Was bedeutet flacher Winkel? Das Konzept und die Arten von Winkeln. Winkel zwischen Kurven

Beginnen wir damit, zu definieren, was ein Winkel ist. Erstens ist es Zweitens wird es von zwei Strahlen gebildet, die als Seiten des Winkels bezeichnet werden. Drittens kommen letztere aus einem Punkt heraus, der als Scheitelpunkt der Ecke bezeichnet wird. Anhand dieser Zeichen können wir eine Definition treffen: Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus zwei Strahlen (Seiten) besteht, die von einem Punkt (Scheitel) ausgehen.

Sie sind nach Grad, nach Ort relativ zueinander und relativ zum Kreis klassifiziert. Beginnen wir mit den Arten von Winkeln nach ihrer Größe.

Es gibt mehrere Sorten davon. Schauen wir uns jeden Typ genauer an.

Es gibt nur vier Haupttypen von Winkeln - rechter, stumpfer, spitzer und entwickelter Winkel.

Gerade

Es sieht aus wie das:

Sein Gradmaß ist immer 90 o, d. h. ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90 Grad. Nur solche Vierecke wie ein Quadrat und ein Rechteck haben sie.

Dumm

Es sieht aus wie das:

Das Gradmaß ist immer größer als 90 Grad, aber kleiner als 180 Grad. Es kann in solchen Vierecken wie einer Raute, einem beliebigen Parallelogramm, in Polygonen vorkommen.

Würzig

Es sieht aus wie das:

Grad messen spitzer Winkel immer weniger als 90 o. Es kommt in allen Vierecken vor, mit Ausnahme eines Quadrats und eines beliebigen Parallelogramms.

eingesetzt

Der erweiterte Winkel sieht so aus:

Es kommt nicht in Polygonen vor, ist aber nicht weniger wichtig als alle anderen. Ein gerader Winkel ist eine geometrische Figur, deren Gradmaß immer 180º beträgt. Sie können darauf aufbauen, indem Sie einen oder mehrere Strahlen von seinem Scheitelpunkt in eine beliebige Richtung zeichnen.

Es gibt mehrere andere sekundäre Arten von Winkeln. Sie werden nicht in Schulen studiert, aber es ist notwendig, zumindest über ihre Existenz Bescheid zu wissen. Kleinere Arten Es gibt nur fünf Ecken

1. Null

Es sieht aus wie das:

Der Name des Winkels spricht bereits von seiner Größe. Seine Innenfläche ist 0 o, und die Seiten liegen wie in der Abbildung gezeigt übereinander.

2. Schräg

Schräg kann ein gerader und ein stumpfer und ein spitzer und entwickelter Winkel sein. Seine Hauptbedingung ist, dass er nicht gleich 0 o, 90 o, 180 o, 270 o sein darf.

3. Konvex

Konvex sind null, rechte, stumpfe, spitze und entwickelte Winkel. Wie Sie bereits verstanden haben, ein Gradmaß konvexer Winkel- von 0 o bis 180 o.

4. Nicht konvex

Nicht konvex sind Winkel mit einem Gradmaß von 181 o bis einschließlich 359 o.

5. Voll

Ein vollständiger Winkel beträgt 360 Grad.

Dies sind alle Arten von Winkeln entsprechend ihrer Größe. Betrachten Sie nun ihre Typen nach Position auf der Ebene relativ zueinander.

1. Zusätzlich

Das sind zwei spitze Winkel, die eine Gerade bilden, also ihre Summe ist 90 o.

2. Verwandte

Benachbarte Winkel entstehen, wenn ein Strahl in beliebiger Richtung durch einen Einsatz gezogen wird, genauer gesagt durch seine Oberseite. Ihre Summe beträgt 180 o.

3. Vertikal

Vertikale Winkel entsteht, wenn sich zwei Geraden schneiden. Ihre Gradmaße sind gleich.

Kommen wir nun zu den Winkeltypen, die sich relativ zum Kreis befinden. Es gibt nur zwei davon: zentral und eingeschrieben.

1. Zentral

Der Mittelpunktswinkel ist derjenige, bei dem der Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises liegt. Sein Gradmaß ist gleich dem Gradmaß des kleineren Bogens, der von den Seiten begrenzt wird.

2. Eingeschrieben

Ein einbeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Seiten ihn schneiden. Sein Gradmaß entspricht der Hälfte des Bogens, auf dem es ruht.

Es dreht sich alles um die Ecken. Jetzt wissen Sie, dass es neben den berühmtesten - scharf, stumpf, gerade und eingesetzt - viele andere Arten von ihnen in der Geometrie gibt.

Winkelmaß

Der Winkel in wird in Grad (Grad, Minute, Sekunde) gemessen, in Umdrehungen - das Verhältnis der Bogenlänge s zum Umfang L, im Bogenmaß - das Verhältnis der Bogenlänge s zum Radius r; historisch wurde das Hagelmaß auch zur Messung von Winkeln verwendet, heute wird es fast nie verwendet.

1 Windung = 2π Bogenmaß = 360° = 400 Grad.

In der nautischen Terminologie werden Winkel durch Punkte angegeben.

Ecktypen

Benachbarte Winkel sind spitz (a) und stumpf (b). Umgekehrter Winkel (c)

Außerdem wird der Winkel zwischen glatten Kurven am Tangentenpunkt berücksichtigt: Per Definition ist sein Wert gleich dem Winkel zwischen den Tangenten an die Kurven.

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1 Grad [°] = 1,11111111111111 Grad [g]

Ursprünglicher Wert

Konvertierter Wert

Grad Bogenmaß deg gon Minute Sekunde Tierkreis Sektor tausendste Umdrehung Umfang Umdrehung Quadrant rechter Winkel Sextant

Mehr über Ecken

Allgemeine Information

Flacher Winkel - eine geometrische Figur, die aus zwei sich schneidenden Linien besteht. Eine flache Ecke besteht aus zwei Balken mit gemeinsamer Anfang, und dieser Punkt heißt Scheitelpunkt des Strahls. Die Strahlen heißen Seiten des Winkels. Viele Ecken interessante Eigenschaften, zum Beispiel beträgt die Summe aller Winkel in einem Parallelogramm 360° und in einem Dreieck 180°.

Arten von Ecken

Direkte Winkel sind 90°, Scharf- weniger als 90° und dumm- im Gegenteil, mehr als 90°. Es werden Winkel gleich 180° genannt eingesetzt werden 360°-Winkel genannt Komplett, und Winkel, die größer als erweitert, aber kleiner als voll sind, werden aufgerufen nicht konvex. Wenn die Summe zweier Winkel 90° beträgt, das heißt, ein Winkel den anderen auf 90° ergänzt, werden sie genannt zusätzlich verbunden, und wenn bis zu 360 ° - dann konjugiert

Wenn die Summe zweier Winkel 90° beträgt, das heißt, ein Winkel den anderen auf 90° ergänzt, werden sie genannt zusätzlich. Ergänzen sie sich bis zu 180°, werden sie aufgerufen verbunden, und wenn bis zu 360 ° - dann konjugiert. In Polygonen werden die Winkel innerhalb des Polygons als interne und die damit konjugierten als externe bezeichnet.

Zwei Winkel, die durch den Schnittpunkt zweier nicht benachbarter Geraden gebildet werden, nennt man vertikal. Sie sind gleich.

Winkelmessung

Winkel werden mit einem Winkelmesser gemessen oder durch eine Formel berechnet, indem die Seiten des Winkels vom Scheitelpunkt zum Bogen und die Länge des Bogens, der diese Seiten begrenzt, gemessen werden. Winkel werden normalerweise in Bogenmaß und Grad gemessen, obwohl andere Einheiten existieren.

Sie können sowohl die Winkel messen, die zwischen zwei geraden Linien als auch zwischen gekrümmten Linien gebildet werden. Um zwischen Kurven zu messen, werden Tangenten am Schnittpunkt der Kurven verwendet, dh am Scheitelpunkt der Ecke.

Winkelmesser

Ein Winkelmesser ist ein Werkzeug zum Messen von Winkeln. Die meisten Winkelmesser sind halbkreisförmig oder kreisförmig und können Winkel bis zu 180° bzw. 360° messen. Einige Winkelmesser haben ein zusätzliches rotierendes Lineal eingebaut, um die Messung zu erleichtern. Skalen auf Winkelmessern werden normalerweise in Grad angewendet, obwohl sie manchmal auch in Radianten angegeben sind. Winkelmesser werden am häufigsten in der Schule im Geometrieunterricht verwendet, aber auch in der Architektur und im Ingenieurwesen, insbesondere im Werkzeugbau.

Die Verwendung von Winkeln in Architektur und Kunst

Künstler, Designer, Handwerker und Architekten verwenden seit langem Winkel, um Illusionen, Akzente und andere Effekte zu erzeugen. Der Wechsel von spitzen und stumpfen Winkeln oder geometrische Muster von spitzen Winkeln werden häufig in der Architektur, bei Mosaiken und Glasmalereien verwendet, beispielsweise beim Bau gotischer Kathedralen und bei islamischen Mosaiken.

Einer von bekannte Formen der islamischen Kunst - Dekoration mit Hilfe von geometrischen Ornamenten girih. Dieses Muster wird in Mosaiken, Metall- und Holzschnitzereien, Papier und Stoffen verwendet. Das Muster entsteht durch wechselnde geometrische Formen. Traditionell werden fünf Figuren mit fest definierten Winkeln aus Kombinationen von 72°, 108°, 144° und 216° verwendet. Alle diese Winkel sind durch 36° teilbar. Jede Figur ist durch Linien in mehrere kleinere unterteilt. symmetrische Figuren um ein dünneres Muster zu erzeugen. Anfangs wurden diese Figuren selbst oder Stücke für Mosaike Girih genannt, daher kam der Name des gesamten Stils. In Marokko gibt es einen ähnlichen geometrischen Mosaikstil, die Zellige oder Zilidj. Die Form der Terrakottafliesen, aus denen dieses Mosaik besteht, wird nicht so streng eingehalten wie in Girikha, und die Fliesen haben oft eine bizarre Form als die strengen geometrischen Figuren in Girikha. Trotzdem verwenden Zellige-Künstler auch Winkel, um kontrastierende und skurrile Muster zu erzeugen.

Im Islam Bildende Kunst und Architektur wird häufig das Rub al-hizb verwendet - ein Symbol in Form eines Quadrats, das wie in den Abbildungen in einem Winkel von 45 ° übereinander gelegt ist. Es kann als feste Figur oder in Form von Linien dargestellt werden - in diesem Fall wird dieses Symbol als Al-Quds-Stern (al quds) bezeichnet. Die Rub al-hizb ist manchmal mit kleinen Kreisen an der Kreuzung von Quadraten verziert. Dieses Symbol wird in Wappen und auf Flaggen verwendet. Muslimische Länder, zum Beispiel auf dem Wappen von Usbekistan und auf der Flagge von Aserbaidschan. Die Fundamente der zum Zeitpunkt des Schreibens (Frühjahr 2013) höchsten Zwillingstürme der Welt, der Petronas Towers, sind in Form eines Rub al-hizb gebaut. Diese Türme stehen in Kuala Lumpur in Malaysia und der Premierminister des Landes war an ihrem Entwurf beteiligt.

Scharfe Ecken werden in der Architektur oft als dekorative Elemente verwendet. Sie verleihen dem Gebäude eine dezente Eleganz. Stumpfe Ecken hingegen verleihen Gebäuden ein gemütliches Aussehen. So bewundern wir zum Beispiel gotische Kathedralen und Burgen, aber sie sehen ein wenig traurig und sogar einschüchternd aus. Aber wir werden uns höchstwahrscheinlich ein Haus mit einem Dach mit stumpfen Winkeln zwischen den Hängen aussuchen. Ecken in der Architektur werden auch zur Verstärkung verwendet verschiedene Teile Gebäude. Je nach Belastung der zu verstärkenden Wände legen Architekten Form, Größe und Neigungswinkel fest. Dieses Prinzip der Stärkung mit Hilfe eines Hanges wird seit der Antike angewendet. Zum Beispiel lernten alte Baumeister, Bögen ohne Zement oder andere Bindemittel zu bauen, indem sie Steine ​​​​in einem bestimmten Winkel legten.

Normalerweise werden Gebäude vertikal gebaut, aber manchmal gibt es Ausnahmen. Einige Gebäude sind absichtlich am Hang gebaut, andere sind aufgrund von Fehlern geneigt. Ein Beispiel für schiefe Gebäude ist das Taj Mahal in Indien. Die vier Minarette, die das Hauptgebäude umgeben, sind mit einer Neigung aus der Mitte gebaut, damit sie im Falle eines Erdbebens nicht nach innen auf das Mausoleum, sondern in die andere Richtung fallen und das Hauptgebäude nicht beschädigen. Manchmal werden Gebäude zu dekorativen Zwecken in einem Winkel zum Boden gebaut. Der Schiefe Turm oder das Capital Gate von Abu Dhabi beispielsweise ist um 18° nach Westen geneigt. Und eines der Gebäude in Stuart Landsboroughs Puzzle World in Wanka, Neuseeland, neigt sich um 53° zum Boden. Dieses Gebäude wird "Der Schiefe Turm" genannt.

Manchmal ist die Neigung eines Gebäudes das Ergebnis eines Konstruktionsfehlers, wie die Neigung des Schiefen Turms von Pisa. Die Bauherren haben die Struktur und Qualität des Bodens, auf dem es gebaut wurde, nicht berücksichtigt. Der Turm sollte gerade stehen, aber das schlechte Fundament konnte sein Gewicht nicht tragen, und das Gebäude sackte ab und neigte sich zur Seite. Der Turm wurde viele Male restauriert; Die letzte Restaurierung im 20. Jahrhundert stoppte sein allmähliches Absinken und seine zunehmende Neigung. Es war möglich, es von 5,5° auf 4° zu nivellieren. Der Turm der SuurHusen-Kirche in Deutschland ist ebenfalls schief, weil sein Holzfundament auf einer Seite verrottet ist, nachdem der sumpfige Boden, auf dem er gebaut wurde, abgelassen wurde. Auf der dieser Moment Dieser Turm ist stärker geneigt als der Schiefe Turm von Pisa - etwa 5 °.

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Der französische Mathematiker Pierre Erigon.

BEI mathematische Ausdrücke Ecken werden oft durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet griechische Buchstaben: α, β, γ, θ, φ usw. Diese Bezeichnungen werden in der Regel auch auf die Zeichnung übertragen, um Unklarheiten bei der Wahl des Innenbereichs der Ecke auszuschließen. Um Verwechslungen mit pi zu vermeiden, wird das Symbol π für diesen Zweck im Allgemeinen nicht verwendet. Die Buchstaben ω und Ω werden oft verwendet, um Raumwinkel zu bezeichnen (siehe unten).

Es ist auch üblich, einen Winkel beispielsweise mit drei Punktsymbolen darzustellen ∠ A B C . (\displaystyle \angle ABC.) In so einem Rekord B (\displaystyle B)- oben und A (\displaystyle A) und C (\displaystyle C)- anliegende Punkte verschiedene Seiten Winkel. Im Zusammenhang mit der Wahl in der Mathematik der Zählrichtung von Winkeln gegen den Uhrzeigersinn ist es üblich, die auf den Seiten liegenden Punkte in der Bezeichnung des Winkels auch gegen den Uhrzeigersinn aufzuzählen. Diese Konvention ermöglicht es uns, Eindeutigkeit bei der Unterscheidung zweier flacher Ecken mit bereitzustellen gemeinsame Seiten, aber von verschiedenen inneren Regionen. In Fällen, in denen sich die Wahl des Innenbereichs einer flachen Ecke aus dem Zusammenhang ergibt oder auf andere Weise angegeben ist, kann diese Konvention verletzt werden. Cm. .

Die Notation von geraden Linien, die die Seiten eines Winkels bilden, ist weniger gebräuchlich. Zum Beispiel, ∠ (bc) (\displaystyle \angle (bc))- hier wird angenommen, dass es bedeutet innere Ecke Dreieck ∠ B A C (\ displaystyle \ angle BAC), α , was bezeichnet werden sollte ∠ (c b) (\ displaystyle \ angle (cb)).

Für die Abbildung rechts sind also die Einträge γ , ∠ A C B (\ displaystyle \ angle ACB) und ∠ (b a) (\displaystyle \angle (ba)) meinen den gleichen Winkel.

Manchmal werden kleine lateinische Buchstaben verwendet, um Winkel zu bezeichnen ( a, b, c,...) und Zahlen.

In den Zeichnungen sind Ecken mit kleinen Einzel-, Doppel- oder Dreifachschäkeln markiert, die entlang der Innenseite der Ecke verlaufen und am Scheitel der Ecke zentriert sind. Die Winkelgleichheit kann durch die gleiche Vielfachheit der Bögen oder durch die gleiche Anzahl von Querstrichen auf dem Bogen gekennzeichnet sein. Wenn es notwendig ist, die Richtung der Winkelablesung anzugeben, ist dies mit einem Pfeil auf dem Bügel gekennzeichnet. Rechte Winkel werden nicht mit Bögen markiert, sondern mit zwei verbundenen gleiche Segmente, die so angeordnet sind, dass sie zusammen mit den Seiten ein kleines Quadrat bilden, dessen einer der Eckpunkte mit dem Eckpunkt der Ecke zusammenfällt.

Winkelmaß [ | ]

Ein Winkelmaß, das den Vergleich von Ebenenwinkeln ermöglicht, kann wie folgt eingeführt werden. Die beiden flachen Ecken werden genannt gleich(oder kongruent), wenn sie so kombiniert werden können, dass ihre Eckpunkte und beide Seiten zusammenfallen. Von jedem Strahl im Flugzeug zu diese Seite Sie können einen einzelnen Winkel gleich dem angegebenen beiseite legen. Wenn eine Ecke vollständig in eine andere Ecke gelegt werden kann, so dass der Scheitelpunkt und eine der Seiten dieser Ecken zusammenfallen, dann ist die erste Ecke kleiner als die zweite. Lass uns anrufen benachbart zwei Ecken, die so angeordnet sind, dass die Seite der einen mit der Seite der anderen zusammenfällt (und daher die Eckpunkte zusammenfallen), aber ihre inneren Bereiche sich nicht schneiden. Ein Winkel, der aus nicht zusammenfallenden Seiten von zwei besteht angrenzende Winkel, Lass uns anrufen gefaltet aus diesen Ecken. Jedem Winkel kann eine Zahl (Winkelmaß) so zugeordnet werden, dass:

• gleiche Winkel entsprechen gleichem Winkelmaß;
• ein kleinerer Winkel entspricht einem kleineren Winkelmaß;
• bei einem Winkel, dessen Seiten zusammenfallen (Nullwinkel), ist das Winkelmaß Null (dasselbe gilt für den Winkel zwischen parallelen Linien);
• jeder Nicht-Null-Winkel hat ein bestimmtes Winkelmaß, das größer als Null ist;
• (Additivität) Das Winkelmaß eines Winkels ist gleich der Summe der Winkelmaße der Winkel, in die er durch einen zwischen seinen Seiten verlaufenden Strahl geteilt wird.

In einigen Notationssystemen wird, wenn zwischen einem Winkel und seinem Maß unterschieden werden muss, die Notation für den Winkel (geometrische Figur) verwendet. ∠ A B C , (\displaystyle \angle ABC,) und für den Wert des Messmaßes dieses Winkels - die Bezeichnung A B C ^ . (\displaystyle (\widehat (ABC)).)

Der Winkel wird gemessen:

Das gebräuchlichste Gradmaß ist Grad, Minute, Sekunde, bei dem 1/180 des entwickelten Winkels als 1 ° angenommen wird (siehe), eine Minute 1 ′ = 1 ∘ / 60 (\displaystyle 1"=1^(\circ )/60), und eine Sekunde 1″ = 1′ / 60 (\displaystyle 1""=1"/60). Das Gradmaß wird in der elementaren Geometrie (Messen von Winkeln in Zeichnungen mit einem Winkelmesser), in der Geodäsie auf einer Karte und auf dem Boden verwendet (ein sehr genaues Gerät wird verwendet, um Winkel auf dem Boden zu messen - ein Kombi / Theodolit).

Die Winkelmessung in Grad geht auf das alte Babylon zurück, wo das sexagesimale Zahlensystem verwendet wurde, dessen Spuren bei uns in der Zeit- und Winkeleinteilung erhalten geblieben sind.

1 Windung = 2π Bogenmaß = 360° = 400 Grad.

In der nautischen Terminologie werden Winkel in Punkten gemessen. 1 Rhumb ist gleich 1 ⁄ 32 aus voller Kreis(360 Grad) des Kompasses, also 11,25 Grad oder 11°15′.

In manchen Zusammenhängen, wie z. B. dem Identifizieren eines Punktes in Polarkoordinaten oder dem Beschreiben der Orientierung eines Objekts in zwei Dimensionen relativ zu seiner Basisorientierung, sind Winkel, die sich um eine ganze Zahl von vollen Umdrehungen unterscheiden, effektiv äquivalent. Beispielsweise können in solchen Fällen die Winkel 15° und 360015° (= 15° + 360°×1000) als äquivalent angesehen werden. In anderen Kontexten, wie z. B. dem Identifizieren eines Punktes auf einer Spiralkurve oder dem Beschreiben der kumulativen Drehung eines Objekts in zwei Dimensionen um seine anfängliche Ausrichtung, sind Winkel, die sich um eine ganze Zahl ungleich null vollständiger Umdrehungen unterscheiden, nicht äquivalent.

Einige flache Ecken haben spezielle Namen. Neben den oben genannten Maßeinheiten (Radiant, Rhumb, Grad usw.) gehören dazu:

Winkel Richtung[ | ]

Der Pfeil zeigt die Zählrichtung der Winkel an

Fester Winkel [ | ]

Eine Verallgemeinerung eines ebenen Winkels auf eine feste Geometrie ist ein fester Winkel - ein Teil des Raums, der die Vereinigung aller Strahlen ist, die von einem bestimmten Punkt ausgehen ( Spitzen Ecke) und eine Oberfläche schneiden (die als Oberfläche bezeichnet wird, Anziehen gegebener Raumwinkel).

Raumwinkel werden in Steradiant (eine der grundlegenden SI-Einheiten) sowie in Einheiten außerhalb des Systems gemessen - in Teilen einer vollen Kugel (dh einem vollen Raumwinkel von 4π Steradiant), in Quadratgrad, Quadratminuten und Quadratsekunden.

Raumwinkel sind insbesondere folgende geometrische Körper:

Ein Diederwinkel kann sowohl durch einen linearen Winkel (der Winkel zwischen den ihn bildenden Ebenen) als auch durch einen Raumwinkel (jeder Punkt darauf kann als Scheitelpunkt gewählt werden) charakterisiert werden. Kante- der direkte Schnittpunkt seiner Flächen). Wenn ein linearer Winkel Diederwinkel(in Radianten) φ ist, dann ist sein Raumwinkel (in Steradianten) 2φ.

Winkel zwischen Kurven[ | ]

Sowohl in der Planimetrie als auch in der Festkörpergeometrie sowie in einer Reihe anderer Geometrien ist es möglich, den Winkel zwischen glatten Kurven am Schnittpunkt zu bestimmen: Per Definition ist sein Wert gleich dem Winkel zwischen den Tangenten an die Kurven am Schnittpunkt.

Winkel und Skalarprodukt[ | ]

Das Konzept eines Winkels kann für lineare Räume beliebiger Natur (und beliebiger, einschließlich unendlicher Dimension) definiert werden, auf denen ein positives definites Skalarprodukt axiomatisch eingeführt wird (x , y) (\displaystyle (x,y)) zwischen zwei Raumelementen x (\displaystyle x) und y . (\displaystyle y.) Das Skalarprodukt ermöglicht es uns auch, die sogenannte Norm (Länge) des Elements als zu definieren Quadratwurzel Produkte eines Elements an sich | | x | | = (x, x) . (\displaystyle ||x||=(\sqrt ((x,x))).) Aus Axiomen Skalarprodukt folgt die Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) Ungleichung für das Skalarprodukt: | (x, y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , (\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,) woraus folgt, dass der Wert Werte von -1 bis 1 annimmt und die Extremwerte genau dann erreicht werden, wenn die Elemente proportional (kollinear) zueinander sind (geometrisch gesprochen fallen sie zusammen oder sind entgegengesetzt). Dies erlaubt uns, die Beziehung zu interpretieren (x, y) | | x | | ⋅ | | y | | (\displaystyle (\frac ((x,y))(||x||\cdot ||y||))) als Kosinus des Winkels zwischen den Elementen x (\displaystyle x) und y . (\displaystyle y.) Insbesondere werden Elemente als orthogonal bezeichnet, wenn das Skalarprodukt (oder der Kosinus eines Winkels) Null ist.

Insbesondere kann man das Konzept des Winkels zwischen kontinuierlich in einem bestimmten Intervall einführen [a, b] (\displaystyle) Funktionen, wenn wir das Standard-Skalarprodukt einführen (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , (\displaystyle (f,g)=\int _(a)^(b)f(x)g(x)dx,) dann sind die Normen der Funktionen definiert als | | f | | 2 = ∫ ein b f 2 (x) d x . (\displaystyle ||f||^(2)=\int_(a)^(b)f^(2)(x)dx.) Dann wird der Kosinus eines Winkels standardmäßig als das Verhältnis des Skalarprodukts von Funktionen zu ihren Normen definiert. Funktionen können auch orthogonal genannt werden, wenn ihr Skalarprodukt (das Integral ihres Produkts) Null ist.

In der Riemannschen Geometrie kann man auf ähnliche Weise den Winkel zwischen Tangentenvektoren mit dem metrischen Tensor definieren g ich j . (\displaystyle g_(ij).) Skalarprodukt von Tangentenvektoren u (\displaystyle u) und v (\displaystyle v) in Tensornotation sieht so aus: (u , v) = g ich j u ich v j , (\displaystyle (u,v)=g_(ij)u^(i)v^(j),) bzw. die Normen der Vektoren - | | du | | = | g ich j u ich u j | (\displaystyle ||u||=(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|))) und | | v | | = | g ich j v ich v j | . (\displaystyle ||v||=(\sqrt (|g_(ij)v^(i)v^(j)|)).) Daher wird der Kosinus des Winkels durch die Standardformel für das Verhältnis des angegebenen Skalarprodukts zu den Vektornormen bestimmt: cos ⁡ θ = (u, v) | | du | | ⋅ | | v | | = g ich j u ich v j | g ich j u ich u j | ⋅ | g ich j v ich v j | . (\displaystyle \cos \theta =(\frac ((u,v))(||u||\cdot ||v||))=(\frac (g_(ij)u^(i)v^( j))(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|\cdot |g_(ij)v^(i)v^(j)|))).)

Winkel im metrischen Raum[ | ]

Es gibt auch eine Reihe von Arbeiten, in denen das Konzept eines Winkels zwischen Elementen eines metrischen Raums eingeführt wird.

Lassen (X , ρ) (\displaystyle (X,\rho))- metrischer Raum. Lass weiter x , y , z (\displaystyle x,y,z)- Elemente dieses Raumes.

K. Menger stellte das Konzept vor Winkel zwischen Scheitelpunkten y (\displaystyle y) und z (\displaystyle z) mit Spitze an Punkt x (\displaystyle x) wie nicht negative Zahl y x z ^ (\displaystyle (\widehat(yxz))), die drei Axiome erfüllt:

1932 betrachtete Wilson den folgenden Ausdruck als Winkel:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) (\displaystyle (\widehat ( yxz))_(w)=\arccos (\frac (\rho ^(2)(x,y)+\rho ^(2)(x,z)-\rho ^(2)(y,z)) (2\rho(x,y)\rho(x,z))))

Es ist leicht zu sehen, dass der eingeführte Ausdruck immer sinnvoll ist und die drei Axiome von Menger erfüllt.

Außerdem hat der Wilson-Winkel die Eigenschaft, dass er im euklidischen Raum dem Winkel zwischen den Elementen entspricht y − x (\displaystyle y-x) und z−x (\displaystyle z-x) im Sinne des euklidischen Raums.

Winkelmessung [ | ]

Eines der gebräuchlichsten Werkzeuge zum Konstruieren und Messen von Winkeln ist ein Winkelmesser (sowie ein Lineal - siehe unten); in der Regel wird es verwendet, um einen Winkel einer bestimmten Größe zu konstruieren. Viele Werkzeuge wurden entwickelt, um Winkel mehr oder weniger genau zu messen:

Winkelabstand(oder einfach der Winkel) zwischen zwei Objekten für den Beobachter heißt das Maß für den Winkel, an dessen Spitze sich der Beobachter befindet und die Objekte an den Seiten liegen. Die Hand kann verwendet werden, um die Winkel zwischen zwei entfernten Objekten grob abzuschätzen. Bei Armlänge entspricht ein Winkelabstand von 1 Grad (1°) der Breite des kleinen Fingers (siehe auch unten; die Winkelbreite des Mittelfingers bei Armlänge beträgt etwa 2°), ein Winkel von 10 Grad - die Breite einer geballten Faust, die horizontal liegt (oder der Durchmesser der Handfläche), ein Winkel von 20 Grad (oder etwa 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - der Abstand zwischen den Spitzen der geschiedenen großen und Zeigefinger(Spanne) und Winkelabstand vom Ende des kleinen Fingers bis zum Ende Daumen entspricht etwa einem Viertel eines rechten Winkels. Dies sind Durchschnittsdaten. Es wird empfohlen, sie für die eigene Hand zu veredeln.

Verschiedene Methoden und Geräte zur Messung von Winkeln sind durch die Winkelauflösung gekennzeichnet, dh den minimalen Winkel, mit dem gemessen werden kann diese Methode. Die beste Winkelauflösung besitzen verschiedene interferometrische Verfahren, die es teilweise ermöglichen, Winkel von mehreren Mikrosekunden Bogen (~10 –11 Radiant) zu messen.

Beispiele praktischer trigonometrischer Messungen[ | ]

Probleme einfach lösen

Wie man einen Winkel (z. B. auf einer Karte) mit den Seiten eines Dreiecks misst (z. B. in Abwesenheit eines technischen / trigonometrischen Taschenrechners (und Tabellen) und ohne PC (MS Office Excel) zur Berechnung von cos) und improvisiert bedeutet - Lineale mit Millimetereinteilung?
Legen Sie an den Seiten der Ecke Segmente von 60 mm beiseite und verbinden Sie die Enden mit einer geraden Linie. Die Länge dieser Linie in Millimetern gibt den ungefähren Wert des Winkels in Grad an. Auf diese Weise können spitze Winkel bis 60° mit ausreichender (akzeptabler) Genauigkeit gemessen werden. Wenn der Winkel größer als 60° ist, messen Sie sein Komplement zu 90°, 180, 270° oder 360°. Zur Messung der Addition auf 90° bzw. 270° vom Scheitelpunkt wird der Winkel mit einem Dreieck aufgebaut aufrecht zu einer Seite (in gleichschenkligen Dreiecks -

In diesem Artikel werden wir eine der wichtigsten geometrischen Formen - den Winkel - umfassend analysieren. Beginnen wir mit Hilfsbegriffen und Definitionen, die uns zur Definition eines Winkels führen. Danach geben wir die akzeptierten Methoden zur Bezeichnung von Winkeln an. Als nächstes werden wir uns ausführlich mit dem Prozess der Winkelmessung befassen. Abschließend zeigen wir, wie Sie die Ecken in der Zeichnung markieren können. Wir haben die ganze Theorie mit den nötigen Zeichnungen und grafischen Illustrationen versehen besseres Gedächtnis Material.

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Winkeldefinition.

Winkel ist eine der wichtigsten Figuren in der Geometrie. Die Definition eines Winkels ist durch die Definition eines Strahls gegeben. Die Idee eines Strahls kann wiederum nicht ohne Kenntnis von geometrischen Figuren wie einem Punkt, einer geraden Linie und einer Ebene gewonnen werden. Bevor Sie sich mit der Definition des Winkels vertraut machen, empfehlen wir daher, die Theorie aus den Abschnitten und aufzufrischen.

Wir gehen also von den Konzepten eines Punktes, einer geraden Linie auf einer Ebene und einer Ebene aus.

Lassen Sie uns zuerst die Definition eines Strahls geben.

Lassen Sie uns eine gerade Linie in der Ebene geben. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben a. Sei O irgendein Punkt der Geraden a . Der Punkt O teilt die Linie a in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird zusammen mit dem Punkt O bezeichnet Strahl, und der Punkt O wird aufgerufen Beginn des Balkens. Sie können auch hören, dass der Strahl gerufen wird halbdirekt.

Der Kürze und Bequemlichkeit halber wurde die folgende Notation für Strahlen eingeführt: Ein Strahl wird entweder durch einen kleinen lateinischen Buchstaben (z. B. Strahl p oder Strahl k) oder durch zwei große Buchstaben bezeichnet mit lateinischen Buchstaben, wobei der erste dem Beginn des Strahls entspricht und der zweite einen Punkt dieses Strahls bezeichnet (z. B. den Strahl OA oder den Strahl CD ). Lassen Sie uns das Bild und die Bezeichnung der Strahlen in der Zeichnung zeigen.

Jetzt können wir die erste Definition eines Winkels geben.

Definition.

Ecke- Dies ist eine flache geometrische Figur (dh vollständig in einer bestimmten Ebene liegend), die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Jeder der Strahlen wird aufgerufen Eckseite, wird der gemeinsame Anfang der Seiten des Winkels genannt obere Ecke.

Es ist möglich, dass die Seiten eines Winkels eine gerade Linie bilden. Dieser Winkel hat einen eigenen Namen.

Definition.

Liegen beide Seiten eines Winkels auf derselben Linie, so heißt der Winkel eingesetzt.

Wir machen Sie auf eine grafische Darstellung eines entwickelten Winkels aufmerksam.

Ein Winkelsymbol wird verwendet, um einen Winkel zu bezeichnen. Wenn die Seiten des Winkels in kleinen lateinischen Buchstaben angegeben sind (z. B. ist eine Seite des Winkels k und die andere h), werden zur Bezeichnung dieses Winkels nach dem Winkelsymbol Buchstaben geschrieben, die den Seiten entsprechen einer Zeile, und die Reihenfolge der Aufzeichnung spielt keine Rolle (dh oder). Wenn die Seiten des Winkels durch zwei große lateinische Buchstaben angegeben werden (z. B. eine Seite des Winkels OA und die zweite Seite des Winkels OB), wird der Winkel wie folgt angegeben: Nach dem Winkelzeichen stehen drei Buchstaben geschrieben, die an der Bezeichnung der Seiten des Winkels beteiligt sind, und der Buchstabe, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht, der sich in der Mitte befindet (in unserem Fall wird der Winkel als oder angegeben). Wenn der Scheitelpunkt eines Winkels nicht der Scheitelpunkt eines anderen Winkels ist, kann ein solcher Winkel mit dem Buchstaben bezeichnet werden, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht (z. B. ). Manchmal können Sie sehen, dass die Ecken in den Zeichnungen mit Zahlen (1, 2 usw.) gekennzeichnet sind, diese Ecken werden als bezeichnet und so weiter. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Abbildung, in der die Ecken gezeigt und angegeben sind.

Jeder Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht entwickelt wird, wird außerdem ein Teil der Ebene aufgerufen inneren Eckbereich, und der andere äußeren Eckbereich. Das folgende Bild erklärt, welcher Teil der Ebene der Innenseite der Ecke entspricht und welcher Teil der Außenseite.

Jeder der zwei Teile, in die ein abgeflachter Winkel eine Ebene teilt, kann als Innenbereich des abgeflachten Winkels betrachtet werden.

Die Definition des Inneren eines Winkels führt uns zur zweiten Definition eines Winkels.

Definition.

Ecke- Dies ist eine geometrische Figur, die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung und dem entsprechenden inneren Bereich des Winkels besteht.

Es sollte beachtet werden, dass die zweite Definition des Winkels strenger ist als die erste, da sie enthält mehr Bedingungen. Man sollte jedoch die erste Definition des Winkels nicht verwerfen, noch sollte man die erste und zweite Definition des Winkels getrennt betrachten. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären. Wann wir redenüber einen Winkel als geometrische Figur, so wird unter einem Winkel eine Figur verstanden, die aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung zusammengesetzt ist. Wenn es notwendig wird, irgendwelche Aktionen mit diesem Winkel durchzuführen (z. B. einen Winkel zu messen), dann sollte ein Winkel bereits als zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und einem inneren Bereich verstanden werden (andernfalls würde aufgrund der Anwesenheit eine doppelte Situation entstehen von internen und Außenbereich Ecke).

Lassen Sie uns weitere Definitionen von angrenzenden und vertikalen Winkeln geben.

Definition.

Angrenzende Ecken- Dies sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden einen geraden Winkel bilden.

Aus der Definition folgt, dass sich benachbarte Winkel bis zu einem geraden Winkel ergänzen.

Definition.

Vertikale Winkel sind zwei Winkel, bei denen die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen sind.

Die Abbildung zeigt vertikale Winkel.

Offensichtlich bilden zwei sich schneidende Linien vier Paare benachbarter Winkel und zwei Paare vertikaler Winkel.

Winkelvergleich.

In diesem Absatz des Artikels gehen wir auf die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln ein und erklären auch bei ungleichen Winkeln, welcher Winkel als groß und welcher kleiner gilt.

Denken Sie daran, dass zwei geometrische Figuren gleich genannt werden, wenn sie überlagert werden können.

Gegeben seien zwei Winkel. Lassen Sie uns Argumente anführen, die uns helfen, eine Antwort auf die Frage zu erhalten: „Sind diese beiden Winkel gleich oder nicht?“

Offensichtlich können wir immer die Scheitelpunkte von zwei Ecken sowie eine Seite der ersten Ecke mit einer der Seiten der zweiten Ecke abgleichen. Kombinieren wir die Seite der ersten Ecke mit der Seite der zweiten Ecke, sodass die verbleibenden Seiten der Ecken auf derselben Seite der geraden Linie liegen, auf der die kombinierten Seiten der Ecken liegen. Wenn dann die anderen beiden Seiten der Ecken ausgerichtet sind, werden die Ecken aufgerufen gleich.

Wenn die anderen beiden Seiten der Winkel nicht übereinstimmen, werden die Winkel aufgerufen ungleich, und kleiner der Winkel wird als Teil eines anderen angesehen ( groß ist der Winkel, der einen anderen Winkel vollständig enthält).

Offensichtlich sind die beiden geraden Winkel gleich. Es ist auch offensichtlich, dass ein entwickelter Winkel größer ist als jeder nicht entwickelte Winkel.

Winkelmessung.

Die Winkelmessung basiert auf dem Vergleich des gemessenen Winkels mit dem Winkel, der als Maßeinheit verwendet wird. Der Prozess der Winkelmessung sieht folgendermaßen aus: Von einer der Seiten des gemessenen Winkels ausgehend wird sein innerer Bereich nacheinander mit einzelnen Winkeln gefüllt, die dicht übereinander gestapelt werden. Gleichzeitig wird die Anzahl der gestapelten Ecken gespeichert, die das Maß für den gemessenen Winkel ergibt.

Tatsächlich kann jeder beliebige Winkel als Maßeinheit für Winkel verwendet werden. Es gibt jedoch viele allgemein anerkannte Maßeinheiten für Winkel, die sich darauf beziehen Diverse Orte Wissenschaft und Technik erhielten sie besondere Namen.

Eine der Einheiten zum Messen von Winkeln ist Grad.

Definition.

ein Grad ist ein Winkel gleich einhundertachtzigstel eines begradigten Winkels.

Ein Grad wird durch das Symbol "" bezeichnet, daher wird ein Grad als bezeichnet.

Somit können wir in einem entwickelten Winkel 180 Winkel in einen Grad einpassen. Es wird wie ein halber runder Kuchen aussehen, der in 180 gleiche Stücke geschnitten wird. Sehr wichtig: Die "Stücke des Kuchens" passen eng zusammen (d. h. die Seiten der Ecken sind ausgerichtet), wobei die Seite der ersten Ecke mit einer Seite der abgeflachten Ecke und der Seite der letzten Einheitsecke ausgerichtet ist fiel mit der anderen Seite der abgeflachten Ecke zusammen.

Beim Messen von Winkeln wird ermittelt, wie oft ein Grad (oder eine andere Maßeinheit von Winkeln) in den gemessenen Winkel passt, bis der innere Bereich des gemessenen Winkels vollständig abgedeckt ist. Wie wir bereits gesehen haben, passt der Grad in einem entwickelten Winkel genau 180-mal. Unten sind Beispiele für Winkel, in denen ein Winkel von einem Grad genau 30 Mal (ein solcher Winkel ist ein Sechstel eines geraden Winkels) und genau 90 Mal (ein halber gerader Winkel) passt.

Um Winkel kleiner als ein Grad (oder eine andere Maßeinheit für Winkel) zu messen und in Fällen, in denen der Winkel nicht durch eine ganze Zahl von Grad gemessen werden kann (Maßeinheiten für Takes), müssen Sie Teile eines Grades (Teile von Takes) verwenden Maßeinheiten). Bestimmte Teile des Studiums erhielten besondere Namen. Am gebräuchlichsten sind die sogenannten Minuten und Sekunden.

Definition.

Minute ist ein Sechzigstel eines Grades.

Definition.

Zweite ist eine sechzigstel Minute.

Mit anderen Worten, eine Minute hat sechzig Sekunden und ein Grad sechzig Minuten (3600 Sekunden). Das Symbol "" wird verwendet, um Minuten zu bezeichnen, und das Symbol "" wird verwendet, um Sekunden zu bezeichnen (nicht mit den Vorzeichen der Ableitung und der zweiten Ableitung verwechseln). Dann haben wir mit den eingeführten Definitionen und Notationen , und der Winkel, in den 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden passen, kann als bezeichnet werden.

Definition.

Grad Maß für einen Winkel genannt positive Zahl, die anzeigt, wie oft der Grad und seine Teile hineinpassen angegebenen Winkel.

Zum Beispiel ist das Gradmaß eines begradigten Winkels einhundertachtzig und das Gradmaß eines Winkels ist .

Um Winkel zu messen, gibt es spezielle Messgeräte, der berühmteste von ihnen ist der Winkelmesser.

Wenn sowohl die Bezeichnung des Winkels (z. B.) als auch sein Gradmaß (z. B. 110) bekannt sind, verwenden Sie kurze Anmerkung nett und sagen: "Der Winkel AOB ist einhundertzehn Grad."

Aus den Definitionen des Winkels und des Gradmaßes des Winkels folgt, dass in der Geometrie das Maß des Winkels in Grad ausgedrückt wird reelle Zahl aus dem Intervall (0, 180] (in der Trigonometrie werden Winkel mit beliebigem Gradmaß betrachtet, sie werden genannt). Ein Winkel von neunzig Grad hat einen besonderen Namen, er heißt rechter Winkel. Ein Winkel kleiner als 90 Grad wird genannt spitzer Winkel. Ein Winkel größer als neunzig Grad wird genannt stumpfer Winkel. Das Maß eines spitzen Winkels in Grad wird also durch eine Zahl aus dem Intervall (0, 90), dem Maß, ausgedrückt stumpfer Winkel- eine Zahl aus dem Intervall (90, 180), der rechte Winkel beträgt neunzig Grad. Wir geben Illustrationen eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels und rechter Winkel.

Aus dem Prinzip der Winkelmessung folgt, dass die Gradmaße gleicher Winkel gleich sind, das Gradmaß größeren Winkel ist größer als das Gradmaß des kleineren, und das Gradmaß eines Winkels, der aus mehreren Winkeln besteht, ist gleich der Summe Grad Maßnahmen Komponentenwinkel. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel AOB, der sich aus den Winkeln AOC, COD und DOB zusammensetzt, während .

Auf diese Weise, Die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad, da sie einen geraden Winkel bilden.

Aus dieser Behauptung folgt, dass. Wenn nämlich die Winkel AOB und COD vertikal sind, dann sind die Winkel AOB und BOC benachbart und die Winkel COD und BOC sind auch benachbart, daher gelten die Gleichheiten und, woraus die Gleichheit folgt.

Zusammen mit dem Grad wird eine praktische Einheit zum Messen von Winkeln genannt Bogenmaß. Das Bogenmaß ist in der Trigonometrie weit verbreitet. Lassen Sie uns ein Radiant definieren.

Definition.

Ein Bogenmaß- Das zentrale Ecke, was der Länge des Bogens entspricht, gleich der Länge der Radius des entsprechenden Kreises.

Lassen Sie uns einen Winkel von einem Bogenmaß grafisch veranschaulichen. In der Zeichnung ist die Länge des Radius OA (sowie der Radius OB ) gleich der Länge des Bogens AB , daher ist der Winkel AOB per Definition gleich einem Bogenmaß.

Die Abkürzung "rad" wird verwendet, um Radianten zu bezeichnen. Wenn Sie beispielsweise 5 Rad schreiben, bedeutet dies 5 Radiant. Schriftlich wird jedoch häufig auf die Bezeichnung „rad“ verzichtet. Wenn zum Beispiel geschrieben steht, dass der Winkel gleich pi ist, bedeutet das pi rad.

Es sollte gesondert darauf hingewiesen werden, dass der Wert des Winkels, ausgedrückt in Bogenmaß, nicht von der Länge des Radius des Kreises abhängt. Dies liegt an der Tatsache, dass die Figuren, die durch einen bestimmten Winkel begrenzt sind, und ein Kreisbogen, der an der Spitze des bestimmten Winkels zentriert ist, einander ähnlich sind.

Das Messen von Winkeln im Bogenmaß kann genauso erfolgen wie das Messen von Winkeln in Grad: Finden Sie heraus, wie oft ein Winkel von einem Bogenmaß (und seinen Teilen) in einen bestimmten Winkel passt. Und Sie können die Länge des Bogens des entsprechenden berechnen zentrale Ecke, dann teilen Sie es durch die Länge des Radius.

Für die Belange der Praxis ist es hilfreich zu wissen, wie Grad- und Bogenmaße zueinander in Beziehung stehen, da ein ziemlicher Teil durchgeführt werden muss. In diesem Artikel wird eine Beziehung zwischen Grad und Bogenmaß eines Winkels hergestellt, und es werden Beispiele für die Umwandlung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt gegeben.

Bezeichnung der Ecken in der Zeichnung.

In den Zeichnungen können der Bequemlichkeit und Klarheit halber Ecken mit Bögen markiert werden, die gewöhnlich im Innenbereich der Ecke von einer Seite der Ecke zur anderen gezogen werden. Gleiche Winkel Markierung mit gleicher Bogenzahl, ungleiche Winkel - unterschiedlicher Betrag Bögen. Rechte Winkel in der Zeichnung sind durch ein Symbol der Form "" gekennzeichnet, das im inneren Bereich des rechten Winkels von einer Seite der Ecke zur anderen dargestellt ist.

Wenn Sie in der Zeichnung viele verschiedene Winkel markieren müssen (normalerweise mehr als drei), ist es beim Bestimmen von Winkeln zulässig, zusätzlich zu gewöhnlichen Bögen einige Bögen zu verwenden besondere Art. Beispielsweise können Sie gezackte Bögen oder ähnliches darstellen.

Es ist zu beachten, dass Sie sich nicht von der Bezeichnung von Winkeln in den Zeichnungen mitreißen lassen und die Zeichnungen nicht überladen sollten. Wir empfehlen, nur die Winkel zu markieren, die für den Lösungs- oder Beweisprozess notwendig sind.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.