Как поделить отрезок помощью циркуля. Н.Никитин Геометрия. Iv. измерение площадей
Теснота связи элементов в системе определяется физическими, а вернее, природными отношениями между ними, либо другими основополагающими свойствами системы, например, экономическими, социальными, характеризующими развитие человеческого общества.
Глубина таких связей зависит от уровня системы в иерархии систем, относящихся к предметной области существования изучаемого сложного объекта. К связям относятся как всеобщие отношения между составляющими систему элементами природы и общества, так и частные, касающиеся некоторого ограниченного круга ее элементов. В связи со сказанным эти связи называются либо общими законами природы (фундаментальными), либо частными , относящимися к ограниченному набору явлений (эмпирическими законами) или к тенденциям, проявляющимся в виде каких – то повторений в массовых явлениях и именуемых закономерностями .
Фундаментальные связи называются законами. Закон - это философская категория, обладающая свойствами всеобщности по отношению ко всем природным предметам, явлениям, событиям. В связи с этим определение закона звучит так: закон – это существенное, устойчивое, повторяющееся отношение между любыми явлениями.
Закон выражает определенную связь между самими системами, составными элементами объединений предметов и явлений, а также внутри самих предметов и явлений.
Не всякая связь является законом. Она может быть необходимой и случайной, Закон – необходимая связь. Он выражает существенную связь между сосуществующими в пространстве вещами (материальнымиобразованиями, в общем смысле).
Все, что сказано выше, относится к законам функционирования (существования природной среды или искусственно созданной человеком). Существуют и законы развития , выражающие тенденцию, направленность или порядок следования событий во времени. Все природные законы - нерукотворны, они существуют в мире объективно и выражают отношения вещей, а также отражаются в сознании человека.
Как уже говорилось, законы делятся по степени общности. Всеобщими законами являются философские законы. Фундаментальные законы природы по своей общности тоже разделяются на два больших класса. На более общие, изучаемые рядом, а то и абсолютным множеством наук (к ним относятся, к примеру, законы сохранения энергии и информации и др.). И менее общие законы, которые распространяются на ограниченные области, изучаемые конкретными науками (физикой, химией, биологией).
Эмпирические законы изучаются частными науками, к которым относятся все технические науки. В качестве примера можно взять такую дисциплину, как сопротивление материалов. В ней изучаются предметы и системы, в которых действуют все фундаментальные законы и законы эмпирические, основанные на опытных данных, относящих к предметам дисциплины только те механические тела, которые подчиняются закону Гука: деформация тела прямо пропорциональна действующей на тело силе (и наоборот).
В технических науках имеются разделы, которые основываются на более частных эмпирических связях, принятых в качестве аксиом.
Одни законы выражают строгую количественную зависимость и фиксируются математическими формулами, а другие пока не поддаются формализации, указывая обязательность одного вида события за счет появления другого, например.
Одни законы - детерминированы, то – есть устанавливают на основании причинно – следственных связей точные количественные соотношения, другие – статистические , устанавливающие вероятность появления какого – либо события при определенных условиях.
В природе законы действуют как стихийная сила. Однако, зная законы, их можно использовать целенаправленно в практической деятельности (как силу давления пара в паровых машинах, как силу сжатого газа в двигателях внутреннего сгорания).
Общественно – исторические законы мало чем отличаются от законов природы, но действуют они между мыслящими людьми. Познание этих законов способствует лучшей организации экономики и общества.
Таким образом, изучение законов природы и общества является первейшей задачей человечества. Только знание законов и разработка мер по правильному их использованию может обеспечить развивающееся и растущее по численности человечество продуктами питания и средой искусственно созданных условий, в котором может оно существовать.
Скорость решения возникающих новых задач зависит от того, какой запас научных знаний люди накопили на данный момент и как его обработали, осмыслили. Осмысление научных знаний приводит к формулировке научной проблемы , решение которой может привести к завершению теории по этому кругу вопросов и использованию более строгих выводов в практических делах. Научная проблема – не только философская категория в описанном плане, но и практическая, от которой зависит как теоретическая наука, так и ее практическое воплощение в жизнь людей.
Из этой разъяснительной части значимости научной проблемы для завершенности теории следует и ее определение: научная проблема – это противоречивая ситуация, выступающая в виде противоположных позиций в объяснении каких – либо явлений, объектов, процессов и требующая адекватной единственной теории для ее разрешения .
Важной предпосылкой успешного ее решения является ее правильная постановка. Увидеть противоречия в получаемых эмпирических знаниях, обратить на них внимание и поставить вопрос об устранении этого противоречия, значит, положить начало решению научной проблемы и продвижению науки в сторону прогресса. Недаром, в науке людей, способных формулировать проблемы, почитают даже больше исследователей, конкретно решивших сформулированную проблему. Формулировка неверных проблем приводит к большому застою в науке.
С категорией «научная проблема» непосредственно связана и категория «гипотеза». Гипотезы, в первую очередь, используют для теоретического устранения противоречий научной проблемы. Такие гипотезы (предположения) в случае успеха превращаются даже в фундаментальные теории (предположение Ньютона о силе притяжения между двумя физическими телами).
Гипотезы используются и в технических науках, где они носят частный характер и представляют описание способа взаимодействия факторов, определяющих поведение изучаемого объекта, его элементов. В таком случае гипотеза называется рабочей гипотезой, которая, как в научной проблеме, может быть доказана или отвергнута на базе опытных данных.
Поэтому гипотеза – это предположение о вероятной (возможной) закономерности изменения явления, объекта, события, которое не доказано, но кажется вероятным.
Полезность гипотезы в том, что она мобилизует исследователей формулировать задачи опытных работ с целью доказательства верности высказанной гипотезы. И если получается иной результат, то накопленный материал позволит откорректировать гипотезу и спланировать дальнейшую научно – исследовательскую работу.
В более общей формулировке моделирование как метод методологии науки заключается в переходе от неформально содержательных представлений об изучаемом объекте к использованию математических моделей.
Теоретический уровень моделей, полученных на базе аксиом, правил вывода теорем, правил соответствия повышается в дальнейшем на базе гипотико - дедуктивных положений с формулировкой следствий, полученных анализом выдвинутых гипотез. Математический аппарат, используемый при этом, - это только средство получения нового знания и никак не конечная цель методологического анализа.
За составлением математической модели следует её использование, целью которого является получение информации, которая отсутствовала до её создания, т.е. полученная модель должна быть эвристичной. Именно это действие превращает методологию в экспериментальную науку, допускающую верификацию её выводов на практике.
Модель и её свойства.
Формализация существующих знаний об исследуемой системе (составителем модели) создаёт модель, чтобы получить нужные свойства системы: непротиворечивость; полноту; независимость системы аксиом; содержательность. Хорошим примером выполнения этих свойств являются теории неевклидовых геометрий Лобачевского, Гаусса, Больяи в 19 веке. Итальянец Бельтрами показал, что существуют реальные тела, на поверхности которых выполняются законы геометрии Лобачевского.
На заре теоретического осмысливания знаний человечества развитие теорий всегда шло от частных случаев к общему. В настоящее время появились методики моделирования объектов уже на базе структурирования математической модели. Цепочка развития такого знания идёт в обратном порядке. Сначала появляется аксиоматическое математическое описание изучаемого события (объекта), а уже на его базе формулируется концептуальная модель – парадигма. Вместе с этим меняются и принципы соответствия природных процессов и теоретических схем (моделей). Вместо простого совпадения результатов счёта по модели с экспериментальными данными опытов рассматриваются сравнительные характеристики их математических алгоритмов достижения результатов по другим (косвенным) параметрам. К таким принципам относится, например, принципы простоты и красоты научных теорий . При этом модель в этом случае вводится с новым математическим аппаратом вместе с интерпретацией, т.е. исходным в ней является математический формализм, способный на языке математики объяснить некоторую сущность, проявляющуюся в опыте. Именно этот шаг затрудняет эмпирическую проверку, так как опытом должно проверяться не только уравнение описания, но и его интерпретация.
Введённый математический аппарат в этом случае содержит неконструктивные элементы, способные в дальнейшем привести к рассогласованию теории с опытом. Надо отметить, что в этом состоит как раз специфика современного научного исследования. С другой стороны эта особенность современного научного исследования грозит возможностью отбросить предложенный перспективный аппарат. Чтобы этого не случилось, необходимо отдельно заняться этой стороной дела - ликвидацией неувязок на базе экксперимента (примером может служить квантовая физика и электродинамика).
Старая система классической физики интерпретации научных фактов превратилась при этом в пошаговое «создание» приближённой математически сформированной теории реального процесса к исходной модели. Возникает вопрос, что же толкает исследователей к такому алгоритму действий, т.е. каковы же позывы к такому способу формирования теоретической картины? На это методология науки даёт вполне определённый ответ: самоценность истины; ценность новизны.
Достигается всё сказанное использованием следующих принципов исследования: а) запрет на плагиат; б) допустимость критического пересмотра оснований научного поиска; в) равенство всех (гениев в том числе) перед лицом истины; г) запрет на фальсификацию и подтасовки
Пример этому в связке Эйнштейн – Лоренц. Первый по существовашему тогда негласному рейтингу был в то время менее авторитетным, но его элементы теории относительности превратились в фундаментальную теорию. .
Несмотря на многочисленность работ по математическому моделированию, выявилась некоторая трудность в формулировке точного понятия математического моделирования. Слишком разнообразны они (модели) и их содержание. В целом ясно, что от модели требуется нечто большее, чем сопоставление с реальной действительностью: модель обязательно должна давать информацию о свойствах моделируемых объектов и явлений. Поэтому приемлемым определением модели должно быть определение, которое не включает в себя частных неопределённостей. Например: моделью данного объекта называется другой объект, который сопоставляется исходному, моделируемому и определённые свойства которого заданным образом отражают (сохраняют) выбранные свойства объекта.
Модель должна отображать всё известное (иногда некоторые известные характеристики) об объекте и предсказывать или формировать новую информацию о нём в каких - либо новых условиях существования. Цель моделирования, таким образом,- функция представления (описания) в случае наличия объяснения явлений, рассматриваемых моделью. Именно в этом случае модель выступает в качестве теории. И, несмотря на это, резкое противопоставление математической (формальной) и содержательной сторон модели в целом несостоятельно. Учитывая специфическую сторону формирования модели можно резюмировать, что математика при этом выступает как важнейшее средство выработки содержательных представлений об изучаемом явлении на протяжении всего исследования.
ТРЕУГОЛЬНИКИ.
§ 28. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.
До сих пор при решении задач на построение мы пользовались циркулем, линейкой, чертёжным треугольником и транспортиром.
Решим теперь ряд задач на построение с помощью только двух инструментов - циркуля и линейки.
Задача 1. Разделить данный отрезок пополам.
Дан отрезок АВ, требуется разделить его пополам.
Решение. Радиусом, большим половины отрезка АВ, опишем из точек А и В, как из центров, пересекающиеся дуги (черт. 161). Через точки пересечения этих дуг проведём прямую СD, которая пересечёт отрезок АВ в некоторой точке К и разделит его этой точкой пополам: АК = КВ.
Докажем это. Соединим точки А и В c точками С и D. /\ САD = /\ СВD, так как по построению AС = СВ, АD = ВD, СD - общая сторона.
Из равенства этих треугольников следует, что / АСК = / ВСК, т. е. СК является биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника АСВ. А биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является и его медианой, т. е. прямая СD pазделила отрезок АВ пополам.
Задача 2. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку О, находящуюся на этой прямой.
Дана прямая АВ и точка О, лежащая на этой прямой. Требуется провести перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку О.
Решение.
Отложим на прямой АВ от точки О два равных отрезка ОМ и ОN
(черт. 162). Из точек М и N, как из центров, одними тем же радиусом, большим ОМ, опишем две дуги. Точку их пересечения К соединим с точкой О. КО - медиана в равнобедренном треугольнике МКN, следовательно, КO_|_А В (§ 18).
Задача 3. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку С, находящуюся вне этой прямой.
Даны прямая АВ и точка С вне этой прямой, требуется прости перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку С.
Решение. Из точки С, как из центра, опишем дугу таким диусом, чтобы она пересекла прямую АВ, например, в точках М и N (черт. 163). Из точек М и N. как из центров, одним и тем же радиусом, большим половины МN, опишем дуги. Toчку их пересечения Е соединим с точкой С и с точками М и N. Треугольники СМЕ и СNЕ равны по трём сторонам. Значит, / 1 = / 2 и СЕ является биссектрисой угла С в равнобедренном треугольнике МСN, а следовательно, и перпендикуляром к прямой АВ (§ 18).
Зная; что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, мы можем помощью циркуля и линейки делить данный отрезок на две равные части.
Если, например, требуется разделить пополам отрезок А В (черт. 69), то помещают острие циркуля в точки А я В и описывают вокруг них, как около центров, одинаковым радиусом две пересекающиеся дуги (черт. 70). Точки их пересечения С и D соединяют прямою, которая и АВ пополам: АО = ОВ .
Чтобы убедиться, что отрезки АО и ОВ должны быть равны, соединим точки C и D с концами А и В отрезка (черт. 71). Получатся два треугольника ACD и BCD , у которых три стороны соответственно равны: АС = ВС; AD = BD; CD – общая, т. е. принадлежит обоим треугольникам. Отсюда вытекает полное равенство указанных треугольников, а следовательно и равенство всех углов. Значит, между прочим, равны углы ACD и BCD . Сравнивая теперь треугольники АСО и ВСО , видим, что у них сторона ОС – общая, AC = СB , а угол между ними АСО = уг. ВСО . По двум сторонам и углу между ними треугольники равны; следовательно, равны стороны АО и ОВ , т. е. точка О есть середина отрезка АВ .
Как построить треугольник по стороне и двум углам
Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:
На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A . Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.
Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС , и построить у его концов углы а и b (черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину F треугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEF равен треугольнику АВС ; действительно, если представим себе, что треугольник DEF наложен на ABC так, что сторона DE совпала с равной ей стороною ВС , то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DF пойдет по стороне ВA , а сторона EF по стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина F должна совпасть с вершиной A . Значит, расстояние DF равно искомому расстоянию ВА.
Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.
Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:
Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:
п о т р е м с т о р о н а м;
п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;
п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.
Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:
по трем сторонам: ССС ;
по двум сторонам и углу между ними: СУС ;
по стороне и двум углам: УСУ .
Применения
14. Чтобы узнать расстояние до точки A на другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС , по другую сторону ВС , а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки D пересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ . Почему?
Р е ш е н и е. Треугольники ABC и ВDС равны по одной стороне (ВС ) и двум углам (уг. DCB = уг. АСВ ; уг. DBC = уг. ABC .) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.
Параллелограммы
От треугольников перейдем к четырехугольникам, т. е. к фигурам, ограниченным 4-мя сторонами. Примером четырехугольника может служить к в а д р а т – такой четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы-прямые (черт. 76). Другой вид четырехугольника, тоже часто встречающийся, – п р я м о у г о л ь н и к:
так называется всякий четырехугольник с 4-мя прямыми углами (черт. 77 и 78). Квадрат – тоже прямоугольник, но с равными сторонами.
Особенность прямоугольника (и квадрата) та, что обе пары его противоположных сторон п а р а л л е л ь н ы. В прямоугольнике ABCD, например (черт. 78), АВ параллельно DC , a AD параллельно ВС. Это следует из того, что обе противолежащие стороны перпендикулярны к одной и той же прямой, а мы знаем, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собою (§ 16).
Другое свойство каждого прямоугольника то, что противоположные его стороны равны между собою. В этом можно убедиться, если соединить противоположные вершины прямоугольника прямой линией, т. е. провести в нем диагональ. Соединив А с С (черт. 79) мы получим два треугольника АВС и ADC. Легко показать, что эти треугольники равны друг другу: сторона АС – общая, уг. 1 = уг. 2, потому что это перекрестные углы при параллельных АВ и CD по такой же причине равны углы 3 и 4. По стороне же и двум углам треугольники ABC и ACD равны; следовательно, сторона АВ = стороне DС, и сторона AD = стороне ВС.
Такие четыреугольники, у которых, как у прямоугольников, противоположные стороны п а р а л л е л ь н ы, называются параллело граммами. На черт. 80 изображен пример параллелограмма: АВ параллельно DС, а AD параллельно BС. Черт.80
Прямоугольник – один из параллелограммов, а именно такой, у которого все углы прямые. Легко убедиться, что каждый параллелограмм обладает следующими свойствами:
П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы
п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.
Чтобы убедиться в этом, проведем в параллелограмме ABCD (черт. 81) прямую ВD (диагональ) и сравним треугольники ABD и ВDC. Эти треугольники равны (случай УСУ ): BD – общая сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (почему?). Отсюда вытекают перечисленные раньше свойства.
Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.
Повторительные вопросы
Какая фигура называется квадратом? Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие между квадратом и ромбом.
Применения
15. Квадрат чертят так: отложив одну сторону проводят к ней на концах перпендикуляры, откладывают на них такие же длины и соединяют концы прямой линией (черт. 82). Как убедиться, что четвертая сторона, начерченного четырехугольника равна трем остальным и что все углы его прямые?
Р е ш е н и е. Если построение велось так, что к стороне АВ в точках А и В были проведены перпендикуляры, на которых отложены: АС = АВ и DВ = AB , то остается доказать, что углы С и D прямые и что CD равно АВ. Для этого проведем (черт. 83) диагональ AD. Уг. CAD = ADB, как соответственные (при каких параллельных?); АС = DB , а потому треугольники CAD и BAD равны (по признаку СУС). Отсюда выводим, что CD = AB и уг. С = прямому углу В . Как доказать, что четвертый угол CDB тоже прямой?
16. Как начертить прямоугольник? Почему начерченная фигура может быть названа прямоугольником? (Показать, что все углы начерченной фигуры прямые).
Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи.
17. Докажите, что обе диагонали прямоугольника равны.
Р е ш е н и е (черт. 84) вытекает из равенства треугольников АВС и АВD (по признаку СУС).
18. Докажите, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Р е ш е н и е. Сравнивая (черт. 85) треугольники АВО и DСО, убеждаемся, что они равны (по признаку УСУ). Отсюда АО = ОС, 0В = ОD.
19. Длина общего перпендикуляра между двумя параллельными прямыми называется р а с с т о я н и е м между ними. Докажите, что расстояние между параллельными всюду одинаково.
У к а з а н и е: Какую фигуру образуют параллельные линии с двумя перпендикулярами между ними?
IV. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
Квадратные меры. Палетка
В фигурах часто приходится измерять не только д л и н у линий и у г л ы между ними, но и величину того участка, который они охватывают, – т. е. их п л о щ а д ь. В каких мерах измеряется площадь? За меру д л и н ы принята определенная д л и н а (метр, сантиметр), за меру у г л о в – определенный у г о л (1°); за меру же п л о щ а д е й принята определенная п л о щ а д ь, а именно, площадь квадрата со стороною в 1 метр, в 1 см и т. д. Такой квадрат называется «квадратным метром», «квадратным сантиметром» и т. д. Измерить площадь, значит узнать, сколько в ней квадратных единиц меры.
Если измеряемая площадь не велика (умещается на листе бумаги), ее можно измерить следующим образом. Прозрачную бумагу разграфляют на сантиметровые квадраты и накладывают на измеряемую фигуру. Тогда нетрудно прямо сосчитать, сколько квадратных сантиметров содержится в границах фигуры. При этом неполные квадраты близ границы принимают (на глаз) за полквадрата, за четверть квадрата и т. п., или мысленно соединяют их по несколько в целые квадраты. Разграфленная так прозрачная бумага называется п ал е т к о й. Этим способом часто пользуются для измерения площадей неправильных участков на плане.
Но не всегда бывает возможно и удобно накладывать сеть квадратов на измеряемую фигуру. Нельзя, например, измерять таким образом площадь пола или земельного участка. В таких случаях, вместо прямого измерения площади, прибегают к неприятному, состоящему в том, что измеряют только длину некоторых л и н и й фигуры и производят над полученными числами определенные действия. В дальнейшем мы покажем, как это делается.
Повторительные вопросы
В каких мерах определяют площадь фигур? – Что такое палетка и как ею пользуются?
Площадь прямоугольника
Пусть требуется определить площадь какого-нибудь прямоугольника, например, ABDC (черт. 86). Измеряют линейной единицей, напр. метром, длину этого участка. Предположим, что метр укладывается в длине 5 раз. Разделим участок на поперечные полоски шириною в метр, как показано на черт. 87. Таких полос получится, очевидно, 5. Далее измерим метром ширину участка; пусть она равна 3 метрам. Разделим участок на продольные полосы в 1 метр ширины, как показано на черт. 88; их получится, конечно, 3. Каждая из пяти поперечных полос рассечется при этом на 3 квадратных метра, а весь участок будет разделен на 5 Ч 3=15 квадратов со стороною в 1 метр: мы узнали, что участок заключает в себе 15 кв. метров. Но мы могли получить то же число 15, не разграфляя участка, а только перемножив его длину на его ширину. Итак, чтобы узнать, сколько квадратных метров в прямоугольнике, нужно измерить его длину, его ширину и перемножить оба числа.
В рассмотренном случае единица длины – метр – укладывалась в обеих сторонах прямоугольника ц е л о е число раз. В подробных учебниках математики доказывается, что установленное сейчас правило верно и тогда, когда стороны прямоугольника не содержат целого числа единиц длины. Во всех случаях:
П л о щ а д ь п р я м о у г о л ь н и к а р а в н а
п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы н а ш и р и н у,
и л и, к а к г о в о р я т в г е о м е т р и и, – е г о
«о с н о в а н и я» н а е г о «в ы с о т у».
Если длина основания прямоугольника обозначена буквою а , а длина высоты – буквою b, то площадь его S равна
S = a? b,
или просто S = ab , потому что знак умножения между буквами не ставится.
Легко сообразить, что для определения площади к в а д р а т а надо умножить длину его стороны на себя, т. е. «возвысить в квадрат». Другими словами:
П л о щ а д ь к в а д р а т а р а в н а к в а д р а т у е г о с т о р о н ы. Если длина стороны квадрата а, то площадь его S равна
S = a? a = a 2.
Зная это, можно установить соотношение между различными квадратными единицами. Например, в квадратном метре содержится квадратных дециметров 10 Ч 10, т. е. 100, а квадратных сантиметров 100 Ч 100, т. е. 10 000, – потому что линейный сантиметр укладывается в стороне квадратного дециметра 10 раз, а квадратного метра-100 раз.
Для измерения земельных участков употребляется особая мера – г е к т а р, содержащая 10 000 квадратных метров. Квадратный участок со стороною 100 метров имеет площадь в 1 гектар; прямоугольный участок с основанием 200 метров и высотою 150 метров имеет площадь 200 Ч 150, т. е. в 30 000 кв. м или 3 гектара. Обширные площади – например, округа и районы, – измеряются
к в а д р а т н ы м и к и л о м е т р а м и.
Сокращенное обозначение квадратных мер таково:
квадр. метр………………………………. кв. м или м2
квадр. дециметр…………………………. кв. дм или дм2
квадр. сантиметр………………………… кв. см или см2
квадр. миллиметр……………………….. кв. мм или мм2
гектар…………………………………….. га
Повторительные вопросы
Как вычисляется площадь прямоугольника? Квадрата? – Сколько кв. см в кв. м? Сколько кв. мм в кв. м? – Что такое гектар? – Сколько гектаров в кв. км? Как сокращенно обозначают квадратные меры?
Применения
20. Требуется окрасить иол комнаты, изображенный на черт. 6. Размеры, обозначены в метрах. Сколько понадобится для этого материалов и рабочей силы, если известно, что для окраски одного кв. метра деревянных полов с замазкой щелей и сучьев по прежде окрашенному, за два, требуется (по Урочному Положению):
Маляров…………………………………….. 0,044
Олифы, килограммов…………………….… 0,18
Охры светлой, кг…………………………… 0;099
Замазки, кг…………………………………0,00225
Пемзы, кг………………………………….. 0,0009.
Р е ш е н и е. Площадь пола равна 8? 12 = 96 кв. м.
Расход материалов и рабочей силы таков
Маляров........ 0,044? 96 = 4,2
Олифы........ 0,18? 96= 17 кг
Охры......... 0,099? 96 – 9,9 кг
Замазки........ 0.00225? 96 = 0,22 кг
Пемзы......... 0,0009? 96 = 0,09 кг.
21. Составьте ведомость расхода рабочей силы и материалов для оклейки обоями комнаты предыдущ. задачи. На оклейку стен простыми обоями с бордюрами требуется (по Уроч. Положению) на кв. метр:
Маляров или обойщиков………………………… 0,044
Обоев (шир. 44 см) кусков……………………… 0,264
Бордюр (по расчету)
Крахмала граммов………………………………. 90.
Р е ш е н и е – по образцу, указанному в предыдущей задаче. Заметим лишь, что при подсчете необходимого количества обоев на практике отверстия стен из их площади не вычитают (так как при пригонке фигур в смежных полотнищах часть обоев теряется).
Площадь треугольника
Рассмотрим сначала, как вычисляется площадь п р ям о у г о л ь н о г о треугольника. Пусть требуется определить площадь треугольника ABC (черт. 89), в котором угол В – прямой. Проведем через вершины А и С прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим (черт. 90) прямоугольник ABCD (почему эта фигура – прямоугольник?), который делится диагональю АС на два равные треугольника (почему?). Площадь этого прямоугольника равна ah; площадь же нашего треугольника составляет половину площади прямоугольника, т. е. равна 1/2 ah. Итак, площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, заключающих прямой угол.
Пусть теперь требуется определить площадь треугольника косоугольного (т. е. не прямоугольного), – напр. ABC (черт. 91). Проводим через одну из его вершин перпендикуляр к противоположной стороне; такой перпендикуляр называется в ы с о т о ю этого треугольника, а сторона, к которой он проведен – о с н о в а н и е м треугольника. Обозначим высоту через h , а отрезки, на которые она делит основание, через p и q . Площадь прямоугольного треугольника ABD, как мы уже знаем, равна 1/2 ph ; площадь ВDC = 1/2 qh . Площадь S треугольника ABC равна сумме этих площадей: S = 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (р + q ). Но р + q = а ; следовательно S = 1/2 ah .
Рассуждение это нельзя прямо применить к треугольнику с тупым углом (черт. 92), потому что перпендикуляр CD встречает не основание АВ , а его продолжение. В этом случае приходится рассуждать иначе. Обозначим отрезок AD через p, BD – через, q , так что основание а треугольника равна p – q . Площадь нашего треугольника АВС равна р а з н о с т и площадей двух треугольников ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (p – q ) = 1/2 ah .
Итак, во всех случаях площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту.
Отсюда следует, что треугольники с равными основаниями и высотами имеют одинаковые площади, или, как говорят,
р а в н о в е л и к и.
Равновеликими вообще называются фигуры, имеющие равные площади, хотя бы сами фигуры не были равны (т. е. не совпадали при наложении).
Повторительные вопросы
Что называется высотою треугольника? Основанием треугольника? – Сколько высот можно провести в одном треугольнике? – Начертите треугольник с тупым углом и проведите в нем все высоты. – Как вычисляется площадь треугольника? Как выразить это правило формулой? – Какие фигуры называются равновеликими?
Применения
22. Огород имеет форму треугольника с основанием 13,4 м и высокою 37,2 м… Сколько (по весу) требуется семян, чтобы засадить его капустой, если на кв. м идет 0,5 грамма семян?
Р е ш е н и е. Площадь огорода равна 13,4? 37,2 = 498 кв. м.
Семян потребуется 250 г.
23. Параллелограмм разбивается диагоналями на 4 треугольные части. Какая из них имеет наибольшую площадь?
Р е ш е н и е. Все 4 треугольника равновелики, так как имеют равные основания и высоты.
Площадь параллелограмма
Правило вычисления площади параллелограмма устанавливается весьма просто, если разбить его диагональю на два треугольника. Например, площадь параллелограмма ABCD (черт. 93) равна удвоенной пощади каждого из двух равных треугольников, на которые он разбивается диагональю АС. Обозначив основание треугольника ADC через а , а высоту через h , получаем площадь S параллелограмма
Перпендикуляр h называется «высотою параллелограмма», а сторона а, к которой он проведен, – «основанием параллелограмма». Поэтому установленное сейчас правило можно высказать так:
П л о щ а д ь п а р а л л е л о г р а м м а р а в н а п р о и з в е д е н и ю л ю б о г о е г о о с н о в а н и я н а с о о т в е т с т в у ю щ у ю в ы с о т у.
Повторительные вопросы
Что называется основанием и высотою параллелограмма? Как вычисляется площадь параллелограмма? – Выразите это правило формулой. – Во сколько раз площадь параллелограмма больше площади треугольника, имеющего одинаковые с ним основание и высоту? – При равных высотах и основаниях какая фигура имеет большую площадь: прямоугольник или параллелограмм?
Применение
24. Квадрат со стороною 12,4 см равновелик параллелограмму с высотою 8,8 см. Найти основание параллелограмма.
Р е ш е н и е. Площадь этого квадрата, а следовательно и параллелограмма равна 12,42= 154 кв. см. Искомое основание равно 154: 8,8 = 18 см.
Площадь трапеции
Кроме параллелограммов, рассмотрим еще один вид четырехугольников – именно те, которые имеют только о д н у пару параллельных сторон (черт. 94). Такие фигуры называются т р а п е ц и я м и. Параллельные стороны трапеции называются ее о с н о в а н и я м и, а непараллельные – б о к а м и.
Черт. 94 Черт. 95
Установим правило вычисления плошали трапеции. Пусть требуется вычислить плошать трапеции ABCD (черт. 95), длина оснований которой a и b . Проведем диагональ АС, которая разрезает трапецию на два треугольника ACD и ABC . Мы знаем, что
площ. ACD = 1/2 ah
площ. ABC = 1/2 bh .
площ. ABCD = 1/2 ah + 1/2 bh = 1/2 (a + b ) h .
Так как расстояние h между основаниями трапеции называется ее высотою, то правило вычисления площади трапеции можно высказать так:
П л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е о с н о в а н и й, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.
Повторительные вопросы
Какая фигура называется трапецией? Что называется основаниями трапеции, ее боками и высотой? – Как вычисляется площадь трапеции?
Применения
25. Участок улицы имеет форму трапеции с основаниями 180 м и 170 м и высотою 8,5 м. Сколько деревянных шашек потребуется для его настилки, если на кв. м идет 48 шашек?
Р е ш е н и е. Площадь участка равна 8,5 Ч = (180 + 170)/ 2= 1490 кв. м. Число шашек = 72 000.
26. Скат крыши имеет форму трапеции, основания которой 23,6 м и 19,8 м, а высота 8,2 м. Сколько материала и рабочей силы потребуется на его покрытие, если на кв. м требуется:
Железных листов...... 1,23
Гвоздей кровельных кг.... 0,032
Олифы кг..........0,036
Кровельщиков....... 0,45.
Р е ш е н и е. Площадь ската равна 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 кв. м. Остается умножить на 178 все числа таблички.
Знание основных геометрических построений дает возможность правильно и быстро чертить, выбирая для каждого случая наиболее рациональные приемы.
2.1. Деление отрезка на равные части
Разделить отрезок пополам можно при помощи циркуля, построив срединный перпендикуляр (рис. 18, а ). Для этого берём радиус размером более половины длины отрезка и из его концов по обе стороны проводим дуги окружностей до их взаимного пересечения. Через точки пересечения дуг проводим срединный перпендикуляр.
Для деления на любое число равных частей используем теорему Фа-
леса: если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки(рис. 18, б). Под про-
извольным углом к отрезку АВ проводим вспомогательный лучАС , на котором откладываем отрезок произвольной длины столько раз, на сколько частей нужно разделить данный отрезок. Конец последнего отрезка соединяем с точкойВ ичерезконцыостальныхотрезковпроводимпрямые, параллельныеВС .
2.2. Деление окружности на произвольное число равных частей
Умение делить окружность на равные части необходимо для построения правильных многоугольников. Рассмотрим сначала частные приёмы деления окружности.
Деление на три части (рис. 19)
Ставим ножку циркуля в один из концов взаимно перпендикулярных диаметров окружности. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки на ней по обе стороны от этого конца диаметра. Получаем две вершины правильного треугольника. Третьей вершиной является противоположный конец диаметра.
Деление на четыре части (рис. 20)
Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Если через центр окружности провести прямые под углом 45ᵒ к осям, то они также разделят окружность на четыре равные части. Стороны вписанного квадрата будут параллельны осям окружности. Вместе эти два квадрата разделили окружность на восемь равных частей.
Деление на пять частей (рис. 21)
● 1 ). Раствором циркуля, равным радиусу, делаем засечку на окружности. Получаем точку2 .
● Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3 .
● Ставим ножку циркуля в точку 3 . Берём радиус, равный расстоянию от точки3 до конца вертикального диаметра (точка4 ), и проводим дугу до пересечения с горизонтальным диаметром. Получаем точку5 .
● Соединяем точки 4 и5 . Хорда 4 –5 будет составлять 1/5 часть окружности.
● Замеряем циркулем длину хорды 4 –5 и начинаем откладывать её от одного из концов диаметра (в зависимости от того, как должен быть ориентирован пятиугольник относительно осей). Тот диаметр, от конца которого начинаем откладывать отрезок, будет являться осью симметрии фигуры.
Отрезки рекомендуется откладывать сразу с двух сторон. Оставшийся отрезок должен оказаться перпендикулярным оси симметрии. Если его длина не будет равна длине остальных отрезков, то, значит, неточно выполнено построение или неточно замерена хорда 4 –5 . Следует внести корректировку длины отрезка и повторить деление окружности ещё раз.
Деление на шесть частей (рис. 22)
Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из обоих концов одного и того же диаметра в обе стороны от них. Получаем четыре вершины правильного шестиугольника. Двумя другими вершинами являются концы диаметра, из которых сделаны засечки.
Деление на семь частей (рис. 23)
● Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1 ). Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем на ней засечку. Получаем точку2 .
● Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3 . Отрезок 2 –3 составляет 1/7 часть окружности.
● Замеряемциркулемдлинуотрезка 2 –3 ипоследовательнооткладываем его от любого конца диаметра сразу с двух сторон. Последний отрезок должен быть перпендикулярен диаметру, от конца которого начали откладывать отрезки. Этотдиаметрбудетосьюсимметриивписанногосемиугольника.
Деление на десять частей (рис. 24)
● Делим окружность на 5 частей, как показано на рис. 21. Получаем правильный пятиугольник.
● Из каждой вершины пятиугольника опускаем перпендикуляры на противолежащие стороны. Все они пройдут через центр окружности и разделят сторону и стягивающую её дугу пополам. Получим ещё 5 вершин.
Деление на двенадцать частей (рис. 25)
Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из концов обоих диаметров по обе стороны от них.
Существует и общий приём деления окружности на любое число частей. Рассмотрим его на примере построения правильного девятиугольника (рис. 27).
● Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (горизонтальный и вертикальный).
● Тот диаметр, который хотим сделать осью симметрии фигуры, делим на столько частей, на сколько требуется разделить окружность. На рис. 27 диаметр АВ разделён на 9 частей. Полученные точки деления нумеруем.
● Ставим ножку циркуля в точку А и радиусом, равным диаметру окружности, проводим дугу до пересечения с продолжением вертикального диаметра. Получаем точкуС .
● Точку С соединяем через одну с точками деления диаметра и продолжаем до пересечения с противолежащей дугой окружности в точках I, II, III, IV. Если одной из вершин девятиугольника должна быть точкаА , то лучи проводим через все чётные деления диаметра (рис. 27,а ). Если же одной из вершин должна стать точкаВ , то лучи следует проводить через все нечётные деления диаметра (рис. 27,б ).
● Симметрично отображаем построенные точки относительно горизонтального диаметра. Получаем остальные вершины фигуры.
2.2.1. Задание № 4. Деление окружности
Цель: изучить приёмы деления окружности на равные части.
На формате А3 в первом ряду вычертить правильные многоугольники (трех-, четырех-, пяти-, шести-, семи- и девятиугольник), вписанные в окружности диаметром 60 мм. Окружности как вспомогательные линии должны быть тонкими. Многоугольники обвести толстыми линиями.
Деление отрезка пополам
Деление отрезка пополам выполняется следующим образом. На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Далее, не меняя значения циркуля, из точки В построим засечки, пересекающие нашу дугу. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Если продолжить деление полученных частей пополам можно таким же способом разделить отрезок на 4, 8, 16 и т.д., т.е. на число кратное 2.
Доказательство:
Соединим точки Е и D с концами отрезка AB. По построению AD = AE = DB = EB. Поэтому равнобедренные треугольники DAE и DBE равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов ADO и BDO. В равнобедренном треугольнике ABD, DO- биссектриса, проведенная к основанию, следовательно, она медиана и высота. Отсюда AO = OB, и точка O - середина отрезка AB.
Деление отрезка прямой на пропорциональные части
Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: "если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки". Используя данную теорему мы можем произвести деление отрезка прямой на пропорциональные части. Разберем как выполняется данное деление.
Для того чтобы разделить отрезок АВ в соотношении например 3:2 (отсчитывая от точки А), необходимо под произвольным углом из точки А провести вспомогательную прямую. Затем на этой прямой отложить 5 произвольных, но равных между собой отрезков. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3:2. Мы получим отношение AD:DB = 3:2
Доказательство:
Рассмотрим треугольники АСВ и AEB. Данные треугольники подобны по двум углам (?A- общий, ?ACD=?AEB- соответственные). Следовательно, отношения сторон треугольников равны. По построению =, значит и =. Значит, отрезок АВ поделен в заданном отношении.
Деление отрезка в крайнем и среднем отношении
На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО (АО: АК=АК: КО). Такое деление известно под названием золотое сечение или золотое отношение. Правило золотого сечения получило популярность благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе.
Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: отрезок АО делим на две равные части (точка С); в точке О строим перпендикуляр к отрезку АО, на перпендикуляре откладываем отрезок ОМ который равен отрезку ОС; точки А и М соединяют прямой. Далее на этой прямой от точки М откладывают отрезок MN = ОМ и на отрезке АО от точки А откладывают отрезок АК из точки N. Точка К и будет являться результирующей точкой которая делит отрезок АО в крайнем и среднем отношении.
