Was man eine unendliche Zahlenfolge nennt. Das Konzept einer Zahlenfolge. Beispiele für Folgen, die gegen eine endliche Zahl konvergieren
Zahlenfolge.
Denken wir zunächst über das Wort selbst nach: Was ist Sequenz? Sequenz ist, wenn etwas auf etwas folgt. Zum Beispiel eine Abfolge von Aktionen, eine Abfolge von Jahreszeiten. Oder wenn sich jemand hinter jemandem befindet. Zum Beispiel eine Abfolge von Menschen in einer Schlange, eine Abfolge von Elefanten auf dem Weg zu einer Wasserstelle.
Lassen Sie uns das sofort klären Charakteristische Eigenschaften Sequenzen. Erstens, Sequenzmitglieder befinden sich streng in in einer bestimmten Reihenfolge . Wenn also zwei Personen in der Warteschlange vertauscht werden, ist dies bereits der Fall andere Folge. Zweitens, jeder Sequenzmitglied Sie können eine Seriennummer vergeben:
Genauso ist es auch mit Zahlen. Lassen zu jedem natürlicher Wert nach einer Regel konform reelle Zahl. Dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge.
Ja in mathematische Probleme im Gegensatz zu Lebenssituationen Die Sequenz enthält fast immer unendlich viele Zahlen.
Dabei:
Angerufen erstes Mitglied Sequenzen;
– zweites Mitglied Sequenzen;
– drittes Mitglied Sequenzen;
– nth oder gemeinsames Mitglied Sequenzen;
In der Praxis ist die Reihenfolge meist vorgegeben allgemeine Begriffsformel, Zum Beispiel:
– Folge positiver gerader Zahlen:
Somit bestimmt der Datensatz eindeutig alle Mitglieder der Sequenz – dies ist die Regel (Formel), nach der natürliche Werte 
Zahlen werden in Korrespondenz gebracht. Daher wird die Sequenz oft kurz mit einem gemeinsamen Begriff bezeichnet und anstelle von „x“ können andere verwendet werden Briefe, Zum Beispiel:
Folge positiver ungerader Zahlen:
Eine weitere häufige Reihenfolge:
Wie viele wahrscheinlich bemerkt haben, spielt die Variable „en“ die Rolle einer Art Zähler.
Tatsächlich haben wir uns schon in der Mittelschule mit Zahlenfolgen beschäftigt. Lass uns erinnern arithmetische Folge. Ich werde die Definition nicht umschreiben; lassen Sie uns anhand eines konkreten Beispiels auf das Wesentliche eingehen. Sei – der erste Term und – Schritt arithmetische Folge. Dann:
– die zweite Amtszeit dieser Progression;
– die dritte Amtszeit dieser Progression;
- vierter;
- fünfter;
Und natürlich ist der n-te Term angegeben wiederkehrend Formel
Notiz: In einer wiederkehrenden Formel wird jeder nachfolgende Term durch den vorherigen Term oder sogar durch eine ganze Reihe vorheriger Terme ausgedrückt.
Die resultierende Formel ist in der Praxis von geringem Nutzen – um beispielsweise zu zu gelangen, müssen Sie alle vorherigen Begriffe durchgehen. Und in der Mathematik wurde ein bequemerer Ausdruck für das n-te Glied einer arithmetischen Folge abgeleitet: 
. In unserem Fall:
Setzen Sie natürliche Zahlen in die Formel ein und überprüfen Sie die Richtigkeit der oben konstruierten Zahlenfolge.
Ähnliche Berechnungen können durchgeführt werden geometrischer Verlauf, dessen n-ter Term durch die Formel gegeben ist, wobei der erste Term ist und – Nenner Fortschreiten. Bei Mathematikaufgaben ist der erste Term oft gleich eins.
Beispiele:
Progression legt die Reihenfolge fest 
;
Fortschreiten 
legt die Reihenfolge fest;
Fortschreiten 
legt die Reihenfolge fest 
;
Fortschreiten 
legt die Reihenfolge fest 
.
Ich hoffe, jeder weiß das -1 in ungerader Grad gleich –1 und in geraden Zahlen – Eins.
Fortschritt heißt unendlich abnehmend, if (letzte beiden Fälle).
Fügen wir unserer Liste zwei neue Freunde hinzu, von denen einer gerade an die Matrix des Monitors geklopft hat:
Die Sequenz wird im mathematischen Fachjargon als „Blinker“ bezeichnet:
Auf diese Weise, Sequenzmitglieder können wiederholt werden. Im betrachteten Beispiel besteht die Folge also aus zwei unendlich alternierenden Zahlen.
Kommt es vor, dass die Sequenz aus besteht? identische Zahlen? Sicherlich. Es setzt zum Beispiel unendlich viele „Dreier“. Für Ästheten gibt es einen Fall, in dem „en“ noch formal in der Formel vorkommt:
Fakultät:
Nur eine komprimierte Aufnahme der Arbeit:
Überhaupt keine Graphomanie, es wird für Aufgaben nützlich sein;-) Ich empfehle, es zu verstehen, sich daran zu erinnern und es sogar in ein Notizbuch zu kopieren. ...Eine Frage kam mir in den Sinn: Warum kreiert niemand so nützliche Graffiti? Ein Mann fährt in einem Zug, schaut aus dem Fenster und studiert Fakultäten. Punks ruhen sich aus =)
Vielleicht verstehen einige Leser immer noch nicht ganz, wie man die Mitglieder einer Sequenz beschreibt, wenn sie das gemeinsame Mitglied kennen. Das seltener Fall, wenn der Kontrollschuss wieder zum Leben erwacht:
Befassen wir uns mit der Reihenfolge 
.
Setzen wir zunächst den Wert in den n-ten Term ein und führen die Berechnungen sorgfältig durch:
Dann setzen wir folgende Zahl ein:
Vier:
So was jetzt ausgezeichnete Note Es ist keine Schande, Folgendes zu verdienen:
Das Konzept einer Sequenzgrenze.
Um die folgenden Informationen besser zu verstehen, ist es ratsam, zu VERSTEHEN, worum es sich handelt Grenze einer Funktion. Natürlich im Standardkurs mathematische Analyse Zuerst betrachten sie den Grenzwert der Folge und erst dann den Grenzwert der Funktion, aber Tatsache ist, dass ich bereits ausführlich über das eigentliche Wesen des Grenzwerts gesprochen habe. Darüber hinaus wird eine Zahlenfolge theoretisch als Sonderfall einer Funktion betrachtet, und Leute, die mit dem Grenzwert einer Funktion vertraut sind, werden viel mehr Spaß haben.
Laden wir einen einfachen Freund zum Tanzen ein:
Was passiert, wenn „en“ auf unendlich ansteigt? Offensichtlich werden die Mitglieder der Sequenz sein unendlich nah gegen Null gehen. Dies ist der Grenzwert dieser Folge, die wie folgt geschrieben wird:
Wenn die Grenze der Sequenz gleich Null, dann heißt es unendlich klein.
In der Theorie der mathematischen Analyse ist es gegeben strenge Definition der Sequenzgrenze durch die sogenannte Epsilon-Nachbarschaft. Der nächste Artikel wird dieser Definition gewidmet sein, aber schauen wir uns zunächst ihre Bedeutung an:
Stellen wir auf dem Zahlenstrahl die Terme der Folge und der Umgebung symmetrisch bezüglich Null (Limit) dar:
Drücken Sie nun den blauen Bereich mit den Handflächenkanten zusammen und beginnen Sie, ihn zu verkleinern, indem Sie ihn bis zum Rand (roter Punkt) ziehen. Eine Zahl ist die Grenze einer Sequenz, wenn FÜR JEDE vorab ausgewählte Nachbarschaft (so klein wie Sie möchten) es wird drinnen sein unendlich viele Mitglieder der Sequenz und nur AUSSERHALB davon Finale Anzahl der Mitglieder (oder gar keine). Das heißt, die Epsilon-Nachbarschaft kann mikroskopisch klein und sogar noch kleiner sein, aber der „unendliche Schwanz“ der Sequenz muss früher oder später vollständig in diese Nachbarschaft eindringen.
Es gibt sogar eine solche Aufgabe - Beweisen Sie den Grenzwert der Folge anhand der Definition.
Auch die Folge ist infinitesimal: mit dem Unterschied, dass ihre Mitglieder nicht hin und her springen, sondern sich dem Grenzwert ausschließlich von rechts nähern.
Natürlich kann der Grenzwert jedem anderen gleich sein endliche Zahl, elementares Beispiel:
Hier tendiert der Bruch gegen Null und dementsprechend ist die Grenze gleich „zwei“.
Wenn die Reihenfolge existiert Endgültige Grenze , dann heißt es konvergent(insbesondere, unendlich klein bei ). IN ansonsten – abweichend In diesem Fall sind zwei Möglichkeiten möglich: Entweder existiert die Grenze überhaupt nicht oder sie ist unendlich. Im letzteren Fall wird die Sequenz aufgerufen unendlich groß. Lassen Sie uns die Beispiele des ersten Absatzes durchgehen:
Sequenzen 
Sind unendlich groß, während sich ihre Mitglieder selbstbewusst in Richtung „plus unendlich“ bewegen:
Auch eine arithmetische Folge mit erstem Term und Schritt ist unendlich groß:
Übrigens, jeder arithmetische Folge, mit Ausnahme des Falles mit einem Nullschritt – wenn unendlich zu einer bestimmten Zahl addiert wird. Der Grenzwert einer solchen Folge existiert und fällt mit dem ersten Term zusammen.
Die Sequenzen haben ein ähnliches Schicksal:
Alle unendlich abnehmend geometrischer Verlauf, wie aus dem Namen hervorgeht, unendlich klein:
Wenn der Nenner der geometrischen Folge ist, dann ist die Folge unendlich groß:
Wenn zum Beispiel, dann existiert die Grenze überhaupt nicht, da die Mitglieder unermüdlich entweder nach „plus Unendlich“ oder nach „minus Unendlich“ springen. A gesunder Menschenverstand und Matans Theoreme legen nahe, dass, wenn etwas irgendwohin strebt, dies der einzig geschätzte Ort ist.
Nach einer kleinen Offenbarung 
Es wird deutlich, dass das „blinkende Licht“ für das unkontrollierbare Werfen verantwortlich ist, das übrigens von selbst auseinandergeht.
Tatsächlich ist es für eine Folge einfach, eine -Umgebung zu wählen, die beispielsweise nur die Zahl –1 einschließt. Dadurch verbleiben unendlich viele Folgenglieder („Plus-Einser“) außerhalb dieser Nachbarschaft. Aber per Definition muss der „unendliche Schwanz“ der Folge ab einem bestimmten Zeitpunkt (natürliche Zahl) sein völlig Gehen Sie in die Nähe Ihres Limits. Fazit: Der Himmel ist die Grenze.
Fakultät ist unendlich groß Reihenfolge:
Darüber hinaus wächst es sprunghaft, sodass es sich um eine Zahl handelt, die mehr als 100 Stellen (Ziffern) hat! Warum genau 70? Darauf fleht mein technischer Mikrorechner um Gnade.
MIT Kontrollschuss Alles ist etwas komplizierter und wir sind gerade beim praktischen Teil der Vorlesung angekommen, in dem wir Kampfbeispiele analysieren werden:
So finden Sie den Grenzwert einer Folge.
Aber jetzt müssen Sie in der Lage sein, die Grenzen von Funktionen zu lösen, zumindest auf der Ebene von zwei grundlegenden Lektionen: Grenzen. Beispiele für Lösungen Und Wunderbare Grenzen. Weil viele Lösungsmethoden ähnlich sein werden. Aber lassen Sie uns zunächst analysieren grundlegende Unterschiede Sequenzgrenze aus Funktionsgrenze:
Im Grenzfall der Folge kann die „dynamische“ Variable „en“ tendieren nur bis „plus unendlich“– hin zu zunehmenden natürlichen Zahlen 
.
Im Limes der Funktion kann „x“ überall hin gerichtet sein – auf „plus/minus unendlich“ oder auf eine beliebige reelle Zahl.
Folge diskret(diskontinuierlich), das heißt, es besteht aus einzelnen isolierten Mitgliedern. Eins, zwei, drei, vier, fünf, der Hase ging spazieren. Das Argument einer Funktion zeichnet sich durch Kontinuität aus, das heißt, „X“ tendiert reibungslos und ohne Zwischenfälle zu dem einen oder anderen Wert. Und dementsprechend werden sich auch die Funktionswerte kontinuierlich ihrer Grenze nähern.
Wegen Diskretion Innerhalb der Sequenzen gibt es ihre eigenen charakteristischen Dinge, wie Fakultäten, „blinkende Lichter“, Progressionen usw. Und jetzt werde ich versuchen, die sequenzspezifischen Grenzen zu analysieren.
Beginnen wir mit den Fortschritten:
Beispiel 1
Lösung: so etwas wie eine unendlich abnehmende geometrische Progression, aber ist es das, was es ist? Der Klarheit halber schreiben wir die ersten paar Begriffe auf: 
Seitdem reden wir darüber Menge Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression, die durch die Formel berechnet wird.
Wir treffen eine Entscheidung:
Wir verwenden die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression: . IN in diesem Fall: – der erste Term, – der Nenner der Progression.
Die Hauptsache ist, damit klarzukommen vierstöckiger Bruchteil:
Essen.
Beispiel 2
Schreiben Sie die ersten vier Terme der Folge und finden Sie ihren Grenzwert 
Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Um die Unsicherheit im Zähler zu beseitigen, müssen Sie die Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge anwenden:
, wobei der erste und a der n-te Term der Progression ist.
Da innerhalb von Sequenzen „en“ immer zu „plus unendlich“ tendiert, ist es nicht verwunderlich, dass Unsicherheit zu den beliebtesten gehört.
Und viele Beispiele werden genauso gelöst wie Funktionsgrenzen!
Wie berechnet man diese Grenzwerte? Siehe Beispiele Nr. 1-3 der Lektion Grenzen. Beispiele für Lösungen.
Oder vielleicht etwas Komplizierteres wie 
? Schauen Sie sich Beispiel Nr. 3 des Artikels an Methoden zur Lösung von Grenzen.
Aus formaler Sicht besteht der Unterschied nur in einem Buchstaben – hier „x“ und hier „en“.
Die Technik ist die gleiche – Zähler und Nenner müssen bis zum höchsten Grad durch „en“ dividiert werden.
Außerdem kommt es häufig zu Unsicherheiten innerhalb von Sequenzen. So lösen Sie Grenzen wie 
finden Sie in den Beispielen Nr. 11-13 desselben Artikels.
Um den Grenzwert zu verstehen, sehen Sie sich Beispiel Nr. 7 der Lektion an Wunderbare Grenzen(zweite wunderbare Grenze gilt auch für den diskreten Fall). Die Lösung wird wieder wie ein Durchschlag mit einem einzigen Buchstaben Unterschied sein.
Die nächsten vier Beispiele (Nr. 3-6) sind ebenfalls „zweiseitig“, aber in der Praxis sind sie aus irgendeinem Grund eher typisch für Grenzen von Folgen als für Grenzen von Funktionen:
Beispiel 3
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Lösung: anfangs komplette Lösung, dann Schritt-für-Schritt-Kommentare:
(1) Im Zähler verwenden wir die Formel zweimal.
(2) Wir präsentieren ähnliche Begriffe im Zähler.
(3) Um Unsicherheiten zu beseitigen, dividieren Sie Zähler und Nenner durch („en“ bis zum höchsten Grad).
Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes.
Beispiel 4
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. abgekürzte Multiplikationsformeln helfen.
Innerhalb von s indikativ Folgen verwenden eine ähnliche Methode zur Division von Zähler und Nenner:
Beispiel 5
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Lösung Ordnen wir es nach dem gleichen Schema an:
(1) Verwendung Eigenschaften von Graden, entfernen wir alles Unnötige aus den Indikatoren und lassen dort nur „en“ übrig.
(2) Wir schauen uns an, welche Exponentialfolgen im Limes liegen: und wählen eine Folge mit das größte Basis: . Um Unsicherheiten zu vermeiden, dividieren Sie Zähler und Nenner durch.
(3) Wir führen eine Term-für-Term-Division im Zähler und Nenner durch. Da es sich um einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf handelt, geht er gegen Null. Und noch mehr: Die Konstante dividiert durch die zunehmende Progression tendiert gegen Null: . Wir machen uns entsprechende Notizen und schreiben die Antwort auf.
Beispiel 6
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.
Irgendwie geriet die stilvolle Handschrift, die nur bis zur Grenze der Konsistenz inhärent war, zu Unrecht in Vergessenheit. Es ist Zeit, die Situation zu beheben:
Beispiel 7
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Lösung: Um den „ewigen Rivalen“ loszuwerden, müssen Sie die Fakultäten in Form von Produkten schreiben. Aber bevor wir mit mathematischen Graffiti beginnen, sollten wir darüber nachdenken konkretes Beispiel, Zum Beispiel: .
Der letzte Faktor im Produkt ist sechs. Was muss getan werden, um den vorherigen Multiplikator zu erhalten? Subtrahiere eins: 6 – 1 = 5. Um einen noch weiter entfernten Multiplikator zu erhalten, musst du erneut eins von fünf subtrahieren: 5 – 1 = 4. Und so weiter.
Keine Sorge, das ist keine Unterrichtsstunde für die erste Klasse. Justizvollzugsanstalt, tatsächlich Wir lernen einen wichtigen und universellen Algorithmus kennen berechtigt " wie man eine Fakultät erweitert" Befassen wir uns in unserem Chat mit dem schlimmsten Hochwasser:
Offensichtlich wird der letzte Faktor im Produkt sein.
Wie erhalte ich den vorherigen Multiplikator? Subtrahiere eins:
Wie werde ich Urgroßvater? Subtrahiere noch einmal eins: .
Nun, gehen wir einen Schritt tiefer:
Somit wird unser Monster wie folgt unterschreiben:
Mit Zählerfakultäten ist alles einfacher, okay, kleine Hooligans.
Wir treffen eine Entscheidung:
(1) Wir beschreiben Fakultäten
(2) Der Zähler hat ZWEI Terme. Wir nehmen aus den Klammern alles heraus, was herausgenommen werden kann, in diesem Fall ist das die Arbeit. Eckige Klammern, wie ich schon ein paar Mal gesagt habe, unterscheiden sich von Klammern nur durch ihre Rechtwinkligkeit.
(3) Reduzieren Sie Zähler und Nenner um .... ...hmmm, hier gibt es wirklich viel Flaum.
(4) Vereinfachen Sie den Zähler
(5) Reduzieren Sie Zähler und Nenner um . Hier drin in einem gewissen Ausmaß glücklich. IN Allgemeiner Fall Oben und unten erhalten Sie gewöhnliche Polynome, danach müssen Sie die Standardaktion ausführen – Zähler und Nenner durch „en“ hoch dividieren.
Fortgeschrittenere Schüler, die Fakultäten leicht im Kopf zerlegen können, können das Beispiel viel schneller lösen. Im ersten Schritt dividieren wir Term für Term den Zähler durch den Nenner und führen gedanklich die Abkürzungen durch:
Aber die Zerlegungsmethode ist noch gründlicher und zuverlässiger.
Beispiel 8
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Wie in jeder Gesellschaft gibt es unter den Zahlenfolgen extravagante Individuen.
Satz: arbeiten begrenzte Reihenfolge zu einer Infinitesimalfolge - es gibt eine Infinitesimalfolge.
Wenn Sie den Begriff „Einschränkung“ nicht wirklich verstehen, lesen Sie bitte den Artikel um Elementarfunktionen und Grafiken.
Ein ähnlicher Satz gilt übrigens auch für Funktionen: das Produkt eingeschränkte Funktion auf unbestimmte Zeit weiter kleine Funktion- ist eine infinitesimale Funktion.
Beispiel 9
Finden Sie den Grenzwert der Folge
Lösung: Reihenfolge – begrenzt: 
, und die Folge ist infinitesimal, was nach dem entsprechenden Satz bedeutet: 
Einleitung……………………………………………………………………………3
1. Theoretischer Teil……………………………………………………………….4
Grundlegende Konzepte und Begriffe……………………………………………………………......4
1.1 Arten von Sequenzen……………………………………………………………...6
1.1.1.Begrenzte und unbegrenzte Zahlenfolgen…..6
1.1.2.Monotonie von Folgen…………………………………6
1.1.3.Unendlich große und unendlich kleine Folgen…….7
1.1.4.Eigenschaften von Infinitesimalfolgen…………………8
1.1.5.Konvergente und divergente Folgen und ihre Eigenschaften.....9
1.2 Reihenfolgebegrenzung………………………………………………….11
1.2.1.Theoreme über die Grenzen von Folgen……………………………15
1.3. Arithmetische Folge………………………………………………17
1.3.1. Eigenschaften der arithmetischen Folge…………………………………..17
1.4Geometrischer Verlauf……………………………………………………………..19
1.4.1. Eigenschaften des geometrischen Verlaufs…………………………………….19
1.5. Fibonacci-Zahlen……………………………………………………………..21
1.5.1 Verbindung von Fibonacci-Zahlen mit anderen Wissensgebieten………………….22
1.5.2. Verwendung der Fibonacci-Zahlenreihe zur Beschreibung der lebenden und unbelebten Natur…………………………………………………………………………………………….23
2. Eigene Forschung…………………………………………………….28
Fazit……………………………………………………………………………….30
Referenzliste……………………………………………………………....31
Einführung.
Zahlenfolgen sind sehr interessant und pädagogisches Thema. Dieses Thema erscheint in Aufgaben erhöhte Komplexität die die Autoren den Studierenden anbieten didaktische Materialien, in Aufgaben mathematische Olympiaden, Aufnahmeprüfungen zu Höher Bildungseinrichtungen und auf dem Einheitlichen Staatsexamen. Der Zusammenhang interessiert mich mathematische Folgen mit anderen Wissensgebieten.
Ziel Forschungsarbeit: Erweitern Sie Ihr Wissen über die Zahlenfolge.
1. Betrachten Sie die Reihenfolge;
2. Betrachten Sie seine Eigenschaften;
3. Überlegen Sie analytische Aufgabe Sequenzen;
4. Demonstrieren Sie seine Rolle bei der Entwicklung anderer Wissensbereiche.
5. Demonstrieren Sie die Verwendung der Fibonacci-Zahlenreihe zur Beschreibung der lebenden und unbelebten Natur.
1. Theoretischer Teil.
Grundlegende Konzepte und Begriffe.
Definition. Eine Zahlenfolge ist eine Funktion der Form y = f(x), x О N, wobei N eine Menge natürlicher Zahlen (oder eine Funktion eines natürlichen Arguments) ist, bezeichnet mit y = f(n) oder y1, y2, …, ja,…. Die Werte y1, y2, y3,... werden jeweils als erstes, zweites, drittes,... Mitglied der Sequenz bezeichnet.
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge x = (x n), wenn sie für eine beliebige vorgegebene Zahl beliebig klein ist positive Zahlε es gibt so etwas natürliche Zahl N dass für alle n>N die Ungleichung |x n - a| gilt< ε.
Wenn die Zahl a der Grenzwert der Folge x = (x n ) ist, dann sagen sie, dass x n zu a tendiert, und schreiben
.Eine Folge (yn) heißt ansteigend, wenn jedes Mitglied (außer dem ersten) größer als das vorherige ist:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Eine Folge (yn) heißt abnehmend, wenn jedes Mitglied (außer dem ersten) kleiner als das vorherige ist:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Aufsteigende und absteigende Sequenzen werden kombiniert allgemeiner Begriff– monotone Sequenzen.
Eine Folge heißt periodisch, wenn es eine natürliche Zahl T gibt, für die ausgehend von einem n die Gleichung yn = yn+T gilt. Die Zahl T wird Periodenlänge genannt.
Eine arithmetische Folge ist eine Folge (an), deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich der Summe Der vorherige Term und die gleiche Zahl d werden als arithmetische Folge bezeichnet, und die Zahl d ist die Differenz einer arithmetischen Folge.
Somit ist eine arithmetische Folge eine durch die Beziehungen wiederkehrend definierte Zahlenfolge (an).
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Eine geometrische Folge ist eine Folge, in der alle Terme von Null verschieden sind und von der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Term durch Multiplikation mit derselben Zahl q erhalten wird.
Somit ist eine geometrische Folge eine numerische Folge (bn), die durch die Beziehungen wiederkehrend definiert wird
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Arten von Sequenzen.
1.1.1 Eingeschränkte und uneingeschränkte Sequenzen.
Eine Folge (bn) heißt oben beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass für jede Zahl n die Ungleichung bn≤ M gilt;
Eine Folge (bn) heißt unten beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass für jede Zahl n die Ungleichung bn≥ M gilt;
Zum Beispiel:
1.1.2 Monotonie von Folgen.
Eine Folge (bn) heißt nicht steigend (nicht fallend), wenn für jede Zahl n die Ungleichung bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) gilt;
Eine Folge (bn) heißt abnehmend (steigend), wenn für eine beliebige Zahl n die Ungleichung bn> bn+1 (bn) gilt Absteigende und ansteigende Folgen nennt man streng monoton, nicht ansteigende Folgen nennt man im weiteren Sinne monoton. Folgen, die sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt sind, heißen beschränkt. Die Folge aller dieser Typen heißt monoton. 1.1.3 Unendlich große und kleine Folgen. Eine Infinitesimalfolge ist eine numerische Funktion oder Folge, die gegen Null geht. Eine Folge an heißt unendlich klein, wenn Eine Funktion heißt in einer Umgebung des Punktes x0 unendlich klein, wenn ℓimx→x0 f(x)=0. Eine Funktion heißt im Unendlichen unendlich klein, wenn ℓimx→.+∞ f(x)=0 oder ℓimx→-∞ f(x)=0 Ebenfalls infinitesimal ist eine Funktion, die die Differenz zwischen einer Funktion und ihrem Grenzwert darstellt, d. h. wenn ℓimx→.+∞ f(x)=a, dann ist f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0. Eine unendlich große Folge ist eine numerische Funktion oder Folge, die gegen Unendlich tendiert. Eine Folge an heißt unendlich groß, wenn ℓimn→0 an=∞. Eine Funktion heißt in einer Umgebung des Punktes x0 unendlich groß, wenn ℓimx→x0 f(x)= ∞. Eine Funktion heißt unendlich groß im Unendlichen, wenn ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ oder ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Eigenschaften von Infinitesimalfolgen. Die Summe zweier Infinitesimalfolgen ist selbst ebenfalls eine Infinitesimalfolge. Die Differenz zweier Infinitesimalfolgen ist selbst ebenfalls eine Infinitesimalfolge. Die algebraische Summe einer endlichen Anzahl von Infinitesimalfolgen ist selbst ebenfalls eine Infinitesimalfolge. Das Produkt einer beschränkten Folge und einer Infinitesimalfolge ist eine Infinitesimalfolge. Das Produkt einer endlichen Anzahl von Infinitesimalfolgen ist eine Infinitesimalfolge. Jede unendlich kleine Folge ist beschränkt. Wenn eine stationäre Folge unendlich klein ist, dann sind alle ihre Elemente ab einem bestimmten Punkt gleich Null. Besteht die gesamte Infinitesimalfolge aus identischen Elementen, dann sind diese Elemente Nullen. Wenn (xn) eine unendlich große Folge ist, die keine Nullterme enthält, dann gibt es eine Folge (1/xn), die infinitesimal ist. Wenn (xn) jedoch null Elemente enthält, kann die Folge (1/xn) immer noch ausgehend von einer Zahl n definiert werden und ist immer noch infinitesimal. Wenn (an) eine unendlich kleine Folge ist, die keine Nullterme enthält, dann gibt es eine Folge (1/an), die unendlich groß ist. Wenn (an) dennoch null Elemente enthält, kann die Folge (1/an) immer noch ab einer Zahl n definiert werden und ist immer noch unendlich groß. 1.1.5 Konvergente und divergente Folgen und ihre Eigenschaften. Eine konvergente Folge ist eine Folge von Elementen einer Menge X, die in dieser Menge einen Grenzwert hat. Eine divergente Folge ist eine Folge, die nicht konvergent ist. Jede unendlich kleine Folge ist konvergent. Sein Grenzwert ist Null. Das Entfernen einer endlichen Anzahl von Elementen aus einer unendlichen Folge hat keinen Einfluss auf die Konvergenz oder den Grenzwert dieser Folge. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Allerdings konvergiert nicht jede beschränkte Folge. Wenn die Folge (xn) konvergiert, aber nicht unendlich klein ist, dann ist ab einer bestimmten Zahl eine Folge (1/xn) definiert, die beschränkt ist. Die Summe konvergenter Folgen ist ebenfalls eine konvergente Folge. Die Differenz konvergenter Folgen ist ebenfalls eine konvergente Folge. Das Produkt konvergenter Folgen ist ebenfalls eine konvergente Folge. Der Quotient zweier konvergenter Folgen wird beginnend bei einem Element definiert, es sei denn, die zweite Folge ist infinitesimal. Wenn der Quotient zweier konvergenter Folgen definiert ist, dann handelt es sich um eine konvergente Folge. Wenn eine konvergente Folge nach unten beschränkt ist, überschreitet keines ihrer Infimina ihren Grenzwert. Wenn eine konvergente Folge nach oben beschränkt ist, überschreitet ihr Grenzwert keine ihrer oberen Grenzen. Wenn für eine beliebige Zahl die Terme einer konvergenten Folge die Terme einer anderen konvergenten Folge nicht überschreiten, dann überschreitet der Grenzwert der ersten Folge auch nicht den Grenzwert der zweiten. Das Konzept einer Zahlenfolge. Entspricht jede natürliche Zahl n einer Zahl a n , dann sagen wir, dass eine Funktion a n =f(n) gegeben ist, die Zahlenfolge genannt wird. Bezeichnet mit a n ,n=1,2,… oder (a n ). Die Zahlen a 1 , a 2 , ... heißen Glieder der Folge oder ihrer Elemente, a n ist das allgemeine Glied der Folge, n ist die Nummer des Glieds a n . Per Definition enthält jede Sequenz unendlich viele Elemente. Beispiele für Zahlenfolgen. Arithmetik Progression – numerische Progression der Form: das heißt, eine Folge von Zahlen (Terme der Progression), von denen jede, ausgehend von der zweiten, aus der vorherigen durch Addition einer konstanten Zahl d (Schritt oder Differenz der Progression) erhalten wird: Jeder Term der Progression kann mit der allgemeinen Termformel berechnet werden: Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Mitglieds der Folge: Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge kann durch die Formeln ausgedrückt werden: Die Summe von n aufeinanderfolgenden Termen einer arithmetischen Folge beginnend mit Term k: Ein Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist die Summe einer Reihe natürlicher Zahlen bis einschließlich n: Geometrisch Progression - Zahlenfolge Jeder Term einer geometrischen Folge kann mit der Formel berechnet werden: Wenn b 1 > 0 und q > 1, ist die Progression eine aufsteigende Folge, wenn 0 Die Progression erhielt ihren Namen aufgrund ihrer charakteristischen Eigenschaft: Das Produkt der ersten n Terme einer geometrischen Folge kann mit der Formel berechnet werden: Das Produkt der Terme einer geometrischen Folge, die mit dem k-ten Term beginnt und mit dem n-ten Term endet, kann mit der Formel berechnet werden: Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge: Wenn Konsistenzgrenze. Eine Folge heißt aufsteigend, wenn jedes Mitglied größer als das vorherige ist. Eine Folge heißt abnehmend, wenn jedes Mitglied kleiner als das vorherige ist. Eine Folge x n heißt beschränkt, wenn es Zahlen m und M gibt, so dass für jede natürliche Zahl n die Bedingung erfüllt ist Es kann vorkommen, dass sich alle Mitglieder der Folge (a n ) mit unbegrenztem Wachstum der Zahl n einer Zahl m nähern. Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge X n, wenn es für jedes Ε>0 eine Zahl (abhängig von Ε) n 0 =n o (Ε) gibt, so dass für In diesem Fall schreiben sie Konvergenz von Folgen. Eine Folge, deren Grenzwert endlich ist, soll gegen Folgendes konvergieren: Wenn eine Folge keinen endlichen (abzählbaren) Grenzwert hat, wird sie divergent genannt. Geometrische Bedeutung. Wenn Satz 1) Zur Eindeutigkeit des Grenzwertes: Wenn die Folge konvergiert, also einen Grenzwert hat, dann ist dieser Grenzwert eindeutig. Satz 2) Wenn die Folge a n gegen a konvergiert: Satz 3) Voraussetzung Existenz einer Grenze. Wenn eine Folge konvergiert, also einen Grenzwert hat, dann ist sie beschränkt. Beweis: Wählen wir n>N, so dass: Satz 4) Hinreichende Bedingung für die Existenz einer Grenze. Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann hat sie einen Grenzwert. . Satz 5) Lassen Drei-Folgen-Theorem. Wenn Begrenzen Sie die Eigenschaften. Wenn (xn) und (yn) Grenzen haben, dann: Grenze des Verhältnisses von Polynomen (Brüchen). Seien x n und y n jeweils Polynome im Grad k, das heißt: x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k , y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m Der Grenzwert des Verhältnisses von Polynomen ist gleich dem Grenzwert des Verhältnisses ihrer führenden Terme: Wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, dann ist die Grenze gleich dem Verhältnis der Koeffizienten bei höheren Graden. Ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners, ist der Grenzwert Null. Ist der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners, geht der Grenzwert gegen Unendlich. Mathematik ist die Wissenschaft, die die Welt aufbaut. Sowohl der Wissenschaftler als auch der einfache Mann – niemand kann darauf verzichten. Erst lernen kleine Kinder das Zählen, dann addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren; in der Mittelstufe kommen Buchstabensymbole ins Spiel, und in der Oberstufe sind sie nicht mehr zu umgehen. Aber heute werden wir darüber sprechen, worauf die gesamte bekannte Mathematik basiert. Über eine Zahlengemeinschaft namens „Sequenzgrenzen“. Die Bedeutung des Wortes „Sequenz“ ist nicht schwer zu interpretieren. Dabei handelt es sich um eine Anordnung von Dingen, bei der sich jemand oder etwas in einer bestimmten Reihenfolge oder Warteschlange befindet. Beispielsweise ist die Warteschlange für Eintrittskarten für den Zoo eine Sequenz. Und es kann nur einen geben! Schaut man sich zum Beispiel die Warteschlange im Laden an, ist das eine Sequenz. Und wenn plötzlich eine Person aus dieser Warteschlange weggeht, dann ist das eine andere Warteschlange, eine andere Reihenfolge. Auch das Wort „Grenze“ ist leicht zu interpretieren – es ist das Ende von etwas. In der Mathematik sind die Grenzen von Folgen jedoch diejenigen Werte auf der Zahlengeraden, zu denen eine Zahlenfolge tendiert. Warum strebt es danach und endet nicht? Es ist ganz einfach, der Zahlenstrahl hat kein Ende und die meisten Folgen haben, wie auch Strahlen, nur einen Anfang und sehen so aus: x 1, x 2, x 3,...x n... Daher ist die Definition einer Folge eine Funktion des natürlichen Arguments. Einfacher ausgedrückt ist dies eine Reihe von Mitgliedern einer bestimmten Menge. Ein einfaches Beispiel für eine Zahlenfolge könnte so aussehen: 1, 2, 3, 4, …n… In den meisten Fällen werden Folgen aus praktischen Gründen aus Zahlen gebildet, und jedes nächste Mitglied der Reihe, nennen wir es X, hat seinen eigenen Namen. Zum Beispiel: x 1 ist das erste Mitglied der Sequenz; x 2 ist der zweite Term der Folge; x 3 ist der dritte Term; x n ist der n-te Term. Bei praktischen Methoden wird die Reihenfolge durch eine allgemeine Formel angegeben, in der es eine bestimmte Variable gibt. Zum Beispiel: X n =3n, dann sieht die Zahlenreihe selbst so aus: Denken Sie daran, dass Sie beim Schreiben von Sequenzen im Allgemeinen alle lateinischen Buchstaben verwenden können, nicht nur X. Zum Beispiel: y, z, k usw. Bevor man nach den Grenzen von Folgen sucht, empfiehlt es sich, tiefer in das eigentliche Konzept einer solchen Zahlenreihe einzutauchen, mit dem jeder in der Mittelschule in Berührung kam. Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der die Differenz zwischen benachbarten Termen konstant ist. Problem: „Sei a 1 = 15 und der Fortschrittsschritt der Zahlenreihe d = 4. Konstruieren Sie die ersten vier Terme dieser Reihe. Lösung: a 1 = 15 (nach Bedingung) ist der erste Term der Progression (Zahlenreihe). und 2 = 15+4=19 ist der zweite Term der Progression. und 3 =19+4=23 ist der dritte Term. und 4 =23+4=27 ist der vierte Term. Allerdings ist es mit dieser Methode schwierig, große Werte zu erreichen, beispielsweise bis zu 125. . Speziell für solche Fälle wurde eine praxisgerechte Formel abgeleitet: a n =a 1 +d(n-1). In diesem Fall ist a 125 =15+4(125-1)=511. Die meisten Sequenzen sind endlos, es lohnt sich, sie für den Rest Ihres Lebens im Gedächtnis zu behalten. Es gibt zwei interessante Arten von Zahlenreihen. Die erste ergibt sich aus der Formel a n =(-1) n. Mathematiker nennen diese Sequenz oft einen Flasher. Warum? Schauen wir uns die Zahlenreihe an. 1, 1, -1, 1, -1, 1 usw. Anhand eines Beispiels wie diesem wird deutlich, dass Zahlen in Folgen leicht wiederholt werden können. Faktorielle Folge. Es ist leicht zu erraten – die Formel, die die Sequenz definiert, enthält eine Fakultät. Zum Beispiel: a n = (n+1)! Dann sieht die Sequenz so aus: ein 2 = 1x2x3 = 6; und 3 = 1x2x3x4 = 24 usw. Eine durch eine arithmetische Folge definierte Folge heißt unendlich abnehmend, wenn die Ungleichung -1 für alle ihre Glieder erfüllt ist und 3 = - 1/8 usw. Es gibt sogar eine Folge, die aus derselben Nummer besteht. Also besteht n =6 aus unendlich vielen Sechsern. Sequenzgrenzen gibt es in der Mathematik schon lange. Natürlich verdienen sie ein eigenes kompetentes Design. Es ist also Zeit, die Definition von Sequenzgrenzen zu lernen. Schauen wir uns zunächst den Grenzwert für eine lineare Funktion im Detail an: Es ist leicht zu verstehen, dass die Definition des Grenzwerts einer Folge wie folgt formuliert werden kann: Dies ist eine bestimmte Zahl, der sich alle Glieder der Folge unendlich nähern. Ein einfaches Beispiel: a x = 4x+1. Dann sieht die Sequenz selbst so aus. 5, 9, 13, 17, 21…x… Somit wächst diese Folge auf unbestimmte Zeit, was bedeutet, dass ihr Grenzwert gleich unendlich ist, da x→∞, und sie sollte wie folgt geschrieben werden: Wenn wir eine ähnliche Folge nehmen, aber x gegen 1 tendiert, erhalten wir: Und die Zahlenreihe sieht so aus: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 usw. Jedes Mal müssen Sie die Zahl ersetzen, die näher bei eins liegt (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Aus dieser Reihe geht klar hervor, dass der Grenzwert der Funktion fünf beträgt. In diesem Teil lohnt es sich, sich an den Grenzwert einer Zahlenfolge, die Definition und Methode zur Lösung einfacher Probleme zu erinnern. Nachdem Sie den Grenzwert einer Zahlenfolge, seine Definition und Beispiele untersucht haben, können Sie mit einem komplexeren Thema fortfahren. Absolut alle Grenzen von Folgen lassen sich mit einer Formel formulieren, die üblicherweise im ersten Semester analysiert wird. Was bedeutet also dieser Satz aus Buchstaben, Modulen und Ungleichheitszeichen? ∀ ist ein universeller Quantor, der die Ausdrücke „für alle“, „für alles“ usw. ersetzt. ∃ ist ein Existenzquantor, in diesem Fall bedeutet es, dass es einen Wert N gibt, der zur Menge der natürlichen Zahlen gehört. Ein langer vertikaler Stab hinter N bedeutet, dass die gegebene Menge N „so ist“. In der Praxis kann es „so dass“, „so dass“ usw. bedeuten. Um das Material zu verstärken, lesen Sie die Formel laut vor. Die oben besprochene Methode zur Ermittlung des Grenzwerts von Folgen ist zwar einfach anzuwenden, in der Praxis jedoch nicht so rational. Versuchen Sie, den Grenzwert für diese Funktion zu finden: Wenn wir unterschiedliche Werte von „x“ einsetzen (jedes Mal steigend: 10, 100, 1000 usw.), dann erhalten wir ∞ im Zähler, aber auch ∞ im Nenner. Daraus ergibt sich ein ziemlich seltsamer Bruch: Aber ist das wirklich so? Die Berechnung des Grenzwerts einer Zahlenfolge scheint in diesem Fall recht einfach zu sein. Es wäre möglich, alles so zu belassen, wie es ist, da die Antwort fertig ist und unter angemessenen Bedingungen eingegangen ist, aber es gibt speziell für solche Fälle einen anderen Weg. Suchen wir zunächst den höchsten Grad im Zähler des Bruchs – dieser ist 1, da x als x 1 dargestellt werden kann. Suchen wir nun den höchsten Grad im Nenner. Auch 1. Teilen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner bis zum höchsten Grad durch die Variable. Teilen Sie in diesem Fall den Bruch durch x 1. Als nächstes werden wir herausfinden, zu welchem Wert jeder Term, der eine Variable enthält, tendiert. In diesem Fall werden Brüche berücksichtigt. Da x→∞ tendiert der Wert jedes Bruchs gegen Null. Wenn Sie Ihre Arbeit schriftlich einreichen, sollten Sie folgende Fußnoten machen: Daraus ergibt sich folgender Ausdruck: Natürlich wurden die Brüche, die x enthielten, nicht zu Nullen! Ihr Wert ist jedoch so gering, dass es durchaus zulässig ist, ihn bei Berechnungen nicht zu berücksichtigen. Tatsächlich wird x in diesem Fall niemals gleich 0 sein, da eine Division durch Null nicht möglich ist. Angenommen, der Professor verfügt über eine komplexe Folge, die offensichtlich durch eine ebenso komplexe Formel gegeben ist. Der Professor hat die Antwort gefunden, aber ist sie richtig? Schließlich machen alle Menschen Fehler. Auguste Cauchy hat einmal eine hervorragende Möglichkeit gefunden, die Grenzen von Sequenzen zu beweisen. Seine Methode hieß Nachbarschaftsmanipulation. Angenommen, es gibt einen bestimmten Punkt a, dessen Nachbarschaft in beiden Richtungen auf der Zahlengeraden gleich ε („Epsilon“) ist. Da die letzte Variable die Entfernung ist, ist ihr Wert immer positiv. Definieren wir nun eine Folge x n und gehen wir davon aus, dass der zehnte Term der Folge (x 10) in der Umgebung von a enthalten ist. Wie können wir diese Tatsache in mathematischer Sprache beschreiben? Nehmen wir an, x 10 liegt rechts vom Punkt a, dann ist der Abstand x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Jetzt ist es an der Zeit, die oben besprochene Formel in der Praxis zu erklären. Es ist fair, eine bestimmte Zahl a als Endpunkt einer Folge zu bezeichnen, wenn für einen ihrer Grenzwerte die Ungleichung ε>0 erfüllt ist und die gesamte Umgebung ihre eigene natürliche Zahl N hat, sodass alle Mitglieder der Folge mit höheren Zahlen wird innerhalb der Sequenz |x n - a| sein< ε. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Folgengrenzen zu lösen und eine vorgefertigte Antwort zu beweisen oder zu widerlegen. Sätze über die Grenzen von Folgen sind ein wichtiger Bestandteil der Theorie, ohne die die Praxis nicht möglich ist. Es gibt nur vier Hauptsätze, deren Merken die Lösung oder den Beweis erheblich erleichtern kann: Manchmal muss man ein Umkehrproblem lösen, um einen gegebenen Grenzwert einer Zahlenfolge zu beweisen. Schauen wir uns ein Beispiel an. Beweisen Sie, dass der Grenzwert der durch die Formel gegebenen Folge Null ist. Gemäß der oben besprochenen Regel gilt für jede Folge die Ungleichung |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Drücken wir n durch „epsilon“ aus, um die Existenz einer bestimmten Zahl zu zeigen und das Vorhandensein eines Grenzwerts der Folge zu beweisen. An dieser Stelle ist es wichtig zu bedenken, dass „epsilon“ und „en“ positive Zahlen sind und nicht gleich Null sind. Nun ist es möglich, weitere Transformationen mit dem im Gymnasium erworbenen Wissen über Ungleichheiten fortzusetzen. Wie kommt es, dass n > -3 + 1/ε. Da es sich um natürliche Zahlen handelt, kann das Ergebnis gerundet werden, indem man es in eckige Klammern setzt. Somit wurde bewiesen, dass für jeden Wert der „Epsilon“-Umgebung des Punktes a = 0 ein Wert gefunden wurde, der die anfängliche Ungleichung erfüllt. Von hier aus können wir mit Sicherheit sagen, dass die Zahl a der Grenzwert einer gegebenen Folge ist. Q.E.D. Mit dieser praktischen Methode lässt sich der Grenzwert einer Zahlenfolge beweisen, egal wie komplex diese auf den ersten Blick auch sein mag. Die Hauptsache ist, nicht in Panik zu geraten, wenn Sie die Aufgabe sehen. Das Vorhandensein einer Konsistenzgrenze ist in der Praxis nicht erforderlich. Man kann leicht auf Zahlenreihen stoßen, die wirklich kein Ende haben. Zum Beispiel das gleiche „Blinklicht“ x n = (-1) n. Es ist offensichtlich, dass eine Folge, die nur aus zwei zyklisch wiederholten Ziffern besteht, keine Grenze haben kann. Die gleiche Geschichte wiederholt sich mit Folgen, die aus einer Zahl oder gebrochenen Zahlen bestehen und bei Berechnungen Unsicherheiten beliebiger Ordnung aufweisen (0/0, ∞/∞, ∞/0 usw.). Es ist jedoch zu bedenken, dass es auch zu Fehlberechnungen kommen kann. Manchmal hilft es Ihnen, die Sequenzgrenze zu ermitteln, indem Sie Ihre eigene Lösung noch einmal überprüfen. Oben wurden mehrere Beispiele für Folgen und Methoden zu deren Lösung besprochen. Versuchen wir nun, einen spezifischeren Fall zu betrachten und ihn als „monotone Folge“ zu bezeichnen. Definition: Jede Folge kann mit Recht monoton wachsend genannt werden, wenn für sie die strenge Ungleichung x n gilt< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Neben diesen beiden Bedingungen gibt es auch ähnliche nichtstrikte Ungleichungen. Dementsprechend ist x n ≤ x n +1 (nicht abnehmende Folge) und x n ≥ x n +1 (nicht steigende Folge). Aber es ist einfacher, dies anhand von Beispielen zu verstehen. Die durch die Formel x n = 2+n gegebene Folge bildet die folgende Zahlenreihe: 4, 5, 6 usw. Dies ist eine monoton steigende Folge. Und wenn wir x n =1/n nehmen, erhalten wir die Reihe: 1/3, ¼, 1/5 usw. Dies ist eine monoton fallende Folge. Eine begrenzte Folge ist eine Folge, die eine Grenze hat. Eine konvergente Folge ist eine Reihe von Zahlen mit einem infinitesimalen Grenzwert. Somit ist der Grenzwert einer beschränkten Folge jede reelle oder komplexe Zahl. Denken Sie daran, dass es nur eine Grenze geben kann. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eine infinitesimale (reelle oder komplexe) Größe. Wenn Sie ein Sequenzdiagramm zeichnen, scheint es an einem bestimmten Punkt zu konvergieren und tendiert dazu, sich in einen bestimmten Wert umzuwandeln. Daher der Name – konvergente Folge. Für eine solche Reihenfolge kann es eine Grenze geben oder auch nicht. Zunächst ist es hilfreich zu verstehen, wann eine Grenze vorliegt. Von hier aus können Sie mit dem Nachweis des Fehlens einer Grenze beginnen. Bei monotonen Folgen werden konvergente und divergente Folgen unterschieden. Konvergent ist eine Folge, die durch die Menge x gebildet wird und in dieser Menge einen reellen oder komplexen Grenzwert hat. Divergent ist eine Folge, deren Menge keine Grenze hat (weder reell noch komplex). Darüber hinaus konvergiert die Folge, wenn in einer geometrischen Darstellung ihre Ober- und Untergrenze konvergieren. Der Grenzwert einer konvergenten Folge kann in vielen Fällen Null sein, da jede Infinitesimalfolge einen bekannten Grenzwert (Null) hat. Welche konvergente Folge Sie auch nehmen, sie sind alle beschränkt, aber nicht alle beschränkten Folgen konvergieren. Die Summe, Differenz und das Produkt zweier konvergenter Folgen ist ebenfalls eine konvergente Folge. Allerdings kann der Quotient auch konvergent sein, wenn er definiert ist! Sequenzgrenzen sind (in den meisten Fällen) genauso wichtig wie Ziffern und Zahlen: 1, 2, 15, 24, 362 usw. Es stellt sich heraus, dass einige Operationen mit Grenzen ausgeführt werden können. Erstens können die Grenzen jeder Folge wie Ziffern und Zahlen addiert und subtrahiert werden. Basierend auf dem dritten Satz über die Grenzen von Folgen gilt folgende Gleichheit: Der Grenzwert der Summe der Folgen ist gleich der Summe ihrer Grenzen. Zweitens gilt basierend auf dem vierten Satz über die Grenzen von Folgen die folgende Gleichheit: Der Grenzwert des Produkts der n-ten Anzahl von Folgen ist gleich dem Produkt ihrer Grenzwerte. Das Gleiche gilt für die Division: Der Grenzwert des Quotienten zweier Folgen ist gleich dem Quotienten ihrer Grenzwerte, sofern der Grenzwert nicht Null ist. Denn wenn die Grenze der Folgen gleich Null ist, ergibt sich eine Division durch Null, was unmöglich ist. Es scheint, dass die Grenze der Zahlenfolge bereits ausführlich besprochen wurde, Phrasen wie „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen werden jedoch mehr als einmal erwähnt. Wenn es offensichtlich eine Folge 1/x gibt, mit x→∞, dann ist ein solcher Bruch unendlich klein, und wenn die gleiche Folge vorliegt, aber der Grenzwert gegen Null tendiert (x→0), dann wird der Bruch zu einem unendlich großen Wert. Und solche Mengen haben ihre eigenen Eigenschaften. Die Eigenschaften des Grenzwerts einer Folge mit beliebigen kleinen oder großen Werten sind wie folgt: Tatsächlich ist die Berechnung des Grenzwerts einer Folge keine so schwierige Aufgabe, wenn Sie einen einfachen Algorithmus kennen. Doch die Grenzen der Beständigkeit sind ein Thema, das höchste Aufmerksamkeit und Ausdauer erfordert. Natürlich reicht es aus, einfach den Kern der Lösung solcher Ausdrücke zu erfassen. Wenn Sie klein anfangen, können Sie mit der Zeit große Höhen erreichen. Wenn jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl x n zugeordnet ist, dann sagen wir, dass dies gegeben ist Zahlenfolge X 1 , X 2 , … x n , … Nummer X 1 wird als Mitglied der Folge bezeichnet mit Nummer 1
oder erstes Mitglied der Sequenz, Nummer X 2 - Mitglied der Sequenz mit Nummer 2
oder das zweite Mitglied der Sequenz usw. Die Zahl x n heißt Mitglied der Folge mit Nummer N. Es gibt zwei Möglichkeiten, Zahlenfolgen anzugeben: mit und mit wiederkehrende Formel. Sequenz verwenden Formeln für den allgemeinen Term einer Folge– Dies ist eine Sequenzaufgabe X 1 , X 2 , … x n , … unter Verwendung einer Formel, die die Abhängigkeit des Termes x n von seiner Zahl n ausdrückt. Beispiel 1. Zahlenfolge 1, 4, 9, … N 2 , … gegeben unter Verwendung der Common-Term-Formel x n = N 2 , N = 1, 2, 3, … Das Angeben einer Sequenz mithilfe einer Formel, die ein Sequenzelement x n durch die Sequenzelemente mit vorangehenden Zahlen ausdrückt, wird als Angeben einer Sequenz mithilfe bezeichnet wiederkehrende Formel. X 1 , X 2 , … x n , … angerufen in aufsteigender Folge, mehr vorheriges Mitglied. Mit anderen Worten: für alle N X N + 1 >X N Beispiel 3. Folge natürlicher Zahlen 1, 2, 3, … N, … Ist aufsteigende Reihenfolge. Definition 2. Zahlenfolge X 1 , X 2 , … x n , … angerufen absteigende Reihenfolge wenn jedes Mitglied dieser Sequenz weniger vorheriges Mitglied. Mit anderen Worten: für alle N= 1, 2, 3, … die Ungleichung ist erfüllt X N + 1 < X N Beispiel 4. Folge gegeben durch die Formel Ist absteigende Reihenfolge. Beispiel 5. Zahlenfolge 1, - 1, 1, - 1, … gegeben durch die Formel x n = (- 1) N , N = 1, 2, 3, … ist nicht weder zu- noch abnimmt Reihenfolge. Definition 3. Es werden steigende und fallende Zahlenfolgen genannt monotone Folgen. Definition 4. Zahlenfolge X 1 , X 2 , … x n , … angerufen von oben begrenzt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass jedes Mitglied dieser Folge weniger Zahlen M. Mit anderen Worten: für alle N= 1, 2, 3, … die Ungleichung ist erfüllt Definition 5. Zahlenfolge X 1 , X 2 , … x n , … angerufen nach unten begrenzt, wenn es eine Zahl m gibt, so dass jedes Mitglied dieser Folge mehr Zahlen m. Mit anderen Worten: für alle N= 1, 2, 3, … die Ungleichung ist erfüllt Definition 6. Zahlenfolge X 1 , X 2 , … x n , … heißt begrenzt, wenn es nach oben und unten begrenzt. Mit anderen Worten, es gibt Zahlen M und m, die für alle gelten N= 1, 2, 3, … die Ungleichung ist erfüllt M< x n < M Definition 7. Numerische Folgen, die sind nicht begrenzt, angerufen unbegrenzte Sequenzen. Beispiel 6. Zahlenfolge 1, 4, 9, … N 2 , … gegeben durch die Formel x n = N 2 , N = 1, 2, 3, … , nach unten begrenzt, zum Beispiel die Zahl 0. Allerdings ist diese Reihenfolge unbegrenzt von oben. Beispiel 7. Folge gegeben durch die Formel Ist begrenzte Reihenfolge, denn für alle N= 1, 2, 3, … die Ungleichung ist erfüllt Auf unserer Website können Sie sich auch mit den Lehrmaterialien vertraut machen, die von Lehrern des Ausbildungszentrums Resolventa zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik entwickelt wurden. Für Schüler, die sich gut vorbereiten und bestehen wollen Einheitliches Staatsexamen in Mathematik oder Russisch Für eine hohe Punktzahl führt das Schulungszentrum Resolventa durch
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(Mitglieder einer Progression), bei der jede nachfolgende Zahl, beginnend mit der zweiten, aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl q (Nenner der Progression) erhalten wird, wobei 
,
:
das heißt, jeder Term ist gleich dem geometrischen Mittel seiner Nachbarn.
, dann wenn 
, Und
bei 
.
.
Ungleichheit gilt 
für alle (natürlichen)n>n 0 .
oder 
.
, dann fallen alle Mitglieder dieser Folge mit Ausnahme der letzten Zahl in eine beliebige Ε-Umgebung des Punktes a. Geometrisch bedeutet die Beschränktheit einer Folge, dass alle ihre Werte auf einem bestimmten Segment liegen.
, dann jede Folge davon 
hat die gleiche Grenze.
∎
und die Bedingung x n ≤y n sei für jedes n erfüllt, thena 
und für Folgen x n ,y n ,z n die Bedingung x n ≤y n ≤z n erfüllt ist, dann für 
sollen 
.
Was sind Folgen und wo liegt ihre Grenze?
Wie ist die Zahlenfolge aufgebaut?
Arithmetische Folge als Teil von Folgen
Arten von Sequenzen
Bestimmung des Sequenzlimits
Allgemeine Bezeichnung für den Grenzwert von Folgen
Unsicherheit und Gewissheit der Grenze
Was ist eine Nachbarschaft?
Theoreme
Beweis von Sequenzen
Oder ist er vielleicht nicht da?
Monotone Folge
Grenzwert einer konvergenten und beschränkten Folge
Grenze einer monotonen Folge
Verschiedene Aktionen mit Grenzen
Eigenschaften von Folgegrößen
Begrenzte und unbeschränkte Folgen
Vorbereitungskurse für Schüler der Klassen 10 und 11
