اعداد صحیح نمونه هایی از چه اعدادی هستند. اعداد صحیح: نمایش کلی. اعداد صحیح روی یک خط مختصات

با بهترین ها بازی آزادخیلی سریع یاد می گیرد خودتان آن را بررسی کنید!

آموزش جداول ضرب - بازی

بازی الکترونیکی آموزشی ما را امتحان کنید. با استفاده از آن، فردا می توانید تصمیم بگیرید مشکلات ریاضیدر کلاس در تخته سیاه بدون پاسخ، بدون توسل به تبلت برای ضرب اعداد. شما فقط باید بازی را شروع کنید و در عرض 40 دقیقه یک نتیجه عالی خواهید داشت. و برای تثبیت نتیجه، چندین بار تمرین کنید و استراحت ها را فراموش نکنید. در حالت ایده آل، هر روز (صفحه را ذخیره کنید تا از دست ندهید). فرم بازیدستگاه ورزشی مناسب برای پسران و دختران است.

نتیجه: 0 نکته ها

· =

برگه های تقلب را در زیر ببینید فرم کامل.

ضرب مستقیم در سایت (آنلاین)

*
جدول ضرب (اعداد از 1 تا 20)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

نحوه ضرب اعداد در یک ستون (فیلم ریاضی)

برای تمرین و یادگیری سریع، می توانید ضرب اعداد را در ستون نیز امتحان کنید.

بر این درسما به نحوه انجام ضرب و تقسیم بر روی اعداد به شکل 10، 100، 0.1، 0.001 خواهیم پرداخت. نیز تصمیم گیری خواهد شد نمونه های مختلفبر این موضوع.

ورزش.چگونه عدد 25.78 را در 10 ضرب کنیم؟

نماد اعشاری شماره داده شدهمخفف مقدار است. لازم به توضیح بیشتر است:

بنابراین، شما باید مقدار را ضرب کنید. برای انجام این کار، می توانید به سادگی هر عبارت را ضرب کنید:

معلوم می شود که ...

می توانیم نتیجه بگیریم که ضرب کسری اعشاری در 10 بسیار ساده است: شما باید نقطه اعشار را به یک موقعیت درست منتقل کنید.

ورزش. 25.486 را در 100 ضرب کنید.

ضرب در 100 برابر است با ضرب در 10 دو بار به عبارت دیگر، شما باید نقطه اعشار را دو بار به سمت راست ببرید.

ورزش. 25.78 را بر 10 تقسیم کنید.

مانند مورد قبلی، باید عدد 25.78 را به صورت مجموع ارائه کنید:

از آنجایی که باید مجموع را تقسیم کنید، این معادل تقسیم هر جمله است:

به نظر می رسد که برای تقسیم بر 10، باید نقطه اعشار را به یک موقعیت چپ منتقل کنید. مثلا:

ورزش. 124.478 را بر 100 تقسیم کنید.

تقسیم بر 100 مانند دو بار تقسیم بر 10 است، بنابراین نقطه اعشار 2 مکان به چپ حرکت می کند:

اگر یک کسر اعشاری باید در 10، 100، 1000 و غیره ضرب شود، باید نقطه اعشار را با تعداد صفر در ضریب به سمت راست حرکت دهید.

برعکس، اگر یک کسر اعشاری باید بر 10، 100، 1000 و غیره تقسیم شود، باید نقطه اعشار را به تعداد موقعیت هایی که صفر در ضریب وجود دارد، به سمت چپ منتقل کنید.

مثال 1

ضرب در 100 به معنای حرکت دادن رقم اعشار دو مکان به سمت راست است.

پس از تغییر، می توانید متوجه شوید که دیگر رقمی بعد از نقطه اعشار وجود ندارد، که به این معنی است کسرغایب. پس نیازی به کاما نیست، عدد یک عدد صحیح است.

مثال 2

شما باید 4 موقعیت را به سمت راست حرکت دهید. اما تنها دو رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد. شایان ذکر است که یک نماد معادل برای کسری 56.14 وجود دارد.

اکنون ضرب در 10000 آسان است:

اگر خیلی واضح نیست که چرا می‌توانید دو صفر به کسری در مثال قبلی اضافه کنید، ویدیوی اضافی در پیوند می‌تواند در این مورد کمک کند.

نمادهای اعشاری معادل

ورودی 52 به معنای موارد زیر است:

اگر 0 را در جلو قرار دهیم، ورودی 052 به دست می آید. این ورودی ها معادل هستند.

آیا امکان قرار دادن دو صفر در مقابل وجود دارد؟ بله، این ورودی ها معادل هستند.

حالا بیایید به کسر اعشاری نگاه کنیم:

اگر صفر را اختصاص دهید، دریافت خواهید کرد:

این ورودی ها معادل هستند. به طور مشابه، می توانید چندین صفر را اختصاص دهید.

بنابراین، به هر عددی می توانید چندین صفر بعد از قسمت کسری و چندین صفر قبل از آن اختصاص دهید کل بخش. اینها خواهند بود ورودی های معادلهمان تعداد

مثال 3

از آنجایی که تقسیم بر 100 اتفاق می افتد، لازم است نقطه اعشار را 2 موقعیت به سمت چپ منتقل کنید. هیچ عددی در سمت چپ نقطه اعشار باقی نمانده است. یک قسمت کامل گم شده است. این نماد اغلب توسط برنامه نویسان استفاده می شود. در ریاضیات، اگر جزء کامل نباشد، به جای آن یک صفر می گذارند.

مثال 4

شما باید آن را با سه موقعیت به سمت چپ حرکت دهید، اما تنها دو موقعیت وجود دارد. اگر جلوی یک عدد چند صفر بنویسید، نمادی معادل خواهد بود.

یعنی هنگام جابجایی به چپ، اگر اعداد تمام شوند، باید آنها را با صفر پر کنید.

مثال 5

که در در این موردشایان ذکر است که یک کاما همیشه بعد از کل قسمت می آید. سپس:

ضرب و تقسیم بر اعداد 10، 100، 1000 یک روش بسیار ساده است. وضعیت دقیقاً با اعداد 0.1، 0.01، 0.001 مشابه است.

مثال. 25.34 را در 0.1 ضرب کنید.

بیایید کسر اعشاری 0.1 را به عنوان یک کسر معمولی بنویسیم. اما ضرب در برابر با تقسیم بر 10 است. بنابراین، باید نقطه اعشار 1 را به سمت چپ منتقل کنید:

به همین ترتیب، ضرب در 0.01 بر 100 تقسیم می شود:

مثال. 5.235 تقسیم بر 0.1.

راه حل این مثالبه روشی مشابه ساخته شده است: 0.1 به صورت بیان می شود کسر مشترک، و تقسیم بر برابر است با ضرب در 10:

یعنی برای تقسیم بر 0.1 باید نقطه اعشار را به سمت راست حرکت دهید که معادل ضرب در 10 است.

ضرب در 10 و تقسیم بر 0.1 یکسان است. کاما باید با 1 موقعیت به سمت راست منتقل شود.

تقسیم بر 10 و ضرب در 0.1 یکسان است. کاما باید با 1 موقعیت به سمت راست منتقل شود:

به اعداد صحیحشامل اعداد طبیعی، صفر و اعداد مخالف اعداد طبیعی است.

اعداد صحیحاعداد صحیح مثبت هستند

به عنوان مثال: 1، 3، 7، 19، 23، و غیره. ما از چنین اعدادی برای شمارش استفاده می کنیم (5 سیب روی میز وجود دارد، یک ماشین 4 چرخ دارد و غیره)

حرف لاتین \mathbb(N) - نشان داده شده است مجموعه ای از اعداد طبیعی.

اعداد طبیعی نمی توانند شامل اعداد منفی (یک صندلی نمی تواند تعداد پاهای منفی داشته باشد) و اعداد کسری (ایوان نمی تواند 3.5 دوچرخه بفروشد) باشد.

متضاد اعداد طبیعی اعداد صحیح منفی هستند: -8، -148، -981، ....

عملیات حسابی با اعداد صحیح

با اعداد صحیح چه کاری می توانید انجام دهید؟ آنها را می توان ضرب، اضافه و از یکدیگر کم کرد. بیایید با استفاده از یک مثال خاص به هر عملیات نگاه کنیم.

جمع اعداد صحیح

دو عدد صحیح با نشانه های یکسانبه صورت زیر جمع می‌شوند: ماژول‌های این اعداد جمع می‌شوند و مجموع حاصل با علامت نهایی جلو می‌آید:

(+11) + (+9) = +20

تفریق اعداد صحیح

دو عدد صحیح با نشانه های مختلفبه صورت زیر جمع می شوند: از ماژول بیشترمدول مدول کوچکتر کم می شود و علامت عدد مدول بزرگتر در مقابل جواب حاصل قرار می گیرد:

(-7) + (+8) = +1

ضرب اعداد صحیح

برای ضرب کردن یک عدد صحیح در دیگری، باید مدول های این اعداد را ضرب کنید و جلوی پاسخ به دست آمده علامت "+" بگذارید اگر اعداد اصلیاگر اعداد اصلی با علائم متفاوت بودند، علامت "-" بودند:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

موارد زیر را باید به خاطر بسپارید قانون ضرب اعداد صحیح:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

یک قانون برای ضرب اعداد صحیح وجود دارد. به یاد بیاوریم:

علامت محصول "+" خواهد بود اگر تعداد عوامل با علامت منفیزوج و "-" اگر تعداد عوامل دارای علامت منفی فرد باشد.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

تقسیم عدد صحیح

تقسیم دو عدد صحیح به صورت زیر انجام می شود: مدول یک عدد بر مدول دیگری تقسیم می شود و اگر علائم اعداد یکسان باشد، علامت "+" در مقابل ضریب حاصل قرار می گیرد. ، و اگر علائم اعداد اصلی متفاوت باشد، علامت "-" قرار می گیرد.

(-25) : (+5) = -5

خواص جمع و ضرب اعداد صحیح

بیایید به ویژگی های اساسی جمع و ضرب برای هر اعداد صحیح a، b و c نگاه کنیم:

1. a + b = b + a - ویژگی جابجایی جمع.
2. (a + b) + c = a + (b + c) - خاصیت ترکیبی جمع.
3. a \cdot b = b \cdot a - خاصیت جابجایی ضرب.
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - ویژگی های انجمنیضرب؛
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- خاصیت توزیعی ضرب.

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا امروز ادامه دارد تا به یک نظر مشترک در مورد اصل پارادوکس ها برسیم جامعه علمیتاکنون امکان پذیر نبوده است... ما درگیر بررسی موضوع بودیم تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، فیزیکی جدید و رویکردهای فلسفی; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجایی که من می فهمم، دستگاه ریاضیاستفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است یا در آپوریای Zeno اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. با نقطه فیزیکیاز نظر به نظر می رسد که زمان تا رسیدن به آن کند می شود توقف کاملدر لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم "بی نهایت" را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم "آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد."

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای ثابت زمان بمانید و به آن نپرید متقابل. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. برای فاصله زمانی بعدی، برابر با اولآشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. گفته انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا پارادوکس منطقیخیلی ساده می توان بر آن غلبه کرد - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا ماشین نیاز به دو عکس دارید نقاط مختلففضا در یک نقطه از زمان است، اما تعیین واقعیت حرکت از آنها غیرممکن است (به طور طبیعی، داده های اضافی هنوز برای محاسبات مورد نیاز است، مثلثات به شما کمک می کند). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه نمی تواند وجود داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. چنین منطق پوچی موجودات ذی شعورهرگز نمی فهمد این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "مرا ببند، من در خانه هستم" یا بهتر بگوییم "مطالعات ریاضیات" پنهان می شوند. مفاهیم انتزاعی"، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیر با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. اعمال کنید. نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او حساب می کنیم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر پشته یک اسکناس می گیریم و به ریاضیدان می دهیم. مجموعه ریاضیحقوق." ما به ریاضیات توضیح می دهیم که او فقط زمانی صورتحساب های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. اینجاست که سرگرمی شروع می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان از ما خواهند کرد که در اسکناس کرامت برابرشماره اسکناس های مختلفی وجود دارد، به این معنی که نمی توان آنها را عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: روی سکه های مختلف وجود دارد مقادیر مختلفخاک، ساختار کریستالی و آرایش اتمی هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: خطی که پس از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با نظریه مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع اعداد را پیدا کنیم شماره داده شده. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین تصویر که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفدر حساب دیفرانسیل و انتگرال، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به صورت مشخص شده است زیرنویسسمت راست شماره با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه هیچ ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در تمام سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه عملیات ریاضیبه اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی عمل را انجام می دهد، بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

اوه اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی‌فلیک ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس جای تعجب نیست که ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و به نظر من این دختر احمق نیست، نه مسلط به فیزیک. او فقط کلیشه ای از ادراک دارد تصاویر گرافیکی. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

تمام اعداد -اینها اعداد طبیعی و همچنین متضاد و صفر آنها هستند.

تمام اعداد- بسط مجموعه اعداد طبیعی ن، که با افزودن به به دست می آید ن 0 و اعداد منفی مانند - n. مجموعه اعداد صحیح نشان می دهد ز.

مجموع، تفاوت و حاصل ضرب اعداد صحیح دوباره اعداد صحیح می دهد، یعنی. اعداد صحیح با توجه به عملیات جمع و ضرب یک حلقه تشکیل می دهند.

اعداد صحیح در خط اعداد:

چند عدد صحیح؟ چند عدد صحیح؟ بزرگترین و کوچکترین عدد صحیح وجود ندارد. این سریال بی پایان است. بزرگترین و کوچکترین عدد صحیح وجود ندارد.

اعداد طبیعی نیز نامیده می شوند مثبت اعداد صحیح، یعنی عبارت " عدد طبیعی" و "عدد صحیح مثبت" یک چیز هستند.

نه کسری و نه اعشاری اعداد کامل نیستند. اما کسری با اعداد کامل وجود دارد.

نمونه هایی از اعداد صحیح: -8, 111, 0, 1285642, -20051 و غیره

صحبت كردن به زبان ساده، اعداد صحیح هستند (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - دنباله ای از اعداد صحیح یعنی آنهایی که جزء کسری (()) آنها برابر با صفر است. آنها هیچ سهمی ندارند.

اعداد طبیعی اعداد صحیح هستند اعداد مثبت. تمام اعداد، مثال ها: (1,2,3,4...+ ∞).

عملیات روی اعداد صحیح

1. مجموع اعداد صحیح

برای جمع دو عدد صحیح با علامت های یکسان، باید ماژول های این اعداد را جمع کنید و علامت نهایی را جلوی جمع قرار دهید.

مثال:

(+2) + (+5) = +7.

2. تفریق اعداد صحیح

برای اضافه کردن دو عدد صحیح با علامت های مختلف، باید مدول عدد بزرگتر را از مدول عددی که بزرگتر است کم کنید و پیشوند پاسخ را با علامت عدد مدول بزرگتر قرار دهید.

مثال:

(-2) + (+5) = +3.

3. ضرب اعداد صحیح

برای ضرب دو عدد صحیح باید مدول های این اعداد را ضرب کنید و اگر اعداد اصلی هم علامت بودند یک علامت مثبت (+) در جلوی حاصل ضرب و اگر اعداد اصلی با هم بودند علامت منفی (-) بگذارید.

مثال:

(+2) ∙ (-3) = -6.

وقتی اعداد متعدد ضرب شوند، علامت حاصلضرب اگر تعداد عوامل غیرمثبت زوج باشد، مثبت و اگر تعداد عوامل غیرمثبت فرد باشد، منفی خواهد بود.

مثال:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 عامل غیر مثبت).

4. تقسیم اعداد صحیح

برای تقسیم اعداد صحیح، باید مدول یکی را بر مدول دیگری تقسیم کنید و اگر علائم اعداد یکسان است، علامت + و در صورت متفاوت بودن علامت منفی، جلوی نتیجه قرار دهید.

مثال:

(-12) : (+6) = -2.

خواص اعداد صحیح

Z تحت تقسیم 2 عدد صحیح بسته نمی شود ( به عنوان مثال 1/2). جدول زیر برخی از خصوصیات اساسی جمع و ضرب را برای هر عدد صحیح نشان می دهد الف، بو ج.

ویژگی	علاوه بر این	ضرب
انزوا	آ + ب- کل	آ × ب- کل
انجمنی	آ + (ب + ج) = (آ + ب) + ج	آ × ( ب × ج) = (آ × ب) × ج
جابجایی	آ + ب = ب + آ	آ × ب = ب × آ
وجود داشتن عنصر خنثی	آ + 0 = آ	آ × 1 = آ
وجود داشتن عنصر مخالف	آ + (−آ) = 0	آ ≠ ± 1 ⇒ 1/aعدد صحیح نیست
توزیع نسبی ضرب علاوه بر این	آ × ( ب + ج) = (آ × ب) + (آ × ج)

از جدول می توان نتیجه گرفت که زیک حلقه جابجایی با وحدت تحت جمع و ضرب است.

تقسیم استاندارد در مجموعه اعداد صحیح وجود ندارد، اما به اصطلاح وجود دارد تقسیم با باقی مانده: برای همه اعداد صحیح آو ب, b≠0، یک مجموعه از اعداد صحیح وجود دارد qو r، چی a = bq + rو 0≤r<|b| ، جایی که |ب|- مقدار مطلق (مدول) عدد ب. اینجا آ- قابل تقسیم، ب- تقسیم کننده، q- خصوصی، r- باقی مانده