Fläche eines Dreiecks, wenn die Seiten bekannt sind. So finden Sie auf ungewöhnliche Weise die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks. Beispiele aus dem wirklichen Leben

Abhängig von der Art des Dreiecks gibt es mehrere Möglichkeiten, seine Fläche zu ermitteln. Zum Beispiel um die Fläche zu berechnen rechtwinkliges Dreieck Es wird die Formel S= a * b / 2 verwendet, wobei a und b seine Beine sind. Wenn Sie die Gegend kennenlernen möchten gleichschenkligen Dreiecks, dann ist es notwendig, das Produkt aus Grundfläche und Höhe durch zwei zu teilen. Das heißt, S= b*h / 2, wobei b die Basis des Dreiecks und h seine Höhe ist.

Als nächstes müssen Sie möglicherweise die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Hier hilft die folgende Formel: S = a* a / 2, wobei die Beine „a“ und „a“ unbedingt die gleichen Werte haben müssen.

Außerdem müssen wir oft die Fläche berechnen gleichseitiges Dreieck. Es wird durch die Formel gefunden: S= a * h/ 2, wobei a die Seite des Dreiecks und h seine Höhe ist. Oder nach dieser Formel: S= √3/ 4 *a^2, wobei a die Seite ist.

So finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Müssen Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln, aber in der Problemstellung sind nicht die Abmessungen von zwei seiner Schenkel gleichzeitig angegeben? Dann können wir diese Formel (S= a * b / 2) nicht direkt verwenden.

Schauen wir uns einige an Möglichkeiten Lösungen:

• Wenn Sie die Länge eines Beins nicht kennen, aber die Abmessungen der Hypotenuse und des zweiten Beins angegeben sind, dann wenden wir uns dem großen Pythagoras zu und verwenden seinen Satz (a^2+b^2=c^2): Wir berechnen die Länge des unbekannten Beins und berechnen daraus dann die Fläche des Dreiecks.
• Wenn die Länge eines Schenkels und die Gradsteigung des gegenüberliegenden Winkels angegeben sind: Wir ermitteln die Länge des zweiten Schenkels mit der Formel - a=b*ctg(C).
• Gegeben: die Länge eines Schenkels und die Gradsteigung des angrenzenden Winkels: Um die Länge des zweiten Schenkels zu ermitteln, verwenden wir die Formel - a=b*tg(C).
• Und schließlich, gegeben: Winkel und Länge der Hypotenuse: Wir berechnen die Länge beider Schenkel mit den folgenden Formeln: b=c*sin(C) und a=c*cos(C).

So finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks lässt sich mit der Formel S= b*h / 2 sehr einfach und schnell ermitteln, fehlt jedoch einer der Indikatoren, wird die Aufgabe deutlich komplizierter. Schließlich ist es notwendig, zusätzliche Aktionen durchzuführen.

Mögliche Aufgabenoptionen:

• Gegeben: die Länge einer der Seiten und die Länge der Basis. Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir die Höhe, also die Länge des zweiten Beins. Vorausgesetzt, die Länge der Basis dividiert durch zwei ist ein Bein, und das ist zunächst bekannt Seite– Hypotenuse.
• Gegeben: die Basis und der Winkel zwischen Seite und Basis. Wir berechnen die Höhe mit der Formel h=c*ctg(B)/2 (vergessen Sie nicht, die Seite „c“ durch zwei zu teilen).
• Gegeben: die Höhe und der Winkel, der durch die Basis und die Seite gebildet wird: Wir verwenden die Formel c=h*tg(B)*2, um die Höhe zu ermitteln, und multiplizieren das Ergebnis mit zwei. Als nächstes berechnen wir die Fläche.
• Bekannt: die Länge der Seite und der zwischen ihr und der Höhe gebildete Winkel. Lösung: Wir verwenden die Formeln c=a*sin(C)*2 und h=a*cos(C), um die Basis und Höhe zu ermitteln, und berechnen anschließend die Fläche.

So finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks

Wenn alle Daten bekannt sind, berechnen wir mit der Standardformel S= a* a / 2 die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, aber wenn einige Indikatoren im Problem nicht angegeben sind, werden zusätzliche Aktionen durchgeführt.

Beispiel: Wir kennen die Längen beider Seiten nicht (wir erinnern uns, dass sie in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck gleich sind), aber die Länge der Hypotenuse ist gegeben. Wenden wir den Satz des Pythagoras an, um zu finden identische Seiten„a“ und „a“. Pythagoräische Formel: a^2+b^2=c^2. Im Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich folgendes: 2a^2 = c^2. Es stellt sich heraus, dass Sie zum Finden des Schenkels „a“ die Länge der Hypotenuse durch die Wurzel von 2 teilen müssen. Das Ergebnis der Lösung ist die Länge beider Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Als nächstes finden wir den Bereich.

So ermitteln Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks

Mit der Formel S= √3/ 4*a^2 können Sie ganz einfach die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks berechnen. Wenn der Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks bekannt ist, kann die Fläche mithilfe der Formel S= 3√3/ 4*R^2 ermittelt werden, wobei R der Radius des Kreises ist.

Ein Dreieck ist eine flache geometrische Figur mit einem Winkel von 90°. Darüber hinaus ist es in der Geometrie oft notwendig, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen. Wir verraten Ihnen, wie das weiter geht.

Die einfachste Formel zur Bestimmung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Ausgangsdaten, wobei: a und b die Seiten des Dreiecks sind, die sich vom rechten Winkel erstrecken.

Das heißt, die Fläche ist gleich der Hälfte des Produkts der beiden Seiten, die vom rechten Winkel ausgehen. Natürlich gibt es die Heron-Formel zur Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks, aber um den Wert zu bestimmen, müssen Sie die Länge der drei Seiten kennen. Dementsprechend müssen Sie die Hypotenuse berechnen, was zusätzliche Zeit kostet.

Ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe der Heron-Formel

Dies ist ein bekanntes und Originalformel, aber dazu müssen Sie die Hypotenuse auf zwei Beinen mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

In dieser Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und p der Halbumfang.

Finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks anhand der Hypotenuse und des Winkels

Wenn bei Ihrem Problem keines der Beine bekannt ist, dann verwenden Sie das meiste auf einfache Weise Sie können nicht. Um den Wert zu ermitteln, müssen Sie die Länge der Beine berechnen. Dies kann einfach durch die Verwendung der Hypotenuse und des Kosinus des angrenzenden Winkels erfolgen.

b=c×cos(α)

Sobald Sie die Länge eines der Beine kennen, können Sie mithilfe des Satzes des Pythagoras die zweite Seite berechnen, die aus dem rechten Winkel kommt.

b 2 =c 2 -a 2

In dieser Formel sind c und a die Hypotenuse bzw. das Bein. Jetzt können Sie die Fläche mit der ersten Formel berechnen. Auf die gleiche Weise können Sie eines der Beine berechnen, wenn Sie das zweite und den Winkel angeben. In diesem Fall ist eine der erforderlichen Seiten gleich dem Produkt aus Schenkel und Tangens des Winkels. Es gibt andere Möglichkeiten, die Fläche zu berechnen, aber wenn Sie die grundlegenden Theoreme und Regeln kennen, können Sie den gewünschten Wert leicht ermitteln.

Wenn Sie keine der Seiten des Dreiecks haben, sondern nur den Median und einen der Winkel, können Sie die Länge der Seiten berechnen. Nutzen Sie dazu die Eigenschaften des Medians, um ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teile zu teilen. Dementsprechend kann sie als Hypotenuse fungieren, wenn sie austritt spitzer Winkel. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und bestimmen Sie die Länge der Seiten des Dreiecks, die vom rechten Winkel ausgehen.

Wie Sie sehen, können Sie mit Kenntnis der Grundformeln und des Satzes des Pythagoras die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, das nur einen der Winkel und die Länge einer der Seiten hat.

In der Realität findet man an fast jeder Ecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Kenntnis der Eigenschaften einer bestimmten Figur sowie die Fähigkeit, ihre Fläche zu berechnen, werden Ihnen zweifellos nicht nur bei der Lösung von Geometrieproblemen, sondern auch in Lebenssituationen nützlich sein.

Dreiecksgeometrie

IN Elementargeometrie Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine Figur, die aus drei verbundenen Segmenten besteht, die drei Winkel bilden (zwei spitze und einen geraden). Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine durch eine Zahl gekennzeichnete Originalfigur wichtige Eigenschaften, die die Grundlage der Trigonometrie bilden. Im Gegensatz zu einem regulären Dreieck sind die Seiten rechteckige Figur haben ihre eigenen Namen:

• Die Hypotenuse ist die längste Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
• Beine sind Segmente, die einen rechten Winkel bilden. Abhängig vom betrachteten Winkel kann das Bein benachbart (diesen Winkel mit der Hypotenuse bildend) oder gegenüberliegend (dem Winkel gegenüber liegend) sein. Für nicht rechtwinklige Dreiecke gibt es keine Beine.

Es ist das Verhältnis der Schenkel und der Hypotenuse, das die Grundlage der Trigonometrie bildet: Sinus, Tangens und Sekante werden als das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert.

In Wirklichkeit ein rechtwinkliges Dreieck

Diese Zahl erhalten breite Verwendung in echt. Dreiecke werden in Design und Technik verwendet, daher muss die Berechnung der Fläche einer Figur von Ingenieuren, Architekten und Designern durchgeführt werden. Die Grundflächen von Tetraedern oder Prismen – dreidimensionale Figuren, denen man im Alltag leicht begegnet – haben die Form eines Dreiecks. Darüber hinaus ist ein Quadrat in der Realität die einfachste Darstellung eines „flachen“ rechtwinkligen Dreiecks. Ein Winkel ist ein Metallbearbeitungs-, Zeichen-, Konstruktions- und Tischlerwerkzeug, das sowohl von Schulkindern als auch von Ingenieuren zum Konstruieren von Winkeln verwendet wird.

Fläche eines Dreiecks

Die Fläche einer geometrischen Figur beträgt Quantifizierung welcher Teil der Ebene durch die Seiten des Dreiecks begrenzt wird. Die Fläche eines gewöhnlichen Dreiecks kann auf fünf Arten ermittelt werden, indem man die Heron-Formel verwendet oder Variablen wie Basis, Seite, Winkel und Radius des eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises verwendet. Am meisten einfache Formel Fläche wird ausgedrückt als:

Dabei ist a die Seite des Dreiecks und h seine Höhe.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist noch einfacher:

wobei a und b Beine sind.

Mit unserem Online-Rechner können Sie die Fläche eines Dreiecks anhand von drei Parameterpaaren berechnen:

• zwei Beine;
• Bein und angrenzender Winkel;
• Bein und entgegengesetzter Winkel.

In Aufgaben bzw Alltagssituationen Sie erhalten verschiedene Kombinationen von Variablen, sodass Sie mit dieser Form des Rechners die Fläche eines Dreiecks auf verschiedene Arten berechnen können. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Keramikfliesen

Nehmen wir an, Sie möchten die Küchenwände mit Keramikfliesen verkleiden, die die Form eines rechtwinkligen Dreiecks haben. Um den Fliesenverbrauch zu ermitteln, müssen Sie die Fläche eines Verkleidungselements ermitteln und Gesamtfläche behandelte Oberfläche. Angenommen, Sie müssen 7 verarbeiten Quadratmeter. Die Länge der Beine eines Elements beträgt 19 cm, dann beträgt die Fläche der Fliese:

Dies bedeutet, dass die Fläche eines Elements 24,5 beträgt Quadratzentimeter oder 0,01805 Quadratmeter. Wenn Sie diese Parameter kennen, können Sie berechnen, dass Sie für die Fertigstellung von 7 Quadratmetern Wand 7/0,01805 = 387 Elemente Verkleidungsfliesen benötigen.

Schulaufgabe

Einlassen Schulaufgabe In der Geometrie müssen Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln, wobei Sie nur wissen, dass die Seite eines Beins 5 cm und der gegenüberliegende Winkel 30 Grad beträgt. Unser Online-Rechner enthält eine Abbildung, die die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zeigt. Wenn die Seite a = 5 cm ist, ist ihr entgegengesetzter Winkel der Winkel Alpha, der 30 Grad entspricht. Geben Sie diese Daten in das Rechnerformular ein und erhalten Sie das Ergebnis:

Somit berechnet der Rechner nicht nur die Fläche eines gegebenen Dreiecks, sondern bestimmt auch die Länge benachbartes Bein und Hypotenuse sowie den Wert des zweiten Winkels.

Abschluss

Rechtwinklige Dreiecke gibt es in unserem Leben buchstäblich an jeder Ecke. Die Bestimmung der Fläche solcher Figuren wird Ihnen nicht nur beim Lösen nützlich sein Schulaufgaben in der Geometrie, aber auch Alltags- und Professionelle Aktivität.

Im Geometrieunterricht in weiterführende Schule Uns allen wurde vom Dreieck erzählt. Allerdings innerhalb Lehrplan Wir bekommen nur das Beste notwendige Kenntnisse und lernen Sie die häufigsten und Standardmethoden Berechnungen. Gibt es ungewöhnliche Möglichkeiten, diese Menge zu ermitteln?

Erinnern wir uns zunächst daran, welches Dreieck als rechtwinklig gilt, und definieren wir auch den Begriff der Fläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine geschlossene geometrische Figur, deren einer Winkel 90 0 beträgt. Integrale Konzepte in der Definition sind Beine und Hypotenuse. Mit Beinen sind zwei Seiten gemeint, die an der Verbindungsstelle einen rechten Winkel bilden. Hypotenuse - gegenüberliegende Seite rechter Winkel. Ein rechtwinkliges Dreieck kann gleichschenklig sein (seine beiden Seiten sind gleich groß), aber niemals gleichseitig (alle Seiten sind gleich lang). Definitionen von Höhe, Median, Vektoren und anderen mathematische Begriffe Wir werden nicht ins Detail gehen. Sie sind in Nachschlagewerken leicht zu finden.

Quadrat rechtwinkliges Dreieck. Im Gegensatz zu Rechtecken gilt die Regel über

die Arbeit der Parteien bei der Feststellung findet keine Anwendung. Trocken gesprochen wird unter der Fläche eines Dreiecks die Eigenschaft dieser Figur verstanden, einen Teil der Ebene einzunehmen, durch Zahlen ausgedrückt. Ziemlich schwer zu verstehen, da werden Sie mir zustimmen. Versuchen wir nicht, tief in die Definition einzutauchen; das ist nicht unser Ziel. Kommen wir zur Hauptsache – wie findet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? Wir werden die Berechnungen selbst nicht durchführen, sondern nur die Formeln angeben. Definieren wir dazu die Notation: A, B, C – Seiten des Dreiecks, Beine – AB, BC. Winkel ACB ist gerade. S ist die Fläche des Dreiecks, h n n ist die Höhe des Dreiecks, wobei nn die Seite ist, auf der es abgesenkt wird.

Methode 1. So ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Größe seiner Beine bekannt ist

Methode 2. Finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks

Methode 3. Flächenberechnung anhand eines Rechtecks

Wir ergänzen das rechtwinklige Dreieck zu einem Quadrat (wenn das Dreieck

gleichschenklig) oder Rechteck. Wir erhalten ein einfaches Viereck, das aus zwei identischen rechtwinkligen Dreiecken besteht. In diesem Fall entspricht die Fläche eines von ihnen der Hälfte der Fläche der resultierenden Figur. S eines Rechtecks ​​wird durch das Produkt der Seiten berechnet. Bezeichnen wir diesen Wert mit M. Der gewünschte Flächenwert beträgt die Hälfte von M.

Methode 4. " Pythagoräische Hose" Der berühmte Satz des Pythagoras

Wir alle erinnern uns an die Formulierung: „die Summe der Quadrate der Beine ...“. Aber nicht jeder kann es

Sag mal, was haben einige „Hosen“ damit zu tun? Tatsache ist, dass Pythagoras zunächst die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks untersuchte. Nachdem er Muster im Seitenverhältnis von Quadraten identifiziert hatte, konnte er eine Formel ableiten, die uns allen bekannt ist. Es kann in Fällen verwendet werden, in denen die Größe einer der Seiten unbekannt ist.

Methode 5. So ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe der Heron-Formel

Dies ist auch eine recht einfache Berechnungsmethode. Die Formel besteht darin, die Fläche eines Dreiecks durch auszudrücken numerische Werte seine Seiten. Für Berechnungen müssen Sie die Größen aller Seiten des Dreiecks kennen.

S = (p-AC)*(p-BC), wobei p = (AB+BC+AC)*0,5

Zusätzlich zu den oben genannten gibt es viele andere Möglichkeiten, den Wert eines solchen zu ermitteln geheimnisvolle Figur wie ein Dreieck. Darunter: Berechnung mit der Methode des eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises, Berechnung mit Scheitelpunktkoordinaten, Verwendung von Vektoren, Absolutwert, Sinus, Tangenten.

In der Elementargeometrie ist ein rechtwinkliges Dreieck eine Figur bestehend aus drei Segmente an Punkten verbunden, mit Winkeln, von denen zwei spitz und einer gerade sind (d. h. gleich 90°). Rechtwinkliges Dreieck zeichnet sich durch eine Reihe wichtiger Eigenschaften aus, von denen viele die Grundlage der Trigonometrie bilden (z. B. die Beziehung zwischen ihren Seiten und Winkeln). Seit der Schule wissen wir alle, wie man rechnet Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, und in Alltagsleben Lass uns das treffen geometrische Figur ziemlich oft, manchmal ohne es überhaupt zu merken. Genug Breite Anwendung Es liegt in der Technik und daher müssen Ingenieure, Designer und Architekten oft ein solches Problem lösen.

Diesen Wert müssen Architekten ermitteln, wenn sie Gebäude mit Giebeln entwerfen, die den Abschluss der Fassaden darstellen und haben dreieckige Form begrenzt durch ein Gesims und an den Seiten durch Dachschrägen. Oft ist der Winkel zwischen den Böschungen gerade, und in solchen Fällen hat der Giebel die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Bestimmung seiner Fläche ist aus dem einfachen Grund erforderlich, weil die Menge genau bekannt sein muss Baumaterial für seine Anordnung notwendig. Es ist zu beachten, dass Giebel obligatorische Elemente von Flachbauten (Landhäuser, Hütten, Datschen) sind.

Ermitteln der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

A- Bein

B- Bein

S- Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Bilden rechtwinkliges Dreieck verfügen über viele Details, aus denen moderne Möbel bestehen. Wie Sie wissen, müssen alle Einrichtungselemente optimal darin platziert werden, um den Raum möglichst effizient zu nutzen. Mit dreieckigen Tischen, deren Tischplatten in den meisten Fällen rechtwinklige Dreiecke sind und deren Beine an die Wände grenzen, können Sie Bereiche wie Ecken gut nutzen. Beim Entwerfen und Berechnen dieser Elemente verwenden Möbeldesigner die Formel, nach der Ermitteln der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks wird basierend auf der Länge seiner Seiten durchgeführt. Darüber hinaus müssen sie häufig Designs für direkt an der Wand befestigte Tische entwickeln, darunter auch tragende Elemente, die auch darstellen rechtwinklige Dreiecke.

Bauherren, die Verkleidungsarbeiten durchführen, müssen im Rahmen ihrer beruflichen Tätigkeit häufig Keramikfliesen in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen gleicher oder unterschiedlicher Länge verwenden. Sie müssen auch die Fläche dieser Elemente bestimmen, um die erforderliche Anzahl herauszufinden.

Bilden rechtwinkliges Dreieck Es verfügt auch über ein so wichtiges und notwendiges Messwerkzeug wie ein Quadrat. Es wird zum Konstruieren und Kontrollieren von rechten Winkeln verwendet und wird sehr häufig und von vielen verwendet: von einfachen Schulkindern im Geometrieunterricht bis hin zu Designern hochmoderner Technologie.