Bestimmen Sie die Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide. Wie berechnet man die Fläche einer Pyramide: Grundfläche, Seite und Gesamtfläche? Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

1. Alle Flächen eines Würfels sind Quadrate.

2. a√3 (d² = a² + a² + a², wobei a die Kante des Würfels und d die Diagonale des Würfels ist).

3. V Würfel = a³.

4. S-Seite. Würfel = 4a²; S voll Würfel = 6a 2

Aufgabe 1.Seitenrippe geneigtes Prisma gleich 15 cm und in einem Winkel von 30 ° zur Ebene der Basis geneigt. Finden Sie die Höhe des Prismas (Abb. 48)

IN- senkrecht zur Basis, also ∆ABO- rechteckig.

Bedeutet BC=AB∙sinBAC=1,5∙Sünde 30 o =7,5 (cm)

Antwort: 7,5 cm.

Aufgabe 2. In einem rechtwinkligen Dreiecksprisma sind alle Kanten gleich. Die Mantelfläche ist

12 m2. Finden Sie die Höhe.

Lösung:

Da also alle Kanten gleich sind Seitenflächen sind Quadrate. Die Fläche einer Fläche entspricht einem Drittel der Fläche der Seitenfläche: 12: 3 = 4 (m2). Dies bedeutet, dass die Seite des Quadrats gleich = 2 (m) ist. Dann ist die Kante des Prismas gleich der Höhe und beträgt 2 m.

Antwort: 2 m.

Aufgabe 3. Die Mantelfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas beträgt 32 m2 und vollflächig gleich 40 m 2. Finden Sie die Höhe.

Da die Oberfläche S = S-Seite + 2S Basis ist, ist die Oberfläche der Basis gleich S Basis = (40 – 32): 2 = 4 (m 2).

An der Basis befindet sich ein Quadrat, da das Prisma regelmäßig ist und die Seitenlänge des Quadrats = 2 (m) beträgt.

Seitenfläche richtiges Prisma ist gleich: S-Seite =ð∙h = 4a∙h, Also

h = S : (4A) = 32: (4∙ 2) = 4 (m2)

Antwort: 4 m.

Aufgabe 4. Rechts viereckiges Prisma die Grundfläche beträgt 144 cm 2 und die Höhe der Wunde beträgt 14 cm. Bestimmen Sie die Diagonale dieses Prismas.

Da das Prisma regelmäßig ist, befindet sich an seiner Basis ein Quadrat und seine Fläche ist gleich: S=a 2

d 2 =a 2 +a 2 +h 2 = 12 2 +12 2 +14 2 =484, D= 22(cm)

Aufgaben

Ziel. Lernen Sie, grundlegende Polyeder zu zeichnen, Zeichnungen entsprechend den Bedingungen der Aufgaben anzufertigen; Lösen Sie planimetrische und einfache stereometrische Probleme, um geometrische Größen (Längen, Winkel) zu finden und beim Lösen zu verwenden stereometrische Probleme Planimetrische Fakten und Methoden.

1. Die Seitenkante eines Parallelepipeds beträgt 5 m, die Seiten der Basis betragen 6 m und 8 m, eine der Diagonalen der Basis beträgt 12 m. Bestimmen Sie die Diagonalen des Parallelepipeds.

2. B rechtes Parallelepiped Die Seiten der Basis betragen 3 cm und 5 cm, eine der Diagonalen der Basis beträgt 4 cm. Die kleinere Diagonale des Parallelepipeds bildet mit der Ebene der Basis einen Winkel von 60 Grad. Bestimmen Sie die Diagonalen des Parallelepipeds.

3. Die Oberfläche des Würfels beträgt 24 m2. Finden Sie seinen Vorteil

4. Definieren Sie die Oberfläche rechteckiges Parallelepiped entsprechend seinen drei Abmessungen: 10 cm, 22 cm, 16 cm.

5. Bei einem geraden Parallelepiped betragen die Seiten der Grundfläche 6 m und 8 m und bilden einen Winkel von 30°; Die Seitenkante beträgt 5 m. Bestimmen Sie die Gesamtfläche dieses Parallelepipeds.

6. Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche eines geraden dreieckigen Prismas, wenn seine Höhe 50 cm beträgt und die Seiten der Basis 40 cm, 13 cm, 37 cm betragen.

7. In einem rechtwinkligen dreieckigen Prisma betragen die Seiten der Basis 25 dm, 29 dm und 36 dm, und die Gesamtoberfläche enthält 1620 dm 2. Definieren Seitenfläche Prismen.

8. Der Abstand zwischen den Seitenrippen eines geneigten dreieckigen Prismas: 2 cm, 3 cm, 4 cm. Die Seitenfläche beträgt 45 cm 2. Finden Sie die Seitenkante.

Antworten auf Probleme

1,13 m und 10 m. 2, 8 cm und 10 cm. 4. 1464 cm². 5. 188 m2. 6. 4980 dm 2. 7. 9m2

- Das facettenreiche Figur, an dessen Basis ein Polygon liegt, und die übrigen Flächen werden durch Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt dargestellt.

Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, heißt die Pyramide viereckig, wenn ein Dreieck – dann dreieckig. Die Höhe der Pyramide wird von ihrer Spitze senkrecht zur Basis gezeichnet. Wird auch zur Flächenberechnung verwendet Apothema– die Höhe der Seitenfläche, abgesenkt von ihrer Oberseite.
Die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen ihrer Seitenflächen, die einander gleich sind. Diese Berechnungsmethode wird jedoch nur sehr selten angewendet. Grundsätzlich wird die Fläche der Pyramide durch den Umfang der Basis und des Apothems berechnet:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Seitenfläche einer Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit der Basis ABCDE und der Spitze F. AB =BC =DE =EA =3 cm. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Finden wir den Umfang. Da alle Kanten der Basis gleich sind, ist der Umfang des Fünfecks gleich:
Jetzt können Sie finden seitlicher Bereich Pyramiden:

Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide besteht aus einer Basis, in der sie liegt regelmäßiges Dreieck und drei flächengleiche Seitenflächen.
Formel für Mantelfläche korrekt Dreieckige Pyramide berechnet werden kann verschiedene Wege. Sie können die übliche Berechnungsformel mit Umfang und Apothem anwenden oder die Fläche einer Fläche ermitteln und mit drei multiplizieren. Da die Fläche einer Pyramide ein Dreieck ist, wenden wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks an. Es werden ein Apothem und die Länge der Basis benötigt. Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit Apothem a = 4 cm und Grundfläche b = 2 cm. Bestimmen Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Ermitteln Sie zunächst die Fläche einer der Seitenflächen. IN in diesem Fall Sie wird sein:
Setzen Sie die Werte in die Formel ein:
Seit in richtige Pyramide Alle Seiten gleich sind, dann ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide gleich der Summe der Flächen der drei Flächen. Jeweils:

Fläche eines Pyramidenstumpfes

Gekürzt Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer Pyramide besteht und deren Querschnitt parallel zur Grundfläche verläuft.
Die Formel für die Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes ist sehr einfach. Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und des Apothems:

Bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik müssen die Studierenden ihre Kenntnisse in Algebra und Geometrie systematisieren. Ich möchte alle bekannten Informationen zusammenfassen, beispielsweise zur Berechnung der Fläche einer Pyramide. Darüber hinaus beginnend von der Basis und den Seitenkanten bis hin zur gesamten Fläche. Wenn die Situation mit den Seitenflächen klar ist, da es sich um Dreiecke handelt, ist die Basis immer anders.

Wie finde ich die Fläche der Basis der Pyramide?

Es kann absolut jede Figur sein: von beliebiges Dreieck zu n-gon. Und diese Basis kann zusätzlich zum Unterschied in der Anzahl der Winkel eine regelmäßige oder unregelmäßige Figur sein. Bei den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens, die für Schüler von Interesse sind, gibt es nur Aufgaben mit korrekten Zahlen als Basis. Deshalb werden wir nur über sie sprechen.

Regelmäßiges Dreieck

Das heißt, gleichseitig. Derjenige, bei dem alle Seiten gleich sind und mit dem Buchstaben „a“ gekennzeichnet sind. In diesem Fall wird die Fläche der Pyramidenbasis nach folgender Formel berechnet:

S = (a 2 * √3) / 4.

Quadrat

Die Formel zur Berechnung seiner Fläche ist die einfachste, hier ist „a“ wieder die Seite:

Beliebiges reguläres n-Eck

Die Seite eines Polygons hat die gleiche Notation. Für die Anzahl der verwendeten Winkel lateinischer Buchstabe N.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Was ist bei der Berechnung der Seiten- und Gesamtfläche zu beachten?

Denn an der Basis liegt richtige Zahl, dann sind alle Flächen der Pyramide gleich. Darüber hinaus ist jedes von ihnen ein gleichschenkliges Dreieck, da seitliche Rippen sind gleich. Um dann die Seitenfläche der Pyramide zu berechnen, benötigen Sie eine Formel, die aus der Summe identischer Monome besteht. Die Anzahl der Terme wird durch die Anzahl der Seiten der Basis bestimmt.

Quadrat gleichschenkligen Dreiecks wird nach einer Formel berechnet, bei der das halbe Produkt der Grundfläche mit der Höhe multipliziert wird. Diese Höhe in der Pyramide wird Apothem genannt. Seine Bezeichnung ist „A“. Allgemeine Formel für die Mantelfläche sieht es so aus:

S = ½ P*A, wobei P der Umfang der Basis der Pyramide ist.

Es gibt Situationen, in denen die Seiten der Basis nicht bekannt sind, aber die Seitenrippen (c) und flacher Winkel an seinem Scheitelpunkt (α). Dann müssen Sie die folgende Formel verwenden, um die Seitenfläche der Pyramide zu berechnen:

S = n/2 * in 2 sin α .

Aufgabe Nr. 1

Zustand. Finden Gesamtfläche Pyramide, wenn ihre Basis eine Seitenlänge von 4 cm hat und das Apothem einen Wert von √3 cm hat.

Lösung. Sie müssen mit der Berechnung des Umfangs der Basis beginnen. Da es sich um ein regelmäßiges Dreieck handelt, gilt P = 3*4 = 12 cm. Da das Apothem bekannt ist, können wir sofort die Fläche der gesamten Mantelfläche berechnen: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Für das Dreieck an der Basis erhält man folgenden Flächenwert: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Um die gesamte Fläche zu bestimmen, müssen Sie die beiden resultierenden Werte addieren: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Antwort. 10√3 cm 2.

Problem Nr. 2

Zustand. Es gibt eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Länge der Grundseite beträgt 7 mm, die Seitenkante 16 mm. Es ist notwendig, seine Oberfläche herauszufinden.

Lösung. Da das Polyeder viereckig und regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein Quadrat. Sobald Sie die Fläche der Grund- und Seitenflächen kennen, können Sie die Fläche der Pyramide berechnen. Die Formel für das Quadrat ist oben angegeben. Und für die Seitenflächen sind alle Seiten des Dreiecks bekannt. Daher können Sie die Formel von Heron verwenden, um ihre Flächen zu berechnen.

Die ersten Berechnungen sind einfach und führen zu folgender Zahl: 49 mm 2. Für den zweiten Wert müssen Sie den Halbumfang berechnen: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Jetzt können Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Es gibt nur vier solcher Dreiecke. Wenn Sie also die endgültige Zahl berechnen möchten, müssen Sie diese mit 4 multiplizieren.

Es stellt sich heraus: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Antwort. Der gewünschte Wert beträgt 267,576 mm 2.

Problem Nr. 3

Zustand. Das richtige viereckige Pyramide Sie müssen die Fläche berechnen. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt bekanntlich 6 cm und die Höhe 4 cm.

Lösung. Am einfachsten ist es, die Formel mit dem Produkt aus Umfang und Apothem zu verwenden. Der erste Wert ist leicht zu finden. Der zweite ist etwas komplizierter.

Wir müssen uns an den Satz des Pythagoras erinnern und bedenken, dass er durch die Höhe der Pyramide und das Apothem, die Hypotenuse, gebildet wird. Zweites Bein gleich der Hälfte Seiten des Quadrats, da die Höhe des Polyeders in seiner Mitte abnimmt.

Das gesuchte Apothem (Hypotenuse rechtwinkliges Dreieck) ist gleich √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Jetzt können Sie den erforderlichen Wert berechnen: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Antwort. 96 cm².

Problem Nr. 4

Zustand. Dana richtige Seite Seine Sockel sind 22 mm, die Seitenrippen sind 61 mm. Wie groß ist die Mantelfläche dieses Polyeders?

Lösung. Die darin enthaltene Begründung ist die gleiche wie in Aufgabe Nr. 2 beschrieben. Nur gab es eine Pyramide mit einem Quadrat an der Basis, und jetzt ist sie ein Sechseck.

Zunächst wird die Grundfläche nach obiger Formel berechnet: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Jetzt müssen Sie den Halbumfang eines gleichschenkligen Dreiecks ermitteln, bei dem es sich um die Seitenfläche handelt. (22+61*2):2 = 72 cm. Jetzt müssen Sie nur noch die Formel von Heron verwenden, um die Fläche jedes dieser Dreiecke zu berechnen, sie dann mit sechs zu multiplizieren und zu der Fläche zu addieren, die Sie für die Basis erhalten haben.

Berechnungen mit der Heron-Formel: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Berechnungen, die die Mantelfläche ergeben: 660 * 6 = 3960 cm 2. Es bleibt noch, sie zu addieren, um die Gesamtfläche zu ermitteln: 5217,47≈5217 cm 2.

Antwort. Die Grundfläche beträgt 726√3 cm 2, die Seitenfläche beträgt 3960 cm 2, die Gesamtfläche beträgt 5217 cm 2.