Der mathematische Erwartungswert ist größer als 1. Mathematische Erwartungsformel. Die Erwartung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Das Konzept der mathematischen Erwartung kann am Beispiel des Würfelns betrachtet werden. Bei jedem Wurf werden die verlorenen Punkte notiert. Um sie auszudrücken, verwenden wir natürliche Werte im Bereich 1 – 6.

Nach einer bestimmten Anzahl an Würfen lässt sich mit einfachen Berechnungen der Durchschnitt ermitteln arithmetischer Wert Punkte verloren.

Genau wie das Auftreten eines beliebigen Wertes im Bereich ist dieser Wert zufällig.

Was ist, wenn Sie die Anzahl der Würfe um ein Vielfaches erhöhen? Bei einer großen Anzahl von Würfen nähert sich der arithmetische Mittelwert der Punkte einer bestimmten Zahl an, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematischer Erwartungswert bezeichnet wird.

Unter mathematischer Erwartung verstehen wir also den Durchschnittswert zufällige Variable. Dieser Indikator kann auch als gewichtete Summe wahrscheinlicher Wertwerte dargestellt werden.

Dieses Konzept hat mehrere Synonyme:

• mittlere Bedeutung;
• Durchschnittswert;
• Indikator der zentralen Tendenz;
• erster Moment.

Mit anderen Worten handelt es sich um nichts anderes als eine Zahl, um die sich die Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

IN verschiedene Gebiete Menschliche Aktivität Ansätze zum Verständnis mathematischer Erwartungen werden etwas anders sein.

Es kann wie folgt betrachtet werden:

• Der durchschnittliche Nutzen, der sich aus einer Entscheidung ergibt, wenn eine solche Entscheidung aus theoretischer Sicht betrachtet wird große Zahlen;
• mögliche Höhe des Gewinnens oder Verlierens (Theorie Glücksspiel), berechnet im Durchschnitt für jede Wette. Im Slang klingen sie wie „Spielervorteil“ (positiv für den Spieler) oder „Casinovorteil“ (negativ für den Spieler);
• Prozentsatz des Gewinns, der aus Gewinnen erzielt wird.

Der Erwartungswert ist nicht für absolut alle Zufallsvariablen zwingend. Es fehlt für diejenigen, die eine Diskrepanz in der entsprechenden Summe oder dem entsprechenden Integral haben.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung

Wie jeder statistische Parameter hat der mathematische Erwartungswert die folgenden Eigenschaften:

Grundformeln für die mathematische Erwartung

Die Berechnung des mathematischen Erwartungswerts kann sowohl für Zufallsvariablen durchgeführt werden, die sowohl durch Kontinuität (Formel A) als auch durch Diskretion (Formel B) gekennzeichnet sind:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, wobei xi die Werte der Zufallsvariablen sind, pi die Wahrscheinlichkeiten:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, wobei f(x) – gegebene Dichte Wahrscheinlichkeiten.

Beispiele für die Berechnung der mathematischen Erwartung

Beispiel A.

Ist es möglich, das herauszufinden? Durchschnittsgröße Zwerge im Märchen von Schneewittchen. Es ist bekannt, dass jeder der 7 Zwerge eine bestimmte Größe hatte: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 und 0,81 m.

Der Berechnungsalgorithmus ist recht einfach:

• wir finden die Summe aller Werte des Wachstumsindikators (Zufallsvariable):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Teilen Sie den resultierenden Betrag durch die Anzahl der Zwerge:
  6,31:7=0,90.

Somit beträgt die durchschnittliche Größe von Zwergen in einem Märchen 90 cm. Mit anderen Worten, dies ist die mathematische Erwartung für das Wachstum von Zwergen.

Arbeitsformel - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktische Umsetzung mathematischer Erwartungen

Zur Berechnung statistischer Indikator Mathematische Erwartungen werden in verschiedenen Bereichen verwendet praktische Tätigkeiten. Erstens wir reden überüber den kommerziellen Bereich. Schließlich ist die Einführung dieses Indikators durch Huygens mit der Bestimmung der Chancen verbunden, die für ein bestimmtes Ereignis günstig oder im Gegenteil ungünstig sein können.

Dieser Parameter wird häufig zur Risikobewertung verwendet, insbesondere bei Finanzanlagen.
So dient in der Wirtschaft die Erwartungsrechnung als Methode zur Risikobewertung bei der Preiskalkulation.

Mit diesem Indikator lässt sich auch die Wirksamkeit bestimmter Maßnahmen, beispielsweise des Arbeitsschutzes, berechnen. Dank dessen können Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses berechnen.

Ein weiterer Anwendungsbereich diesen Parameter- Management. Sie kann auch im Rahmen der Produktqualitätskontrolle berechnet werden. Zum Beispiel mit mat. Erwartungen können Sie die mögliche Anzahl produzierter fehlerhafter Teile berechnen.

Die mathematische Erwartung erweist sich auch bei der statistischen Verarbeitung der dabei gewonnenen Ergebnisse als unersetzlich wissenschaftliche Forschung Ergebnisse. Damit können Sie die Wahrscheinlichkeit eines gewünschten oder unerwünschten Ergebnisses eines Experiments oder einer Studie in Abhängigkeit vom Grad der Zielerreichung berechnen. Schließlich kann sein Erreichen mit Gewinn und Nutzen verbunden sein, und sein Scheitern kann mit Verlust oder Verlust verbunden sein.

Verwendung mathematischer Erwartungen im Forex

Die praktische Anwendung dieses statistischen Parameters ist bei der Durchführung von Operationen auf dem Devisenmarkt möglich. Mit seiner Hilfe können Sie den Erfolg von Handelstransaktionen analysieren. Darüber hinaus deutet eine Erhöhung des Erwartungswerts auf eine Steigerung ihres Erfolgs hin.

Es ist auch wichtig zu bedenken, dass die mathematische Erwartung nicht als einziger statistischer Parameter zur Analyse der Leistung eines Händlers betrachtet werden sollte. Die Verwendung mehrerer statistischer Parameter zusammen mit dem Durchschnittswert erhöht die Genauigkeit der Analyse erheblich.

Dieser Parameter hat sich bei der Überwachung von Beobachtungen von Handelskonten bestens bewährt. Dadurch erfolgt eine schnelle Beurteilung der auf dem Einlagenkonto durchgeführten Arbeiten. In Fällen, in denen die Tätigkeit des Händlers erfolgreich ist und er Verluste vermeidet, wird nicht empfohlen, ausschließlich die Berechnung der mathematischen Erwartung zu verwenden. In diesen Fällen werden Risiken nicht berücksichtigt, was die Wirksamkeit der Analyse verringert.

Durchgeführte Studien über die Taktiken der Händler zeigen, dass:

• Die effektivsten Taktiken basieren auf zufälligen Eingaben.
• Am wenigsten effektiv sind Taktiken, die auf strukturierten Eingaben basieren.

Um positive Ergebnisse zu erzielen, sind nicht weniger wichtig:

• Geldmanagement-Taktiken;
• Ausstiegsstrategien.

Mithilfe eines solchen Indikators wie der mathematischen Erwartung können Sie vorhersagen, wie hoch der Gewinn oder Verlust sein wird, wenn Sie 1 Dollar investieren. Es ist bekannt, dass dieser Indikator, der für alle im Casino ausgeübten Spiele berechnet wird, zugunsten des Establishments ausfällt. Damit können Sie Geld verdienen. Bei einer langen Spielserie steigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde Geld verliert, deutlich an.

Spiele, die von professionellen Spielern gespielt werden, sind auf kurze Zeiträume begrenzt, was die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöht und das Verlustrisiko verringert. Das gleiche Muster ist bei der Durchführung von Investitionsgeschäften zu beobachten.

Ein Anleger kann viel verdienen, wenn er positive Erwartungen hat und in kurzer Zeit eine große Anzahl von Transaktionen durchführt.

Die Erwartung kann als Differenz zwischen dem Prozentsatz des Gewinns (PW) multipliziert mit dem durchschnittlichen Gewinn (AW) und der Verlustwahrscheinlichkeit (PL) multipliziert mit dem durchschnittlichen Verlust (AL) betrachtet werden.

Betrachten Sie als Beispiel Folgendes: Position – 12,5 Tausend Dollar, Portfolio – 100.000 Dollar, Einlagenrisiko – 1 %. Die Rentabilität der Transaktionen beträgt 40 % der Fälle mit einem durchschnittlichen Gewinn von 20 %. Im Schadensfall beträgt der durchschnittliche Verlust 5 %. Die Berechnung der mathematischen Erwartung für die Transaktion ergibt einen Wert von 625 $.

Zufällige Variable angerufen variabler Wert, was als Ergebnis jedes Tests einen im Voraus erfordert unbekannter Wert, abhängig von zufälligen Gründen. Zufallsvariablen werden in Großbuchstaben angegeben mit lateinischen Buchstaben: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Zufallsvariablen können je nach Typ sein diskret Und kontinuierlich.

Diskrete Zufallsvariable- Dies ist eine Zufallsvariable, deren Werte nur abzählbar sein können, also entweder endlich oder abzählbar. Unter Abzählbarkeit verstehen wir, dass die Werte einer Zufallsvariablen nummeriert werden können.

Beispiel 1 . Hier sind Beispiele für diskrete Zufallsvariablen:

a) die Anzahl der Treffer auf das Ziel mit $n$ Schüssen, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) die Anzahl der beim Werfen einer Münze fallengelassenen Embleme, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) die Anzahl der an Bord ankommenden Schiffe ( zählbare Menge Werte).

d) die Anzahl der an der PBX eintreffenden Anrufe (zählbare Wertemenge).

1. Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ kann Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ annehmen. Die Entsprechung zwischen diesen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten nennt man Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen. In der Regel wird diese Korrespondenz anhand einer Tabelle angegeben, deren erste Zeile die Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ angibt und die zweite Zeile die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,\ p_n$ enthält diese Werte.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Beispiel 2 . Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der beim Würfeln gewürfelten Punkte. Eine solche Zufallsvariable $X$ kann annehmen folgende Werte$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Die Wahrscheinlichkeiten aller dieser Werte betragen 1/6$. Dann gilt das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentar. Denn im Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen $X$ bilden sich die Ereignisse $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ volle Gruppe Ereignisse, dann muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein, das heißt $\sum(p_i)=1$.

2. Mathematischer Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen.

Erwarteter Wert zufällige Variable legt seine „zentrale“ Bedeutung fest. Für eine diskrete Zufallsvariable wird der mathematische Erwartungswert als Summe der Produkte der Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ und der diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,\ p_n$ berechnet, d. h : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. IN englische Literatur Verwenden Sie eine andere Notation $E\left(X\right)$.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ liegt zwischen dem kleinsten und höchste Werte Zufallsvariable $X$.
2. Der mathematische Erwartungswert einer Konstante ist gleich der Konstante selbst, d.h. $M\left(C\right)=C$.
3. Konstanter Multiplikator kann als Zeichen der mathematischen Erwartung aufgefasst werden: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Der mathematische Erwartungswert der Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Der mathematische Erwartungswert des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Beispiel 3 . Lassen Sie uns den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$ ermitteln.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\über (6))=3,5.$$

Wir können feststellen, dass $M\left(X\right)$ zwischen dem kleinsten ($1$) und dem größten ($6$) Wert der Zufallsvariablen $X$ liegt.

Beispiel 4 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $3X+5$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Beispiel 5 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=4$ ist. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $2X-9$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Streuung einer diskreten Zufallsvariablen.

Mögliche Werte von Zufallsvariablen mit gleichen mathematischen Erwartungen können unterschiedlich um ihre Durchschnittswerte streuen. Zum Beispiel in zwei Studentengruppen Durchschnittsnote für die Prüfung in Wahrscheinlichkeitstheorie war es gleich 4, aber in einer Gruppe erwiesen sich alle als gute Schüler, und in der anderen Gruppe gab es nur C-Schüler und ausgezeichnete Schüler. Daher besteht ein Bedarf dafür numerische Merkmale eine Zufallsvariable, die die Streuung der Werte der Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert zeigt. Dieses Merkmal ist die Streuung.

Varianz einer diskreten Zufallsvariablen$X$ ist gleich:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

In der englischen Literatur wird die Notation $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$ verwendet. Sehr oft wird die Varianz $D\left(X\right)$ mit der Formel $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ left(X \right)\right))^2$.

Dispersionseigenschaften$D\left(X\right)$:

1. Die Varianz ist immer größer oder gleich Null, d.h. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Die Varianz der Konstante ist Null, d.h. $D\left(C\right)=0$.
3. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Streuung entnommen werden, sofern diese quadriert wird, also $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Die Varianz der Differenz zwischen unabhängigen Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Beispiel 6 . Berechnen wir die Varianz der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\über (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\über (12))\ungefähr 2,92.$$

Beispiel 7 . Es ist bekannt, dass die Varianz der Zufallsvariablen $X$ gleich $D\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $4X+1$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Beispiel 8 . Es ist bekannt, dass die Varianz der Zufallsvariablen $X$ gleich $D\left(X\right)=3$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $3-2X$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen.

Die Methode zur Darstellung einer diskreten Zufallsvariablen in Form einer Verteilungsreihe ist nicht die einzige und vor allem nicht universell, da eine kontinuierliche Zufallsvariable nicht mithilfe einer Verteilungsreihe angegeben werden kann. Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Zufallsvariable darzustellen – die Verteilungsfunktion.

Verteilungsfunktion Die Zufallsvariable $X$ wird als Funktion $F\left(x\right)$ bezeichnet, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert annimmt, der kleiner als ein fester Wert $x$ ist, also $F\ left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ Werte aus dem Intervall $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ annimmt, ist gleich der Differenz zwischen den Werten der Verteilungsfunktion an den Enden dieses Intervalls Intervall: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ – nicht abnehmend.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Beispiel 9 . Finden wir die Verteilungsfunktion $F\left(x\right)$ für das Verteilungsgesetz der diskreten Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Wenn $x\le 1$, dann ist offensichtlich $F\left(x\right)=0$ (einschließlich für $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Wenn 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Wenn 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Wenn 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Wenn 4 $< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Wenn 5 $< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Wenn $x > 6$, dann $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Also $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ bei\ x\le 1,\\
1/6,bei\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ bei\ 2< x\le 3,\\
1/2, bei\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ bei\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ bei\ 4< x\le 5,\\
1,\ für\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Mathematische Erwartung ist die Definition

Schachmattwarten ist einer von die wichtigsten Konzepte V mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, die die Verteilung von Werten charakterisiert oder Wahrscheinlichkeiten zufällige Variable. Normalerweise ausgedrückt als gewichteter Durchschnitt alle möglichen Parameter einer Zufallsvariablen. Weit verbreitet in technische Analyse, Forschung Zahlenreihe, das Studium kontinuierlicher und langfristiger Prozesse. Es hat wichtig bei der Risikobewertung, bei der Prognose von Preisindikatoren beim Weiterhandeln Finanzmärkte, wird bei der Entwicklung von Strategien und Methoden der Spieltaktik eingesetzt Glücksspieltheorien.

Schachmatt wartet- Das Mittelwert einer Zufallsvariablen, Verteilung Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariable wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie berücksichtigt.

Schachmattwarten ist ein Maß für den Durchschnittswert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Setzen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariablen schachmatt X bezeichnet durch M(x).

Die mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) beträgt

Schachmattwarten ist

Schachmattwarten ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie gewichteter Durchschnitt alle möglichen Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann.

Schachmattwarten ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Die mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) beträgt

Schachmattwarten ist der durchschnittliche Nutzen einer bestimmten Entscheidung, sofern dies der Fall ist ähnliche Lösung kann im Rahmen der Theorie großer Zahlen und großer Entfernungen betrachtet werden.

Schachmattwarten ist In der Glücksspieltheorie die Höhe der Gewinne, die ein Spekulant im Durchschnitt bei jeder Wette verdienen oder verlieren kann. In der Sprache des Glücksspiels Spekulanten Dies wird manchmal als „Vorteil“ bezeichnet. Spekulant" (wenn es für den Spekulanten positiv ist) oder "Hausvorteil" (wenn es für den Spekulanten negativ ist).

Die mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) beträgt

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01.02.2018

Erwarteter Wert. Nur etwas Kompliziertes. Grundlagen des Handels.

Bei der Platzierung von Wetten jeglicher Art besteht immer eine gewisse Gewinnwahrscheinlichkeit und das Risiko eines Scheiterns. Der positive Ausgang der Transaktion und das Risiko, Geld zu verlieren, sind untrennbar mit der mathematischen Erwartung verbunden. In diesem Artikel werden wir ausführlich auf diese beiden Aspekte des Handels eingehen.

Erwarteter Wert- wenn die Anzahl der Proben oder die Anzahl ihrer Messungen (manchmal sagt man auch die Anzahl der Tests) gegen Unendlich tendiert.

Die Idee dahinter ist, dass ein positiver Erwartungswert zu einem positiven (gewinnsteigernden) Handel führt, während ein Null- oder negativer Erwartungswert bedeutet, dass überhaupt kein Handel stattfindet.

Um es leichter verständlich zu machen dieses Problem Schauen wir uns das Konzept der mathematischen Erwartung beim Roulette-Spielen an. Das Roulette-Beispiel ist sehr leicht zu verstehen.

Roulette- (Der Dealer wirft den Ball hinein die gegenüberliegende Seite Drehung des Rades, ausgehend von der Zahl, auf die die Kugel beim letzten Mal gefallen ist, die in eines der nummerierten Felder fallen muss, wobei mindestens drei volle Umdrehungen um das Rad gemacht werden müssen.

Zellen mit den Nummern 1 bis 36 sind schwarz und rot gefärbt. Die Zahlen sind nicht in der richtigen Reihenfolge, obwohl sich die Farben der Zellen streng abwechseln, beginnend mit 1 – Rot. Die mit 0 gekennzeichnete Zelle ist farbig grüne Farbe und es heißt Null

Roulette ist ein Spiel mit negativer mathematischer Erwartung. Das liegt alles am Nullfeld, das weder schwarz noch rot ist.

Seit in Allgemeiner Fall) Wenn die Wettänderung nicht angewendet wird, verliert der Spieler 1 $ pro 37 Drehungen des Rads (bei einem Einsatz von jeweils 1 $), was zu einem linearen Verlust von -2,7 % führt, der mit zunehmender Anzahl der Einsätze zunimmt ( im Durchschnitt).

Natürlich kann ein Spieler über einen Zeitraum von beispielsweise 1000 Spielen eine Reihe von Siegen erleben, und eine Person kann fälschlicherweise glauben, dass sie Geld verdienen kann, indem sie das Casino schlägt, sowie eine Reihe von Niederlagen. Eine Siegesserie kann in diesem Fall das Kapital des Spielers um erhöhen höherer Wert, als er ursprünglich hatte. In diesem Fall sollte der Spieler, wenn er 1000 $ hatte, nach 10 Spielen zu je 1 $ durchschnittlich 973 $ übrig haben. Aber wenn der Spieler in einem solchen Szenario am Ende weniger oder mehr Geld hat, nennen wir diese Differenz zwischen der aktuellen Kapitalvarianz. Sie können beim Roulette nur im Rahmen der Varianz Geld verdienen. Wenn der Spieler diese Strategie weiterhin verfolgt, bleibt die Person letztendlich ohne Geld und das Casino wird Geld verdienen.

Das zweite Beispiel sind die berühmten binären Optionen. Sie ermöglichen es Ihnen, eine Wette zu platzieren. Wenn das Ergebnis erfolgreich ist, erhalten Sie bis zu 90 Prozent Ihres Einsatzes obendrauf, und wenn es nicht erfolgreich ist, verlieren Sie alle 100. Und dann müssen die BO-Besitzer nur noch warten, der Markt und das Eine negative Schachmatt-Erwartung wird ihren Zweck erfüllen. Und die zeitliche Streuung wird dem Händler von binären Optionen Hoffnung geben, dass es möglich ist, auf diesem Markt Geld zu verdienen. Aber das ist nur vorübergehend.

Was ist der Vorteil des Kryptowährungshandels (sowie des Handels an der Börse)?

Eine Person kann ein System für sich selbst schaffen. Er selbst kann sein Risiko begrenzen und versuchen, den größtmöglichen Gewinn aus dem Markt zu ziehen. (Und wenn die Situation beim zweiten ziemlich kontrovers ist, dann muss das Risiko sehr klar kontrolliert werden.)

Um zu verstehen, in welche Richtung Ihre Strategie Sie führt, müssen Sie Statistiken führen. Ein Händler sollte wissen:

1. Die Anzahl Ihrer Trades. Wie mehr Menge Je mehr Sie nach einer bestimmten Strategie handeln, desto genauer ist die mathematische Erwartung
2. Häufigkeit erfolgreicher Einträge. (Wahrscheinlichkeit) (R)
3. Ihr Gewinn für jede positive Transaktion.
4. Bias (Gewinnrate) (B)
5. Durchschnittliche Größe Ihres Einsatzes (Stop-Order) (S)

Mathematische Erwartung (E) = B * R – (1 – B) = B * (1 + R) –1

Um ungefähr Ihre gesamten Gewinne oder Verluste auf Ihrem Konto (EE) beispielsweise über eine Distanz von 1000 Trades zu ermitteln, verwenden wir die Formel.

Wobei N die Anzahl der Trades ist, die wir ausführen möchten.

Nehmen wir zum Beispiel die Ausgangsdaten:

Stop-Loss – 30 $.

Gewinn - 100 Dollar.

Anzahl der Transaktionen 30

Die mathematische Erwartung ist nur dann negativ, wenn das Verhältnis von Gewinn- und Verlustgeschäften (R) 20 %/80 % oder schlechter beträgt. In anderen Fällen ist sie positiv.

Angenommen, der Gewinn beträgt 150. Dann wird die Schachmatt-Erwartung bei einem Verhältnis von 16 %/84 % negativ sein. Oder niedriger.

Abschluss.

Was tun dagegen? Beginnen Sie mit der Führung von Statistiken, falls Sie dies noch nicht getan haben. Überprüfen Sie Ihre Trades und bestimmen Sie Ihre Schachmatt-Erwartung. Finden Sie heraus, was verbessert werden kann (Anzahl korrekter Eingaben, Gewinn erzielen, Verluste reduzieren).

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– die Anzahl der Jungen unter 10 Neugeborenen.

Es ist absolut klar, dass diese Zahl nicht im Voraus bekannt ist und die nächsten zehn geborenen Kinder Folgendes umfassen könnten:

Oder Jungs - der eine und einzige aus den aufgeführten Optionen.

Und um in Form zu bleiben, ein wenig Sportunterricht:

– Weitsprungdistanz (in einigen Einheiten).

Selbst ein Meister des Sports kann es nicht vorhersagen :)

Doch Ihre Hypothesen?

2) Kontinuierliche Zufallsvariable – akzeptiert Alle numerische Werte aus einem endlichen oder unendlichen Intervall.

Notiz : V Bildungsliteratur beliebte Abkürzungen DSV und NSV

Analysieren wir zunächst die diskrete Zufallsvariable, dann – kontinuierlich.

Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

- Das Korrespondenz zwischen mögliche Werte dieser Größe und deren Wahrscheinlichkeiten. Am häufigsten wird das Gesetz in einer Tabelle geschrieben:

Der Begriff wird recht häufig verwendet Reihe Verteilung, aber in manchen Situationen klingt es mehrdeutig, und deshalb bleibe ich beim „Gesetz“.

Und jetzt Sehr wichtiger Punkt : da die Zufallsvariable Notwendig werde akzeptieren einer der Werte, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe und die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens ist gleich eins:

oder, wenn gekürzt geschrieben:

So gilt zum Beispiel das Gesetz der Verteilung der Wahrscheinlichkeiten der gewürfelten Punkte nächste Ansicht:

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Möglicherweise haben Sie den Eindruck, dass eine diskrete Zufallsvariable nur „gute“ ganzzahlige Werte annehmen kann. Zerstreuen wir die Illusion – sie können alles sein:

Beispiel 1

Für einige Spiele gilt das folgende Gewinnverteilungsgesetz:

...du träumst wahrscheinlich schon lange von solchen Aufgaben :) Ich verrate dir ein Geheimnis – ich auch. Besonders nachdem ich mit der Arbeit fertig war Feldtheorie.

Lösung: da eine Zufallsvariable nur eine davon annehmen kann drei Bedeutungen, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist:

Den „Partisanen“ bloßstellen:

– somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, konventionelle Einheiten zu gewinnen, 0,4.

Kontrolle: Das ist es, was wir sicherstellen mussten.

Antwort:

Es kommt nicht selten vor, dass Sie ein Vertriebsgesetz selbst erstellen müssen. Dafür verwenden sie klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Multiplikations-/Additionssätze für Ereigniswahrscheinlichkeiten und andere Chips tervera:

Beispiel 2

Die Schachtel enthält 50 Lottoscheine, von denen 12 gewinnen, und 2 von ihnen gewinnen jeweils 1000 Rubel und der Rest - jeweils 100 Rubel. Erstellen Sie ein Gesetz für die Verteilung einer Zufallsvariablen – der Höhe des Gewinns, wenn ein Los zufällig aus der Box gezogen wird.

Lösung: Wie Sie bemerkt haben, werden die Werte einer Zufallsvariablen normalerweise in platziert in aufsteigender Reihenfolge. Deshalb beginnen wir mit dem kleinsten Gewinn, nämlich Rubel.

Insgesamt gibt es 50 solcher Tickets - 12 = 38, und dementsprechend klassische Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Ticket ein Verlierer ist.

In anderen Fällen ist alles einfach. Die Wahrscheinlichkeit, Rubel zu gewinnen, beträgt:

Check: – und das ist etwas Besonderes schöner Moment solche Aufgaben!

Antwort: das gewünschte Gesetz der Gewinnverteilung:

Nächste Aufgabe Für unabhängige Entscheidung:

Beispiel 3

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, beträgt . Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable – die Anzahl der Treffer nach 2 Schüssen.

...Ich wusste, dass du ihn vermisst hast :) Erinnern wir uns Multiplikations- und Additionssätze. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Das Verteilungsgesetz beschreibt eine Zufallsvariable vollständig, aber in der Praxis kann es nützlich (und manchmal nützlicher) sein, nur einen Teil davon zu kennen numerische Merkmale .

Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Apropos in einfacher Sprache, Das durchschnittlicher Erwartungswert bei viele Male wiederholt Tests. Lassen Sie die Zufallsvariable Werte mit Wahrscheinlichkeiten annehmen jeweils. Dann ist der mathematische Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich Summe der Produkte alle seine Werte zu den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

oder zusammengebrochen:

Berechnen wir zum Beispiel den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen – die Anzahl von Würfel Punkte:

Erinnern wir uns nun an unser hypothetisches Spiel:

Es stellt sich die Frage: Ist es überhaupt profitabel, dieses Spiel zu spielen? ...wer hat irgendwelche Eindrücke? Man kann es also nicht „offensichtlich“ sagen! Aber diese Frage lässt sich leicht beantworten, indem man im Wesentlichen die mathematische Erwartung berechnet: gewichteter Durchschnitt nach Gewinnwahrscheinlichkeit:

Somit ist die mathematische Erwartung dieses Spiels verlieren.

Vertrauen Sie nicht Ihren Eindrücken – vertrauen Sie den Zahlen!

Ja, hier kann man 10 und sogar 20-30 Mal hintereinander gewinnen, aber Fern Der unvermeidliche Untergang erwartet uns. Und ich würde dir nicht raten, solche Spiele zu spielen :) Na ja, vielleicht nur zum Spass.

Aus all dem oben Gesagten folgt, dass die mathematische Erwartung kein ZUFÄLLIGER Wert mehr ist.

Kreative Aufgabe für unabhängige Recherche:

Beispiel 4

Herr X spielt europäisches Roulette nächstes System: setzt ständig 100 Rubel auf „Rot“. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen – ihres Gewinns. Berechnen Sie die mathematische Gewinnerwartung und runden Sie sie auf die nächste Kopeke. Wie viele im mittleren Verliert der Spieler für jeden Hundert, den er setzt?

Referenz : Europäisches Roulette enthält 18 rote, 18 schwarze und 1 grünen Sektor („Null“). Wenn „rot“ erscheint, erhält der Spieler das Doppelte des Einsatzes ausgezahlt ansonsten es fließt in die Einnahmen des Casinos ein

Es gibt viele andere Roulette-Systeme, für die Sie Ihre eigenen Wahrscheinlichkeitstabellen erstellen können. Dies ist jedoch der Fall, wenn wir keine Verteilungsgesetze und Tabellen benötigen, da mit Sicherheit festgestellt wurde, dass die mathematische Erwartung des Spielers genau dieselbe sein wird. Das Einzige, was sich von System zu System ändert, ist