Wie man eine Gleichung auf rationale Weise löst. Lösen gebrochener rationaler Gleichungen. Beispiele für gebrochene rationale Ausdrücke

THEORETISCHE FRAGEN

ANALYTISCHE GEOMETRIE AUF DER EBENE

1. Koordinatenmethode: Zahlenstrahl, Koordinaten auf einer Linie; rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem auf einer Ebene; Polar Koordinaten.

Betrachten wir eine gerade Linie. Wählen wir darauf eine Richtung (dann wird daraus eine Achse) und einen Punkt 0 (den Koordinatenursprung). Eine Gerade mit gewählter Richtung und Ursprung heißt Koordinatenlinie(Wir gehen davon aus, dass die Skalierungseinheit ausgewählt ist).

Lassen M– ein beliebiger Punkt auf der Koordinatenlinie. Sagen wir es dem Punkt entsprechend M reelle Zahl X, gleich dem Wert OM Segment: x=OM. Nummer X wird als Koordinate des Punktes bezeichnet M.

Somit entspricht jeder Punkt auf der Koordinatenlinie einer bestimmten reellen Zahl – seiner Koordinate. Das Umgekehrte gilt auch: Jede reelle Zahl x entspricht einem bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie, nämlich einem solchen Punkt M, dessen Koordinate x ist. Diese Korrespondenz heißt eins zu eins.

So können reelle Zahlen durch Punkte einer Koordinatenlinie dargestellt werden, d.h. Die Koordinatenlinie dient als Abbild der Menge aller reale Nummern. Daher heißt die Menge aller reellen Zahlen Zahlenstrahl, und jede Zahl ist ein Punkt auf dieser Linie. In der Nähe eines Punktes auf einer Zahlengeraden wird oft eine Zahl angegeben – ihre Koordinate.

Rechteckiges (oder kartesisches) Koordinatensystem auf einer Ebene.

Zwei zueinander senkrechte Achsen Ungefähr x Und Über dich haben allgemeiner Anfang UM und die gleiche Maßeinheit, Form rechteckiges (oder kartesisches) Koordinatensystem auf einer Ebene.

Achse OH nennt man die Abszissenachse, die Achse OY– Ordinatenachse. Punkt UM Der Schnittpunkt der Achsen wird Ursprung genannt. Die Ebene, in der sich die Achsen befinden OH Und OY, heißt Koordinatenebene und wird bezeichnet Ungefähr xy.

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene stellt also eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge aller Punkte der Ebene und der Menge der Zahlenpaare her, was eine Lösung ermöglicht geometrische Probleme anwenden algebraische Methoden. Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in 4 Teile, sie werden genannt in Vierteln, Quadrat oder Koordinatenwinkel.

Polar Koordinaten.

Das Polarkoordinatensystem besteht aus einem bestimmten Punkt UM, angerufen Pole und der von ihm ausgehende Strahl OE, angerufen Polarachse. Darüber hinaus wird die Maßstabseinheit zur Messung der Segmentlängen eingestellt. Lass es gegeben sein Polarsystem Koordinaten und lassen M– beliebiger Punkt der Ebene. Bezeichnen wir mit R– Punktabstand M vom Punkt UM, Und durch φ – der Winkel, um den der Strahl gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird, um die Polachse mit dem Strahl auszurichten OM.

Polar Koordinaten Punkte M Rufnummern R Und φ . Nummer R gilt als erste Koordinate und wird aufgerufen Polarradius, Nummer φ – die zweite Koordinate wird aufgerufen Polarwinkel.

Punkt M mit Polarkoordinaten R Und φ werden wie folgt bezeichnet: M( ;φ). Stellen wir einen Zusammenhang zwischen den Polarkoordinaten eines Punktes und seinen rechtwinkligen Koordinaten her.
In diesem Fall gehen wir davon aus, dass der Anfang rechteckiges System Koordinaten liegt am Pol und die positive Halbachse der Abszisse fällt mit der Polarachse zusammen.

Es sei Punkt M kartesische Koordinaten X Und Y und Polarkoordinaten R Und φ .

(1)

Nachweisen.

Von Punkten fallen lassen M 1 Und M 2 Senkrechte M 1 V Und M 1 A,. als (x 2 ; y 2). Nach dem Theorem, wenn M 1 (x 1) Und M 2 (x 2) sind dann zwei beliebige Punkte und α ist der Abstand zwischen ihnen α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Bestimmen Sie mithilfe von Koordinaten den Standort eines Objekts Globus. Koordinaten werden durch Breiten- und Längengrad angegeben. Die Breitengrade werden auf beiden Seiten von der Äquatorlinie aus gemessen. Auf der Nordhalbkugel sind die Breitengrade positiv, in Südlichen Hemisphäre– negativ. Der Längengrad wird gemessen von Nullmeridian entweder nach Osten oder nach Westen bzw. erhält man entweder den östlichen oder den westlichen Längengrad.

Als Nullmeridian gilt nach allgemeiner Auffassung derjenige, der durch das alte Greenwich-Observatorium in Greenwich verläuft. Geografische Koordinaten des Standorts können mit einem GPS-Navigator ermittelt werden. Dieses Gerät empfängt Signale Satellitensystem Positionierung im WGS-84-Koordinatensystem, weltweit einheitlich.

Navigator-Modelle unterscheiden sich in Hersteller, Funktionalität und Schnittstelle. Derzeit sind in einigen Modellen auch integrierte GPS-Navigationsgeräte verfügbar Handys. Aber jedes Modell kann die Koordinaten eines Punktes aufzeichnen und speichern.

Abstand zwischen GPS-Koordinaten

Um praktische und zu lösen Theoretische Probleme In einigen Branchen ist es notwendig, die Abstände zwischen Punkten anhand ihrer Koordinaten bestimmen zu können. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Kanonische Form Darstellung geografische Koordinaten: Grad, Minuten, Sekunden.

Sie können beispielsweise den Abstand zwischen den folgenden Koordinaten bestimmen: Punkt Nr. 1 – Breitengrad 55°45′07″ N, Längengrad 37°36′56″ E; Punkt Nr. 2 – Breitengrad 58°00′02″ N, Längengrad 102°39′42″ E.

Am einfachsten ist es, die Länge zwischen zwei Punkten mit einem Taschenrechner zu berechnen. In der Browser-Suchmaschine müssen Sie die folgenden Suchparameter festlegen: online – um den Abstand zwischen zwei Koordinaten zu berechnen. Im Online-Rechner werden Breiten- und Längengrade in die Abfragefelder für die erste und zweite Koordinaten eingegeben. Bei der Berechnung ergab der Online-Rechner das Ergebnis - 3.800.619 m.

Die nächste Methode ist arbeitsintensiver, aber auch visueller. Sie müssen jedes verfügbare Karten- oder Navigationsprogramm verwenden. Zu den Programmen, mit denen Sie Punkte mithilfe von Koordinaten erstellen und Entfernungen zwischen ihnen messen können, gehören die folgenden Anwendungen: BaseCamp (ein modernes Analogon des MapSource-Programms), Google Earth, SAS.Planet.

Alle oben genannten Programme stehen jedem Netzwerkbenutzer zur Verfügung. Um beispielsweise den Abstand zwischen zwei Koordinaten in Google Earth zu berechnen, müssen Sie zwei Beschriftungen erstellen, die die Koordinaten des ersten und des zweiten Punkts angeben. Dann müssen Sie mit dem „Lineal“-Werkzeug die erste und zweite Markierung mit einer Linie verbinden, das Programm zeigt automatisch das Messergebnis an und zeigt den Pfad an Satellitenbild Erde.

Im oben genannten Beispiel lieferte das Programm Google Earth das Ergebnis: Die Länge der Entfernung zwischen Punkt Nr. 1 und Punkt Nr. 2 beträgt 3.817.353 m.

Warum es bei der Entfernungsbestimmung zu einem Fehler kommt

Alle Berechnungen der Ausdehnung zwischen Koordinaten basieren auf der Berechnung der Bogenlänge. Der Erdradius fließt in die Berechnung der Bogenlänge ein. Da die Form der Erde jedoch einem abgeflachten Ellipsoid ähnelt, variiert der Radius der Erde an bestimmten Stellen. Um den Abstand zwischen Koordinaten zu berechnen, wird der Durchschnittswert des Erdradius herangezogen, was zu einem Fehler bei der Messung führt. Je größer die gemessene Distanz ist, desto größer ist der Fehler.

Das Lösen von Problemen in der Mathematik ist für Studierende oft mit vielen Schwierigkeiten verbunden. Helfen Sie dem Schüler, mit diesen Schwierigkeiten umzugehen, und bringen Sie ihm bei, das zu nutzen, was er hat Theoretisches Wissen bei der Entscheidung spezifische Aufgaben in allen Abschnitten des Kurses des Faches „Mathematik“ – dem Hauptzweck unserer Website.

Wenn die Schüler mit der Lösung von Problemen zu diesem Thema beginnen, sollten sie in der Lage sein, anhand seiner Koordinaten einen Punkt auf einer Ebene zu konstruieren und die Koordinaten eines bestimmten Punktes zu ermitteln.

Die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten A(x A; y A) und B(x B; y B) in einer Ebene erfolgt mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), wobei d die Länge des Segments ist, das diese Punkte auf der Ebene verbindet.

Wenn eines der Enden des Segments mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und das andere die Koordinaten M(x M; y M) hat, dann hat die Formel zur Berechnung von d die Form OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten basierend auf den angegebenen Koordinaten dieser Punkte

Beispiel 1.

Finden Sie die Länge des Segments, das das verbindet Koordinatenebene Punkte A(2; -5) und B(-4; 3) (Abb. 1).

Lösung.

In der Problemstellung heißt es: x A = 2; xB = -4; y A = -5 und y B = 3. Finden Sie d.

Wenn wir die Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) anwenden, erhalten wir:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der von drei gegebenen Punkten gleich weit entfernt ist

Beispiel 2.

Finden Sie die Koordinaten des Punktes O 1, der von den drei Punkten A(7; -1) und B(-2; 2) und C(-1; -5) gleich weit entfernt ist.

Lösung.

Aus der Formulierung der Problembedingungen folgt, dass O 1 A = O 1 B = O 1 C. Sei angestrebte Stelle O 1 hat die Koordinaten (a; b). Mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finden wir:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Erstellen wir ein System aus zwei Gleichungen:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nach dem Quadrieren der linken und die richtigen Teile wir schreiben die Gleichungen:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vereinfachen wir, schreiben wir

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) ist von den drei in der Bedingung angegebenen Punkten gleich weit entfernt, die nicht auf derselben Geraden liegen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch drei geht vergebene Punkte (Abb. 2).

3. Berechnung der Abszisse (Ordinate) eines Punktes, der auf der Abszissenachse (Ordinate) liegt und sich auf dieser befindet gegebene Distanz von diesem Punkt

Beispiel 3.

Der Abstand von Punkt B(-5; 6) zu Punkt A, der auf der Ox-Achse liegt, beträgt 10. Finden Sie Punkt A.

Lösung.

Aus der Formulierung der Problembedingungen folgt, dass die Ordinate des Punktes A gleich Null und AB = 10 ist.

Wenn wir die Abszisse des Punktes A mit a bezeichnen, schreiben wir A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Wir erhalten die Gleichung √((a + 5) 2 + 36) = 10. Vereinfacht ausgedrückt gilt:

a 2 + 10a – 39 = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind a 1 = -13; und 2 = 3.

Wir erhalten zwei Punkte A 1 (-13; 0) und A 2 (3; 0).

Untersuchung:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Beide erhaltenen Punkte sind entsprechend den Bedingungen des Problems geeignet (Abb. 3).

4. Berechnung der Abszisse (Ordinate) eines Punktes, der auf der Abszissenachse (Ordinate) liegt und von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand hat

Beispiel 4.

Suchen Sie einen Punkt auf der Oy-Achse, der den gleichen Abstand von den Punkten A (6, 12) und B (-8, 10) hat.

Lösung.

Die Koordinaten des auf der Oy-Achse liegenden, durch die Problembedingungen geforderten Punktes seien O 1 (0; b) (an dem auf der Oy-Achse liegenden Punkt ist die Abszisse Null). Es folgt aus der Bedingung, dass O 1 A = O 1 B.

Mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finden wir:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Wir haben die Gleichung √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) oder 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Nach der Vereinfachung erhalten wir: b – 4 = 0, b = 4.

Punkt O 1 (0; 4) durch die Bedingungen des Problems erforderlich (Abb. 4).

5. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der sich im gleichen Abstand von den Koordinatenachsen und einem bestimmten Punkt befindet

Beispiel 5.

Suchen Sie den Punkt M, der sich auf der Koordinatenebene im gleichen Abstand von den Koordinatenachsen und vom Punkt A(-2; 1) befindet.

Lösung.

Der gesuchte Punkt M liegt wie Punkt A(-2; 1) im zweiten Koordinatenwinkel, da es den gleichen Abstand von den Punkten A, P 1 und P 2 hat (Abb. 5). Die Abstände des Punktes M von den Koordinatenachsen sind gleich, daher sind seine Koordinaten (-a; a), wobei a > 0.

Aus den Bedingungen des Problems folgt MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

diese. |-a| = a.

Mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finden wir:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Machen wir eine Gleichung:

√((-à + 2) 2 + (à – 1) 2) = a.

Nach der Quadrierung und Vereinfachung erhalten wir: a 2 – 6a + 5 = 0. Lösen Sie die Gleichung und finden Sie a 1 = 1; und 2 = 5.

Wir erhalten zwei Punkte M 1 (-1; 1) und M 2 (-5; 5), die die Bedingungen des Problems erfüllen.

6. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der sich im gleichen angegebenen Abstand von der Abszissenachse (Ordinatenachse) und vom angegebenen Punkt befindet

Beispiel 6.

Finden Sie einen Punkt M, dessen Abstand von der Ordinatenachse und vom Punkt A(8; 6) gleich 5 ist.

Lösung.

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass MA = 5 und die Abszisse des Punktes M gleich 5 ist. Sei die Ordinate des Punktes M gleich b, dann ist M(5; b) (Abb. 6).

Nach der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) gilt:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Machen wir eine Gleichung:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Vereinfacht erhalten wir: b 2 – 12b + 20 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind b 1 = 2; b 2 = 10. Folglich gibt es zwei Punkte, die die Bedingungen des Problems erfüllen: M 1 (5; 2) und M 2 (5; 10).

Es ist bekannt, dass viele Studenten unabhängige Entscheidung Probleme erfordern eine ständige Beratung über Techniken und Methoden zu ihrer Lösung. Oft kann ein Schüler ohne die Hilfe eines Lehrers keinen Weg finden, ein Problem zu lösen. Der Student kann auf unserer Website die notwendigen Ratschläge zur Lösung von Problemen erhalten.

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Ich kämpfe schon seit einiger Zeit mit einem Problem: Ich versuche den Abstand zwischen zwei zu berechnen beliebige Punkte, die in einer Entfernung von 30 bis 1500 Metern voneinander liegen.

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$x=31,333312; //x-Koordinate des zweiten Punktes
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$mx=abs($cx-$x); //Berechnen Sie die Differenz in X (Hinspiel rechtwinkliges Dreieck), Funktion abs(x) – gibt den Modul der Zahl x x zurück
$my=abs($cy-$y); //berechne die Differenz zwischen den Spielern (das zweite Bein des rechtwinkligen Dreiecks)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Ermitteln Sie die Entfernung zur U-Bahn (die Länge der Hypotenuse gemäß der Regel, die Hypotenuse ist gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Beine)

Wenn es nicht klar ist, lassen Sie es mich erklären: Ich stelle mir vor, dass der Abstand zwischen zwei Punkten die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Dann ist die Differenz zwischen den X-Werten jedes der beiden Punkte einer der Zweige und der andere Zweig ist die Differenz der Y-Werte derselben beiden Punkte. Anschließend können Sie durch Berechnen der Differenzen zwischen X und Y mithilfe der Formel die Länge der Hypotenuse (d. h. den Abstand zwischen zwei Punkten) berechnen.

Ich weiß, dass diese Regel für das kartesische Koordinatensystem gut funktioniert, sie sollte jedoch mehr oder weniger funktionieren Longlat-Koordinaten, Weil der gemessene Abstand zwischen zwei Punkten ist vernachlässigbar (von 30 bis 1500 Metern).

Allerdings die Entfernung dieser Algorithmus wird falsch berechnet (z. B. übersteigt die von diesem Algorithmus berechnete Distanz1 die Distanz2 nur um 13 %, während Distanz1 in Wirklichkeit 1450 Meter und Distanz2 970 Meter beträgt, d. h. die Differenz beträgt tatsächlich fast 50 %).

Wenn jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

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Wenn jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

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Bestimmen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten NUR mithilfe von Longlat-Koordinaten.

$my=abs($cy-$y); //berechne die Differenz zwischen den Spielern (das zweite Bein des rechtwinkligen Dreiecks)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Ermitteln Sie die Entfernung zur U-Bahn (die Länge der Hypotenuse gemäß der Regel, die Hypotenuse ist gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Beine)

Wenn es nicht klar ist, lassen Sie es mich erklären: Ich stelle mir vor, dass der Abstand zwischen zwei Punkten die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Dann ist die Differenz zwischen den X-Werten jedes der beiden Punkte einer der Zweige und der andere Zweig ist die Differenz der Y-Werte derselben beiden Punkte. Anschließend können Sie durch Berechnen der Differenzen zwischen X und Y mithilfe der Formel die Länge der Hypotenuse (d. h. den Abstand zwischen zwei Punkten) berechnen.

Ich weiß, dass diese Regel für das kartesische Koordinatensystem gut funktioniert, sie sollte jedoch mehr oder weniger für Longlat-Koordinaten funktionieren, weil der gemessene Abstand zwischen zwei Punkten ist vernachlässigbar (von 30 bis 1500 Metern).

Allerdings wird die Entfernung nach diesem Algorithmus falsch berechnet (z. B. übersteigt die von diesem Algorithmus berechnete Entfernung 1 die Entfernung 2 nur um 13 %, während in Wirklichkeit die Entfernung 1 1450 Meter und die Entfernung 2 970 Meter beträgt Tatsächlich erreicht der Unterschied fast 50 %.

Wenn jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.