نام او برگرفته از کسی است که در قرن شانزدهم در فرانسه زندگی می‌کرد و به لطف استعداد ریاضی و ارتباطاتش در دربار، حرفه‌ای درخشان ایجاد کرد. پرتره او در مقاله قابل مشاهده است.
الگویی که مرد مشهور فرانسوی متوجه آن شد به شرح زیر بود. او ثابت کرد که ریشه های معادله به صورت عددی با -p=b/a جمع می شوند و حاصلضرب آنها با q=c/a مطابقت دارد.
حالا بیایید به وظایف خاص نگاه کنیم.
3x 2 + 21x - 54 = 0
برای سادگی، اجازه دهید عبارت را تبدیل کنیم:
x 2 + 7x - 18 = 0
بیایید از قضیه Vieta استفاده کنیم، این به ما می دهد: مجموع ریشه ها -7 است و حاصلضرب آنها 18- است. از اینجا می‌گیریم که ریشه‌های معادله اعداد -9 و 2 هستند. پس از بررسی، مطمئن می‌شویم که این مقادیر متغیر واقعاً با عبارت مطابقت دارند.
نمودار سهمی و معادله
مفاهیم تابع درجه دوم و معادلات درجه دوم ارتباط نزدیکی با هم دارند. نمونه هایی از این قبلا قبلاً آورده شده است. حالا بیایید با کمی جزئیات بیشتر به چند معمای ریاضی نگاه کنیم. هر معادله ای از نوع توصیف شده را می توان به صورت بصری نشان داد. چنین رابطه ای که به صورت نمودار ترسیم می شود، سهمی نامیده می شود. انواع مختلف آن در شکل زیر ارائه شده است.
هر سهمی دارای راس است، یعنی نقطه ای که شاخه های آن از آن بیرون می آیند. اگر a>0 باشد، تا بی نهایت بالا می روند و وقتی a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
نمایش بصری توابع به حل هر معادله ای از جمله معادلات درجه دوم کمک می کند. این روش را گرافیکی می نامند. و مقدار متغیر x مختصات آبسیسا در نقاطی است که خط نمودار با 0x قطع می شود. مختصات راس را می توان با استفاده از فرمولی که x 0 = -b/2a داده شده است، پیدا کرد. و با جایگزین کردن مقدار حاصل به معادله اصلی تابع، می توانید y 0 را پیدا کنید، یعنی مختصات دوم راس سهمی که متعلق به محور مختصات است.
تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا
مثال های زیادی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد، اما الگوهای کلی نیز وجود دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم. واضح است که تقاطع نمودار با محور 0x برای a>0 تنها در صورتی امکان پذیر است که 0 مقادیر منفی بگیرد. و برای یک<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0.V در غیر این صورت D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
از نمودار سهمی نیز می توانید ریشه ها را تعیین کنید. مخالفش هم درست است. یعنی اگر به‌دست آوردن نمایش تصویری از یک تابع درجه دوم آسان نیست، می‌توانید سمت راست عبارت را با 0 برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. و با دانستن نقاط تقاطع با محور 0x، ساختن نمودار آسانتر است.
از تاریخ
با استفاده از معادلات حاوی یک متغیر مربع، در قدیم نه تنها محاسبات ریاضی انجام می دادند و مساحت اشکال هندسی را تعیین می کردند. گذشتگان برای اکتشافات بزرگ در زمینه های فیزیک و ستاره شناسی و همچنین برای پیش بینی های نجومی به چنین محاسباتی نیاز داشتند.
همانطور که دانشمندان مدرن پیشنهاد می کنند، ساکنان بابل جزو اولین کسانی بودند که معادلات درجه دوم را حل کردند. این اتفاق چهار قرن قبل از دوران ما افتاد. البته محاسبات آنها با محاسباتی که در حال حاضر پذیرفته شده اند کاملاً متفاوت بود و معلوم شد که بسیار ابتدایی تر است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین هیچ ایده ای در مورد وجود اعداد منفی نداشتند. آنها همچنین با ظرافت های دیگری که هر دانش آموز مدرنی می داند ناآشنا بودند.
شاید حتی زودتر از دانشمندان بابلی، حکیم هندی بودهایاما شروع به حل معادلات درجه دوم کرد. این اتفاق حدود هشت قرن قبل از عصر مسیح رخ داد. درست است، معادلات مرتبه دوم، روش هایی که او برای حل آنها ارائه کرد، ساده ترین بودند. علاوه بر او، ریاضیدانان چینی نیز در قدیم به سوالات مشابه علاقه داشتند. در اروپا، معادلات درجه دوم فقط در آغاز قرن سیزدهم حل شد، اما بعداً توسط دانشمندان بزرگی مانند نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر در آثارشان استفاده شد.
با این برنامه ریاضی می توانید حل معادله درجه دوم.
این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند حل را به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تمایز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).
علاوه بر این، پاسخ به صورت دقیق و نه تقریبی نمایش داده می شود.
به عنوان مثال، برای معادله \(81x^2-16x-1=0\) پاسخ به شکل زیر نمایش داده می شود:
این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در مدارس آموزش عمومی هنگام آماده شدن برای آزمون ها و امتحانات، هنگام تست دانش قبل از آزمون یکپارچه دولتی و برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.
به این ترتیب می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش یابد.
اگر با قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم آشنایی ندارید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.
قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم
هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.
اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسری را می توان نه تنها به صورت اعشاری، بلکه در قالب یک کسری معمولی نیز وارد کرد.
قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
به عنوان مثال، می توانید کسرهای اعشاری را مانند این وارد کنید: 2.5x - 3.5x^2
قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.
مخرج نمی تواند منفی باشد.
هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمت با علامت آمپر از کسری جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
هنگام وارد کردن یک عبارت می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل یک معادله درجه دوم، ابتدا عبارت معرفی شده ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
تصميم گرفتن
مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را رفرش کنید.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.
زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...
اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.
بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:
کمی تئوری
معادله درجه دوم و ریشه های آن. معادلات درجه دوم ناقص
هر یک از معادلات
\(-x^2+6x+1.4=0، \quad 8x^2-7x=0، \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
به نظر می رسد
\(ax^2+bx+c=0، \)
جایی که x یک متغیر است، a، b و c اعداد هستند.
در رابطه اول a = -1، b = 6 و c = 1.4، در رابطه دوم a = 8، b = -7 و c = 0، در رابطه سوم a = 1، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادلات درجه دوم.
تعریف.
معادله درجه دوممعادله ای به شکل ax 2 +bx+c=0 نامیده می شود که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد هستند و \(a \neq 0 \).
اعداد a، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a را ضریب اول، عدد b ضریب دوم و عدد c عبارت آزاد نامیده می شود.
در هر یک از معادلات شکل ax 2 +bx+c=0 که \(a\neq 0\) بزرگترین توان متغیر x یک مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.
توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای درجه دوم است.
معادله درجه دومی که در آن ضریب x 2 برابر با 1 باشد نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. به عنوان مثال، معادلات درجه دوم داده شده، معادلات هستند
\(x^2-11x+30=0، \quad x^2-6x=0، \چهارار x^2-8=0 \)
اگر در یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر با صفر باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. معادله درجه دوم ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولی b=0، در دومی c=0، در سومی b=0 و c=0.
سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:
1) ax 2 +c=0، که در آن \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0، که در آن \(b \neq 0 \);
3) تبر 2 = 0.
بیایید حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیریم.
برای حل یک معادله ناقص درجه دوم از شکل ax 2 +c=0 برای \(c \neq 0 \(c\neq 0\)، جمله آزاد آن را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \راست فلش x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
از آنجایی که \(c \neq 0 \)، سپس \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
اگر \(-\frac(c)(a)>0\)، معادله دو ریشه دارد.
اگر \(-\frac(c)(a) برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +bx=0 با \(b \neq 0 \) سمت چپ آن را عامل کنید و معادله را بدست آورید.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (آرایه)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(آرایه) \راست.
این بدان معنی است که یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.
یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است و بنابراین دارای یک ریشه واحد 0 است.
فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم
حال بیایید نحوه حل معادلات درجه دوم را در نظر بگیریم که در آن هر دو ضرایب مجهولات و جمله آزاد غیر صفر هستند.
بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم نمای کلیو در نتیجه فرمول ریشه ها را بدست می آوریم. سپس می توان از این فرمول برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.
معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 را حل کنید
با تقسیم هر دو ضلع بر a، معادله درجه دوم کاهش یافته معادل را بدست می آوریم
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
بیایید این معادله را با انتخاب مربع دو جمله ای تبدیل کنیم:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ فلش راست \)
بیان رادیکال نامیده می شود تفکیک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 ("ممیز" در لاتین - تشخیص دهنده). با حرف D مشخص می شود، یعنی.
\(D = b^2-4ac\)
اکنون با استفاده از نماد تفکیک، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، جایی که \(D= b^2-4ac \)
بدیهی است که:
1) اگر D>0 باشد، معادله درجه دوم دو ریشه دارد.
2) اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) اگر D بنابراین، بسته به مقدار ممیز، یک معادله درجه دوم می تواند دو ریشه داشته باشد (برای D > 0)، یک ریشه (برای D = 0) یا بدون ریشه (برای D هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، توصیه می شود به روش زیر انجام شود:
1) متمایز را محاسبه کنید و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا برابر با صفر است، از فرمول ریشه استفاده کنید اگر ممیز منفی است، بنویسید که ریشه وجود ندارد.
قضیه ویتا
معادله درجه دوم داده شده ax 2 -7x+10=0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب آن 10 است. می بینیم که مجموع ریشه ها برابر است با ضریب دوم برگرفته از علامت مخالف، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. هر معادله درجه دوم کاهش یافته ای که ریشه داشته باشد این خاصیت را دارد.
مجموع ریشه های معادله درجه دوم فوق برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.
آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0 دارای این ویژگی هستند:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \راست. \)
فیلم آموزشی 2: حل معادلات درجه دوم
سخنرانی: معادلات درجه دوم
معادله
معادله- این نوعی برابری است که در عبارات آن متغیری وجود دارد.
معادله را حل کنید- به معنای یافتن یک عدد به جای متغیری است که آن را به برابری صحیح برساند.
یک معادله ممکن است یک راه حل، چندین یا اصلاً هیچ جوابی نداشته باشد.
برای حل هر معادله ای باید تا حد امکان به شکل زیر ساده شود:
خطی: a*x = b;
مربع: a*x 2 + b*x + c = 0.
یعنی هر معادله ای باید قبل از حل به فرم استاندارد تبدیل شود.
هر معادله ای را می توان به دو روش حل کرد: تحلیلی و گرافیکی.
در نمودار، حل معادله نقاطی در نظر گرفته می شود که نمودار محور OX را قطع می کند.
معادلات درجه دوم
یک معادله را می توان درجه دوم نامید اگر در صورت ساده سازی به شکل زیر باشد:
a*x 2 + b*x + c = 0.
که در آن الف، ب، جضرایبی از معادله هستند که با صفر تفاوت دارند. آ "ایکس"- ریشه معادله اعتقاد بر این است که یک معادله درجه دوم دو ریشه دارد یا ممکن است اصلاً راه حلی نداشته باشد. ریشه های حاصل ممکن است یکسان باشند.
"آ"- ضریب قبل از جذر.
"ب"- در درجه اول در برابر مجهول ایستاده است.
"با"عبارت آزاد معادله است.
اگر مثلاً معادله ای به شکل زیر داشته باشیم:
2x 2 -5x+3=0
در آن، "2" ضریب عبارت اصلی معادله، "-5" ضریب دوم و "3" عبارت آزاد است.
حل یک معادله درجه دوم
وجود دارد تنوع بسیار زیادروش های حل معادله درجه دوم با این حال، در درس ریاضی مدرسه، راه حل با استفاده از قضیه Vieta و همچنین با استفاده از تمایز مورد مطالعه قرار می گیرد.
راه حل افتراقی:
هنگام حل با این روشلازم است تفکیک را با استفاده از فرمول محاسبه کنید:
اگر در حین محاسبات متوجه شدید که تفکیک کننده کمتر از صفر است، به این معنی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد.
اگر ممیز صفر باشد، معادله دو دارد راه حل های یکسان. در این حالت، چند جمله ای را می توان با استفاده از فرمول ضرب اختصاری به مربع مجموع یا تفاوت جمع کرد. سپس آن را مانند حل کنید معادله خطی. یا از فرمول استفاده کنید:
اگر ممیز بالای صفر، سپس باید از روش زیر استفاده کنید:
قضیه ویتا
اگر معادله داده شود، برای عبارت اصلی ضریب وجود دارد برابر با یک، سپس می توانید استفاده کنید قضیه ویتا.
بنابراین بیایید معادله را فرض کنیم:
ریشه های معادله به صورت زیر است:
معادله درجه دوم ناقص
چندین گزینه برای به دست آوردن یک معادله درجه دوم ناقص وجود دارد که شکل آن به وجود ضرایب بستگی دارد.
1. اگر ضریب دوم و سوم صفر باشد (b = 0، c = 0)، سپس معادله درجه دوم به صورت زیر خواهد بود:
این معادله خواهد داشت تنها تصمیم. برابری تنها در صورتی صادق خواهد بود که جواب معادله صفر باشد.
معادلات درجه دوم. ممیز. راه حل، مثال
توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")
انواع معادلات درجه دوم
معادله درجه دوم چیست؟ چه شکلی است؟ در مدت معادله درجه دومکلمه کلیدی است "مربع".این بدان معناست که در معادله لزوماباید یک x مربع وجود داشته باشد. علاوه بر آن، معادله ممکن است (یا نه!) فقط شامل X (به توان اول) و فقط یک عدد باشد. (عضو آزاد).و هیچ X برای توان بیشتر از دو نباید وجود داشته باشد.
صحبت كردن زبان ریاضی، یک معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:
اینجا الف، ب و ج- تعدادی اعداد ب و ج- مطلقاً، اما آ- هر چیزی غیر از صفر مثلا:
اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4
اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2
اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18
خوب فهمیدی...
در این معادلات درجه دوم سمت چپ وجود دارد مجموعه کامل اعضا. X مجذور ضریب آ، x به توان اول با ضریب بو عضو رایگان s.
چنین معادلات درجه دوم نامیده می شوند پر شده.
و اگر ب= 0، چه چیزی به دست می آوریم؟ ما داریم X به درجه اول ناپدید می شود.وقتی در صفر ضرب شود این اتفاق می افتد.) مثلاً معلوم می شود:
5x 2 -25 = 0،
2x 2 -6x=0،
-x 2 +4x=0
و غیره. و اگر هر دو ضریب بو جبرابر با صفر هستند، سپس ساده تر است:
2x2 =0،
-0.3x 2 =0
چنین معادلاتی، جایی که چیزی کم است، نامیده می شوند معادلات درجه دوم ناقصکه کاملاً منطقی است.) لطفاً توجه داشته باشید که x مربع در همه معادلات وجود دارد.
اتفاقا چرا آنمی تواند برابر با صفر باشد؟ و شما به جای آن جایگزین می کنید آصفر.) مربع X ما ناپدید می شود! معادله خطی خواهد شد. و راه حل کاملا متفاوت است ...
این همه انواع اصلی معادلات درجه دوم است. کامل و ناقص.
حل معادلات درجه دوم.
حل معادلات درجه دوم کامل
حل معادلات درجه دوم آسان است. طبق فرمول ها و قوانین واضح و ساده. در مرحله اول لازم است معادله داده شدهمنجر به یک فرم استاندارد شود، به عنوان مثال. به فرم:
اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده است، لازم نیست مرحله اول را انجام دهید.) نکته اصلی این است که همه ضرایب را به درستی تعیین کنید. آ, بو ج.
فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:
عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز. اما بیشتر در مورد او در زیر. همانطور که می بینید، برای یافتن X از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از یک معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جما با این فرمول محاسبه می کنیم. جایگزین کنیم با نشانه های خودت! به عنوان مثال، در معادله:
آ =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا ما آن را یادداشت می کنیم:
مثال تقریباً حل شده است:
این پاسخ است.
همه چیز بسیار ساده است. و چه، به نظر شما اشتباه کردن غیرممکن است؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا گیج شویم؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفیدر فرمول محاسبه ریشه چیزی که در اینجا کمک می کند، ضبط دقیق فرمول با اعداد خاص است. اگر در محاسبات مشکلی وجود دارد، انجام این کار!
فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:
اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1
فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.
خب تنبل نباش نوشتن خط اضافیحدود 30 ثانیه طول می کشد و تعداد خطاها به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:
به نظر می رسد نوشتن با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن چه چیزی بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی نیست همه چیز را با دقت بنویسید. به خودی خود درست کار خواهد کرد. به خصوص اگر استفاده می کنید تکنیک های عملی، که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانیبا انبوهی از منفی ها را می توان به راحتی و بدون خطا حل کرد!
اما، اغلب، معادلات درجه دوم کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:
آیا آن را تشخیص دادید؟) بله! این معادلات درجه دوم ناقص.
حل معادلات درجه دوم ناقص.
آنها همچنین می توانند با استفاده از یک فرمول کلی حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که آنها در اینجا با چه چیزی برابر هستند. الف، ب و ج.
آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اصلا اونجا نیست! خوب بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای آن صفر را به فرمول جایگزین کنید جو ما موفق خواهیم شد. مثال دوم هم همینطور. فقط ما اینجا صفر نداریم با، آ ب !
اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ فرمولی بیایید اولی را در نظر بگیریم معادله ناقص. در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم
و از این چی؟ و این که حاصل برابر صفر است اگر و فقط اگر هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ خودشه...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x 1 = 0, x 2 = 4.
همه. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از فرمول کلی است. اجازه دهید توجه کنم، اتفاقا، کدام X اولین و کدام دوم خواهد بود - کاملاً بی تفاوت. نوشتن به ترتیب راحت است، x 1- چه چیزی کوچکتر است و x 2- آنچه بزرگتر است.
معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت دهید. ما گرفتیم:
تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از 9 است و تمام. معلوم خواهد شد:
همچنین دو ریشه . x 1 = -3, x 2 = 3.
به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن X خارج از براکت، یا با حرکت دادن عدد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. صرفاً به این دلیل که در حالت اول باید ریشه X را استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...
ممیز. فرمول تشخیصی
واژه جادویی ممیز ! به ندرت دانش آموز دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "ما از طریق یک متمایز حل می کنیم" اعتماد و اطمینان را القا می کند. چون نیازی به حیله از ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است.) بیشتر از همه به شما یادآوری می کنم فرمول کلیبرای راه حل ها هرمعادلات درجه دوم:
به عبارتی که در زیر علامت ریشه قرار دارد، ممیز می گویند. معمولاً متمایز کننده با حرف نشان داده می شود دی. فرمول تشخیص:
D = b 2 - 4ac
و چه چیزی در این بیان قابل توجه است؟ چرا سزاوار یک نام خاص بود؟ چی معنی ممیز؟گذشته از همه اینها -ب،یا 2aدر این فرمول آنها به طور خاص به آن چیزی نمی گویند ... حروف و حروف.
موضوع اینجاست. هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، ممکن است فقط سه مورد
1. ممیز مثبت است.این بدان معنی است که ریشه را می توان از آن استخراج کرد. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا ضعیف، سوال دیگری است. مهم این است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت
2. ممیز صفر است.سپس شما یک راه حل خواهید داشت. از آنجایی که با جمع یا تفریق صفر در صورت، چیزی تغییر نمی کند. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان. اما، در یک نسخه ساده شده، مرسوم است که در مورد آن صحبت شود یک راه حل
3. ممیز منفی است.جذر یک عدد منفی را نمی توان گرفت. بسیار خوب. این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.
صادقانه بگویم، وقتی راه حل سادهمعادلات درجه دوم، مفهوم تمایز به ویژه مورد نیاز نیست. مقادیر ضرایب را جایگزین فرمول می کنیم و شمارش می کنیم. همه چیز آنجا به خودی خود اتفاق می افتد، دو ریشه، یکی و هیچ. با این حال، هنگام حل بیشتر کارهای دشوار، بدون دانش معنی و فرمول ممیزکافی نیست. به خصوص در معادلات با پارامترها. چنین معادلاتی هستند ایروباتیکبرای آزمون دولتی و آزمون دولتی یکپارچه!)
بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردی یا یاد گرفتید، که بد نیست.) می دانید که چگونه به درستی تعیین کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه؟ با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار آیا آن را فهمیدی کلمه کلیدیاینجا - با دقت؟
اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که تعداد خطاها را به طور چشمگیری کاهش می دهد. همان هایی که ناشی از بی توجهی است... که بعداً دردناک و توهین آمیز می شود...
اولین قرار
. قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبل نباشید و آن را به شکل استاندارد بیاورید. این یعنی چی؟
بیایید بگوییم که پس از همه تبدیل ها، معادله زیر را به دست می آورید:
برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:
و باز هم عجله نکنید! یک منهای جلوی یک مربع X می تواند واقعا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:
اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را یادداشت کنید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید. خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.
دومین پذیرایی. ریشه ها را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نترس همه چیز رو توضیح میدم! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها همانی که برای نوشتن فرمول ریشه استفاده کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. نتیجه باید یک عضو رایگان باشد، یعنی. در مورد ما -2. لطفا توجه داشته باشید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید
اگر کار کرد، باید ریشه ها را اضافه کنید. آخرین و آخرین بررسی. ضریب باید باشد ببا مقابل
آشنا در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب بکه قبل از X است برابر با 1- است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف که این فقط برای نمونه هایی که x مجذور خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! همه اشتباهات کمتراراده.
پذیرایی سوم . اگر معادله شما دارد شانس کسری، - از کسری خلاص شوید! معادله را در ضرب کنید مخرج مشترک، همانطور که در درس "چگونه معادلات را حل کنیم؟ تبدیلات یکسان." هنگام کار با کسرها، به دلایلی خطاها همچنان به وجود می آیند...
اتفاقا من قول دادم مثال شیطانی را با یک سری موارد منفی ساده کنم. لطفا! او اینجا است.
برای اینکه با منفی ها اشتباه نگیریم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:
همین! حل کردن یک لذت است!
بنابراین، اجازه دهید موضوع را خلاصه کنیم.
1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و آن را می سازیم درست.
2. اگر جلوی مجذور X ضریب منفی باشد، با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.
3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.
4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، با استفاده از قضیه Vieta می توان جواب را به راحتی تأیید کرد. انجام دهید!
حالا می توانیم تصمیم بگیریم.)
حل معادلات:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)
پاسخ ها (به هم ریخته):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1.2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0.5
x - هر عدد
x 1 = -3
x 2 = 3
بدون راه حل
x 1 = 0.25
x 2 = 0.5
آیا همه چیز مناسب است؟ عالی! معادلات درجه دوم سردرد شما نیستند. سه مورد اول کار کردند، اما بقیه کار نکردند؟ پس مشکل از معادلات درجه دوم نیست. مشکل در تبدیل معادلات یکسان است. به لینک نگاه کنید مفید است
آیا کاملا کار نمی کند؟ یا اصلا درست نمیشه؟ سپس بخش 555 به شما کمک می کند که همه این مثال ها در آنجا تفکیک شوند. نشان داده شده اصلیاشتباهات در راه حل البته در مورد کاربرد هم صحبت می کند تحولات هویتیدر تصمیم گیری معادلات مختلف. کمک زیادی می کند!
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
