Fläche eines Polygons basierend auf den Längen seiner Seiten. So finden Sie die Fläche eines Polygons. Verschiedene Formeln für die Flächen von Polygonen

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, wie man die Fläche eines Polygons, in die ein Kreis eingeschrieben werden kann, durch den Radius dieses Kreises ausdrückt. Es ist sofort erwähnenswert, dass nicht jedes Polygon in einen Kreis passt. Wenn dies jedoch möglich ist, wird die Formel, nach der die Fläche eines solchen Polygons berechnet wird, sehr einfach. Lesen Sie diesen Artikel bis zum Ende oder schauen Sie sich das beigefügte Video-Tutorial an, und Sie erfahren, wie Sie die Fläche eines Polygons durch den Radius des darin eingeschriebenen Kreises ausdrücken.

Formel für die Fläche eines Polygons ausgedrückt als Radius des eingeschriebenen Kreises

Zeichnen wir ein Polygon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, nicht unbedingt richtig, aber eine, in die sich ein Kreis einschreiben lässt. Ich möchte Sie daran erinnern, dass ein eingeschriebener Kreis ein Kreis ist, der alle Seiten des Polygons berührt. Im Bild ist es ein grüner Kreis mit einem Mittelpunkt an der Spitze Ö:

Wir haben hier das 5-Eck als Beispiel genommen. Tatsächlich ist dies jedoch nicht von wesentlicher Bedeutung, da der weitere Beweis sowohl für ein 6-Eck als auch für ein 8-Eck und im Allgemeinen für jedes beliebige „Eck“ gilt.

Wenn Sie den Mittelpunkt des Inkreises mit allen Eckpunkten des Polygons verbinden, wird es in so viele Dreiecke unterteilt, wie Eckpunkte vorhanden sind gegebenes Polygon. In unserem Fall: für 5 Dreiecke. Wenn wir den Punkt verbinden Ö mit allen Berührungspunkten des eingeschriebenen Kreises mit den Seiten des Polygons, dann erhält man 5 Segmente (in der Abbildung unten sind das Segmente). OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 und OH 5), die gleich dem Radius des Kreises sind und senkrecht zu den Seiten des Polygons stehen, auf die sie gezeichnet werden. Letzteres trifft zu, da der zum Berührungspunkt gezeichnete Radius senkrecht zur Tangente steht:

Wie finde ich die Fläche unseres umschriebenen Polygons? Die Antwort ist einfach. Sie müssen die Flächen aller resultierenden Dreiecke addieren:

Betrachten wir, wie groß die Fläche eines Dreiecks ist. Im Bild unten ist es gelb hervorgehoben:

Es ist gleich dem halben Produkt der Basis A 1 A 2 zur Höhe OH 1, zu dieser Basis gezogen. Aber wie wir bereits herausgefunden haben, ist diese Höhe gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises. Das heißt, die Formel für die Fläche eines Dreiecks hat die Form: , Wo R— Radius des eingeschriebenen Kreises. Die Flächen aller übrigen Dreiecke werden auf ähnliche Weise ermittelt. Infolgedessen ist die erforderliche Fläche des Polygons gleich:

Es ist ersichtlich, dass es in jeder Hinsicht eine solche Summe gibt gemeinsamer Multiplikator, die aus Klammern entnommen werden können. Das Ergebnis wird der folgende Ausdruck sein:

Das heißt, was in Klammern bleibt, ist einfach die Summe aller Seiten des Polygons, also sein Umfang P. Am häufigsten wird in dieser Formel der Ausdruck einfach durch ersetzt P und sie nennen diesen Buchstaben „Halbumfang“. Infolgedessen hat die endgültige Formel die Form:

Das heißt, die Fläche des Polygons, in die der Kreis eingeschrieben ist bekannter Radius ist gleich dem Produkt aus diesem Radius und dem halben Umfang des Polygons. Das ist das Ergebnis, das wir angestrebt haben.

Abschließend wird er darauf hinweisen, dass ein Kreis immer in ein Dreieck eingeschrieben sein kann, was ein Sonderfall eines Polygons ist. Daher kann diese Formel für ein Dreieck immer angewendet werden. Bei anderen Polygonen mit mehr als 3 Seiten müssen Sie zunächst sicherstellen, dass sich darin ein Kreis einschreiben lässt. Wenn ja, können Sie dies bedenkenlos verwenden einfache Formel und verwenden Sie es, um die Fläche dieses Polygons zu ermitteln.

Material vorbereitet von Sergey Valerievich

Fläche eines Polygons. Freunde! Hier sind ein paar Probleme mit einem Polygon und einem darin eingeschriebenen Kreis. Es gibt eine Formel, die den Radius in Beziehung setzt angegebenen Kreis und der Umfang mit der Fläche eines solchen Polygons. Da ist sie:

Wie leitet sich diese Formel ab? Nur!

Wir haben ein Polygon und einen eingeschriebenen Kreis. *Sehen wir uns die Schlussfolgerung am Beispiel eines Fünfecks an. Teilen wir es in Dreiecke (verbinden wir den Mittelpunkt des Kreises und die Eckpunkte mit Segmenten). Es stellt sich heraus, dass für jedes Dreieck die Basis die Seite des Polygons und die Höhen sind Dreiecke gebildet gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises:

Mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks können wir schreiben:

Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren heraus:

Ich bin sicher, dass Ihnen das Prinzip selbst klar ist.

*Bei der Ableitung der Formel spielt die Anzahl der Seiten des genommenen Polygons keine Rolle. IN Gesamtansicht Die Ausgabe der Formel würde so aussehen:

*Weitere Informationen!

Die Formel für den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist bekannt:

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass es sich um die Formel handelt, die wir erhalten haben (a, b, c sind die Seiten des Dreiecks):

27640. Ein Polygon mit einem Umfang von 20 wird um einen Kreis mit einem Radius von 3 beschrieben. Ermitteln Sie seine Fläche.

Wir berechnen:

Noch ein paar Probleme mit Polygonen.

27930. Winkel zwischen der rechten Seite N-Eck ist in einen Kreis eingeschrieben, und der Radius dieses Kreises, der zu einem der Eckpunkte der Seite gezogen wird, beträgt 54 0. Finden N.

Wenn der Winkel zwischen dem Radius des Kreises und der Seite des Polygons 54 0 beträgt, beträgt der Winkel zwischen den Seiten des Polygons 108 0. Hier müssen Sie sich die Formel für den Winkel eines regelmäßigen Vielecks merken:

Jetzt müssen Sie nur noch den Winkelwert in die Formel einsetzen und n berechnen:

27595. Die Umfänge zweier ähnlicher Polygone stehen im Verhältnis 2:7. Die Fläche des kleineren Polygons beträgt 28. Finden Sie die Fläche des größeren Polygons.

Hier müssen wir uns daran erinnern, dass wenn lineare Abmessungen Wenn die Figur um das k-fache zunimmt, dann vergrößert sich die Fläche der Figur um das k-fache. *Eigenschaft der Ähnlichkeit von Figuren.

Der Umfang des größeren Polygons ist 7/2-mal größer als der Umfang des kleineren, was bedeutet, dass sich die Fläche um das (7/2)-2-fache vergrößert hat. Somit ist die Fläche des größeren Polygons gleich.

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• Sie können zwischen Eingabefeldern wechseln, indem Sie die Tasten „rechts“ und „links“ auf der Tastatur drücken.

Theorie. Fläche eines Vierecks Viereck - geometrische Figur, bestehend aus vier Punkte(Eckpunkte), von denen nicht drei auf derselben Linie liegen, und vier Segmente (Seiten), die diese Punkte paarweise verbinden. Ein Viereck heißt konvex, wenn das Segment, das zwei beliebige Punkte dieses Vierecks verbindet, darin liegt.

Wie finde ich die Fläche eines Polygons heraus?

Die Formel zur Bestimmung der Fläche wird ermittelt, indem jede Kante des Polygons AB genommen und die Fläche des Dreiecks ABO mit seinem Scheitelpunkt im Ursprung O über die Koordinaten der Scheitelpunkte berechnet wird. Beim Umrunden eines Polygons entstehen Dreiecke, darunter Innenteil Polygon und befindet sich außerhalb davon. Der Unterschied zwischen der Summe dieser Flächen ist die Fläche des Polygons selbst.

Daher wird die Formel Vermessungsformel genannt, da sich der „Kartograph“ am Ursprung befindet; Wenn er die Fläche gegen den Uhrzeigersinn umläuft, wird die Fläche addiert, wenn sie vom Standpunkt des Ursprungs aus gesehen links liegt, und subtrahiert, wenn sie rechts liegt. Die Flächenformel gilt für jedes selbstdisjunkte (einfache) Polygon, das konvex oder konkav sein kann. Inhalt

• 1 Definition
• 2 Beispiele
• 3 Komplexeres Beispiel
• 4 Namenserklärung
• 5 Siehe

Fläche eines Polygons

Aufmerksamkeit

Das kann sein:

• Dreieck;
• Viereck;
• Fünfeck oder Sechseck und so weiter.

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen charakterisiert:

1. Benachbarte Seiten gehören nicht zur gleichen Geraden.
2. Nicht benachbarte haben nein Gemeinsame Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Um zu verstehen, welche Eckpunkte benachbart sind, müssen Sie prüfen, ob sie zur gleichen Seite gehören. Wenn ja, dann benachbarte. IN ansonsten Sie können durch ein Segment verbunden werden, das als Diagonale bezeichnet werden muss. Sie können nur in Polygonen durchgeführt werden, die mehr als drei Eckpunkte haben.

Welche Arten davon gibt es? Ein Polygon mit mehr als vier Ecken kann konvex oder konkav sein. Der Unterschied zwischen letzterem besteht darin, dass einige seiner Eckpunkte entlang liegen können verschiedene Seiten aus einer geraden Linie, die durch eine beliebige Seite des Polygons gezogen wird.

Wie finde ich die Fläche eines regelmäßigen und unregelmäßigen Sechsecks?

• Wenn Sie die Länge der Seite kennen, multiplizieren Sie sie mit 6 und erhalten Sie den Umfang des Sechsecks: 10 cm x 6 = 60 cm
• Setzen wir die erhaltenen Ergebnisse in unsere Formel ein:
Fläche = 1/2*Umfang*Apothem Fläche = ½*60cm*5√3 Lösung: Jetzt muss noch die Antwort vereinfacht werden, um Quadratwurzeln loszuwerden, und das erhaltene Ergebnis angegeben werden Quadratzentimeter: ½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video zur Flächenermittlung regelmäßiges Sechseck Um die Fläche eines unregelmäßigen Sechsecks zu bestimmen, gibt es mehrere Möglichkeiten:

• Trapezmethode.
• Eine Methode zur Berechnung der Fläche unregelmäßiger Polygone anhand der Koordinatenachse.
• Eine Methode zum Aufbrechen eines Sechsecks in andere Formen.

Abhängig von den Ihnen bekannten Ausgangsdaten wird eine geeignete Methode ausgewählt.

Wichtig

Einige unregelmäßige Sechsecke bestehen aus zwei Parallelogrammen. Um die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen, multiplizieren Sie seine Länge mit seiner Breite und addieren Sie dann die beiden berühmte Plätze. Video zum Ermitteln der Fläche eines Polygons Ein gleichseitiges Sechseck hat sechs gleiche Seiten und ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Fläche eines gleichseitigen Sechsecks entspricht 6 Flächen der Dreiecke, in die eine regelmäßige sechseckige Figur unterteilt ist. Alle Dreiecke in einem Sechseck richtige Form sind gleich, daher reicht es aus, die Fläche von mindestens einem Dreieck zu kennen, um die Fläche eines solchen Sechsecks zu ermitteln. Um die Fläche eines gleichseitigen Sechsecks zu ermitteln, verwenden wir natürlich die oben beschriebene Formel für die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks.

404 Nicht gefunden

Das Dekorieren eines Hauses, Kleidung und das Zeichnen von Bildern trugen zum Prozess der Bildung und Sammlung von Informationen auf dem Gebiet der Geometrie bei, die die Menschen jener Zeit Stück für Stück empirisch erlangten und von Generation zu Generation weitergaben. Heutzutage sind Kenntnisse der Geometrie für den Schneider, den Bauunternehmer, den Architekten und jeden erforderlich für den einfachen Mann zu Hause. Daher müssen Sie lernen, die Fläche verschiedener Figuren zu berechnen, und bedenken Sie, dass jede der Formeln später in der Praxis nützlich sein kann, einschließlich der Formel für ein regelmäßiges Sechseck.
Ein Sechseck ist eine vieleckige Figur gesamt das sechs Winkel hat. Ein regelmäßiges Sechseck ist eine sechseckige Figur mit gleiche Seiten. Auch die Winkel eines regelmäßigen Sechsecks sind einander gleich.
IN Alltagsleben Wir können oft Objekte finden, die die Form eines regelmäßigen Sechsecks haben.

Flächenrechner eines unregelmäßigen Polygons nach Seiten

Du wirst brauchen

• - Roulette;
• — elektronischer Entfernungsmesser;
• - ein Blatt Papier und ein Bleistift;
• - Taschenrechner.

Anleitung 1 Bei Bedarf Gesamtfläche Wenn Sie eine Wohnung oder ein separates Zimmer benötigen, lesen Sie einfach den technischen Pass der Wohnung oder des Hauses. Dort werden die Aufnahmen jedes Zimmers und die Gesamtaufnahmen der Wohnung angezeigt. 2 Um die Fläche eines rechteckigen oder viereckiges Zimmer Nehmen Sie ein Maßband oder einen elektronischen Entfernungsmesser und messen Sie die Länge der Wände. Achten Sie beim Messen von Entfernungen mit einem Entfernungsmesser unbedingt darauf, dass die Strahlrichtung senkrecht ist, da sonst die Messergebnisse verfälscht werden können. 3 Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Länge (in Metern) des Raumes mit der Breite (in Metern). Der resultierende Wert ist die Grundfläche, sie wird in Quadratmetern gemessen.

Gaußsche Flächenformel

Wenn Sie die Grundfläche mehr als berechnen müssen komplexes Design Zeichnen Sie beispielsweise einen fünfeckigen Raum oder einen Raum mit Rundbogen auf ein Blatt Papier. Dann teilen Komplexe Form in mehrere einfache, zum Beispiel in ein Quadrat und ein Dreieck oder ein Rechteck und einen Halbkreis. Messen Sie mit einem Maßband oder Entfernungsmesser die Größe aller Seiten der resultierenden Figuren (für einen Kreis müssen Sie den Durchmesser kennen) und notieren Sie die Ergebnisse in Ihrer Zeichnung.

5 Berechnen Sie nun die Fläche jeder Figur separat. Berechnen Sie die Fläche von Rechtecken und Quadraten, indem Sie die Seiten multiplizieren. Um die Fläche eines Kreises zu berechnen, teilen Sie den Durchmesser in zwei Hälften und quadrieren Sie ihn (multiplizieren Sie ihn mit sich selbst) und multiplizieren Sie dann den resultierenden Wert mit 3,14.
Wenn Sie nur einen halben Kreis benötigen, teilen Sie die resultierende Fläche in zwei Hälften. Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, ermitteln Sie P, indem Sie die Summe aller Seiten durch 2 teilen.

Formel zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Polygons

Wenn die Punkte fortlaufend gegen den Uhrzeigersinn nummeriert werden, sind die Determinanten in der obigen Formel positiv und der Modul kann weggelassen werden; Wenn sie im Uhrzeigersinn nummeriert werden, sind die Determinanten negativ. Dies liegt daran, dass die Formel wie folgt betrachtet werden kann besonderer Fall Satz von Green. Um die Formel anzuwenden, müssen Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Polygons in der kartesischen Ebene kennen.

Nehmen wir zum Beispiel ein Dreieck mit den Koordinaten ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Nehmen wir die erste x-Koordinate des ersten Scheitelpunkts und multiplizieren sie mit der y-Koordinate des zweiten Scheitelpunkts und multiplizieren dann die x-Koordinate des zweiten Scheitelpunkts mit der y-Koordinate des dritten. Wiederholen wir diesen Vorgang für alle Eckpunkte. Das Ergebnis lässt sich nach folgender Formel ermitteln: A tri.

Formel zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Vierecks

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|), wobei xi und yi die entsprechende Koordinate bezeichnen. Diese Formel erhalten Sie, indem Sie die Klammern öffnen allgemeine Formel für den Fall n = 3. Mit dieser Formel können Sie herausfinden, dass die Fläche des Dreiecks gleich der Hälfte der Summe von 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16 ist, was 3 ergibt. Die Anzahl der Variablen in Die Formel hängt von der Anzahl der Seiten des Polygons ab. Beispielsweise würde die Formel für die Fläche eines Fünfecks Variablen bis x5 und y5 verwenden: Ein Pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A für ein Viereck – Variablen bis x4 und y4: Ein Viereck.

1.1 Flächenberechnung in der Antike

1.2 Unterschiedliche Ansätze zum Studium der Konzepte „Fläche“, „Polygon“, „Fläche eines Polygons“

1.2.1 Der Flächenbegriff. Bereichseigenschaften

1.2.2 Konzept des Polygons

1.2.3 Das Konzept der Fläche eines Polygons. Beschreibende Definition

1.3 Verschiedene Formeln für die Flächen von Polygonen

1.4 Herleitung von Formeln für die Flächen von Polygonen

1.4.1 Fläche eines Dreiecks. Herons Formel

1.4.2 Fläche eines Rechtecks

1.4.3 Fläche eines Trapezes

1.4.4 Fläche eines Vierecks

1.4.5 Universelle Formel

1.4.6 Fläche von n-Eck

1.4.7 Berechnen der Fläche eines Polygons aus den Koordinaten seiner Eckpunkte

1.4.8 Picksche Formel

1.5 Satz des Pythagoras über die Summe der Flächen von Quadraten, die auf den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut sind

1.6 Gleichmäßige Anordnung von Dreiecken. Bolyay-Gerwin-Theorem

1.7 Flächenverhältnis gleichartiger Dreiecke

1,8 Figuren mit der größten Fläche

1.8.1 Trapez oder Rechteck

1.8.2 Bemerkenswerte Eigenschaft des Platzes

1.8.3 Abschnitte anderer Formen

1.8.4 Dreieck mit der größten Fläche

Kapitel 2. Methodische Merkmale der Untersuchung der Flächen von Polygonen im Mathematikunterricht

2.1 Thematische Planung und Besonderheiten des Unterrichts in Lehrveranstaltungen mit vertieftem Mathematikstudium

2.2 Methodik zur Durchführung des Unterrichts

2.3 Ergebnisse experimenteller Arbeiten

Abschluss

Literatur

Einführung

Das Thema „Flächen von Polygonen“ ist fester Bestandteil von Schulkurs Mathematik, was ganz natürlich ist. Denn historisch gesehen ist schon die Entstehung der Geometrie mit der Notwendigkeit des Vergleichs verbunden Grundstücke die eine oder andere Form. Es sollte jedoch beachtet werden, dass Bildungsmöglichkeiten behandelt dieses Thema in weiterführende Schule sind noch lange nicht ausgeschöpft.

Die Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts in der Schule besteht darin, den Schülern eine starke und bewusste Beherrschung des im Alltag und Alltag notwendigen Systems mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten zu gewährleisten Arbeitstätigkeit jedes Mitglied moderne Gesellschaft ausreichend für das Studium verwandter Fachrichtungen und die Weiterbildung.

Neben der Lösung des Hauptproblems geht es beim vertieften Studium der Mathematik darum, bei den Studierenden ein nachhaltiges Interesse am Fach zu wecken, ihre Interessen zu erkennen und weiterzuentwickeln mathematische Fähigkeiten, Orientierung an mathematikrelevanten Berufen, Vorbereitung auf ein Studium an einer Universität.

Die Qualifikationsarbeit umfasst die Inhalte eines Mathematikstudiums weiterführende Schule und eine Reihe weitere Fragen, direkt angrenzend an diesen Kurs und vertieft ihn entlang der wichtigsten ideologischen Linien.

Die Aufnahme zusätzlicher Fragen dient zwei miteinander verbundenen Zwecken. Dabei handelt es sich einerseits um die Schaffung einer Grundlage für die Befriedigung der Interessen und Entwicklung der Fähigkeiten mathematikbegeisterter Studierender in Verbindung mit den Hauptabschnitten des Studiums, andererseits um die Erfüllung von die inhaltlichen Lücken des Hauptstudiums, Angabe des Inhalts vertiefendes Studium notwendige Integrität.

Die Qualifikationsarbeit besteht aus einer Einleitung, zwei Kapiteln, einem Fazit und zitierter Literatur. Im ersten Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Untersuchung der Flächen von Polygonen erörtert, und im zweiten Kapitel geht es direkt darum methodische Merkmale Lernbereiche.

Kapitel 1. Theoretische Basis Untersuchung der Flächen von Polygonen

1.1 Flächenberechnung in der Antike

Grundlagen geometrisches Wissen, die mit der Vermessung von Flächen verbunden sind, gehen im Laufe der Jahrtausende verloren.

Bereits vor 4.000 bis 5.000 Jahren konnten die Babylonier die Fläche eines Rechtecks ​​und eines Trapezes bestimmen quadratische Einheiten. Das Quadrat dient aufgrund seiner vielen bemerkenswerten Eigenschaften seit langem als Maßstab für die Flächenmessung: gleiche Seiten, gleiche und rechte Winkel, Symmetrie und allgemeine Formvollkommenheit. Quadrate lassen sich leicht konstruieren, oder Sie können eine Fläche lückenlos füllen.

IN antikes China Das Flächenmaß war ein Rechteck. Als Maurer die Fläche einer rechteckigen Hauswand bestimmten, multiplizierten sie die Höhe und Breite der Wand. Dies ist die in der Geometrie akzeptierte Definition: Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich seinem Produkt angrenzende Seiten. Beide Seiten müssen in den gleichen linearen Einheiten ausgedrückt werden. Ihr Produkt ist die Fläche des Rechtecks, ausgedrückt in den entsprechenden Quadrateinheiten. Wenn beispielsweise Höhe und Breite einer Wand in Dezimetern gemessen werden, wird das Produkt beider Messungen in Quadratdezimetern ausgedrückt. Und wenn die Fläche jedes gegenüberliegenden Floßes groß ist Quadratdezimeter, dann gibt das resultierende Produkt die Anzahl der für die Verkleidung benötigten Fliesen an. Dies folgt aus der Aussage, die der Flächenmessung zugrunde liegt: Die Fläche einer Figur, die aus sich nicht schneidenden Figuren besteht, ist gleich der Summe ihrer Flächen.

Die alten Ägypter verwendeten vor 4.000 Jahren fast die gleichen Techniken wie wir, um die Fläche eines Rechtecks, Dreiecks und Trapezes zu messen: Die Basis des Dreiecks wurde in zwei Hälften geteilt und mit der Höhe multipliziert; für ein Trapez der gleiche Betrag parallele Seiten halbiert und mit der Höhe multipliziert usw. Fläche berechnen

Viereck mit Seiten (Abb. 1.1) wurde die Formel verwendet (1.1)

diese. Die Halbsummen der gegenüberliegenden Seiten wurden multipliziert.

Diese Formel ist für jedes Viereck eindeutig falsch; daraus folgt insbesondere, dass die Flächen aller Rauten gleich sind. Mittlerweile ist es offensichtlich, dass die Flächen solcher Rauten von der Größe der Winkel an den Eckpunkten abhängen. Diese Formel wahr nur für ein Rechteck. Mit seiner Hilfe können Sie näherungsweise die Fläche von Vierecken berechnen, deren Winkel nahe an rechten Winkeln liegen.

Um den Bereich zu bestimmen

gleichschenkligen Dreiecks(Abb. 1.2), in dem die Ägypter eine Näherungsformel verwendeten:
(1.2) Reis. 1.2 Der in diesem Fall begangene Fehler ist umso kleiner, je kleiner der Unterschied zwischen der Seite und der Höhe des Dreiecks ist, mit anderen Worten, je näher der Scheitelpunkt (und ) an der Basis der Höhe von liegt. Deshalb gilt die Näherungsformel (1.2) nur für Dreiecke mit einem relativ kleinen Winkel an der Spitze.

Doch bereits die alten Griechen wussten, wie man die Flächen von Polygonen richtig ermittelt. In seinen „Grundsätzen“ verwendet Euklid nicht das Wort „Fläche“, da er unter dem Wort „Figur“ selbst einen Teil der Ebene versteht, der durch das eine oder andere begrenzt wird geschlossene Linie. Euklid drückt das Ergebnis der Flächenmessung nicht durch eine Zahl aus, sondern vergleicht die Flächen verschiedener Figuren miteinander.

Wie andere antike Wissenschaftler beschäftigt sich Euklid mit der Umwandlung einiger Figuren in andere gleich großer Figuren. Quadrat zusammengesetzte Figurändert sich nicht, wenn seine Teile anders angeordnet sind, jedoch ohne Schnittmenge. So ist es beispielsweise möglich, anhand der Formeln für die Fläche eines Rechtecks ​​Formeln für die Flächen anderer Figuren zu finden. So wird ein Dreieck in Teile geteilt, aus denen dann ein gleich großes Rechteck gebildet werden kann. Aus dieser Konstruktion folgt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus Grundfläche und Höhe ist. Indem sie auf einen solchen Nachschnitt zurückgreifen, stellen sie fest, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe ist und die Fläche eines Trapezes das Produkt der halben Summe aus Grundfläche und Höhe ist .

Wenn Maurer eine Wand fliesen müssen komplexe Konfiguration Sie können die Fläche der Wand bestimmen, indem sie die Anzahl der für die Verkleidung verwendeten Fliesen zählen. Einige Fliesen müssen natürlich abgebrochen werden, damit die Kanten der Verkleidung mit der Wandkante übereinstimmen. Die Anzahl aller bei der Arbeit verwendeten Fliesen schätzt die Wandfläche bei einem Überschuss, die Anzahl der ungebrochenen Fliesen – bei einem Mangel. Mit abnehmender Zellengröße nimmt die Abfallmenge ab und die Wandfläche, bestimmt durch die Anzahl der Fliesen, wird immer genauer berechnet.

Einer der späteren griechischen Mathematiker und Enzyklopädisten, deren Werke überwiegend angewandter Natur waren, war Heron von Alexandria, der im 1. Jahrhundert lebte. N. e. Da er ein hervorragender Ingenieur war, wurde er auch „Heron der Mechaniker“ genannt. In seinem Werk „Dioptrics“ beschreibt Heron verschiedene Maschinen und praktische Messgeräte.

Eines von Herons Büchern hieß „Geometrie“ und ist eine Art Sammlung von Formeln und entsprechenden Problemen. Es enthält Beispiele zur Berechnung der Flächen von Quadraten, Rechtecken und Dreiecken. Über die Ermittlung der Fläche eines Dreiecks anhand seiner Seiten schreibt Heron: „Angenommen, eine Seite des Dreiecks hat beispielsweise eine Länge von 13 Messschnüren, die zweite 14 und die dritte 15. Um die Fläche zu ermitteln, fahren Sie fort.“ wie folgt. Addiere 13, 14 und 15; es wird 42 sein. Die Hälfte davon wird 21 sein. Subtrahieren Sie davon die drei Seiten nacheinander; Subtrahieren Sie zuerst 13 – Sie haben 8, dann 14 – Sie haben 7 und schließlich 15 – Sie haben 6. Jetzt multiplizieren Sie sie: 21 mal 8 ergibt 168, nehmen Sie dies 7 Mal – Sie erhalten 1176, und nehmen Sie Dies noch 6 Mal – Sie erhalten 7056. Von hier aus Quadratwurzel wird 84 sein. So viele Messschnüre wird es im Bereich des Dreiecks geben.“

Lektion aus der Serie „ Geometrische Algorithmen»

Hallo lieber Leser.

Die Lösung vieler Probleme in der Computergeometrie basiert auf dem Finden Polygonfläche. In dieser Lektion leiten wir eine Formel zur Berechnung der Fläche eines Polygons anhand der Koordinaten seiner Eckpunkte ab und schreiben eine Funktion zur Berechnung dieser Fläche.

Aufgabe. Berechnen Sie die Fläche des Polygons, durch Koordinaten gegeben ihre Eckpunkte, in der Reihenfolge, in der sie im Uhrzeigersinn umrundet werden.

Erkenntnisse aus der Computergeometrie

Um die Formel für die Fläche eines Polygons abzuleiten, benötigen wir Informationen aus der Computergeometrie, nämlich das Konzept der orientierten Fläche eines Dreiecks.

Die orientierte Fläche eines Dreiecks ist eine gewöhnliche, mit einem Vorzeichen versehene Fläche. Zeichen der orientierten Fläche eines Dreiecks ABC das gleiche wie der Orientierungswinkel zwischen den Vektoren und . Das heißt, sein Vorzeichen hängt von der Reihenfolge ab, in der die Eckpunkte aufgelistet sind.

An Reis. 1 Dreieck ABC– rechteckig. Seine orientierte Fläche ist gleich (it Über Null, da das Paar positiv orientiert ist). Der gleiche Wert kann auf andere Weise berechnet werden.

Lassen UM – beliebiger Punkt Flugzeug. In unserer Abbildung die Fläche Dreieck ABC erhalten durch Subtraktion der Flächen OAB und OCA von der Fläche des Dreiecks OBC. Sie brauchen also nur orientierte Bereiche hinzufügen Dreiecke OAB, OBC und OCA. Diese Regel gilt für jede Punktwahl UM.

Um die Fläche eines beliebigen Polygons zu berechnen, müssen Sie in ähnlicher Weise die ausgerichteten Flächen der Dreiecke addieren

Die Summe ist die Fläche des Polygons, mit einem Pluszeichen, wenn sich das Polygon beim Durchqueren des Polygons auf der linken Seite befindet (Überquerung der Grenze gegen den Uhrzeigersinn), und mit einem Minuszeichen, wenn es sich auf der rechten Seite befindet ( Durchlauf im Uhrzeigersinn).

Die Berechnung der Fläche eines Polygons reduziert sich also auf die Ermittlung der Fläche eines Dreiecks. Mal sehen, wie man es in Koordinaten ausdrückt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren in einer Ebene ist die Fläche eines aus diesen Vektoren konstruierten Parallelogramms.

Kreuzprodukt ausgedrückt in Vektorkoordinaten:

Die Fläche des Dreiecks entspricht der Hälfte dieser Fläche:

Es ist zweckmäßig, den Koordinatenursprung als Punkt O zu nehmen, dann stimmen die Koordinaten der Vektoren, auf deren Grundlage die orientierten Flächen berechnet werden, mit den Koordinaten der Punkte überein.

Sei (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - Scheitelpunktkoordinaten gegebenes Polygon im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Dann ist seine orientierte Fläche S gleich:

Das ist unsere Arbeitsformel, sie wird in unserem Programm verwendet.

Wenn die Koordinaten der Scheitelpunkte gegen den Uhrzeigersinn angegeben wurden, dann die Zahl S, Der mit dieser Formel berechnete Wert ist positiv. Andernfalls wird es negativ sein und das Übliche erhalten geometrische Fläche Wir müssen seinen absoluten Wert nehmen.

Betrachten wir also ein Programm zum Ermitteln der Fläche eines Polygons, die durch die Koordinaten der Eckpunkte gegeben ist.

Programm geom6; Const n_max=200; ( Höchstbetrag Punkte+1) Typ b=Datensatz x,y:real; Ende; myArray= Array von b; var input:text; A:myArray; s:echt; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Füllen des Arrays) begin ask(input,"input.pas"); zurücksetzen(Eingabe); readln(Eingabe, n); for i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); schließen(Eingabe); Ende; Funktion Square (A:myarray): real; (Berechnung der Fläche eines Polygons) var i:integer; S: echt; begin a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i:=1 to n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Quadrat:= S-Ende; (Quadrat) begin (main) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Quadrat(a); writeln("S= ",s:6:2); Ende.

Die Koordinaten der Eckpunkte werden aus der Datei input.pas gelesen und in einem Array gespeichert A als Datensätze mit zwei Feldern. Um das Durchqueren des Polygons zu erleichtern, werden n+1 Elemente in das Array eingeführt, deren Wert gleich dem Wert des ersten Elements des Arrays ist.