Fläche einer Polygonregel. Fläche eines Polygons. Was tun, wenn die Figur drei oder vier Eckpunkte hat?

Einer von grundlegendes Konzept Mathematik ist der Umfang eines Rechtecks. Es gibt viele Probleme zu diesem Thema, deren Lösung ohne die Umfangsformel und die Fähigkeiten zu ihrer Berechnung nicht möglich ist.

Grundlegendes Konzept

Ein Rechteck ist ein Viereck, in dem alle Winkel rechtwinklig sind gegenüberliegende Seiten paarweise gleich und parallel. In unserem Leben haben viele Figuren die Form eines Rechtecks, zum Beispiel die Oberfläche eines Tisches, eines Notizbuchs usw.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Entlang der Grundstücksgrenzen muss ein Zaun errichtet werden. Um die Länge jeder Seite herauszufinden, müssen Sie sie messen.

Reis. 1. Grundstück Rechteckform.

Das Grundstück hat Seitenlängen von 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Um die Gesamtlänge des Zauns zu ermitteln, müssen Sie daher die Längen aller Seiten addieren:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 m.

Es ist dieser Wert in Allgemeiner Fall und wird Umfang genannt. Um den Umfang zu ermitteln, müssen Sie daher alle Seiten der Figur addieren. Der Buchstabe P wird verwendet, um den Umfang zu bezeichnen.

Um den Umfang zu berechnen rechteckige Figur Es ist nicht erforderlich, es in Rechtecke zu unterteilen. Sie müssen mit einem Lineal (Maßband) nur alle Seiten einer bestimmten Figur messen und deren Summe ermitteln.

Der Umfang eines Rechtecks ​​wird in mm, cm, m, km usw. gemessen. Bei Bedarf werden die Daten in der Aufgabe übersetzt das gleiche System Messungen.

Der Umfang eines Rechtecks ​​wird in verschiedenen Einheiten gemessen: mm, cm, m, km usw. Bei Bedarf werden die Daten in der Aufgabe in ein Messsystem umgewandelt.

Formel für den Umfang einer Figur

Wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks ​​​​gleich sind, können wir die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​​​ableiten:

$P = (a+b) * 2$, wobei a, b die Seiten der Figur sind.

Reis. 2. Rechteck mit markierten gegenüberliegenden Seiten.

Es gibt eine andere Möglichkeit, den Umfang zu ermitteln. Wenn bei der Aufgabe nur eine Seite und die Fläche der Figur vorgegeben sind, können Sie die andere Seite mit der Fläche ausdrücken. Dann sieht die Formel so aus:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, wobei S die Fläche des Rechtecks ​​ist.

Reis. 3. Rechteck mit den Seiten a, b.

Übung : Berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks, wenn seine Seiten 4 cm und 6 cm betragen.

Lösung:

Wir verwenden die Formel $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Somit beträgt der Umfang der Figur $P = 20 cm$.

Da der Umfang die Summe aller Seiten einer Figur ist, ist der Halbumfang die Summe nur einer Länge und Breite. Um den Umfang zu erhalten, müssen Sie den Halbumfang mit 2 multiplizieren.

Fläche und Umfang sind zwei Grundkonzepte zur Messung jeder Figur. Sie sollten nicht verwechselt werden, obwohl sie verwandt sind. Wenn Sie die Fläche vergrößern oder verkleinern, vergrößert oder verkleinert sich entsprechend auch ihr Umfang.

Der Umfang ist einer der mathematischen, oder besser gesagt - geometrische Begriffe, wird hauptsächlich zur Berechnung der Seiten einer Figur verwendet.

In unserem Artikel erfahren Sie am Beispiel geometrischer Grundformen, was Umfang ist und wie er gemessen wird.

Definition des Umfangs

Der Umfang heißt Gesamtlänge alle Seiten oder der Umfang einer bestimmten Figur. Der Umfang ist angegeben Großbuchstabe„P“ und kann in verschiedenen Längeneinheiten gemessen werden, z. B. Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Meter (m) usw. Dafür gibt es verschiedene Zahlen verschiedene Formeln um den Umfang zu finden. Im Folgenden geben wir einige Beispiele, wie Sie den Umfang eines Rechtecks ​​und einiger anderer Formen ermitteln können.

Den Umfang messen

Wenn Sie den Umfang einer komplexen Figur ermitteln müssen (zu diesen Figuren gehören auch Figuren mit ungleichmäßigen Linien), benötigen Sie hierfür ein Seil oder einen Faden. Mit diesen Dingen müssen Sie den genauen Umriss der Figur beschreiben, und um nicht verwirrt zu werden, können Sie mit einem Bleistift Markierungen auf dem Seil machen. Oder Sie schneiden es einfach ab und befestigen dann alle Teile am Lineal. Auf diese Weise wissen Sie, was gleich dem Umfang fast jede komplexe Figur.

Es gibt ein anderes Gerät zur Berechnung des Umfangs von komplexe Figuren: Es wird als Krümmungsmesser (Rollenentfernungsmesser) bezeichnet. Mit seiner Hilfe müssen Sie die Walze an einer beliebigen Stelle der Figur platzieren und mit der Walze die Kontur der Figur beschreiben. Die resultierende Zahl entspricht dem Umfang. In unserem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Umfang anderer geometrischer Formen ermitteln. Nun, wir erzählen Ihnen von mehreren weiteren Möglichkeiten, den Umfang für verschiedene Formen zu ändern.

Kreis, Quadrat, gleichseitiges Dreieck

Schauen wir uns auch an, wie man den Umfang eines Kreises ermittelt. Das ist ganz einfach: Sie müssen nur den Umfang bestimmen, und das geht, indem Sie den Radius „r“ mit der Zahl π≈3,14 und dann mit 2 multiplizieren (P=L=2∙π∙r).

Geometrie wurde, wenn ich mich nicht irre, zu meiner Zeit ab der fünften Klasse studiert und der Umfang war und ist einer davon Schlüssel Konzepte. Also, Umfang ist die Summe der Längen aller Seiten (gekennzeichnet durch den lateinischen Buchstaben P). Im Allgemeinen interpretieren sie diese Bezeichnung auf unterschiedliche Weise, zum Beispiel

• Gesamtlänge des Figurenrandes,
• die Länge aller seiner Seiten,
• die Summe der Längen seiner Flächen,
• die Länge der die Figur begrenzenden Linie,
• die Summe aller Seitenlängen eines Polygons

Verschiedene Figuren haben ihre eigenen Formeln zur Bestimmung des Umfangs. Um die Bedeutung zu verstehen, schlage ich vor, einige einfache Formeln unabhängig voneinander abzuleiten:

1. für ein Quadrat,
2. für ein Rechteck,
3. für ein Parallelogramm,
4. für Würfel,
5. für Parallelepiped

Umfang eines Quadrats

Nehmen wir zum Beispiel das einfachste Ding – den Umfang eines Quadrats.

Alle Seiten des Quadrats sind gleich. Dann soll eine Seite „a“ heißen (wie auch die anderen drei).

P = a + a + a + a

oder eine kompaktere Notation

Umfang eines Rechtecks

Verkomplizieren wir das Problem und nehmen wir ein Rechteck. IN in diesem Fall Es ist nicht mehr möglich zu sagen, dass alle Seiten gleich sind, also seien die Längen der Seiten des Rechtecks ​​gleich a und b.

Dann sieht die Formel so aus:

P = a + b + a + b

Umfang eines Parallelogramms

Eine ähnliche Situation tritt bei einem Parallelogramm auf (siehe Umfang des Rechtecks).

Würfelumfang

Was tun, wenn wir uns damit befassen? voluminöse Figur? Nehmen wir zum Beispiel einen Würfel. Der Würfel hat 12 Seiten und alle sind gleich. Dementsprechend kann der Umfang des Würfels wie folgt berechnet werden:

Parallelepiped-Umfang

Um das Material zu sichern, berechnen wir den Umfang des Parallelepipeds. Dies erfordert einige Überlegungen. Lasst uns das gemeinsam machen. Wie wir wissen, Quader ist eine Figur, deren Seiten Rechtecke sind. Jedes Parallelepiped hat zwei Basen. Nehmen wir eine der Basen und schauen uns ihre Seiten an – sie haben die Längen a und b. Dementsprechend beträgt der Umfang der Basis P = 2a + 2b. Dann beträgt der Umfang der beiden Basen

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Aber wir haben auch eine „c“-Seite. Dies bedeutet, dass die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Parallelepipeds wie folgt lautet:

P = 4a + 4b + 4c

Wie Sie den obigen Beispielen entnehmen können, müssen Sie zur Bestimmung des Umfangs einer Form lediglich die Länge jeder Seite ermitteln und diese dann addieren.

Abschließend möchte ich anmerken, dass nicht jede Figur einen Umfang hat. Z.B, Der Ball hat keinen Umfang.

Rechteck - P = 2*a + 2*b = 2*3 + 2*6 = 6 + 12 = 18. Bei diesem Problem stimmt der Umfangswert mit der Fläche der Figur überein.

QuadratProblem: Finden Sie den Umfang eines Quadrats, wenn seine Fläche 9 beträgt. Lösung: Verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Quadrats S = a^2 und ermitteln Sie daraus die Länge der Seite a = 3. Umfang gleich der Summe die Längen aller Seiten, also P = 4*a = 4*3 = 12.

Dreiecksproblem: Gegeben sei ein beliebiges ABC mit einer Fläche von 14. Finden Sie den Umfang des Dreiecks, wenn eine vom Scheitelpunkt B gezogene Linie die Basis des Dreiecks in Segmente der Länge 3 und 4 cm teilt. Lösung: Gemäß der Formel die Fläche von Das Dreieck ist das halbe Produkt aus Basis und , d. h. S = ½*AC*BE. Der Umfang ist gleich der Summe der Längen aller Seiten. Ermitteln Sie die Länge der Seite AC, indem Sie die Längen AE und EC addieren, AC = 3 + 4 = 7. Ermitteln Sie die Höhe des Dreiecks BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4. Überlegen Sie rechtwinkliges Dreieck ABE. Wenn Sie AE und BE kennen, können Sie die Hypotenuse mithilfe der pythagoräischen Formel AB^2 = AE^2 + BE^2, AB = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5 ermitteln. Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck BEC. Nach der pythagoräischen Formel BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = √(4^2 + 4^2) = 4*√2. Nun die Längen aller Seiten des Dreiecks. Ermitteln Sie den Umfang aus ihrer Summe P = AB + BC + AC = 5 + 4*√2 + 7 = 12 + 4*√2 = 4*(3+√2).

Kreisproblem: Es ist bekannt, dass die Fläche eines Kreises 16*π beträgt. Finden Sie seinen Umfang. Lösung: Schreiben Sie die Formel für die Fläche eines Kreises S = π*r^2 auf. Finden Sie den Radius des Kreises r = √(S/π) = √16 = 4. Gemäß der Formel beträgt der Umfang P = 2*π*r = 2*π*4 = 8*π. Wenn wir akzeptieren, dass π = 3,14, dann ist P = 8*3,14 = 25,12.

Quellen:

• Fläche gleich Umfang

Irgendwann in der Schule beginnen wir alle, den Umfang eines Rechtecks ​​zu studieren. Erinnern wir uns also daran, wie man ihn berechnet und was der Umfang im Allgemeinen ist.

Das Wort „Perimeter“ kommt von zwei Griechische Wörter: „peri“, was „um“, „nahe“ bedeutet und „metron“, was „messen“, „messen“ bedeutet. Diese. Perimeter bedeutet aus dem Griechischen übersetzt „Umfang“.

Anweisungen

Die zweite Definition wird so klingen: Der Umfang eines Rechtecks ​​ist doppelt so groß wie die Summe seiner Länge und Breite.

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Hilfreicher Rat

Die Fläche eines Rechtecks ​​ist das Produkt aus seiner Länge mal seiner Breite. Pemeter ist die Summe aller Seiten.

Quellen:

Ein Kreis ist eine geometrische Figur, die aus vielen vom Mittelpunkt entfernten Punkten besteht Kreis An gleicher Abstand. Basierend auf bekannten Kreis Daten gibt es zwei aufeinander folgende Formeln zur Bestimmung der Fläche.

Du wirst brauchen

• Der Wert der Konstante π (gleich 3,14);
• Durchmesser/Radiusgröße eines Kreises.

Anweisungen

Video zum Thema

Ein Quadrat ist eine schöne und einfache flache geometrische Figur. Dies ist ein Rechteck mit gleichen Seiten. Wie findet man Umfang Quadrat, wenn die Länge seiner Seite bekannt ist?

Anweisungen

Denken Sie zunächst daran Umfang ist nichts weiter als die Summe geometrische Figur. Wir betrachten vier Seiten. Darüber hinaus sind alle diese Seiten gleich zwischen .
Von diesen Räumlichkeiten aus ist es leicht zu finden Umfang A Quadrat – Umfang Quadrat Seitenlänge Quadrat, multipliziert mit vier:
P = 4a, wobei a die Länge der Seite ist Quadrat.

Video zum Thema

Tipp 6: So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks und eines Rechtecks

Dreieck und Rechteck sind die beiden einfachsten ebenen geometrischen Figuren in der euklidischen Geometrie. Innerhalb des Umfangs, der durch die Seiten dieser Polygone gebildet wird, befindet sich ein bestimmter Abschnitt der Ebene, dessen Fläche auf viele Arten bestimmt werden kann. Wahl der Methode jeweils konkreter Fall hängt von den bekannten Parametern der Figuren ab.

Anweisungen

Verwenden Sie eine der trigonometrischen Formeln, um die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln, wenn die Werte eines oder mehrerer Winkel bekannt sind. Zum Beispiel wann bekannte Menge Winkel (α) und die Längen der Seiten, aus denen es besteht (B und C), kann die Fläche (S) mithilfe der Formel S=B*C*sin(α)/2 ermittelt werden. Und mit den Werten aller Winkel (α, β und γ) und der Länge einer Seite zusätzlich (A) können Sie die Formel S=A²*sin(β)*sin(γ)/(2* sin(α)). Wenn zusätzlich zu allen Winkeln (R) des Umkreises bekannt ist, dann verwenden Sie die Formel S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).

Wenn die Winkel nicht bekannt sind, können Sie trigonometrische Funktionen verwenden, um die Fläche des Dreiecks zu ermitteln. Wenn beispielsweise (H) von einer Seite gezeichnet wird, die auch (A) kennt, verwenden Sie die Formel S=A*H/2. Und wenn die Längen jeder Seite (A, B und C) angegeben sind, dann ermitteln Sie zuerst den Halbumfang p=(A+B+C)/2 und berechnen Sie dann die Fläche des Dreiecks mit der Formel S =√(p*(p-A)* (p-B)*(p-C)). Wenn zusätzlich zu (A, B und C) der Radius (R) des umschriebenen Kreises bekannt ist, dann verwenden Sie die Formel S=A*B*C/(4*R).

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu ermitteln, können Sie auch verwenden trigonometrische Funktionen- zum Beispiel, wenn die Länge seiner Diagonale (C) und die Größe des Winkels, den er auf einer der Seiten bildet (α), bekannt sind. Verwenden Sie in diesem Fall die Formel S=С²*sin(α)*cos(α). Und wenn die Längen der Diagonalen (C) und die Größe des Winkels, den sie bilden (α), bekannt sind, dann verwenden Sie die Formel S=C²*sin(α)/2.

Sicherlich hat jeder von uns in der Schule einen so wichtigen Bestandteil der Geometrie wie den Umfang gelernt. Um viele Probleme zu lösen, ist es einfach notwendig, den Umfang zu finden. In unserem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Umfang finden.

Es sei daran erinnert, dass der Umfang einer Figur fast immer die Summe ihrer Seiten ist. Schauen wir uns ein paar verschiedene geometrische Formen an.

1. Ein Rechteck ist ein Viereck, das hat parallele Seiten sind paarweise gleich. Wenn eine Seite X und die andere Seite Y ist, erhalten wir die folgende Formel zum Ermitteln des Umfangs dieser Figur:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Ein Beispiel für die Lösung eines Problems:

   Nehmen wir an, dass Seite X = 5 cm, Seite Y = 10 cm. Wenn wir diese Werte in unsere Formel einsetzen, erhalten wir – P = 2*5 cm + 2* 10 cm = 30 cm.

2. Ein Trapez ist ein Viereck, dessen zwei gegenüberliegende Seiten parallel, aber einander nicht gleich sind. Der Umfang eines Trapezes ist die Summe aller vier Seiten:

   P = X+Y+Z+W, wobei X, Y, Z, W die Seiten der Figur sind.

   Ein Beispiel für die Lösung eines Problems:

   Nehmen wir an, dass Seite X = 5 cm, Seite Y = 10 cm, Seite Z = 8 cm, Seite W = 20 cm. Wenn wir diese Werte in unsere Formel einsetzen, erhalten wir - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Der Umfang eines Kreises (Umfang) kann mit der Formel berechnet werden:

   P = 2rπ = dπ, wobei r der Radius des Kreises und d der Durchmesser des Kreises ist.

   Ein Beispiel für die Lösung eines Problems:

   Nehmen wir an, dass der Radius r unseres Kreises 5 cm beträgt, dann beträgt der Durchmesser d 2 * 5 cm = 10 cm. Es ist bekannt, dass π = 3,14. Das bedeutet, dass wir durch Einsetzen dieser Werte in unsere Formel - P = 2*5 cm*3,14 = 31,4 cm erhalten.

4. Wenn Sie den Umfang eines Dreiecks ermitteln müssen, kann dies auf eine Reihe von Problemen stoßen, da Dreiecke sehr viele haben können verschiedene Formen. Es gibt zum Beispiel spitz, stumpf, gleichschenklig, rechteckig oder gleichseitige Dreiecke. Obwohl die Formel für alle Arten von Dreiecken lautet:

   P = X+Y+Z, wobei X, Y, Z die Seiten der Figur sind.

   Das Problem besteht darin, dass Sie bei der Lösung vieler Probleme zur Bestimmung des Umfangs dieser Figur nicht immer die Längen aller Seiten kennen. Anstelle von Informationen über die Länge einer der Seiten können Sie beispielsweise den Grad eines Winkels oder die Länge der Höhe eines bestimmten Dreiecks erhalten. Dies wird die Aufgabe erheblich erschweren, ihre Lösung jedoch nicht unrealistisch machen. In „“ erfahren Sie, wie Sie den Umfang eines Dreiecks ermitteln, unabhängig von der Form.

5. Der Umfang einer Figur wie einer Raute wird auf die gleiche Weise ermittelt wie der Umfang eines Quadrats, da eine Raute ein Parallelogramm ist, das hat gleiche Seiten. Wie Sie den Umfang eines Quadrats ermitteln, erfahren Sie im Artikel auf unserer Website „“.

   Jetzt wissen Sie, wie Sie die Seite des Umfangs der benötigten geometrischen Figur finden!