Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich. Unabhängigkeit von Ereignissen. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz. So kombinieren Sie unabhängige Studien

In den Wirtschaftswissenschaften, aber auch in anderen Bereichen Menschliche Aktivität oder in der Natur müssen wir uns ständig mit Ereignissen auseinandersetzen, die nicht genau vorhergesagt werden können. Somit hängt das Verkaufsvolumen eines Produkts von der Nachfrage ab, die erheblich variieren kann, sowie von einer Reihe anderer Faktoren, die kaum berücksichtigt werden können. Daher müssen Sie bei der Organisation der Produktion und der Durchführung des Vertriebs das Ergebnis solcher Aktivitäten entweder auf der Grundlage Ihrer eigenen bisherigen Erfahrungen oder ähnlicher Erfahrungen anderer Personen oder Ihrer Intuition vorhersagen, die zu einem großen Teil auch auf experimentellen Daten beruht.

Um das jeweilige Ereignis irgendwie bewerten zu können, ist es notwendig, die Bedingungen, unter denen dieses Ereignis aufgezeichnet wird, zu berücksichtigen oder speziell zu organisieren.

Implementierung bestimmte Bedingungen oder Aktionen zur Identifizierung des betreffenden Ereignisses aufgerufen Erfahrung oder Experiment.

Das Ereignis wird aufgerufen zufällig, ob es aufgrund der Erfahrung eintreten kann oder nicht.

Das Ereignis wird aufgerufen zuverlässig, wenn es notwendigerweise als Ergebnis auftritt diese Erfahrung, Und unmöglich, wenn es in dieser Erfahrung nicht vorkommen kann.

Beispielsweise ist der Schneefall in Moskau am 30. November ein zufälliges Ereignis. Der tägliche Sonnenaufgang kann als verlässliches Ereignis angesehen werden. Schneefall am Äquator kann berücksichtigt werden mögliches Ereignis.

Eine der Hauptaufgaben der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Bestimmung eines quantitativen Maßes für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses.

Algebra der Ereignisse

Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gemeinsam in derselben Erfahrung beobachtet werden können. Somit sind das gleichzeitige Vorhandensein von zwei und drei zum Verkauf stehenden Autos in einem Geschäft zwei unvereinbare Ereignisse.

Menge Ereignisse ist ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse besteht

Ein Beispiel für die Summe von Ereignissen ist das Vorhandensein mindestens eines von zwei Produkten im Geschäft.

Die Arbeit Ereignisse sind ein Ereignis, das aus dem gleichzeitigen Auftreten aller dieser Ereignisse besteht

Ein Ereignis, das aus dem gleichzeitigen Erscheinen zweier Waren in einem Geschäft besteht, ist ein Produkt von Ereignissen: - dem Erscheinen eines Produkts, - dem Erscheinen eines anderen Produkts.

Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen, wenn mindestens eines davon sicher in der Erfahrung auftritt.

Beispiel. Der Hafen verfügt über zwei Liegeplätze für den Empfang von Schiffen. Drei Ereignisse können berücksichtigt werden: - das Fehlen von Schiffen an den Liegeplätzen, - die Anwesenheit eines Schiffes an einem der Liegeplätze, - die Anwesenheit von zwei Schiffen an zwei Liegeplätzen. Diese drei Veranstaltungen bilden eine vollständige Veranstaltungsgruppe.

Gegenteil Es werden zwei eindeutige mögliche Ereignisse aufgerufen, die eine vollständige Gruppe bilden.

Wenn eines der entgegengesetzten Ereignisse mit bezeichnet wird, dann wird das entgegengesetzte Ereignis normalerweise mit bezeichnet.

Klassische und statistische Definitionen der Ereigniswahrscheinlichkeit

Jedes der gleichermaßen möglichen Ergebnisse von Tests (Experimenten) wird als Elementarergebnis bezeichnet. Sie werden meist mit Buchstaben bezeichnet. Beispielsweise wird ein Würfel geworfen. Basierend auf der Anzahl der Punkte auf den Seiten kann es insgesamt sechs Grundergebnisse geben.

Aus elementaren Ergebnissen können Sie ein komplexeres Ereignis erstellen. Somit wird das Ereignis einer geraden Punktezahl durch drei Ergebnisse bestimmt: 2, 4, 6.

Ein quantitatives Maß für die Möglichkeit des Eintretens des betreffenden Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit.

Am meisten breite Verwendung erhielt zwei Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: klassisch Und statistisch.

Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit ist mit dem Konzept eines günstigen Ergebnisses verbunden.

Das Ergebnis heißt günstig diese Veranstaltung, wenn sein Erscheinen das Eintreten dieses Ereignisses mit sich bringt.

Im angegebenen Beispiel handelt es sich um das betreffende Ereignis gerade Zahl Punkte auf der verlorenen Seite haben drei positive Ergebnisse. IN in diesem Fall bekannt und allgemein
Anzahl möglicher Ergebnisse. Hier können Sie also verwenden klassische Definition Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Klassische Definition entspricht dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zu Gesamtzahl mögliche Resultate

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

Im betrachteten Beispiel

Die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit ist mit dem Konzept der relativen Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in Experimenten verbunden.

Relative Frequenz Das Eintreten eines Ereignisses wird durch die Formel berechnet

Dabei ist die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in einer Reihe von Experimenten (Tests).

Statistische Definition. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Zahl, um die sich die relative Häufigkeit bei unbegrenzter Zunahme der Anzahl von Experimenten stabilisiert (einstellt).

IN praktische Probleme Als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird die relative Häufigkeit mit ausreichender Wahrscheinlichkeit angenommen große Zahl Tests.

Aus diesen Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses geht hervor, dass die Ungleichung immer erfüllt ist

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses anhand der Formel (1.1) zu bestimmen, werden häufig kombinatorische Formeln verwendet, mit denen die Anzahl der günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ermittelt werden.

Wahrscheinlichkeit– eine Zahl zwischen 0 und 1, die die Wahrscheinlichkeit widerspiegelt, dass ein zufälliges Ereignis eintritt, wobei 0 ist völlige Abwesenheit die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, und 1 bedeutet, dass das betreffende Ereignis definitiv eintreten wird.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist eine Zahl von bis 1.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten sich gegenseitig ausschließender Ereignisse ist gleich 1.

empirische Wahrscheinlichkeit- Wahrscheinlichkeit, die als relative Häufigkeit eines Ereignisses in der Vergangenheit berechnet wird und aus der Analyse historischer Daten extrahiert wird.

Die Wahrscheinlichkeit ist sehr seltene Ereignisse kann nicht empirisch berechnet werden.

subjektive Wahrscheinlichkeit- Wahrscheinlichkeit basierend auf persönlichen subjektive Einschätzung Ereignisse ohne Rücksicht auf historische Daten. Anleger, die Entscheidungen zum Kauf und Verkauf von Aktien treffen, handeln häufig auf der Grundlage subjektiver Wahrscheinlichkeitserwägungen.

A-priori-Wahrscheinlichkeit -

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, beträgt 1 zu... (Quote), basierend auf dem Konzept der Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, wird durch die Wahrscheinlichkeit wie folgt ausgedrückt: P/(1-P).

Wenn beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 0,5 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 1 zu 2, weil 0,5/(1-0,5).

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, wird mit der Formel (1-P)/P berechnet

Inkonsistente Wahrscheinlichkeit- Beispielsweise berücksichtigt der Aktienkurs von Unternehmen A das mögliche Ereignis E zu 85 %, während der Aktienkurs von Unternehmen B nur zu 50 % berücksichtigt. Dies wird als inkonsistente Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Nach dem Dutch Betting Theorem schafft eine inkonsistente Wahrscheinlichkeit Gewinnchancen.

Bedingungslose Wahrscheinlichkeit ist die Antwort auf die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt?“

Bedingte Wahrscheinlichkeit- Dies ist die Antwort auf die Frage: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn Ereignis B eintritt.“ Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird als P(A|B) bezeichnet.

Gemeinsame Wahrscheinlichkeit- die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten. Bezeichnet als P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Regel zur Summierung von Wahrscheinlichkeiten:

Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt, ist

P (A oder B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Wenn sich die Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, dann

P (A oder B) = P(A) + P(B)

Unabhängige Veranstaltungen- Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Das heißt, es handelt sich um eine Ergebnisfolge, bei der der Wahrscheinlichkeitswert von einem Ereignis zum nächsten konstant ist.
Ein Münzwurf ist ein Beispiel für ein solches Ereignis – das Ergebnis jedes weiteren Wurfs hängt nicht vom Ergebnis des vorherigen ab.

Abhängige Ereignisse- Hierbei handelt es sich um Ereignisse, bei denen die Eintrittswahrscheinlichkeit des einen von der Eintrittswahrscheinlichkeit des anderen abhängt.

Wahrschunabhängige Veranstaltungen:
Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Regel volle Wahrscheinlichkeit:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

„S“ und „S“ sind sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

erwarteter Wert Die Zufallsvariable ist der Durchschnitt möglicher Ergebnisse zufällige Variable. Für Ereignis X wird die Erwartung als E(X) bezeichnet.

Nehmen wir an, wir haben 5 Werte sich gegenseitig ausschließender Ereignisse mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (zum Beispiel war das Einkommen eines Unternehmens mit einer solchen Wahrscheinlichkeit so und so hoch). Der Erwartungswert ist die Summe aller Ergebnisse multipliziert mit ihrer Wahrscheinlichkeit:

Die Streuung einer Zufallsvariablen ist die Erwartung quadratischer Abweichungen einer Zufallsvariablen von ihrer Erwartung:

s 2 = E( 2 ) (6)

Der bedingte Erwartungswert ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, sofern das Ereignis S bereits eingetreten ist.

Es ist klar, dass jedes Ereignis einen unterschiedlichen Grad an Wahrscheinlichkeit seines Auftretens (seiner Umsetzung) hat. Um Ereignisse entsprechend dem Grad ihrer Möglichkeit quantitativ miteinander vergleichen zu können, ist es natürlich notwendig, jedes Ereignis zu assoziieren bestimmte Nummer, die umso größer ist, je wahrscheinlicher das Ereignis ist. Diese Zahl wird als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses– ist ein numerisches Maß für den Grad der objektiven Möglichkeit des Eintretens dieses Ereignisses.

Betrachten Sie ein stochastisches Experiment und ein in diesem Experiment beobachtetes Zufallsereignis A. Wiederholen wir dieses Experiment n-mal und sei m(A) die Anzahl der Experimente, in denen Ereignis A auftrat.

Beziehung (1.1)

angerufen relative Frequenz Ereignisse A in der Reihe der durchgeführten Experimente.

Die Gültigkeit der Eigenschaften lässt sich leicht überprüfen:

wenn A und B inkonsistent sind (AB= ), dann ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Die relative Häufigkeit wird erst nach einer Reihe von Experimenten ermittelt und kann im Allgemeinen von Serie zu Serie variieren. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass sich die relative Häufigkeit in vielen Fällen mit zunehmender Anzahl der Experimente einem bestimmten Wert annähert. Diese Tatsache der Stabilität der relativen Frequenz wurde wiederholt bestätigt und kann als experimentell nachgewiesen gelten.

Beispiel 1.19.. Wenn Sie eine Münze werfen, kann niemand vorhersagen, auf welcher Seite sie oben landen wird. Aber wenn man zwei Tonnen Münzen wirft, dann wird jeder sagen, dass etwa eine Tonne mit dem Wappen herunterfällt, das heißt, die relative Häufigkeit des Herausfallens des Wappens beträgt etwa 0,5.

Wenn mit zunehmender Anzahl von Experimenten die relative Häufigkeit des Ereignisses ν(A) zu einer bestimmten festen Zahl tendiert, dann spricht man davon Ereignis A ist statistisch stabil, und diese Zahl wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A Es wird eine feste Zahl P(A) aufgerufen, zu der die relative Häufigkeit ν(A) dieses Ereignisses mit zunehmender Anzahl von Experimenten tendiert, d. h.

Diese Definition heißt statistische Definition Wahrscheinlichkeiten .

Betrachten wir ein bestimmtes stochastisches Experiment und lassen Sie den Raum seiner Elementarereignisse aus einer endlichen oder unendlichen (aber abzählbaren) Menge von Elementarereignissen ω 1, ω 2, …, ω i, … bestehen. Nehmen wir an, dass jedem Elementarereignis ω i eine bestimmte Zahl zugewiesen wird – р i , die den Grad der Möglichkeit des Auftretens eines gegebenen Elementarereignisses charakterisiert und erfüllt die folgenden Eigenschaften:

Diese Zahl p i heißt Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignissesωi.

Sei nun A ein in diesem Experiment beobachtetes Zufallsereignis und entspreche einer bestimmten Menge

In dieser Einstellung Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Nennen Sie die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen zugunsten von A(im entsprechenden Set A enthalten):

(1.4)

Die so eingeführte Wahrscheinlichkeit hat die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit, nämlich:

Und wenn AB = (A und B sind inkompatibel),

dann P(A+B) = P(A) + P(B)

Tatsächlich gilt nach (1.4)

Bei der letzten Beziehung machten wir uns die Tatsache zunutze, dass kein einzelnes Elementarereignis gleichzeitig zwei inkompatible Ereignisse begünstigen kann.

Wir weisen insbesondere darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie keine Methoden zur Bestimmung von p i angibt; diese müssen aus praktischen Gründen gesucht oder aus einem entsprechenden statistischen Experiment gewonnen werden.

Betrachten Sie als Beispiel klassisches Schema Wahrscheinlichkeitstheorie. Betrachten Sie dazu ein stochastisches Experiment, dessen Raum elementarer Ereignisse aus einer endlichen (n) Anzahl von Elementen besteht. Nehmen wir zusätzlich an, dass alle diese Elementarereignisse gleichermaßen möglich sind, das heißt, die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse sind gleich p(ω i)=p i =p. Es folgt dem

Beispiel 1.20. Beim Werfen einer symmetrischen Münze ist es gleichermaßen möglich, Kopf und Zahl zu bekommen, ihre Wahrscheinlichkeiten betragen 0,5.

Beispiel 1.21. Beim Werfen eines symmetrischen Würfels sind alle Gesichter gleichermaßen möglich, ihre Wahrscheinlichkeiten betragen 1/6.

Nun sei Ereignis A durch m Elementarereignisse begünstigt, wie sie üblicherweise genannt werden Ergebnisse, die für Ereignis A günstig sind. Dann

Bekommen klassische Definition der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(A) von Ereignis A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse

Beispiel 1.22. Die Urne enthält m weiße Kugeln und n schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es herauskommt? weiße Kugel?

Lösung. Die Gesamtzahl der Elementarereignisse beträgt m+n. Sie sind alle gleich wahrscheinlich. Günstiges Ereignis A, davon m. Somit, .

Aus der Wahrscheinlichkeitsdefinition ergeben sich folgende Eigenschaften:

Eigentum 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.

Wenn das Ereignis tatsächlich zuverlässig ist, dann spricht jedes elementare Ergebnis des Tests für das Ereignis. In diesem Fall t=p, somit,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Eigentum 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Wenn ein Ereignis tatsächlich unmöglich ist, spricht keines der elementaren Ergebnisse des Tests für das Ereignis. In diesem Fall T= 0, also P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Eigentum 3.Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis Es gibt positive Zahl, eingeschlossen zwischen Null und Eins.

Tatsächlich wird nur ein Teil der Gesamtzahl der elementaren Ergebnisse des Tests durch ein Zufallsereignis begünstigt. Das heißt, 0 ≤ m ≤ n, was bedeutet, dass 0 ≤ m / n ≤ 1 ist, sodass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfüllt ist doppelte Ungleichheit 0≤P(A) ≤1. (1.8)

Beim Vergleich der Definitionen von Wahrscheinlichkeit (1.5) und relativer Häufigkeit (1.1) kommen wir zu dem Schluss: Definition von Wahrscheinlichkeit erfordert keine Prüfung in der Wirklichkeit; Die Definition der relativen Häufigkeit setzt dies voraus Tests wurden tatsächlich durchgeführt. Mit anderen Worten, Die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment und die relative Häufigkeit nach dem Experiment berechnet.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit erfordert jedoch vorläufige Informationen über die Anzahl oder Wahrscheinlichkeiten der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Elementarergebnisse. Fehlen solche vorläufigen Informationen, werden zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit empirische Daten herangezogen, das heißt, die relative Häufigkeit des Ereignisses wird anhand der Ergebnisse eines stochastischen Experiments ermittelt.

Beispiel 1.23. Technische Kontrollabteilung entdeckt 3 nicht standardmäßige Teile in einer Charge von 80 zufällig ausgewählten Teilen. Relative Häufigkeit des Vorkommens nicht standardmäßiger Teile r(A)= 3/80.

Beispiel 1.24. Je nach Zweck.produziert 24 Schuss, und es wurden 19 Treffer verzeichnet. Relative Zieltrefferquote. r(A)=19/24.

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft ist dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit kaum ändert (je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt) und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass dies der Fall war konstante Zahl kann als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert angenommen werden.

Der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden detaillierter und präziser beschrieben. Lassen Sie uns nun die Eigenschaft der Stabilität anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 1.25. Laut schwedischer Statistik wird die relative Häufigkeit der Geburten von Mädchen im Jahr 1935 pro Monat durch die folgenden Zahlen charakterisiert (die Zahlen sind in der Reihenfolge der Monate geordnet, beginnend mit Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Die relative Häufigkeit schwankt um die Zahl 0,481, was als angenommen werden kann ungefährer Wert Wahrscheinlichkeit, Mädchen zu bekommen.

Beachten Sie, dass statistische Daten verschiedene Länder ergeben ungefähr den gleichen relativen Frequenzwert.

Beispiel 1.26. Es wurden mehrfach Münzwurfexperimente durchgeführt, bei denen die Anzahl der Auftritte des „Wappens“ gezählt wurde. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in der Tabelle aufgeführt.

Ursprünglich war die Wahrscheinlichkeitstheorie nur eine Sammlung von Informationen und empirischen Beobachtungen über das Würfelspiel und entwickelte sich zu einer umfassenden Wissenschaft. Die ersten, die ihm einen mathematischen Rahmen gaben, waren Fermat und Pascal.

Vom Nachdenken über das Ewige bis zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Die beiden Personen, denen die Wahrscheinlichkeitstheorie viele ihrer Grundformeln verdankt, Blaise Pascal und Thomas Bayes, gelten als zutiefst religiöse Menschen, wobei letzterer ein presbyterianischer Pfarrer war. Anscheinend gab der Wunsch dieser beiden Wissenschaftler, den Irrtum der Meinung zu beweisen, dass eine gewisse Wahrsagerin ihren Lieblingen Glück schenkt, der Forschung auf diesem Gebiet Anstoß. Immerhin, in der Tat, jeder Glücksspiel Mit seinen Siegen und Niederlagen ist es nur eine Symphonie mathematischer Prinzipien.

Dank der Leidenschaft des Herrn de Mere, der gleichermaßen Da Pascal ein Spieler war und der Wissenschaft nicht gleichgültig gegenüberstand, war er gezwungen, einen Weg zu finden, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. De Mere interessierte sich für die folgende Frage: „Wie oft muss man zwei Würfel paarweise werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, 12 Punkte zu bekommen, 50 % übersteigt?“ Die zweite Frage, die für den Herrn von großem Interesse war: „Wie teilt man den Einsatz zwischen den Teilnehmern des noch nicht beendeten Spiels auf?“ Natürlich beantwortete Pascal erfolgreich beide Fragen von de Mere, der unwissentlich zum Initiator der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde. Interessant ist, dass die Person von de Mere in diesem Bereich bekannt blieb und nicht in der Literatur.

Bisher hatte kein Mathematiker versucht, die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, da man glaubte, dass dies nur eine Vermutung sei. Blaise Pascal gab die erste Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und zeigte, dass es sich um eine bestimmte Zahl handelt, die mathematisch begründet werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist zur Grundlage der Statistik geworden und wird häufig verwendet moderne Wissenschaft.

Was ist Zufälligkeit?

Erwägen Sie einen wiederholbaren Test Unendliche Nummer mal, dann können wir ein zufälliges Ereignis definieren. Dies ist eines der wahrscheinlichen Ergebnisse des Experiments.

Erfahrung ist die Umsetzung konkrete Maßnahmen unter konstanten Bedingungen.

Um mit den Ergebnissen des Experiments arbeiten zu können, werden Ereignisse üblicherweise mit den Buchstaben A, B, C, D, E... bezeichnet.

Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses

Um mit dem mathematischen Teil der Wahrscheinlichkeit zu beginnen, müssen alle ihre Komponenten definiert werden.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein numerisches Maß für die Möglichkeit, dass ein Ereignis (A oder B) als Ergebnis einer Erfahrung eintritt. Die Wahrscheinlichkeit wird als P(A) oder P(B) bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheiden sie:

• zuverlässig das Ereignis wird aufgrund der Erfahrung P(Ω) = 1 garantiert eintreten;
• unmöglich das Ereignis kann niemals eintreten P(Ø) = 0;
• zufällig ein Ereignis liegt zwischen zuverlässig und unmöglich, d. h. die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens ist möglich, aber nicht garantiert (die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses liegt immer im Bereich 0≤Р(А)≤ 1).

Beziehungen zwischen Ereignissen

Sowohl eines als auch die Summe der Ereignisse A+B werden berücksichtigt, wenn das Ereignis gezählt wird, wenn mindestens eine der Komponenten A oder B oder beide Komponenten A und B erfüllt ist.

Im Verhältnis zueinander können Ereignisse sein:

• Ebenso möglich.
• Kompatibel.
• Unvereinbar.
• Gegensätzlich (sich gegenseitig ausschließend).
• Abhängig.

Wenn zwei Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können, dann sind sie gleichermaßen möglich.

Wenn das Eintreten von Ereignis A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht auf Null reduziert, dann sind sie kompatibel.

Wenn die Ereignisse A und B niemals gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten, werden sie aufgerufen unvereinbar. Münzwurf - gutes Beispiel: Das Erscheinen von Köpfen ist automatisch das Nichterscheinen von Köpfen.

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe davon inkompatible Ereignisse besteht aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Wenn das Eintreten eines Ereignisses das Eintreten eines anderen Ereignisses unmöglich macht, werden sie als Gegenteil bezeichnet. Dann wird einer von ihnen als A bezeichnet und der andere als Ā (gelesen als „nicht A“). Das Eintreten von Ereignis A bedeutet, dass Ā nicht stattgefunden hat. Diese beiden Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeitssumme von 1.

Abhängige Ereignisse haben Gegenseitiger Einfluss, wodurch die Wahrscheinlichkeit voneinander verringert oder erhöht wird.

Beziehungen zwischen Ereignissen. Beispiele

Anhand von Beispielen ist es viel einfacher, die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie und Ereigniskombinationen zu verstehen.

Das Experiment, das durchgeführt wird, besteht darin, Kugeln aus einer Schachtel zu nehmen, und das Ergebnis jedes Experiments ist ein elementares Ergebnis.

Ein Ereignis ist eines der möglichen Ergebnisse eines Experiments – ein roter Ball, ein blauer Ball, ein Ball mit der Nummer sechs usw.

Test Nr. 1. Es sind 6 Kugeln beteiligt, drei davon sind blau mit ungeraden Zahlen und die anderen drei sind rot mit geraden Zahlen.

Test Nr. 2. 6 Bälle beteiligt von blauer Farbe mit Zahlen von eins bis sechs.

Anhand dieses Beispiels können wir Kombinationen benennen:

• Zuverlässige Veranstaltung. In Spanisch Nr. 2 Das Ereignis „Hol dir den blauen Ball“ ist zuverlässig, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens gleich 1 ist, da alle Bälle blau sind und es keinen Fehlschlag geben kann. Das Ereignis „Erhalte den Ball mit der Nummer 1“ hingegen ist zufällig.
• Unmögliches Ereignis. In Spanisch Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, das Ereignis „die lila Kugel bekommen“ ist unmöglich, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens 0 ist.
• Ebenso mögliche Ereignisse. In Spanisch Nr. 1 sind die Ereignisse „Ball mit der Nummer 2 holen“ und „Ball mit der Nummer 3 holen“ ebenso möglich, wie auch die Ereignisse „Ball mit gerader Nummer holen“ und „Ball mit der Nummer 2 holen“. „haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
• Kompatible Ereignisse. Beim Würfeln zweimal hintereinander eine Sechs zu bekommen, ist ein kompatibles Ereignis.
• Inkompatible Ereignisse. Im gleichen Spanisch Nr. 1: Die Ereignisse „Erhalte einen roten Ball“ und „Erhalte einen Ball mit einer ungeraden Zahl“ können nicht im selben Erlebnis kombiniert werden.
• Gegensätzliche Ereignisse. Am meisten leuchtendes Beispiel Dabei handelt es sich um Münzwurf, bei dem das Ziehen von „Kopf“ dem Nicht-Ziehen von „Zahl“ entspricht und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten immer 1 ist (vollständige Gruppe).
• Abhängige Ereignisse. Also auf Spanisch Nr. 1: Sie können das Ziel festlegen, den roten Ball zweimal hintereinander zu ziehen. Ob es beim ersten Mal abgerufen wird oder nicht, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Mal abgerufen zu werden.

Es ist ersichtlich, dass das erste Ereignis die Wahrscheinlichkeit des zweiten erheblich beeinflusst (40 % und 60 %).

Formel für die Ereigniswahrscheinlichkeit

Der Übergang von der Wahrsagerei zu präzisen Daten erfolgt durch die Übersetzung des Themas in eine mathematische Ebene. Das heißt, Urteile über ein zufälliges Ereignis wie „hohe Wahrscheinlichkeit“ oder „minimale Wahrscheinlichkeit“ können in spezifische numerische Daten übersetzt werden. Es ist bereits zulässig, solches Material auszuwerten, zu vergleichen und in komplexere Berechnungen einzubeziehen.

Aus rechnerischer Sicht ist die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl elementarer positiver Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Erfahrungsergebnisse bezüglich eines bestimmten Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit wird mit P(A) bezeichnet, wobei P für das Wort „probabilite“ steht, was aus dem Französischen mit „Wahrscheinlichkeit“ übersetzt wird.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lautet also:

Wobei m die Menge ist günstige Ergebnisse Für Ereignis A ist n die Summe aller für diese Erfahrung möglichen Ergebnisse. In diesem Fall liegt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer zwischen 0 und 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Beispiel

Nehmen wir Spanisch. Nr. 1 mit Kugeln, die bereits beschrieben wurde: 3 blaue Kugeln mit den Zahlen 1/3/5 und 3 rote Kugeln mit den Zahlen 2/4/6.

Basierend auf diesem Test können verschiedene Probleme berücksichtigt werden:

• A - roter Ball fällt heraus. Es gibt 3 rote Kugeln und insgesamt 6 Optionen. Das ist einfachstes Beispiel, wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gleich P(A)=3/6=0,5 ist.
• B – eine gerade Zahl würfeln. Es gibt 3 gerade Zahlen (2,4,6) und die Gesamtzahl der möglichen numerischen Optionen beträgt 6. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt P(B)=3/6=0,5.
• C – Ausrollen einer Zahl größer als 2. Es gibt 4 solcher Optionen (3,4,5,6). Gesamtzahl mögliche Ergebnisse 6. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ist gleich P(C)=4/6=0,67.

Wie aus den Berechnungen hervorgeht, hat Ereignis C stattgefunden hohe Wahrscheinlichkeit, da die Anzahl der wahrscheinlichen positiven Ergebnisse höher ist als in A und B.

Inkompatible Ereignisse

Solche Ereignisse können nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten. Wie auf Spanisch Nr. 1: Es ist unmöglich, gleichzeitig einen blauen und einen roten Ball zu bekommen. Das heißt, Sie können entweder einen blauen oder einen roten Ball bekommen. Ebenso können bei einem Würfel nicht gleichzeitig eine gerade und eine ungerade Zahl vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe oder ihres Produkts betrachtet. Die Summe dieser Ereignisse A+B wird als ein Ereignis betrachtet, das aus dem Eintreten des Ereignisses A oder B besteht, und das Produkt AB ist das Eintreten beider. Zum Beispiel das gleichzeitige Erscheinen von zwei Sechsen auf den Seiten zweier Würfel in einem Wurf.

Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das das Eintreten mindestens eines von ihnen voraussetzt. Die Produktion mehrerer Ereignisse ist deren gemeinsames Auftreten.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet die Verwendung der Konjunktion „und“ in der Regel eine Summe und die Konjunktion „oder“ eine Multiplikation. Formeln mit Beispielen helfen Ihnen, die Logik der Addition und Multiplikation in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu verstehen.

Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse

Wenn die Wahrscheinlichkeit berücksichtigt wird gemeinsame Veranstaltungen, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse gleich der Addition ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Zum Beispiel: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch. Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, es erscheint eine Zahl zwischen 1 und 4. Wir rechnen nicht in einem Zug, sondern durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarkomponenten. In einem solchen Experiment gibt es also nur 6 Bälle oder 6 aller möglichen Ergebnisse. Die Zahlen, die die Bedingung erfüllen, sind 2 und 3. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 2 zu erhalten, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu erhalten, beträgt ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 4 zu erhalten, beträgt:

Die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse einer vollständigen Gruppe beträgt 1.

Wenn wir also in einem Experiment mit einem Würfel die Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Zahlen addieren, ist das Ergebnis eins.

Dies gilt auch für gegensätzliche Ereignisse, beispielsweise im Experiment mit einer Münze, bei der bekanntlich die eine Seite das Ereignis A und die andere das entgegengesetzte Ereignis Ā ist,

P(A) + P(Ā) = 1

Wahrscheinlichkeit des Auftretens inkompatibler Ereignisse

Die Wwird verwendet, wenn das Auftreten von zwei oder mehr davon berücksichtigt wird inkompatible Ereignisse in einer Beobachtung. Die Wahrscheinlichkeit, dass darin die Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten, ist gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, oder:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch Nr. 1: Als Ergebnis von zwei Versuchen erscheint zweimal ein blauer Ball, gleich

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, wenn als Ergebnis von zwei Versuchen, Bälle zu extrahieren, nur blaue Bälle extrahiert werden, beträgt 25 %. Sehr einfach zu machen praktische Experimente Führen Sie diese Aufgabe durch und prüfen Sie, ob dies wirklich der Fall ist.

Gemeinsame Veranstaltungen

Ereignisse gelten als gemeinsam, wenn das Eintreten eines von ihnen mit dem Eintreten eines anderen zusammenfallen kann. Obwohl sie gemeinsam sind, wird die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse berücksichtigt. Beispielsweise kann das Werfen zweier Würfel ein Ergebnis ergeben, wenn auf beiden die Zahl 6 erscheint. Obwohl die Ereignisse zusammenfielen und gleichzeitig auftraten, sind sie unabhängig voneinander – es konnte nur eine Sechs herausfallen, der zweite Würfel hat keine Einfluss darauf.

Die Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe betrachtet.

Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse. Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse A und B, die im Verhältnis zueinander gemeinsam sind, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses abzüglich der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens (d. h. ihres gemeinsamen Eintretens):

R-Gelenk (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,4 beträgt. Dann trifft Ereignis A im ersten Versuch das Ziel, B im zweiten. Diese Ereignisse sind gemeinsam, da es möglich ist, dass Sie das Ziel sowohl mit dem ersten als auch mit dem zweiten Schuss treffen können. Aber Ereignisse sind nicht abhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mit zwei Schüssen (zumindest mit einem) das Ziel trifft? Nach der Formel:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Die Antwort auf die Frage lautet: „Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Schüssen das Ziel zu treffen, beträgt 64 %.“

Diese Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auch auf inkompatible Ereignisse angewendet werden, bei denen die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens eines Ereignisses P(AB) = 0 ist. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse als Sonderfall betrachtet werden kann der vorgeschlagenen Formel.

Geometrie der Wahrscheinlichkeit zur Verdeutlichung

Interessanterweise kann die Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse als zwei Bereiche A und B dargestellt werden, die sich überschneiden. Wie aus dem Bild ersichtlich ist, ist die Fläche ihrer Vereinigung gleich Gesamtfläche abzüglich der Fläche ihres Schnittpunkts. Diese geometrische Erklärung macht die scheinbar unlogische Formel verständlicher. Beachten Sie, dass geometrische Lösungen– keine Seltenheit in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Summe vieler (mehr als zwei) gemeinsamer Ereignisse ist recht umständlich. Zur Berechnung müssen Sie die für diese Fälle bereitgestellten Formeln verwenden.

Abhängige Ereignisse

Ereignisse werden als abhängig bezeichnet, wenn das Eintreten eines (A) von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen (B) beeinflusst. Darüber hinaus wird der Einfluss sowohl des Eintretens des Ereignisses A als auch seines Nichteintretens berücksichtigt. Obwohl Ereignisse per Definition als abhängig bezeichnet werden, ist nur eines davon abhängig (B). Die gewöhnliche Wahrscheinlichkeit wurde als P(B) oder die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse bezeichnet. Im Fall abhängiger Ereignisse wird ein neues Konzept eingeführt – die bedingte Wahrscheinlichkeit P A (B), die die Wahrscheinlichkeit eines abhängigen Ereignisses B ist, abhängig vom Eintreten des Ereignisses A (Hypothese), von dem es abhängt.

Aber auch Ereignis A ist zufällig, hat also auch eine Wahrscheinlichkeit, die bei den durchgeführten Berechnungen berücksichtigt werden muss und berücksichtigt werden kann. Das folgende Beispiel zeigt, wie mit abhängigen Ereignissen und einer Hypothese gearbeitet wird.

Ein Beispiel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit abhängiger Ereignisse

Ein gutes Beispiel für die Berechnung abhängiger Ereignisse wäre ein Standardkartenspiel.

Schauen wir uns am Beispiel eines Kartenspiels mit 36 ​​Karten die abhängigen Ereignisse an. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die zweite gezogene Karte aus Karo besteht, wenn die erste gezogene Karte wie folgt aussieht:

1. Bubnovaya.
2. Eine andere Farbe.

Offensichtlich hängt die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses B vom ersten A ab. Wenn also die erste Option zutrifft, also 1 Karte (35) und 1 Diamant (8) weniger im Stapel sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B:

R A (B) =8/35=0,23

Wenn die zweite Option zutrifft, hat das Deck jetzt 35 Karten und die vollständige Nummer Tamburin (9), dann die Wahrscheinlichkeit nächste Veranstaltung IN:

R A (B) =9/35=0,26.

Es ist ersichtlich, dass, wenn Ereignis A davon abhängt, dass die erste Karte eine Karo ist, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B abnimmt und umgekehrt.

Abhängige Ereignisse multiplizieren

Basierend auf dem vorherigen Kapitel akzeptieren wir das erste Ereignis (A) als Tatsache, aber im Wesentlichen ist es zufälliger Natur. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, nämlich das Ziehen eines Diamanten aus einem Kartenspiel, ist gleich:

P(A) = 9/36=1/4

Denn Theorie existiert nicht für sich allein, sondern soll dienen praktische Zwecke, dann ist es fair anzumerken, dass am häufigsten die Wahrscheinlichkeit der Erzeugung abhängiger Ereignisse benötigt wird.

Nach dem Satz über das Produkt der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse ist die Eintrittswahrscheinlichkeit der gemeinsam abhängigen Ereignisse A und B gleich der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B (abhängig von A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Dann beträgt im Deckbeispiel die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit der Farbe Karo zu ziehen, wie folgt:

9/36*8/35=0,0571 oder 5,7 %

Und die Wahrscheinlichkeit, zuerst Diamanten und dann Diamanten zu gewinnen, ist gleich:

27/36*9/35=0,19 oder 19 %

Es ist ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B größer ist, sofern die erste gezogene Karte eine andere Farbe als Karo hat. Dieses Ergebnis ist durchaus logisch und verständlich.

Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Wenn ein Problem mit bedingten Wahrscheinlichkeiten vielschichtig wird, kann es nicht mit herkömmlichen Methoden berechnet werden. Wenn es mehr als zwei Hypothesen gibt, nämlich A1, A2,…, A n, ..bildet eine vollständige Gruppe von Ereignissen, vorausgesetzt:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Also die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit für Ereignis B bei volle Gruppe Zufallsereignisse A1,A2,…,Und n ist gleich:

Ein Blick in die Zukunft

Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist in vielen Bereichen der Wissenschaft äußerst wichtig: Ökonometrie, Statistik, Physik usw. Da einige Prozesse nicht deterministisch beschrieben werden können, da sie selbst probabilistischer Natur sind, ist sie notwendig spezielle Methoden arbeiten. Die Theorie der Ereigniswahrscheinlichkeit kann in jedem technischen Bereich verwendet werden, um die Möglichkeit eines Fehlers oder einer Fehlfunktion zu bestimmen.

Wir können sagen, dass wir durch das Erkennen der Wahrscheinlichkeit in gewisser Weise einen theoretischen Schritt in die Zukunft machen und sie durch das Prisma der Formeln betrachten.

• Wahrscheinlichkeit - Grad (relatives Maß, Quantifizierung) die Möglichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Wenn die Gründe für das tatsächliche Eintreten eines möglichen Ereignisses überwiegen entgegengesetzte Gründe, dann heißt dieses Ereignis wahrscheinlich, in ansonsten- unwahrscheinlich oder unglaublich. Das Überwiegen positiver Gründe gegenüber negativen und umgekehrt kann darin liegen unterschiedliche Grade, wodurch die Wahrscheinlichkeit (und Unwahrscheinlichkeit) größer oder kleiner ist. Daher wird die Wahrscheinlichkeit häufig auf qualitativer Ebene bewertet, insbesondere in Fällen, in denen eine mehr oder weniger genaue quantitative Bewertung unmöglich oder äußerst schwierig ist. Es sind verschiedene Abstufungen der „Stufen“ der Wahrscheinlichkeit möglich.

  Wahrscheinlichkeitsstudie mit mathematischer Punkt Vision stellt eine besondere Disziplin dar – die Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird formalisiert als numerisches Merkmal Ereignisse – ein Wahrscheinlichkeitsmaß (oder sein Wert) – ein Maß für eine Menge von Ereignissen (Teilmengen einer Menge von Elementarereignissen), das Werte annimmt

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Bedeutung

  (\displaystyle 1)

  Konform zuverlässige Veranstaltung. Ein unmögliches Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 0 (das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht immer der Fall). Wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses beträgt

  (\displaystyle p)

  Dann ist die Wahrscheinlichkeit seines Nichtauftretens gleich

  (\displaystyle 1-p)

  Insbesondere die Wahrscheinlichkeit

  (\displaystyle 1/2)

  Bedeutet die gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens und Nichteintretens eines Ereignisses.

  Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit basiert auf dem Konzept der gleichen Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen Ergebnisse. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei einem zufälligen Münzwurf Kopf oder Zahl zu bekommen, 1/2, wenn davon ausgegangen wird, dass nur diese beiden Möglichkeiten auftreten und dass sie gleichermaßen möglich sind. Diese klassische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit kann auf den Fall unendlich vieler verallgemeinert werden mögliche Werte- Wenn zum Beispiel ein Ereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt (die Anzahl der Punkte ist unendlich) eines begrenzten Raumbereichs (Ebene) eintreten kann, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Teil davon eintreten wird gültiger Bereich gleich dem Verhältnis des Volumens (Fläche) dieses Teils zum Volumen (Fläche) der Region aller möglichen Punkte.

  Die empirische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Häufigkeit eines Ereignisses und basiert auf der Tatsache, dass bei einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen die Häufigkeit dem objektiven Grad der Möglichkeit dieses Ereignisses entsprechen sollte. IN moderne Präsentation Wahrscheinlichkeitstheorie, Wahrscheinlichkeit ist axiomatisch definiert als besonderer Fall abstrakte Theorie des Mengenmaßes. Dennoch, Verknüpfung Zwischen dem abstrakten Maß und der Wahrscheinlichkeit, die den Grad der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt, liegt genau die Häufigkeit seiner Beobachtung.

  Die probabilistische Beschreibung bestimmter Phänomene ist in der modernen Wissenschaft, insbesondere in der Ökonometrie, weit verbreitet. statistische Physik makroskopische (thermodynamische) Systeme, bei denen selbst im Fall einer klassischen deterministischen Beschreibung der Bewegung von Teilchen eine deterministische Beschreibung des gesamten Teilchensystems praktisch nicht möglich oder angemessen erscheint. IN Quantenphysik Die beschriebenen Prozesse selbst sind probabilistischer Natur.