نحوه پیدا کردن مورب وجه جانبی متوازی الاضلاع مورب یک متوازی الاضلاع. فرمول. چگونه قطر یک متوازی الاضلاع را پیدا کنیم؟ - اطلاعات مفید برای همه. موازی و انواع آن

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا امروز ادامه دارد تا به یک نظر مشترک در مورد اصل پارادوکس ها برسیم جامعه علمیتاکنون امکان پذیر نبوده است... ما درگیر بررسی موضوع بودیم تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، فیزیکی جدید و رویکردهای فلسفی; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجایی که من می فهمم، دستگاه ریاضیاستفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است یا در آپوریای Zeno اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. با نقطه فیزیکیاز نظر به نظر می رسد که زمان تا رسیدن به آن کند می شود توقف کاملدر لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای ثابت زمان بمانید و به آن نپرید متقابل. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. برای فاصله زمانی بعدی، برابر با اولآشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. گفته انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا پارادوکس منطقیخیلی ساده می توان بر آن غلبه کرد - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا ماشین نیاز به دو عکس دارید نقاط مختلففضا در یک نقطه از زمان است، اما تعیین واقعیت حرکت از آنها غیرممکن است (به طور طبیعی، داده های اضافی هنوز برای محاسبات مورد نیاز است، مثلثات به شما کمک می کند). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه نمی تواند وجود داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. چنین منطق پوچی موجودات ذی شعورهرگز نمی فهمد این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "مرا ببند، من در خانه هستم" یا بهتر بگوییم "مطالعات ریاضیات" پنهان می شوند. مفاهیم انتزاعی"، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیر با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. اعمال کنید. نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او حساب می کنیم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر پشته یک اسکناس می گیریم و به ریاضیدان می دهیم. مجموعه ریاضیحقوق." ما به ریاضیات توضیح می دهیم که او فقط زمانی صورتحساب های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. اینجاست که سرگرمی شروع می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان از ما خواهند کرد که در اسکناس کرامت برابرشماره اسکناس های مختلفی وجود دارد، به این معنی که نمی توان آنها را عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: روی سکه های مختلف وجود دارد مقادیر مختلفخاک، ساختار کریستالی و آرایش اتمی هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: خطی که پس از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با نظریه مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع اعداد را پیدا کنیم شماره داده شده. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین تصویر که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفدر حساب دیفرانسیل و انتگرال، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به صورت مشخص شده است زیرنویسسمت راست شماره با تعداد زیادی 12345 نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید به عدد 26 از مقاله درباره . بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه هیچ ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در تمام سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه عملیات ریاضیبه اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی عمل را انجام می دهد، بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

اوه اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی‌فلیک ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس جای تعجب نیست که ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و به نظر من این دختر احمق نیست، نه مسلط به فیزیک. او فقط کلیشه ای از ادراک دارد تصاویر گرافیکی. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

در هندسه، انواع زیر متوازی الاضلاع متمایز می شود: متوازی الاضلاع مستطیلی (وجه های متوازی الاضلاع مستطیل هستند). موازی سمت راست (آن صورت های جانبیبه عنوان مستطیل عمل کنید)؛ متوازی الاضلاع مایل (وجه های جانبی آن به صورت عمود عمل می کنند). مکعب یک متوازی الاضلاع با ابعاد کاملاً یکسان است و وجه های مکعب مربع هستند. موازی پاها می توانند مایل یا مستقیم باشند.

عناصر اصلی یک متوازی الاضلاع این است که دو وجه نشان داده شده است شکل هندسیکه لبه مشترک ندارند در مقابل و آنهایی که دارند مجاورند. رئوس متوازی الاضلاع که به یک صورت تعلق ندارند، مخالف یکدیگر عمل می کنند. یک متوازی الاضلاع یک بعد دارد - این سه لبه هستند که یک راس مشترک دارند.

بخشی که متصل می شود رئوس مخالف، مورب نامیده می شود. چهار مورب یک متوازی الاضلاع که در یک نقطه متقاطع می شوند، به طور همزمان به نصف تقسیم می شوند.

برای تعیین مورب متوازی الاضلاع، باید اضلاع و لبه ها را مشخص کنید که از شرایط مشکل مشخص است. با سه دنده شناخته شده آ , که در , با یک مورب در متوازی الاضلاع رسم کنید. با توجه به خاصیت متوازی الاضلاع که می گوید تمام زوایای آن قائم است، قطر آن مشخص می شود. از یکی از وجوه متوازی الاضلاع یک مورب بسازید. مورب ها باید به گونه ای ترسیم شوند که مورب وجه، مورب مورد نظر متوازی الاضلاع و یال شناخته شده یک مثلث ایجاد کنند. پس از تشکیل مثلث، طول این قطر را پیدا کنید. مورب در مثلث دیگر به عنوان هیپوتنوس عمل می کند، بنابراین می توان آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث، که باید در زیر جذر گرفته شود، پیدا کرد. به این ترتیب مقدار قطر دوم را در می یابیم. برای یافتن مورب اول متوازی الاضلاع در مثلث قائم الزاویه تشکیل شده، همچنین لازم است که فرض مجهول (با استفاده از قضیه فیثاغورث) را پیدا کنیم. با استفاده از همین مثال، به طور متوالی سه قطر باقیمانده موجود در موازی را بیابید، و ساخت و سازهای اضافی از مورب ها را انجام دهید. مثلث های قائم الزاویهو با استفاده از قضیه فیثاغورث حل کنید.

یک متوازی الاضلاع مستطیلی (PP) چیزی بیش از یک منشور نیست که قاعده آن یک مستطیل است. برای یک PP، همه قطرها برابر هستند، به این معنی که هر یک از قطرهای آن با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

a، c - طرفین پایه PP؛

c ارتفاع آن است.

با در نظر گرفتن دکارتی می توان تعریف دیگری ارائه داد سیستم مستطیل شکلمختصات:

قطر PP بردار شعاع هر نقطه در فضا است، توسط مختصات داده شده است x، y و z در دستگاه مختصات دکارتی. این بردار شعاع به نقطه از مبدا رسم شده است. و مختصات نقطه، پیش بینی های بردار شعاع (مورب های PP) بر روی خواهد بود. محورهای مختصات. پیش بینی ها با رئوس این متوازی الاضلاع منطبق است.

موازی و انواع آن

اگر به معنای واقعی کلمه نام آن را از یونانی باستان ترجمه کنیم، معلوم می شود که این رقمی است که از صفحات موازی. تعاریف معادل زیر برای متوازی الاضلاع وجود دارد:

• یک منشور با پایه به شکل متوازی الاضلاع؛
• چند وجهی که هر وجه آن متوازی الاضلاع است.

انواع آن بسته به اینکه چه شکلی در پایه آن قرار دارد و نحوه هدایت دنده های جانبی متمایز می شود. که در مورد کلیصحبت در مورد متوازی الاضلاع مایل، که قاعده و تمام وجوه آن متوازی الاضلاع هستند. اگر وجه های جانبی نمای قبلی مستطیل شوند، باید فراخوانی شود مستقیم. و مستطیل شکلو پایه نیز دارای زوایای 90 درجه است.

علاوه بر این، در هندسه سعی می شود دومی را به گونه ای به تصویر بکشند که قابل توجه باشد که همه لبه ها موازی هستند. در اینجا، به هر حال، تفاوت اصلی بین ریاضیدانان و هنرمندان است. برای دومی مهم است که بدن را مطابق با قانون چشم انداز منتقل کند. و در این حالت موازی بودن دنده ها کاملاً نامرئی است.

درباره نمادهای معرفی شده

در فرمول های زیر، نمادهای نشان داده شده در جدول معتبر هستند.

فرمول های متوازی الاضلاع مایل

اول و دوم برای مناطق:

مورد سوم محاسبه حجم متوازی الاضلاع است:

از آنجایی که پایه متوازی الاضلاع است، برای محاسبه مساحت آن باید از عبارات مناسب استفاده کنید.

فرمول های متوازی الاضلاع مستطیلی

مشابه نکته اول - دو فرمول برای مناطق:

و یکی دیگر برای حجم:

اولین کار

وضعیت. با توجه به یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل که حجم آن باید پیدا شود. قطر آن مشخص است - 18 سانتی متر - و این واقعیت است که به ترتیب با صفحه وجه جانبی و لبه جانبی زوایای 30 و 45 درجه را تشکیل می دهد.

راه حل.برای پاسخ به سوال در مسئله، باید تمام اضلاع در سه مثلث قائم الزاویه را بدانید. خواهند داد مقادیر مورد نیازلبه هایی که در امتداد آنها باید حجم را محاسبه کنید.

ابتدا باید بفهمید که زاویه 30 درجه کجاست. برای این کار باید از همان راس که مورب اصلی متوازی الاضلاع کشیده شده، یک مورب از وجه جانبی بکشید. زاویه بین آنها همان چیزی خواهد بود که مورد نیاز است.

اولین مثلثی که یکی از مقادیر اضلاع پایه را می دهد به صورت زیر خواهد بود. این شامل ضلع مورد نیاز و دو مورب کشیده شده است. مستطیل شکل است. حالا باید از رابطه استفاده کنیم پای مخالف(اضلاع پایه) و هیپوتنوس (مورب). برابر با سینوس 30 درجه است. به این معنا که حزب ناشناسپایه به صورت قطر ضرب در سینوس 30 درجه یا ½ تعریف می شود. بگذارید با حرف "الف" مشخص شود.

دومی مثلثی خواهد بود که دارای یک مورب شناخته شده و یک لبه است که با آن 45 درجه تشکیل می دهد. همچنین مستطیل شکل است و می توانید دوباره از نسبت ساق به هیپوتنوز استفاده کنید. به عبارت دیگر، لبه جانبی به مورب. برابر است با کسینوس 45 درجه. یعنی "c" به عنوان حاصل ضرب قطر و کسینوس 45 درجه محاسبه می شود.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (سانتی متر).

در همان مثلث باید یک پای دیگر پیدا کنید. این برای محاسبه سومین مجهول - "in" ضروری است. بگذارید با حرف "x" مشخص شود. با استفاده از قضیه فیثاغورث به راحتی می توان آن را محاسبه کرد:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (سانتی متر).

حالا باید مثلث قائم الزاویه دیگری را در نظر بگیریم. قبلاً حاوی است احزاب شناخته شده"c"، "x" و موردی که باید شمارش شود، "b":

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

هر سه مقدار مشخص است. می توانید از فرمول حجم استفاده کنید و آن را محاسبه کنید:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

پاسخ:حجم متوازی الاضلاع 729√2 سانتی متر مکعب است.

وظیفه دوم

وضعیت. شما باید حجم یک متوازی الاضلاع را پیدا کنید. در آن، اضلاع متوازی الاضلاع که در پایه قرار دارد 3 و 6 سانتی متر و همچنین زاویه تند آن - 45 درجه شناخته شده است. دنده کناری دارای شیب به قاعده 30 درجه و برابر با 4 سانتی متر است.

راه حل.برای پاسخ به سوال، باید فرمولی را که برای حجم یک متوازی الاضلاع مایل نوشته شده است، بگیرید. اما هر دو مقدار در آن ناشناخته است.

مساحت پایه، یعنی متوازی الاضلاع، با فرمولی تعیین می شود که در آن باید اضلاع شناخته شده و سینوس زاویه حاد بین آنها را ضرب کنید.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

دومین کمیت مجهول ارتفاع است. می توان آن را از هر یک از چهار راس بالای پایه ترسیم کرد. می توان آن را از یک مثلث قائم الزاویه یافت که ارتفاع آن ساق است، و دنده کناری- هیپوتنوئوس. در این حالت، زاویه 30 درجه در مقابل ارتفاع مجهول قرار می گیرد. به این معنی که می توانیم از نسبت ساق به هیپوتنوز استفاده کنیم.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

اکنون تمام مقادیر مشخص شده است و می توان حجم را محاسبه کرد:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

پاسخ:حجم 18 √2 سانتی متر 3 است.

وظیفه سوم

وضعیت. اگر مشخص شود که متوازی الاضلاع مستقیم است، حجم آن را بیابید. اضلاع قاعده آن متوازی الاضلاع است و برابر با 2 و 3 سانتی متر است و زاویه تند بین آنها 60 درجه است. قطر فرعی یک متوازی الاضلاع است مورب بزرگترزمینه.

راه حل.برای اینکه حجم یک متوازی الاضلاع را بفهمیم، از فرمول با مساحت پایه و ارتفاع استفاده می کنیم. هر دو مقدار ناشناخته هستند، اما محاسبه آنها آسان است. اولین مورد قد است.

از آنجایی که قطر کوچکتر متوازی الاضلاع به همان اندازه است پایه بزرگتر، سپس آنها را می توان با یک حرف d نشان داد. زاویه بزرگترمتوازی الاضلاع 120 درجه است، زیرا 180 درجه با متوازی الاضلاع تشکیل می شود. بگذارید مورب دوم پایه با حرف "x" مشخص شود. حال برای دو قطر پایه می توانیم قضایای کسینوس را بنویسیم:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º،

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

یافتن مقادیر بدون مربع معنی ندارد، زیرا بعداً آنها دوباره به قدرت دوم ارتقا می یابند. پس از جایگزینی داده ها، دریافت می کنیم:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19،

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

اکنون ارتفاع، که لبه جانبی متوازی الاضلاع نیز می باشد، به یک پایه در مثلث تبدیل می شود. هیپوتانوز خواهد بود مورب شناخته شدهبدن، و پای دوم - "x". می توانیم قضیه فیثاغورث را بنویسیم:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

از این رو: n = √12 = 2√3 (سانتی متر).

اکنون دومین کمیت مجهول مساحت پایه است. با استفاده از فرمول ذکر شده در مسئله دوم قابل محاسبه است.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

با ترکیب همه چیز در فرمول حجم، دریافت می کنیم:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

پاسخ: V = 18 سانتی متر 3.

تکلیف چهارم

وضعیت. لازم است حجم یک موازی را که شرایط زیر را برآورده می کند پیدا کنید: پایه مربعی با ضلع 5 سانتی متر است. صورت های جانبی لوزی هستند. یکی از رئوس واقع در بالای قاعده از تمام رئوس های واقع در قاعده مساوی فاصله دارد.

راه حل.ابتدا باید شرایط را درک کنید. هیچ سوالی با نکته اول در مورد مربع وجود ندارد. مورد دوم، در مورد لوزی ها، روشن می کند که متوازی الاضلاع مایل است. علاوه بر این، تمام لبه های آن برابر با 5 سانتی متر است، زیرا دو طرف لوزی یکسان است. و از سومی معلوم می شود که سه قطری که از آن کشیده شده با هم برابرند. اینها دو نفر هستند که روی وجه های کناری قرار دارند و آخرین مورد در داخل متوازی الاضلاع است. و این مورب ها برابر لبه هستند یعنی 5 سانتی متر هم طول دارند.

برای تعیین حجم، به فرمولی که برای یک متوازی الاضلاع مایل نوشته شده است نیاز دارید. دوباره آنجا نیست مقادیر شناخته شده. با این حال، محاسبه مساحت پایه آسان است زیرا مربع است.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

وضعیت قد کمی پیچیده تر است. در سه شکل به این صورت خواهد بود: یک متوازی الاضلاع، هرم چهار گوشو مثلث متساوی الساقین. از این آخرین شرایط باید استفاده کرد.

از آنجایی که ارتفاع است، یک ساق در یک مثلث قائم الزاویه است. هیپوتونوس در آن یک لبه شناخته شده و پای دوم خواهد بود برابر با نصفمورب های مربع (ارتفاع نیز میانه است). و مورب پایه به راحتی پیدا می شود:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (سانتی متر).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (سانتی متر).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (cm 3).

پاسخ: 62.5 √2 (cm 3).

دستورالعمل ها

روش 2. فرض می کنیم که متوازی الاضلاع مستطیلی یک مکعب است. مکعب یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل است که هر وجه با یک مربع نشان داده می شود. بنابراین تمام اضلاع آن برابر است. سپس برای محاسبه طول قطر آن به صورت زیر بیان می شود:

منابع:

• فرمول مورب مستطیل

متوازیالسطوح - مورد خاصمنشوری که در آن هر شش وجه متوازی الاضلاع یا مستطیل هستند. موازی با لبه های مستطیلیمستطیل نیز نامیده می شود. متوازی الاضلاع دارای چهار قطر متقاطع است. اگر سه یال a، b، c داده شود، تمام قطرها را پیدا کنید متوازی الاضلاع مستطیلیبا انجام ساخت و سازهای اضافی امکان پذیر است.

دستورالعمل ها

قطر متوازی الاضلاع m را پیدا کنید. برای انجام این کار، فرض مجهول را در a، n، m پیدا کنید: m² = n² + a². جایگزین ارزش های شناخته شده، سپس جذر را محاسبه کنید. نتیجه به دست آمده اولین قطر متوازی الاضلاع m خواهد بود.

به همین ترتیب، سه قطر دیگر متوازی الاضلاع را به ترتیب ترسیم کنید. همچنین، برای هر یک از آنها، ساخت اضافی مورب چهره های مجاور را انجام دهید. با در نظر گرفتن مثلث های قائم الزاویه تشکیل شده و با اعمال قضیه فیثاغورث، مقادیر قطرهای باقیمانده را بیابید.

ویدیو در مورد موضوع

منابع:

• پیدا کردن یک متوازی الاضلاع

هیپوتنوز سمت مقابل است زاویه راست. پاها اضلاع یک مثلث هستند که در مجاورت یک زاویه قائمه قرار دارند. اعمال شده به مثلث های ABCو ACD: AB و BC، AD و DC–، AC هیپوتانوز مشترک برای هر دو مثلث است (مورد نظر مورب). بنابراین، AC = مربع AB + مربع BC یا AC b = مربع AD + مربع DC. طول های جانبی را جایگزین کنید مستطیلبه فرمول بالا وارد شده و طول هیپوتانوس (مورب مستطیل).

به عنوان مثال، طرفین مستطیل ABCD برابر هستند مقادیر زیر: AB = 5 سانتی متر و BC = 7 سانتی متر. مربع قطر AC یک داده شده مستطیلطبق قضیه فیثاغورث: AC مربع = مربع AB + مربع BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 سانتی متر مربع. برای محاسبه مقدار از ماشین حساب استفاده کنید ریشه دوم 74. باید 8.6 سانتی متر (مقدار گرد) بگیرید. لطفا توجه داشته باشید که با توجه به یکی از خواص مستطیل، قطرهای آن برابر است. بنابراین طول قطر دوم BD مستطیل ABCD برابر با طول قطر AC است. برای مثال بالا، این مقدار

به آن متوازی الاضلاع می گویند منشور چهار گوش، که پایه های آن متوازی الاضلاع هستند. ارتفاع یک متوازی الاضلاع فاصله بین صفحات پایه های آن است. در شکل ارتفاع با قطعه نشان داده شده است . دو نوع متوازی الاضلاع وجود دارد: مستقیم و مایل. به عنوان یک قاعده، یک معلم ریاضی ابتدا تعاریف مناسب را برای یک منشور ارائه می دهد و سپس آنها را به یک موازی شکل منتقل می کند. ما هم همین کار را خواهیم کرد.

به شما یادآوری می کنم که اگر لبه های کناری آن بر پایه ها عمود باشند، منشور را مایل می گویند. این اصطلاح نیز توسط متوازی الاضلاع به ارث می رسد. متوازی الاضلاع راست چیزی نیست جز نوعی منشور مستقیم که لبه کناری آن با ارتفاع منطبق است. تعاریف مفاهیمی مانند صورت، لبه و رأس که در کل خانواده چند وجهی مشترک است حفظ شده است. مفهوم ظاهر شدن چهره های مخالف. متوازی الاضلاع دارای 3 جفت وجه متضاد، 8 رأس و 12 لبه است.

مورب متوازی الاضلاع (قطر یک منشور) قطعه ای است که دو راس یک چندوجهی را به هم متصل می کند و روی هیچ یک از وجوه آن قرار ندارد.

بخش مورب - بخشی از یک متوازی الاضلاع که از قطر آن و مورب قاعده آن عبور می کند.

ویژگی های متوازی الاضلاع مایل:
1) تمام وجوه آن متوازی الاضلاع و وجه های مقابل متوازی الاضلاع هستند.
2)قطرهای یک متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و در این نقطه به دو نیم می شوند.
3)هر موازی از شش هرم مثلثی با حجم مساوی تشکیل شده است. برای نشان دادن آنها به دانش آموز، معلم ریاضی باید نیمی از آن را از موازی جدا کند بخش موربو آن را جداگانه به 3 هرم تقسیم کنید. پایه های آنها باید در آن نهفته باشد چهره های مختلفمتوازی الاضلاع اصلی یک معلم ریاضی کاربرد این ویژگی را در آن پیدا خواهد کرد هندسه تحلیلی. برای نمایش حجم هرم از طریق آن استفاده می شود کار مختلطبردارها

فرمول های حجم یک متوازی الاضلاع:
1) ، جایی که مساحت پایه است ، h ارتفاع است.
2) حجم یک متوازی الاضلاع برابر با محصولسطح مقطع در هر دنده جانبی.
معلم خصوصی ریاضی: همانطور که می دانید فرمول در همه منشورها مشترک است و اگر استاد راهنما قبلاً آن را ثابت کرده باشد، تکرار همان کار برای متوازی الاضلاع فایده ای ندارد. با این حال، هنگام کار با یک دانش آموز سطح متوسط ​​(فرمول برای دانش آموز ضعیف مفید نیست)، توصیه می شود معلم دقیقاً برعکس عمل کند. منشور را به حال خود رها کنید و یک اثبات دقیق برای متوازی الاضلاع انجام دهید.
3) ، حجم یکی از شش مورد کجاست هرم مثلثیکه متوازی الاضلاع از آن تشکیل شده است.
4) اگر، پس

مساحت سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است:
سطح کل یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است، یعنی مساحت + دو ناحیه قاعده: .

درباره کار یک معلم خصوصی با متوازی الاضلاع مایل:
یک معلم ریاضی اغلب روی مسائل مربوط به متوازی الاضلاع مایل کار نمی کند. احتمال حضور آنها در آزمون یکپارچه دولتی بسیار کم است و آموزشی به طرز نامناسبی ضعیف است. مشکلی کم و بیش مناسب در میزان صدای فراخوان های موازی شیبدار مشکلات جدی، همراه با تعیین محل نقطه H - پایه ارتفاع آن. در این مورد، می توان به معلم ریاضی توصیه کرد که موازی را به یکی از شش اهرام آن (در مورد آن) برش دهد. ما در مورددر خاصیت شماره 3) حجم آن را پیدا کرده و در 6 ضرب کنید.

اگر لبه جانبی یک متوازی الاضلاع داشته باشد زوایای مساویبا اضلاع قاعده، سپس H روی نیمساز زاویه A قاعده ABCD قرار می گیرد. و اگر، برای مثال، ABCD یک لوزی است، پس

وظایف معلم خصوصی ریاضی:
1) وجه های متوازی الاضلاع با ضلع 2 سانتی متر با یکدیگر برابرند و زاویه حاد. حجم متوازی الاضلاع را بیابید.
2) در یک متوازی الاضلاع مایل، لبه کناری 5 سانتی متر است. مقطع عمود بر آن چهار ضلعی با متقابل است مورب های عمود بر همبا طول 6 سانتی متر و 8 سانتی متر حجم متوازی الاضلاع را محاسبه کنید.
3) در متوازی الاضلاع مایل مشخص می شود که و در ABCD قاعده لوزی با ضلع 2 سانتی متر و زاویه است. حجم متوازی الاضلاع را تعیین کنید.

معلم ریاضیات، الکساندر کولپاکوف