C 10 Konvertieren von Ausdrücken, die Quadratwurzeln enthalten. Verwendung der Eigenschaften von Wurzeln bei der Transformation irrationaler Ausdrücke, Beispiele und Lösungen. Und es gibt nur kluge Gesichter

Video-Tutorial „Ausdrücke konvertieren, die eine Quadratwurzeloperation enthalten“ – Bildmaterial, mit deren Hilfe es einem Lehrer leichter fällt, Fähigkeiten zur Lösung von Problemen zu entwickeln, die Ausdrücke mit Quadratwurzeln enthalten. Während des Unterrichts werden wir daran erinnert theoretische Basis, die als Grundlage für die Durchführung von Operationen an Zahlen und Variablen im Wurzelausdruck dienen, beschreibt die Lösung vieler Arten von Problemen, die möglicherweise die Fähigkeit erfordern, Formeln zur Transformation von Ausdrücken mit einer Quadratwurzel zu verwenden, und stellt Methoden zur Beseitigung bereit der Irrationalität im Nenner eines Bruchs.

Die Videolektion beginnt mit der Demonstration des Titels des Themas. Es wird darauf hingewiesen, dass früher im Unterricht Transformationen durchgeführt wurden rationale Ausdrücke. In diesem Fall verwendeten sie theoretische Informationenüber Monome und Polynome, Methoden der Arbeit mit Polynomen, algebraische Brüche sowie abgekürzte Multiplikationsformeln. In diesem Video-Tutorial wird die Einführung der Quadratwurzeloperation zur Transformation von Ausdrücken erläutert. Die Schüler werden an die Eigenschaften der Quadratwurzeloperation erinnert. Unter diesen Eigenschaften wird darauf hingewiesen, dass man nach dem Ziehen der Quadratwurzel aus dem Quadrat einer Zahl die Zahl selbst erhält, die Wurzel aus dem Produkt zweier Zahlen gleich dem Produkt zwei Wurzeln dieser Zahlen, die Wurzel des Quotienten zweier Zahlen ist gleich dem Quotienten der Wurzeln der Quotiententerme. Die letzte besprochene Eigenschaft besteht darin, die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen sogar Grad√a 2 n, was als Ergebnis eine Zahl hoch a n bildet. Die betrachteten Eigenschaften gelten für alle nicht negativen Zahlen.

Es werden Beispiele betrachtet, die Transformationen von Ausdrücken erfordern, die eine Quadratwurzel enthalten. Es wird angegeben, dass diese Beispiele davon ausgehen, dass a und b nicht negative Zahlen sind. Im ersten Beispiel ist es notwendig, die Ausdrücke √16a 4 /9b 4 und √a 2 b 4 zu vereinfachen. Im ersten Fall wird eine Eigenschaft angewendet, die den Stamm bestimmt quadratische Produkte zwei Zahlen ist gleich dem Produkt ihrer Wurzeln. Als Ergebnis der Transformation erhält man den Ausdruck ab 2. Der zweite Ausdruck verwendet die Formel zum Umrechnen der Quadratwurzel eines Quotienten in den Quotienten der Wurzeln. Das Ergebnis der Transformation ist der Ausdruck 4a 2 /3b 3.

Im zweiten Beispiel ist es notwendig, den Faktor unter dem Quadratwurzelzeichen zu entfernen. Betrachtet wird die Lösung der Ausdrücke √81а, √32а 2, √9а 7 b 5. Am Beispiel der Transformation von vier Ausdrücken wird gezeigt, wie die Formel zur Transformation der Wurzel des Produkts mehrerer Zahlen zur Lösung verwendet wird ähnliche Aufgaben. In diesem Fall Fälle, in denen Ausdrücke enthalten numerische Quoten, Parameter in geraden, ungerader Grad. Als Ergebnis der Transformation erhält man die Ausdrücke √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

Im dritten Beispiel muss eine Operation durchgeführt werden, die der im vorherigen Problem entgegengesetzt ist. Um einen Faktor unter dem Quadratwurzelzeichen einzugeben, müssen Sie außerdem die erlernten Formeln anwenden können. Es wird vorgeschlagen, vor den Klammern unter dem Vorzeichen der Wurzel in den Ausdrücken 2√2 und 3a√b/√3a einen Faktor einzuführen. Benutzen berühmte Formeln, der Faktor vor dem Wurzelzeichen wird quadriert und als Faktor im Produkt unter dem Wurzelzeichen platziert. Im ersten Ausdruck ergibt die Transformation den Ausdruck √8. Der zweite Ausdruck verwendet zunächst die Produkt-Pferde-Formel, um den Zähler zu transformieren, und dann die Quotientenwurzelformel, um den gesamten Ausdruck zu transformieren. Nachdem wir Zähler und Nenner im Wurzelausdruck reduziert haben, erhalten wir √3ab.

In Beispiel 4 müssen Sie Aktionen in den Ausdrücken (√a+√b)(√a-√b) ausführen. Für Lösungen Ausdruck gegeben Es werden neue Variablen eingeführt, die Monome ersetzen, die das Vorzeichen der Wurzel √a=x und √b=y enthalten. Nach dem Ersetzen neuer Variablen liegt die Möglichkeit nahe, die abgekürzte Multiplikationsformel zu verwenden, wonach der Ausdruck die Form x 2 -y 2 annimmt. Wenn wir zu den ursprünglichen Variablen zurückkehren, erhalten wir a-b. Der zweite Ausdruck (√a+√b) 2 kann auch mit der Kurzmultiplikationsformel umgewandelt werden. Nach dem Öffnen der Klammern erhalten wir das Ergebnis a+2√ab+b.

In Beispiel 5 werden die Ausdrücke 4a-4√ab+b und x√x+1 faktorisiert. Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, Transformationen durchzuführen, auszuwählen übliche Faktoren. Nach Anwendung der Eigenschaften der Quadratwurzel zur Lösung des ersten Ausdrucks wird die Summe in das Quadrat der Differenz (2√a-√b) 2 umgewandelt. Um den zweiten Ausdruck zu lösen, müssen Sie den Faktor vor dem Wurzelzeichen unter der Wurzel eingeben und dann die Formel für die Summe der Kubikzahlen anwenden. Das Ergebnis der Transformation ist der Ausdruck (√x+1)(x 2 -√x+1).

Beispiel 6 zeigt die Lösung eines Problems, bei dem Sie den Ausdruck (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a) vereinfachen müssen. Die Lösung der Aufgabe erfolgt in vier Schritten. Im ersten Schritt wird der Zähler mit der abgekürzten Multiplikationsformel in ein Produkt umgewandelt – die Summe der Kubikzahlen zweier Zahlen. In der zweiten Aktion wird der Nenner des Ausdrucks transformiert, der die Form a-√3a+3 annimmt. Nach der Umwandlung ist es möglich, den Bruch zu reduzieren. IN letzte Aktion Es wird auch die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet, die dabei hilft, das Endergebnis a-3 zu erhalten.

Im siebten Beispiel ist es notwendig, die Quadratwurzel in den Nennern der Brüche 1/√2 und 1/(√3-√2) zu entfernen. Bei der Lösung des Problems wird die Grundeigenschaft eines Bruchs genutzt. Um die Wurzel im Nenner loszuwerden, werden Zähler und Nenner mit multipliziert selbe Nummer, mit deren Hilfe der Wurzelausdruck quadriert wird. Als Ergebnis der Berechnungen erhalten wir 1/√2=√2/2 und 1/(√3-√2)=√3+√2.

Merkmale sind angegeben mathematische Sprache beim Arbeiten mit Ausdrücken, die eine Wurzel enthalten. Es wird darauf hingewiesen, dass der Inhalt der Quadratwurzel im Nenner des Bruchs den Inhalt der Irrationalität bedeutet. Und die Beseitigung des Wurzelzeichens in einem solchen Nenner wird als Beseitigung der Irrationalität im Nenner bezeichnet. Es werden Methoden beschrieben, wie man die Irrationalität beseitigt – um einen Nenner der Form √a umzuwandeln, ist es notwendig, den Zähler gleichzeitig mit dem Nenner mit der Zahl √a zu multiplizieren und die Irrationalität für einen Nenner der Form √a zu beseitigen -√b, Zähler und Nenner werden mit dem konjugierten Ausdruck √a+√ b multipliziert. Es wird darauf hingewiesen, dass die Beseitigung der Irrationalität in einem solchen Nenner die Lösung des Problems erheblich vereinfacht.

Am Ende der Videolektion wird eine Vereinfachung des Ausdrucks 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3) besprochen. Um den Ausdruck zu vereinfachen, werden die oben diskutierten Methoden zur Beseitigung der Irrationalität im Nenner von Brüchen verwendet. Die resultierenden Ausdrücke werden addiert, woraufhin die vereinfachte Form des Ausdrucks wie folgt aussieht: √5-2√3.

Das Video-Tutorial „Transformieren von Ausdrücken, die die Operation zum Ziehen einer Quadratwurzel enthalten“ wird für die Verwendung in einer herkömmlichen Anwendung empfohlen Schulstunde Fähigkeiten zur Lösung von Problemen zu entwickeln, die Quadratwurzeln enthalten. Für den gleichen Zweck kann das Video vom Lehrer während des Unterrichts verwendet werden Fernunterricht. Das Material kann Studierenden auch für die selbstständige Arbeit zu Hause empfohlen werden.

Das Material in diesem Artikel sollte als Teil des Themas Transformation irrationaler Ausdrücke betrachtet werden. Hier analysieren wir anhand von Beispielen alle Feinheiten und Nuancen (von denen es viele gibt), die sich bei der Durchführung von Transformationen auf Basis der Eigenschaften von Wurzeln ergeben.

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Erinnern wir uns an die Eigenschaften von Wurzeln

Da wir uns gerade mit der Transformation von Ausdrücken mithilfe der Eigenschaften von Wurzeln befassen, kann es nicht schaden, sich die wichtigsten Ausdrücke zu merken oder noch besser, sie auf Papier zu schreiben und vor Ihnen abzulegen.

Zuerst studiert Quadratwurzeln und ihre folgenden Eigenschaften (a, b, a 1, a 2, …, a k - reale Nummern):

Und später wird die Idee einer Wurzel erweitert, die Definition einer Wurzel n-ten Grades eingeführt und die folgenden Eigenschaften berücksichtigt (a, b, a 1, a 2, ..., a k sind reelle Zahlen, m, n, n 1, n 2, ... ,nk- ganze Zahlen):

Konvertieren von Ausdrücken mit Zahlen unter Wurzelzeichen

Wie üblich lernen sie zunächst den Umgang mit numerischen Ausdrücken und gehen erst danach zu Ausdrücken mit Variablen über. Wir werden das Gleiche tun und uns zunächst mit der Transformation befassen irrationale Ausdrücke, enthält nur unter den Zeichen der Wurzeln numerische Ausdrücke, und dann werden wir im nächsten Absatz Variablen unter den Vorzeichen von Wurzeln einführen.

Wie kann dies zur Transformation von Ausdrücken verwendet werden? Es ist ganz einfach: Wir können zum Beispiel einen irrationalen Ausdruck durch einen Ausdruck ersetzen oder umgekehrt. Das heißt, wenn der umzuwandelnde Ausdruck einen Ausdruck enthält, der mit dem Ausdruck aus dem linken (rechten) Teil eines von übereinstimmt aufgeführten Immobilien Wurzeln, dann kann er durch den entsprechenden Ausdruck aus dem rechten (linken) Teil ersetzt werden. Dies ist die Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Wurzeln.

Lassen Sie uns noch ein paar Beispiele nennen.

Vereinfachen wir den Ausdruck . Die Zahlen 3, 5 und 7 sind positiv, sodass wir die Eigenschaften der Wurzeln sicher anwenden können. Hier können Sie auf unterschiedliche Weise agieren. Beispielsweise kann eine Wurzel, die auf einer Eigenschaft basiert, als dargestellt werden, und eine Wurzel, die eine Eigenschaft mit k=3 verwendet – als . Mit diesem Ansatz sieht die Lösung wie folgt aus:

Man könnte es auch anders machen, indem man durch und dann durch ersetzt. In diesem Fall würde die Lösung so aussehen:

Andere Lösungen sind möglich, zum Beispiel:

Schauen wir uns die Lösung eines anderen Beispiels an. Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln. Wenn wir uns die Liste der Eigenschaften von Wurzeln ansehen, wählen wir daraus die Eigenschaften aus, die wir zur Lösung des Beispiels benötigen; es ist klar, dass zwei davon hier nützlich sind und , die für jedes a gültig sind. Wir haben:

Alternativ könnte man zunächst die radikalen Ausdrücke mit transformieren

und dann die Eigenschaften der Wurzeln anwenden

Bisher haben wir Ausdrücke konvertiert, die nur Quadratwurzeln enthalten. Es ist Zeit, mit Wurzeln zu arbeiten, die unterschiedliche Indikatoren haben.

Beispiel.

Wandeln Sie den irrationalen Ausdruck um .

Lösung.

Nach Eigentum erster Multiplikator gegebenes Produkt kann durch die Zahl −2 ersetzt werden:

Fortfahren. Der zweite Faktor ist auf die Immobilie zurückzuführen kann dargestellt werden als , und es würde nicht schaden, 81 durch eine vierfache Potenz von drei zu ersetzen, da die Zahl 3 unter den Vorzeichen der Wurzeln in den verbleibenden Faktoren erscheint:

Es empfiehlt sich, die Wurzel eines Bruchs durch ein Wurzelverhältnis der Form zu ersetzen, das weiter transformiert werden kann: . Wir haben

Der resultierende Ausdruck nach dem Ausführen von Aktionen mit Zweiern wird die Form annehmen , und es bleibt das Produkt der Wurzeln umzuwandeln.

Um Produkte von Wurzeln umzuwandeln, werden sie normalerweise auf einen Indikator reduziert, wofür es ratsam ist, die Indikatoren aller Wurzeln zu nehmen. In unserem Fall ist LCM(12, 6, 12) = 12, und nur die Wurzel muss auf diesen Indikator reduziert werden, da die anderen beiden Wurzeln bereits einen solchen Indikator haben. Die Gleichheit, die von rechts nach links angewendet wird, ermöglicht es uns, diese Aufgabe zu bewältigen. Also . Unter Berücksichtigung dieses Ergebnisses haben wir

Jetzt kann das Produkt der Wurzeln durch die Wurzel des Produkts ersetzt werden und die verbleibenden, bereits offensichtlichen Transformationen durchgeführt werden:

Wir werden ausstellen kurze Version Lösungen:

Antwort:

.

Wir betonen gesondert, dass für die Anwendung der Eigenschaften von Wurzeln die Einschränkungen berücksichtigt werden müssen, die den Zahlen unter den Vorzeichen der Wurzeln (a≥0 usw.) auferlegt werden. Wenn Sie sie ignorieren, kann dies zu falschen Ergebnissen führen. Wir wissen zum Beispiel, dass die Eigenschaft für nichtnegative a gilt. Auf dieser Grundlage können wir beispielsweise leicht von nach wechseln, da 8 – positive Zahl. Wenn wir aber zum Beispiel eine sinnvolle Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen und diese aufgrund der oben angegebenen Eigenschaft durch ersetzen, dann ersetzen wir tatsächlich −2 durch 2. In der Tat, ah. Das heißt, für ein negatives a kann die Gleichheit falsch sein, ebenso wie andere Eigenschaften von Wurzeln falsch sein können, ohne die für sie angegebenen Bedingungen zu berücksichtigen.

Was im vorherigen Absatz gesagt wurde, bedeutet jedoch keineswegs, dass Ausdrücke mit negativen Zahlen unter den Vorzeichen der Wurzeln nicht mithilfe der Eigenschaften der Wurzeln transformiert werden können. Sie müssen lediglich zunächst „vorbereitet“ werden, indem die Regeln für Operationen mit Zahlen angewendet werden oder die Definition einer ungeraden Wurzel einer negativen Zahl verwendet wird, was der Gleichheit entspricht , wobei −a eine negative Zahl ist (und a positiv ist). Es kann beispielsweise nicht sofort durch ersetzt werden, da −2 und −3 negative Zahlen sind, aber es ermöglicht uns, von der Wurzel zu zu gelangen und dann die Eigenschaft der Wurzel eines Produkts weiter anzuwenden: . Aber in einem der vorherigen Beispiele war es nicht notwendig, von Wurzel zu Wurzel der achtzehnten Potenz zu wechseln , und so .

Um Ausdrücke mithilfe der Eigenschaften von Wurzeln umzuwandeln, benötigen Sie also

• Wählen Sie die entsprechende Eigenschaft aus der Liste aus,
• Stellen Sie sicher, dass die Zahlen unter der Wurzel die Bedingungen für die ausgewählte Eigenschaft erfüllen (in ansonsten Vorläufige Transformationen sind erforderlich)
• und die beabsichtigte Transformation durchführen.

Konvertieren von Ausdrücken mit Variablen unter Wurzelzeichen

Um irrationale Ausdrücke zu transformieren, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen unter dem Wurzelzeichen enthalten, müssen die im ersten Absatz dieses Artikels aufgeführten Eigenschaften der Wurzeln sorgfältig angewendet werden. Dies liegt vor allem an den Bedingungen, die die in die Formeln einbezogenen Zahlen erfüllen müssen. Basierend auf der Formel kann der Ausdruck beispielsweise nur für diejenigen Werte von x durch einen Ausdruck ersetzt werden, die die Bedingungen x≥0 und x+1≥0 erfüllen, da die angegebene Formel für a≥0 und b angegeben ist ≥0.

Welche Gefahren birgt das Ignorieren dieser Bedingungen? Die Antwort auf diese Frage zeigt deutlich nächstes Beispiel. Nehmen wir an, wir müssen den Wert eines Ausdrucks bei x=−2 berechnen. Wenn wir anstelle der Variablen x sofort die Zahl −2 einsetzen, erhalten wir den benötigten Wert . Stellen wir uns nun vor, dass wir aufgrund einiger Überlegungen den gegebenen Ausdruck in die Form umgewandelt haben und erst danach beschlossen haben, den Wert zu berechnen. Wir ersetzen x durch die Zahl −2 und erhalten den Ausdruck , was keinen Sinn ergibt.

Sehen wir uns an, was mit dem Bereich zulässiger Werte (APV) der Variablen x passiert, wenn man von Ausdruck zu Ausdruck wechselt. Es war kein Zufall, dass wir die ODZ erwähnt haben, da es sich dabei um ein ernstzunehmendes Instrument zur Überwachung der Zulässigkeit der vorgenommenen Transformationen handelt und eine Änderung der ODZ nach der Transformation eines Ausdrucks zumindest Warnsignale auslösen sollte. Finden Sie ODZ für angegebene Ausdrücke ist nicht schwierig. Für DL-Ausdrücke wird aus der Ungleichung x·(x+1)≥0 bestimmt, ihre Lösung ergibt Nummer eingestellt (−∞, −1]∪∪}