Natürlicher Logarithmus von eins. Was ist ein Logarithmus? Logarithmen lösen. Beispiele. Eigenschaften von Logarithmen. Bruchteilskraft, Wurzel

Was ist ein Logarithmus?

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Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

1. Verstehen Was ist ein Logarithmus?.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse zu lösen Exponentialgleichungen. Auch wenn Sie noch nichts davon gehört haben.

3. Lernen Sie, einfache Logarithmen zu berechnen.

Darüber hinaus müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie man eine Zahl potenziert ...

Ich habe das Gefühl, dass Sie Zweifel haben ... Na gut, nehmen Sie sich die Zeit! Gehen!

Lösen Sie zunächst diese Gleichung im Kopf:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Natürlicher Logarithmus

Diagramm der natürlichen Logarithmusfunktion. Die Funktion nähert sich mit zunehmender Größe langsam der positiven Unendlichkeit X und nähert sich schnell der negativen Unendlichkeit, wenn X tendiert gegen 0 („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu jeder Potenzfunktion von X).

Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis , Wo e- eine irrationale Konstante, die ungefähr 2,718281 828 entspricht. Der natürliche Logarithmus wird normalerweise als ln( geschrieben X), Protokoll e (X) oder manchmal einfach log( X), wenn die Basis e impliziert.

Natürlicher Logarithmus einer Zahl X(geschrieben als ln(x)) ist der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss e, um zu bekommen X. Zum Beispiel, ln(7.389...) ist gleich 2, weil e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e (ln(e)) ist gleich 1, weil e 1 = e, und der natürliche Logarithmus ist 1 ( ln(1)) ist gleich 0, weil e 0 = 1.

Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl definiert werden A als Fläche unter der Kurve j = 1/X von 1 bis A. Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die den natürlichen Logarithmus verwenden, führte zu der Bezeichnung „natürlich“. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen erweitert werden, wie unten erläutert.

Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist er die Umkehrfunktion von Exponentialfunktion, was zu den Identitäten führt:

Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:

Somit ist die logarithmische Funktion ein Isomorphismus der positiven Gruppe reale Nummern zur Multiplikation mit einer Gruppe reeller Zahlen durch Addition, die als Funktion dargestellt werden kann:

Der Logarithmus kann für jede positive Basis außer 1 definiert werden, nicht nur e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich nur vom natürlichen Logarithmus konstanter Multiplikator und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert. Logarithmen eignen sich zum Lösen von Gleichungen, die Unbekannte als Exponenten enthalten. Zum Finden werden beispielsweise Logarithmen verwendet Zerfallskonstante Für bekannter Zeitraum Halbwertszeit oder um die Abklingzeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu ermitteln. Sie spielen gerade wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und angewandte Wissenschaften werden im Finanzwesen zur Lösung vieler Probleme eingesetzt, unter anderem zur Ermittlung von Zinseszinsen.

Geschichte

Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus erfolgte durch Nicholas Mercator in seinem Werk Logarithmotechnik, veröffentlicht im Jahr 1668, obwohl der Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen erstellte. Früher wurde er hyperbolischer Logarithmus genannt, weil er der Fläche unter der Hyperbel entspricht. Er wird manchmal als Napier-Logarithmus bezeichnet, obwohl die ursprüngliche Bedeutung dieses Begriffs etwas anders war.

Bezeichnungskonventionen

Der natürliche Logarithmus wird normalerweise mit „ln( X)“, Logarithmus zur Basis 10 – über „lg( X)“ und andere Gründe werden in der Regel explizit mit dem Symbol „log“ gekennzeichnet.

In vielen Werken zur diskreten Mathematik, Kybernetik und Informatik verwenden Autoren die Notation „log( X)“ für Logarithmen zur Basis 2, aber diese Konvention wird nicht allgemein akzeptiert und bedarf einer Klarstellung entweder in der Liste der verwendeten Notationen oder (in Ermangelung einer solchen Liste) durch eine Fußnote oder einen Kommentar bei der ersten Verwendung.

Klammern um das Argument von Logarithmen werden normalerweise weggelassen (sofern dies nicht zu einer falschen Lesart der Formel führt) und bei der Potenzierung eines Logarithmus wird der Exponent direkt dem Vorzeichen des Logarithmus zugewiesen: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloamerikanisches System

Mathematiker, Statistiker und einige Ingenieure verwenden normalerweise den natürlichen Logarithmus oder „log( X)“ oder „ln( X)“, und um den Logarithmus zur Basis 10 zu bezeichnen – „log 10 ( X)».

Manche Ingenieure, Biologen und andere Spezialisten schreiben immer „ln( X)“ (oder gelegentlich „log e ( X)“), wenn sie den natürlichen Logarithmus meinen, und die Notation „log( X)" sie meinen log 10 ( X).

Protokoll e ist ein „natürlicher“ Logarithmus, da er automatisch auftritt und in der Mathematik sehr häufig vorkommt. Betrachten Sie zum Beispiel das Ableitungsproblem logarithmische Funktion:

Wenn die Basis B gleicht e, dann ist die Ableitung einfach 1/ X, und wann X= 1 ist diese Ableitung gleich 1. Ein weiterer Grund, warum die Basis e Das Natürlichste am Logarithmus ist, dass er ganz einfach in Begriffen definiert werden kann einfaches Integral oder Taylor-Reihe, was man von anderen Logarithmen nicht sagen kann.

Weitere Begründungen für Natürlichkeit beziehen sich nicht auf die Notation. So gibt es zum Beispiel mehrere einfache Reihen mit natürlichen Logarithmen. Pietro Mengoli und Nicholas Mercator nannten sie Logarithmus naturalis mehrere Jahrzehnte, bis Newton und Leibniz die Differential- und Integralrechnung entwickelten.

Definition

Formal ln( A) kann als Fläche unter der Kurve des Diagramms 1/ definiert werden X von 1 bis A, also als Integral:

Dies ist tatsächlich ein Logarithmus, da er erfüllt Grundeigentum Logarithmus:

Dies kann durch folgende Annahme nachgewiesen werden:

Numerischer Wert

Zur Berechnung numerischer Wert Um den natürlichen Logarithmus einer Zahl zu berechnen, können Sie die Taylor-Reihenentwicklung in der Form verwenden:

Um eine bessere Konvergenzrate zu erhalten, können Sie die folgende Identität verwenden:

unter der Vorraussetzung, dass j = (X−1)/(X+1) und X > 0.

Für ln( X), Wo X> 1 als näherer Wert X also auf 1 schnellere Geschwindigkeit Konvergenz. Die mit dem Logarithmus verbundenen Identitäten können verwendet werden, um das Ziel zu erreichen:

Diese Methoden wurden bereits vor dem Aufkommen von Taschenrechnern verwendet, für die numerische Tabellen verwendet und ähnliche Manipulationen wie oben beschrieben vorgenommen wurden.

Hohe Genauigkeit

Den natürlichen Logarithmus berechnen mit Große anzahl Genauigkeitszahlen ist die Taylor-Reihe nicht effizient, da ihre Konvergenz langsam ist. Eine Alternative besteht darin, die Newton-Methode zur Invertierung in eine Exponentialfunktion zu verwenden, deren Reihe schneller konvergiert.

Eine Alternative für eine sehr hohe Berechnungsgenauigkeit ist die Formel:

Wo M bezeichnet den arithmetisch-geometrischen Mittelwert von 1 und 4/s, und

M so gewählt, dass P Genauigkeit erreicht wird. (In den meisten Fällen ist ein Wert von 8 für m ausreichend.) Wenn diese Methode verwendet wird, kann tatsächlich die Newtonsche Umkehrung des natürlichen Logarithmus angewendet werden effizientes Rechnen Exponentialfunktion. (Die Konstanten ln 2 und pi können mithilfe einer der bekannten schnell konvergenten Reihen mit der gewünschten Genauigkeit vorberechnet werden.)

Rechenkomplexität

Die Rechenkomplexität natürlicher Logarithmen (unter Verwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels) beträgt O( M(N)ln N). Hier N ist die Anzahl der Genauigkeitsstellen, für die der natürliche Logarithmus ausgewertet werden muss, und M(N) ist die rechnerische Komplexität der Multiplikation von zwei N-stellige Zahlen.

Fortsetzungsbrüche

Obwohl es keine einfachen Kettenbrüche zur Darstellung eines Logarithmus gibt, können mehrere verallgemeinerte Kettenbrüche verwendet werden, darunter:

Komplexe Logarithmen

Die Exponentialfunktion kann zu einer Funktion erweitert werden, die eine komplexe Zahl der Form angibt e X für jeden beliebigen komplexe Zahl X, in diesem Fall eine unendliche Reihe mit komplexem X. Das Exponentialfunktion kann invertiert werden, um einen komplexen Logarithmus zu bilden, der hat hauptsächlich Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen. Es gibt jedoch zwei Schwierigkeiten: Es gibt keine X, wofür e X= 0, und es stellt sich heraus, dass e 2πi = 1 = e 0 . Da die Multiplikativitätseigenschaft dann für eine komplexe Exponentialfunktion gilt e z = e z+2nπi für alle Komplexen z und ganz N.

Der Logarithmus kann nicht über die gesamte komplexe Ebene definiert werden und ist dennoch mehrwertig – jeder komplexe Logarithmus kann durch Addition eines beliebigen ganzzahligen Vielfachen von 2 durch einen „äquivalenten“ Logarithmus ersetzt werden πi. Der komplexe Logarithmus kann auf einem Slice nur einwertig sein komplexe Ebene. Zum Beispiel, ln ich = 1/2 πi oder 5/2 πi oder −3/2 πi usw. und obwohl ich 4 = 1,4 log ich kann als 2 definiert werden πi oder 10 πi oder −6 πi, usw.

siehe auch

• John Napier – Erfinder der Logarithmen

Anmerkungen

1. Mathematik für physikalische Chemie. - 3. – Academic Press, 2005. – S. 9. – ISBN 0-125-08347-5,Auszug aus Seite 9
2. J J O"Connor und E F Robertson Die Zahl e. Das MacTutor History of Mathematics-Archiv (September 2001). Archiviert
3. Cajori Florian Eine Geschichte der Mathematik, 5. Auflage. – AMS Bookstore, 1991. – S. 152. – ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Schätzen von Integralen mithilfe von Polynomen. Archiviert vom Original am 12. Februar 2012.

Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl undefiniert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus sein positive Zahl, ungleich 1. Wenn wir beispielsweise -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich 2 ist.

Grundlegende logarithmische Identität

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Es ist wichtig, dass der Definitionsbereich der rechten und linken Seite dieser Formel unterschiedlich ist. Die linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Richtiger Teil ist für jedes b definiert, hängt aber überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen „Identität“ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung der OD führen.

Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Tatsächlich erhalten wir die gleiche Zahl, wenn wir die Zahl a in die erste Potenz erhöhen, und wenn wir sie in die erste Potenz erhöhen Null Grad- eins.

Logarithmus des Produkts und Logarithmus des Quotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ich möchte Schulkinder davor warnen, diese Formeln unbedacht beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen zu verwenden. Wenn man sie „von links nach rechts“ verwendet, verengt sich die ODZ, und wenn man von der Summe oder Differenz der Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten übergeht, erweitert sich die ODZ.

Tatsächlich wird der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f(x) und g(x) beide kleiner als Null sind.

Verwandeln dieser Ausdruck In die Summe log a f (x) + log a g (x) müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Verengung des Gebietes akzeptable Werte, und dies ist grundsätzlich inakzeptabel, da es zum Verlust von Lösungen führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).

Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Und noch einmal möchte ich zur Genauigkeit aufrufen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Indem wir den Grad aus dem Logarithmus herausnehmen, grenzen wir die ODZ erneut ein. Das umgekehrte Vorgehen führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. Alle diese Bemerkungen gelten nicht nur für Potenz 2, sondern auch für jede gerade Potenz.

Formel für den Umzug in eine neue Stiftung

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Das seltener Fall, wenn sich die ODZ während der Transformation nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis völlig sicher.

Wenn wir die Zahl b als neue Basis c wählen, erhalten wir eine wichtige besonderer Fall Formeln (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1. Berechnen Sie: log2 + log50.
Lösung. log2 + log50 = log100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des dezimalen Logarithmus verwendet.

Beispiel 2. Berechnen Sie: lg125/lg5.
Lösung. log125/log5 = log 5 125 = 3. Wir haben die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis (8) verwendet.

Formeltabelle für Logarithmen

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Der Basislogarithmus von x ist die Potenz, mit der a erhöht werden muss, um x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b das ist, was der Logarithmus tatsächlich ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Bei gleichem Erfolg log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation zum Ermitteln des Logarithmus einer Zahl durch diese Grundlage wird Logarithmus genannt. Fügen wir also eine neue Zeile zu unserer Tabelle hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, Protokoll 2 5 zu finden. Die Zahl 5 steht nicht in der Tabelle, aber die Logik besagt, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем mehr Grad Zweier, desto größer die Zahl.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Zunächst verwechseln viele Menschen die Grundlage und das Argument. Vermeiden ärgerliche Missverständnisse, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zur Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und der Grund müssen immer sein Über Null. Dies ergibt sich aus der Definition des Abschlusses rationaler Indikator, worauf die Definition eines Logarithmus hinausläuft.
2. Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Bereich akzeptabler Werte(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Jetzt denken wir jedoch nur darüber nach numerische Ausdrücke, wobei es nicht erforderlich ist, den CVD des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Problemautoren bereits berücksichtigt. Aber wenn sie gehen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten werden DHS-Anforderungen verbindlich. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Lassen Sie uns nun überlegen allgemeines Schema Logarithmen berechnen. Es besteht aus drei Schritten:

1. Stellen Sie die Basis a und das Argument x als Potenz mit dem Minimum dar möglicher Grund, größer als eins. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis sein muss mehr als eine, ist sehr relevant: Es verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das gleiche mit Dezimalzahlen: Wenn Sie sie sofort in normale umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
3. Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung dazu letztes Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – teilen Sie es einfach auf Primfaktoren. Wenn die Erweiterung mindestens zwei unterschiedliche Faktoren aufweist, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten wir auch, dass wir selbst Primzahlen sind immer exakte Grade ihrer selbst.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

Der dezimale Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis 10, d. h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Das dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Es geht umüber den natürlichen Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis e, d. h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e? Das irrationale Zahl, sein genauer Wert unmöglich zu finden und aufzuzeichnen. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen der natürliche Logarithmus von jedem Rationale Zahl irrational. Außer natürlich einer: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Nimm oft eine Nummer e = 2,718281828 . Auf dieser Basis basierende Logarithmen werden aufgerufen natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen wird üblicherweise mit dem Vorzeichen gearbeitet lN, und nicht Protokoll; während die Zahl 2,718281828 , die die Basis definieren, sind nicht angegeben.

Mit anderen Worten, die Formulierung sieht so aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e, um zu bekommen X.

Also, ln(7.389...)= 2, da e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e und der natürliche Logarithmus der Einheit gleich Null, als e 0 = 1.

Die Nummer selbst e definiert den Grenzwert einer monotonen begrenzten Folge

habe das berechnet e = 2,7182818284... .

Sehr oft, um eine Zahl oder Zahl im Gedächtnis zu fixieren erforderliche Anzahl mit einem herausragenden Datum verbunden. Geschwindigkeit beim Auswendiglernen der ersten neun Ziffern einer Zahl e Nachkomma wird erhöht, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!

Heute gibt es genug Volle Tische natürliche Logarithmen.

Natürliches Logarithmusdiagramm(Funktionen y =ln x) ist eine Folge des Exponentialgraphen Spiegelbild relativ gerade y = x und hat die Form:

Für jedes Positive lässt sich der natürliche Logarithmus finden reelle Zahl A als Fläche unter der Kurve j = 1/X aus 1 Vor A.

Der elementare Charakter dieser Formulierung, der mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Namensbildung „natürlich“.

Wenn Sie analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann wirkt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:

e ln(a) =a (a>0)

ln(ea) =a

Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion um:

ln(xy) = ln(X) + ln(j)

ln(x/y)= lnx - lny

Der Logarithmus kann für jede positive Basis ungleich eins gefunden werden, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert.

Nach der Analyse natürlicher Logarithmus-Graph, wir finden, dass es existiert positive Werte Variable X. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei X → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen X Der Logarithmus steigt recht langsam an. Jede Leistungsfunktion xa mit positivem Exponenten A steigt schneller als der Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton wachsende Funktion und weist daher keine Extrema auf.

Verwendung natürliche Logarithmen sehr rational beim Passieren höhere Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen Unbekannte als Exponenten auftreten. Anwendung in Berechnungen natürlicher Logarithmus ermöglicht eine große Erleichterung große Menge mathematische Formeln. Logarithmen zur Basis e sind beim Lösen einer signifikanten Zahl vorhanden Physische Probleme und natürlich eintreten mathematische Beschreibung einzelne chemische, biologische und andere Prozesse. Daher werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu berechnen oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu berechnen. Sie treten auf Hauptrolle in vielen Bereichen der Mathematik und praktische Wissenschaften Sie werden im Finanzbereich zur Lösung herangezogen große Zahl Aufgaben, einschließlich der Berechnung des Zinseszinses.