Was ist der Logarithmus gleich 16? Was ist ein Logarithmus? Logarithmen lösen. Beispiele. Eigenschaften von Logarithmen. Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Der Basislogarithmus von x ist die Potenz, mit der a erhöht werden muss, um x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x = b, wobei a die Basis ist, x das Argument ist und b eigentlich was ist gleich Logarithmus.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Bei gleichem Erfolg log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird Logarithmisierung genannt. Fügen wir also eine neue Zeile zu unserer Tabelle hinzu:

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, Protokoll 2 5 zu finden. Die Zahl 5 steht nicht in der Tabelle, aber die Logik besagt, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем mehr Grad Zweier, desto größer die Zahl.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Zunächst verwechseln viele Menschen die Grundlage und das Argument. Vermeiden ärgerliche Missverständnisse, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zur Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und der Grund müssen immer sein Über Null. Dies ergibt sich aus der Definition des Abschlusses rationaler Indikator, worauf die Definition eines Logarithmus hinausläuft.
2. Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Region akzeptable Werte (ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Jetzt denken wir jedoch nur darüber nach numerische Ausdrücke, wobei es nicht erforderlich ist, den CVD des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Problemautoren bereits berücksichtigt. Aber wenn sie gehen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten werden DHS-Anforderungen verbindlich. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Lassen Sie uns nun überlegen allgemeines Schema Logarithmen berechnen. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren minimal mögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis sein muss mehr als eine, ist sehr relevant: Es verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das Gleiche gilt für Dezimalbrüche: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
3. Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung dazu letztes Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – teilen Sie es einfach auf Primfaktoren. Wenn die Erweiterung mindestens zwei unterschiedliche Faktoren aufweist, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten wir auch, dass wir selbst Primzahlen sind immer exakte Grade ihrer selbst.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

Der dezimale Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis 10, d. h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Das dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Es geht umüber den natürlichen Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis e, d. h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e? Das irrationale Zahl, sein genauer Wert unmöglich zu finden und aufzuzeichnen. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen der natürliche Logarithmus von jedem Rationale Zahl irrational. Außer natürlich einer: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen Es gelten alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen gelten.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispiel: \(\log_(2)(8)\) gleich der Leistung, auf den \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument eines Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Logarithmuszeichen geschrieben. Und dieser Eintrag lautet wie folgt: „Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Auf welche Potenz muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Welche Macht macht eine Nummer eins? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Erstens ist jede Zahl in der ersten Potenz gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von dort wissen wir, was es ist Teilleistung, und das bedeutet Quadratwurzel ist die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

Antwort : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichung funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Womit ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Klügsten werden sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau schreibt man diese Nummer? Um diese Frage zu beantworten, wurde der Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\), wie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es in das Formular schreiben wollten Dezimal, dann würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

Antwort : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition eines Logarithmus angegeben, kann seine Basis eine beliebige sein positive Zahl, mit Ausnahme der Einheit \((a>0, a\neq1)\). Und unter allen mögliche Gründe Es gibt zwei davon, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Eulersche Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimallogarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Einer davon heißt „Basic“. logarithmische Identität" und sieht so aus:

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel zustande kam.

Lass uns erinnern kurze Anmerkung Definitionen von Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir in der Formel \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Weitere Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antwort : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie \(\log_(2)(4)\) anstelle von zwei schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), was bedeutet, dass wir auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben können. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir also zwei als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sei es in einer Gleichung, in einem Ausdruck oder in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach das Quadrat der Basis als Argument.

Das Gleiche gilt für das Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antwort : \(1\)

Was ist ein Logarithmus?

Aufmerksamkeit!
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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

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