نمایش اشکال هندسی با استفاده از اعداد مختلط. آرگومان اصلی یک عدد مختلط نمونه هایی از به تصویر کشیدن اعداد مختلط در صفحه مختصات

اعداد مختلط، نمایش آنها در یک هواپیما. عملیات جبری روی اعداد مختلط جفت شدن پیچیده مدول و آرگومان یک عدد مختلط. اشکال جبری و مثلثاتی اعداد مختلط. ریشه از اعداد مختلط. تابع نمایی استدلال پیچیده. فرمول اویلر شکل نمایی یک عدد مختلط.

هنگام مطالعه یکی از روش های اساسی یکپارچه سازی: ادغام کسرهای گویا- برای انجام اثبات های دقیق، لازم است چند جمله ای ها را در حوزه مختلط در نظر بگیرید. بنابراین، اجازه دهید ابتدا برخی از خصوصیات اعداد مختلط و عملیات روی آنها را مطالعه کنیم.

تعریف 7.1. عدد مختلط z یک جفت مرتب از اعداد حقیقی (a,b) است: z = (a,b) (اصطلاح "مرتب شده" به این معنی است که در نوشتن یک عدد مختلط ترتیب اعداد a و b مهم است: (a) ,b)≠(b,a )). در این حالت اولین عدد a فراخوانی می شود بخش واقعیعدد مختلط z و با a = Re z نشان داده می شود و عدد دوم b نامیده می شود قسمت خیالی z: b = Im z.

تعریف 7.2. دو عدد مختلط z 1 = (a 1 , b 1 ) و z 2 = (a 2 , b 2) مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که قسمت های واقعی و خیالی آنها مساوی باشد یعنی a 1 = a 2 , b 1 = ب 2.

عملیات روی اعداد مختلط

1. میزاناعداد مختلط z 1 =(a 1، b 1) و z 2 =(a 2، b 2 z =(الف، ب) به طوری که a = a 1 + a 2، b = b 1 + b 2.خواص اضافه: الف) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; ب) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; ج) عدد مختلط 0 = (0,0) وجود دارد: z + 0 =zبرای هر عدد مختلط z.

2. کاراعداد مختلط z 1 =(a 1، b 1) و z 2 =(a 2، b 2) عدد مختلط نامیده می شود z =(الف، ب) به طوری که a = a 1 a 2 – b 1 b 2، b = a 1 b 2 + a 2 b 1.خواص ضرب: الف) z 1 z 2 = z 2 z 1; ب) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3، V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

اظهار نظر. زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد مختلط مجموعه ای از اعداد واقعی است که به عنوان اعداد مختلط شکل ( آ، 0). مشاهده می شود که تعریف عملیات روی اعداد مختلط حفظ می شود قوانین شناخته شدهعملیات مربوطه روی اعداد واقعی علاوه بر این، عدد واقعی 1 = (1,0) وقتی در هر عدد مختلط ضرب شود، ویژگی خود را حفظ می کند: 1∙ z = z.

تعریف 7.3.شماره مجتمع (0, ب) نامیده میشود کاملا خیالی. به طور خاص، عدد (0،1) نامیده می شود واحد خیالیو با نماد مشخص می شود من.

ویژگی های واحد خیالی:

1) i∙i=i² = -1; 2) تمیز کردن عدد خیالی (0,ب) را می توان به عنوان حاصل ضرب یک عدد واقعی ( ب 0) و من: (ب 0) = b∙i.

بنابراین، هر عدد مختلط z = (a,b) را می توان به صورت: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib نمایش داد.

تعریف 7.4. علامت گذاری به شکل z = a + ib، نماد جبری یک عدد مختلط نامیده می شود.

اظهار نظر. نماد جبری اعداد مختلط به شما این امکان را می دهد که بر اساس آنها عملیات انجام دهید قوانین عادیجبر

تعریف 7.5. یک عدد مختلط مزدوج مختلط z = a + ib نامیده می شود.

3. منها کردناعداد مختلط به عنوان عملیات تعریف می شود، متقابل اضافه کردن: z =(الف، ب) تفاضل اعداد مختلط نامیده می شود z 1 =(a 1، b 1) و z 2 =(a 2، b 2)، اگر a = a 1 – a 2، b = b 1 – b 2.

4. بخشاعداد مختلط به عنوان عملیات تعریف می شود، معکوس ضرب: عدد z = a + ibضریب تقسیم نامیده می شود z 1 = a 1 + ib 1و z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0)، اگر z 1 = z∙z 2 .در نتیجه، قسمت های واقعی و خیالی ضریب را می توان از حل سیستم معادلات پیدا کرد: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

تفسیر هندسی اعداد مختلط.

عدد مختلط z =(الف، ب) را می توان به عنوان یک نقطه در یک صفحه با مختصات ( الف، ب) یا بردار با مبدا در مبدا و پایان در نقطه ( الف، ب).

در این حالت مدول بردار حاصل نامیده می شود مدولعدد مختلط و زاویه توسط یک بردار تشکیل شده استبا جهت مثبت محور x، - بحث و جدلشماره. با توجه به اینکه a = ρ cos φ, b = ρگناه φ, جایی که ρ = |z| - مدول z،و φ = arg z آرگومان آن است، می توانید شکل دیگری از نوشتن یک عدد مختلط دریافت کنید:

تعریف 7.6.نوع ضبط

z = ρ(cos φ + iگناه φ ) (7.1)

تماس گرفت فرم مثلثاتینوشتن یک عدد مختلط

به نوبه خود، مدول و آرگومان یک عدد مختلط را می توان از طریق بیان کرد آو ب: . در نتیجه، آرگومان یک عدد مختلط به طور یکتا تعیین نمی شود، بلکه تا یک جمله مضرب 2π است.

به راحتی می توان تأیید کرد که عملیات جمع اعداد مختلط با عملیات جمع بردارها مطابقت دارد. در نظر بگیریم تفسیر هندسیضرب. بگذار پس

بنابراین، مدول حاصلضرب دو عدد مختلط است برابر با محصولماژول های آنها، و آرگومان مجموع آرگومان های آنهاست. بر این اساس، هنگام تقسیم، ماژول ضریب برابر با نسبتماژول های سود و مقسوم، و استدلال تفاوت آرگومان های آنهاست.

یک مورد خاص از عملیات ضرب، توان است:

- فرمول مویور.

با استفاده از روابط به دست آمده، ویژگی های اصلی اعداد مزدوج مختلط را فهرست می کنیم:

اعداد مختلط و
هماهنگ كردن
سطح

مدل هندسی مجموعه R اعداد حقیقی، خط اعداد است. هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه است

بر
خط عددی و هر نقطه روی خط
فقط یک مسابقه
عدد واقعی!

با افزودن یک بعد دیگر به خط اعداد مربوط به مجموعه همه اعداد واقعی - خطی که مجموعه اعداد خالص را شامل می شود.

با اضافه کردن به خط اعداد مربوط به مجموعه
از همه اعداد واقعی یک بعد دیگر -
یک خط مستقیم شامل مجموعه ای از اعداد کاملاً خیالی -
یک صفحه مختصات به دست می آوریم که در آن هر کدام
عدد مختلط a+bi را می توان مرتبط کرد
نقطه (الف؛ ب) هواپیمای مختصات.
i=0+1i مربوط به نقطه (0;1) است.
2+3i مربوط به نقطه (2;3) است.
-i-4 مربوط به نقطه (-4;-1) است.
5=5+1i مربوط به مالیخولیا است (5;0)

معنای هندسی عملیات صرف

! عملیات جفت گیری محوری است
تقارن در مورد محور آبسیسا
!! مزدوج با یکدیگر
اعداد مختلط با هم فاصله دارند
اصل و نسب.
!!! وکتورهایی که به تصویر می کشند
اعداد مزدوج، متمایل به محور
آبسیسا زیر همان زاویه، ولی
واقع شده بر اساس طرف های مختلفاز جانب
این محور

تصویر اعداد واقعی

تصویر اعداد مختلط

جبری
مسیر
تصاویر:
عدد مختلط
a+bi به تصویر کشیده شده است
نقطه هواپیما
با مختصات
(الف؛ ب)

نمونه هایی از به تصویر کشیدن اعداد مختلط در صفحه مختصات

(ما علاقه مندیم
اعداد مختلط
z=x+yi، که برای آن
x=-4. این معادله است
سر راست،
محور موازی
ترتیب)
در
X= - 4
معتبر
قسمت -4 است
0
ایکس

مجموعه تمام اعداد مختلط را روی صفحه مختصات رسم کنید که:

قسمت خیالی
یکنواخت است
بدون ابهام
طبیعی
عدد
(ما علاقه مندیم
اعداد مختلط
z=x+yi، که برای آن
y=2،4،6،8.
تصویر هندسی
شامل چهار
مستقیم، موازی
محور x)
در
8
6
4
2
0
ایکس

اعداد مختلط

خیالی و اعداد مختلط. ابسیسا و دستور

عدد مختلط. اعداد مختلط را مزدوج کنید.

عملیات با اعداد مختلط هندسی

نمایش اعداد مختلط هواپیمای پیچیده

مدول و آرگومان یک عدد مختلط. مثلثاتی

فرم اعداد مختلط عملیات با پیچیده

اعداد در فرم مثلثاتی. فرمول Moivre.

اطلاعات اولیه در مورد خیالی و اعداد مختلط در بخش "اعداد خیالی و مختلط" آورده شده است. نیاز به این اعداد از نوع جدید هنگام حل معادلات درجه دوم برای مورد بوجود آمدD< 0 (здесь D- ممیز معادله درجه دوم). برای مدت طولانیاین اعداد پیدا نشد کاربرد فیزیکی، به همین دلیل است که آنها را اعداد "خیالی" می نامیدند. با این حال، در حال حاضر آنها بسیار گسترده در زمینه های مختلف فیزیک استفاده می شود.

و فناوری: مهندسی برق، هیدرودینامیک و آیرودینامیک، تئوری الاستیسیته و غیره.

اعداد مختلط به این صورت نوشته می شوند:a+bi. اینجا آو ب – اعداد واقعی ، آ من – واحد خیالی، تی.ه. من 2 = –1. عدد آتماس گرفت اوکیسا،آ ب – ترتیبعدد مختلطa + bi.دو عدد مختلطa+biو a–bi نامیده می شوند مزدوجاعداد مختلط.

توافقات اصلی:

1. عدد واقعیآرا نیز می توان در قالب نوشتعدد مختلط:a+ 0 منیا آ - 0 من. به عنوان مثال، رکوردهای 5 + 0منو 5-0 منیعنی همان عدد 5 .

2. مجتمع شماره 0 + دوتماس گرفت کاملا خیالی عدد. رکورددویعنی همان 0 + دو.

3. دو عدد مختلطa+bi وج + دیبرابر در نظر گرفته می شوند اگرa = cو b = d. در غیر این صورت اعداد مختلط برابر نیستند

اضافه شدن. مجموع اعداد مختلطa+biو ج + دیعدد مختلط نامیده می شود (a+c ) + (b+d ) من.بدین ترتیب، هنگام اضافه کردن اعداد مختلط، ابسیساها و مختصات آنها به طور جداگانه اضافه می شوند.

این تعریف با قوانین عملیات با چند جمله‌ای معمولی مطابقت دارد.

منها کردن. تفاوت دو عدد مختلطa+bi(کاهش یافته) و ج + دی(زیر خط) یک عدد مختلط (a–c ) + (b–d ) من.

بدین ترتیب، هنگام تفریق دو عدد مختلط، مجزا و مختصات آنها به طور جداگانه تفریق می شود.

ضرب. حاصل ضرب اعداد مختلطa+biو ج + دی عدد مختلط نامیده می شود:

(ac–bd ) + (ad+bc ) من.این تعریف از دو الزام ناشی می شود:

1) اعداد a+biو ج + دیباید مثل جبری ضرب شوددوجمله ای ها

2) شماره مندارای ویژگی اصلی:من 2 = – 1.

مثال ( a+ bi )(a–bi) =a 2 + ب 2 . از این رو، کار کردن

دو عدد مختلط مزدوج برابر با واقعی است

یک عدد مثبت

بخش. یک عدد مختلط را تقسیم کنیدa+bi (قابل تقسیم) بر دیگریج + دی(تقسیم کننده) - به معنای یافتن عدد سوم استe + f i(چت)، که وقتی در یک مقسوم علیه ضرب شودج + دی، منجر به سود سهام می شودa + bi.

اگر مقسوم علیه نباشد برابر با صفر، تقسیم همیشه امکان پذیر است.

مثال یافتن (8 +من ) : (2 – 3 من) .

راه حل. بیایید این نسبت را به صورت کسری بازنویسی کنیم:

ضرب صورت و مخرج آن در 2 + 3من

و پس از انجام تمام تبدیل ها، دریافت می کنیم:

نمایش هندسی اعداد مختلط. اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد نشان داده می شوند:

نکته اینجاست آبه معنی عدد -3، نقطه استب- شماره 2 و O- صفر در مقابل، اعداد مختلط با نقاطی در صفحه مختصات نشان داده می شوند. برای این منظور مختصات مستطیلی (دکارتی) با مقیاس های یکسان در هر دو محور را انتخاب می کنیم. سپس عدد مختلطa+bi با یک نقطه نشان داده خواهد شد P با آبسیسا الف و ترتیب ب (تصویر را ببینید). این سیستم مختصات نامیده می شود هواپیمای پیچیده .

مدول عدد مختلط طول بردار استOP، نشان دهنده یک عدد مختلط در مختصات ( جامع) سطح. مدول یک عدد مختلطa+biنشان داده شده | a+bi| یا نامه r

اعداد مختلط

مفاهیم اساسی

اطلاعات اولیه در مورد عدد به عصر حجر - پالئوملیتی باز می گردد. اینها "یک"، "چند" و "بسیار" هستند. آنها به صورت بریدگی، گره و غیره ثبت شدند. توسعه فرآیندهای کار و پیدایش مالکیت انسان را مجبور به اختراع اعداد و نام آنها کرد. اولین نفری که ظاهر شد اعداد صحیح ن، با شمارش اقلام به دست می آید. سپس، همراه با نیاز به شمارش، مردم نیاز به اندازه گیری طول، مساحت، حجم، زمان و مقادیر دیگر داشتند، جایی که باید بخش هایی از اندازه گیری مورد استفاده را در نظر می گرفتند. اینگونه کسرها به وجود آمدند. اثبات رسمی مفاهیم اعداد کسری و منفی در قرن نوزدهم انجام شد. مجموعه اعداد صحیح ز- اینها اعداد طبیعی، اعداد طبیعی با علامت منفی و صفر هستند. کل و اعداد کسریمجموعه ای تشکیل داد اعداد گویا س،اما برای مطالعه مداوم در حال تغییر نیز ناکافی بود متغیرها. پیدایش دوباره ناقص بودن ریاضیات را نشان داد: عدم امکان حل معادله شکل ایکس 2 = 3، به همین دلیل است که اعداد غیر منطقی ظاهر می شوند من.اتحاد مجموعه اعداد گویا سو اعداد گنگ من- مجموعه ای از اعداد واقعی (یا واقعی). آر. در نتیجه، خط اعداد پر شد: هر عدد واقعی با یک نقطه از آن مطابقت داشت. اما روی خیلی ها آرهیچ راهی برای حل معادله شکل وجود ندارد ایکس 2 = – آ 2. در نتیجه، دوباره نیاز به گسترش مفهوم عدد بوجود آمد. اینگونه بود که اعداد مختلط در سال 1545 ظاهر شدند. خالق آنها جی. کاردانو آنها را "صرفاً منفی" نامید. نام "خیالی" در سال 1637 توسط آر. دکارت فرانسوی معرفی شد، در سال 1777 اویلر با استفاده از حرف اول شماره فرانسوی پیشنهاد کرد. منبرای نشان دادن واحد خیالی. این نماد به لطف K. Gauss مورد استفاده عمومی قرار گرفت.

در طول قرن های 17 و 18، بحث در مورد ماهیت حسابی خیالات و تفسیر هندسی آنها ادامه یافت. G. Wessel دانمارکی، J. Argan فرانسوی و K. Gauss آلمانی به طور مستقل پیشنهاد کردند یک عدد مختلط را به عنوان یک نقطه در صفحه مختصات نشان دهند. بعداً معلوم شد که نشان دادن یک عدد نه با خود نقطه بلکه توسط بردار که از مبدا به این نقطه می رود بسیار راحت تر است.

تنها در اواخر قرن 18 و آغاز قرن 19، اعداد مختلط جایگاه واقعی خود را در تجزیه و تحلیل ریاضی. اولین استفاده آنها در تئوری است معادلات دیفرانسیلو در تئوری هیدرودینامیک.

تعریف 1.عدد مختلطعبارتی از فرم، Where نامیده می شود ایکسو yاعداد واقعی هستند و من– واحد خیالی، .

دو عدد مختلط و برابراگر و تنها اگر ، .

اگر، سپس شماره تماس گرفته می شود کاملا خیالی; اگر، آنگاه عدد یک عدد واقعی است، این بدان معناست که مجموعه آر با، جایی که با- مجموعه ای از اعداد مختلط

مزدوجبه یک عدد مختلط را عدد مختلط می گویند.

تصویر هندسیاعداد مختلط.

هر عدد مختلط را می توان با یک نقطه نشان داد م(ایکس, y) سطح اکسی.یک جفت اعداد حقیقی نیز مختصات بردار شعاع را نشان می دهد ، یعنی بین مجموعه بردارها در صفحه و مجموعه اعداد مختلط می توان مطابقت یک به یک برقرار کرد: .

تعریف 2.بخش واقعی ایکس.

تعیین: ایکس=Re z(از لاتین Realis).

تعریف 3.قسمت خیالیعدد مختلط یک عدد واقعی است y.

تعیین: y= من z(از لاتین Imaginarius).

Re zروی محور ( اوه)، من هستم zروی محور ( اوه) سپس بردار مربوط به عدد مختلط بردار شعاع نقطه است م(ایکس, y)، (یا م(Re z، من هستم z)) (عکس. 1).

تعریف 4.صفحه ای که نقاط آن با مجموعه ای از اعداد مختلط مرتبط باشد نامیده می شود هواپیمای پیچیده. محور آبسیسا نامیده می شود محور واقعی، زیرا حاوی اعداد واقعی است. محور دستوری نامیده می شود محور خیالی، شامل اعداد مختلط کاملاً خیالی است. مجموعه اعداد مختلط مشخص می شود با.

تعریف 5.مدولعدد مختلط z = (ایکس, y) طول بردار نامیده می شود: , i.e. .

تعریف 6.بحث و جدلعدد مختلط زاویه بین جهت مثبت محور ( اوه) و بردار: .

برو) اعداد.

2. شکل جبری نمایش اعداد مختلط

عدد مختلطیا مجتمع، عددی است متشکل از دو عدد (قطعات) - واقعی و خیالی.

واقعیهر مثبت یا یک عدد منفیبه عنوان مثال، + 5، - 28، و غیره. بیایید نشان دهیم عدد واقعیحرف "L".

خیالیشماره تماس گرفته می شود برابر با محصولعدد واقعی روشن است ریشه دوماز یک واحد منفی، به عنوان مثال، 8، - 20، و غیره.

یک واحد منفی نامیده می شود خیالی و با حرف "yot" نشان داده می شود:

اجازه دهید عدد واقعی را در عدد فرضی با حرف "M" نشان دهیم.

سپس عدد فرضی را می توان به این صورت نوشت: j M. در این حالت عدد مختلط A را می توان به این صورت نوشت:

A = L + j M (2).

این شکل از نوشتن یک عدد مختلط (مختلط) که می باشد جمع جبریجزء واقعی و خیالی نامیده می شود جبری.

مثال 1.به صورت جبری مجموعه ای را نشان دهید که قسمت واقعی آن 6 و قسمت خیالی آن 15 است.

راه حل. A = 6 + j 15.

بجز فرم جبری، یک عدد مختلط را می توان با سه عدد دیگر نشان داد:

1. گرافیک;

2. مثلثاتی;

3. نشان دهنده.

چنین تنوعی از اشکال به طرز چشمگیری است محاسبات را ساده می کند کمیت های سینوسی و آنها تصویر گرافیکی.

بیایید به نوبه خود به گرافیک، مثلثات و توان نگاه کنیم.

اشکال جدید نمایش اعداد مختلط

فرم گرافیکینمایش اعداد مختلط

برای نمایش گرافیکیاعداد مختلط مستقیما استفاده می شوند

سیستم مختصات کربن در یک سیستم مختصات منظم (مدرسه)، مقادیر مثبت یا منفی در امتداد محورهای "x" (ابسیسا) و "y" (مرتبط) رسم می شوند. واقعی شماره.

در سیستم مختصات اتخاذ شده در روش نمادین، در امتداد محور "x".

اعداد واقعی به صورت قطعه و اعداد خیالی در امتداد محور "y" رسم می شوند.

برنج. 1. سیستم مختصات برای نمایش گرافیکی اعداد مختلط

بنابراین، محور x را محور مقادیر واقعی یا به اختصار، می نامند. واقعی محور.

محور ترتیبی را محور کمیت های خیالی یا خیالی محور.

خود صفحه (یعنی صفحه نقاشی) که روی آن اعداد یا مقادیر مختلط به تصویر کشیده شده است، نامیده می شود. جامع تخت.

در این صفحه، عدد مختلط A = L + j M با بردار A نشان داده می شود

(شکل 2) که برآمدگی آن بر روی محور واقعی برابر با قسمت واقعی آن Re A = A" = L است و برآمدگی بر روی محور فرضی برابر با قسمت خیالی Im A = A" = M است.

(Re - از انگلیسی real - real, real, real, Im - از انگلیسی imaginary - unreal, imaginary).

برنج. 2. نمایش گرافیکی یک عدد مختلط

در این حالت می توان عدد A را به صورت زیر نوشت

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

با استفاده از نمایش گرافیکی عدد A در هواپیمای پیچیده، ما تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم و چند رابطه مهم به دست می آوریم:

1. طول بردار A نامیده می شود مدول بردار و با |A| نشان داده می شود.

طبق قضیه فیثاغورث

|الف| = (4) .

2. زاویه α تشکیل شده توسط بردار A و نیمه مثبت واقعی

محور نامیده می شود بحث و جدل بردار A و از طریق مماس آن تعیین می شود:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

بنابراین، برای نمایش گرافیکی یک عدد مختلط

A = A" + A" به شکل بردار مورد نیاز:

1. مدول بردار |A| را پیدا کنید طبق فرمول (4)؛

2. آرگومان بردار tan α را با استفاده از فرمول (5) پیدا کنید.

3. زاویه α را از رابطه α = arc tan α پیدا کنید.

4. در سیستم مختصات j (x) یک کمکی رسم کنید

خط راست و بر روی آن پاره ای در مقیاس معین بکشید، برابر مدولوکتور |A|.

مثال 2.عدد مختلط A = 3 + j 4 را به صورت گرافیکی ارائه دهید.