Beweisen Sie die Unendlichkeit der Primzahlen 6k 1. Abzählbare Mengen. Operationen festlegen

In diesem Tutorial werden wir uns jeden dieser Vorgänge einzeln ansehen.

Unterrichtsinhalte

Dezimalzahlen hinzufügen

Wie wir wissen, besteht ein Dezimalbruch aus einem ganzzahligen und einem gebrochenen Teil. Beim Hinzufügen Dezimalzahlen, ganzzahlige und gebrochene Teile werden separat addiert.

Addieren wir zum Beispiel die Dezimalbrüche 3,2 und 5,3. Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen.

Schreiben wir zunächst diese beiden Brüche in eine Spalte, wobei die ganzzahligen Teile notwendigerweise unter den ganzen Zahlen stehen und die Brüche unter den Brüchen. In der Schule nennt man diese Anforderung „Komma unter Komma“.

Schreiben wir die Brüche so in eine Spalte, dass das Komma unter dem Komma steht:

Wir beginnen, die Bruchteile zu addieren: 2 + 3 = 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzen Teile: 3 + 5 = 8. Wir schreiben eine Acht in den ganzen Teil unserer Antwort:

Nun trennen wir den ganzen Teil durch ein Komma vom Bruchteil. Dazu befolgen wir erneut die Regel „Komma unter Komma“:

Wir erhielten eine Antwort von 8,5. Der Ausdruck 3,2 + 5,3 entspricht also 8,5

Tatsächlich ist nicht alles so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Auch hier gibt es Fallstricke, über die wir jetzt sprechen werden.

Stellen in Dezimalstellen

Dezimalbrüche haben wie gewöhnliche Zahlen ihre eigenen Ziffern. Das sind Zehntelstellen, Hundertstelstellen, Tausendstelstellen. In diesem Fall beginnen die Ziffern nach dem Dezimalpunkt.

Die erste Nachkommastelle ist für die Zehntelstelle zuständig, die zweite Nachkommastelle für die Hundertstelstelle und die dritte Nachkommastelle für die Tausendstelstelle.

Stellen in Dezimalbrüchen enthalten einige nützliche Informationen. Konkret sagen sie Ihnen, wie viele Zehntel, Hundertstel und Tausendstel eine Dezimalzahl hat.

Betrachten Sie beispielsweise den Dezimalbruch 0,345

Die Position, an der sich die drei befinden, wird aufgerufen zehnter Platz

Die Position, an der sich die Vier befindet, wird aufgerufen Hundertstelstelle

Die Position, an der sich die Fünf befindet, wird aufgerufen tausendster Platz

Schauen wir uns diese Zeichnung an. Wir sehen, dass auf der Zehntelstelle eine Drei steht. Das bedeutet, dass der Dezimalbruch 0,345 drei Zehntel enthält.

Wenn wir die Brüche addieren, erhalten wir den ursprünglichen Dezimalbruch 0,345

Es ist ersichtlich, dass wir zunächst die Antwort erhalten haben, sie jedoch in einen Dezimalbruch umgewandelt haben und 0,345 erhalten haben.

Beim Addieren von Dezimalbrüchen gelten dieselben Prinzipien und Regeln wie beim Addieren gewöhnlicher Zahlen. Die Addition von Dezimalbrüchen erfolgt in Ziffern: Zehntel werden zu Zehnteln addiert, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel.

Daher müssen Sie beim Addieren von Dezimalbrüchen die Regel befolgen „Komma unter Komma“. Das Komma unter dem Komma gibt genau die Reihenfolge an, in der Zehntel zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert werden.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4

Zunächst addieren wir die Nachkommateile 5 + 4 = 9. Wir schreiben neun in den Nachkommateil unserer Antwort:

Nun addieren wir die ganzzahligen Teile 1 + 3 = 4. Die vier schreiben wir in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Nun trennen wir den ganzen Teil durch ein Komma vom Bruchteil. Dazu orientieren wir uns wieder an der „Komma unter Komma“-Regel:

Wir erhielten eine Antwort von 4,9. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4 4,9 beträgt

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 3,51 + 1,22

Schreiben Sie es in eine Spalte dieser Ausdruck, unter Beachtung der „Komma unter Komma“-Regel

Zunächst addieren wir den Bruchteil, nämlich die Hundertstel von 1+2=3. Im hundertsten Teil unserer Antwort schreiben wir ein Tripel:

Addieren Sie nun die Zehntel 5+2=7. Im zehnten Teil unserer Antwort schreiben wir eine Sieben:

Jetzt addieren wir die ganzen Teile 3+1=4. Wir schreiben die vier im gesamten Teil unserer Antwort:

Wir trennen den ganzen Teil vom Bruchteil durch ein Komma und beachten dabei die „Komma unter Komma“-Regel:

Die Antwort, die wir erhielten, war 4,73. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 3,51 + 1,22 gleich 4,73 ist

3,51 + 1,22 = 4,73

Wie bei regulären Zahlen gilt auch beim Addieren von Dezimalzahlen . In diesem Fall wird eine Ziffer in die Antwort geschrieben und der Rest auf die nächste Ziffer übertragen.

Beispiel 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27

Wir schreiben diesen Ausdruck in die Spalte:

Addiere die Hundertstelteile 5+7=12. Die Zahl 12 passt nicht in den Hundertstelteil unserer Antwort. Deshalb schreiben wir im Hundertstelteil die Zahl 2 und verschieben die Einheit auf die nächste Ziffer:

Jetzt addieren wir die Zehntel von 6 + 2 = 8 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, und erhalten 9. Wir schreiben die Zahl 9 in das Zehntel unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzen Teile 2+3=5. Wir schreiben die Zahl 5 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Die Antwort, die wir erhielten, war 5,92. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27 gleich 5,92 ist

2,65 + 3,27 = 5,92

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8

Wir schreiben diesen Ausdruck in die Spalte

Wir addieren die Bruchteile 5 + 8 = 13. Die Zahl 13 passt nicht in den Bruchteil unserer Antwort, also schreiben wir zuerst die Zahl 3 auf und verschieben die Einheit auf die nächste Ziffer bzw. übertragen sie auf die ganzzahliger Teil:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 9+2=11 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, und erhalten 12. Wir schreiben die Zahl 12 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben die Antwort 12.3 erhalten. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8 12,3 beträgt

9,5 + 2,8 = 12,3

Beim Addieren von Dezimalzahlen muss die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich sein. Wenn nicht genügend Zahlen vorhanden sind, werden diese Stellen im Nachkommateil mit Nullen aufgefüllt.

Beispiel 5. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 12,725 + 1,7

Bevor wir diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben, machen wir die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich. Der Dezimalbruch 12,725 hat drei Nachkommastellen, der Bruch 1,7 jedoch nur eine. Das bedeutet, dass Sie im Bruch 1,7 am Ende zwei Nullen hinzufügen müssen. Dann erhalten wir den Bruch 1.700. Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und mit der Berechnung beginnen:

Addiere die Tausendstelteile 5+0=5. Wir schreiben die Zahl 5 in den Tausendstelteil unserer Antwort:

Addiere die Hundertstelteile 2+0=2. Wir schreiben die Zahl 2 in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere die Zehntel 7+7=14. Die Zahl 14 passt nicht in ein Zehntel unserer Antwort. Deshalb schreiben wir zunächst die Zahl 4 auf und verschieben die Einheit auf die nächste Ziffer:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 12+1=13 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, und erhalten 14. Wir schreiben die Zahl 14 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben eine Antwort von 14.425 erhalten. Das bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 12,725+1,700 14,425 ist

12,725+ 1,700 = 14,425

Dezimalzahlen subtrahieren

Beim Subtrahieren von Dezimalbrüchen müssen Sie die gleichen Regeln befolgen wie beim Addieren: „Komma unter Komma“ und „ gleiche Menge Zahlen nach dem Komma.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte und beachten dabei die „Komma unter Komma“-Regel:

Wir berechnen den Bruchteil 5−2=3. Die Nummer 3 schreiben wir in den zehnten Teil unserer Antwort:

Wir berechnen den ganzzahligen Teil 2−2=0. Wir schreiben Null in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben eine Antwort von 0,3 erhalten. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2 gleich 0,3 ist

2,5 − 2,2 = 0,3

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7,353 - 3,1

In diesem Ausdruck unterschiedliche Mengen Nachkommastellen. Der Bruch 7,353 hat drei Nachkommastellen, der Bruch 3,1 jedoch nur eine. Das bedeutet, dass Sie im Bruch 3.1 am Ende zwei Nullen hinzufügen müssen, um die Anzahl der Ziffern in beiden Brüchen gleich zu machen. Dann bekommen wir 3.100.

Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und berechnen:

Wir haben eine Antwort von 4.253 erhalten. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 7,353 − 3,1 gleich 4,253 ist

7,353 — 3,1 = 4,253

Wie bei gewöhnlichen Zahlen müssen Sie manchmal eins von einer benachbarten Ziffer übernehmen, wenn die Subtraktion unmöglich wird.

Beispiel 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,46 − 2,39

Subtrahieren Sie Hundertstel von 6−9. Sie können die Zahl 9 nicht von der Zahl 6 subtrahieren. Daher müssen Sie eins von der benachbarten Ziffer ausleihen. Indem man eins von der benachbarten Ziffer entlehnt, wird aus der Zahl 6 die Zahl 16. Jetzt können Sie die Hundertstel von 16−9=7 berechnen. Wir schreiben eine Sieben in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Jetzt subtrahieren wir Zehntel. Da wir auf dem zehnten Platz eine Einheit belegten, verringerte sich die Zahl, die sich dort befand, um eine Einheit. Mit anderen Worten, an der Zehntelstelle steht jetzt nicht die Zahl 4, sondern die Zahl 3. Berechnen wir die Zehntel von 3−3=0. Im zehnten Teil unserer Antwort schreiben wir Null:

Jetzt subtrahieren wir die ganzen Teile 3−2=1. Wir schreiben eins in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben eine Antwort von 1,07 erhalten. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 3,46 − 2,39 gleich 1,07 ist

3,46−2,39=1,07

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3−1.2

In diesem Beispiel wird eine Dezimalzahl von einer ganzen Zahl subtrahiert. Schreiben wir diesen Ausdruck so in eine Spalte ganzer Teil Es stellte sich heraus, dass der Dezimalbruch 1,23 die Zahl 3 war

Lassen Sie uns nun die Anzahl der Nachkommastellen gleich machen. Dazu setzen wir nach der Zahl 3 ein Komma und fügen eine Null hinzu:

Jetzt subtrahieren wir Zehntel: 0−2. Sie können die Zahl 2 nicht von Null subtrahieren. Daher müssen Sie eins von der benachbarten Ziffer entlehnen. Indem man eins von der Nachbarziffer entlehnt hat, wird aus 0 die Zahl 10. Jetzt können Sie die Zehntel von 10−2=8 berechnen. Im zehnten Teil unserer Antwort schreiben wir eine Acht:

Jetzt subtrahieren wir die ganzen Teile. Zuvor befand sich die Nummer 3 im Ganzen, wir haben jedoch eine Einheit davon übernommen. Dadurch wurde daraus die Zahl 2. Daher subtrahieren wir von 2 1. 2−1=1. Wir schreiben eins in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Die Antwort, die wir erhielten, war 1,8. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 3−1.2 1,8 beträgt

Dezimalzahlen multiplizieren

Dezimalzahlen zu multiplizieren ist einfach und macht sogar Spaß. Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, multiplizieren Sie sie wie normale Zahlen und ignorieren dabei die Kommas.

Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzen Teil durch ein Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen zählen, dann in der Antwort die gleiche Anzahl von Nachkommastellen von rechts zählen und ein Komma setzen.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5

Lassen Sie uns diese Dezimalbrüche wie gewöhnliche Zahlen multiplizieren und dabei die Kommas ignorieren. Um die Kommas zu ignorieren, können Sie sich vorübergehend vorstellen, dass sie ganz fehlen:

Wir haben 375 erhalten. Bei dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in den Brüchen 2,5 und 1,5 zählen. Der erste Bruch hat eine Nachkommastelle und der zweite Bruch hat ebenfalls eine. Insgesamt zwei Zahlen.

Wir kehren zur Nummer 375 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern nach rechts zählen und ein Komma setzen:

Wir erhielten eine Antwort von 3,75. Der Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5 beträgt also 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7

Lassen Sie uns diese Dezimalbrüche multiplizieren und dabei die Kommas ignorieren:

Wir haben 34695 erhalten. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in den Brüchen 12,85 und 2,7 zählen. Der Bruch 12,85 hat zwei Nachkommastellen und der Bruch 2,7 hat eine Nachkommastelle, also insgesamt drei Nachkommastellen.

Wir kehren zur Nummer 34695 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Wir haben eine Antwort von 34.695 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7 beträgt also 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Eine Dezimalzahl mit einer regulären Zahl multiplizieren

Manchmal treten Situationen auf, in denen Sie einen Dezimalbruch mit multiplizieren müssen reguläre Zahl.

Um eine Dezimalzahl mit einer Zahl zu multiplizieren, multiplizieren Sie sie, ohne auf das Komma in der Dezimalzahl zu achten. Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzen Teil durch ein Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Dezimalbruch zählen, dann die gleiche Anzahl von Nachkommastellen in der Antwort von rechts zählen und ein Komma setzen.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,54 mit 2

Multiplizieren Sie den Dezimalbruch 2,54 mit der üblichen Zahl 2 und ignorieren Sie dabei das Komma:

Wir haben die Zahl 508 erhalten. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,54 zählen. Der Bruch 2,54 hat zwei Nachkommastellen.

Wir kehren zu Nummer 508 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern nach rechts zählen und ein Komma setzen:

Wir haben eine Antwort von 5.08 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 2,54 × 2 beträgt also 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000 multiplizieren

Die Multiplikation von Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie die Multiplikation von Dezimalzahlen mit regulären Zahlen. Sie müssen die Multiplikation durchführen, ohne auf das Komma im Dezimalbruch zu achten, und dann in der Antwort den ganzen Teil vom Bruchteil trennen und von rechts so viele Ziffern zählen, wie Nachkommastellen vorhanden waren.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,88 mit 10

Multiplizieren Sie den Dezimalbruch 2,88 mit 10 und ignorieren Sie dabei das Komma im Dezimalbruch:

Wir haben 2880 erhalten. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,88 zählen. Wir sehen, dass der Bruch 2,88 zwei Nachkommastellen hat.

Wir kehren zur Nummer 2880 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern nach rechts zählen und ein Komma setzen:

Wir erhielten eine Antwort von 28,80. Lassen wir die letzte Null weg und erhalten 28,8. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 2,88×10 28,8 beträgt

2,88 × 10 = 28,8

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Dabei wird der Dezimalpunkt um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie Nullen im Faktor vorhanden sind.

Lassen Sie uns beispielsweise das vorherige Beispiel 2,88×10 auf diese Weise lösen. Ohne zu rechnen schauen wir uns gleich den Faktor 10 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass darin eine Null steht. Wenn wir nun im Bruch 2,88 den Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschieben, erhalten wir 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Versuchen wir, 2,88 mit 100 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 100 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass darin zwei Nullen stehen. Nun verschieben wir im Bruch 2,88 den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach rechts, wir erhalten 288

2,88 × 100 = 288

Versuchen wir, 2,88 mit 1000 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 1000 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass darin drei Nullen stehen. Nun verschieben wir im Bruch 2,88 den Dezimalpunkt um drei Stellen nach rechts. Da es dort keine dritte Ziffer gibt, fügen wir eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 multiplizieren

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 funktioniert auf die gleiche Weise wie das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl. Es ist notwendig, die Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu multiplizieren und in der Antwort ein Komma einzufügen, wobei so viele Ziffern rechts gezählt werden, wie Nachkommastellen in beiden Brüchen vorhanden sind.

Multiplizieren Sie beispielsweise 3,25 mit 0,1

Wir multiplizieren diese Brüche wie gewöhnliche Zahlen und ignorieren die Kommas:

Wir haben 325 erhalten. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in den Brüchen 3,25 und 0,1 zählen. Der Bruch 3,25 hat zwei Nachkommastellen und der Bruch 0,1 hat eine Nachkommastelle. Insgesamt drei Zahlen.

Wir kehren zur Nummer 325 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen. Nachdem wir drei Ziffern heruntergezählt haben, stellen wir fest, dass die Zahlen aufgebraucht sind. In diesem Fall müssen Sie eine Null und ein Komma hinzufügen:

Wir erhielten eine Antwort von 0,325. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 3,25 × 0,1 0,325 beträgt

3,25 × 0,1 = 0,325

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Dabei wird der Dezimalpunkt um so viele Stellen nach links verschoben, wie Nullen im Faktor vorhanden sind.

Lassen Sie uns beispielsweise das vorherige Beispiel 3,25 × 0,1 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzustellen, schauen wir uns gleich den Multiplikator von 0,1 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass darin eine Null steht. Nun verschieben wir im Bruch 3,25 den Dezimalpunkt um eine Ziffer nach links. Indem wir das Komma um eine Ziffer nach links verschieben, sehen wir, dass vor der Drei keine Ziffer mehr steht. Fügen Sie in diesem Fall eine Null hinzu und setzen Sie ein Komma. Das Ergebnis ist 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,01 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Multiplikator von 0,01 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass darin zwei Nullen stehen. Nun verschieben wir im Bruch 3,25 den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach links, wir erhalten 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,001 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Multiplikator von 0,001 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass darin drei Nullen stehen. Nun verschieben wir im Bruch 3,25 den Dezimalpunkt um drei Stellen nach links, wir erhalten 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Verwechseln Sie die Multiplikation von Dezimalbrüchen mit 0,1, 0,001 und 0,001 nicht mit der Multiplikation mit 10, 100, 1000. Häufiger Fehler die meisten Leute.

Bei der Multiplikation mit 10, 100, 1000 wird der Dezimalpunkt um die gleiche Anzahl Stellen nach rechts verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Und bei der Multiplikation mit 0,1, 0,01 und 0,001 wird der Dezimalpunkt um die gleiche Anzahl Stellen nach links verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Wenn es zunächst schwierig ist, sich daran zu erinnern, können Sie die erste Methode verwenden, bei der die Multiplikation wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt wird. In der Antwort müssen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil trennen und dabei rechts so viele Ziffern zählen, wie Nachkommastellen in beiden Brüchen vorhanden sind.

Eine kleinere Zahl durch eine größere Zahl dividieren. Fortgeschrittenes Level.

In einer der vorherigen Lektionen haben wir gesagt, dass man beim Teilen einer kleineren Zahl durch eine größere Zahl einen Bruch erhält, dessen Zähler der Dividend und dessen Nenner der Divisor ist.

Um beispielsweise einen Apfel durch zwei zu teilen, müssen Sie 1 (ein Apfel) in den Zähler und 2 (zwei Freunde) in den Nenner schreiben. Als Ergebnis erhalten wir den Bruch. Das bedeutet, dass jeder Freund einen Apfel bekommt. Mit anderen Worten, ein halber Apfel. Der Bruch ist die Antwort auf das Problem „Wie man einen Apfel in zwei teilt“

Es stellt sich heraus, dass Sie dieses Problem weiter lösen können, wenn Sie 1 durch 2 dividieren. Schließlich bedeutet der Bruchstrich in jedem Bruch eine Division, und daher ist diese Division im Bruch zulässig. Aber wie? Wir sind daran gewöhnt, dass die Dividende immer größer ist als der Divisor. Aber hier ist es umgekehrt, die Dividende kleiner als Teiler.

Alles wird klar, wenn wir uns daran erinnern, dass ein Bruch Zerkleinerung, Teilung, Teilung bedeutet. Das bedeutet, dass die Einheit in beliebig viele Teile geteilt werden kann und nicht nur in zwei Teile.

Wenn Sie eine kleinere Zahl durch eine größere Zahl dividieren, erhalten Sie einen Dezimalbruch, dessen ganzzahliger Teil 0 (Null) ist. Der Bruchteil kann alles sein.

Teilen wir also 1 durch 2. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Eins kann nicht vollständig in zwei geteilt werden. Wenn Sie eine Frage stellen „Wie viele Zweier sind in einem“ , dann ist die Antwort 0. Deshalb schreiben wir im Quotienten 0 und setzen ein Komma:

Nun multiplizieren wir wie üblich den Quotienten mit dem Divisor, um den Rest zu erhalten:

Der Moment ist gekommen, in dem die Einheit in zwei Teile geteilt werden kann. Fügen Sie dazu rechts von der resultierenden Eins eine weitere Null hinzu:

Wir haben 10. Teilen Sie 10 durch 2, wir erhalten 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt nehmen wir den letzten Rest heraus, um die Berechnung abzuschließen. Multiplizieren Sie 5 mit 2, um 10 zu erhalten

Wir erhielten eine Antwort von 0,5. Der Bruch ist also 0,5

Ein halber Apfel kann auch mit dem Dezimalbruch 0,5 geschrieben werden. Wenn wir diese beiden Hälften (0,5 und 0,5) addieren, erhalten wir wieder den ursprünglichen ganzen Apfel:

Dieser Punkt kann auch verstanden werden, wenn man sich vorstellt, wie 1 cm in zwei Teile geteilt wird. Wenn Sie 1 Zentimeter in 2 Teile teilen, erhalten Sie 0,5 cm

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4:5

Wie viele Fünfer gibt es in einer Vier? Gar nicht. Wir schreiben 0 in den Quotienten und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5 und erhalten 0. Wir schreiben eine Null unter die Vier. Subtrahieren Sie diese Null sofort vom Dividenden:

Beginnen wir nun mit der Aufteilung (Aufteilung) der vier in fünf Teile. Fügen Sie dazu rechts von 4 eine Null hinzu und dividieren Sie 40 durch 5, wir erhalten 8. Wir schreiben acht in den Quotienten.

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 8 mit 5 multiplizieren, um 40 zu erhalten:

Wir haben eine Antwort von 0,8 erhalten. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 4:5 0,8 beträgt

Beispiel 3. Finden Sie den Wert von Ausdruck 5: 125

Wie viele Zahlen sind 125 in fünf? Gar nicht. Wir schreiben 0 in den Quotienten und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5 und erhalten 0. Wir schreiben 0 unter die Fünf. Subtrahiere sofort 0 von fünf

Beginnen wir nun mit der Aufteilung (Aufteilung) der fünf in 125 Teile. Dazu schreiben wir rechts von dieser Fünf eine Null:

Teilen Sie 50 durch 125. Wie viele Zahlen hat 125 in der Zahl 50? Gar nicht. Im Quotienten schreiben wir also wieder 0

Multiplizieren Sie 0 mit 125, wir erhalten 0. Schreiben Sie diese Null unter 50. Subtrahieren Sie sofort 0 von 50

Teilen Sie nun die Zahl 50 in 125 Teile. Dazu schreiben wir rechts von 50 eine weitere Null:

Teilen Sie 500 durch 125. Wie viele Zahlen sind 125 in der Zahl 500? Es gibt vier Zahlen 125 in der Zahl 500. Schreiben Sie die vier in den Quotienten:

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 4 mit 125 multiplizieren, um 500 zu erhalten

Wir haben eine Antwort von 0,04 erhalten. Dies bedeutet, dass der Wert von Ausdruck 5: 125 0,04 beträgt

Zahlen ohne Rest dividieren

Setzen wir also nach der Einheit im Quotienten ein Komma, um anzuzeigen, dass die Division der ganzzahligen Teile beendet ist und wir mit dem Bruchteil fortfahren:

Addieren wir Null zum Rest 4

Teilen Sie nun 40 durch 5, wir erhalten 8. Wir schreiben acht in den Quotienten:

40−40=0. Wir haben noch 0 übrig. Damit ist die Teilung vollständig abgeschlossen. Die Division von 9 durch 5 ergibt den Dezimalbruch 1,8:

9: 5 = 1,8

Beispiel 2. Teilen Sie 84 ohne Rest durch 5

Teilen Sie zunächst wie gewohnt 84 durch 5 mit einem Rest:

Wir haben 16 privat und 4 weitere übrig. Nun teilen wir diesen Rest durch 5. Setzen Sie ein Komma in den Quotienten und addieren Sie 0 zum Rest 4

Teilen wir nun 40 durch 5, erhalten wir 8. Die Acht schreiben wir in den Quotienten nach dem Komma:

und vervollständigen Sie das Beispiel, indem Sie prüfen, ob noch ein Rest vorhanden ist:

Eine Dezimalzahl durch eine reguläre Zahl dividieren

Wie wir wissen, besteht ein Dezimalbruch aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Wenn Sie einen Dezimalbruch durch eine reguläre Zahl dividieren, müssen Sie zunächst Folgendes tun:

• Teilen Sie den ganzen Teil des Dezimalbruchs durch diese Zahl.
• Nachdem der gesamte Teil dividiert wurde, müssen Sie sofort ein Komma in den Quotienten setzen und die Berechnung wie folgt fortsetzen gewöhnliche Teilung.

Teilen Sie beispielsweise 4,8 durch 2

Schreiben wir dieses Beispiel in eine Ecke:

Teilen wir nun den ganzen Teil durch 2. Vier geteilt durch zwei ergibt zwei. Wir schreiben zwei in den Quotienten und setzen sofort ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und schauen, ob bei der Division ein Rest übrig bleibt:

4−4=0. Rest gleich Null. Wir schreiben noch keine Null, da die Lösung noch nicht abgeschlossen ist. Als nächstes rechnen wir wie bei der gewöhnlichen Division weiter. Nimm 8 ab und dividiere es durch 2

8: 2 = 4. Wir schreiben die vier in den Quotienten und multiplizieren ihn sofort mit dem Divisor:

Wir haben eine Antwort von 2,4 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 4,8:2 ist 2,4

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 8,43: 3

Teilen Sie 8 durch 3, wir erhalten 2. Setzen Sie sofort ein Komma nach der 2:

Jetzt multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor 2 × 3 = 6. Wir schreiben die Sechs unter die Acht und ermitteln den Rest:

Teilen Sie 24 durch 3, wir erhalten 8. Wir schreiben acht in den Quotienten. Multiplizieren Sie es sofort mit dem Divisor, um den Rest der Division zu ermitteln:

24−24=0. Der Rest ist Null. Wir schreiben Null noch nicht auf. Wir nehmen die letzten drei vom Dividenden ab und dividieren durch 3, wir erhalten 1. Multiplizieren Sie sofort 1 mit 3, um dieses Beispiel zu vervollständigen:

Die Antwort, die wir erhielten, war 2,81. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 8,43:3 2,81 beträgt

Eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl dividieren

Um einen Dezimalbruch durch einen Dezimalbruch zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt im Dividenden und Divisor um die gleiche Anzahl an Stellen nach rechts verschieben, wie nach dem Dezimalpunkt im Divisor vorhanden sind, und dann durch die übliche Zahl dividieren.

Teilen Sie beispielsweise 5,95 durch 1,7

Schreiben wir diesen Ausdruck mit einer Ecke

Nun verschieben wir im Dividenden und im Divisor den Dezimalpunkt um die gleiche Anzahl Nachkommastellen nach rechts wie im Divisor. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Das bedeutet, dass wir beim Dividenden und Divisor den Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschieben müssen. Wir übertragen:

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschoben wurde, wurde aus dem Dezimalbruch 5,95 der Bruch 59,5. Und der Dezimalbruch 1,7 verwandelte sich, nachdem er den Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschoben hatte, in die übliche Zahl 17. Und wir wissen bereits, wie man einen Dezimalbruch durch eine reguläre Zahl dividiert. Die weitere Berechnung ist nicht schwierig:

Das Komma wird nach rechts verschoben, um die Unterteilung zu erleichtern. Dies ist zulässig, da sich der Quotient nicht ändert, wenn der Dividend und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden. Was bedeutet das?

Dies ist einer von interessante Funktionen Aufteilung. Man nennt sie Quotienteneigenschaft. Betrachten Sie Ausdruck 9: 3 = 3. Wenn in diesem Ausdruck der Dividend und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Quotient 3 nicht.

Lassen Sie uns den Dividenden und den Divisor mit 2 multiplizieren und sehen, was dabei herauskommt:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat sich der Quotient nicht verändert.

Das Gleiche passiert, wenn wir das Komma im Dividenden und im Divisor verschieben. Im vorherigen Beispiel, in dem wir 5,91 durch 1,7 dividiert haben, haben wir das Komma im Dividenden und Divisor um eine Ziffer nach rechts verschoben. Nach dem Verschieben des Dezimalpunkts wurde der Bruch 5,91 in den Bruch 59,1 und der Bruch 1,7 in die übliche Zahl 17 umgewandelt.

Tatsächlich fand innerhalb dieses Prozesses eine Multiplikation mit 10 statt. So sah es aus:

5,91 × 10 = 59,1

Daher bestimmt die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor, womit Dividend und Divisor multipliziert werden. Mit anderen Worten: Die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor bestimmt, um wie viele Stellen im Dividenden und im Divisor der Dezimalpunkt nach rechts verschoben wird.

Eine Dezimalzahl durch 10, 100, 1000 dividieren

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie . Teilen Sie beispielsweise 2,1 durch 10. Lösen Sie dieses Beispiel anhand einer Ecke:

Aber es gibt einen zweiten Weg. Es ist leichter. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach links verschoben wird, wie Nullen im Divisor vorhanden sind.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 2.1: 10. Wir schauen uns den Divisor an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Das bedeutet, dass Sie beim Dividenden von 2,1 den Dezimalpunkt um eine Ziffer nach links verschieben müssen. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach links und sehen, dass keine Ziffern mehr übrig sind. Fügen Sie in diesem Fall vor der Zahl eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 0,21

Versuchen wir, 2,1 durch 100 zu teilen. Es gibt zwei Nullen in 100. Das bedeutet, dass wir im Dividenden 2.1 das Komma um zwei Ziffern nach links verschieben müssen:

2,1: 100 = 0,021

Versuchen wir, 2,1 durch 1000 zu teilen. Es gibt drei Nullen in 1000. Das bedeutet, dass Sie im Dividenden 2.1 das Komma um drei Ziffern nach links verschieben müssen:

2,1: 1000 = 0,0021

Eine Dezimalzahl durch 0,1, 0,01 und 0,001 dividieren

Die Division eines Dezimalbruchs durch 0,1, 0,01 und 0,001 erfolgt auf die gleiche Weise wie . Beim Dividenden und beim Divisor müssen Sie den Dezimalpunkt um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie nach dem Dezimalpunkt im Divisor vorhanden sind.

Teilen wir zum Beispiel 6,3 durch 0,1. Verschieben wir zunächst die Kommas im Dividenden und Divisor um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen nach rechts wie im Divisor. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Das heißt, wir verschieben die Kommas im Dividenden und Divisor um eine Ziffer nach rechts.

Nach dem Verschieben des Dezimalpunkts um eine Stelle nach rechts wird der Dezimalbruch 6,3 zur üblichen Zahl 63, und der Dezimalbruch 0,1 wird nach dem Verschieben des Dezimalpunkts um eine Stelle nach rechts zu eins. Und 63 durch 1 zu dividieren ist ganz einfach:

Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 6,3: 0,1 63 ist

Aber es gibt einen zweiten Weg. Es ist leichter. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie Nullen im Divisor vorhanden sind.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 6,3: 0,1. Schauen wir uns den Divisor an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Das bedeutet, dass Sie beim Dividenden von 6,3 den Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschieben müssen. Verschieben Sie das Komma um eine Ziffer nach rechts und erhalten Sie 63

Versuchen wir, 6,3 durch 0,01 zu dividieren. Der Teiler von 0,01 hat zwei Nullen. Das bedeutet, dass wir im Dividenden 6,3 den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach rechts verschieben müssen. Aber im Dividenden gibt es nur eine Nachkommastelle. In diesem Fall müssen Sie am Ende eine weitere Null hinzufügen. Als Ergebnis erhalten wir 630

Versuchen wir, 6,3 durch 0,001 zu dividieren. Der Teiler von 0,001 hat drei Nullen. Das bedeutet, dass wir im Dividenden 6,3 den Dezimalpunkt um drei Stellen nach rechts verschieben müssen:

6,3: 0,001 = 6300

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

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Lektion: Dezimalschreibweise von Bruchzahlen

Bruchzahlen

Das Vorzeichen des Bruchs kann durch jede reelle Zahl ausgedrückt werden. Bruchzahlen, bei denen das Vorzeichen 10 ist; 100; 1000;... stimmten zu, zu unterschreiben, ohne es zu wissen. Jede Bruchzahl im Vorzeichen von etwas 10; 100; 1000 usw. (also eine Einheit mit mehreren nu-la-mi) kann in Form eines des-sya-tic-no-pi-si (in Form eines des-sya-tic-no-Bruchs) dargestellt werden. Zuerst schreiben sie den ganzen Teil, dann die Zahl des Bruchteils und nach der Quinte den ganzen Teil aus dem Bruchteil.

Zum Beispiel,

Fehlt der ganze Teil, d.h. Wenn der Bruch richtig ist, wird der ganze Teil als 0 geschrieben.

Einen Dezimalbruch schreiben

Um einen Dezimalbruch korrekt zu schreiben, muss der Zähler des Bruchteils so viele Vorzeichen haben, wie Nullen im Bruchteil vorhanden sind.

1. Schreiben Sie es in Form eines Bruchs auf.

2. Stellen Sie einen dekrementalen Bruch in Form eines Bruchs oder einer gemischten Zahl dar.

3. Pro-Chi-Tai-diese De-Sya-Tich-Fraktionen.

12,4 - 12 ganze 4 Zehntel;

0,3 - 0 ganze 3 Zehntel;

1,14 - 1 Punkt 14 Hundertstel;

2,07 - 2 Komma 7 Hundertstel;

0,06 - 0 Punkt 6 Hundertstel;

0,25 - 0 Punkt 25;

1,234 - 1 Komma 234 Tausend;

1,230 - 1 Komma 230 Tausend;

1,034 - 1 Komma 34 Tausend;

1,004 - 1 Komma 4 Tausend;

1,030 - 1 Komma 30.000;

0,010101 - 0 ganze 10101 Millionen.

4. Pe-re-ne-si-te die fünfte in jeder Ziffer eine Zeile weiter links und wiederhole die Zahlen.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Pe-re-ne-si-te die fünfte in jeder der Zahlen eine Reihe rechts und lies die nächste Zahl.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Du-ra-zi-die in Metern und San-ti-Metern.

3,28 m = 3 m + .

7. Du-ra-zi-die in Ton-Nah und Kilo-Gramm-Mah.

24.030 t = 24 t.

8. Schreiben Sie den Quotienten in Form eines des-sya-tischen Bruchs.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

Bruchzahl.

Dezimalschreibweise einer Bruchzahl ist eine Menge von zwei oder mehr Ziffern von $0$ bis $9$, zwischen denen sich ein sogenannter \textit (Dezimalpunkt) befindet.

Beispiel 1

Beispiel: 35,02 $; 100,7 $; 123 $\456,5 $; 54,89 $.

Die Ziffer ganz links in Dezimalschreibweise Die Zahl darf nicht Null sein. Die einzige Ausnahme besteht darin, dass der Dezimalpunkt unmittelbar nach der ersten Ziffer $0$ steht.

Beispiel 2

Beispiel: 0,357 $; 0,064 $.

Oftmals wird der Dezimalpunkt ersetzt Komma. Beispiel: 35,02 $; 100,7 $; 123\456,5$; 54,89 $.

Dezimaldefinition

Definition 1

Dezimalzahlen– Dies sind Bruchzahlen, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden.

Beispiel: 121,05 $; 67,9 $; 345,6700 $.

Dezimalzahlen werden verwendet, um echte Brüche kompakter zu schreiben, deren Nenner die Zahlen $10$, $100$, $1\000$ usw. sind. und gemischte Zahlen, deren Nenner des Bruchteils die Zahlen $10$, $100$, $1\000$ usw. sind.

Zum Beispiel, gemeinsamer Bruch$\frac(8)(10)$ kann als Dezimalzahl $0,8$ geschrieben werden, und die gemischte Zahl $405\frac(8)(100)$ kann als Dezimalzahl $405,08$ geschrieben werden.

Dezimalzahlen lesen

Dezimalbrüche, die regulären Brüchen entsprechen, werden genauso gelesen wie gewöhnliche Brüche, nur dass der Ausdruck „Null-Ganzzahl“ vorangestellt wird. Beispielsweise entspricht der gemeinsame Bruch $\frac(25)(100)$ (sprich „fünfundzwanzig Hundertstel“) dem Dezimalbruch $0,25$ (sprich „Nullkomma fünfundzwanzig Hundertstel“).

Dezimalbrüche, die gemischten Zahlen entsprechen, werden auf die gleiche Weise gelesen wie gemischte Zahlen. Beispielsweise entspricht die gemischte Zahl $43\frac(15)(1000)$ dem Dezimalbruch $43,015$ (sprich „dreiundvierzig Komma fünfzehntausendstel“).

Stellen in Dezimalstellen

Beim Schreiben eines Dezimalbruchs hängt die Bedeutung jeder Ziffer von ihrer Position ab. Diese. bei Dezimalbrüchen gilt das Konzept auch Kategorie.

Stellen in Dezimalbrüchen bis Komma heißen die gleichen wie die Ziffern in den natürlichen Zahlen. Die Nachkommastellen sind in der Tabelle aufgeführt:

Bild 1.

Beispiel 3

Beispielsweise befindet sich im Dezimalbruch $56,328$ die Ziffer $5$ an der Zehnerstelle, $6$ an der Einerstelle, $3$ an der Zehntelstelle, $2$ an der Hundertstelstelle und $8$ an der Tausendstelstelle Ort.

Stellen in Dezimalbrüchen werden durch ihre Rangfolge unterschieden. Bewegen Sie sich beim Lesen eines Dezimalbruchs von links nach rechts – von Senior Rang zu jünger.

Beispiel 4

Beispielsweise ist im Dezimalbruch $56,328$ die höchstwertige (höchste) Stelle die Zehnerstelle und die niedrigste (niedrigste) Stelle die Tausendstelstelle.

Ein Dezimalbruch kann auf ähnliche Weise in Ziffern zerlegt werden wie eine natürliche Zahl in Ziffern.

Beispiel 5

Zerlegen wir zum Beispiel den Dezimalbruch $37,851$ in Ziffern:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Endende Dezimalstellen

Definition 2

Endende Dezimalstellen werden Dezimalbrüche genannt, deren Datensätze enthalten letzte Zahl Zeichen (Ziffern).

Beispiel: 0,138 $; 5,34 $; 56,123456 $; 350.972,54 $.

Jeder endliche Dezimalbruch kann in einen Bruch oder eine gemischte Zahl umgewandelt werden.

Beispiel 6

Beispielsweise ergibt der letzte Dezimalbruch $7,39$ die Antwort eine Bruchzahl$7\frac(39)(100)$, und der letzte Dezimalbruch $0,5$ entspricht dem eigentlichen gemeinsamen Bruch $\frac(5)(10)$ (oder einem beliebigen Bruch, der ihm gleich ist, zum Beispiel $\frac). (1) (2)$ oder $\frac(10)(20)$.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Brüche mit Nennern $10, 100, \dots$ in Dezimalzahlen umwandeln

Bevor man echte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln kann, müssen diese zunächst „vorbereitet“ werden. Das Ergebnis einer solchen Vorbereitung sollte die gleiche Anzahl an Ziffern im Zähler und die gleiche Anzahl an Nullen im Nenner sein.

Das Wesen der „vorläufigen Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, so viele Nullen links im Zähler hinzuzufügen, dass gesamt Ziffern wurden gleich der Anzahl der Nullen im Nenner.

Beispiel 7

Bereiten wir zum Beispiel den Bruch $\frac(43)(1000)$ für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vor und erhalten $\frac(043)(1000)$. Und der gewöhnliche Bruch $\frac(83)(100)$ bedarf keiner Vorbereitung.

Lassen Sie uns formulieren Regel zum Umwandeln eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von $10$, $100$, oder $1\000$, $\dots$ in einen Dezimalbruch:

schreibe $0$;

danach einen Dezimalpunkt setzen;

Notieren Sie die Zahl vom Zähler (ggf. zusammen mit hinzugefügten Nullen nach der Vorbereitung).

Beispiel 8

Wandeln Sie den richtigen Bruch $\frac(23)(100)$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner enthält die Zahl $100$, die $2$ und zwei Nullen enthält. Der Zähler enthält die Zahl $23$, die mit $2$.digits geschrieben wird. Dies bedeutet, dass dieser Bruch nicht für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden muss.

Schreiben wir $0$, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben die Zahl $23$ aus dem Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch $0,23$.

Antwort: $0,23$.

Beispiel 9

Schreiben Sie den richtigen Bruch $\frac(351)(100000)$ als Dezimalzahl.

Lösung.

Der Zähler dieses Bruchs enthält $3$ Ziffern und die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt $5$, daher muss dieser gewöhnliche Bruch für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden. Dazu müssen Sie links im Zähler $5-3=2$ Nullen hinzufügen: $\frac(00351)(100000)$.

Jetzt können wir den gewünschten Dezimalbruch bilden. Schreiben Sie dazu $0$ auf, fügen Sie dann ein Komma hinzu und notieren Sie die Zahl vom Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch $0,00351$.

Antwort: $0,00351$.

Lassen Sie uns formulieren Regel zur Umwandlung unechter Brüche mit den Nennern $10$, $100$, $\dots$ in Dezimalbrüche:

schreibe die Zahl vom Zähler ab;

Verwenden Sie einen Dezimalpunkt, um so viele Ziffern auf der rechten Seite zu trennen, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Beispiel 10

Wandeln Sie den unechten Bruch $\frac(12756)(100)$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Schreiben wir die Zahl vom Zähler $12756$ auf und trennen dann die $2$-Ziffern auf der rechten Seite durch einen Dezimalpunkt, denn Der Nenner des ursprünglichen Bruchs $2$ ist Null. Wir erhalten den Dezimalbruch $127,56$.

In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, und betrachten Sie auch den umgekehrten Vorgang – die Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche. Hier erläutern wir die Regeln für die Umrechnung von Brüchen und geben an detaillierte Lösungen typische Beispiele.

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Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns die Reihenfolge bezeichnen, in der wir uns damit befassen werden Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Zuerst schauen wir uns an, wie man Brüche mit den Nennern 10, 100, 1.000, ... als Dezimalzahlen darstellt. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass Dezimalbrüche im Wesentlichen eine kompakte Schreibweise für gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... sind.

Danach gehen wir weiter und zeigen, wie man jeden gewöhnlichen Bruch (nicht nur solche mit den Nennern 10, 100, ...) als Dezimalbruch schreibt. Wenn gewöhnliche Brüche auf diese Weise behandelt werden, erhält man sowohl endliche Dezimalbrüche als auch unendliche periodische Dezimalbrüche.

Lassen Sie uns nun der Reihe nach über alles sprechen.

Gemeinsame Brüche mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalzahlen umwandeln

Einige echte Brüche erfordern eine „vorläufige Vorbereitung“, bevor sie in Dezimalzahlen umgewandelt werden können. Dies gilt für gewöhnliche Brüche, deren Anzahl an Ziffern im Zähler kleiner ist als die Anzahl der Nullen im Nenner. Beispielsweise muss der gewöhnliche Bruch 2/100 zunächst für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden, der Bruch 9/10 hingegen bedarf keiner Vorbereitung.

Die „vorläufige Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, so viele Nullen links im Zähler hinzuzufügen, dass die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Ein Bruch nach dem Hinzufügen von Nullen sieht beispielsweise so aus:

Sobald Sie einen richtigen Bruch vorbereitet haben, können Sie mit der Umwandlung in eine Dezimalzahl beginnen.

Geben wir Regel zum Umwandeln eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von 10, oder 100, oder 1.000, ... in einen Dezimalbruch. Es besteht aus drei Schritten:

• schreibe 0;
• danach setzen wir einen Dezimalpunkt;
• Wir schreiben die Zahl vom Zähler ab (zusammen mit den hinzugefügten Nullen, falls wir sie hinzugefügt haben).

Betrachten wir die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen.

Beispiel.

Wandeln Sie den richtigen Bruch 37/100 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner enthält die Zahl 100, die zwei Nullen hat. Der Zähler enthält die Zahl 37, seine Schreibweise ist zweistellig, daher muss dieser Bruch nicht für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden.

Jetzt schreiben wir 0, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben aus dem Zähler die Zahl 37, und wir erhalten den Dezimalbruch 0,37.

Antwort:

0,37 .

Um die Fähigkeit zu stärken, echte gewöhnliche Brüche mit den Zählern 10, 100, ... in Dezimalbrüche umzuwandeln, analysieren wir die Lösung anhand eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Schreiben Sie den richtigen Bruch 107/10.000.000 als Dezimalzahl.

Lösung.

Die Anzahl der Ziffern im Zähler beträgt 3 und die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt 7, daher muss dieser gemeinsame Bruch für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden. Wir müssen links im Zähler 7-3=4 Nullen hinzufügen, damit die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Wir bekommen.

Es bleibt nur noch, den erforderlichen Dezimalbruch zu bilden. Dazu schreiben wir erstens 0, zweitens setzen wir ein Komma, drittens schreiben wir die Zahl aus dem Zähler zusammen mit Nullen 0000107, als Ergebnis erhalten wir einen Dezimalbruch 0,0000107.

Antwort:

0,0000107 .

Unechte Brüche erfordern bei der Umwandlung in Dezimalzahlen keine Vorbereitung. Folgendes sollte eingehalten werden Regeln für die Umwandlung unechter Brüche mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalzahlen:

• schreibe die Zahl vom Zähler ab;
• Wir verwenden einen Dezimalpunkt, um so viele Ziffern auf der rechten Seite zu trennen, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Schauen wir uns die Anwendung dieser Regel beim Lösen eines Beispiels an.

Beispiel.

Wandeln Sie den unechten Bruch 56.888.038.009/100.000 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Erstens schreiben wir die Zahl vom Zähler 56888038009 ab und zweitens trennen wir die 5 Ziffern rechts mit einem Dezimalpunkt, da der Nenner des ursprünglichen Bruchs 5 Nullen hat. Als Ergebnis erhalten wir den Dezimalbruch 568880,38009.

Antwort:

568 880,38009 .

Um eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln, dessen Nenner die Zahl 10, oder 100, oder 1.000, ... ist, können Sie umwandeln gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln und dann den resultierenden Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln. Sie können aber auch Folgendes verwenden die Regel zum Umwandeln gemischter Zahlen mit einem gebrochenen Nenner von 10, oder 100, oder 1.000, ... in Dezimalbrüche:

• führen Sie ggf. „durch“ vorbereitende Vorbereitung» Bruchteil der ursprünglichen gemischten Zahl, Addition erforderliche Menge Nullen links im Zähler;
• Notieren Sie den ganzzahligen Teil der ursprünglichen gemischten Zahl.
• setzen Sie einen Dezimalpunkt;
• Wir schreiben die Zahl vom Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen auf.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei der Lösung werden wir alles tun notwendigen Schritte eine gemischte Zahl als Dezimalzahl darstellen.

Beispiel.

Wandeln Sie die gemischte Zahl in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner des Bruchteils hat 4 Nullen, aber der Zähler enthält die Zahl 17, bestehend aus 2 Ziffern, daher müssen wir links im Zähler zwei Nullen hinzufügen, damit die Anzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl von wird Nullen im Nenner. Danach ist der Zähler 0017.

Schreiben wir nun den gesamten Teil auf Originalnummer, also die Zahl 23, setzen wir einen Dezimalpunkt, danach schreiben wir die Zahl vom Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen auf, also 0017, und wir erhalten den gewünschten Dezimalbruch 23,0017.

Schreiben wir die gesamte Lösung kurz auf: .

Natürlich könnte man die gemischte Zahl zunächst als darstellen Nicht richtiger Bruch, und wandeln Sie es dann in einen Dezimalbruch um. Mit diesem Ansatz sieht die Lösung so aus: .

Antwort:

23,0017 .

Brüche in endliche und unendliche periodische Dezimalzahlen umwandeln

Sie können nicht nur gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... in einen Dezimalbruch umwandeln, sondern auch gewöhnliche Brüche mit anderen Nennern. Jetzt werden wir herausfinden, wie das geht.

In manchen Fällen lässt sich der ursprüngliche gewöhnliche Bruch leicht auf einen der Nenner 10, 100 oder 1.000, ... reduzieren (siehe Einen gewöhnlichen Bruch auf einen neuen Nenner bringen), wonach es nicht schwierig ist, den resultierenden Bruch darzustellen als Dezimalbruch. Es ist zum Beispiel offensichtlich, dass der Bruch 2/5 auf einen Bruch mit dem Nenner 10 reduziert werden kann. Dazu müssen Sie Zähler und Nenner mit 2 multiplizieren, was den Bruch 4/10 ergibt, der laut Regeln, die im vorherigen Absatz besprochen wurden, lässt sich leicht in den Dezimalbruch 0, 4 umwandeln.

In anderen Fällen müssen Sie eine andere Methode zur Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in eine Dezimalzahl verwenden, die wir nun betrachten.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, wird der Zähler des Bruchs durch den Nenner dividiert, der Zähler wird zunächst durch einen gleichen Dezimalbruch mit beliebig vielen Nullen nach dem Dezimalpunkt ersetzt (wir haben darüber im Abschnitt gleich und gesprochen). ungleiche Dezimalbrüche). In diesem Fall erfolgt die Division auf die gleiche Weise wie die Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen, und im Quotienten wird ein Dezimalpunkt gesetzt, wenn die Division des ganzen Teils des Dividenden endet. All dies wird anhand der Lösungen zu den unten aufgeführten Beispielen deutlich.

Beispiel.

Wandeln Sie den Bruch 621/4 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Stellen wir die Zahl im Zähler 621 als Dezimalbruch dar und fügen dahinter einen Dezimalpunkt und mehrere Nullen hinzu. Zuerst fügen wir zwei Ziffern 0 hinzu, später können wir bei Bedarf jederzeit weitere Nullen hinzufügen. Wir haben also 621,00.

Teilen wir nun die Zahl 621.000 mit einer Spalte durch 4. Die ersten drei Schritte unterscheiden sich nicht von der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Danach erhalten wir das folgende Bild:

So kommen wir zum Dezimalpunkt im Dividenden, und der Rest ist von Null verschieden. In diesem Fall setzen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten und dividieren in einer Spalte weiter, ohne auf die Kommas zu achten:

Damit ist die Division abgeschlossen und wir erhalten als Ergebnis den Dezimalbruch 155,25, der dem ursprünglichen gewöhnlichen Bruch entspricht.

Antwort:

155,25 .

Um das Material zu festigen, betrachten wir die Lösung anhand eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Wandeln Sie den Bruch 21/800 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Um diesen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, dividieren wir mit einer Spalte des Dezimalbruchs 21.000 ... durch 800. Nach dem ersten Schritt müssen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten setzen und dann mit der Division fortfahren:

Schließlich haben wir den Rest 0 erhalten. Damit ist die Umwandlung des gemeinsamen Bruchs 21/400 in einen Dezimalbruch abgeschlossen und wir sind beim Dezimalbruch 0,02625 angekommen.

Antwort:

0,02625 .

Es kann vorkommen, dass wir bei der Division des Zählers durch den Nenner eines gewöhnlichen Bruchs immer noch keinen Rest von 0 erhalten. In diesen Fällen kann die Teilung auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden. Ab einem bestimmten Schritt beginnen sich die Reste jedoch periodisch zu wiederholen, und auch die Zahlen im Quotienten wiederholen sich. Das bedeutet, dass der ursprüngliche Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch umgewandelt wird. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel.

Schreiben Sie den Bruch 19/44 als Dezimalzahl.

Lösung.

Um einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, führen Sie eine Division durch eine Spalte durch:

Es ist bereits klar, dass sich bei der Division die Reste 8 und 36 zu wiederholen begannen, während sich im Quotienten die Zahlen 1 und 8 wiederholen. Somit wird der ursprüngliche gemeinsame Bruch 19/44 in einen periodischen Dezimalbruch 0,43181818...=0,43(18) umgewandelt.

Antwort:

0,43(18) .

Um diesen Punkt abzuschließen, werden wir herausfinden, welche gewöhnlichen Brüche in endliche Dezimalbrüche umgewandelt werden können und welche nur in periodische Brüche umgewandelt werden können.

Wir haben einen irreduziblen gewöhnlichen Bruch vor uns (wenn der Bruch reduzierbar ist, dann reduzieren wir ihn zuerst), und wir müssen herausfinden, in welchen Dezimalbruch er umgewandelt werden kann – endlich oder periodisch.

Es ist klar, dass, wenn ein gewöhnlicher Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1.000, ... reduziert werden kann, der resultierende Bruch gemäß den im vorherigen Absatz besprochenen Regeln leicht in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt werden kann. Aber zu den Nennern 10, 100, 1.000 usw. Es werden nicht alle gewöhnlichen Brüche angegeben. Nur Brüche, deren Nenner mindestens eine der Zahlen 10, 100, ... ist, können auf solche Nenner reduziert werden. Und welche Zahlen können Teiler von 10, 100, ... sein? Die Zahlen 10, 100, ... ermöglichen uns die Beantwortung dieser Frage und lauten wie folgt: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Daraus folgt, dass die Teiler 10, 100, 1.000 usw. sind. Es kann nur Zahlen geben, deren Zerlegungen in Primfaktoren enthalten nur die Zahlen 2 und (oder) 5.

Jetzt können wir es tun Allgemeine Schlussfolgerung Informationen zum Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen:

• wenn bei der Zerlegung des Nenners in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 vorhanden sind, dann kann dieser Bruch in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt werden;
• Wenn in der Entwicklung des Nenners neben Zweier und Fünfer noch weitere Primzahlen vorkommen, wird dieser Bruch in einen unendlichen dezimalen periodischen Bruch umgewandelt.

Beispiel.

Sagen Sie mir, ohne gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, welche der Brüche 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt werden können und welche nur in einen periodischen Bruch umgewandelt werden können.

Lösung.

Der Nenner des Bruchs 47/20 wird in Primfaktoren zerlegt als 20=2·2·5. In dieser Erweiterung gibt es nur Zweier und Fünfer, sodass dieser Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1.000, ... reduziert werden kann (in diesem Beispiel auf den Nenner 100) und daher in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden kann Fraktion.

Die Zerlegung des Nenners des Bruchs 7/12 in Primfaktoren hat die Form 12=2·2·3. Da er einen Primfaktor von 3 enthält, der sich von 2 und 5 unterscheidet, kann dieser Bruch nicht als endliche Dezimalzahl dargestellt werden, sondern kann in eine periodische Dezimalzahl umgewandelt werden.

Fraktion 21/56 – kontraktil, nach der Kontraktion nimmt es die Form 3/8 an. Die Zerlegung des Nenners in Primfaktoren enthält drei Faktoren gleich 2, daher kann der gemeinsame Bruch 3/8 und damit der gleiche Bruch 21/56 in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Schließlich ist die Entwicklung des Nenners des Bruchs 31/17 selbst 17, daher kann dieser Bruch nicht in einen endlichen Dezimalbruch, sondern in einen unendlichen periodischen Bruch umgewandelt werden.

Antwort:

47/20 und 21/56 können in einen endlichen Dezimalbruch umgewandelt werden, 7/12 und 31/17 können jedoch nur in einen periodischen Bruch umgewandelt werden.

Gewöhnliche Brüche lassen sich nicht in unendliche nichtperiodische Dezimalzahlen umwandeln

Die Informationen im vorherigen Absatz werfen die Frage auf: „Kann die Division des Zählers eines Bruchs durch den Nenner zu einem unendlichen nichtperiodischen Bruch führen?“

Antwort: Nein. Bei der Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs kann das Ergebnis entweder ein endlicher Dezimalbruch oder ein unendlich periodischer Dezimalbruch sein. Lassen Sie uns erklären, warum das so ist.

Aus dem Satz über die Teilbarkeit durch einen Rest geht klar hervor, dass der Rest immer kleiner als der Teiler ist, d. h. wenn wir eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl q dividieren, dann kann der Rest nur eine der Zahlen 0, 1, 2 sein , ..., q−1. Daraus folgt, dass, nachdem die Spalte die Division des ganzzahligen Teils des Zählers eines gemeinsamen Bruchs durch den Nenner q abgeschlossen hat, in nicht mehr als q Schritten eine der beiden folgenden Situationen auftritt:

• oder wir erhalten einen Rest von 0, dies beendet die Division und wir erhalten den letzten Dezimalbruch;
• oder wir erhalten einen Rest, der bereits zuvor aufgetreten ist, wonach sich die Reste wie im vorherigen Beispiel wiederholen (da beim Dividieren). gleiche Zahlen(Wenn auf q gleiche Reste erhalten werden, was sich aus dem bereits erwähnten Teilbarkeitssatz ergibt), erhält man einen unendlichen periodischen Dezimalbruch.

Es gibt keine anderen Optionen, daher kann bei der Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch kein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch erhalten werden.

Aus der in diesem Absatz dargelegten Überlegung folgt auch, dass die Länge der Periode eines Dezimalbruchs immer kleiner ist als der Wert des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandelt. Beginnen wir mit der Umwandlung von letzten Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche. Anschließend betrachten wir eine Methode zur Invertierung unendlicher periodischer Dezimalbrüche. Lassen Sie uns abschließend sagen, dass es unmöglich ist, unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln.

Nachgestellte Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Es ist ziemlich einfach, einen Bruch zu erhalten, der als letzte Dezimalzahl geschrieben wird. Die Regel zum Umwandeln eines letzten Dezimalbruchs in einen gemeinsamen Bruch besteht aus drei Schritten:

• Schreiben Sie zunächst den angegebenen Dezimalbruch in den Zähler, nachdem Sie zuvor den Dezimalpunkt und alle Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden, verworfen haben.
• zweitens schreiben Sie eine Eins in den Nenner und fügen so viele Nullen hinzu, wie Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch vorhanden sind.
• Drittens reduzieren Sie gegebenenfalls den resultierenden Bruchteil.

Schauen wir uns die Lösungen zu den Beispielen an.

Beispiel.

Wandeln Sie die Dezimalzahl 3,025 in einen Bruch um.

Lösung.

Wenn wir den Dezimalpunkt vom ursprünglichen Dezimalbruch entfernen, erhalten wir die Zahl 3.025. Auf der linken Seite gibt es keine Nullen, die wir verwerfen würden. Wir schreiben also 3.025 in den Zähler des gewünschten Bruchs.

Wir schreiben die Zahl 1 in den Nenner und fügen rechts davon 3 Nullen hinzu, da im ursprünglichen Dezimalbruch 3 Nachkommastellen stehen.

Wir haben also den gemeinsamen Bruch 3.025/1.000 erhalten. Dieser Bruch kann um 25 reduziert werden, wir erhalten .

Antwort:

.

Beispiel.

Wandeln Sie den Dezimalbruch 0,0017 in einen Bruch um.

Lösung.

Ohne Dezimalpunkt sieht der ursprüngliche Dezimalbruch wie 00017 aus. Wenn wir die Nullen auf der linken Seite weglassen, erhalten wir die Zahl 17, die der Zähler des gewünschten gewöhnlichen Bruchs ist.

Wir schreiben eins mit vier Nullen im Nenner, da der ursprüngliche Dezimalbruch 4 Nachkommastellen hat.

Als Ergebnis haben wir einen gewöhnlichen Bruch 17/10.000. Dieser Bruch ist irreduzibel und die Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch ist abgeschlossen.

Antwort:

.

Wenn der ganzzahlige Teil des ursprünglichen endgültigen Dezimalbruchs ungleich Null ist, kann er unter Umgehung des gemeinsamen Bruchs sofort in eine gemischte Zahl umgewandelt werden. Geben wir Regel zum Umwandeln eines letzten Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl:

• die Zahl vor dem Komma muss als ganzzahliger Teil der gewünschten gemischten Zahl geschrieben werden;
• in den Zähler des Bruchteils müssen Sie die Zahl schreiben, die sich aus dem Bruchteil des ursprünglichen Dezimalbruchs ergibt, nachdem alle Nullen auf der linken Seite verworfen wurden;
• im Nenner des Bruchteils müssen Sie die Zahl 1 aufschreiben und rechts so viele Nullen hinzufügen, wie Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch vorhanden sind;
• Reduzieren Sie ggf. den Bruchteil der resultierenden gemischten Zahl.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Umwandlung eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl an.

Beispiel.

Drücken Sie den Dezimalbruch 152,06005 als gemischte Zahl aus

Brüche geschrieben in der Form 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 wird als Dezimalzahl bezeichnet. Tatsächlich handelt es sich bei Dezimalbrüchen um eine vereinfachte Schreibweise gewöhnliche Brüche. Diese Notation lässt sich bequem für alle Brüche verwenden, deren Nenner 10, 100, 1000 usw. sind.

Schauen wir uns Beispiele an (0,5 wird als null Komma fünf gelesen);

(0,15 gelesen als Null Komma fünfzehn);

(5.3 lautet: fünf Punkt drei).

Bitte beachten Sie, dass in der Notation eines Dezimalbruchs ein Komma den ganzzahligen Teil einer Zahl vom Bruchteil trennt, der ganzzahlige Teil eines echten Bruchs ist 0. Die Notation des Bruchteils eines Dezimalbruchs enthält so viele Ziffern wie Es gibt Nullen in der Notation des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Schauen wir uns ein Beispiel an: , , .

In manchen Fällen kann es notwendig sein, darüber nachzudenken natürliche Zahl wie ein Dezimalbruch, der Fraktion gleich Null. Es ist üblich zu schreiben, dass 5 = 5,0; 245 = 245,0 und so weiter. Beachten Sie, dass in der Dezimalschreibweise einer natürlichen Zahl die niedrigstwertige Einheit das Zehnfache ist Weniger als eins angrenzende ältere Ziffer. Das Schreiben von Dezimalbrüchen hat die gleiche Eigenschaft. Daher gibt es unmittelbar nach dem Dezimalpunkt eine Zehntelstelle, dann eine Hundertstelstelle, dann eine Tausendstelstelle und so weiter. Unten sind die Namen der Ziffern der Zahl 31.85431 aufgeführt, die ersten beiden Spalten sind der ganzzahlige Teil, die restlichen Spalten sind der Bruchteil.

Dieser Bruch wird als einunddreißig Komma fünfundachtzigtausendvierhunderteinunddreißighunderttausendstel gelesen.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Die erste Möglichkeit besteht darin, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln und eine Addition durchzuführen.

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, ist diese Methode sehr umständlich und es ist besser, die zweite Methode zu verwenden, die korrekter ist, ohne Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie:

• die Anzahl der Nachkommastellen in den Termen ausgleichen;
• Schreiben Sie die Begriffe so untereinander, dass jede Ziffer des zweiten Begriffs unter der entsprechenden Ziffer des ersten Begriffs steht.
• Addieren Sie die resultierenden Zahlen auf die gleiche Weise, wie Sie natürliche Zahlen addieren.
• Setzen Sie in der resultierenden Summe unter den Kommas in den Begriffen ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

• Gleichen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Minuend und Subtrahend aus.
• Schreiben Sie den Subtrahend so unter den Minuenden, dass jede Ziffer des Subtrahends unter der entsprechenden Ziffer des Minuenden steht.
• Führen Sie die Subtraktion auf die gleiche Weise durch, wie natürliche Zahlen subtrahiert werden.
• Setzen Sie in der resultierenden Differenz unter den Kommas im Minuend und Subtrahend ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

In den oben besprochenen Beispielen ist ersichtlich, dass die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Stück für Stück durchgeführt wurde, also auf die gleiche Weise, wie wir ähnliche Operationen mit natürlichen Zahlen durchgeführt haben. Dies ist der Hauptvorteil Dezimalform Brüche schreiben.

Dezimalzahlen multiplizieren

Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch jeweils um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschieben. Wenn also das Komma um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschoben wird, erhöht sich der Bruch entsprechend um das 10-, 100-, 1000-fache usw. Um zwei Dezimalbrüche zu multiplizieren, müssen Sie:

• Multiplizieren Sie sie als natürliche Zahlen und ignorieren Sie Kommas.
• Trennen Sie im resultierenden Produkt rechts so viele Ziffern durch ein Komma, wie nach den Kommas in beiden Faktoren zusammen vorhanden sind.

Es gibt Fälle, in denen ein Werk enthält weniger Zahlen, als Sie mit einem Komma trennen möchten, fügen Sie links vor diesem Produkt die erforderliche Anzahl Nullen hinzu und verschieben Sie dann das Komma um nach links benötigte Menge Zahlen

Schauen wir uns Beispiele an: 2 * 4 = 8, dann 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, dann 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Es gibt Fälle, in denen einer der Multiplikatoren 0,1 beträgt; 0,01; 0,001 usw. ist es bequemer, die folgende Regel zu verwenden.

• Eine Dezimalzahl mit 0,1 multiplizieren; 0,01; 0,001 usw. In diesem Dezimalbruch müssen Sie den Dezimalpunkt jeweils um 1, 2, 3 usw. nach links verschieben.

Schauen wir uns Beispiele an: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Die Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen gelten auch für Dezimalbrüche.

• ab = ba- kommutative Eigenschaft der Multiplikation;
• (ab) c = a (bc) — assoziative Eigenschaft Multiplikation;
• a (b + c) = ab + ac ist eine Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Dezimaldivision

Es ist bekannt, dass man eine natürliche Zahl dividieren kann A zu einer natürlichen Zahl B bedeutet, eine solche natürliche Zahl zu finden C, was bei Multiplikation mit B gibt eine Zahl an A. Diese Regel bleibt wahr, wenn mindestens eine der Zahlen a, b, c ist ein Dezimalbruch.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Sie müssen 43,52 durch 17 mit einer Ecke dividieren und dabei das Komma ignorieren. In diesem Fall sollte das Komma im Quotienten unmittelbar vor der ersten Ziffer nach dem Komma im Dividenden stehen.

Es gibt Fälle, in denen der Dividend kleiner als der Divisor ist und der ganzzahlige Teil des Quotienten gleich Null ist. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Schauen wir uns ein weiteres interessantes Beispiel an.

Der Divisionsvorgang wurde gestoppt, weil die Ziffern des Dividenden aufgebraucht sind und der Rest keine Null hat. Es ist bekannt, dass sich ein Dezimalbruch nicht ändert, wenn ihm rechts beliebig viele Nullen hinzugefügt werden. Dann wird klar, dass die Zahlen der Dividende kein Ende nehmen können.

Um einen Dezimalbruch durch 10, 100, 1000 usw. zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch um 1, 2, 3 usw. Stellen nach links verschieben. Schauen wir uns ein Beispiel an: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Wenn Dividende und Divisor gleichzeitig um das 10-, 100-, 1000-fache usw. erhöht werden, ändert sich der Quotient nicht.

Betrachten Sie ein Beispiel: 39,44: 1,6 = 24,65, erhöhen Sie den Dividenden und den Divisor um das Zehnfache. 394,4: 16 = 24,65 Es ist fair anzumerken, dass die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl im zweiten Beispiel einfacher ist.

Um einen Dezimalbruch durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

• Verschieben Sie die Kommas im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie nach dem Dezimalpunkt im Divisor vorhanden sind.
• durch eine natürliche Zahl dividieren.

Betrachten wir ein Beispiel: 23,6: 0,02, beachten Sie, dass der Divisor zwei Dezimalstellen hat, also multiplizieren wir beide Zahlen mit 100, wir erhalten 2360: 2 = 1180, dividieren das Ergebnis durch 100 und erhalten das Ergebnis 11,80 oder 23,6: 0, 02 = 11,8.

Vergleich von Dezimalzahlen

Es gibt zwei Möglichkeiten, Dezimalzahlen zu vergleichen. Methode eins: Sie müssen zwei Dezimalbrüche 4,321 und 4,32 vergleichen, die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen und anfangen, Stelle für Stelle, Zehntel mit Zehntel, Hundertstel mit Hundertstel usw. zu vergleichen. Am Ende erhalten wir 4,321 > 4,320.

Die zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche zu vergleichen, besteht darin, das obige Beispiel mit 1000 zu multiplizieren und 4321 > 4320 zu vergleichen. Welche Methode bequemer ist, entscheidet jeder für sich.