So konvertieren Sie das Quadrat einer regulären Zahl. Zahlen schnell und ohne Taschenrechner quadrieren. Zweistellige Zahlen quadrieren

Oft besteht die Notwendigkeit, verschiedene Maßeinheiten miteinander in Beziehung zu setzen. Dies kann wichtig sein, wenn Sie die Länge eines Stoffstücks, die Fläche eines Raums oder das Volumen von Geschirr messen.

Es scheint, dass es einfacher sein könnte: Wenn ein Zentimeter ein Hundertstel Meter ist, dann ist die Antwort auf die Frage, wie viele Zentimeter ein Meter hat, offensichtlich, das heißt, der Wert ist 100. Aber Tatsache ist, dass die Die cm-Anzahl hängt stark davon ab, ob es sich um einen linearen Kubikmeter oder einen Quadratmeter handelt.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie viele Zentimeter ein Quadratmeter hat. Dieser Wert misst die Fläche und ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 m. Da jeder Meter 100 cm lang ist, sind 400 davon rund um den quadratischen Umfang verteilt.

Um abzuschätzen, wie viele Zentimeter in die Gesamtfläche von m² passen, gibt es eine weitere Einheit ähnlich einem Quadratmeter – einen Quadratzentimeter.

Wie viele cm² sind in 1 m²? Wie zuvor schon gesagt, Quadratmeter ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 m und einer Fläche von 1 qm. Dementsprechend ist cm² das gleiche Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 cm. Es gibt nicht 100 davon pro m², als ob wir von gewöhnlichen Zentimetern sprechen würden, sondern 10.000 in 1 m² – 10.000 cm².

Um sich visuell vorzustellen, warum sich die Zentimeterzahl um das Hundertfache erhöht, können Sie ein gewöhnliches Notizbuchblatt in einer Schachtel nehmen und ein Quadrat darauf zeichnen.

Wie viel in 1 Kubikmeter Kubikzentimeter? Bei cm³ ist es immer noch schwieriger als bei quadratischen, da es sich nicht mehr um ein Quadrat handelt, sondern um einen Würfel mit einer Seitenlänge von 1 m. Dementsprechend passen noch einmal 100-mal mehr cm³ hinein – 1000.000.

Ein so großer Größenunterschied macht das aus notwendige Anwendung Eine weitere Maßeinheit ist das Kubikdezimeter (Liter), das 1000 Kubikzentimeter entspricht. Trotz der Tatsache, dass das Laufen und Quadratdezimeter kaum benutzt.

Wie im Beispiel mit m² und cm² erhöht sich die Anzahl der Zentimeter pro Meter noch einmal um das 100-fache. Dies ist schwieriger zu visualisieren als Flächeneinheiten, ist aber auf Wunsch auch möglich.

Um den Umfang eines m³ in linearen Zentimetern sowie seine Fläche in Quadratmetern zu messen, verwenden Sie die Formeln zur Berechnung des Umfangs und der Oberfläche volumetrische Körper. Der Umfang des m³ wird 1200 cm betragen und die Oberfläche wird 60.000 cm² betragen.

Wie viele Zentimeter hat ein Laufmeter?

Diese Frage ist viel einfacher als alle vorherigen. Linearer Meter ist ein linearer, gewöhnlicher Meter, der zur Längenmessung verwendet wird. Und es passen genau so viele lineare Zentimeter hinein, wie der Name schon sagt – 100.

Spickzettel

Um das Verständnis der Maßeinheiten zu erleichtern, können sie in einer Tabelle zusammengefasst werden, in der ihre Beziehung sichtbar wird und es ganz einfach möglich ist, eine Einheit in eine andere umzurechnen.

Und noch mehr Infos zum Thema im nächsten Video.

23. Oktober 2016 um 16:37 Uhr

Die Schönheit der Zahlen. So rechnen Sie schnell im Kopf

• Populärwissenschaft

Ein alter Eintrag auf einer Quittung für die Zahlung von Steuern („Yasaka“). Es bedeutet den Betrag von 1232 Rubel. 24 Kopeken Illustration aus dem Buch: Yakov Perelman „Entertaining Arithmetic“

Auch Richard Feynman im Buch „Natürlich machen Sie Witze, Mr. Feynman!“ „hat mir ein paar Tricks erzählt geistiges Zählen. Obwohl es sich hierbei um sehr einfache Tricks handelt, sind sie nicht immer im Lehrplan der Schule enthalten.

Um beispielsweise schnell eine Zahl Die Beschreibung klingt viel komplizierter als die eigentliche Berechnung.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Diesen Trick lernte der junge Feynman von seinem Physikkollegen Hans Bethe, der zu dieser Zeit ebenfalls in Los Alamos am Manhattan-Projekt arbeitete.

Hans zeigte ein paar weitere Techniken, die er gewohnt war schnelles Rechnen. Um beispielsweise Kubikwurzeln und Potenzierungen zu berechnen, ist es praktisch, sich die Logarithmentabelle zu merken. Dieses Wissen vereinfacht den Komplex erheblich Rechenoperationen. Rechnen Sie zum Beispiel im Kopf ungefährer Wert Kubikwurzel von 2,5. Tatsächlich arbeitet bei solchen Berechnungen eine Art Rechenschieber im Kopf, bei dem das Multiplizieren und Dividieren von Zahlen durch das Addieren und Subtrahieren ihrer Logarithmen ersetzt wird. Das Bequemste.

Logarithmisches Lineal

Vor dem Aufkommen von Computern und Taschenrechnern wurde der Rechenschieber überall verwendet. Hierbei handelt es sich um eine Art analogen „Computer“, mit dem Sie verschiedene mathematische Operationen ausführen können, darunter das Multiplizieren und Dividieren von Zahlen, das Quadrieren und Kubieren, das Berechnen von Quadrat- und Kubikwurzeln, das Berechnen von Logarithmen, das Potenzieren, das Berechnen trigonometrischer usw hyperbolische Funktionen und einige andere Operationen. Wenn Sie die Berechnung in drei Schritte unterteilen, können Sie mit einem Rechenschieber Zahlen auf jede beliebige reelle Potenz erhöhen und daraus die Wurzel ziehen echter Abschluss. Die Genauigkeit der Berechnungen beträgt etwa 3 signifikante Stellen.

Um komplexe Berechnungen auch ohne Rechenschieber schnell im Kopf durchführen zu können, empfiehlt es sich, sich die Quadrate aller Zahlen, zumindest bis 25, zu merken, da diese häufig in Berechnungen verwendet werden. Und eine Gradtabelle – die gebräuchlichste. Es ist einfacher, sich daran zu erinnern, als jedes Mal erneut zu berechnen, dass 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1.048.576 und √3 ≈ 1,732.

Richard Feynman verbesserte seine Fähigkeiten und bemerkte nach und nach neue interessante Muster und Zusammenhänge zwischen Zahlen. Er nennt dieses Beispiel: „Wenn jemand anfangen würde, 1 durch 1,73 zu dividieren, könnte man sofort antworten, dass es 0,577 wäre, denn 1,73 ist eine Zahl nahe der Quadratwurzel aus drei.“ 1/1,73 ist also etwa ein Drittel Quadratwurzel von 3."

Solch fortgeschrittene Kopfrechenarten hätten die Kollegen damals überrascht, als es noch keine Computer und Taschenrechner gab. Damals waren absolut alle Wissenschaftler in der Lage, gut im Kopf zu zählen. Um dies zu erreichen, war es notwendig, ziemlich tief in die Welt der Zahlen einzutauchen.

Heutzutage greifen die Leute zum Taschenrechner und dividieren einfach 76 durch 3. Es ist viel einfacher geworden, andere zu überraschen. Zu Feynmans Zeiten gab es anstelle eines Taschenrechners hölzerne Abakusse, mit denen sich auch komplexe Operationen durchführen ließen, darunter auch das Ziehen von Kubikwurzeln. Großartiger Physiker Schon damals ist mir aufgefallen, dass man sich mit solchen Hilfsmitteln gar nicht viele Rechenkombinationen merken muss, sondern einfach lernt, wie man Bälle richtig rollt. Das heißt, Menschen mit Gehirn-„Expandern“ kennen keine Zahlen. Sie bewältigen Aufgaben im „Offline“-Modus schlechter.

Hier sind fünf sehr einfache Tipps Mentales Zählen, das von Yakov Perelman in dem 1941 vom Verlag veröffentlichten Handbuch „Schnelles Zählen“ empfohlen wird.

1. Wenn eine der zu multiplizierenden Zahlen in Faktoren zerlegt wird, ist es zweckmäßig, sie nacheinander zu multiplizieren.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, also das Ergebnis dreimal verdoppeln

2. Bei der Multiplikation mit 4 reicht es, das Ergebnis zweimal zu verdoppeln. Ebenso wird bei der Division durch 4 und 8 die Zahl zwei- oder dreimal halbiert.

3. Bei der Multiplikation mit 5 oder 25 kann die Zahl durch 2 oder 4 geteilt und dann zum Ergebnis eine oder zwei Nullen hinzugefügt werden.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Hier ist es besser, sofort zu beurteilen, was einfacher ist. Beispielsweise lässt sich 31 × 25 praktischer mit 25 × 31 multiplizieren auf übliche Weise, also wie 750+25, und nicht wie 31 × 25, also 7,75 × 100.

Bei der Multiplikation mit einer Zahl nahe einer runden Zahl (98, 103) ist es praktisch, sofort mit zu multiplizieren gerade Zahl(100) und subtrahiere/addiere dann das Produkt der Differenz.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Um eine Zahl, die auf 5 endet, zu quadrieren (z. B. 85), multiplizieren Sie die Zehnerzahl (8) mit ihr plus eins (9) und addieren 25.

8 × 9 = 72, weise 25 zu, also 85 2 = 7225

Warum diese Regel gilt, lässt sich aus der Formel ersehen:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

Die Technik gilt auch für Dezimalstellen das endet in 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Vergessen Sie beim Quadrieren nicht die praktische Formel

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Selbstverständlich können alle Methoden miteinander kombiniert werden, um eine komfortablere und komfortablere Gestaltung zu ermöglichen effektive Techniken für bestimmte Situationen.

*Quadrate bis Hunderter

Um nicht gedankenlos alle Zahlen mit der Formel zu quadrieren, müssen Sie Ihre Aufgabe mit den folgenden Regeln so weit wie möglich vereinfachen.

Regel 1 (schneidet 10 Zahlen ab)

Für Zahlen, die auf 0 enden.
Wenn eine Zahl auf 0 endet, ist das Multiplizieren nicht schwieriger als einstellige Zahl. Sie müssen nur ein paar Nullen hinzufügen.
70 * 70 = 4900.
In der Tabelle rot markiert.

Regel 2 (schneidet 10 Zahlen ab)

Für Zahlen, die auf 5 enden.
Um eine zweistellige Zahl, die auf 5 endet, zu quadrieren, müssen Sie die erste Ziffer (x) mit (x+1) multiplizieren und „25“ zum Ergebnis addieren.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
In der Tabelle grün markiert.

Regel 3 (schneidet 8 Zahlen ab)

Für Zahlen von 40 bis 50.
XX * XX = 1500 + 100 * zweite Ziffer + (10 - zweite Ziffer)^2
Schwer genug, oder? Schauen wir uns ein Beispiel an:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
In der Tabelle sind sie hellorange markiert.

Regel 4 (schneidet 8 Zahlen ab)

Für Zahlen von 50 bis 60.
XX * XX = 2500 + 100 * zweite Ziffer + (zweite Ziffer)^2
Es ist auch ziemlich schwer zu verstehen. Schauen wir uns ein Beispiel an:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
In der Tabelle sind sie dunkelorange markiert.

Regel 5 (schneidet 8 Zahlen ab)

Für Zahlen von 90 bis 100.
XX * XX = 8000+ 200 * zweite Ziffer + (10 - zweite Ziffer)^2
Ähnlich wie Regel 3, jedoch mit anderen Koeffizienten. Schauen wir uns ein Beispiel an:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
In der Tabelle sind sie in dunklem Dunkelorange markiert.

Regel Nr. 6 (schneidet 32 ​​Zahlen ab)

Sie müssen sich die Quadrate von Zahlen bis 40 merken. Es klingt verrückt und schwierig, aber tatsächlich kennen die meisten Menschen die Quadrate bis 20. 25, 30, 35 und 40 sind für Formeln zugänglich. Und es bleiben nur noch 16 Zahlenpaare übrig. Sie können bereits mit Mnemoniken (über die ich später noch sprechen möchte) oder auf andere Weise erinnert werden. Wie eine Multiplikationstabelle :)
In der Tabelle blau markiert.

Sie können sich alle Regeln merken oder sich selektiv merken; auf jeden Fall gehorchen alle Zahlen von 1 bis 100 zwei Formeln. Die Regeln helfen, ohne diese Formeln schnell mehr als 70 % der Optionen zu berechnen. Hier sind die beiden Formeln:

Formeln (noch 24 Tage übrig)

Für Zahlen von 25 bis 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Zum Beispiel:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Für Zahlen von 50 bis 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Zum Beispiel:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Vergessen Sie natürlich nicht die übliche Formel zum Zerlegen des Quadrats einer Summe ( besonderer Fall Newtons Binomial):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

AKTUALISIEREN
Produkte von Zahlen nahe 100 und insbesondere deren Quadrate können auch nach dem Prinzip „Nachteile zu 100“ berechnet werden:

In Worten: Von der ersten Zahl subtrahieren wir den „Nachteil“ der zweiten auf Hundert und bilden ein zweistelliges Produkt aus „Nachteilen“.

Bei Quadraten ist es dementsprechend noch einfacher.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(von sielover)

Das Quadrieren ist möglicherweise nicht die nützlichste Sache auf dem Bauernhof. Sie werden sich nicht sofort an einen Fall erinnern, in dem Sie möglicherweise eine Zahl quadrieren mussten. Aber die Fähigkeit, schnell mit Zahlen zu arbeiten und für jede Zahl geeignete Regeln anzuwenden, fördert das Gedächtnis und die „Rechenfähigkeiten“ Ihres Gehirns perfekt.

Übrigens denke ich, dass alle Leser von Habra wissen, dass 64^2 = 4096 und 32^2 = 1024.
Viele Zahlenquadrate werden auf assoziativer Ebene gespeichert. Ich konnte mir zum Beispiel leicht 88^2 = 7744 merken, weil identische Zahlen. Jeder wird wahrscheinlich seine eigenen Eigenschaften haben.

Zwei einzigartige Formeln habe ich zum ersten Mal in dem Buch „13 Schritte zum Mentalismus“ gefunden, das wenig mit Mathematik zu tun hat. Tatsache ist, dass früher (vielleicht auch heute noch) einzigartige Rechenfähigkeiten eine der Zahlen in der Bühnenmagie waren: Ein Zauberer erzählte eine Geschichte darüber, wie er Superkräfte erhielt, und quadrierte als Beweis dafür sofort Zahlen bis zu Hundert. Das Buch zeigt auch Methoden der Würfelkonstruktion, Methoden der Wurzelsubtraktion und Kubikwurzeln.

Wenn das Thema schnelle Zählung interessant - ich werde mehr schreiben.
Kommentare zu Fehlern und Korrekturen bitte per PN schreiben, vielen Dank im Voraus.

Das Buch „Die Magie der Zahlen“ spricht über Dutzende Tricks, die das Übliche vereinfachen mathematische Operationen. Es stellte sich heraus, dass es sich um Multiplikation und lange Division handelt letztes Jahrhundert, aber es gibt noch viel mehr effektive Wege Spaltungen im Kopf.

Hier sind 10 der interessantesten und nützlichsten Tricks.

„3 mit 1“ im Kopf multiplizieren

Das Multiplizieren dreistelliger Zahlen mit einstelligen Zahlen ist sehr schwierig einfache Bedienung. Sie müssen lediglich eine große Aufgabe in mehrere kleine aufteilen.

Beispiel: 320×7

1. Teilen Sie die Zahl 320 in zwei weitere Primzahlen: 300 und 20.
2. Wir multiplizieren 300 mit 7 und 20 mit 7 getrennt (2.100 und 140).
3. Addieren Sie die resultierenden Zahlen (2.240).

Zweistellige Zahlen quadrieren

Das Quadrieren zweistelliger Zahlen ist nicht viel schwieriger. Sie müssen die Zahl durch zwei teilen und erhalten eine ungefähre Antwort.

Beispiel: 41^2

1. Subtrahiere 1 von 41, um 40 zu erhalten, und addiere 1 zu 41, um 42 zu erhalten.
2. Wir multiplizieren die beiden resultierenden Zahlen mit dem vorherigen Ratschlag (40 × 42 = 1.680).
3. Wir addieren das Quadrat der Zahl um den Betrag, um den wir verringert und erhöht haben, 41 (1.680 + 1^2 = 1.681).

Die wichtigste Regel hierbei ist, die gesuchte Zahl in ein paar andere Zahlen umzuwandeln, die viel einfacher zu multiplizieren sind. Für die Zahl 41 sind dies beispielsweise die Zahlen 42 und 40, für die Zahl 77 - 84 und 70. Das heißt, wir subtrahieren und addieren die gleiche Zahl.

Quadrieren Sie sofort eine Zahl, die auf 5 endet

Bei Zahlenquadraten, die auf 5 enden, besteht überhaupt kein Grund zur Anstrengung. Sie müssen lediglich die erste Ziffer mit der um eins höheren Zahl multiplizieren und am Ende der Zahl 25 hinzufügen.

Beispiel: 75^2

Multiplizieren Sie 7 mit 8 und erhalten Sie 56.

Addiere 25 zur Zahl und erhalte 5.625.

Division durch eine einstellige Zahl

Geistige Spaltung ist eine ziemlich nützliche Fähigkeit. Denken Sie darüber nach, wie oft wir jeden Tag Zahlen dividieren. Zum Beispiel eine Rechnung in einem Restaurant.

Beispiel: 675: 8

1. Lassen Sie uns ungefähre Antworten finden, indem wir 8 mit geeigneten Zahlen multiplizieren, die extreme Ergebnisse liefern (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Unsere Antwort ist mehr als 80.
2. Subtrahieren Sie 640 von 675. Nachdem Sie die Zahl 35 erhalten haben, müssen Sie sie durch 8 teilen und erhalten 4 mit einem Rest von 3.
3. Unsere endgültige Antwort lautet 84,3.

Wir erhalten nicht die genaueste Antwort (die richtige Antwort ist 84,375), aber Sie werden zustimmen, dass selbst eine solche Antwort mehr als ausreichend ist.

Einfach 15 % zu bekommen

Um schnell 15 % einer Zahl herauszufinden, müssen Sie zunächst 10 % davon zählen (die Dezimalstelle um eine Stelle nach links verschieben), dann die resultierende Zahl durch 2 dividieren und zu 10 % addieren.

Beispiel: 15 % von 650

1. Wir finden 10 % - 65.
2. Wir finden die Hälfte von 65 – das sind 32,5.
3. Addieren Sie 32,5 zu 65 und erhalten Sie 97,5.

Trivialer Trick

Diesen Trick kennen wir bestimmt alle:

Denken Sie an eine beliebige Zahl. Multiplizieren Sie es mit 2. Addieren Sie 12. Teilen Sie die Summe durch 2. Subtrahieren Sie davon Originalnummer.

Du hast 6, oder? Egal, was Sie sich wünschen, Sie erhalten immer noch eine 6. Hier ist der Grund:

1. 2x (doppelte Zahl).
2. 2x + 12 (addiere 12).
3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (durch 2 dividieren).
4. x + 6 − x (subtrahiere die ursprüngliche Zahl).

Dieser Trick basiert auf Grundregeln Algebra. Wenn Sie also jemals hören, dass jemand davon geplagt ist, setzen Sie Ihr arrogantestes Grinsen auf, machen Sie einen verächtlichen Blick und erzählen Sie allen die Lösung. 🙂

Die Magie der Zahl 1089

Diesen Trick gibt es schon seit Jahrhunderten.

Schreiben Sie welche auf dreistellige Zahl, deren Nummern in absteigender Reihenfolge sind (z. B. 765 oder 974). Schreiben Sie es jetzt an umgekehrte Reihenfolge und subtrahiere es von der ursprünglichen Zahl. Fügen Sie der Antwort, die Sie erhalten, dieselbe Antwort hinzu, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Welche Zahl Sie auch wählen, das Ergebnis wird 1.089 sein.

Schnelle Würfelwurzeln

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	8	27	64	125	216	343	512	729	1 000

Wenn Sie sich diese Werte merken, finden Sie sie Kubikwurzel Von jeder Zahl aus wird es elementar einfach sein.

Beispiel: Kubikwurzel von 19.683

1. Wir nehmen den Tausenderwert (19) und schauen, zwischen welchen Zahlen er liegt (8 und 27). Dementsprechend ist die erste Ziffer der Antwort eine 2 und die Antwort liegt im Bereich von 20+.
2. Jede Ziffer von 0 bis 9 erscheint einmal in der Tabelle als letzte Ziffer des Würfels.
3. Als letzte Ziffer im Problem - 3 (19.683), das entspricht 343 = 7^3. Daher ist die letzte Ziffer der Antwort 7.
4. Die Antwort ist 27.

Hinweis: Der Trick funktioniert nur, wenn die ursprüngliche Zahl die dritte Zahl einer ganzen Zahl ist.

Regel 70

Um zu ermitteln, wie viele Jahre es dauert, bis sich Ihr Geld verdoppelt, dividieren Sie 70 durch den jährlichen Zinssatz.

Beispiel: Anzahl der Jahre, die erforderlich sind, damit sich das Geld jährlich verdoppelt Zinsrate 20%.

70:20 = 3,5 Jahre

Regel 110

Um die Anzahl der Jahre zu ermitteln, die Sie benötigen, um Ihr Geld zu verdreifachen, dividieren Sie 110 durch den jährlichen Zinssatz.

Beispiel: Die Anzahl der Jahre, die benötigt werden, um das Geld bei einem jährlichen Zinssatz von 12 % zu verdreifachen.

110: 12 = 9 Jahre

Mathematik ist eine magische Wissenschaft. Wenn selbst so einfache Tricks überraschen, welche anderen Tricks fallen Ihnen dann ein?