Wie viele Wurzeln hat eine biquadratische Gleichung? Quadratische und biquadratische Gleichungen. Typische Fehler beim Lösen von Gleichungen

Jeder kennt ein solches Konzept wie Gleichungen seit der Schule. Eine Gleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Variablen enthält. Wenn Sie wissen, dass einer der Teile einer bestimmten Gleichheit dem anderen gleich ist, können Sie einzelne Teile der Gleichung isolieren und bestimmte ihrer Komponenten nach klar definierten Regeln über das Gleichheitszeichen hinaus übertragen. Sie können die Gleichung auf die erforderliche logische Schlussfolgerung in der Form x=n vereinfachen, wobei n eine beliebige Zahl ist.

MIT Grundschule Alle Kinder absolvieren einen Studiengang unterschiedlicher Komplexität. Später im Programm tauchen komplexere lineare Gleichungen auf – dann kommen quadratische Kubische Gleichungen. Jeder nachfolgende Gleichungstyp verfügt über neue Lösungsmethoden, die schwieriger zu studieren und zu wiederholen sind.

Danach stellt sich jedoch die Frage nach der Lösung dieser Art von Gleichungen, beispielsweise biquadratischer Gleichungen. Dieser Typ Trotz der scheinbaren Komplexität lässt es sich ganz einfach lösen: Die Hauptsache ist, solche Gleichungen in die richtige Form bringen zu können. Ihre Lösung wird in ein oder zwei Lektionen zusammen mit studiert praktische Aufgaben, wenn Studenten haben Grundwissen zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Was muss eine Person wissen, die mit einer solchen Gleichung konfrontiert wird? Sie umfassen zunächst nur gerade Potenzen der Variablen „x“: die vierte und dementsprechend die zweite. Bi sein quadratische Gleichung Es wurde beschlossen, es in Form zu bringen. Einfach genug! Sie müssen lediglich das „x“ im Quadrat durch „y“ ersetzen. Dann verwandelt sich das für viele Schulkinder beängstigende „x“ in der vierten Potenz in ein „y“ im Quadrat und die Gleichung nimmt die Form einer gewöhnlichen quadratischen Gleichung an.

Dann wird sie wie eine gewöhnliche quadratische Gleichung gelöst: Sie wird faktorisiert, woraufhin der Wert des mysteriösen „y“ ermittelt wird. Lösen biquadratische Gleichung Bis zum Ende müssen Sie aus der Zahl „y“ ermitteln - dies ist der gewünschte Wert „x“. Nachdem Sie die Werte gefunden haben, können Sie sich zum erfolgreichen Abschluss der Berechnungen gratulieren.

Was ist beim Lösen derartiger Gleichungen zu beachten? Erstens und am wichtigsten: Ich kann keine negative Zahl sein! Die bloße Bedingung, dass das Spiel das Quadrat der Zahl x ist, schließt aus ähnliche Option Lösungen. Wenn sich also bei der ersten Lösung einer biquadratischen Gleichung herausstellt, dass einer der „y“-Werte positiv und der zweite negativ ist, dürfen Sie nur die positive Version verwenden, da sonst die biquadratische Gleichung falsch gelöst wird. Es ist besser, sofort die Regel einzuführen, dass die Variable „y“ größer oder gleich Null ist.

Die zweite wichtige Nuance: Die Zahl „X“, die die Quadratwurzel der Zahl „Y“ ist, kann entweder positiv oder negativ sein. Nehmen wir an, wenn „y“ gleich vier ist, dann hat die biquadratische Gleichung zwei Lösungen: zwei und minus zwei. Dies geschieht, weil eine negative Zahl erhöht wurde sogar Grad, ist gleich der Nummer desselben Moduls, aber tolles Zeichen, auf die gleiche Potenz erhoben. Daher lohnt es sich immer, sich an diesen wichtigen Punkt zu erinnern, da Sie sonst möglicherweise einfach eine oder mehrere Antworten auf die Gleichung verlieren. Es ist am besten, sofort zu schreiben, dass „x“ gleich plus oder minus der Quadratwurzel von „y“ ist.

Im Allgemeinen ist das Lösen biquadratischer Gleichungen recht einfach und erfordert nicht viel Zeit. Um dieses Thema zu studieren Lehrplan zwei sind genug akademische Stunden- Wiederholungen natürlich nicht mitgerechnet und Tests. Biquadratische Gleichungen Standard Ansicht lässt sich sehr einfach lösen, wenn man die oben aufgeführten Regeln beachtet. Die Lösung wird Ihnen nicht schwer fallen, da sie in Mathematiklehrbüchern ausführlich beschrieben ist. Viel Erfolg beim Studium und Erfolg bei der Lösung aller Probleme, nicht nur mathematischer!

Bevor Sie biquadratische Gleichungen lösen, müssen Sie verstehen, was ist dieser Ausdruck. Es handelt sich also um eine Gleichung vierten Grades, die wie folgt geschrieben werden kann: „ (ax 4) + (bx 2) + c = 0" Seine allgemeine Form kann geschrieben werden als „ Oh" Um eine Gleichung dieser Art zu lösen, müssen Sie eine Methode namens „Substitution von Unbekannten“ verwenden. Ihm zufolge ist der Ausdruck „ x 2" muss durch eine andere Variable ersetzt werden. Nach einer solchen Substitution erhält man eine einfache quadratische Gleichung, deren Lösung in Zukunft nicht mehr schwierig ist.

Notwendig:

— Leeres Blatt Papier;
— Schreibstift;
- Grundkenntnisse in Mathematik.

Anweisungen:

• Sie müssen den Ausdruck also zunächst auf ein Blatt Papier schreiben. Der erste Schritt seiner Lösung besteht in einem einfachen Verfahren zum Ersetzen des Ausdrucks „ x 2 " zu einer einfachen Variablen (zum Beispiel " Zu"). Nachdem Sie dies getan haben, sollten Sie eine neue Gleichung haben: „ (ak 2) – (bk) + c = 0».
• Um die biquadratische Gleichung korrekt zu lösen, müssen Sie zunächst die Wurzeln für „ (ak 2) – (bк) + с = 0", das Sie nach der Ersetzung erhalten haben. Dazu muss der Diskriminanzwert berechnet werden bekannte Formel: « D = (geb 2 ) − 4*ac" Darüber hinaus sind alle diese Variablen ( A, B Und Mit) sind die Koeffizienten der obigen Gleichung.
• Während Diskriminanzberechnung Wir können herausfinden, ob unsere biquadratische Gleichung eine Lösung hat, denn wenn am Ende gegebener Wert mit einem Minuszeichen ausfällt, dann gibt es in Zukunft möglicherweise einfach keine Lösung mehr. Wenn die Diskriminante gleich Null ist, haben wir eins einzige Entscheidung, definiert durch die folgende Formel: „ k = - (b / 2 * a)" Nun, wenn sich herausstellt, dass unser Diskriminant so ist Über Null, dann haben wir zwei Lösungen. Um zwei Lösungen zu finden, muss die Quadratwurzel aus „ gezogen werden. D"(das heißt, von der Diskriminante). Der resultierende Wert muss als Variable geschrieben werden „ QD».
• Der nächste Schritt ist direkt Lösen einer quadratischen Gleichung , was du hast. Dazu müssen Sie die Formel bereits ersetzen bekannte Werte. Für eine der Lösungen: „ k1 = (-b + QD) / 2 * a", und für den anderen:" k2 = (-b - QD) / 2 * a».
• Und schließlich die letzte Phase - Finden der Wurzeln einer biquadratischen Gleichung . Dazu müssen Sie die Quadratwurzel aus den zuvor erhaltenen Lösungen der gewöhnlichen quadratischen Gleichung ziehen. Wenn die Diskriminante war gleich Null, und wir hatten nur eine Lösung, dann wird es in diesem Fall zwei Wurzeln geben (mit negativ und mit positiver Wert Quadratwurzel). Wenn dementsprechend die Diskriminante größer als Null wäre, dann hätte unsere biquadratische Gleichung bis zu vier Wurzeln.

Anweisungen

Substitutionsmethode: Drücken Sie eine Variable aus und ersetzen Sie sie in eine andere Gleichung. Sie können jede Variable nach Ihrem Ermessen ausdrücken. Drücken Sie beispielsweise y aus der zweiten Gleichung aus:
x-y=2 => y=x-2Dann setze alles in die erste Gleichung ein:
2x+(x-2)=10 Verschiebe alles ohne „x“ nach rechte Seite und berechne:
2x+x=10+2
3x=12 Als nächstes teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3, um x zu erhalten:
x=4. Sie haben also „x. Finden Sie „y. Ersetzen Sie dazu „x“ in der Gleichung, aus der Sie „y“ ausgedrückt haben:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Führen Sie eine Überprüfung durch. Setzen Sie dazu die resultierenden Werte in die Gleichungen ein:
2*4+2=10
4-2=2
Die Unbekannten wurden korrekt gefunden!

Eine Möglichkeit, Gleichungen zu addieren oder zu subtrahieren. Entfernen Sie alle Variablen sofort. In unserem Fall geht das einfacher mit „y“.
Da in „y“ ein „+“-Zeichen und im zweiten ein „-“ steht, können Sie die Additionsoperation durchführen, d.h. Falten Sie die linke Seite mit der linken und die rechte mit der rechten Seite:
2x+y+(x-y)=10+2Umrechnen:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Setzen Sie „x“ in eine beliebige Gleichung ein und finden Sie „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Mit der 1. Methode können Sie sehen, dass sie korrekt gefunden wurden.

Liegen keine klar definierten Variablen vor, ist eine geringfügige Umformung der Gleichungen erforderlich.
In der ersten Gleichung haben wir „2x“ und in der zweiten einfach „x“. Damit x bei der Addition reduziert wird, multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 2:
x-y=2
2x-2y=4Dann subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Beachten Sie, dass wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht, dieses nach dem Öffnen in das Gegenteil geändert wird:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
Finden Sie y=2x, indem Sie es aus einer beliebigen Gleichung ausdrücken, d. h.
x=4

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Tipp 2: So lösen Sie eine lineare Gleichung in zwei Variablen

Die gleichung, geschrieben in der allgemeinen Form ax+bó+c=0, heißt eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Diese Gleichung selbst enthält unendliche Menge Lösungen, daher wird es bei Problemen immer durch etwas ergänzt - eine andere Gleichung oder Randbedingungen. Lösen Sie abhängig von den Bedingungen des Problems eine lineare Gleichung mit zwei Variablen sollen verschiedene Wege.

Du wirst brauchen

• - lineare Gleichung mit zwei Variablen;
• - zweite Gleichung oder zusätzliche Bedingungen.

Anweisungen

Wenn ein System von zwei gegeben ist lineare Gleichungen, löse es wie folgt. Wählen Sie eine der Gleichungen aus, in der die Koeffizienten enthalten sind Variablen kleiner und drücken Sie eine der Variablen aus, zum Beispiel x. Setzen Sie dann diesen Wert, der y enthält, in die zweite Gleichung ein. In der resultierenden Gleichung gibt es nur eine Variable y. Verschieben Sie alle Teile mit y nach links und die freien Teile nach rechts. Finden Sie y und setzen Sie es in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um x zu finden.

Es gibt eine andere Möglichkeit, ein System aus zwei Gleichungen zu lösen. Multiplizieren Sie eine der Gleichungen mit einer Zahl, sodass der Koeffizient einer der Variablen, beispielsweise x, in beiden Gleichungen gleich ist. Subtrahieren Sie dann eine der Gleichungen von der anderen (wenn die rechte Seite nicht gleich 0 ist, denken Sie daran, die rechten Seiten auf die gleiche Weise zu subtrahieren). Sie werden sehen, dass die x-Variable verschwunden ist und nur noch eine y-Variable übrig ist. Lösen Sie die resultierende Gleichung und setzen Sie den gefundenen Wert von y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Finden Sie x.

Die dritte Möglichkeit, ein System aus zwei linearen Gleichungen zu lösen, ist grafisch. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem und stellen Sie zwei Linien grafisch dar, deren Gleichungen in Ihrem System angegeben sind. Setzen Sie dazu zwei beliebige x-Werte in die Gleichung ein und ermitteln Sie das entsprechende y – dies sind die Koordinaten der zur Geraden gehörenden Punkte. Der bequemste Weg, den Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen zu finden, besteht darin, einfach die Werte x=0 und y=0 zu ersetzen. Die Koordinaten des Schnittpunkts dieser beiden Linien werden die Aufgaben sein.

Wenn es in den Problembedingungen nur eine lineare Gleichung gibt, dann wurden Ihnen zusätzliche Bedingungen gegeben, durch die Sie eine Lösung finden können. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um diese Bedingungen zu finden. Wenn Variablen x und y geben Distanz, Geschwindigkeit, Gewicht an – Sie können den Grenzwert gerne x≥0 und y≥0 festlegen. Es ist durchaus möglich, dass x oder y die Anzahl der Äpfel usw. verbirgt. – dann können die Werte nur sein. Wenn x das Alter des Sohnes ist, ist es klar, dass er nicht älter als sein Vater sein kann, also geben Sie dies in den Bedingungen der Aufgabe an.

Quellen:

• wie man eine Gleichung mit einer Variablen löst

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Abhängig von den Ausgangsdaten wird der weitere Verlauf der Entscheidung maßgeblich abhängen.

Du wirst brauchen

• - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisungen

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie durch diese zu ersetzen Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel ist es in diesem Fall, es wieder in den Normalzustand zu versetzen Die gleichung mit einer unbekannten Person. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach: Setzen Sie den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finden Sie alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Prüfen Sie, ob es möglich ist, eine Variable oder eine Variable so zu multiplizieren, dass zwei Unbekannte gleichzeitig gelöscht werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie höchstwahrscheinlich; die spätere Lösung wird nicht schwierig sein. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Ebenso müssen Sie beim Subtrahieren von Gleichungen bedenken, dass auch die rechte Seite subtrahiert werden muss.

Wenn die vorherigen Methoden nicht geholfen haben, verwenden Sie im Allgemeinen Lösungen für beliebige Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix aus Koeffizienten für x (A), eine Matrix aus Unbekannten (X) und eine Matrix aus freien Einsen (B). Bitte beachten Sie, dass Sie durch Multiplikation der Koeffizientenmatrix mit der Unbekanntenmatrix eine Matrix freier Terme erhalten, d. h. A*X=B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), indem Sie zunächst finden. Beachten Sie, dass sie nicht gleich Null sein sollte. Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Matrix mit der Matrix B. Als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X mit Angabe aller Werte.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante ∆ dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finden Sie nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

• Lösungen für Gleichungen mit drei Unbekannten

Ein Gleichungssystem zu lösen ist herausfordernd und spannend. Wie komplexeres System, desto interessanter ist es, es zu lösen. Am häufigsten in Mathematik weiterführende Schule Es gibt Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, aber in höhere Mathematik Möglicherweise gibt es weitere Variablen. Systeme können mit mehreren Methoden gelöst werden.

Anweisungen

Die gebräuchlichste Methode zur Lösung eines Gleichungssystems ist die Substitution. Dazu müssen Sie eine Variable durch eine andere ausdrücken und sie durch die zweite ersetzen Die gleichung Systeme, also führend Die gleichung auf eine Variable. Zum Beispiel anhand der Gleichungen: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Ausgehend vom zweiten Ausdruck ist es praktisch, eine der Variablen auszudrücken, alles andere auf die rechte Seite des Ausdrucks zu verschieben und nicht zu vergessen, das Vorzeichen des Koeffizienten zu ändern: x = 3-y.

Öffnen Sie die Klammern: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Wir setzen den resultierenden Wert y in den Ausdruck ein: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Im ersten Ausdruck sind alle Terme 2, Sie können 2 aus Klammern setzen Verteilungseigenschaft Multiplikation: 2*(2x-y-3)=0. Nun können beide Teile des Ausdrucks um diese Zahl reduziert und dann als y ausgedrückt werden, da der Modulkoeffizient dafür gleich eins ist: -y = 3-2x oder y = 2x-3.

Genau wie im ersten Fall ersetzen wir diesen Ausdruck im zweiten Die gleichung und wir erhalten: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Setzen Sie den resultierenden Wert in den Ausdruck ein: y=2x -3;y=4-3=1.

Wir sehen, dass der Koeffizient für y den gleichen Wert, aber ein unterschiedliches Vorzeichen hat. Wenn wir also diese Gleichungen hinzufügen, werden wir y vollständig los: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Setzen Sie den Wert von x in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und erhalten Sie y=1.

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Biquadratisch Die gleichung repräsentiert Die gleichung vierten Grades, dessen allgemeine Form durch den Ausdruck ax^4 + bx^2 + c = 0 dargestellt wird. Seine Lösung basiert auf der Verwendung der Methode der Substitution von Unbekannten. IN in diesem Fall x^2 wird durch eine andere Variable ersetzt. Das Ergebnis ist also ein gewöhnliches Quadrat Die gleichung, das gelöst werden muss.

Anweisungen

Lösen Sie die quadratische Gleichung Die gleichung, resultierend aus der Ersetzung. Berechnen Sie dazu zunächst den Wert nach der Formel: D = b^2? 4ac. In diesem Fall sind die Variablen a, b, c die Koeffizienten unserer Gleichung.

Finden Sie die Wurzeln der biquadratischen Gleichung. Ziehen Sie dazu die Quadratwurzel aus den erhaltenen Lösungen. Wenn es eine Lösung gab, dann wird es zwei geben – positiv und negative Bedeutung Quadratwurzel. Gäbe es zwei Lösungen, hätte die biquadratische Gleichung vier Wurzeln.

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Einer von klassische Methoden Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist die Gauß-Methode. Es besteht in der sequentiellen Eliminierung von Variablen bei der Verwendung eines Gleichungssystems einfache Transformationen wird in ein schrittweises System übersetzt, aus dem alle Variablen nacheinander gefunden werden, beginnend mit der letzten.

Anweisungen

Bringen Sie zunächst das Gleichungssystem in eine Form, in der alle Unbekannten in strenger Reihenfolge vorliegen. in einer bestimmten Reihenfolge. Beispielsweise erscheinen alle unbekannten X-Zeichen zuerst in jeder Zeile, alle Y-Zeichen folgen nach den X-Zeichen, alle Z-Zeichen folgen nach den Y-Zeichen und so weiter. Auf der rechten Seite jeder Gleichung sollten keine Unbekannten vorhanden sein. Bestimmen Sie im Geiste die Koeffizienten vor jeder Unbekannten sowie die Koeffizienten auf der rechten Seite jeder Gleichung.

Erste quadratische Gleichungen Mathematiker haben es geschafft zu lösen antikes Ägypten. Die Babylonier waren etwa 2000 Jahre v. Chr. in der Lage, unvollständige quadratische Gleichungen sowie bestimmte Arten vollständiger quadratischer Gleichungen zu lösen. Antike griechische Mathematiker konnten einige Arten quadratischer Gleichungen lösen und sie auf reduzieren geometrische Konstruktionen. Beispiele für das Lösen von Gleichungen ohne Verwendung geometrisches Wissen gibt von Diophantus von Alexandria (3. Jahrhundert). Diophantus beschrieb in seinen Büchern „Arithmetik“ eine Methode zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen, diese Bücher sind jedoch nicht erhalten. In Europa wurden erstmals Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen aufgestellt Italienischer Mathematiker Leonardo Fibonacci im Jahr 1202.

Allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die in die Form umgewandelt werden x 2 + bx = c, wurde vom deutschen Mathematiker M. Stiefel beschrieben. Er formulierte es 1544 allgemeine Regel Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf ein einheitliches kanonische Form
x 2 + bx + c = 0 mit allen möglichen Variationen der Vorzeichen und Koeffizienten b und c.

François Viète leitete die Formeln für die quadratische Gleichung in allgemeiner Form ab, arbeitete jedoch nur mit positiven Zahlen.

Tartaglia, Cardano, Bombelli sind italienische Wissenschaftler, die im 16. Jahrhundert zu den ersten gehörten, die neben positiven auch negative Wurzeln berücksichtigten.

Herleitung der Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen Gesamtansicht Viet war verlobt. Er machte nur eine Aussage für positive Wurzeln ( negative Zahlen er hat es nicht zugegeben).

Nach den Arbeiten des niederländischen Mathematikers Albert Girard sowie Descartes und Newton nahmen Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an.

Quadratische Gleichungen

1. Erinnern wir uns an die bereits bekannten Methoden zum Lösen und Studieren quadratischer Gleichungen:

• Auswählen eines vollständigen Quadrats;
• Verwenden der Wurzelformel für eine quadratische Gleichung;
• nach dem Satz von Vieta;
• basierend auf den Eigenschaften einer quadratischen Funktion.

Beim Lösen von Gleichungen ist es notwendig, den Überblick über viele zu behalten akzeptable Werte unbekannt, weil es kann sich ändern. Bei einer Erweiterung sollte die gefundene Lösung daraufhin überprüft werden, ob sie fremd ist gegebene Gleichung. Wenn eine Verengung aufgetreten ist, muss sichergestellt werden, dass die Werte nicht verloren gehen unbekannte Lösungen dieser Gleichung. Das Finden zufälliger Lösungen ist nicht immer einfach durchzuführen, daher ist es ratsam, eine Einschränkung der Menge zulässiger Werte der Unbekannten der Gleichung zu vermeiden.

2. Häufige Fehler beim Lösen von Gleichungen.

Gemäß den Regeln können Sie die ursprüngliche Gleichung in eine äquivalente Gleichung umwandeln, und Sie wissen, dass beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl ungleich Null dividiert oder multipliziert werden können.

1) Wenn die Gleichung die Form f(x) · g(x) = p(x) · g(x) hat, ist die Division beider Seiten durch denselben Faktor g(x) in der Regel nicht akzeptabel. Diese Aktion kann zum Verlust von Wurzeln führen: Die Wurzeln der Gleichung g(x) = 0 können verloren gehen, sofern sie existieren.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung 2(x – 3) = (x – 3)(x + 5).

Lösung.

Hier kann man nicht um einen Faktor (x – 3) reduzieren.

2(x – 3) – (x – 3)(x + 5) = 0, entfernen Sie die allgemeine Klammer:

(x – 3)(-x – 3) = 0, jetzt

x – 3 = 0 oder -x – 3 = 0;

x = 3 oder x = -3.

Antwort: -3; 3.

2) Eine Gleichung der Form f(x) / g(x) = 0 kann durch das System ersetzt werden:

(f(x) = 0,
(g(x) ≠ 0.

Es entspricht der ursprünglichen Gleichung.

Oder Sie können die Gleichung f(x) = 0 lösen und erst dann die gefundenen Wurzeln eliminieren, die den Nenner g(x) verschwinden lassen.

Treffen gebrochene rationale Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung: (x + 3) / (x – 3) + (x – 3) / (x + 3) = 10/3 + 36/(x – 3)(x + 3).

Lösung.

Beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren gemeinsamer Nenner und wenn wir die ursprüngliche Gleichung durch eine ganze Zahl ersetzen, erhalten wir ein äquivalentes System:

(3(x + 3) 2 + 3(x – 3) 2 = 10(x – 3)(x + 3) + 3 36;
((x – 3)(x +3) ≠ 0.

Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln: x = 3 oder x = -3, aber x ≠ 3 und x ≠ -3.

Antwort: Die Gleichung hat keine Wurzeln.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung: (x + 5)(x 2 + 4x - 5)/(x + 5)(x + 2) = 0.

Lösung.

Sie beschränken sich oft auf diese Lösung:

(x 2 + 4x – 5) / (x + 2) = 0.
(x = -5, x = 1,
(x ≠ -2.

Antwort: -5; 1.

Richtige Antwort: 1.

Beispiel 4.

Bei der Erledigung allgemeiner Forschungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen folgender Typ: „Ohne zu rechnen echte Wurzeln x 1 und x 2 Gleichungen 2x 2 + 3x + 2 = 0, finden Sie den Wert von x 1 2 + x 2 2 " Einfache Unaufmerksamkeit führt zu einem schwerwiegenden Fehler.

Tatsächlich gilt nach dem Satz von Vieta:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – x 1 x 2 = (-3/2) 2 – 2 1 = 1/4.

Der Satz könnte jedoch verwendet werden, wenn es echte Wurzeln gäbe. IN in diesem Beispiel D< 0 и корней нет.

Antwort: Der Wert x 1 2 + x 2 2 existiert nicht.

Beispiel 5.

Berechnen Sie den negativen Koeffizienten b und die Wurzeln der Gleichung x 2 + bx – 1 = 0, wenn sie bei einer Erhöhung jeder dieser Wurzeln um eins zu Wurzeln der Gleichung x 2 – b 2 x – b = 0 werden.

Lösung.

Seien x 1 und x 2 die Wurzeln der Gleichung x 2 + bx – 1 = 0. Dann gilt nach Vietas Argument

x 1 + x 2 = -b und x 1 x 2 = -1 (*). Andererseits nach Bedingung

(x 1 + 1) + (x 2 + 1) = b 2 und (x 1 + 1)(x 2 + 1) = -b.

Lassen Sie uns umschreiben:

x 1 + x 2 = b 2 – 2 und (x 1 + 1)(x 2 + 1) = -b.

Unter Berücksichtigung der Bedingungen (*) erhalten wir nun b 2 – 2 = -b, also

b 1 = -2, b 2 = 1. Gemäß der Bedingung ist b 1 = -2.

Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung die Form x 2 – 2x – 1 = 0 hat, die Wurzeln sind die Zahlen x 1,2 = 1 ± √2.

Antwort: b 1 = -2, x 1,2 = 1 ± √2.

Gleichungen auf quadratisch reduziert. Biquadratische Gleichungen

Gleichungen der Form ax 4 + bx 2 + c = 0, wobei a ≠ 0, werden genannt biquadratische Gleichungen mit einer Variablen.

Um die biquadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie die Substitution x 2 = t durchführen, die Wurzeln t 1 und t 2 der quadratischen Gleichung bei 2 + bt + c = 0 finden und die Gleichungen x 2 = t 1 und x 2 = lösen t 2. Sie haben nur dann Lösungen, wenn t 1,2 ≥ 0.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Lösung.

Substitution: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Gemäß Punkt Vieta t 1 = -9 und t 2 = 4.

x 2 = -9 oder x 2 = 4.

Antwort: In der ersten Gleichung gibt es keine Wurzeln, in der zweiten jedoch: x = ±2.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung (2x – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Lösung.

Substitution: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Nach Punkt Vieta t 1 = 9 und t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 oder (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 oder 2x – 1 = ±4.

Es gibt zwei Wurzeln aus der ersten Gleichung: x = 2 und x = -1, und auch aus der zweiten: x = 2,5 und x = -1,5.

Antwort: -1,5; -1; 2; 2.5.

Somit besteht der Prozess der Lösung beliebiger Gleichungen darin, eine gegebene Gleichung nacheinander durch eine andere, äquivalente und einfachere Gleichung zu ersetzen.

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In den vorherigen Lektionen haben wir gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Dazu war es notwendig, ein neues mathematisches Objekt einzuführen – eine Diskriminante. Wenn Sie sich nicht erinnern, was das ist, empfehle ich Ihnen, zur Lektion „So lösen Sie quadratische Gleichungen“ zurückzukehren.

Zunächst einmal ist die Definition einer biquadratischen Gleichung im Allgemeinen jeder Ausdruck, bei dem die Variable nur in der 4. und 2. Potenz vorhanden ist.

1) Führen Sie eine neue Variable $((x)^(2))=t$ ein. In diesem Fall erhalten wir, wenn wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren

\[\begin(align)& (((((x)^(2)))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(align)\]

2) Schreiben Sie unseren Ausdruck um – $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) Finden Sie eine Lösung für die resultierende Gleichung und finden Sie die Variablen $((t)_(1))$ und $((t)_(2))$, wenn es zwei Wurzeln gibt.

4) Wir führen die umgekehrte Ersetzung durch, d. h. wir merken uns, was $t$ ist, wir erhalten zwei Konstruktionen: $((x)^(2))=((t)_(1))$ und $((x)^ (2))=((t)_(2))$.

5) Lösen Sie die resultierenden Gleichungen und finden Sie die X.

Echte Herausforderungen

Beispiel Nr. 1

Sehen wir uns an, wie dieses Schema bei realen biquadratischen Gleichungen funktioniert.

Lösen wir das erste Problem:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Wir führen eine neue Variable ein und schreiben Folgendes um:

\[((x)^(2))=t\to ((t)^(2))-5t+4=0\]

Dies ist eine gewöhnliche quadratische Gleichung. Berechnen wir sie mithilfe der Diskriminante:

Das ist eine gute Zahl. Die Wurzel ist 3.

Jetzt ermitteln wir den Wert von $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2)=\text( )\frac(8)(2)\text( )=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\\end (Array)\]

Aber Vorsicht, wir haben nur $t$ gefunden – das ist keine Lösung, das ist erst der dritte Schritt. Fahren wir mit dem vierten Schritt fort – merken Sie sich, was $t$ ist, und lösen Sie:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Damit haben wir den ersten Teil gelöst. Kommen wir zum zweiten Wert von $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Insgesamt haben wir vier Antworten bekommen: 2; -2; 1; -1, d.h. Eine biquadratische Gleichung kann bis zu vier Wurzeln haben.

Beispiel Nr. 2

Kommen wir zum zweiten Beispiel:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Ich werde hier nicht alles im Detail beschreiben. Lasst uns wie im Unterricht entscheiden.

Wir ersetzen:

Dann erhalten wir:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Wir zählen $D$:

Die Wurzel der Diskriminante ist 7. Finden wir $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text( )\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text( )=\frac(25-7)(2)=\text( )\frac(18)(2)\text( )=\text( )9 \\\end (Array)\]

Erinnern wir uns daran, was $t$ ist:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \left[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Zweite Option:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \begin(align)& x=3 \\& x=-3 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Das ist alles. Wir haben wieder vier Antworten: 4; -4; 3; -3.

Beispiel Nr. 3

Kommen wir zur letzten biquadratischen Gleichung:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Wieder stellen wir den Ersatz vor:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

Lassen Sie uns beide Seiten mit 4 multiplizieren, um Bruchquoten loszuwerden:

Finden wir $D$:

Die Wurzel der Diskriminante ist drei:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(8)(8)\text( )=\ text( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\end(array)\]

Wir zählen die X. Erinnern wir uns daran, was $t$ ist:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Die zweite Option ist etwas komplizierter:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Wir haben wieder vier Wurzeln:

Auf diese Weise werden alle biquadratischen Gleichungen gelöst. Das ist natürlich nicht der schnellste Weg, aber der zuverlässigste. Versuchen Sie, die gleichen Beispiele wie in diesem Video selbst zu lösen. In der Antwort müssen die Werte der X’s durch ein Semikolon getrennt geschrieben werden – so habe ich sie notiert. Damit ist die Lektion abgeschlossen. Viel Glück!