بزرگترین مقدار صحیح تابع را مشخص کنید. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع. توصیه های روش شناختی برای خودآموزی دانشجویان و دانش آموزان در رشته "تربیت بدنی" کراسنودار

مطالعه چنین موضوعی از تجزیه و تحلیل ریاضی به عنوان یک تابع از اهمیت زیادی برخوردار است معنیو در سایر رشته های علمی. به عنوان مثال، در تحلیل اقتصادیرفتار باید مدام مورد ارزیابی قرار گیرد کارکردسود، یعنی تعیین بزرگترین آن معنیو برای دستیابی به آن استراتژی تدوین کنید.

دستورالعمل ها

مطالعه هر رفتاری همیشه باید با جستجوی حوزه تعریف آغاز شود. معمولا با شرایط وظیفه خاصلازم است بزرگترین را تعیین کنیم معنی کارکردیا در کل این ناحیه، یا در فاصله زمانی مشخصی از آن با باز یا مرزهای بسته.

بر اساس، بزرگترین است معنی کارکرد y(x0)، که در آن برای هر نقطه در حوزه تعریف، نابرابری y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) برقرار است. از نظر گرافیکی، اگر مقادیر آرگومان در امتداد محور abscissa و خود تابع در امتداد محور ordinate قرار گیرند، این نقطه بالاترین خواهد بود.

برای تعیین بزرگترین معنی کارکرد، الگوریتم سه مرحله ای را دنبال کنید. لطفاً توجه داشته باشید که باید بتوانید با یک طرفه و , و همچنین محاسبه مشتق کار کنید. بنابراین، اجازه دهید تابع y(x) داده شود و باید بزرگترین آن را پیدا کنید معنیدر یک بازه مشخص با مقادیر مرزی A و B.

دریابید که آیا این فاصله در محدوده تعریف است یا خیر کارکرد. برای انجام این کار، باید با در نظر گرفتن همه چیز آن را پیدا کنید محدودیت های احتمالی: وجود کسری در یک عبارت، ریشه دومو غیره. دامنه تعریف مجموعه ای از مقادیر آرگومان است که تابع برای آنها معنا دارد. تعیین کنید که آیا فاصله داده شدهزیر مجموعه آن اگر بله، پس به مرحله بعد.

مشتق را بیابید کارکردو معادله حاصل را با معادل سازی مشتق به صفر حل کنید. به این ترتیب مقادیر به اصطلاح نقاط ثابت را دریافت خواهید کرد. ارزیابی کنید که آیا حداقل یکی از آنها به بازه A، B تعلق دارد یا خیر.

در مرحله سوم این نقاط را در نظر بگیرید و مقادیر آنها را جایگزین تابع کنید. بسته به نوع فاصله، مراحل اضافی زیر را انجام دهید. اگر قسمتی از شکل [A, B] وجود داشته باشد، نقاط مرزی در این فاصله گنجانده شده است. محاسبه مقادیر کارکردبرای x = A و x = B. اگر بازه باز باشد (A, B)، مقادیر مرزی سوراخ می شوند، یعنی. در آن گنجانده نشده اند. حل حدود یک طرفه برای x→A و x→B. فاصله ترکیبی از شکل [A, B) یا (A, B) که یکی از مرزهای آن به آن تعلق دارد، دیگری حد یک طرفه را پیدا نمی کند زیرا x به مقدار سوراخ شده تمایل دارد و دیگری را جایگزین می کند تابع بی نهایت دو وجهی (-∞، +∞) یا فواصل نامتناهی یک طرفه به شکل: (-∞، B، طبق اصولی که قبلاً توضیح داده شد). بی نهایت، به ترتیب به دنبال محدودیت برای x→-∞ و x→+∞ باشید.

وظیفه در این مرحله

در این مقاله در مورد چگونگی به کارگیری مهارت یافتن در مطالعه یک تابع صحبت خواهم کرد: برای یافتن بزرگترین یا کوچکترین مقدار آن. و سپس چندین مشکل از Task B15 را حل خواهیم کرد بانک بازوظایف برای .

طبق معمول، ابتدا نظریه را به یاد بیاوریم.

در ابتدای هر مطالعه یک تابع، آن را پیدا می کنیم

برای پیدا کردن بزرگترین یا کوچکترین ارزشتابع، باید بررسی کنید که در چه بازه هایی تابع افزایش و در کدام فاصله کاهش می یابد.

برای انجام این کار، باید مشتق تابع را پیدا کنیم و فواصل علامت ثابت آن را بررسی کنیم، یعنی فواصل زمانی که مشتق علامت خود را حفظ می کند.

بازه هایی که مشتق یک تابع مثبت است، بازه های تابع افزایشی هستند.

بازه هایی که مشتق یک تابع در آنها منفی است، بازه های تابع نزولی هستند.

1 . بیایید کار B15 را حل کنیم (شماره 245184)

برای حل آن از الگوریتم زیر پیروی می کنیم:

الف) دامنه تعریف تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را پیدا کنیم.

ج) آن را با صفر برابر می کنیم.

د) فواصل علامت ثابت تابع را پیدا کنیم.

ه) نقطه ای که تابع در آن قرار می گیرد را پیدا کنید بالاترین ارزش.

و) مقدار تابع را در این نقطه بیابید.

من راه حل دقیق این کار را در آموزش ویدیویی توضیح می دهم:

مرورگر شما احتمالا پشتیبانی نمی شود. برای استفاده از شبیه‌ساز «ساعت امتحانات دولتی واحد»، دانلود کنید
فایرفاکس

2. بیایید کار B15 را حل کنیم (شماره 282862)

بزرگترین مقدار تابع را پیدا کنید در بخش

واضح است که تابع بیشترین مقدار را در قسمت حداکثر در نقطه x=2 می گیرد. بیایید مقدار تابع را در این مرحله پیدا کنیم:

پاسخ: 5

3. بیایید کار B15 (شماره 245180) را حل کنیم:

بزرگترین مقدار تابع را پیدا کنید

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. زیرا با توجه به دامنه تعریف تابع اصلی title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. شمارنده برابر با صفردر . بیایید بررسی کنیم که آیا ODZ به تابع تعلق دارد یا خیر. برای انجام این کار، اجازه دهید بررسی کنیم که آیا شرط title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

این بدان معنی است که نقطه متعلق به تابع ODZ است

بیایید علامت مشتق سمت راست و چپ نقطه را بررسی کنیم:

می بینیم که تابع در نقطه بیشترین مقدار خود را می گیرد. حالا بیایید مقدار تابع را در زیر پیدا کنیم:

نکته 1. توجه داشته باشید که در این مشکل دامنه تعریف تابع را پیدا نکردیم: ما فقط محدودیت ها را رفع کردیم و بررسی کردیم که آیا نقطه ای که مشتق برابر با صفر است به دامنه تعریف تابع تعلق دارد یا خیر. معلوم شد که این برای این کار کافی است. اما همیشه هم به این صورت نیست. بستگی به وظیفه دارد.

نکته 2. هنگام مطالعه رفتار تابع پیچیدهمی توانید از این قانون استفاده کنید:

• اگر عملکرد خارجییک تابع مختلط در حال افزایش است، سپس تابع در همان نقطه ای که در آن تابع است بیشترین مقدار خود را می گیرد عملکرد داخلیبیشترین ارزش را می گیرد این از تعریف تابع افزایشی به دست می آید: یک تابع در بازه I افزایش می یابد if ارزش بالاترآرگومان این بازه مربوط به مقدار بزرگتری از تابع است.
• اگر تابع بیرونی یک تابع مختلط در حال کاهش باشد، آنگاه تابع در همان نقطه‌ای که تابع درونی کوچک‌ترین مقدار خود را می‌گیرد، بیشترین مقدار خود را می‌گیرد. . این از تعریف یک تابع کاهشی به دست می آید: یک تابع در بازه I کاهش می یابد اگر مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار کوچکتری از تابع مطابقت داشته باشد.

در مثال ما، تابع خارجی در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. در زیر علامت لگاریتم یک عبارت وجود دارد - سه جمله ای درجه دوم، که با یک ضریب پیشرو منفی، بیشترین مقدار را در نقطه می گیرد . بعد، این مقدار x را در معادله تابع جایگزین می کنیم و بزرگترین ارزش آن را پیدا کنید.

در بسیاری از زمینه های زندگی ممکن است با این واقعیت مواجه شوید که باید چیزی را با استفاده از اعداد حل کنید، مثلاً در اقتصاد و حسابداری فقط با بهینه سازی پارامترهای داده شده می توانید به حداقل و حداکثر برخی از شاخص ها پی ببرید. و این چیزی نیست جز یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر در یک بخش معین از تابع. حالا بیایید ببینیم که چگونه بزرگترین مقدار یک تابع را پیدا کنیم.

پیدا کردن بیشترین ارزش: دستورالعمل

1. متوجه شوید که در کدام بخش از تابع برای محاسبه مقدار نیاز دارید، آن را با نقطه مشخص کنید. این بازه می تواند باز (زمانی که تابع برابر با قطعه است)، بسته (زمانی که تابع روی قطعه است) و بی نهایت (زمانی که تابع به پایان نمی رسد) باشد.
2. تابع مشتق را پیدا کنید.
3. نقاطی را در بخش تابع پیدا کنید که مشتق برابر با صفر است و تمام نقاط بحرانی. سپس مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کرده و معادله را حل کنید. بزرگترین را در بین مقادیر به دست آمده بیابید.
4. مقادیر تابع را در نقاط پایانی شناسایی کنید، بزرگترین آنها را تعیین کنید
5. داده ها را با بیشترین مقدار مقایسه کنید و بزرگترین را انتخاب کنید. این بزرگترین مقدار تابع خواهد بود.

چگونه بزرگترین مقدار صحیح یک تابع را پیدا کنیم؟ شما باید زوج یا فرد بودن تابع را محاسبه کنید و سپس حل کنید مثال خاص. اگر عدد با کسری به دست می آید، آن را در نظر نگیرید، نتیجه بزرگترین عدد صحیح تابع فقط یک عدد صحیح خواهد بود.

توصیه های روش شناختی برای مطالعه مبحث "مقادیر چندگانه یک تابع. بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع."

در خود ریاضیات وسیله اصلی

برای رسیدن به حقیقت - استقراء و قیاس.

داده شده: - عملکرد. بیایید نشان دهیم
- دامنه تعریف تابع.

مجموعه (دامنه) مقادیر یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیری است که یک تابع می تواند بگیرد.
از نظر هندسی، این به معنای طرح نمودار یک تابع بر روی محور است
.

اگر نکته ای هست طوری که برای هر کسی از مجموعه یک نابرابری وجود دارد
، سپس می گویند که عملکرد روی مجموعه خود را به عهده می گیرد کوچکترین ارزش

اگر نقطه ای وجود داشته باشد که برای هر یک از مجموعه ها نابرابری برقرار باشد
، سپس می گویند که عملکرد روی مجموعه خود را به عهده می گیرد بالاترین ارزش .

تابع فراخوانی می شود در زیر محدود شده استدر صورت وجود چنین عددی در مجموعه
. از نظر هندسی، این بدان معنی است که نمودار تابع کمتر از خط مستقیم نیست
.

تابع فراخوانی می شود در بالا محدود شده استدر صورت وجود چنین عددی در مجموعه ، که برای هر یک از مجموعه ها نابرابری درست است
. از نظر هندسی، این بدان معنی است که نمودار تابع بالاتر از خط مستقیم نیست

تابع فراخوانی می شود محدوددر مجموعه اگر از پایین و بالا بر روی این مجموعه محدود شود. مرزبندی یک تابع به این معنی است که نمودار آن در یک نوار افقی مشخص قرار دارد.

نابرابری کوشی در مورد میانگین حسابی و میانگین هندسی
:

>,>0) مثال:

بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بازه

(بخش، بازه، پرتو)

خواص توابع پیوسته در یک بازه.

1. اگر تابعی بر روی یک قطعه پیوسته باشد، به هر دو مقدار حداکثر و حداقل خود روی آن می رسد.

2. یک تابع پیوسته می تواند به حداکثر و حداقل مقدار خود هم در انتهای یک قطعه و هم در داخل آن برسد

3. اگر بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار در داخل قطعه به دست آید، آنگاه فقط در یک نقطه ثابت یا بحرانی.

الگوریتم یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد پیوسته در بخش

1. مشتق را بیابید
.

2. نقاط ثابت و بحرانی را در داخل قطعه پیدا کنید .

3. مقادیر تابع را در نقاط ثابت و بحرانی انتخاب شده و در انتهای بخش پیدا کنید.
و
.

4.از میان مقادیر یافت شده، کوچکترین را انتخاب کنید (این خواهد بود
) و بزرگترین (این خواهد بود
)

ویژگی های توابع پیوسته که در یک بازه یکنواخت هستند:

افزایش مداوم در یک بخش تابع به بیشترین مقدار خود در می رسد
, کوچکترین – در
.

کاهش مداوم در یک بخش تابع به بیشترین مقدار خود در , و حداقل آن در .

اگر مقدار تابع
در یک بازه غیر منفی، سپس این تابع و تابع
، جایی که n یک عدد طبیعی است، بزرگترین (کوچکترین) مقدار را در همان نقطه می گیرد.

پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد پیوستهدر فاصله
یا روی پرتو

(مشکلات بهینه سازی).

اگر یک تابع پیوسته دارای یک نقطه انتهایی منفرد در یک بازه یا پرتو باشد و این حد اکثر یک یا حداقل باشد، در این نقطه حداکثر یا حداقل مقدار تابع (یا) به دست می آید.

کاربرد خاصیت یکنواختی توابع.

1. یک تابع پیچیده مرکب از دو تابع افزایشی در حال افزایش است.

2.اگر تابع افزایش می یابد و تابع
کاهش می یابد، سپس عملکرد
- در حال کاهش.

3. مجموع دو تابع افزایشی (کاهشی)، تابع افزایشی (کاهشی).

4. اگر در معادله
سمت چپ تابع افزایشی (یا کاهشی) است، سپس معادله حداکثر یک ریشه دارد.

5. اگر تابع افزایش (کاهش) و تابع کاهش (افزایش) باشد، معادله
حداکثر یک راه حل دارد

6. معادله
حداقل یک ریشه دارد اگر و فقط اگر

به معانی متعدد تعلق دارد
کارکرد .

کاربرد خاصیت توابع محدود.

1. اگر سمت چپ معادله (نابرابری)
کوچکتر یا مساوی یک عدد (
)، آ قسمت راستبزرگتر یا مساوی با این عدد () است، سپس سیستم باقی می ماند
که راه حل آن حل خود معادله (نابرابری) است.

وظایف خودکنترلی

کاربرد:

3. تمام مقادیری را که معادله برای آنهاست پیدا کنید
راه حل دارد

مشق شب

1-بزرگترین مقدار تابع را پیدا کنید:

، اگر
.

2. کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید:

.

3. بزرگترین مقدار صحیح تابع را پیدا کنید:

. آنهایی که مطابقت دارند بزرگترین. ایده آل-...

توصیه های روش شناختی برای کلاس های عملی موضوع: مقدمه. تاریخچه مختصری از زبان لاتین الفبا. آواشناسی

رهنمودها

بزرگ، بالا، کوچک، جلو، کمترین, بزرگترین. 3) ترجمه: A. Mm. پالاتی و... معنیالف) استرپتوسیدوم ب) باربامیلوم ج) کورتیکوتروپینوم د) کولوزاسم ه) آگوویرین دانشکده: ماژول MTD: زبان لاتین روشمند توصیه ها برای ...

رهنمودها

... . بزرگترینو کوچکترین ارزش های کارکرد بزرگترینو کمترین ارزش های 2 14. ضد مشتق کارکردضد مشتق 2 15. مفهوم از معادلات دیفرانسیلنمونه هایی از استفاده از مشتق برای ...

توصیه های روش شناختی برای خودآموزی دانشجویان و دانش آموزان در رشته "تربیت بدنی" کراسنودار

رهنمودها

... بزرگترینسرعت تک حرکت ارادی و کوچکترین... در دسترس یک دسته از توصیه هاتوسط... معنیدارای ترکیبی منطقی از کلی و اقدام محلی. 4. روشمند توصیه ها برایمستقل در حال مطالعه ... کارکرد. آنها آن ها ...

توصیه های روش شناختی برای استفاده از کتاب های درسی "جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی، 10"، "جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی، 11" (نویسندگان: N. Ya. Vilenkin، O. S. Ivashev-Musatov، S. I. Shvartsburd) هنگام مطالعه موضوع در سطح پروفایل

رهنمودها

... , یک دسته از ارزش های کارکرد، صفرها کارکرد، فواصل علامت ثابت کارکرد، زوج، فرد، تناوب. یکنواخت کارکرد، فواصل یکنواختی، افراطی کارکرد. بزرگترینو کمترین ارزش های کارکرد ...

از نقطه نظر عملی بیشترین علاقهنشان دهنده استفاده از مشتق برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع است. این به چی ربط داره؟ به حداکثر رساندن سود، به حداقل رساندن هزینه ها، تعیین بار بهینه تجهیزات ... به عبارت دیگر، در بسیاری از زمینه های زندگی باید مشکلات بهینه سازی برخی از پارامترها را حل کنیم. و اینها وظایف یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع است.

لازم به ذکر است که بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع معمولاً در یک بازه خاص X جستجو می شود که یا کل دامنه تابع یا بخشی از دامنه تعریف است. خود بازه X می تواند یک قطعه، یک بازه باز باشد ، یک فاصله بی نهایت.

در این مقاله در مورد یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به طور واضح صحبت خواهیم کرد عملکرد داده شدهیک متغیر y=f(x).

پیمایش صفحه.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع - تعاریف، تصاویر.

بیایید به طور خلاصه به تعاریف اصلی نگاه کنیم.

بزرگترین مقدار تابع که برای هر کسی نابرابری درست است

کوچکترین مقدار تابع y=f(x) در بازه X چنین مقداری نامیده می شود که برای هر کسی نابرابری درست است

این تعاریف شهودی هستند: بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع بزرگترین (کوچکترین) مقدار پذیرفته شده در بازه مورد بررسی در ابسیسا است.

نقاط ثابت- اینها مقادیر آرگومان هستند که در آن مشتق تابع صفر می شود.

چرا هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به نقاط ثابت نیاز داریم؟ پاسخ این سوال را قضیه فرما می دهد. از این قضیه نتیجه می شود که اگر یک تابع متمایز دارای یک اکسترموم ( حداقل محلییا حداکثر محلی) در یک نقطه، سپس این نقطه ثابت است. بنابراین، تابع اغلب بزرگترین (کوچکترین) مقدار خود را در بازه X در یکی از نقاط ثابت از این بازه می گیرد.

همچنین، یک تابع اغلب می تواند بزرگترین و حداقل مقادیر خود را در نقاطی که اولین مشتق این تابع وجود ندارد و خود تابع تعریف شده است، بگیرد.

بیایید بلافاصله به یکی از رایج ترین سؤالات در مورد این موضوع پاسخ دهیم: "آیا همیشه امکان تعیین بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع وجود دارد؟ نه همیشه نه گاهی اوقات مرزهای بازه X با مرزهای دامنه تعریف تابع منطبق است یا بازه X بی نهایت است. و برخی از توابع در بی نهایت و در مرزهای دامنه تعریف می توانند مقادیر بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک داشته باشند. در این موارد نمی توان در مورد بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع چیزی گفت.

برای وضوح، ما یک تصویر گرافیکی ارائه می دهیم. به عکس ها نگاه کنید خیلی چیزها واضح تر می شود.

در بخش

در شکل اول، تابع بزرگترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابتی که در داخل قطعه قرار دارند می گیرد [-6;6].

موردی که در شکل دوم نشان داده شده است را در نظر بگیرید. بیایید بخش را به . در این مثال، کوچکترین مقدار تابع در به دست می آید نقطه ثابتو بزرگترین - در نقطه ای با آبسیسا مربوط به مرز سمت راست فاصله.

در شکل 3، نقاط مرزی بخش [-3;2] ابسیساهای نقاط مربوط به بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع هستند.

در یک بازه باز

در شکل چهارم، تابع بزرگترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابت واقع در بازه باز (-6;6) می گیرد.

در بازه زمانی، هیچ نتیجه ای در مورد بزرگترین مقدار نمی توان گرفت.

در بی نهایت

در مثال ارائه شده در شکل هفتم، تابع بیشترین مقدار (max y) را در یک نقطه ثابت با آبسیسا x=1 می گیرد و کوچکترین مقدار (min y) در مرز سمت راست بازه به دست می آید. در منهای بی نهایت، مقادیر تابع به طور مجانبی به y=3 نزدیک می شوند.

در طول بازه، تابع نه به کوچکترین و نه به بزرگترین مقدار می رسد. با نزدیک شدن x=2 از سمت راست، مقادیر تابع به منهای بی‌نهایت تمایل دارند (خط x=2 مجانبی عمودی است)، و از آنجایی که آبسیسا به اضافه بی‌نهایت تمایل دارد، مقادیر تابع به‌طور مجانبی به y=3 نزدیک می‌شوند. یک تصویر گرافیکی از این مثال در شکل 8 نشان داده شده است.

الگوریتمی برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع پیوسته در یک قطعه.

اجازه دهید الگوریتمی بنویسیم که به ما امکان می دهد بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک بخش پیدا کنیم.

1. دامنه تعریف تابع را پیدا می کنیم و بررسی می کنیم که آیا کل بخش را شامل می شود یا خیر.
2. ما تمام نقاطی را می یابیم که اولین مشتق در آنها وجود ندارد و در قسمت موجود است (معمولاً چنین نقاطی در توابع با آرگومان زیر علامت مدول و در توابع قدرتبا توان کسری - گویا). اگر چنین نقاطی وجود نداشت، سپس به نقطه بعدی بروید.
3. ما تمام نقاط ثابتی را که در بخش قرار می گیرند تعیین می کنیم. برای انجام این کار، آن را با صفر برابر می کنیم، معادله حاصل را حل کرده و ریشه های مناسب را انتخاب می کنیم. اگر هیچ نقطه ثابتی وجود ندارد یا هیچ یک از آنها در بخش قرار نمی گیرند، سپس به نقطه بعدی بروید.
4. ما مقادیر تابع را در نقاط ثابت انتخاب شده (در صورت وجود)، در نقاطی که اولین مشتق در آنها وجود ندارد (در صورت وجود) و همچنین در x=a و x=b محاسبه می کنیم.
5. از مقادیر به دست آمده تابع، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب می کنیم - آنها به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر مورد نیاز تابع خواهند بود.

بیایید الگوریتم حل یک مثال را برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید

• در بخش؛
• در بخش [-4;-1].

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه است اعداد واقعی، به جز صفر، یعنی . هر دو بخش در حوزه تعریف قرار می گیرند.

مشتق تابع را با توجه به:

بدیهی است که مشتق تابع در تمام نقاط قطعه و [-4;-1] وجود دارد.

نقاط ثابت را از معادله تعیین می کنیم. تنها ریشه واقعی x=2 است. این نقطه ثابت در بخش اول قرار می گیرد.

برای حالت اول، مقادیر تابع را در انتهای قطعه و در نقطه ثابت محاسبه می کنیم، یعنی برای x=1، x=2 و x=4:

بنابراین، بیشترین مقدار تابع در x=1 و کوچکترین مقدار به دست می آید – در x=2.

برای مورد دوم، مقادیر تابع را فقط در انتهای بخش [-4;-1] محاسبه می کنیم (زیرا حاوی یک نقطه ثابت نیست):