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So finden Sie die Bedeutung trigonometrischer Ausdrücke. Lektion „Trigonometrische Ausdrücke vereinfachen“

Video-Tutorial „Vereinfachung trigonometrische Ausdrücke» ist darauf ausgelegt, die Lösungsfähigkeiten der Schüler zu entwickeln trigonometrische Probleme unter Verwendung grundlegender trigonometrischer Identitäten. In der Videolektion werden Arten trigonometrischer Identitäten und Beispiele für die Lösung von Problemen mit ihnen besprochen. Bewirbt sich Bildmaterial, ist es für den Lehrer einfacher, die Unterrichtsziele zu erreichen. Die anschauliche Präsentation des Materials fördert das Auswendiglernen wichtige Punkte. Durch den Einsatz von Animationseffekten und Voice-Over können Sie den Lehrer bei der Erläuterung des Stoffes vollständig ersetzen. Somit kann der Lehrer durch den Einsatz dieser visuellen Hilfe im Mathematikunterricht die Effektivität des Unterrichts steigern.

Zu Beginn der Videolektion wird das Thema bekannt gegeben. Dann werden sie daran erinnert trigonometrische Identitäten zuvor studiert. Der Bildschirm zeigt die Gleichungen sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t an, wobei t≠π/2+πk für kϵZ, ctg t=cos t/sin t, korrekt für t≠πk, wobei kϵZ, tg t· ctg t=1, für t≠πk/2, wobei kϵZ, die grundlegenden trigonometrischen Identitäten genannt. Es wird darauf hingewiesen, dass diese Identitäten häufig zur Lösung von Problemen verwendet werden, bei denen es notwendig ist, Gleichheit zu beweisen oder einen Ausdruck zu vereinfachen.

Im Folgenden betrachten wir Beispiele für die Anwendung dieser Identitäten bei der Lösung von Problemen. Zunächst wird vorgeschlagen, die Lösung von Problemen der Vereinfachung von Ausdrücken in Betracht zu ziehen. In Beispiel 1 ist eine Vereinfachung erforderlich cos Ausdruck 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Um das Beispiel zu lösen, setzen Sie es zunächst aus Klammern gemeinsamer Multiplikator cos 2 t. Als Ergebnis dieser Transformation in Klammern erhält man den Ausdruck 1-cos 2 t, dessen Wert aus der Hauptidentität der Trigonometrie gleich sin 2 t ist. Nach der Transformation des Ausdrucks ist es offensichtlich, dass ein weiterer gemeinsamer Faktor sin 2 t aus den Klammern herausgenommen werden kann, wonach der Ausdruck die Form annimmt sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Aus derselben Grundidentität leiten wir den Wert des Ausdrucks in Klammern gleich 1 ab. Durch Vereinfachung erhalten wir cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

In Beispiel 2 muss der Ausdruck cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) vereinfacht werden. Da die Zähler beider Brüche den Ausdruck Kosten enthalten, kann dieser als gemeinsamer Faktor aus Klammern genommen werden. Die Brüche in Klammern werden dann reduziert auf gemeinsamer Nenner Multiplikation von (1- Sint)(1+ Sint). Nach dem Bringen ähnliche Begriffe der Zähler bleibt 2 und der Nenner 1 - sin 2 t. Auf der rechten Seite des Bildschirms wird an die grundlegende trigonometrische Identität sin 2 t+cos 2 t=1 erinnert. Damit ermitteln wir den Nenner des Bruchs cos 2 t. Nachdem wir den Bruch reduziert haben, erhalten wir eine vereinfachte Form des Ausdrucks cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Als nächstes betrachten wir Beispiele für Identitätsbeweise, die das erworbene Wissen über die grundlegenden Identitäten der Trigonometrie nutzen. In Beispiel 3 muss die Identität (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t nachgewiesen werden. Auf der rechten Seite des Bildschirms werden drei Identitäten angezeigt, die für den Beweis benötigt werden: tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t und tg t=sin t/cos t mit Einschränkungen. Um die Identität zu beweisen, werden zunächst die Klammern geöffnet und anschließend ein Produkt gebildet, das den Ausdruck der trigonometrischen Hauptidentität tg t·ctg t=1 widerspiegelt. Dann wird gemäß der Identität aus der Definition des Kotangens ctg 2 t transformiert. Als Ergebnis der Transformationen erhält man den Ausdruck 1-cos 2 t. Anhand der Hauptidentität finden wir die Bedeutung des Ausdrucks. Somit wurde bewiesen, dass (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

In Beispiel 4 müssen Sie den Wert des Ausdrucks tg 2 t+ctg 2 t ermitteln, wenn tg t+ctg t=6. Um den Ausdruck zu berechnen, quadrieren Sie zunächst die rechte und linke Seite der Gleichung (tg t+ctg t) 2 =6 2. Die abgekürzte Multiplikationsformel wird auf der rechten Seite des Bildschirms angezeigt. Nach dem Öffnen der Klammern auf der linken Seite des Ausdrucks wird die Summe tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t gebildet, für deren Transformation Sie eine der trigonometrischen Identitäten tg t·ctg t=1 anwenden können , dessen Form auf der rechten Seite des Bildschirms angezeigt wird. Nach der Transformation erhält man die Gleichung tg 2 t+ctg 2 t=34. Die linke Seite der Gleichheit stimmt mit der Bedingung des Problems überein, daher lautet die Antwort 34. Das Problem ist gelöst.

Die Videolektion „Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke“ wird für die Verwendung in der traditionellen Sprache empfohlen Schulstunde Mathematik. Das Material wird auch für den Lehrer bei der Umsetzung nützlich sein Fernunterricht. Um Fähigkeiten zur Lösung trigonometrischer Probleme zu entwickeln.

TEXTDEKODIERUNG:

„Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke.“

Gleichheiten

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (Sinusquadrat te plus Kosinusquadrat te ergibt eins)

2)tgt =, für t ≠ + πk, kϵZ (Tangens te ist gleich dem Verhältnis von Sinus te zu Kosinus te mit te ungleich pi um zwei plus pi ka, ka gehört zu zet)

3)ctgt = , für t ≠ πk, kϵZ (Kotangens te ist gleich dem Verhältnis von Kosinus te zu Sinus te mit te ungleich pi ka, ka gehört zu zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 für t ≠ , kϵZ (das Produkt von Tangente te und Kotangente te ist gleich eins, wenn te nicht gleich dem Peak ka ist, dividiert durch zwei, ka gehört zu zet)

werden grundlegende trigonometrische Identitäten genannt.

Sie werden häufig zur Vereinfachung und zum Beweis trigonometrischer Ausdrücke verwendet.

Schauen wir uns Beispiele für die Verwendung dieser Formeln zur Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke an.

BEISPIEL 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Ausdruck a Kosinus zum Quadrat te minus Kosinus vierten Grades te plus Sinus vierten Grades te).

Lösung. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = Sünde 2 t 1= Sünde 2 t

(Wir nehmen den gemeinsamen Faktor Cosinusquadrat te heraus, in Klammern erhalten wir die Differenz zwischen Eins und dem quadrierten Cosinus te, der gleich dem quadrierten Sinus te durch die erste Identität ist. Wir erhalten die Summe des Sinus te der vierten Potenz von Produkt Kosinusquadrat te und Sinusquadrat te. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor Sinusquadrat te außerhalb der Klammern heraus, in Klammern erhalten wir die Summe der Quadrate von Kosinus und Sinus, die gemäß der grundlegenden trigonometrischen Identität gleich 1 ist . Als Ergebnis erhalten wir das Quadrat des Sinus te).

BEISPIEL 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck: + .

(Ausdruck sei die Summe zweier Brüche im Zähler des ersten Kosinus te im Nenner eins minus Sinus te, im Zähler des zweiten Kosinus te im Nenner des zweiten eins plus Sinus te).

(Nehmen wir den gemeinsamen Faktor Kosinus te aus Klammern und bringen ihn in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner, der das Produkt von eins minus Sinus te mal eins plus Sinus te ist.

Im Zähler erhalten wir: eins plus Sinus te plus eins minus Sinus te, wir geben ähnliche Einsen an, der Zähler ist gleich zwei, nachdem wir ähnliche Einsen gebracht haben.

Im Nenner können Sie die abgekürzte Multiplikationsformel (Quadratdifferenz) anwenden und erhalten die Differenz zwischen Eins und dem Quadrat des Sinus te, der gemäß der grundlegenden trigonometrischen Identität

gleich dem Quadrat des Kosinus te. Nach der Reduktion durch Kosinus te erhalten wir die endgültige Antwort: zwei dividiert durch Kosinus te).

Schauen wir uns Beispiele für die Verwendung dieser Formeln beim Beweis trigonometrischer Ausdrücke an.

BEISPIEL 3. Beweisen Sie die Identität (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (das Produkt der Differenz zwischen den Quadraten des Tangens te und des Sinus te durch das Quadrat des Kotangens te ist gleich dem Quadrat von sinus te).

Nachweisen.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit transformieren:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Öffnen wir die Klammern; aus der zuvor erhaltenen Beziehung ist bekannt, dass das Produkt der Quadrate von Tangens te und Kotangens te gleich eins ist. Erinnern Sie sich an diesen Kotangens te gleich dem Verhältnis Kosinus te durch Sinus te, was bedeutet, dass das Quadrat des Kotangens das Verhältnis des Quadrats des Kosinus te zum Quadrat des Sinus te ist.

Nach der Reduktion um das Sinusquadrat te erhalten wir die Differenz zwischen Eins und dem Kosinusquadrat te, die gleich dem Sinusquadrat te ist. Q.E.D.

BEISPIEL 4. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks tg 2 t + ctg 2 t, wenn tgt + ctgt = 6.

(die Summe der Quadrate von Tangente te und Kotangens te, wenn die Summe von Tangente und Kotangens sechs beträgt).

Lösung. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Quadrieren wir beide Seiten der ursprünglichen Gleichheit:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (das Quadrat der Summe aus Tangens te und Kotangens te ist gleich sechs zum Quadrat). Erinnern wir uns an die Formel für die abgekürzte Multiplikation: Quadrat der Summe zweier Größen gleich Quadrat erstes Plus Doppelprodukt das erste zum zweiten plus das Quadrat des zweiten. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Wir erhalten tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (Tangens zum Quadrat te plus das Doppelte des Produkts aus Tangens te mal Kotangens te plus Kotangens zum Quadrat te gleich sechsunddreißig) .

Da das Produkt aus Tangente te und Kotangens te gleich eins ist, dann ist tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (die Summe der Quadrate aus Tangente te und Kotangens te und zwei ist gleich sechsunddreißig),

Lektion 1

Thema: 11. Klasse (Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen)

Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke.

Einfache trigonometrische Gleichungen lösen. (2 Stunden)

Ziele:

Systematisieren, verallgemeinern und erweitern Sie die Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler im Zusammenhang mit der Verwendung trigonometrischer Formeln und der Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen.

Ausrüstung für den Unterricht:

Unterrichtsaufbau:

Organisatorischer Moment
Testen auf Laptops. Die Diskussion der Ergebnisse.
Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke
Einfache trigonometrische Gleichungen lösen
Selbstständige Arbeit.
Zusammenfassung der Lektion. Erläuterung der Hausaufgabe.

1. Organisatorischer Moment. (2 Minuten.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, verkündet das Thema der Unterrichtsstunde, erinnert daran, dass ihm zuvor die Aufgabe übertragen wurde, trigonometrische Formeln zu wiederholen, und bereitet die Schüler auf die Prüfung vor.

2. Testen. (15 Min. + 3 Min. Diskussion)

Ziel ist es, das Wissen über trigonometrische Formeln und die Fähigkeit, diese anzuwenden, zu testen. Jeder Schüler hat auf seinem Schreibtisch einen Laptop mit einer Version des Tests.

Es kann eine beliebige Anzahl von Optionen geben, ich werde ein Beispiel für eine davon geben:

Ich wähle.

Ausdrücke vereinfachen:

a) grundlegende trigonometrische Identitäten

1. Sünde 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) Additionsformeln

3. sin5x - sin3x;

c) Umwandeln eines Produkts in eine Summe

6. 2sin8y cos3y;

d) Doppelwinkelformeln

7. 2sin5x cos5x;

e) Formeln für Halbwinkel

f) Dreifachwinkelformeln

Und) universelle Substitution

h) Reduzierung des Abschlusses

16. cos 2 (3x/7);

Die Schüler sehen ihre Antworten auf dem Laptop neben jeder Formel.

Die Arbeit wird sofort vom Computer überprüft. Die Ergebnisse werden auf einem großen Bildschirm angezeigt, damit jeder sie sehen kann.

Außerdem werden nach Abschluss der Arbeit die richtigen Antworten auf den Laptops der Schüler angezeigt. Jeder Schüler sieht, wo der Fehler gemacht wurde und welche Formeln er wiederholen muss.

3. Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke. (25 Min.)

Ziel ist es, die Anwendung grundlegender trigonometrischer Formeln zu wiederholen, zu üben und zu festigen. Lösung von Problemen B7 aus dem Einheitlichen Staatsexamen.

An in diesem Stadium Es empfiehlt sich, die Klasse in Gruppen starker Menschen aufzuteilen (sie arbeiten selbstständig mit anschließender Prüfung) und schwache Schüler die mit dem Lehrer zusammenarbeiten.

Aufgabe für starke Schüler (im Voraus vorbereitet für gedruckte Basis). Der Schwerpunkt liegt auf Reduktionsformeln und Doppelwinkel, gemäß dem Einheitlichen Staatsexamen 2011.

Ausdrücke vereinfachen (für starke Schüler):

Gleichzeitig arbeitet der Lehrer mit schwachen Schülern, indem er Aufgaben am Bildschirm unter dem Diktat der Schüler bespricht und löst.

Berechnung:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Vereinfachen:

Es war Zeit, die Ergebnisse der Arbeit der starken Gruppe zu besprechen.

Die Antworten erscheinen auf dem Bildschirm, außerdem wird mit einer Videokamera die Arbeit von 5 verschiedenen Schülern angezeigt (jeweils eine Aufgabe).

Die schwache Gruppe sieht die Bedingung und Methode der Lösung. Diskussion und Analyse sind im Gange. Benutzen technische Mittel es geht schnell.

4. Einfache trigonometrische Gleichungen lösen. (30 Minuten.)

Ziel ist es, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu wiederholen, zu systematisieren und zu verallgemeinern und ihre Wurzeln aufzuschreiben. Lösung von Problem B3.

Jede trigonometrische Gleichung, egal wie wir sie lösen, führt zur einfachsten.

Bei der Bearbeitung der Aufgabe sollten die Studierenden darauf achten, die Wurzeln von Gleichungen für Sonderfälle aufzuschreiben und Gesamtansicht und über die Auswahl der Wurzeln in der letzten Gleichung.

Gleichungen lösen:

Notieren Sie als Antwort die kleinste positive Wurzel.

5. Selbstständiges Arbeiten (10 Min.)

Ziel ist es, die erworbenen Fähigkeiten zu testen, Probleme, Fehler und Möglichkeiten zu deren Beseitigung zu identifizieren.

Es werden mehrstufige Arbeiten nach Wahl des Studierenden angeboten.

Option „3“

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lösen Sie die Gleichung

Option für „4“

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Lösen Sie die Gleichung Notieren Sie die kleinste positive Wurzel Ihrer Antwort.

Option „5“

1) Finden Sie tanα if

2) Finden Sie die Wurzel der Gleichung Notieren Sie als Antwort die kleinste positive Wurzel.

6. Zusammenfassung der Lektion (5 Min.)

Der Lehrer fasst zusammen, was im Unterricht wiederholt und verstärkt wurde trigonometrische Formeln, Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen.

Die Hausaufgaben werden (im Voraus in gedruckter Form vorbereitet) mit stichprobenartiger Kontrolle in der nächsten Unterrichtsstunde verteilt.

Gleichungen lösen:

10) Geben Sie in Ihrer Antwort die kleinste positive Wurzel an.

Lektion 2

Thema: 11. Klasse (Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen)

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen. Wurzelauswahl. (2 Stunden)

Ziele:

Verallgemeinern und systematisieren Sie das Wissen über die Lösung trigonometrischer Gleichungen verschiedener Art.
Entwicklung fördern mathematisches Denken Studierende, die Fähigkeit zu beobachten, zu vergleichen, zu verallgemeinern, zu klassifizieren.
Ermutigen Sie die Schüler, dabei Schwierigkeiten zu überwinden geistige Aktivität, zur Selbstkontrolle, Selbstbeobachtung der eigenen Aktivitäten.

Ausrüstung für den Unterricht: KRMu, Laptops für jeden Schüler.

Unterrichtsaufbau:

Organisatorischer Moment
Diskussion von d/z und self. Arbeit aus der letzten Lektion
Überblick über Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
Trigonometrische Gleichungen lösen
Auswahl von Wurzeln in trigonometrischen Gleichungen.
Selbstständige Arbeit.
Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben.

1. Organisatorischer Moment (2 Min.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, gibt das Unterrichtsthema und den Arbeitsplan bekannt.

2. a) Analyse Hausaufgaben(5 Minuten.)

Ziel ist es, die Ausführung zu überprüfen. Ein Werk wird per Videokamera auf dem Bildschirm angezeigt, der Rest wird gezielt zur Lehrerkontrolle eingesammelt.

b) Analyse unabhängige Arbeit(3 Minuten.)

Ziel ist es, Fehler zu analysieren und Wege zu deren Überwindung aufzuzeigen.

Antworten und Lösungen werden auf dem Bildschirm angezeigt, die Studierenden erhalten ihre Aufgaben vorab ausgeteilt. Die Analyse geht schnell vonstatten.

3. Überprüfung der Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen (5 Min.)

Ziel ist es, Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen in Erinnerung zu rufen.

Fragen Sie die Schüler, welche Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen sie kennen. Betonen Sie, dass es sogenannte grundlegende (häufig verwendete) Methoden gibt:

Variablenersatz,
Faktorisierung,
homogene Gleichungen,

und da ist Angewandte Methoden:

Verwendung der Formeln zur Umrechnung einer Summe in ein Produkt und eines Produkts in eine Summe,
nach Formeln Reduzierung des Abschlusses,
universelle trigonometrische Substitution
Einführung Hilfswinkel,
Multiplikation mit einigen Trigonometrische Funktion.

Es sollte auch daran erinnert werden, dass eine Gleichung auf unterschiedliche Weise gelöst werden kann.

4. Trigonometrische Gleichungen lösen (30 Min.)

Ziel ist es, Kenntnisse und Fähigkeiten zu diesem Thema zu verallgemeinern und zu festigen, um sich auf die C1-Lösung des Einheitlichen Staatsexamens vorzubereiten.

Ich halte es für ratsam, die Gleichungen für jede Methode gemeinsam mit den Studierenden zu lösen.

Der Schüler diktiert die Lösung, der Lehrer schreibt sie auf das Tablet und der gesamte Vorgang wird auf dem Bildschirm angezeigt. Auf diese Weise können Sie zuvor behandeltes Material in Ihrem Gedächtnis schnell und effektiv abrufen.

Gleichungen lösen:

1) Ersetzen der Variablen 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) Faktorisierung 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene Gleichungen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) Umwandeln der Summe in ein Produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) Umrechnung des Produkts in die Summe 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) Reduzierung des Grades sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) Universelle trigonometrische Substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

Bei der Lösung dieser Gleichung ist zu beachten, dass mit diese Methode führt zu einer Einengung des Definitionsbereiches, da Sinus und Cosinus durch tg(x/2) ersetzt werden. Daher müssen Sie vor dem Ausschreiben der Antwort prüfen, ob die Zahlen aus der Menge π + 2πn, n Z Pferde dieser Gleichung sind.

8) Einführung eines Hilfswinkels √3sinx + cosx - √2 = 0

9) Multiplikation mit etwas Trigonometrie cosx-Funktion cos2x cos4x = 1/8.

5. Auswahl der Wurzeln trigonometrischer Gleichungen (20 Min.)

Da es im harten Wettbewerb beim Hochschulzugang allein nicht ausreicht, den ersten Teil der Prüfung zu lösen, sollten sich die meisten Studierenden auf die Aufgaben des zweiten Teils (C1, C2, C3) konzentrieren.

Daher besteht das Ziel dieser Unterrichtsphase darin, sich an zuvor gelerntes Material zu erinnern und sich auf die Lösung der Aufgabe C1 aus dem Einheitlichen Staatsexamen 2011 vorzubereiten.

Existieren trigonometrische Gleichungen, bei dem beim Ausschreiben der Antwort Wurzeln ausgewählt werden müssen. Dies liegt an einigen Einschränkungen, zum Beispiel: Der Nenner des Bruchs ist nicht vorhanden gleich Null, Ausdruck unter der Wurzel sogar Grad ist nicht negativ, der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen ist positiv usw.

Solche Gleichungen werden als Gleichungen betrachtet erhöhte Komplexität und in Version des Einheitlichen Staatsexamens liegen im zweiten Teil, nämlich C1.

Löse die Gleichung:

Ein Bruch ist dann gleich Null mit Hilfe Einheitskreis Wählen wir die Wurzeln aus (siehe Abbildung 1).