Решение уравнений 4 степени методом феррари. Решение одного уравнения четвертой степени несколькими способами. Уравнение четвертой степени
Руководя познанием природы и приобретением детьми различных навыков и умений, воспитатель применяет разнообразные методы и приемы.
Предпочтение следует отдавать тем методам и приемам, которые обеспечивают непосредственное восприятие детьми природы и активное овладение навыками. К таким методам относятся и наблюдение, эксперимент, труд, игры. Наряду с этим широко применяются методы, основанные на слове воспитателя,-- рассказ, чтение художественных произведений, беседы, проводимые с демонстрацией натуральных объектов, или их изображений.
Методы и приемы, используемые педагогом в работе, соединяются, например наблюдение с беседой, рассказ воспитателя с чтением художественного произведения, эксперимент с трудом и т. д.
Применяя тот или иной метод, воспитатель использует множество различных приемов. Так, например, при проведении беседы в сочетании с наблюдением воспитатель "приближает" объект к детям, сравнивает с уже известным, вводит элементы игры, применяет пословицы, поговорки и т. п.
Одни и те же приемы могут использоваться в разных методах. Например, сравнение применяется во время наблюдений, в дидактических играх, в беседе; игровые приемы также используются при наблюдениях, в беседах; показ, пояснение -- при обучении трудовым навыкам, проведении опытов и др. . Разнообразие и эффективность методов и приемов характеризует мастерство воспитателя.
Выбор методов и приемов определяется содержанием программы и зависит от природного окружения дошкольного учреждения, места и объекта наблюдений, а также от возраста детей и накопленного ими опыта.
В группах раннего и младшего дошкольного возраста особое значение имеют чувственные восприятия детей, поэтому основным методом будет наблюдение.
Во время наблюдения ребенок может в естественной обстановке наблюдать явления природы, сезонные изменения, увидеть, как люди преобразуют природу в соответствии с требованиями жизни и как природа служит им. Преимущества наблюдений-занятий и в том, что здесь ребята имеют возможность видеть растения и животных в среде их обитания. Наблюдение помогает формировать у ребят первичные мировоззренческие представления о взаимосвязях, существующих в природе, материалистическое миропонимание.
Наблюдения в лес, в поле, на берега рек и озер привлекают внимание ребят, предоставляют возможность под руководством педагога собирать разнообразный материал для последующих наблюдений и работы в группе, в уголке природы. На наблюдения у ребят развиваются наблюдательность, интерес к изучению природы .
Они приучаются всматриваться в предмет и подмечать его характерные особенности. Красота природы вызывает у ребят глубокие переживания, неизгладимые впечатления, способствует развитию эстетических чувств. На этой основе формируется любовь к родной природе, бережное отношение к ней, любовь к Родине.
Организация наблюдений.
Наблюдение как форму занятия используют в средней, старшей и подготовительной группах. Для каждой наблюдения определяют программное содержание, обязательное для усвоения всеми детьми.
Природоведческие наблюдения проводят в определенной системе. Организовывать их целесообразно на одни и те же объекты в разные времена года, с тем, чтобы показать детям сезонные изменения, которые происходят в природе. Например, в весенний сезон с детьми старшего дошкольного возраста следует провести 3 наблюдения в парк с постепенным усложнением задач. Цель этих наблюдений -- знакомить с весенними изменениями, развивать умение видеть их и понимать причину происходящего в природе.
Сельскохозяйственные наблюдения проводят для ознакомления с отдельными видами труда взрослых. Организовать наблюдение значительно труднее, чем занятие в группе, и успешной она будет только при условии тщательной подготовки .
Дидактическая игра
Игра -- не только развлечение, но и метод, при помощи которого маленькие дети знакомятся с окружающим их миром. Чем меньше дети, тем чаще игра применяется как метод образовательно-воспитательной работы с ними.
Дидактические игры. В этих играх используются натуральные предметы природы (овощи, фрукты, цветы, камни, семена, сухие плоды), картинки с изображением растений и животных, настольные игры и всевозможные игрушки.
Дидактические игры с естественным материалом природы или изображениями его являются основным способом сенсорного воспитания, развития познавательной деятельности.
Игры проводят на занятиях, экскурсиях, прогулках в специально отведенное для них время.
Дидактические игры, применяемые на занятиях, помогают детям усвоить качества предметов и уточнить представления, полученные в процессе наблюдения в природе .
Дидактические игры нужно постепенно усложнять. Так, например, узнавание предметов следует давать сначала по внешнему виду, потом на ощупь, затем по описанию и наконец, по ответам на поставленные вопросы к загадке. Наиболее трудным является объединение объектов по общим признакам и отгадывание предметов по ответам на вопросы.
Во время дидактической игры с растениями нужно воспитывать бережное отношение к ним.
Игры с естественным материалом природы. На прогулках широко применяются игры детей с естественным материалом.
В многочисленных играх с песком, водой, снегом, камешками дети знакомятся с качеством и свойствами природных материалов, накапливают чувственный опыт. Так, например, дети узнают, что вода бывает холодной и теплой, разливается, в ней тонут камни, плавают щепки и легкие игрушки, что сухой снег рассыпается, а из мокрого можно лепить и т. д.
В ходе игры с природным материалом (снегом, водой, песком) воспитатель, беседуя с детьми, помогает им усвоить некоторые свойства материала, например: "Коля взял сухой песок, он рассыпается" или "Тоня положила в формочку мокрый песок, у нее вышел хороший пирожок".
Забавляясь такими игрушками, как вертушки, стрелы, мельницы, дети знакомятся с действием ветра, воды и усваивают ряд фактов, которые в дальнейшем помогут им понять простейшие физические законы (плавание предметов в воде, движение в воздухе и др.).
Гуляя с детьми в лесу, полезно обращать их внимание на сучки, сухие ветки, корни, которые по своим очертаниям напоминают птиц, зверей. Постепенно дети начинают присматриваться к природному материалу и отыскивать в нем сходное со знакомыми предметами. Это очень радует их и способствует развитию наблюдательности и воображения .
В младших группах игра обычно занимает все занятие, в средней, старшей и подготовительной к школе группах она чаще всего является частью занятия и продолжается от 5 до 20 минут.
В младших группах проводят игры, в которых ребенок должен научиться различать предметы по внешнему виду. Организуя такую игру, воспитатель поручает детям принести лист, цветок, морковь, свеклу, картофель и т. д.
В средней группе, играя, дети узнают предметы (овощи, фрукты) на ощупь. К таким играм относятся "Угадай, что в мешочке?", "Узнай, что в руках?".
Для первой из этих игр воспитатель заранее приготовляет мешочек и кладет в него овощи или фрукты (картофель, луковицу, свеклу, морковь, огурец, яблоко, грушу, лимон). Дети по очереди опускают в мешочек руку, берут предмет, ощупывают его, называют, а затем вынимают и показывают всей группе.
После того как у детей накопятся конкретные представления о растениях (полевых, лесных, комнатных и т.д.), в старшей группе можно дать дидактические игры на сравнение предметов и узнавание их по частям (цветкам, листьям). Проводя игру, например "Узнай, чей лист?", дети сравнивают лист, полученный для отгадывания, с листьями, имеющимися у растений.
В подготовительной к школе группе проводят игры, требующие выявления некоторых признаков растений или животных, умения их описать, сделать обобщение .
Словесные дидактические игры, например "Узнай предмет по описанию", "Угадай, что это?" или "Кто это?", организуют на знакомом детям материале; с их помощью активизируется мышление детей, развивается речь.
Труд как метод воспитательно-образовательной работы в детском саду имеет важное значение. Непосредственно соприкасаясь с предметами и явлениями природы, дети приобретают конкретные знания о ней, устанавливают некоторые связи между развитием растений и уходом за ними человека. Все это положительно влияет на развитие мышления детей, создает основу для материалистического миропонимания.
Систематический труд на огороде, в саду, цветнике и уголке природы повышает интерес детей к растениям и животным, помогает воспитывать у детей любовь и бережное отношение к объектам природы, способствует формированию высоких нравственных качеств.
Посильный физический труд оказывает полезное воздействие на общее развитие детей, совершенствует функции их анализаторов, и в первую очередь двигательного.
Труд в детском саду применяется в повседневном уходе за растениями и животными на земельном участке и в уголке природы, иногда на занятиях. Но нельзя превращать труд детей в самоцель. Воспитывая те или иные трудовые навыки, следует расширять или закреплять знания детей о природе. Так, например, перед посевом дети должны рассмотреть семена (форму, размер, цвет), перед посадкой черенков повторить названия частей растения (стебель, листья, цветки).
У детей необходимо воспитывать сознательное отношение к труду, требовать, чтобы они осмысливали производимую работу, понимали ее цель. Очень важно, чтобы дети не только усвоили тот или иной прием, но и поняли, зачем он нужен. Поэтому, показывая посев семян, посадку черенков, доливку воды в аквариум и другие трудовые операции, совершенно необходимо сопровождать их пояснениями.
Если всю деятельность детей свести к механическому проведению тех или иных операций, то, как бы ни был эффективен их результат, труд потеряет воспитательно-образовательную ценность. Любой новый трудовой прием воспитатель должен объяснить и показать сам, затем его повторяют двое-трое детей средней группы и один или двое старшей и подготовительной к школе групп. Только после этого можно предложить выполнение приема всей группе. Постоянное применение одних и тех же приемов ведет к образованию трудового навыка и тем обеспечивает успешное выращивание растений и уход за животными.
К основным приемам, применяемым в трудовом обучении детей, относятся ознакомление с трудом взрослых, пример самого воспитателя, поручение детям различных трудовых операций и проверка их выполнения, оценка проделанной работы воспитателем и всей группой .
МЛАДШИЕ ГРУППЫ
В процессе ознакомления детей младших групп с природой воспитатель решает ряд задач: формирует первые представления о некоторых предметах и явлениях неживой природы, о наиболее часто встречающихся ярких цветущих растениях, учит различать особенности внешнего вида животных, некоторые части тела, особенности движения, издаваемые звуки. Воспитатель обучает малышей н первым несложным трудовым умениям: полить растения, обтереть листья влажной тряпочкой, покормить рыбку, птичку в уголве природы. На этой основе воспитывает бережное отношение к растениям и животным, вызывает у детей чувство радостного удивления, первые эстетические переживания.
Основное содержание знаний малыши усваивают через систематические встречи с природой в процессе наблюдения в уголке природы и на участке детского сада.
Коллективные формы работы воспитатель чередует с индивидуальными, занимаясь с небольшими подгруппами детей. Индивидуальное общение с ребенком позволяет вызвать у него больший интерес, успешнее (подробнее, тщательнее) провести наблюдение.
Однако этого недостаточно. Для расширения представлений, уточнения и конкретизации знаний, а также для развития наблюдательности 2 раза в месяц проводятся занятия и целевые прогулки. С детьми первой младшей группы занятия проводятся в первом полугодии с двумя подгруппами, во втором - со всей группой. Во второй младшей группе занятия проводятся со всеми детьми.
СРЕДНЯЯ ГРУППА
Дети 4-5 лет любопытны, задают множество вопросов, с интересом знакомятся с различными предметами, их качествами и свойствами, с окружающей природой и явлениями общественной жизни. Внимание детей этого возраста становится более устойчивым. Им уже доступно понимание простейших связей в наблюдаемых явлениях. Исходя из этого воспитатель средней группы решает новые задачи в ознакомлении детей с природой. Учит ребят видеть в предметах характерные свойства, сравнивать и группировать предметы по этим свойствам, формирует первые элементарные обобщения, подводит к установлению простейших связей между некоторыми явлениями.
Дети ежедневно выполняют поручения по уходу за растениями и животными, получают первые представления о том, что для роста растений нужны влага, свет, тепло. Овладевают и первоначальными умениями выращивания растений. В процессе наблюдений и ухода за растениями и животными у дошкольников воспитывается чувство бережного и заботливого отношения к природе, понимание ее красоты.
Основным методом ознакомления детей с природой остаются наблюдения. Они осуществляются на ежедневных и целевых прогулках. В средней группе проводятся экскурсии. Лучше всего их организовать тогда, когда сезонные изменения проявляются наиболее ярко.
Два раза в месяц проводятся занятия. Продолжается работа в уголке природы, который в течение всего года пополняется новыми объектами, У детей закрепляются ранее полученные умения и навыки ухода за растениями и животными, формируются новые.
Широко используются трудовые поручения, к выполнению которых систематически привлекаются все дети. Форма организации труда разнообразна. Так, уборку участка, посадку растений выполняет вся группа; для других работ дети организуются небольшими подгруппами или получают индивидуальные поручения. Совместный труд воспитывает у ребят чувство ответственности за порученное дело и коллективизма. Закреплению, уточнению и систематизации полученных знаний способствуют дидактические игры.
Кроме непосредственных наблюдений, игр и занятий, должное место в работе с детьми занимает рассматривание картин с изображением природы. Это могут быть отдельные растения, животные, а также картины леса, поля, реки, живописные картины времен года. Отбирают картины такие, которые побуждали бы детей к рассказу, помогали закреплять и уточнять знания. Собирают плоды деревьев и кустарников, составляют из них коллекции и гербарии.
В средней группе детей знакомят с изменениями в природе. Наблюдение лучше вести за изменением единичного предмета, явления (за такими объектами природы, в которых изменения происходили бы в течение 1 -2 месяцев, например рост редиса, гороха, настурции). Более длительные наблюдения трудны для детей среднего возраста.
Дети пятого года жизни учатся вести дневник наблюдений. Форма ведения дневника может быть разной (гербарии, рисунки). Дневник помогает воспроизвести ход развития явлений. В процессе наблюдения, а затем и при составлении гербария или зарисовке воспитатель ставит вопросы, подводя ребят к сравнению: «Что было? Что стало теперь? Есть ли бутон? Что появилось нового?» И т. д. При этом в беседе участвуют все дети.
СТАРШАЯ ГРУППА
У детей старшего дошкольного возраста развивается способность к аналитико-синтетической деятельности. Дети шестого года жизни не ограничиваются узнаванием отдельных конкретных фактов, внешних свойств явлений, а стремятся проникнуть в суть, понять причины явлений. С учетом этого в старшей группе усложняются задачи и программа ознакомления с природой.
У детей формируют систему представлений и простейших понятий о предметах и явлениях неживой природы: они узнают причину изменения продолжительности дня и ночи, особенности осадков, погоды в разные сезоны; учатся различать и правильно называть растения, усваивают правила ухода; учатся видеть основные стадии роста и развития растений, понимать основные изменения в состоянии растений по сезонам, узнают о некоторых особенностях ухода за растениями; учатся различать своеобразие внешнего строения и повадки животных получают знания о развитии некоторых видов, о способах защиты животных от врагов, овладевают основными навыками ухода за обитателями уголка природы.
В старшей группе необходимо формировать умения обобщать и классифицировать объекты природы по ярким и существенным признакам и связям. Важной задачей остается воспитание у детей бережного, заботливого отношения и любви к природе, эстетического восприятия природы.
Ознакомление детей с природой осуществляется как на занятиях, так и в повседневной жизни - в уголке природы и на участке. Занятия по ознакомлению с природой проводятся еженедельно. Особое место занимают экскурсии, а также занятия, связанные с обобщением знаний детей. Воспитатель широко использует труд, наблюдения, опыты на участке, в уголке природы с тем, чтобы накопить конкретные представления об окружающей природе, углубить знания, полученные на занятиях. Впервые организуются дежурства в уголке природы.
Дети начинают вести календарь природы, в котором фиксируют основные существенные явления в неживой природе, в жизни растений, животных в каждый сезон, особенности сезонного труда взрослых и детей, развлечения на воздухе. В календаре обязательно отражаются коллективные наблюдения.
Одному или нескольким детям поручают изобразить определенные явления природы, а затем выбирают вместе с ними рисунок, который наиболее полно отражает увиденное. Можно поручить это дело дежурному или тому, кто первый заметил интересное явление. Форма ведения календаря разная: в виде настенного панно, альбома, ширмы. Календари используются в итоговых беседах о том или ином времени года. Они помогают подвести детей к простейшим формам обобщения.
Закреплению и систематизации знаний детей о природе в течение года помогают настолько-печатные игры: лото «Времена года», «Ботаническое лото», «Зоологическое лото» и др.
ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ К ШКОЛЕ ГРУППА
При планомерном ознакомлении детей с природой к 6 годам у них накапливаются представления о самых разнообразных предметах и явлениях природы, формируются несложные умения выращивать растения и ухаживать за мелкими животными, развивается наблюдательность. Дети овладевают умениями принимать указания взрослого, следовать его плану, использовать в процессе деятельности усвоенные ранее приемы, оценивать полученные результаты и т. д. В результате дети седьмого года жизни уже способны под руководством взрослого вести целенаправленный анализ воспринимаемых явлений, выделять при этом существенные признаки и свойства, на их основе обобщать и классифицировать объекты. Все это дает возможность в работе с детьми седьмого года жизни решать новые задачи ознакомления с природой, использовать новые способы организации работы.
Каковы же эти задачи? В подготовительной к школе группе проводится дальнейшая конкретизация и обогащение представлений о природе. При этом детей выводят за пределы непосредственного опыта, знакомя с новыми объектами через художественную книгу, картинку, диафильмы и кинофильмы и т. п. Дети должны получить знания о последовательности некоторых явлений природы (рост и развитие некоторых животных, сезонные изменения в природе и др.).
В подготовительной к школе группе в центре работы стоит систематизация и обобщение накопленных знаний, формирование элементарных понятий и суждений об объектах и явлениях природы. В процессе усвоения элементарных знаний у будущего школьника развиваются важные для обучения способности обобщенного восприятия, элементы словесно-логического мышления, связная речь. Систематизация и обобщение знаний требуют дальнейшего расширения представлений о признаках и свойствах, структуре природных явлений, а также усвоения разнообразных связей и причин; на этой основе у детей возникает познавательное отношение к природе.
Совершенствуется эстетическое восприятие природы. Старших дошкольников учат видеть неповторимость ее явлений, гармонию красок и форм, все разнообразие проявлений жизни. Дети седьмого года жизни способны при участии взрослых поддерживать порядок на участке и в уголке природы, беречь красоту тех мест, где они отдыхают, играют, выращивать красивые цветы, создавать несложные композиции из природного материала, выражать красоту наблюдаемой природы в ярком точном слове, в изобразительной деятельности.
Большое внимание уделяется воспитанию любви к родной природе, бережного и заботливого отношения к ней. Дети седьмого года жизни устанавливают связь между собственной деятельностью и состоянием растений и животных, находящихся на их попечении, совершенствуют трудовые навыки и умения.
Возросшие возможности детей подготовительной к школе группы позволяют использовать для работы не только уголок и участок, но и ближайшее природное окружение: парки и сады, поле, луг, водоем, фермы, оранжереи, ботанический и зоологический сады и т. д. С детьми систематически проводят целевые прогулки и экскурсии. Желательно провести 1-2 экскурсии и целевые прогулки в лес, парк для того, чтобы проследить изменения природы в течение сезона, осенью и зимой - 1-2 целевые прогулки на водоем. Весной и летом количество экскурсий и целевых прогулок значительно увеличивается (до 2-3 в лес, поле, огород, водоем и др.).
В уголке природы дети ведут систематические наблюдения, дежурные ухаживают за его обитателями. В дежурстве по уголку природы одновременно принимают участие несколько детей (до 3-4 в зависимости от количества обитателей), дежурят по 2-3 дня. Воспитатель в течение года проводит 2-3 занятия, на которых знакомит детей с изменениями способа ухода за обитателями уголка (особенно растениями) в разные сезоны, с уходом за новыми его обитателями.
Наблюдения и труд на участке в подготовительной к школе группе организуют фронтально, или отдельные трудовые поручения распределяются между группами и звеньями. Весной можно использовать форму организации детей по звеньям: каждое звено получает длительное трудовое поручение по уходу за определенной, грядкой или клумбой, за тем или другим домашним животным - наседкой с цыплятами, щенком, кроликами, живущими на участке. Длительные поручения дают и индивидуально.
Один раз в неделю проводится занятие или экскурсия (целевая прогулка проводится во время, отведенное для прогулок), Многие занятия и экскурсии, проведенные в старшей группе, повторяются в подготовительной с некоторым усложнением программных задач.
При организации ознакомления с природой в подготовительной к школе группе следует широко использовать элементарную поисковую деятельность; она обеспечивает усвоение детьми доступных их пониманию связей и отношений в природе. Проводятся разнообразные опыты.
Сост. Л.А.Каменева, "Как знакомить дошкольников с природой", М., 1983.
Популярные статьи сайта из раздела «Сны и магия»
Почему снятся ушедшие из жизни люди?
Существует стойкое убеждение, что сны про умерших людей не относятся к жанру ужасов, а, напротив, часто являются вещими снами. Так, например, стоит прислушиваться к словам покойников, потому что все они как правило являются прямыми и правдивыми, в отличие от иносказаний, которые произносят другие персонажи наших сновидений...2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
|
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена
Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:
|
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Многочлен 2x 2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3
|
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
А корнями уравнения являются.
2. Уравнение Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением.
Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы
и неверным при других ее значениях.
Например, уравнение x + 6 = 7
верно при x = 1
и неверно при x = 2 .
3.
Равносильные уравненияЛинейное уравнение имеет вид ax + by + c = 0 .
Например: 5x – 4y + 6 = 0 .
Выразим y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5 .
Полученное уравнение, равносильное первому, имеет вид
y = kx + m ,
где: x - независимая переменная (аргумент);
y - зависимая переменная (функция);
k и m - коэффициенты (параметры).
4 Эквивалентные уравнения
Два уравнения и называются равносильными (эквивалентными ), если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений и обозначают .
5/Уравнение первой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду:
ax + b = 0,
где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Отсюда легко вывести значение x :
b
x = – -
a
Это значение x является корнем уравнения.
Уравнения первой степени имеют один корень.
Уравнение второй степени.
Уравнение второй степени можно привести к виду:
ax 2 + bx + c = 0,
где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
Если D > 0, то уравнение имеет два корня;
Если D = 0, то уравнение имеет один корень;
Если D < 0, то уравнение корней не имеет.
Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).
Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей степени можно привести к виду:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
Уравнение четвертой степени.
Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
Обобщение:
1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;
2) уравнение n -й степени может иметь не более n корней.
6/Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
1. 8/-11/Системы линейных уравнений: основные понятия Система линейных уравнений.
Несовместная и неопределенная системы линейных уравнений. Совокупность линейных уравнений.Совместная и несовместная совокупность линейных уравнений.
Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.
Переменная x i называется разрешенной , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:
Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:
1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.
Несколько уравнений образуют Совокупность уравнений
2. 12,13/ Линейное неравенство./ Строгие и нестрогие неравенства Что такое неравенство? Берётся любое уравнение, знак "=" ("равно") заменяется на другой значок (> ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) и получается неравенство.) Уравнение может быть каким угодно: линейным, квадратным,дробным, показательным, тригонометрическим, логарифмическим, и т.д. и т.п. Соответственно, и неравенства у нас получатся линейные, квадратные, и т.д.
Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше (< ) называются строгими. Со значками больше или равно (≥ ), меньше или равно (≤ ) называются нестрогими. Значок не равно (≠ ) стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)
Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы...
Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 - верное неравенство. 5 < 2 - неверное.
Линейные, квадратные, дробные, показательные, тригонометрические и прочие неравенства решаются по-разному. На каждый вид - свой способ, свой специальный приём. Но! Все эти специальные приёмы можно применять только к некоему стандартному виду неравенства. Т.е. неравенство любого вида нужно сначала подготовить к применению своего способа.
3. 14,16/Основные свойства неравенств/ . Действия с двумя неравенствами.
1) Если 
2) Свойство транзитивности. Если
3) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т.е. если
4) Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, т.е. если
5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если 
6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если
7) Аналогично правилам 5) и 6) действуют правила для деления на одно и то же число. Если 
Уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными.
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.
Решить уравнение - это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.
Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.
Так вот, главная задача при решении любого уравнения - свести его к простейшим.
Определение 1.
Уравнение f(x)=ф(x) где функции f и ф заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением. ОДЗ этого уравнения - множество всех действительных чисел.
Известно, что алгебраическая сумма и произведение многочленов есть многочлен, поэтому с помощью тождественных преобразований каждое целое рациональное выражение можно представить в виде многочлена и, следовательно, перейти от уравнения к равносильному уравнению
Р (х)=Q(х), где Р (х) и Q(х) - некоторые многочлены с одной переменной х.
Перенося Q(х) в уравнении в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х)-Q(х)=0, где в левой части многочлен, а в правой части 0. Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения.
Так, если в уравнении раскрыть скобки, перенести все члены в левую часть и привести подобные, то получим равносильное уравнение.
Определение 2.
Целым рациональным уравнением степени n стандартного вида называют уравнение a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0, где a0!=0.
Как показано выше, всякое целое рациональное уравнение можно привести к равносильному ему уравнению стандартного вида.
В случае, когда a0=1, уравнение имеет вид: xn+a1xn-1+. + an-1x+ an=0, его называют приведенным целым рациональным уравнением степени n.
Например, x2+ px+q=0 - приведенное квадратное уравнение.
Из определения 2 следует, что решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения.
Существуют формулы вычисления корней и для уравнений третьей и четвертой степеней. Однако эти формулы столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Поэтому в современной математике разработаны различные методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений.
1. 2. Основные методы решения целых рациональных уравнений
Процесс решения уравнений заключается в сведении данного уравнения к линейным или квадратным уравнениям. Для этого применяют два основных метода: 1) разложение на множители и 2) введение новой переменной.
1. 2. 1. Метод разложения на множители
Теорема 1. Уравнение fxxфx=0, определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f (x)=0 и ф(x)=0.
Теорема 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.
Теорема 3. Если уравнение a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 с целыми коэффициентами имеет рациональный корень x0=pq, где pq - несократимая дробь, то p - делитель свободного члена an, а q - делитель старшего коэффициента a0.
1. 2. 2. Введение новой переменной
Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.
Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.
Замена y = x n (степенная замена)
В частности, с помощью замены y = x 2 так называемое биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0, a != 0 приводится к квадратному.
Замена y=Pn(x) или y=√Pn(x) (замена многочлена)
Чаще всего встречается замена y=ax2+bx+c или y=ax2+bx+c
Замена y=Pn(x)Qm(x) (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, Pn(x) и Qm(x) − многочлены степеней n и m соответственно.
В частности, с помощью широко распространённой замены y=x+1x решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a != 0.
Покажем, как это делается. Так как a != 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x 2 != 0, получим
А так как x2+1x2=(x+1x)2-2, то после замены y=x+1x уравнение сводится к квадратному ay2+by+c-2a=0.
Дадим два практических совета.
Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному
Глава 2: Практическая часть
Методы решения одного уравнения
Для решения уравнения несколькими способами выберем уравнение x4+x3-4x2+x+1=0
I метод: неопределенных коэффициентов.
Если есть целочисленные корни, то они являются делителями свободного члена: x=+-1. Подбором убеждаемся, что x=1 является решением уравнения. Делим уголком многочлен x4+x3-4x2+x+1 на двучлен x-1.
x + x - 4· x + x + 1 x - 1 x - x3 x +2· x - 2 x - 1
2x - 4· x + x + 1
2∙ x + x + 1
Если есть целочисленные корни, то они являются делителями свободного члена: x=+-1. Подбором убеждаемся, что x=1 является решением уравнения. Делим уголком многочлен x3+2x2-2x-1 на двучлен x-1.
x + 2· x - 2 x - 1 x - 1 x - x2 x +3· x + 1
3x - 3· x x - 1 x - 1
Осталось решить квадратное уравнение x2+3x+1=0
D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52
Ответ: x=1; x=-3+-52
II метод: разложение на множители.
Распишем 4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0
(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x-12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0
Ответ: x=1; x=-3+-52
III метод: как возвратное уравнение.
Смотрим, что коэффициенты симметричны, следовательно это возвратное уравнение. Проверкой можно убедиться, что x = 0 не является корнем уравнения, а значит, уравнение можно почленно разделить на x2.
x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0
Делаем замену переменной: t=x + 1x t2=x + 1x2=x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2=t2-2
Тогда уравнение перепишется в виде: t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.
Переходим обратно к переменной x.
x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1
Ответ: x=1; x=-3+-52
IV метод: графический.
Перепишем уравнение в виде: x4-4x2=-x3-x-1
Построим на одном чертеже два графика функций: у=x4-4x2; у=-x3-x-1
Построим первую функцию, используя методы математического анализа: у=x4-4x2 у=x4-4x2; у=-x3-x-1 у"=4x3-8x=2x(x2-2) у"=4x3-8x=2xx2-2=x=0,x= +- 2.
Дополнительные точки: x
Построим вторую функцию, используя методы математического анализа: у=-x3-x-1 у"=-3x2-1
Дополнительные точки: x
Видны 3 точки пересечения, но точное значение можно определить только у одной из них, это недостаток графического решения, а также его недостаток - протяженность во времени.
V метод: общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени (согласно теореме Виета высших степеней)
Уравнение:
(1) имеет четыре корня
Известно, что:
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
Составляем квадратное уравнение:
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая перепишем уравнение (8) в виде:
Решая уравнение (8) получаем:
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
Учитывая, что перепишем формулу (7) в виде:
Подставляя в формулу (12) в формулу (11) получаем
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
Таким образом, решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (14), где и двух квадратных уравнений:
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
Полное уравнение четвертой степени сводится к уравнению (1) путем замены переменной на переменную.
Итак, решим уравнение x4+x3-4x2+x+1=0.
Сделаем замену:
Тогда уравнение перепишется в виде у4-198у2+258у+125256=0.
Тогда надо решить уравнения:
А также уравнения
Уже на данном этапе видно, то этот способ очень труден и решение уравнения (*) нас приводит к первым трем способам решения, то есть мы делаем работу дважды. Но положительно в этом способе то, что он универсален, то есть подходит к множеству уравнений.
VI метод: по формуле Феррари
Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени.
Пусть ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - общее уравнение 4-й степени.
Если положить x=y-ba, то уравнение (1) можно привести к виду y4+2py2+2qy+r=0 , (2) где p,q,r - некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:
(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)
В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2). Выберем параметр t так,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа: q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)
Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид
(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.
Отсюда y2+-2ty+p+t+-q√2t=0.
Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а следовательно, и (1).
Итак, попробуем решить: x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba=y-14 y-144+y-143-4y-142+1=0
(y4-14)2+y3-3y2∙14+3y∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+116
Уже на данном этапе видно, то этот способ очень труден и решение уравнения (*). Его можно использовать, но он очень энергоемкий. Зато также как и формула Виета, формула Феррари универсальна для любых уравнений четвертой степени.
Заключение
Одно уравнение можно решить несколькими методами. В зависимости от примера нахождение методов решения различно. Для каждого уравнения находится свой оптимальный способ решения.
Данный пример, мы решили 6 методами. Из них мне больше нравится метод разложения на множители, так как он короче и менее трудоемкий.
Для решения именно этого уравнения наиболее оптимальный способ решить как возвратное уравнение. Но этот метод применяется не всегда, так как он не универсален и не во всех случаях подходит.
Метод неопределенных коэффициентов также удобен в этом случае, но не все уравнения имеют целые корни, поэтому оптимален в определенных случаях.
Графический способ решения уравнений энергоемкий и не дает точных ответов. Этот способ удобен для решения задач, где необходимо узнать сколько корней имеет уравнение, а не какие.
Теорема Виета для уравнений высших степеней является универсальным методом. Но его редко используют, так как он трудоемкий.
Для уравнений универсален метод Феррари. Но для этого случая он слишком энергоемкий.
Моя работа значима для учащихся старших классов, которым предстоит встретиться с подобными задачами на Едином государственном экзамене или на вступительных экзаменах в ВУЗы.
