یک سیستم معادلات را با استفاده از روش تعیین حل کنید. تعیین کننده ماتریس اصلی را پیدا کنید. تجزیه دترمینانت به عناصر یک سطر یا ستون

یک سیستم N خطی معادلات جبری(SLAE) با مجهولاتی که ضرایب آن عناصر ماتریس و عبارات آزاد اعداد هستند.

اولین شاخص در کنار ضرایب نشان می دهد که ضریب در کدام معادله قرار دارد و دومی - در کدام یک از مجهولات یافت می شود.

اگر دترمینان ماتریس صفر نباشد

سپس سیستم معادلات جبری خطی دارد تنها تصمیم.

راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی، مجموعه ای منظم از اعداد است که هر یک از معادلات سیستم را به یک برابری صحیح تبدیل می کند.

اگر ضلع سمت راست تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد، سیستم معادلات همگن نامیده می شود. در صورتی که برخی از آنها با صفر متفاوت باشند - ناهمگن

اگر سیستم معادلات جبری خطی حداقل یک راه حل داشته باشد، آن را ثابت می نامند در غیر این صورت- ناسازگار

اگر راه حل برای سیستم منحصر به فرد است، پس سیستم معادلات خطیقطعی نامیده می شود. در مواردی که راه حل یک سیستم مشترک منحصر به فرد نباشد، سیستم معادلات نامعین نامیده می شود.

دو سیستم معادلات خطی معادل (یا معادل) نامیده می شوند اگر همه راه حل های یک سیستم راه حل های دوم باشند و بالعکس. ما سیستم های معادل (یا معادل) را با استفاده از تبدیل های معادل به دست می آوریم.

تبدیل های معادل SLAE ها

1) تنظیم مجدد معادلات.

2) ضرب (یا تقسیم) معادلات بر یک عدد غیر صفر.

3) اضافه کردن یک معادله دیگر به یک معادله، ضرب در یک عدد دلخواه غیر صفر.

راه حل SLAE را می توان به روش های مختلفی پیدا کرد.

روش کرامر

قضیه کرامر اگر تعیین کننده یک سیستم معادلات جبری خطی با مجهولات غیر صفر باشد، این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می شود:

- تعیین‌کننده‌ها با جایگزینی ستون هفتم با ستونی از عبارت‌های آزاد تشکیل می‌شوند.

اگر، و حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت باشد، SLAE هیچ راه حلی ندارد. اگر ، سپس SLAE راه حل های زیادی دارد. بیایید به مثال هایی با استفاده از روش کرامر نگاه کنیم.

—————————————————————

یک سیستم از سه معادله خطی با سه مجهول داده شده است. سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید

بیایید تعیین کننده ماتریس ضریب مجهولات را پیدا کنیم

از آن به بعد سیستم داده شدهمعادلات سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد. بیایید عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم:

با استفاده از فرمول های کرامر مجهولات را پیدا می کنیم

بنابراین تنها راه حل برای سیستم

یک سیستم از چهار معادله جبری خطی داده شده است. سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید.

بیایید تعیین کننده ماتریس ضریب مجهولات را پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید آن را در امتداد خط اول گسترش دهیم.

بیایید اجزای تعیین کننده را پیدا کنیم:

بیایید مقادیر یافت شده را با تعیین کننده جایگزین کنیم

تعیین کننده است، بنابراین سیستم معادلات سازگار است و یک راه حل منحصر به فرد دارد. بیایید تعیین کننده ها را با استفاده از فرمول های کرامر محاسبه کنیم:

اجازه دهید هر یک از عوامل تعیین کننده را به ستونی که در آن وجود دارد تجزیه کنیم صفرهای بیشتر.

با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می کنیم

راه حل سیستم

این مثال قابل حل است ماشین حساب ریاضی YukhymCALC. بخشی از برنامه و نتایج محاسبات در زیر نشان داده شده است.

——————————

C R A M E R A روش

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

مشاهده مواد:

(j نظرات در مورد)

که در مورد کلیقاعده برای محاسبه عوامل تعیین کننده ترتیب کاملاً دست و پا گیر است. برای تعیین مرتبه دوم و سوم وجود دارد راه های منطقیمحاسبات آنها

محاسبات تعیین کننده های مرتبه دوم

برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس مرتبه دوم، باید حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه را از حاصل ضرب عناصر قطر اصلی کم کنید:

مثال

ورزش.تعیین کننده مرتبه دوم را محاسبه کنید

راه حل.

پاسخ.

روش های محاسبه دترمینال های مرتبه سوم

قوانین زیر برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم وجود دارد.

قانون مثلث

به طور شماتیک، این قانون را می توان به صورت زیر نشان داد:

حاصل ضرب عناصر در تعیین کننده اول که با خطوط مستقیم به هم متصل شده اند با علامت مثبت گرفته می شود. به طور مشابه، برای تعیین کننده دوم، محصولات مربوطه با علامت منفی گرفته می شوند، یعنی.

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید با استفاده از روش مثلث

راه حل.

پاسخ.

حکومت ساروس

در سمت راست تعیین کننده، دو ستون اول اضافه شده و حاصل ضرب عناصر روی مورب اصلی و در مورب های موازی با آن با علامت مثبت گرفته می شود. و حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه و مورب های موازی با آن با علامت منفی:

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید با استفاده از قانون ساروس

راه حل.

پاسخ.

گسترش دترمینان بر اساس سطر یا ستون

تعیین کننده برابر با مجموعمحصولات عناصر رشته تعیین کننده توسط آنها اضافات جبری.

به طور معمول، سطر/ستونی که حاوی صفر است انتخاب می شود. سطر یا ستونی که در امتداد آن تجزیه انجام می شود با یک فلش نشان داده می شود.

مثال

ورزش.با گسترش در امتداد ردیف اول، تعیین کننده را محاسبه کنید

راه حل.

پاسخ.

این روش اجازه می دهد تا محاسبه دترمینان به محاسبه دترمینان درجه پایین تر تقلیل یابد.

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید

راه حل.بیایید آن را انجام دهیم تحولات زیربالای خطوط تعیین کننده: از خط دوم، چهار عدد اول را کم می کنیم و از خط سوم، خط اول ضرب در هفت، در نتیجه، با توجه به ویژگی های تعیین کننده، تعیین کننده ای برابر با داده شده به دست می آوریم.

تعیین کننده صفر است زیرا ردیف دوم و سوم متناسب هستند.

پاسخ.

برای محاسبه عوامل تعیین کننده مرتبه چهارمو بالاتر، یا تجزیه سطر/ستون یا کاهش به نمای مثلثییا با استفاده از قضیه لاپلاس.

تجزیه دترمینانت به عناصر یک سطر یا ستون

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید ، آن را به عناصر یک ردیف یا چند ستون تجزیه می کند.

راه حل.اجازه دهید ابتدا تبدیل‌های ابتدایی را روی ردیف‌های تعیین‌کننده انجام دهیم و تا آنجا که ممکن است در سطر یا در ستون صفر ایجاد کنیم. برای این کار ابتدا نه سوم از خط اول، پنج سوم از خط دوم و سه سوم از خط چهارم کم می کنیم، به دست می آید:

اجازه دهید تعیین کننده حاصل را به عناصر ستون اول تجزیه کنیم:

ما همچنین تعیین کننده مرتبه سوم حاصل را به عناصر سطر و ستون گسترش می دهیم که قبلاً صفرها را به عنوان مثال در ستون اول به دست آورده ایم.

برای انجام این کار، دو خط دوم را از خط اول و خط دوم را از خط سوم کم کنید:

پاسخ.

اظهار نظر

تعیین کننده های آخر و ماقبل آخر را نمی توان محاسبه کرد، اما بلافاصله نتیجه می گیریم که آنها برابر با صفر هستند، زیرا دارای ردیف های متناسب هستند.

تقلیل دترمینان به شکل مثلثی

با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی روی ردیف‌ها یا ستون‌ها، دترمینان به شکل مثلثی کاهش می‌یابد و سپس مقدار آن، با توجه به ویژگی‌های تعیین‌کننده، برابر حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی می‌شود.

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید آن را به شکل مثلثی در می آورد.

راه حل.ابتدا در ستون اول زیر قطر اصلی صفر می سازیم.

4. خواص عوامل تعیین کننده. تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها.

اگر عنصر برابر با 1 باشد، انجام همه تبدیل‌ها آسان‌تر خواهد بود. برای این کار، ستون اول و دوم تعیین‌کننده را با هم عوض می‌کنیم که با توجه به ویژگی‌های تعیین‌کننده، باعث می‌شود علامت خود را به علامت تغییر دهد. مقابل:

بعد، در ستون دوم به جای عناصر زیر مورب اصلی، صفر می گیریم. مجدداً، اگر عنصر مورب برابر باشد، محاسبات ساده تر خواهد بود. برای انجام این کار، خط دوم و سوم را عوض می کنیم (و در همان زمان به آن تغییر می کنیم علامت مخالفتعیین کننده):

پاسخ.

قضیه لاپلاس

مثال

ورزش.با استفاده از قضیه لاپلاس، دترمینان را محاسبه کنید

راه حل.اجازه دهید دو ردیف را در این تعیین کننده مرتبه پنجم انتخاب کنیم - دوم و سوم، سپس به دست می آوریم (عباراتی را که برابر با صفر هستند حذف می کنیم):

پاسخ.

معادلات و نابرابری های خطی I

§ 31 مورد وقتی تعیین کننده اصلیسیستم معادلات برابر با صفر است و حداقل یکی از تعیین کننده های کمکی با صفر متفاوت است.

قضیه.اگر تعیین کننده اصلی سیستم معادلات

(1)

برابر با صفر است و حداقل یکی از تعیین کننده های کمکی با صفر متفاوت است، پس سیستم ناسازگار است.

از نظر صوری، اثبات این قضیه با تناقض دشوار نیست. فرض کنید که سیستم معادلات (1) دارای جواب ( ایکس 0 , y 0). سپس، همانطور که در پاراگراف قبل نشان داده شد،

Δ ایکس 0 = Δ ایکس , Δ y 0 = Δ y (2)

اما با توجه به شرایط Δ = 0 و حداقل یکی از عوامل تعیین کننده Δ ایکس و Δ y متفاوت از صفر بنابراین، برابری های (2) نمی توانند به طور همزمان برآورده شوند. قضیه ثابت شده است.

با این حال، به نظر جالب می‌رسد که با جزئیات بیشتری دریابیم که چرا سیستم معادلات (1) در مورد مورد بررسی ناسازگار است.

به این معنی که ضرایب مجهولات در سیستم معادلات (1) متناسب هستند. اجازه دهید، برای مثال،

آ 1 = کا 2 ، ب 1 = کیلوبایت 2 .

به این معنی است که ضرایب برای در و جمله های آزاد معادلات سیستم (1) متناسب نیستند. زیرا ب 1 = کیلوبایت 2، سپس ج 1 =/= کیلو سی 2 .

بنابراین، سیستم معادلات (1) را می توان به شکل زیر نوشت:

در این سیستم، ضرایب برای مجهولات به ترتیب متناسب است، اما ضرایب برای در (یا چه زمانی ایکس ) و شرایط آزاد متناسب نیستند. چنین سیستمی البته ناسازگار است. در واقع، اگر او راه حلی داشت ( ایکس 0 , y 0)، سپس برابری های عددی برقرار خواهند بود

ک (آ 2 ایکس 0 + ب 2 y 0) = ج 1

آ 2 ایکس 0 + ب 2 y 0 = ج 2 .

اما یکی از این برابری ها با دیگری در تضاد است: بالاخره، ج 1 =/= کیلو سی 2 .

ما فقط موردی را در نظر گرفتیم که Δ ایکس =/= 0. موردی که Δ y =/= 0."

قضیه اثبات شده را می توان به این صورت فرموله کرد.

اگر ضرایب برای مجهولات ایکسو دردر سیستم معادلات (1) متناسب هستند، اما ضرایب هر یک از این مجهولات و عبارات آزاد متناسب نیستند، پس این نظام معادلات ناسازگار است.

برای مثال، اطمینان از ناسازگاری هر یک از این سیستم‌ها آسان است:

روش کرامر برای حل سیستم های معادلات خطی

فرمول های کرامر

روش کرامر مبتنی بر استفاده از تعیین کننده ها در حل سیستم های معادلات خطی است. این به طور قابل توجهی روند حل را سرعت می بخشد.

از روش کرامر می توان برای حل یک سیستم معادلات خطی به تعداد مجهولات موجود در هر معادله استفاده کرد.

روش کرامر کاربرد برای سیستم های معادلات خطی

اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر نباشد، می توان از روش کرامر در حل استفاده کرد، اما اگر برابر با صفر باشد، نمی تواند. علاوه بر این، از روش کرامر می توان برای حل سیستم های معادلات خطی که راه حل منحصر به فردی دارند استفاده کرد.

تعریف. تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است، تعیین کننده سیستم نامیده می شود و به آن (مثلث) می گویند.

عوامل تعیین کننده

با جایگزین کردن ضرایب مجهولات مربوطه با عبارت آزاد به دست می آیند:

;

.

قضیه کرامر. اگر تعیین کننده سیستم غیر صفر باشد، سیستم معادلات خطی یک جواب منحصر به فرد دارد و مجهول برابر با نسبت دترمینال ها است. مخرج شامل تعیین کننده سیستم است و صورت شامل تعیین کننده ای است که با جایگزینی ضرایب این مجهول با عبارات آزاد از تعیین کننده سیستم به دست می آید. این قضیه برای سیستم معادلات خطی از هر مرتبه صادق است.

مثال 1.حل یک سیستم معادلات خطی:

مطابق با قضیه کرامرما داریم:

بنابراین، راه حل سیستم (2):

سه مورد هنگام حل سیستم معادلات خطی

همانطور که مشخص است از قضیه کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی، سه حالت می تواند رخ دهد:

حالت اول: یک سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد

(سیستم منسجم و قطعی است)

*

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم ثابت و نامطمئن است)

**
,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

بنابراین سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیر نامیده می شود غیر مشترک، اگر او یک راه حل واحد نداشته باشد، و مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم مشترکمعادلاتی که فقط یک جواب دارند نامیده می شود مسلم - قطعیو بیش از یک - نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر

بگذار سیستم داده شود

.

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
—

تعیین کننده سیستم با جایگزین کردن ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با عبارت‌های آزاد، تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده را به‌دست می‌آوریم:

مثال 2.

.

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی راه حل های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. روش تعیین کنندهکرامر.

اگر در یک سیستم معادلات خطی هیچ متغیری در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، آنگاه در تعیین کننده عناصر مربوطه برابر با صفر هستند! این مثال بعدی است.

مثال 3.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

.

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

با دقت به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در چه مواردی یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، راه حل سیستم (2؛ -1؛ 1) است.

برای بررسی جواب های سیستم معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از یک ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

بالای صفحه

در تست سیستم معادلات خطی شرکت کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، و تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نباشد، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. اجازه دهید با مثال زیر توضیح دهیم.

مثال 4.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

تعیین کننده سیستم برابر با صفر است، بنابراین، سیستم معادلات خطی یا ناسازگار و معین است یا ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. برای روشن شدن، ما تعیین کننده ها را برای مجهولات محاسبه می کنیم

عوامل تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نیستند، بنابراین، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد.

برای بررسی جواب های سیستم معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از یک ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

در مسائل مربوط به سیستم معادلات خطی، مواردی نیز وجود دارد که علاوه بر حروف نشان دهنده متغیرها، حروف دیگری نیز وجود دارد. این حروف نشان دهنده یک عدد است که اغلب واقعی است. در عمل، مشکلات جستجو منجر به چنین معادلات و سیستم های معادلات می شود خواص عمومیهر پدیده یا شی یعنی آیا شما اختراع کرده اید مواد جدیدیا یک دستگاه، و برای توصیف ویژگی های آن، که صرف نظر از اندازه یا تعداد یک نمونه رایج است، باید یک سیستم معادلات خطی را حل کنید، که در آن به جای برخی ضرایب برای متغیرها حروف وجود دارد. برای مثال لازم نیست خیلی دور بگردید.

مثال زیر برای یک مسئله مشابه است، فقط تعداد معادلات، متغیرها و حروفی که یک عدد واقعی را نشان می دهند افزایش می یابد.

مثال 6.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

,

,

.

و در نهایت سیستم چهار نفرهمعادلات با چهار مجهول

مثال 7.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

.

توجه! روش‌های محاسبه دترمینال‌های مرتبه چهارم در اینجا توضیح داده نخواهد شد. برای این کار به بخش مربوطه سایت بروید. اما نظرات کوچکی وجود خواهد داشت. راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یک نظر کوچک در تعیین کننده اصلی، عناصر ردیف چهارم از عناصر ردیف دوم کم شده، عناصر ردیف چهارم، ضرب در 2، از عناصر ردیف سوم کم شده و عناصر ردیف اول، ضرب در 2، از عناصر ردیف چهارم تبدیل عوامل اصلی با سه اولناشناخته طبق همان طرح تولید شدند. یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

برای تبدیل تعیین کننده برای مجهول چهارم، عناصر ردیف چهارم از عناصر ردیف اول کم شدند.

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، راه حل سیستم (1؛ 1؛ -1؛ -1) است.

برای بررسی جواب های سیستم معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از یک ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

احتمالاً کسانی که بیشترین دقت را داشتند متوجه شدند که مقاله حاوی نمونه هایی از راه حل ها نیست سیستم های نامشخصمعادلات خطی و همه به این دلیل که حل چنین سیستم هایی با استفاده از روش کرامر غیرممکن است. راه حل هایی برای چنین سیستم هایی با روش گاوس ارائه می شود.

آیا زمان برای بررسی راه حل ندارید؟ شما می توانید یک کار سفارش دهید!

بالای صفحه

در تست سیستم معادلات خطی شرکت کنید

موارد دیگر در مورد "سیستم های معادلات و نابرابری ها"

ماشین حساب - حل سیستم های معادلات آنلاین

پیاده سازی نرم افزار متد کرامر در سی پلاس پلاس

حل سیستم های معادلات خطی با روش های جایگزینی و جمع

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

شرط سازگاری برای یک سیستم معادلات خطی.

قضیه کرونکر-کاپلی

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی(ماتریس معکوس)

سیستم های نابرابری های خطیو مجموعه های محدبنکته ها

شروع مبحث جبر خطی

عوامل تعیین کننده

در این مقاله با بسیار آشنا می شویم مفهوم مهماز بخش جبر خطی، که به آن تعیین کننده می گویند.

من می خواهم بلافاصله توجه داشته باشم نکته مهم: مفهوم دترمینان فقط برای ماتریس های مربع معتبر است (تعداد سطر = تعداد ستون)، ماتریس های دیگر آن را ندارند.

تعیین کننده ماتریس مربع (تعیین کننده) - مشخصه عددی ماتریس.

تعیین عوامل تعیین کننده: |A|، det A، ∆ آ.

تعیین کنندهدستور "n" نامیده می شود جمع جبریتمام محصولات ممکن از عناصر آن که شرایط زیر را برآورده می کند:

1) هر یک از این محصولات دقیقاً حاوی "n" عناصر است (یعنی یک تعیین کننده مرتبه دوم - 2 عنصر).

2) در هر محصول یک نماینده از هر سطر و هر ستون به عنوان یک عامل وجود دارد.

3) هر دو فاکتور در هر محصول نمی تواند متعلق به یک سطر یا ستون باشد.

علامت محصول با ترتیب تناوب اعداد ستون تعیین می شود، اگر عناصر موجود در محصول به ترتیب صعودی اعداد ردیف مرتب شوند.

بیایید چندین مثال برای یافتن تعیین کننده یک ماتریس در نظر بگیریم:

برای یک ماتریس مرتبه اول (یعنی

معادلات خطی حل سیستم معادلات خطی. روش کرامر

فقط 1 عنصر وجود دارد)، تعیین کننده برابر با این عنصر است:

2. یک ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید:

3. یک ماتریس مربع مرتبه سوم (3×3) را در نظر بگیرید:

4. حال بیایید به مثال هایی با اعداد واقعی:

قانون مثلث

قانون مثلث روشی برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس است که شامل یافتن آن بر اساس طرح زیر است:

همانطور که قبلاً فهمیدید ، این روش به دلیل این واقعیت است که عناصر ضرب شده ماتریس مثلث های عجیب و غریب را تشکیل می دهند ، قانون مثلث نامیده می شود.

برای درک بهتر این موضوع، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم:

حالا بیایید به محاسبه تعیین کننده یک ماتریس با اعداد واقعی با استفاده از قانون مثلث نگاه کنیم:

برای ادغام مطالبی که پوشش داده ایم، بیایید مثال عملی دیگری را حل کنیم:

خواص عوامل تعیین کننده:

1. اگر عناصر یک سطر یا ستون برابر با صفر باشد، دترمینان برابر با صفر است.

2. در صورت تعویض هر 2 سطر یا ستون، تعیین کننده علامت تغییر خواهد کرد. بیایید با یک مثال کوچک به این موضوع نگاه کنیم:

3. تعیین کننده یک ماتریس جابجا شده برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی.

4. اگر عناصر یک ردیف با عناصر مربوط به سطر دیگر (برای ستون ها نیز) برابر باشد، تعیین کننده برابر با صفر است. ساده ترین مثال از این خاصیت تعیین کننده ها عبارتند از:

5. اگر 2 سطر آن متناسب باشند (همچنین برای ستون ها) تعیین کننده برابر با صفر است. مثال (خطوط 1 و 2 متناسب هستند):

6. ضریب مشترک یک ردیف (ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

7) اگر عناصر متناظر یک سطر دیگر (ستون) به عناصر یک سطر (ستون)، ضرب در همان مقدار اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم:

متمم جزئی و جبری

جمع و تفریق ماتریس ها با مثال

اقدامات با ماتریس

مفهوم "ماتریس"

بازدید: 57258

تعیین کننده (معروف به دترمینان) فقط در ماتریس های مربع یافت می شود. تعیین کننده چیزی نیست جز مقداری که تمام عناصر ماتریس را با هم ترکیب می کند که هنگام جابجایی سطرها یا ستون ها حفظ می شود. می توان آن را به صورت det(A)، |A|، Δ(A)، Δ نشان داد، که در آن A می تواند یک ماتریس یا یک حرف نشان دهنده آن باشد. شما می توانید آن را با استفاده از روش های مختلف پیدا کنید:

تمام روش‌های پیشنهادی فوق بر روی ماتریس‌های اندازه سه و بالاتر تجزیه و تحلیل خواهند شد. تعیین کننده یک ماتریس دو بعدی با استفاده از سه پایه پیدا می شود عملیات ریاضیبنابراین، یافتن تعیین کننده یک ماتریس دو بعدی در هیچ یک از روش ها گنجانده نخواهد شد. خوب، به جز به عنوان یک افزودنی، اما در ادامه بیشتر در مورد آن.

بیایید تعیین کننده یک ماتریس 2x2 را پیدا کنیم:

برای اینکه تعیین کننده ماتریس خود را پیدا کنیم، باید حاصل ضرب اعداد یک مورب را از دیگری کم کنیم، یعنی:

نمونه هایی از یافتن تعیین کننده ماتریس های مرتبه دوم

تجزیه سطر/ستون

هر سطر یا ستونی را در ماتریس انتخاب کنید. هر عدد در خط انتخاب شده در (-1) i+j ضرب می شود که (i,j تعداد سطر، ستون آن عدد است) و با تعیین کننده مرتبه دوم که از عناصر باقی مانده پس از خط زدن تشکیل شده است ضرب می شود. ردیف i و ستون j. بیایید به ماتریس نگاه کنیم

1. یک سطر/ستون را انتخاب کنید

مثلاً خط دوم را در نظر بگیریم.

توجه داشته باشید: اگر به صراحت بیان نشده است که از کدام خط برای یافتن تعیین کننده استفاده کنید، خطی را انتخاب کنید که صفر دارد. محاسبات کمتری خواهد بود.

1. بیایید بیان کنیم

تعیین اینکه علامت یک عدد هر بار تغییر می کند دشوار نیست. بنابراین به جای واحدها می توانید از جدول زیر استفاده کنید:

1. بیایید علامت اعداد خود را تغییر دهیم

1. بیایید تعیین کننده های ماتریس های خود را پیدا کنیم

1. بیایید همه را بشماریم

راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:

نمونه هایی از یافتن تعیین کننده با بسط سطر/ستون:

روش کاهش به شکل مثلثی (با استفاده از تبدیل های ابتدایی)

تعیین کننده با کاهش ماتریس به شکل مثلثی (مرحله ای) و ضرب عناصر در مورب اصلی پیدا می شود.

ماتریس مثلثی ماتریسی است که عناصر آن در یک طرف مورب برابر با صفر است.

هنگام ساخت ماتریس، باید سه قانون ساده را به خاطر بسپارید:

1. هر بار که ردیف ها با هم عوض می شوند، علامت تعیین کننده به علامت مقابل تغییر می کند.
2. هنگام ضرب/تقسیم یک رشته در not عدد صفر، باید تقسیم شود (اگر ضرب شود) / ضرب شود (اگر تقسیم شود) بر آن یا این عمل با تعیین کننده حاصل انجام شود.
3. هنگامی که یک رشته ضرب شده در یک عدد به رشته دیگر اضافه می شود، تعیین کننده تغییر نمی کند (رشته ضرب شده مقدار اصلی خود را می گیرد).

بیایید سعی کنیم صفرها را در ستون اول و سپس در ستون دوم بدست آوریم.

بیایید نگاهی به ماتریس خود بیندازیم:

سووو برای لذت بخش تر کردن محاسبات، می خواهم بیشترین مقدار را داشته باشم شماره بستندر بالا. شما می توانید آن را ترک کنید، اما این کار را نکنید. خوب، ما یک دو در خط دوم داریم و یک چهار در خط اول.

بیایید این دو خط را با هم عوض کنیم.

ما خطوط را عوض کردیم، حالا یا باید علامت یک خط را تغییر دهیم یا در آخر علامت تعیین کننده را تغییر دهیم.

عوامل تعیین کننده محاسبه عوامل تعیین کننده (صفحه 2)

ما بعداً این کار را انجام خواهیم داد.

حالا برای به دست آوردن صفر در خط اول، خط اول را در 2 ضرب کنید.

بیایید خط 1 را از خط دوم کم کنیم.

طبق قانون سوم خود، رشته اصلی را به موقعیت اولیه خود برمی گردانیم.

حالا بیایید در خط 3 یک صفر بسازیم. می‌توانیم خط اول را در 1.5 ضرب کنیم و از سوم کم کنیم، اما کار با کسرها لذت کمی به همراه دارد. بنابراین، بیایید عددی را پیدا کنیم که هر دو خط را می توان به آن کاهش داد - این 6 است.

خط 3 را در 2 ضرب کنید.

حالا بیایید سطر 1 را در 3 ضرب کنیم و از 3 کم کنیم.

بیایید ردیف 1 خود را برگردانیم.

فراموش نکنید که ما خط 3 را در 2 ضرب کردیم، پس تعیین کننده را بر 2 تقسیم می کنیم.

یک ستون وجود دارد. حالا برای به دست آوردن صفر در دوم - خط 1 را فراموش کنید - با خط 2 کار می کنیم. خط دوم را در -3 ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید.

فراموش نکنید که خط دوم را برگردانید.

بنابراین ما یک ماتریس مثلثی ساخته ایم. چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ تنها چیزی که باقی می ماند این است که اعداد روی مورب اصلی را ضرب کنیم، کاری که ما انجام خواهیم داد.

خوب، باید به یاد داشته باشیم که باید تعیین کننده خود را بر 2 تقسیم کنیم و علامت را تغییر دهیم.

قانون ساروس (قاعده مثلث ها)

قانون ساروس فقط برای ماتریس های مربع مرتبه سوم اعمال می شود.

تعیین کننده با جمع دو ستون اول در سمت راست ماتریس، ضرب عناصر قطرهای ماتریس و جمع آنها و کم کردن مجموع محاسبه می شود. مورب های مخالف. بنفش ها را از قطرهای نارنجی کم کنید.

قانون مثلث ها یکسان است، فقط تصویر متفاوت است.

قضیه لاپلاس را ببینید تجزیه سطر/ستون

سیستمی از m معادلات خطی با n مجهولسیستم فرم نامیده می شود

جایی که یک ijو b i (من=1,…,متر; ب=1,…,n) تعدادی اعداد شناخته شده هستند و x 1، …، x n- ناشناخته. در تعیین ضرایب یک ijشاخص اول مننشان دهنده عدد معادله و دومی است j- تعداد مجهولی که این ضریب در آن قرار دارد.

ضرایب مجهولات را به صورت ماتریس می نویسیم ، که با آن تماس خواهیم گرفت ماتریس سیستم.

اعداد سمت راست معادلات هستند b 1,…,b mنامیده می شوند اعضای رایگان

کلیت nشماره c 1,…,c nتماس گرفت تصمیم گیریاز یک سیستم معین، اگر هر معادله سیستم پس از جایگزینی اعداد به یک برابری تبدیل شود c 1,…,c nبه جای مجهولات مربوطه x 1، …، x n.

وظیفه ما یافتن راه حل برای سیستم خواهد بود. در این حالت سه حالت ممکن است پیش بیاید:

سیستم معادلات خطی که حداقل یک جواب داشته باشد نامیده می شود مفصل. در غیر این صورت، یعنی اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود غیر مشترک.

بیایید راه هایی را برای یافتن راه حل های سیستم در نظر بگیریم.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی

ماتریس ها امکان نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی را فراهم می کنند. اجازه دهید یک سیستم از 3 معادله با سه مجهول داده شود:

ماتریس سیستم را در نظر بگیرید و ستون‌های اصطلاحات مجهول و مجهول را ماتریس می‌کند

بیا کار رو پیدا کنیم

آن ها در نتیجه حاصل ضرب، سمت چپ معادلات این سیستم را بدست می آوریم. سپس با استفاده از تعریف برابری ماتریس این سیستمرا می توان در قالب نوشت

یا کوتاهتر آ∙X=B.

در اینجا ماتریس ها وجود دارد آو بشناخته شده اند، و ماتریس ایکسناشناخته. پیدا کردن آن ضروری است، زیرا ... عناصر آن راه حل این سیستم هستند. این معادله نامیده می شود معادله ماتریسی.

بگذارید تعیین کننده ماتریس با صفر | متفاوت باشد آ| ≠ 0. سپس معادله ماتریس به صورت زیر حل می شود. دو طرف معادله سمت چپ را در ماتریس ضرب کنید الف-1، معکوس ماتریس آ: . زیرا A -1 A = Eو E∙X = X، سپس راه حل را دریافت می کنیم معادله ماتریسیمانند X = A -1 B .

توجه داشته باشید که از آنجایی که ماتریس معکوس را فقط برای ماتریس های مربع می توان یافت، روش ماتریس فقط می تواند سیستم هایی را حل کند که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق است. با این حال، ثبت ماتریسی سیستم نیز در صورتی امکان پذیر است که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر نباشد، ماتریس آمربع نخواهد بود و بنابراین یافتن راه حلی برای سیستم در قالب غیرممکن است X = A -1 B.

مثال ها.حل سیستم معادلات

قانون کرامر

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

تعیین کننده مرتبه سوم مربوط به ماتریس سیستم، یعنی. متشکل از ضرایب برای مجهولات،

تماس گرفت تعیین کننده سیستم.

بیایید سه تعیین کننده دیگر را به صورت زیر بسازیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از عبارت های آزاد جایگزین کنید.

اونوقت میتونیم ثابت کنیم نتیجه بعدی.

قضیه (قاعده کرامر).اگر تعیین کننده سیستم Δ≠ 0 باشد، آنگاه سیستم مورد بررسی یک و تنها یک راه حل دارد و

اثبات. بنابراین، بیایید یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیریم. بیایید معادله 1 سیستم را در متمم جبری ضرب کنیم یک 11عنصر یک 11، معادله 2 - روشن A 21و 3 - در A 31:

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:

بیایید به هر یک از براکت ها و سمت راستاین معادله با قضیه بسط دترمینان در عناصر ستون 1

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، به راحتی می توان متوجه آن شد

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: .

از این رو، .

برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند که بیان قضیه از آنها حاصل می شود.

بنابراین، توجه می کنیم که اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و بالعکس. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، آنگاه سیستم دارای یکی است مجموعه بی نهایتراه حل دارد، یا راه حلی ندارد، یعنی. ناسازگار

مثال ها.حل سیستم معادلات

روش گاوس

روش‌هایی که قبلاً بحث شد را می‌توان برای حل آن دسته از سیستم‌هایی استفاده کرد که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق است و تعیین کننده سیستم باید با صفر متفاوت باشد. روش گاوس جهانی تر است و برای سیستم هایی با هر تعداد معادله مناسب است. این شامل حذف مداوم مجهولات از معادلات سیستم است.

دوباره سیستم از را در نظر بگیرید سه معادلهبا سه مجهول:

.

معادله اول را بدون تغییر می گذاریم و از 2 و 3 عبارات حاوی x 1. برای انجام این کار، معادله دوم را تقسیم بر آ 21 و ضرب در - آ 11 و سپس آن را به معادله 1 اضافه کنید. به همین ترتیب، معادله سوم را بر تقسیم می کنیم آ 31 و ضرب در – آ 11 و سپس آن را با اولی اضافه کنید. در نتیجه، سیستم اصلی به شکل زیر خواهد بود:

حال از آخرین معادله عبارت حاوی را حذف می کنیم x 2. برای انجام این کار، معادله سوم را بر تقسیم کرده، در آن ضرب کرده و با دومی جمع کنید. سپس یک سیستم معادلات خواهیم داشت:

از اینجا، از آخرین معادله پیدا کردن آن آسان است x 3، سپس از معادله 2 x 2و در نهایت، از 1 - x 1.

هنگام استفاده از روش گاوسی، در صورت لزوم می توان معادلات را تعویض کرد.

اغلب به جای نوشتن سیستم جدیدمعادلات، محدود به نوشتن ماتریس توسعه یافته سیستم هستند:

و سپس با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل مثلثی یا مورب بیاورید.

به تحولات ابتداییماتریس ها شامل تبدیل های زیر هستند:

1. تنظیم مجدد ردیف ها یا ستون ها؛
2. ضرب رشته در عددی غیر از صفر؛
3. اضافه کردن خطوط دیگر به یک خط

مثال ها:حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس.

بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

از آنجایی که برای یافتن ماتریس معکوس مهم است که آیا تعیین کننده ماتریس برابر با صفر است یا خیر، تعاریف زیر را معرفی می کنیم.

تعریف 14.9بیایید یک ماتریس مربع صدا کنیم منحطیا ماتریس ویژه، اگر غیر منحطیا ماتریس غیر منفرد، اگر .

پیشنهاد 14.21 اگر ماتریس معکوسوجود دارد، پس منحصر به فرد است.

اثبات. اجازه دهید دو ماتریس و معکوس ماتریس باشد. سپس

از این رو، .

قانون کرامر.

اجازه دهید معادله ماتریس AX = B

جایی که ؛ – تعیین کننده از تعیین کننده به دست می آید Dجایگزینی منستون امین ستون عبارت های آزاد ماتریس است ب:

اثباتقضایا به سه بخش تقسیم می شوند:

1. راه حل سیستم (1) وجود دارد و منحصر به فرد است.

2. تساوی (2) پیامد معادله ماتریس (1) است.

3. معادلات (2) مستلزم معادله ماتریسی (1) است.

از آنجا که، پس یک ماتریس معکوس منحصر به فرد وجود دارد.
با ضرب دو طرف معادله ماتریس (1) از سمت چپ در , جواب این معادله را بدست می آوریم:

منحصر به فرد بودنماتریس معکوس قسمت اول قضیه را اثبات می کند.

بیایید به سراغ اثبات برویم مکاتبات یک به یکبین فرمول های (1) و (2).

با استفاده از فرمول (4)، عبارتی برای بدست می آوریم منعنصر ام برای این کار باید ضرب کنید منردیف -امین ماتریس

در هر ستون ب.

با توجه به اینکه منردیف سوم ماتریس الحاقی از مکمل های جبری تشکیل شده است، نتیجه زیر را به دست می آوریم:

استخراج فرمول های کرامر تکمیل شد. اجازه دهید اکنون نشان دهیم که عبارات

بیایید ترتیب جمع را در سمت راست عبارت حاصل تغییر دهیم:

نماد دلتای کرونکر کجاست.

با توجه به اینکه نماد دلتا جمع یکی از شاخص ها را حذف می کند، نتیجه لازم را به دست می آوریم:

اعداد مختلط: ایده این است که اشیاء جدید را با استفاده از موارد شناخته شده تعریف کنیم. اعداد واقعی روی یک خط قرار دارند. هنگام عبور از هواپیما اعداد مختلط را بدست می آوریم. تعریف: یک عدد مختلط یک جفت اعداد حقیقی z = (a,b) است. عدد a = Re z را جزء حقیقی و b = Im z می نامند قسمت خیالیعدد مختلط z.

عملیات در اعداد مختلط: اعداد مختلط z1 z2 برابر است با Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. اضافه شدن: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. عدد (0,0) با 0 نشان داده می شود. این یک عنصر خنثی است. تأیید می شود که جمع اعداد مختلط دارای خواصی شبیه به جمع اعداد حقیقی است. (1. Z1 + z2 = z2 + z1 - جابه‌جایی؛ 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 - تداعی‌گرایی؛ 3. Z1 + 0 = z1 - وجود یک صفر (عنصر خنثی)؛ 4 z + (−z) = 0 - وجود عنصر مقابل). ضرب: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. اگر Imz = 0 باشد، عدد مختلط z روی محور واقعی قرار دارد. نتایج عملیات روی چنین اعدادی با نتایج عملیات روی اعداد واقعی معمولی منطبق است. ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های بسته بودن، جابجایی و ارتباط است. عدد (1,0) با 1 نشان داده می شود. اگر a∈ R، z ∈C، آنگاه Re(az) = aRe z، Im(az) = a Imz است. تعریفعدد (0،1) با نشان داده می شود منو نامیده می شود واحد خیالی. با استفاده از این نماد، نمایشی از یک عدد مختلط در به دست می آوریم فرم جبری: z = a + ib، a،b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 +b 2 >0 (a+ib)(a-ib/a 2 +b 2)=1 مزدوجبه z اگر Re = Re z ; من هستم =- من z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2مدول عدد z نامیده می شود عدد واقعی| z |= . فرمول صحیح است| z| 2 = z از تعریف به دست می آید که z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|ز| 2 (1)

فرم مثلثاتیعدد مختلط: a=r cos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) آرگومان t یک عدد مختلط. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2пk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1)، Z2=r2(cos(t2)+isin(t2))، Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( 1)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

تعریف:یک ریشه درجه n وحدت راه حلی برای معادله z n = 1 گزاره است. n وجود دارد ریشه های مختلفدرجه n وحدت آنها به صورت z = cos (2 π k / n) + isin (2 π k / n)، k = 0،...، n -1 نوشته می شوند. قضیه.در مجموعه اعداد مختلط، معادله همیشه n راه حل دارد.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-اعداد صحیح. K متعلق به Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n = 1; E n+p = E p. بنابراین، ثابت می شود که راه حل های معادله رئوس هستند n-gon معمولیو یکی از رئوس با 1 منطبق است.

ریشه n ام z 0. Z k =Z 0 ; Z 0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 =r 0 (cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Z n =r n (cos(nt)+isin(nt))

r n =r 0، nt-t 0 =2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n) )=Z 1 E k ;

ماتریس ها تعریف:ماتریسی به اندازه m × n نامیده می شود میز مستطیلی، حاوی m ردیف و n ستون که عناصر آن اعداد حقیقی یا مختلط هستند. عناصر ماتریس دارای اندیس های دوگانه هستند.

اگر m = n، آنگاه ماتریس مربعی از مرتبه m است و عناصر با شاخص های یکسان، قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند.

عملیات ماتریس: تعریف:دو ماتریس های A,Bنامیده می شوند

اگر اندازه آنها منطبق باشد و A = B، 1≤ i ≤ m، 1≤ j ≤ n برابر باشد

اضافه شدنماتریس های هم اندازه در نظر گرفته می شوند. تعریف:C = A + B ⇔ C = A + B، ∀i، j پیشنهاد. جمع ماتریس جابجایی، انجمنی است، یک عنصر خنثی و برای هر ماتریس یک عنصر مخالف وجود دارد.

عنصر خنثی ماتریس صفر است که همه عناصر آن برابر با 0 هستند. با Θ نشان داده می شود.

ضرب. m × n ماتریس A با Amn نشان داده می شود . تعریف: C mk =A mn B nk ó

C=توجه داشته باشید که به طور کلی ضرب تعویضی نیست. بستن برای یک ماتریس مربع با اندازه ثابت معتبر است. بگذارید سه ماتریس Amn، Bnk، Ckr داده شود. سپس (AB)C = A(BC). اگر حاصل ضرب 3 ماتریس وجود داشته باشد، آنگاه تداعی کننده است.

نماد کرونکر δij. اگر شاخص ها یکسان باشند برابر با 1 و در غیر این صورت 0 است. تعریف. ماتریس هویت I n یک ماتریس مربع از مرتبه n است که برابری های آن n I n [ i | j] = δ ij پیشنهاد.برابری های زیر درست است: I m A mn =A mn I n =A mn

جمع و ضرب ماتریس ها با قوانین توزیع مرتبط است. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC؛(A(B+C)= = = +

جابجایی ماتریسماتریس جابه‌جایی، ماتریسی است که با جایگزین کردن سطرها با ستون‌ها، از ماتریس اصلی به دست می‌آید.

(A+B) T =A T +B T

(AB) T =B T A T;(AB) T =(AB)= = (B T A T)

ضرب یک ماتریس در یک عددحاصل ضرب عدد a و ماتریس A mn ماتریس جدید B=aA نامیده می شود

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

فضای خطی(L) روی یک میدان F مجموعه ای از بردارها است L=(α،β..)

1.α+β=β+α(تقویت پذیری) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ، (ab)α=a(bα)(تعاون پذیری) 3.α+θ=α، α∙1=α(وجود خنثی) 4.α+(-α)=θ (وجود مخالف)

a(α+β)=aα+aβ، (a+b)α=aα+bα. سند (|(a+b)α|=|a+b||α|، |aα|=|a||α|،|bα|=|b||α|، a و b>0، |a +b|=a+b،|a|=a،|b|=b.) aα+(-a)α=θ، (a+0)α=aα

نمونه ای از فضای خطی مجموعه ای از ماتریس های با اندازه ثابت با عملیات جمع و ضرب در یک عدد است.

سیستم بردارهای خطیتماس گرفت وابسته به خط, اگر 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ اگر سیستم به صورت خطی وابسته نباشد، آنگاه به صورت خطی مستقل است. 1 را در نظر بگیرید. n=1 α 1 بستگی دارد. a 1 ≠0، a 1 α 1 =θ، a 1 -1 (a 1 α 1) = a 1 -1∙ θ=θ، (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 , α 2 بستگی دارد. a 1 ≠0 ,a 1 α 1 +a 2 α 2 =θ , α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 =b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n بستگی دارد. a 1 ≠0، α 1 =Σ k = 2 n b k α k، 1α 1 - Σ k = 2 n b k α k =θ، (1،b 2 ..b n)≠0

پیشنهاد: سیستمی از بردارهای حاوی بیش از 1 بردار به صورت خطی وابسته است، سپس برخی از بردارهای سیستم ترکیب خطیبقیه

اگر سیستمی از بردارها دارای یک زیرسیستم وابسته خطی باشد، کل سیستم به صورت خطی وابسته است.سند: (α 1 .. α n وابسته. سیستم: α ​​1 .. α n ; α n + 1 .. α m , a 1 α 1 +.. + a n α n + 0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) اگر سیستم دارای بردار صفر باشد، به صورت خطی وابسته است. قضیه فضاهای خطی: (بگذارید 2 سیستم از بردارهای α 1 ..α m , β 1 ..β n داده شود. اگر هر بردار α ترکیبی خطی باشد β α i = Σ k = 1 n a ik، سیستم بردارهای α از طریق β بیان می شود. β k، (α) ((β)، (β) ((γ)→ (α) ((γ)) قضیه:با توجه به 2 سیستم از بردارها، و α مستقل است و، (α) ((β)→m≤n اجازه دهید ثابت کنیم که α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ((β)→ α)وابسته (بیایید آن را با استقرا ثابت کنیم. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1 . a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 . = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ α 1 = a 11 β 1 + .. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn. -1 β n - 1 اگر همه ضرایب =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ کل سیستم به صورت خطی وابسته است a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 –с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 ، c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 ، α 3 ′= α 3 –с. 3 α 1 .. α n ′= α n –с n α 1. با استقرا قبلی مجموعه ای غیر صفر از اعداد d 2 ..d n وجود دارد: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( β)، m>n →(α) بستگی دارد اگر (α) مستقل → m≤n)

MLNP-max.lin.independent.subsystem. اجازه دهید سیستمی از بردارهای α 1 ..α n برخی از زیرسیستم ها داده شود. α i 1 ..α در MLNP نامیده می شود اگر 1. α 1 ..α n مستقل باشد.2. α i 1 ..α ir، α ij وابسته است. هر بردار سیستم ترکیبی خطی از بردارهای MLNP است. (α i 1 ..α ir، α ij بستگی دارد. a i 1 α i 1 +.. a ir α ir + a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir, a ij ≠0 اگر a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 تناقض a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

نتیجه: هر 2 MLNP از یک سیستم برداری حاوی همان شمارهبردارها (α i 1 .. α ir) ( (α j 1 .. α jk) ، (α j 1 .. α jk) ( (α i 1 .. α ir) k≤r، r≤k →r= k تعداد بردارهای MLNP نامیده می شود رتبهسیستم اصلی در مورد فضای خطی (سیستمی از بردارها از تمام بردارهای موجود در فضا تشکیل شده است)، MLNP mb متناهی یا نامتناهی است. بیایید مورد نهایی را در نظر بگیریم. تعداد بردارها (رتبه) بعد فضای خطی است. پایه MLNP. فضای بخش های هدایت شده.دو بردار غیر خطیآرایش پایهدر فضای بردارها در هواپیما. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 بردار وابسته خطی α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . همسطح بودن - 3 بردار موازی با یک صفحه هستند α 4 = α 4 '+ α 5 '، α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2، α 5 ′= a 3 α 3، α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . فضای رشته ها به طول n. α= پیشنهاد:فضای رشته هایی به طول n دارای بعد n است. (ξ 1 =<1…0>ξ 2 =<0,1…0>.. ξ n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n = 0 (استقلال خطی) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →فضای رشته هایی با طول n دارای بعد n است.

رتبه ماتریسی

اگر هر یک از بردارها دو سیستم از بردارهای α و β معادل باشند

α(β(بیان شده) و β(α.

پیشنهاد.رتبه سیستم های معادل منطبق است.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLNP α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLNP β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

α و β را عوض کنید → r>=k >>> پس r=k.

تعریف. اجازه دهید ماتریس A=

α i =

رتبه ماتریسیو رتبه سیستم بردارهای α1, α2,…, αm که از این ماتریس تشکیل شده است >>rank(A)-rank نامیده می شود.

از تعریف واضح است که وقتی ستون ها دوباره مرتب می شوند، رتبه تغییر نمی کند. اجازه دهید نشان دهیم که وقتی ستون ها دوباره مرتب می شوند، رتبه نیز تغییر نمی کند.

A'=

α'i=

وابسته خطی:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ، b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0، b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

1.1. سیستم های دو معادله خطی و دترمینال های مرتبه دوم

سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول را در نظر بگیرید:

شانس با مجهولات و دو شاخص دارند: اولی عدد معادله را نشان می دهد و دومی عدد متغیر را نشان می دهد.

قانون کرامر: راه حل سیستم با تقسیم تعیین کننده های کمکی بر تعیین کننده اصلی سیستم پیدا می شود.

,

یادداشت 1.استفاده از قانون کرامر در صورتی امکان پذیر است که تعیین کننده سیستم باشد برابر با صفر نیست

تبصره 2.فرمول های کرامر به سیستم های درجه بالاتر تعمیم داده می شوند.

مثال 1.حل سیستم:
.

راه حل.

;
;

;

معاینه:

نتیجه:سیستم به درستی حل شده است:
.

1.2. سیستم های سه معادله خطی و تعیین کننده های مرتبه سوم

سیستمی متشکل از سه معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است نامیده می شود تعیین کننده سیستم یا تعیین کننده اصلی:

.

اگر
سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با فرمول های کرامر تعیین می شود:

عوامل تعیین کننده کجا هستند
– کمکی نامیده می شوند و از تعیین کننده به دست می آیند با جایگزینی ستون اول، دوم یا سوم آن با ستونی از اعضای آزاد سیستم.

مثال 2.سیستم را حل کنید
.

بیایید عوامل اصلی و کمکی را تشکیل دهیم:

باقی مانده است که قوانین محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم را در نظر بگیریم. سه مورد از آنها وجود دارد: قانون اضافه کردن ستون ها، قانون ساروس، قانون تجزیه.

الف) قانون اضافه کردن دو ستون اول به تعیین کننده اصلی:

محاسبه به شرح زیر انجام می شود: محصولات عناصر مورب اصلی و موازی های آن با علامت مخالف آنها همراه است، محصولات عناصر مورب ثانویه و موازی های آن گرفته می شود.

ب) قانون ساروس:

آنها با علامت خود محصولات عناصر مورب اصلی و در امتداد موازی با آن را می گیرند و عنصر سوم مفقود از گوشه مقابل گرفته می شود. با علامت مخالف، حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه و موازی با آن گرفته می شود، عنصر سوم از گوشه مقابل گرفته می شود.

ج) قانون تجزیه توسط عناصر یک سطر یا ستون:

اگر
، سپس .

متمم جبرییک تعیین کننده مرتبه پایین تر است که با خط زدن سطر و ستون مربوطه و در نظر گرفتن علامت به دست می آید
، جایی که - شماره خط، - شماره ستون

مثلا،

,
,
و غیره.

با استفاده از این قانون، تعیین کننده های کمکی را محاسبه می کنیم و ، آنها را با توجه به عناصر ردیف اول گسترش دهید.

با محاسبه تمام عوامل تعیین کننده، متغیرها را با استفاده از قانون کرامر پیدا می کنیم:

معاینه:

نتیجه:سیستم به درستی حل شده است: .

ویژگی های اساسی عوامل تعیین کننده

باید به خاطر داشت که تعیین کننده است عدد، طبق برخی قوانین یافت می شود. محاسبه آن را می توان ساده کرد اگر از ویژگی های اساسی استفاده کنیم که برای تعیین کننده های هر مرتبه معتبر هستند.

ملک 1. اگر تمام سطرهای آن با ستون های متناظر از نظر تعداد و بالعکس جایگزین شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

عملیات جایگزینی سطرها با ستون ها را جابجایی می گویند. از این ویژگی نتیجه می شود که هر عبارتی که برای ردیف های تعیین کننده صادق باشد برای ستون های آن نیز صادق خواهد بود.

ملک 2. اگر دو ردیف (ستون) در تعیین کننده با هم عوض شوند، علامت دترمینان به عکس تغییر می کند.

ملک 3. اگر همه عناصر هر سطر از یک دترمینان برابر با 0 باشند، دترمینان برابر با 0 است.

ملک 4. اگر عناصر رشته تعیین کننده در تعدادی ضرب (تقسیم) شوند ، سپس مقدار تعیین کننده افزایش (کاهش) خواهد داشت یک بار.

اگر عناصر یک ردیف دارای یک عامل مشترک باشند، می توان آن را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

ملک 5. اگر یک تعیین کننده دو ردیف یکسان یا متناسب داشته باشد، چنین تعیین کننده ای برابر با 0 است.

اموال 6. اگر عناصر هر ردیف از یک دترمینال مجموع دو جمله باشد، تعیین کننده برابر با مجموع دو عامل تعیین کننده است.

ملک 7. اگر عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر ضرب در همان عدد اضافه شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

در این تعیین کننده، ابتدا ردیف سوم به ردیف دوم اضافه شد، در 2 ضرب شد، سپس ردیف دوم از ستون سوم کم شد، پس از آن ردیف دوم به ردیف اول و سوم اضافه شد، در نتیجه مقدار زیادی به دست آوردیم. صفر و محاسبه را ساده کرد.

ابتداییتحولات تعیین کننده را ساده سازی آن از طریق استفاده از ویژگی های مشخص شده می گویند.

مثال 1.تعیین کننده را محاسبه کنید

محاسبه مستقیم طبق یکی از قوانین مورد بحث در بالا منجر به محاسبات دست و پا گیر می شود. بنابراین، استفاده از خواص زیر توصیه می شود:

الف) از خط 1، دوم را در 2 ضرب کنید.

ب) از خط II عدد سوم را در 3 ضرب کنید.

در نتیجه دریافت می کنیم:

اجازه دهید این تعیین کننده را به عناصر ستون اول بسط دهیم که فقط یک عنصر غیر صفر دارد.

.

سیستم ها و عوامل تعیین کننده مرتبه های بالاتر

سیستم معادلات خطی با مجهول ها را می توان به صورت زیر نوشت:

برای این مورد، می توان تعیین کننده های اصلی و کمکی را نیز ترکیب کرد و مجهولات را با استفاده از قانون کرامر تعیین کرد. مشکل این است که تعیین‌کننده‌های مرتبه بالاتر را فقط می‌توان با کاهش ترتیب و کاهش آنها به تعیین‌کننده‌های مرتبه سوم محاسبه کرد. این را می توان با تجزیه مستقیم به عناصر ردیف یا ستون، و همچنین با استفاده از تبدیل اولیه اولیه و تجزیه بیشتر انجام داد.

مثال 4.تعیین کننده مرتبه چهارم را محاسبه کنید

راه حلما می توانیم آن را به دو صورت پیدا کنیم:

الف) با گسترش مستقیم به عناصر ردیف اول:

ب) از طریق دگرگونی های اولیه و تجزیه بیشتر

	الف) از خط I کسر III
	ب) خط II را به IV اضافه کنید

مثال 5.تعیین کننده مرتبه پنجم را محاسبه کنید، با استفاده از ستون چهارم، صفرهای ردیف سوم را به دست آورید.

از خط اول دومی را کم می کنیم، از سومی دومی را کم می کنیم، از خط چهارم دومی را در 2 کم می کنیم.

عدد سوم را از ستون دوم کم کنید:

سوم را از خط دوم کم کنید:

مثال 6.حل سیستم:

راه حل.بیایید یک تعیین کننده از سیستم بسازیم و با استفاده از ویژگی های تعیین کننده، آن را محاسبه کنیم:

(از ردیف اول، سوم را کم می کنیم، و سپس در تعیین کننده مرتبه سوم حاصل از ستون سوم، اولین را در 2 ضرب می کنیم). تعیین کننده
بنابراین، فرمول های کرامر قابل اجرا هستند.

بیایید تعیین کننده های باقی مانده را محاسبه کنیم:

ستون چهارم در 2 ضرب شد و از بقیه کم شد

ستون چهارم از ستون اول کم شد و سپس با ضرب در 2 از ستون دوم و سوم کم شد.

.

در اینجا ما همان تبدیلات را انجام دادیم
.

.

وقتی پیدا کردی ستون اول در 2 ضرب شد و از بقیه کم شد.

طبق قانون کرامر داریم:

پس از جایگزینی مقادیر یافت شده در معادلات، ما متقاعد می شویم که راه حل سیستم صحیح است.

2. ماتریس ها و استفاده از آنها

در حل سیستم های معادلات خطی

برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر یک سطر یا ستون توسط مکمل های جبری آنها، یعنی. ، جایی که i 0 ثابت است.
عبارت (*) را بسط دترمینان D به عناصر ردیف شماره i 0 می گویند.

هدف از خدمات. این سرویس برای یافتن عامل تعیین کننده یک ماتریس به صورت آنلاین با کل فرآیند حل ثبت شده در قالب Word طراحی شده است. علاوه بر این، یک الگوی راه حل در اکسل ایجاد می شود.

دستورالعمل ها. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

بعد ماتریس 2 3 4 5 6 7 8 9 10

تعیین کننده را می توان به دو روش محاسبه کرد: اولیو توسط سطر یا ستون. اگر می خواهید با ایجاد صفر در یکی از سطرها یا ستون ها، تعیین کننده را پیدا کنید، می توانید از این ماشین حساب استفاده کنید.

الگوریتم برای یافتن تعیین کننده

1. برای ماتریس های مرتبه n=2، دترمینان با استفاده از فرمول محاسبه می شود: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. برای ماتریس های مرتبه n=3، دترمینان از طریق جمع های جبری یا محاسبه می شود روش ساروس.
3. یک ماتریس با بعد بزرگتر از سه به مکمل های جبری تجزیه می شود که تعیین کننده های آنها (مینورها) برای آنها محاسبه می شود. مثلا، تعیین کننده ماتریس مرتبه 4از طریق بسط به سطرها یا ستون ها یافت می شود (به مثال مراجعه کنید).

برای محاسبه توابع حاوی دترمینان در ماتریس، استفاده کنید روش های استاندارد. به عنوان مثال، تعیین کننده یک ماتریس مرتبه 3 را محاسبه کنید:

ما از روش تجزیه در امتداد ردیف اول استفاده می کنیم.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

روش های محاسبه عوامل تعیین کننده

یافتن تعیین کننده از طریق جمع های جبرییک روش رایج است. یک نسخه ساده شده از آن، محاسبه دترمینان توسط قانون ساروس است. با این حال، زمانی که بعد ماتریس بزرگ است، از روش های زیر استفاده می شود:

1. محاسبه دترمینانت با استفاده از روش کاهش سفارش
2. محاسبه دترمینانت با استفاده از روش گاوسی (با کاهش ماتریس به شکل مثلثی).

در اکسل، تابع =MOPRED (محدوده سلول) برای محاسبه تعیین کننده استفاده می شود.

استفاده کاربردی از عوامل تعیین کننده

تعیین کننده ها، به عنوان یک قاعده، برای یک سیستم خاص که در قالب یک ماتریس مربع مشخص شده است، محاسبه می شوند. بیایید برخی از انواع مشکلات را در نظر بگیریم پیدا کردن تعیین کننده یک ماتریس. گاهی باید پیدا کنی پارامتر ناشناخته a، که در آن تعیین کننده برابر با صفر خواهد بود. برای این کار لازم است یک معادله تعیین کننده (مثلاً با توجه به قانون مثلث) و با برابر کردن آن با 0، پارامتر a را محاسبه کنید.
تجزیه ستون (ستون اول):
جزئی برای (1،1): ردیف اول و ستون اول را از ماتریس خط بزنید.
بیایید یک عامل تعیین کننده برای این جزئی پیدا کنیم. ∆ 1.1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

بیایید مینور را برای (2،1) تعیین کنیم: برای انجام این کار، ردیف دوم و ستون اول را از ماتریس حذف می کنیم.

بیایید یک عامل تعیین کننده برای این جزئی پیدا کنیم. ∆ 2.1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. جزئی برای (3،1): سطر 3 و ستون 1 را از ماتریس خط بزنید.
بیایید یک عامل تعیین کننده برای این جزئی پیدا کنیم. ∆ 3.1 = (0 1-2 (-2)) = 4
تعیین کننده اصلی این است: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

بیایید با استفاده از بسط سطر به ردیف (با ردیف اول)، تعیین کننده را پیدا کنیم:
جزئی برای (1،1): ردیف اول و ستون اول را از ماتریس خط بزنید.

بیایید یک عامل تعیین کننده برای این جزئی پیدا کنیم. ∆ 1.1 = (2 (-2)-2 1) = -6. جزئی برای (1،2): ردیف 1 و ستون 2 را از ماتریس خط بزنید. اجازه دهید تعیین کننده را برای این جزئی محاسبه کنیم. ∆ 1.2 = (3 (-2)-1 1) = -7. و برای یافتن مینور برای (1،3)، سطر اول و ستون سوم را از ماتریس خط می زنیم. بیایید یک عامل تعیین کننده برای این جزئی پیدا کنیم. ∆ 1.3 = (3 2-1 2) = 4
تعیین کننده اصلی را پیدا کنید: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

تایپ کنید