Lösungssysteme linearer algebraischer Gleichungen, Lösungsmethoden, Beispiele. Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form
Zweck des Dienstes. Zur Erstellung der Verteilungstabelle wird ein Online-Rechner verwendet zufällige Variable X – die Anzahl der durchgeführten Experimente und die Berechnung aller Merkmale der Reihe: mathematischer Erwartungswert, Streuung und Standardabweichung. Der Bericht mit der Entscheidung wird im Word-Format erstellt. Beispiel Nr. 1. Drei Münzen werden geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf ein Wappen zu bekommen, beträgt 0,5. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Zufallsvariable X – die Anzahl der abgeworfenen Embleme.Lösung.
Wahrscheinlichkeit, dass keine Embleme gezeichnet wurden: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Wahrscheinlichkeit, drei Wappen zu erhalten: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Beispiel Nr. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schütze mit einem Schuss das Ziel trifft, beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten Schützen 0,85. Die Schützen feuerten einen Schuss auf das Ziel ab. Betrachten Sie das Treffen des Ziels als unabhängiges Ereignis für einzelne Schützen und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A – genau einen Treffer auf das Ziel.
Lösung.
Betrachten Sie Ereignis A – ein Treffer auf das Ziel. Möglichkeiten Der Eintritt dieses Ereignisses ist wie folgt:
- Der erste Schütze traf, der zweite Schütze verfehlte: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Der erste Schütze verfehlte, der zweite Schütze traf das Ziel: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Der erste und der zweite Pfeil treffen unabhängig voneinander das Ziel: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Lösung linearer Systeme algebraische Gleichungen(SLAU) ist zweifellos das wichtigste Thema Kurs Lineare Algebra. Große Menge Probleme aus allen Bereichen der Mathematik werden auf die Lösung von Systemen reduziert lineare Gleichungen. Diese Faktoren erklären den Grund für diesen Artikel. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie es mit seiner Hilfe tun können
- abholen optimale Methode Lösungen für Ihr System linearer algebraischer Gleichungen,
- die Theorie der gewählten Methode studieren,
- Lösen Sie Ihr System linearer Gleichungen, indem Sie detaillierte Lösungen überprüfen typische Beispiele und Aufgaben.
Kurze Beschreibung des Artikelmaterials.
Geben wir zunächst alles notwendige Definitionen, Konzepte und Einführung in Notationen.
Als nächstes betrachten wir Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Erstens konzentrieren wir uns auf die Cramer-Methode, zweitens zeigen wir die Matrixmethode zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir die Gauß-Methode (die Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf unterschiedliche Weise lösen.
Danach werden wir mit der Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme fortfahren Gesamtansicht, bei dem die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist. Formulieren wir das Kronecker-Capelli-Theorem, das es uns ermöglicht, die Kompatibilität von SLAEs festzustellen. Lassen Sie uns die Lösung von Systemen (sofern sie kompatibel sind) anhand des Konzepts analysieren grundlegendes Nebenfach Matrizen. Wir werden auch die Gauß-Methode betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.
Wir werden uns auf jeden Fall mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen befassen. Lassen Sie uns das Konzept eines grundlegenden Lösungssystems erläutern und zeigen, wie man schreibt gemeinsame Entscheidung SLAE unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems. Für besseres Verstehen Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Abschließend betrachten wir Gleichungssysteme, die sich auf lineare reduzieren lassen, sowie mehrere Aufgaben, bei deren Lösung SLAEs entstehen.
Seitennavigation.
Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen.
Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form
Unbekannte Variablen - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Terme (auch reelle oder komplexe Zahlen).
Diese Form der Aufzeichnung wird SLAE genannt Koordinate.
IN Matrixform Das Schreiben dieses Gleichungssystems hat die Form:
Wo 
- die Hauptmatrix des Systems, - eine Spaltenmatrix unbekannter Variablen, - eine Spaltenmatrix freier Terme.
Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Typischerweise wird eine erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte mit den freien Begriffen wird durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, d. h. 
Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bezeichnet eine Menge von Werten unbekannter Variablen, die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Matrixgleichung für gegebene Werte der unbekannten Variablen wird auch eine Identität.
Wenn ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung hat, heißt es gemeinsam.
Wenn ein Gleichungssystem keine Lösungen hat, heißt es nicht gelenkig.
Wenn ein SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann – unsicher.
Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind 
, dann wird das System aufgerufen homogen, V ansonsten – heterogen.
Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.
Wenn die Anzahl der Gleichungen des Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix nicht gleich Null, dann nennen wir solche SLAEs elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und zwar in dem Fall homogenes System alle unbekannten Variablen sind Null.
Wir begannen, solche SLAEs zu studieren weiterführende Schule. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus, setzten sie in die übrigen Gleichungen ein und nahmen dann die folgende Gleichung, drückte die nächste unbekannte Variable aus und setzte sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden nicht näher auf diese Methoden eingehen, da es sich im Wesentlichen um Modifikationen der Gauß-Methode handelt.
Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrixmethode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie.
Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.
Angenommen, wir müssen ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen 
in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .
Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und 
- Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzung gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder: 
Mit dieser Notation werden unbekannte Variablen mit den Formeln der Cramer-Methode berechnet als 
. Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer gefunden.
Beispiel.
Cramers Methode 
.
Lösung.
Die Hauptmatrix des Systems hat die Form 
. Berechnen wir seine Determinante (siehe ggf. den Artikel): 
Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist, verfügt das System über eine einzigartige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann.
Lassen Sie uns die notwendigen Determinanten zusammenstellen und berechnen 
(Wir erhalten die Determinante, indem wir die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen, die Determinante, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und indem wir die dritte Spalte der Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.) : 
Unbekannte Variablen mithilfe von Formeln finden 
:
Antwort:
Der Hauptnachteil der Methode von Cramer (wenn man ihn überhaupt als Nachteil bezeichnen kann) ist die Komplexität der Berechnung von Determinanten, wenn die Anzahl der Gleichungen im System mehr als drei beträgt.
Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).
Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.
Da Matrix A invertierbar ist, liegt eine inverse Matrix vor. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Finden einer Matrixspalte unbekannter Variablen. Auf diese Weise haben wir eine Lösung für das System linearer algebraischer Gleichungen erhalten Matrixmethode.
Beispiel.
Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Matrixmethode.
Lösung.
Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um: 
Als
dann kann der SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Mit Hilfe inverse Matrix Die Lösung für dieses System kann gefunden werden als 
.
Konstruieren wir die inverse Matrix mithilfe der Matrix aus algebraische Additionen Elemente der Matrix A (ggf. siehe Artikel): 
Es bleibt die Matrix unbekannter Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix zu berechnen 
zu einer Matrixspalte freier Mitglieder (siehe ggf. den Artikel): 
Antwort:
oder in einer anderen Notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Das Hauptproblem bei der Suche nach Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode ist die Komplexität der Suche nach der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen Bestellung höher als dritte.
Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.
Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System aus n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden 
deren Determinante von Null verschieden ist.
Die Essenz der Gauß-Methode besteht aus dem sequentiellen Ausschluss unbekannter Variablen: Zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten usw., bis nur noch die unbekannte Variable x n bleibt in der letzten Gleichung. Dieser Prozess der Transformation von Systemgleichungen zur sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss des Vorwärtshubs der Gaußschen Methode wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, unter Verwendung dieses Werts aus der vorletzten Gleichung wird x n-1 berechnet und so weiter wird x 1 aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.
Beschreiben wir kurz den Algorithmus zur Eliminierung unbekannter Variablen.
Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen 
wo und 
.
Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.
Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist 
Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit vierte Gleichung addieren wir die Sekunde multipliziert mit usw. Zur n-ten Gleichung addieren wir die Sekunde multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen 
wo und 
. Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.
Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen 
Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt 
Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .
Beispiel.
Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Gauß-Methode.
Lösung.
Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir auf beiden Seiten der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit: 
Jetzt eliminieren wir x 2 aus der dritten Gleichung, indem wir links und hinzufügen rechte Seite die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung, multipliziert mit: 
Damit ist der Vorwärtshub der Gauß-Methode abgeschlossen; wir beginnen mit dem Rückwärtshub.
Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3: 
Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .
Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit die Umkehrung der Gauß-Methode.
Antwort:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.
IN Allgemeiner Fall die Anzahl der Gleichungen des Systems p stimmt nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen n überein:
Solche SLAEs haben möglicherweise keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und singulär ist.
Kronecker-Capelli-Theorem.
Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden kann, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel und wann inkonsistent ist, lautet: Kronecker-Capelli-Theorem:
Damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich ist gleich dem Rang erweiterte Matrix, d. h. Rank(A)=Rank(T) .
Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Capelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.
Beispiel.
Finden Sie heraus, ob das System linearer Gleichungen hat 
Lösungen.
Lösung.
. Lassen Sie uns die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen anwenden. Moll zweiter Ordnung 
verschieden von Null. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung an: 
Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix gleich zwei.
Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix 
ist gleich drei, da das Moll dritter Ordnung ist 
verschieden von Null.
Auf diese Weise, Rang(A) können wir daher unter Verwendung des Kronecker-Capelli-Theorems schlussfolgern, dass das ursprüngliche System linearer Gleichungen inkonsistent ist.
Antwort:
Das System hat keine Lösungen.
Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz eines Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems festzustellen.
Aber wie findet man eine Lösung für ein SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt ist?
Dazu benötigen wir das Konzept einer Basis-Minor-Matrix und einen Satz über den Rang einer Matrix.
Unerheblich höchste Ordnung Die von Null verschiedene Matrix A wird aufgerufen Basic.
Aus der Definition einer Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine Matrix A ungleich Null kann es mehrere Basis-Minor-Matrixen geben; es gibt immer eine Basis-Minor-Matrix.
Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix 
.
Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.
Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind einfach, da sie ungleich Null sind 
Minderjährige 
sind nicht grundlegend, da sie gleich Null sind.
Matrixrangsatz.
Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, werden alle Zeilen- (und Spalten-) Elemente der Matrix, die nicht die gewählte Basis-Minor bilden, linear durch die entsprechenden bildenden Zeilen- (und Spalten-) Elemente ausgedrückt das Basis-Moll.
Was sagt uns der Matrixrangsatz?
Wenn wir gemäß dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir eine beliebige Basisminor der Hauptmatrix des Systems (ihre Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen, die dies tun, aus dem System aus nicht das gewählte Basis-Moll bilden. Der auf diese Weise erhaltene SLAE entspricht dem ursprünglichen, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (gemäß dem Matrixrangsatz handelt es sich um eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).
Infolgedessen sind nach dem Verwerfen unnötiger Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.
Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann mit der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode gefunden werden.
Beispiel.
.
Lösung.
Rang der Hauptmatrix des Systems 
ist gleich zwei, da das Moll zweiter Ordnung ist 
verschieden von Null. Erweiterter Matrixrang 
ist ebenfalls gleich zwei, da das einzige Moll dritter Ordnung Null ist 
und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Basierend auf dem Kronecker-Capelli-Theorem können wir die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rang(A)=Rang(T)=2.
Als Basis-Moll nehmen wir . Sie wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet: 
Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Satz über den Rang der Matrix aus dem System aus: 
Also haben wir Elementarsystem lineare algebraische Gleichungen. Lösen wir es mit der Cramer-Methode: 
Antwort:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden SLAE ist weniger Zahl unbekannte Variablen n, dann belassen wir auf der linken Seite der Gleichungen die Terme, die die Basis Minor bilden, und übertragen die restlichen Terme mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite der Gleichungen des Systems.
Die auf der linken Seite der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.
Es werden unbekannte Variablen (es gibt n - r Stücke) aufgerufen, die auf der rechten Seite liegen frei.
Nun glauben wir, dass freie unbekannte Variablen beliebige Werte annehmen können, während die r wichtigsten unbekannten Variablen auf einzigartige Weise durch freie unbekannte Variablen ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen des resultierenden SLAE mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode ermittelt werden.
Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.
Beispiel.
Lösen Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen 
.
Lösung.
Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix des Systems ermitteln 
durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als Moll erster Ordnung ungleich Null. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, das an dieses Moll grenzt: 
Auf diese Weise haben wir ein Moll zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem ungleich Null angrenzenden Moll dritter Ordnung: 
Somit beträgt der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.
Als Basis nehmen wir das gefundene Nicht-Null-Moll dritter Ordnung.
Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir die Elemente, die das Basis-Moll bilden: 
Wir belassen die in der Basis Minor beteiligten Terme auf der linken Seite der Gleichungen des Systems und übertragen den Rest von entgegengesetzte Vorzeichen zu den rechten Seiten: 
Geben wir den freien unbekannten Variablen x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir akzeptieren 
, Wo - beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt das SLAE das Formular an 
Lösen wir das resultierende Elementarsystem linearer algebraischer Gleichungen mit der Cramer-Methode: 
Somit, .
Vergessen Sie in Ihrer Antwort nicht, freie unbekannte Variablen anzugeben.
Antwort:
Wo sind beliebige Zahlen?
Zusammenfassen.
Um ein System allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, bestimmen wir zunächst seine Kompatibilität mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht dem Rang der erweiterten Matrix entspricht, schließen wir daraus, dass das System inkompatibel ist.
Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir eine Basis-Minor aus und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung der ausgewählten Basis-Minor beteiligt sind.
Wenn die Reihenfolge der Basis minderjährig ist gleich der Zahl Unbekannte Variablen, dann hat das SLAE eine eindeutige Lösung, die wir mit jeder uns bekannten Methode finden können.
Wenn die Ordnung der Basis kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann belassen wir auf der linken Seite des Gleichungssystems die Terme mit den wichtigsten unbekannten Variablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und geben beliebige Werte an die freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem finden wir die wichtigsten Unbekannten Variablen nach Methode Cramer-, Matrix- oder Gauß-Methode.
Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.
Mit der Gauß-Methode lassen sich Systeme linearer algebraischer Gleichungen jeglicher Art lösen, ohne sie vorher auf Konsistenz zu prüfen. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, Rückschlüsse sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkompatibilität des SLAE zu ziehen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.
Aus rechnerischer Sicht ist die Gaußsche Methode vorzuziehen.
Schau es dir an detaillierte Beschreibung und analysierte Beispiele im Artikel Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.
Schreiben einer allgemeinen Lösung für homogene und inhomogene lineare algebraische Systeme unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems.
In diesem Abschnitt wir werden redenüber gleichzeitige homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen mit unendliche Menge Entscheidungen.
Befassen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.
Grundlegendes Lösungssystem Ein homogenes System p linearer algebraischer Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist eine Sammlung von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminor der Hauptmatrix des Systems ist.
Wenn wir linear bezeichnen unabhängige Lösungen homogenes SLAE als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, dieses homogenen Systems wird in der Form dargestellt lineare Kombination Vektoren des fundamentalen Lösungssystems mit willkürlichen konstante Koeffizienten C 1, C 2, ..., C (n-r), das heißt .
Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (Oroslau)?
Die Bedeutung ist einfach: Die Formel legt alles fest mögliche Lösungen das ursprüngliche SLAE, mit anderen Worten, wenn wir einen beliebigen Satz von Werten beliebiger Konstanten C 1, C 2, ..., C (n-r) nehmen, erhalten wir gemäß der Formel eine der Lösungen des ursprünglichen homogenen SLAE.
Wenn wir also ein grundlegendes Lösungssystem finden, können wir alle Lösungen dieses homogenen SLAE als definieren.
Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für ein homogenes SLAE zeigen.
Wir wählen die Basis Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems aus, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen alle Terme, die freie unbekannte Variablen enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten der Gleichungen des Systems. Geben wir Unbekannte frei variable Werte 1,0,0,…,0 und berechnen Sie die Hauptunbekannten, indem Sie das resultierende elementare System linearer Gleichungen auf beliebige Weise lösen, beispielsweise mit der Cramer-Methode. Dies führt zu X (1) – der ersten Lösung des Fundamentalsystems. Wenn du kostenlos gibst unbekannte Werte 0,1,0,0,…,0 und berechnen die Hauptunbekannten, wir erhalten X (2) . Usw. Wenn wir den freien unbekannten Variablen die Werte 0,0,…,0,1 zuweisen und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (n-r) . Auf diese Weise wird ein grundlegendes Lösungssystem für ein homogenes SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.
Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung in der Form dargestellt, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems und die besondere Lösung des ursprünglichen inhomogenen SLAE sind, die wir erhalten, indem wir den freien Unbekannten die Werte geben 0,0,…,0 und Berechnen der Werte der wichtigsten Unbekannten.
Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiel.
Finden Sie das grundlegende Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen 
.
Lösung.
Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix mithilfe der Methode der angrenzenden Nebenmatrix ermitteln. Als Nicht-Null-Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Suchen wir das angrenzende Nicht-Null-Moll zweiter Ordnung: 
Es wurde ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Gehen wir die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durch: 
Alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix gleich zwei. Lass uns nehmen . Der Klarheit halber notieren wir uns die Elemente des Systems, aus denen es besteht: 
Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt und kann daher ausgeschlossen werden: 
Wir belassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite:
Konstruieren wir ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Grundlegendes System Lösungen dieses SLAE bestehen aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seiner Basis-Minor gleich zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, dann die Hauptvariablen Wir werden das Unbekannte finden aus dem Gleichungssystem 
.
